Profesortitular de Didácticade las Matemirticas de la Universidadde Valcncr¿r
34. Recursos en el aula de matemáticas Francisco HernánSiguero, ElisaCarrilloQuintela
EDITORIAL
SINTESIS
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1u'¡etnQ tormadeadquisiciÓn: {núu Do¡ación Canie tompra techadeadqursrción Día Mes AñodeProcesamiento Fecha Mes AñoProveedor Procesado Por
Primerareimpresión:octubre1989 Segundareimpresión:noviembre1993 Tercerareimpresión:noviembre1998 Reservados todoslos derechos.Está prohibido,bajo lassanciones penalesy el resarcimiento civil previstos en lasleyes,reproducir,registraro transmitirestapublicación,íntegrao parcialmentepor cualquiersistema de recuperación y por cualquiermedio,seamecánico, electrónico,magnético,electroóptico, por fotocopiao por cualquierotro, sin la autorización previapor escrito de Editorial Síntesis. S.A. @ BernardoGómezAlfonso O EDITORIAL SÍNTESIS,S. A. Vallehermoso, 34 - 28015Madrid Teléf.:91 5932098 http//:www.sintesis.com Depósito Legal: M. 32.385-1998 ISBN: 84-7738-014-7 Impresoen España- Printedin Spain
Indice Al lector
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1. Introducción 1.1. ¿Quées el número? 1.2. Caracterización 1.2.1. Usos 1.2.2. Invariantes 1.2.3. Nacimientoy evolución . El sistemacardinal La unicidad La coordinabilidad El registro Lasetiquetas.... r El sistemaordinal El orden El sistemade numeración. . . Contar Losadjetivos..... .,La historiareal .. ¡ Contar con las partesdel cuerpo
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2. La numeración:evolucióny comparaciónde sistemas 2.1. Ejerciciospreliminareso de partida 2.2. Sistemasde numeración 2.2.1. Representación simple 2.2.2. Agrupamientosimple 2.2.3. Agrupamientomúltiple o Sistema egipcio
2.2.4. Sislclrrrrs multiplicativos.... r Sistclua ático . . Sistorna chino-japonés .... ¡ Nucstrosistemaoral . . Sistemababilónico 2.2.5. Sistcmamultiplicativoordenado 2.2.6. Sistemas posicionales o Sistema maya. . El cero . Las cifras 2.2.7. Numeracióny cálculoen los viejossistemas o Egipto . Babilonia . Grecia . El sistemajónico . La numeraciónromana 2.2.8. La herenciahindú. 2.2.9. Europa:un caminoplagadode dihcultades. ... . ... . La oscuridad. . . .ElalboreaÍ..... . Innovacióncontra conservadurismo. 2.2.10.El sistemadecimal . Modo de leerun númerode muchascifras . ... . . . Caracteristicas. . . Desarrollocurricular . Uso de materialestructurado o La integracióndel contexto 2.2.11.Aritméticay sistemasde numeración .. . 2.2.12.Aritméticay enseñanza obligatoria
3. Cálculomental.Cálculopensado 3.1. Cálculomental,cálculopensado 3.2. Cálculomental:las tablas 3.2.1. La tabla de sumar . Las tablillasde Lucas 3.2.2. La tabla de multiplicar . . . 3.3. La multiplicacióncon los dedos 3.4. Cálculopensado 3.4.1. Cálculo pensadoaditivo 3.4.2. Cálculo pensadornultiplicativo . . . . 3.5. Explorandoen aritmética. .... 3.6. Las tablasde doble entrada
4. Losalgoritmos...... 4.1. Losalgoritmos.... 4.2. Los algoritmosdc lipiz y ¡lr¡rcl rCaracterísticas.. 4.3. Los algoritmosen cl ctrfríctll() . 4.3.1. Algoritmospara ll strrn¿l para . la rcsta 4.3.2. Algoritmos .. . . para multiplicación la 4.3.3. Algoritmos . Las regletaso rodillosde Neper . La multiplicaciónegipcia . La multiplicaciónrusa o campesina 4.3.4. Algoritmospara la división
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ANEXO 1. La taiz cuadrada 1.1. El algoritmode la raiz cuadrada (Laboratorio,bloques). 1.1.1. Un tratamientomanipulativo. . Problemapreliminaro de partida . La situación de partida . Trazando un plan 1.1.2. Un tratamientoaritmético.(Lápiz y papel) . Problemapreliminaro de Partida . La situaciónde partida o Trazando un plan 1.1.3. Un tratamientoalgebraico'(Lápiz y papel)
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ANEXO 2. Los materialesmanipulativos.. 2.1. Los ábacos 2.1.1. Abacosdecimales 2.2. Los bloquesmultibase 2.2.1. Diferenciasentre los bloquesy los ábacos 2.2.2. Actividades 2.3. Los númerosen color 2.3.1. Estructura 2.3.2. Operaciones
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Bibliogralla
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Al lector Grabado de Ia portada de una edición de uno de los Rechenbücher de Adam Riese,el famoso Rechenmeister. de 1529. En él se representa una competición entre un algorista y un abacista.
Habrán ustedes notado que la gente nunca contesta a lo que se le dice. Contesta siempre a lo que uno piensa al hacer la pregunta, o a lo que sefigura que estó uno pensando. Supongan ustedesque una dama le dice a otra, en una casa de campo: <¿Hay alguien contigo?))La ofta no contesta: , con lo cual quiere decir: Pero si es el doctor el que hace la pregunta, en un caso de epidemia: <¿Quién más hay aquí?l, entonces la señora recordará, sin duda, al mayordomo, a la camarera, etc. Y así se habla siempre. Nunca son literales las respuestas,sin que dejan por eso de ser uerídicas. (El candor del padre Brown. . CHssr¡Rror.¡.)
He escrito este libro con la intención de contestar en la medida de mis posibilidades y a la vista de la bibliografia actual, como yo pienso que el
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Tomado del grabado anterior. Reelaborado por el autor.
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lectoresperaque sele contestea algunaspreguntassobrela Numeracióny el Cálculo,que yo creoque puedenhaberpasadopor su cabezaen relacióncon su actividadprofesionalo su formacióncomo maestro. ¿Quiereello decir que aquí va a encontraralgunasolucióna susproblemas? Puedeque sí,puedeque no. No me esposiblesaberlo,ni tampocome es posible,honradamente, dar un recetarioo un manualde instrucciones, como La libertad,el gustoy el estilopersonal si el aula fueraun electrodoméstico. del profesorni puedenni debenser soslayados. Debe ser él quien decida sobrelas situaciones de aprendizajequele permitandesarrollarlas capacidadesde susalumnos,asumiendola responsabilidad de su clasecon todassus consecuencias, conscientede que cualquiertexto,por muy bien presentado, elaborado,escrito,programado,estructuradoo divertidoque sea,no puede reulizarningunalabor didácticapor sí mismo.Es imprescindiblela criba y posterioractuacióndel profcsor,y éstano es programablede antemanode modo rígido:su ingenioy cl de susalumnoscondicionaránel desarrollode la 1l
clasede modo irn¡rrcvisiblc, AfortunJdamente, porqueello signilicaráque se está educandocrr nrrrtcrrriiticas y que no se pierdede vista quién es el verdaderoprotagorristir dc la clase. Dicho esto,¿,quó cs cstclibro? A veceses másfácildecirlo que no son las cosas.Esteno es un libro de matemáticas en el scntidousualdel término.No espara unospocos.No es intimidatorio.No es para el fracaso.No es para la frustración.No es parala ansiedad. Por el contrario, éste es un libro de recursospara la educaciónen matemáticas; un libro parala participación,parala integracióny no para la selección.Para despertarsentimientospositivos,para desmitifrcar,para ser entendido. Es criterio de estelibro vencerel obstáculoemocionalresponsable del aburrimientocon que muchosmaestrosseplanteanla aritmética;esconvencerlesde que debajo de la rutina de un algoritmo o de la perfecciónde la expresiónnuméricahay cientosy cientosde añosde creación,de dificultades y bloqueos,de logros y avances,de retrocesose incompresiones, de fatiga, sudor,esfuerzoe ilusión.conocer algo de lo que ha ocurridopuedesuponer un cambio en el tratamientoescolarde la aritmética,puedehacerlainteresantecomo si de una novelade suspense se tratara y tan humanísticocomo puedaserlocualquierotro campode conocimiento.Esto esalgo que muchos de nosotrosno descubrimosen nuestrajuventud,porquenadiefue capazde explicárnoslo,aunqueen cierto modo comenzábamos a sospecharlo. Es un libro donde hallar puntos de partida para la reflexión,soportes para los deseosde cambio o fuentespara la inspiraciónpedagógica.Está pensadopara los futuros maestrosy maestrosen ejercicioy aborda ese aspectode la enseñanza d,elas matemáticas tan poco tratadoen nuestropaís (manualesescolares aparte):ideaspara la clase,métodosy formasde presentación, secuencialización, fundamentación, materialesmanipulativos,característicasy sugerencias para su utilización. . Objetivos
didáctico.Sacara l¿rlt¡z hrs p¡rsrtsocultos,mostrar los contextosen que se mueven,descubrir virn¡rttlcsy tliscutir sobre sus ventajase lnconvenientes. Se trata dc tlru sc¡tlttkr it las conexiones entre los pasos, estableceretapas c()n sus litscs corrcspondientesy perhlar una adecuadidiicticl da secuencialización . Destacar el papel dc lir calcul¿rdoracomo herramienta para el trabajo rápido, para el cálcukl scguro y para el razonamiento inteligente.
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La numeración
Huelga extendersesobre la importancia de una buena comprensión de la estructura multiplicativa del número y lo inútil que resulta hablar de algoritmos de cálculo si falla ésta. Conocer la evolución histórica de los sistemasde numeración y saber las razones que provocaron los cambios y el abandono de unos sistemas por otros, contribuye a dar sentido a los conocimientos previos o ya adquiridos por el lector. Además, gracias a la motivación cultural que supone eliminar la sensaciónde el camino se anda sin difrcultad y, por añadidura, los conocimientos quedan reforzados al ir emparejados con alguna narración, anécdota o curiosidad histórica.
2.
Los materiales
Los conocimientos anteriores contribuyen, por añadidura, a facilitar cl acceso a la estructura de los materiales manipulativos; ayudan a comprenderlos y sugieren las líneas para su utilización en el aula. En el Anexo 2 se da una breve descripción del material más destacado y conocido en cada caso y ademásde sus característicasdidácticas se muestran algunas vías de actuación acompañadas de ejemplos en situaciones concretas. Un desarrollo más detallado del material podrá encontrarseen la bibtiografia que se acompaña.
El libro se articula en torno a los siguientesobjetivos: . Lograr un conocimientomás profundo de la numeracióny de las razonesque han conducidoa su expresióny forma actual. . Incidir sobreel material manipulativo,describirlo, analizarloy mostrar para su uso. sugerencias . Apoyarel uso de estrategias de cálculomentaly pensado.Describirlas, clasificarlasy presentarejemplosque muestrencómo se utilizan. o Presentarestrategias para la construcción,esquematización y abreviación progresivade los algoritmosusualesde cálculo como recurso t2
3.
El cálculo mental. El cálculo pensado
El cálculo mental, cálculo pensado, es el cálculo sin lápiz ni papel, es el cálculo callejero, cotidiano. El conocimiento de sus métodos y estrategias, sus condiciones más adecuadas de uso, etc., conforman un bagaje poco tratado en la Escuela. En este libro se aborda la descripción de los más corrientes, se organizan en función de sus características y, cómo no, se trabajan las formas de acercarsea las tablas, ya que son el soporte imprescindible para alcanzltr un adecuado nivel de destreza.
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Sehacehincapiócn la observaciónde lts númerosen relacióncon otros númerossobrelas tablaspitagóricaso de doble entradade sumas,productos, doblesy cuadrados.Se buscahabituar al niño a descubrirpatrones, reglasy leyes,recurrencias, aspectosinsólitoso choefectossorprendentes, cantes,etc.Ademásestaforma de actuartienela ventajaque permiteestimular el trabajo y el ingenio personalal tiempo que contribuyea un mejor conocimientode los númerosv susinterrelaciones.
4, Los algoritmosde las operaciones elementales Se haceun recorridosobrelas distintasformasde presentarlos algoritmos y sobresusjustificaciones. Se sucedenlos planteamientos instrumentay constructivos.Se hace ver el trasfondosacandoa relucir les,relacionales sus pasosocultosy los conocimientospreviosque se necesitanpara comprenderlo que ocurre.Setrabajanlos algoritmoshistóricosy la búsquedade variantes.Seda entrada a la secuencializaciíndidáctica,a la discusiónsobre ventajase inconvenientes, se rompe la tradicionalrigidez,habitual en las presentaciones escolares de los algoritmosy seda lugar a formaspersonales, divertidaso ultrarrápidasde cálculo. Una incursión a la búsquedade conjeturas,explicaciones, analogias, y generalizaciones, hará ver que la Aritméticano sólo escálculo, extensiones también es matemáticas.Por añadidura,al utilizar la calculadoracomo utilisima herramientaen estaincursión,se hacever el inteligentisimopapel que tieneesteinstrumentoen el lanzamientoy contrastaciónde conjeturas.
5. La ruíz cuadrada En el Anexo I sc abordan los div€rsos tratamientos d€l algodtmo de la raiz cuadraala.No porque oeconsidoreimportente por si mismo, sino por la riqueza d€ posibilidades que encierra y, sobre todo, como muestra de lo que se ha hecho coD los elgoritmos y lo qu€ s€ ha podido hacer y no se ha hocho. . Agt¡decimiertos Cúmplcme revelar la colaboración qu€ m. ha pltstado Luis Rico, director del Dop¿rtamento de Didáctica de la matemática de la Universidad de Granada y mieñbro del consejo editor d€ la seri€ de la que este lib¡o forma part€, cuya valiosa ayuda s9 ha plasmado en aportaciones concretasy acertadisimas co¡reccionesque han contribuido a redondcarlo su¡tancialm€nte. Mi agradecimientot¿mbién al resto de mis compañerosde departamento
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por su paciencia,y en partit'trl¡tr¡r l,ttis l)uig, por haberme embarcado en esta aventura; a Francisco Solr¡. pot st¡s cfluvios narrativos, y a Fernando Cerdán, por las ideas quc tttt: ltit it¡rrtllitdo. Quiero concluir signilicrttttlot¡rrc si algo tiene de bueno este libro es debido a una multitud dc pcrsotuts,krs quc han escrito las fuentes en donde he bebido y los que me ha¡t itytttlitdoit organizarlas.Pero, sin embargo,todo lo mucho que tiene de malo sillo cs achacable,naturalmente, a una persona; al autor.
Introducción
Las ideasreferentes a la numeracióny al númerosuelenconfundirsey no fueron objetos diferenciadosde estudio de los currículosescolareshasta entradoslos añossetenta.La numeracióntieneque ver con las reglassintácticasy fonéticaspara expresarel númeroy el número... 1.1. ¿QUE ES EL NUMERO? Esta es una de esaspreguntascuya respuestasuelesoslayarse. ¡Todo el mundo sabequé cosaes el número!Ahora bien, si se reiterala pregunta, unosguardaránsilencio,otros sejustihcarándiciendoque lo que les pasaes que no tienenpalabraspara explicarse, y los más,bueno,los más... Aun no sabiendolo que esel número,muchosaceptaránque el 6 lo es y que tambiénlo es VI, y tambiénIIIIII; y que todasesascosasson el mismo número. Pero esto no puedeser, ya que son objetosdistintos,y objetos distintosno puedenserla mismacosa.Decir que 6 no esun número,escomo decir que Pepe no es un hombre. ¡Es cierto, 6 es sólo el nombre de un número,como Pepees sólo el nombrede un hombre! Aclaradoesto,volvamosadondeestábamos: ¿Quées el número?Podemos convenirqueel significadode laspalabrasno hay que buscarlode modo aislado,sinoen el contextode todo un enunciado,por lo que cabeestablecer la preguntaen estosotros términos:¿quées, por ejemplo,el número uno?