Docente: Christian Arce R. L O ero G OCivil Indust Ingeniero Ingeni Industrial rial
FACTORES: COMO EL TIEMPO Y EL INTERÉS AFECTAN EL DINERO
FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F) Factor de cantidad compuesta de pago único (FCCPU) o factor F/P
Es aquel que determina la cantidad de dinero F que se acumula después de n periodos, a partir de un valor único presente P con inte in terrés co comp mpue uest sto o un unaa vez po porr pe peri riod odo. o. • El diagrama de fl flu ujo de caja para este factor es el siguiente: Fn = ? i = dado
0 P = dado
1
2
3
……..
n-1
n
FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F) Factor de cantidad compuesta de pago único (FCCPU) o factor F/P Derivación del Factor F/P
Final de n periodos
n
F = P (1 + i)
Factor de conversión F/P que cua uand ndo o se multi tip plica po porr P, produ ducce la cantidad F de i ió ini i l P d ué de iod la t d i t é i.
FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F) Factor de valor presente de pago único (FVPPU) o factor P/F Es aquel que determina el valor presente P de una cantidad futura F, después de n periodos a una tasa de interés i. • El diagrama de fl flu ujo de caja para este factor es el siguiente:
Fn = dado
i = dado 0
1
2
3
……..
n-1
P=?
El valor de P se obtiene invirtiendo la situación anterior, anterior, es decir:
P=F
1 n (1 + i)
n
FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F) Notación estándar de los factor factores es Incluye dos símbolos de flujo de caja: i y n. • Se presenta siempre de la siguiente forma:
( X / Y , i% , n) ? Valor dado Paraa los factor Par factores es vistos anteriormente la notación es la siguiente:
Para simplificar cálculos se han elaborado tablas de valores de factores, las cuales se
FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F) Notación estándar de los factor factores es ¿Cómo se utiliza esta tabla de factores? Para un factor, tasa de interés y tiempo dados, el valor correcto del factor se encuentra en la intersección del nombre del factor y n. Por ejemplo: Encuentre el valor del factor (P/F, 5%, 10) La tabla a utilizar es la que corresponde a la tasa de interés i = 5%. Luego interceptando: n = 10 con (P/F) se obtiene que (P/F, 5%, 10) = 0,6139. Este mismo valor se obtiene aplicando la fórmula antes vista:
(P/F,, i%, n) (P/F
=
1 n (1 + i)
=
1 (1 + 0,05) 10
=
0,6139
FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F) Ejemplo Si F = $100.000 después de 9 años. ¿Cuál es el valor equivalente hoy de este valor si la tasa de interés es 15% anual? Solución: El diagrama de flujo de caja es el siguiente: Fn = 100.000 i = 15%
0
1
2
3
……..
P=?
P0 = $100.000(P/F $100 .000(P/F,, 15%,9) = $100.000 (1/(1.15)9) = $100.000 (0,2842 (0,2842)) = $28.426 en t = 0
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FACTORES DE DE PAGO UNIFOR UNIFORME ME (P/A y A/P) Factor de valor presente de serie uniforme (FVPSU) o factor P/A Es aquel que determina el valor presente P equivalente de una serie uniforme A de flujo de efectivo al final del periodo. • El diagrama de flujo de caja para este factor es el siguiente:
P=? 0
1
2
i = dado 3
……..
A = dado
n-1
n
FACTORES DE PAGO ÚNICO (P/A y A/P) Factor de valor presente de serie uniforme (FVPSU) o factor P/A Determinación del Factor P/A El valor presente P de una serie uniforme A, puede obtenerse considerando cada valor de A como un valor futuro F y luego sumar su mar es esto toss re resu sult ltad ados os::
Los términos entre corchetes representan los factores P/F P/F durante los años 1 hasta n. Si se factoriza A se obtiene:
FACTORES DE PAGO ÚNICO (P/A y A/P) Factor de valor presente de serie uniforme (FVPSU) o factor P/A Para simplificar la ecuación 1 y obtener el factor P/A, se debe mullti mu tipl plic icaar es estta ec ecua uaci ción ón po porr el fac acttor 1/ 1/((1+ 1+i) i)::
• Para obtener P en función de A, se debe restar la ecuación (1) de la (2).
FACTORES DE PAGO ÚNICO (P/A y A/P) Factor de valor presente de serie uniforme (FVPSU) o factor P/A
FACTORES DE PAGO ÚNICO (P/A y A/P) Factor de valor presente de serie uniforme (FVPSU) o factor P/A Simplificando aún más la ecuación 3 se obtiene la siguiente expresión
P= A -i
n
1 n+1
(1 + i)
-1
P=A
(1+i (1 +i)) - 1 i (1 + i)
n
i ≠0
Factor P/A que calcula el valor P equivalente en el año 0 para una serie uniforme de fi fina nall de period odo o de valores A, que empiezan al final del periodo 1 y se extienden du durrante n periodos.
FACTORES DE PAGO ÚNICO (P/A y A/P) Factor de recuperación del capital (FRC) o factor A/P Es aquel que qu e determina el valor anual uniforme equivalente A durante n años de un valor P dado en el año 0, cuando la tasa de interés es i. El diagrama de flujo de caja para este factor es el siguiente: P = dado 0
1
2
i = dado 3
……..
A=?
n-1
n
FACTORES DE PAGO ÚNICO (P/A y A/P) Determinación del Factor A/P De la ecuación (3) obtenida anteriormente despejar A en términos de P: n
A=P
i (1 + i) n
(1+i (1 +i)) - 1
El Factor A/P calcula el valor anual unif un ifor orme me equ quiv ival aleente A du durran antte n añ años os de una P dada en el año 0 cuando la tasa de inte in terrés es i.
Las fórmulas de ambos factores se derivan con el valor presente P y la primera cantidad anual uniforme A, con un año (o un periodo) de diferencia. Es decir, el valor presente P siempre debe localizarse un periodo antes de la pr priime merra A.
FACTORES DE PAGO ÚNICO (P/A y A/P) Determinación del Factor A/P Notación, ecuación y funciones para los factores P/A P/A y A/P
FACTORES DE PAGO ÚNICO (P/A y A/P) Ejemplo ¿Cuánto dinero debería ahorrarse hoy para recibir $6.000 anuales durante 9 años, a partir del próximo año, si la tasa de rendimiento es 16 16% % anual? Solución: El diagrama de flujo de caja que se ajusta al factor P/A P/A es: A = $6.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
i = 16%
P = ??
El valor presente es: P = A ( P/A, P/A, 16%, 9 ) =
n
A
(1+i (1 +i)) - 1 i (1 + i)
n
= 600 (4,6065) = $ 27.639,3
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FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Factor de Fondo de Amortización o factor A/F Es aquel que determina la serie de valor anual uniforme A que ser ería ía eq equi uivvale len nte a un val alor or fu futu turro de detter ermi mina nado do F. El diagrama de flujo de caja que se ajusta a este factor es: F = dado
i = dado 0
1
2
3
……..
n-2
n-1
n
A=?
La serie uniforme A se inicia al final del periodo 1 y continúa a lo
FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Factor de Fondo de Amortización o factor A/F Determinación del factor A/F Recuerde que: P=F
n
1 n (1 + i)
A=P
i (1 + i) n
(1+i (1 +i)) - 1
n
Sustituyendo P :
A= F
1
i (1 + i) n
(1 + i)
n
(1+i (1 +i)) - 1
Simplificando esta expresión expresión se obtiene: A= F
i n
(1+i (1 +i)) - 1
Factor A/F
FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Factor de Cantidad Compuesta, Serie Uniforme (FCCSU) o factor F/A. Es aquel que determina el valor futuro F de una serie uniforme A. El diagrama de flujo caja que se ajusta a este factor factor es: F=?
i = dado 0
1
2
3
……..
n-2
n-1
n
A = dado
Nota: La cantidad futura F ocurre durante el mismo periodo que la última A.
FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Factor de Cantidad Compuesta, Serie Uniforme (FCCSU) o factor F/A. Determinación del factor F/A Considerando la expresión obtenida anteriormente: A= F
i n
(1+i (1 +i)) - 1
Y reordenándola se obtiene: n
F= A
(1+i (1 +i)) - 1 i
Factor F/A
FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Factor de Cantidad Compuesta, Serie Uniforme (FCCSU) o factor F/A. Notación, ecuación y funciones para los factores A/F y F/A
FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Ejemplo El presidente de la empresa F&P quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de $1.000.000 cada año durante 8 años, empezando a parti tirr de hoy. El capital de la empresa gana a una tasa de 14% anual. Solución: El diagrama de flujo de caja para esta situación es:
F = ??
i = 14% 0
1
2
3
A
6
7
8
A = $1.000.000
El valor F en 8 años es: F=A ( F/ A,14%,8) =
5
4
n
(1+i (1 +i)) - 1 i
= $1.000.000 (13 ,2328) = $ 13 13.2 .232 32.8 .800 00
FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Ejemplo El presidente de la empresa F&P quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de $1.000.000 cada año durante 8 años, empezando a parti tirr de hoy. El capital de la empresa gana a una tasa de 14% anual. Solución: El diagrama de flujo de caja para esta situación es:
F9 = ??
i = 14% 0
1
2
3
4
5
6
A = $1.000.000
El valor F en 9 años es: ??
7
8
9
FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A) Ejercicios ¿Cuánto dinero necesita depositar Carolina cada año, después de un año a partir de hoy, a una tasa de 5½% anual, para que pueda acumular $6.000 en 7 años?. Solución: $725 ,
7 6
RESUMEN DE FACTORES
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE El modelo de flujo de efectivo de una serie uniforme (A) no es la única aplicación que se puede encontrar en los prob pr oble lema mass de in inge geni nier ería ía ec econ onóm ómic ica. a. Existen también también otros dos modelos de final de periodo muy comunes: FLUJO DE EFECTIVO DE UNA SERIE DE GRADIENTE GRADI ENTE ARITM ARITMÉTIC ÉTICO O
FLUJO DE EF EFEECT CTIV IVO O DE UNA SE SERI RIEE DE GR GRAD ADIE IENT NTEE GEOMÉTRICO
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE Gradiente Aritmético
Es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante durante n periodos de tiempo. La cantidad de aumento o dism di smin inuc ució ión n se de deno nomi mina na GR GRAD ADIE IENT NTE. E. Siempre está constituido por dos componente componentes: s:
a) La ca cant ntid idad ad an anua uall bas base, e, A b) El cambi cambio o aritmé aritmétic tico o const constant ante, e, G (positivo o negativ n egativo) o)
El diagrama de flujo de caja de una serie se rie de gradiente aritmético se muestra a continuación:
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE A1+(n-1)G A1+(n-2)G
A1+2G A1+G A1
0
1
2
3
n-1
n
Diagrama de flujo de caja de gradiente aritmético creciente
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE Ejemplo Una persona compra un automóvil usado con un año de garantía, por lo que durante el primer año sólo debe pagar $150.000 correspondiente a la gasolina y el seguro. A partir del segundo año esta persona debe solventar además las reparaciones, costo que se espera que aumentará cada año en $5 $5.0 .000 00.. ¿Cuál será el diagrama de flujo de efectivo de esta situación para n años? Solución: Considerando que los valores para A y G son $150.000 y $5.000 respectivamente, el diagrama de flujo de caja de serie arit ar itmé méti tica ca se serí ríaa el si sigu guie ient nte: e:
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE 0
2
1
3
n-1
n
$150.000 $150.000 + $5.000 $150.000 + 2 x $5.000
$150.000 + (n-2) x $5.000 $150.000 + (n-1) x $5.000
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE Ignorando la cantidad base, el diagrama de flujo de caja gen ener eral aliz izad ado o de gr grad adie ient ntee ar arit itmé méti tico co cr crec ecie ient ntee es el si sigu guie ient nte: e: 0
1
2
3
n-1
n
G 2G
(n-2) G (n-1) G
El flujo de caja en el año n (FC n) se calcula como:
FCn = Cantidad Base + (n-1) G
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE En este curso se utilizarán tres factores factores para los gradientes aritméticos:
FACTOR P/G
Paraa el Valor Presente Par
FACTOR A/G
Para la Serie Anual
FACTOR F/G
Paraa el Valor Futuro Par
Para derivar estos factores se utilizará el factor de valor presente con pago pa go único úni co (P/F, (P/F, i, n)
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE (P/G, A/G, F/G) Derivación del Factor de Valor Presente de Gradiente Aritmético o Factor P/G. Este factor servirá para determinar el valor presente de la serie de gradiente aritmética sin considerar la cantidad anual base, es decir:
0
1
2
3
4
n-1
n
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE (P/G, A/G, F/G) Según la figura el valor presente P en el año 0 es igual a la sumatoria de los valores presentes de los pagos individuales, donde cada valor se considera como una cant ca ntid idad ad fu futu turra, es de deci cir: r: P = G (P/F, i%, 2) + 2G (P/F, i%, 2) + …. ….+ [(n-2)G ] (P/F, i%, n-1) + [(n-1)G ] (P/F, i%, n)
Factorice esta expresión expresión por G y aplique la fórmula de P/F
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE (P/G, A/G, F/G) Al multiplicar ambos lados de la ecuación (1) por (1+ i)1 se obtiene :
Reste la ecuación 1 de la 2 :
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE (P/G, A/G, F/G) Sustituyendo la fórmula del factor P/A en la ecuación y desp de spej ejan ando do P se ob obti tien enee la sig igu uie ien nte exp xprres esió ión n si simp mplilifi ficcada :
P= G i
n
(1 + i) - 1 n
i(1 + i)
-
n n
(1 + i)
Esta ecuación expresada como una relación de ingeniería económica tiene la siguiente forma :
P = G (P/G ,i , n)
Factor P/G
RECUERDE: G empieza en el periodo 2 y P está en el periodo 0.
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE (P/G, A/G, F/G) El factor P/G P/G se puede expresar de dos formas :
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE (P/G, A/G, F/G) Derivación del Factor de Gradiente Aritmético de una Serie Uniforme o Factor A/G.
Este factor permite determinar la serie anual uniforme equi eq uivval alen entte (A) de un gr graadi dien entte ari ritm tmééti ticco G. Esto se obtiene mediante el producto de:
A = G (P / G, i, n) (A / P, P, i, n)
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE (P/G, A/G, F/G) De la expresión anterior se obtiene la siguiente ecuación:
Esta ecuación expresada como una relación de ingeniería económica tiene la siguiente forma :
A = G (A/G ,i ,n)
Factor A/G
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE (P/G, A/G, F/G) Derivación del Factor de Gradiente Aritmético de una Serie Uniforme o Factor F/G.
Esto se obtiene mediante el producto de:
F = G (P / G, i, n) (F / P, i, n)
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE (P/G, A/G, F/G) Para series de flujos de caja que impliquen gradientes se debe Para tener presente: La cantidad base es la cantidad A de serie uniforme que empieza en el año 1 y se extiende hasta el año n. Su valor presente se simboliza con PA. Para un gradiente creciente, la cantidad gradiente debe agregarse a la cantidad de la serie uniforme. El valor presente es PG. Para un gradiente decreciente, la cantidad gradiente debe restarse a la cantidad de la serie uniforme. El valor presente es -PG.
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE (P/G, A/G, F/G) Por lo tanto, las ecuaciones generales para calcular el valor presente total PT de los gradient gradientes es aritméticos son:
PT = PA + PG
y
PT = PA - PG
Y para las series anuales totales equivalentes:
AT = AA + AG
y
AT = AA - AG
Donde AA = cantidad base anual AT = cantidad anual equivalente de la serie uniforme
FACTORES PARA SERIES GRADIENTE (P/G, A/G, F/G) Ejemplo Considere el siguiente flujo de caja
0
1
2 G = 100/año
Determine el valor presente PT
3
4
5
