1. Uno de los ángulos ángulos complement complementario arios s aumentado aumentado en en igual al otro. ¿Cuánto mide cada ángulo?
π 6 rad es
( 90° − α ) + 30° = α 120° − α = α 2α = 120°
α =
120°
2 α = 60°
2. La difere diferencia ncia de dos dos ángulos ángulos suplement suplementario arios s es complemento del ángulo menor.
3. Dos ángulo ángulos s son comple complementa mentarios, rios, y uno de de ellos ellos es ue el triple del otro. ¿Cuánto mide cada ángulo?
π 3 rad . Hallar el
π 10 rad más
α = 18° + 3( 90° − α ) α = 18° + 270° − 3α 4α = 288°
α =
288°
4 α = 72°
!. ¿Cuánto ¿Cuánto mide cada cada uno de los los ángulos ángulos suplementa suplementarios, rios, si si uitando uitando al π 9 rad y agregándose al mayor, este resulta el menor de ellos triple de lo ue ueda del menor.
(180° − α ) + 20° = 3(α − 20°) 200° − α = 3α − 60° 4α = 260°
α =
260°
4 α = 65°
". Dos ángulos ángulos son son suplementario suplementarios, s, uno de ellos ellos es disminuido disminuido en en π 12 rad para ser agregado al otro, de tal manera ue, #ste nue$o ángulo, es igual a cuatro $eces el resto del primero. ¿Cuánto mide cada ángulo?
(180° − α ) + 15° = 4(α − 15° ) 95° − α = 4α − 60° 5α = 255°
α =
255°
5 α = 51°
%. Hallar Hallar la medida medida del ángulo ángulo ue ue disminuido disminuido en su suplemen suplemento, to, es igual igual al triple de su complemento.
α − (180° − α )
= 3( 90° − α ) 2α − 180° = 270° − 3α 5α = 450° 450° α = 5 α = 90°
&. Uno de los los ángulo ángulos s suplemen suplementario tarios s es los ¿Cuánto mide cada ángulo?
3 5 del otro ángulo.
3
(180° − α ) = α
5 5(180° − α ) = 3α 900° − 5α = 3α 8α = 900°
α =
900°
8 α = 112,5°
4 3 de uno de ellos '. De dos ángulos ángulos comple complementa mentarios, rios, los ellos más la se(ta parte del otro forman un ángulo recto. ¿Cuánto mide cada ángulo? 4 3
1
( 90° − α ) + α = 90° 6 1 α = 90° 6
4 120° − α + 3 7 − α = −30° 6 7α = 180°
α =
180°
7 α = 25,71°
). ¿Cuánto ¿Cuánto mide mide un ángulo ángulo ue ue es igual igual a su su suplemento suplemento? ?
α = 180° − α 2α = 180°
α =
180°
2 α = 90°
4 7 de un ángulo menos la cuarta parte de su suplemento, π 6 rad . ¿Cuánto mide el dan su suplemento, aumentado en
1*.Los
ángulo? 4 7 4
α −
1 4
(180° − α ) = (180° − α ) + 30°
1 α − 45° + α = 210° − α 7 4 4 1 α + α + α = 255° 7 4 51 α = 255° 28 51α = 7140°
α =
7140°
51 α = 140°
π 6 rad menos, ue cuatro 11.Dos $eces la medida de un ángulo es $eces la medida de su complemento. ¿Cuál es la medida del ángulo? 2α + 30° = 4( 90° − α ) 2α = 360° − 30° − 4α 6α = 330°
α =
330°
6 α = 55°
12.¿Cuál es la diferencia entre el suplemento y el complemento de un 3 7 de un ángulo recto? ángulo ue eui$ale eui$ale a los
180° − 3 90° − 90° − 3 90 7 7 = 180° − 90° − = 90°
3 7
90° +
3 7
90°
13.+l dole del complemento de un ángulo más el triple de su suplemento es "**-. Hallar la medida del ángulo. 2( 90° − α ) + 3(180° − α )
= 500° 180° − 2α + 540° − 3α = 500° − 5α = −220° 220° α = 5 α = 44°
1!.Los ángulos , /, 0 son proporcionales a los nmeros 3, " y &. Hallar el ángulo 0 X + Y + Z = 180° Z = 180° − X − Y Z = 180° −
180°
−
180°
3 5 Z = 180° − 60° − 36°
Z = 84° 1".Calcular el $alor de dos ángulos suplementarios, de modo ue, si al untuplo del menor se le disminuye la mitad del mayor, se otiene el π 18 rad . triple del menor, aumentado en
α = 3(180° − α ) + 10° 2 α 900° − 5α − = 540° − 3α + 10° 2 α − 5α − + 3α = 550° − 900° 2 5 − α = −350° 2 5α = 700° 5(180° − α )
α =
−
700°
5 α = 140°
1%.Dos ángulos suplementarios están en la ra4n medidas.
5 4 . Hallar sus
180° − α
=
5
α 4 4(180° − α ) = 5α 720° − 4α = 5α 9α = 720°
α =
720°
9 α = 80°
1&.5i al suplemento del suplemento de un ángulo se le aumenta el complemento del complemento del mismo ángulo, resulta el cuádruplo del complemento del mismo ángulo. Hallar el ángulo. 180° − (180° − α ) + 90° − ( 90° − α )
= 4( 90° − α )
2α = 360° − 4α 6α = 360°
α =
360°
6 α = 60°
1'.La medida de uno de los ángulos de un par de ángulos complementarios, π 20 rad . +ncontrar la es el dole de la medida del otro, más medida de cada ángulo.
α = 2( 90° − α ) + 9° α = 180° − 2α + 9° 3α = 189°
α =
189°
3 α = 63°
5 6 del suplemento de un ángulo y el 1).La diferencia entre los complemento de la mitad del ángulo e(cede en "- al dole del complemento del ángulo. Calcular la medida del ángulo.
5 6
α (180° − α ) − 90° − − 5° = 2( 90° − α )
2
α 5 150° − α − 90° + − 5° = 180° − 2α 6 2 α 5 2α − α + = 125° 6 2 5 α = 125° 3 5α = 375° α =
375°
5 α = 75°
2*.+l duplo del suplemento de un u n ángulo es igual al suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del ángulo. ángulo. Calcular la medida del ángulo. 2(180° − α )
= 180° − [ (180° − α ) − ( 90° − α ) ] 360° − 2α = 180° − 90° 2α = 270° 270° α = 2 α = 135°
∠α con el suplemento de su 21.La suma del complemento de un 3 2 del complemento de un ∠β . 5i ángulo dole, es igual a m∠α − m∠β = 3π 20 rad . Calcular el complemento del ángulo ∠α .
22.Dos ángulos adyacentes complementarios están en la ra4n de 2 a 3. Hallar el $alor del ángulo formado por la isectri del ángulo menor con el lado no comn. 2 α
=
( 90° − α ) 3 3α = 2( 90° − α ) 3α = 180° − 2α 5α = 180°
α =
180°
5 α = 36°
23.La suma del suplemento de un ángulo con el complemento de su ángulo dole es mayor en 11*-, al tercio del ángulo menor con el lado no comn.
(180° − α ) + ( 90° − 2α ) = 270° − 3α −
α + 110° 3
α = +110° 3
10
α = 160° 3 10α = 480° α =
480°
10 α = 48°
2!.5i el suplemento del complemento de un ángulo más el complemento del suplemento de su ángulo dole es igual, al dole del complemento del ángulo. +ncontrar la medida del ángulo. 180° − ( 90° − α ) + 90° − (180° − 2α )
= 2( 90° − α )
3α = 180° − 2α 5α = 180°
α =
180°
5 α = 36°
2".La se(ta parte del suplemento del complemento de un ángulo es igual a la mitad de la cuarta parte del complemento del suplemento de "*-. Hallar la medida del ángulo.
∠ BAC agudo y ∠CAD recto son adyacentes. 2%.Los ángulos Determinar la medida del ángulo formado por las isectrices de los ∠ BAC y ∠ BAD . ángulos 90° − α
2&.
α 2 2 90° − α + α 2 90° 2 45°
+
H ) BD || AE T ) BC ⊥ AC
2∠2 + 2∠1 = 180° 2( ∠1 + ∠2 )
= 180° ∠1 + ∠2 = 90° ∠1 + ∠2 + ∠C = 180° 90° + C = 180° ∠C = 90° ⇒ BC ⊥ AC 2'.+n un ángulo llano BOC y ∠ AOB, ∠ BOC
∠ AOB y
del ángulo
∠ AOD se traan los ángulos adyacentes ∠COD. 5i las isectrices de los ángulos
∠COD forman un ángulo de 13*-. Hallar la medida
∠ BOC BOC .
2).
H ) AE || CD
∠ X = 30° ∠ B = 7π 18rad T ) ∠ A = ?
∠1 = 180° − ∠ B ∠1 = 180° − 70° ∠1 = 110° ∠1 + ∠ X + ∠ A = 180° 110° + 30° + ∠ A = 180° ∠ A = 40° 3*.
H ) BD || CE
∠C = 150° ∠ B = 13π 18 rad T ) ∠ A = ? ∠C + ∠ B + ∠ A = 360° 150° + 130° + ∠ A = 360° ∠ A = 80° 31.
H ) AB || CD
∠ A = 54° T )∠α = ? α = 90° + 54° α = 144° 32.
H ) BA BA || DC BC || DE
∠ B = 3π 4 rad T ) ∠1 = ?
∠ B + ∠C = 180° 135° + ∠C = 180° ∠C = 45° ∠C = ∠1 Opuesto por el vertice ( BC || DE ) ⇒ ∠1 = 45° 33.
T ) ∠ X = ?
30° + ∠1 = 180°
∠1 = 150° 150° + 80° + ∠2 = 360° ∠2 = 130° 130° + 90° + ∠3 = 360° ∠3 = 144° ∠ X + 144° = 180° ∠ X = 40° 3!.
T ) ∠ X = ?
120° + 100° + ∠1 = 360°
∠1 = 140° ∠1 + ∠ X = 180° 40° + ∠ X = 180° ∠ X = 40° 3".
T ) ∠ X = ?
90° + 100° + ∠1 = 360°
∠1 = 170° 10° + ∠2 = 180° ∠2 = 170° ∠1 + ∠2 + ∠ X = 360° 170° + 170° + ∠ X = 360° ∠ X = 20° 3%.
T ) ∠ X = ?
120° + 140° + ∠ X = 360°
∠ X = 100° 3&.
T ) ∠α + ∠β = ?
20° + ∠1 = 180
∠1 = 160° α + 160° + ∠2 = 360° ∠2 = 200° − α 40° + ∠3 = 180° ∠3 = 140° β + 140° + ∠4 = 360° ∠4 = 220° − β ∠2 + ∠4 + 30° = 360° 200° − α + 220° − β + 30° = 360° − α − β = −90° α + β = 90° 3'.
ˆ = 40° H ) α
β ˆ = 120° T ) ∠COA = ?
DOB = β − α ∠ DOB ∠ DOB DOB = 120° − 40° DOB = 80° ∠ DOB DOB = 2∠1 ∠ DOB 2∠1 = 80° ∠1 = 40° ∠2 = 180° − β ∠2 = 180° − 120° ∠2 = 60° α = 180° − ∠2 − ∠ DOB DOB α = 180° − 60° − 80° α = 40° ∠COA = ∠1 + α ∠COA = 40° + 40° ∠COA = 80° 3).
H ) ∠ AOD = 100°
∠COF = 60° T ) ∠ BOE BOE = ?
∠ AOD = 2∠2 + ∠COD 100° = 2∠2 + ∠COD 2∠2 = 100° − ∠COD ∠COD ∠2 = 50° − 2
∠COF = 2∠1 + ∠COD 60° = 2∠1 + ∠COD 2∠1 = 60° − ∠COD ∠COD ∠1 = 30° − 2
∠ BOE BOE = ∠2 + ∠COD + ∠1 ∠COD ∠COD ∠ BOE + ∠COD + 30° − BOE = 50° − 2 BOE = 80° − ∠COD + ∠COD ∠ BOE
2
∠ BOE BOE = 80° !*.
H ) ∠COA = ∠COB
∠ EOB = 56° DOA = ∠ EOF ∠ DOA T ) ∠ DOC DOC = ? !1.
H ) ∠ EOB
= 5π 9 rad
T ) ∠ X = ? 2 ∠ 2 + x + 2 ∠ 1=180 100− x = 90−
x 2
∠ 2+
x 2
+ ∠ 1= 90
100− 90= x −
x 2
10=
100=∠ 2 + x + ∠ 1 2 x − x 2
20= x
!2.
H ) ∠ AOB − ∠ BOC BOC = π 6 rad DOA = ∠ DOC DOC ∠ DOA T ) ∠ X = ?
!3.
H ) ∠ AOE = ∠ EOB DOC ∠ AOD = ∠ DOC ∠ AOC − ∠ AOB = π 9 rad T ) ∠ X = ? ∠ AOC − ∠ AOB =20 ° ∠ AOE + ∠ EOD + ∠ DOB + ∠ BOC −∠ AOE −∠ EOD−∠ DOB =20 ° ∠ BOC = 20° 20 °
2 ∠ 1 + 20 ° = 90° 90 °
∠ DOB + ∠ BOC =45 °
∠ DOB= 45 ° −20 °
∠ EOD + ∠ DOB= 35 °
∠ EOD=35 ° −25° 25 °
∠ EOD= 10 °
!!.
∠ 1= 35 ° ∠ DOB=25 °
H ) ∠ AOC = 5π 18 rad BOD = π 2 rad ∠ BOD T ) POQ = ? !".
H ) ∠ FOB
= ∠ AOF ∠ EOF = 15° BOC − ∠ AOB = 2π 9 rad ∠ BOC
∠ EOF =∠ BOE =15 °
∠ FOE + ∠ EOB =15 ° + 15° 15 °
∠ FOE + ∠ EOB =30 °
∠ BOD + ∠ DOC −∠ AOF − ∠ FOE −∠ EOB = 40° 40 ° ∠ 2 + ∠ 2−30 ° −15 ° −15 ° = 40 °
2 ∠ 2 =100 °
∠ 2=50 °
∠ BOD = ∠ DOC =50 ° ∠ FOD= ∠ FOE + ∠ EOB + ∠ BOD
!%.5e tienen los rayos
∠ FOD=30 ° + 50 °
∠ FOD=80 °
OP , OQ, OT . +l ángulo formado por las
∠ POQ disminuido en ∠ POT y isectrices de los ángulos 3 4 del complemento de un 4°. ∠ X es igual a
∠ X si la diferencia entre los ángulos Determinar el ∠ POQ es igual a 2*-. !&.
∠ POT y
H ) OF bi sec triz ∠COL T ) ∠COE = ? ∠ LOF = ∠ FOC
45 ° + ∠ 3=∠ 3 + 2 ∠ 2
45 =2 ∠ 2
∠ COE =2 ∠ 2
∠ COE =45 °
!'.
H ) ∠ DOC DOC = ∠ DOB DOB
∠ BOE BOE = ∠ EOA ∠ AOF = ∠ FOD ∠ EOL = ∠ LOC T ) ∠ FOL = ?
!).
H ) ∠ DOA DOA
BOC = 2∠ AOB = ∠ BOC BOA ∠COD = 3∠ BOA T ) ∠ POQ = ? ∠ POA = ?
(1) DOA = 90° ( 2) BOC BOC = 90°
= 90° AOB = 45° BOP BOP = POA AOB = POA + BOP BOP AOB = POA + POA AOB = 2 POA 2 POA = 45 POA = 22,5 (3) 2 AOB
"*.
H ) ∠1 = 15° BOC − ∠ AOB = 2π 9 rad ∠ BOC T ) ∠ FOD = ?
AOB + DOA DOA + BOC BOC = 360°
45 + 90° + 90° + COD
= 360°
= 135° 2COQ = 135° COQ = 67,5° POQ = COQ + COB + COP POQ = 67,5° + 90° + 22,5° POQ = 180° COD
(1) ∠ FOB
= 2∠1 ∠ FOB = 2(15°) ∠ FOB = 30° (2)∠ AOB = ∠ AOF + ∠ FOB ∠ AOB = ∠ FOB + ∠ FOB ∠ AOB = 30° + 30° ∠ AOB = 60° (3) ∠ BOC BOC − ∠ AOB = 40° BOC = 40° + ∠ AOB ∠ BOC ∠ BOC BOC = 40° + 60° ∠ BOC BOC = 100° BOC ∠ BOC BOD = (4) ∠ BOD 2
∠ BOD BOD =
100°
2 BOD = 50° ∠ BOD (5) ∠ FOD = ∠ FOB + ∠ BOD BOD
∠ FOD = 30° + 50° ∠ FOD = 80° "1.
H ) ∠ OP OP = 20°
∠ OQ OQ = 80°
∠ AOP ∠ AOQ = BOQ ∠ POB ∠ BOQ T ) ∠ OB OB = ?
OB (1) ∠ AO = ∠ OB
(2)∠ AOP = ∠ AO + ∠ OP
∠ AOP = ∠ OB + 20° (3) ∠ POB = ∠ OB − ∠ OP ∠ POB = ∠ OB − 20° (4) ∠ AOQ = ∠ AO + ∠ OQ OB + 80° ∠ AOQ = ∠ OB OB (5) ∠ AOQ = ∠ OQ − ∠ OB ∠ AOQ = 80° − ∠ OB (6)
∠ AOP ∠ AOQ = ∠ POB ∠ BOQ BOQ
(2)(3)( 4)(5) E! (6)
∠ OB + 20° ∠ OB + 80° = ∠ OB − 20° 80° − ∠ OB ( ∠ OB + 20°) ( 80° − ∠ OB ) = ( ∠ OB + 80° ) ( ∠ OB − 20° ) − ∠ OB 2 + 60∠ OB + 1600° = ∠ OB 2 + 60∠ OB − 1600° 2 2∠ OB = 3200° ∠ OB 2 = 1600° ∠ OB = 1600° ∠ OB = 40°
H ) ∠ AOB = ∠ AOF 3
∠COD = ∠ FOD ∠ AOQ = ∠QOC QOC BOE = ∠ EOD ∠ BOE ∠ AOD = 150° T ) ∠QOE QOE = ?
3
(1) ∠ AOB
= ∠ AOF 3 ⇒ ∠ AOF = 3∠ AOB (2) ∠COD = ∠ FOD 3 ⇒ ∠ FOD = 3∠COD QOC (3) ∠ AOQ = ∠QOC (4) ∠ BOE BOE = ∠ EOD (5) ∠ AOD = 150° (6) ∠ AOD = ∠ AOF + ∠ FOD (1) (2) (5) e" (6) 150° = 3∠ AOB + 3∠COD 150° = 3( ∠ AOB + ∠COD )
∠ AOB + ∠COD =
150°
3 ∠ AOB + ∠COD = 50° (7) ∠ AOB
= ∠ AOQ − ∠ BOQ BOQ (8) ∠COD = ∠ EOD − ∠ EOC (7) # (8) e" (6)
∠ AOQ − ∠ BOQ BOQ + ∠ EOD − ∠ EOC = 50° (3) # (4) e" (6)
∠QOC QOC − ∠ BOQ BOQ + ∠ BOE BOE − ∠ EOC = 50° ( ∠ BOE BOE − ∠ BOQ BOQ ) + ( ∠QOC QOC − ∠ EOC ) = 50° QOE = BOE BOE − ∠ BOQ BOQ (9) ∠QOE (10) ∠QOE QOE = ∠QOC QOC − ∠ EOC (9) # (10) e" (6)
∠QOE QOE + ∠QOE QOE = 50° 2∠QOE QOE = 50° 50° QOE = ∠QOE 2 ∠QOE QOE = 25°
