e t a M
e t a M
e t a
Dirigida Dirigida 7
Matem´ aticas I 1. Considere Considere el sistema sistema
P U
y 2x + y 3x + 4y 4x + 2y
+ + +
2013-1
P U
2z 3z 2z
+ 3t = = = + t =
1 e t a M
resuelva el sistema por eliminaci´on on gaussiana.
1 e t a
Soluci´ on.
Consideremos la matriz aumentada del sistema
0 2 3
1 1 4 4 2
2 3 2 0
3 0 0 1
1 1 1 1
1 1 1 1,
.
A continuaci´on, on, hagamos el proceso de eliminaci´on on gaussiana. gaussiana. 0 2 3 4
1 0 0 0 1 0 0
1 e t a
1 1 4 2
2 3 2 0
1 1 1 1
3/2 2 −5/2 −6
0 3 0 1
3 0 0 1
P U 1/2 1 5/2 0
1/2 1 0 0 0
3/2 2 1 0
0 3 1 7
−→
1/2 1 −1/2 −1 1/2 1 2/5 7/5
−→
2 0 3 4
1 0 0 0 1 0 0
1 1 4 2
3 2 2 0
0 3 0 1
1 1 1 1
1/2 1 0 0
3/2 2 15//2 −15 −6
1/2 1 0 0
3/2 2 1 0
−→
0
P U 0 3
1 e t a M
−→
0 3 1 1
1/2 1 15//2 −3 −15 1 −1
1/2 1 2/5 1/5
El sistema de ecuaciones equivalente es el siguiente x + y/2 y/ 2 + y +
3z/2 z/ 2 2z + 3t z + t t
= = = =
1/2 1 2/5 1/5,
el cual es m´as as sencillo de resolver. Resolviendo obtenemos
−→
e t a M 1 0 3 4
1/2 1 4 2
3/2 2 2 0
0 3 0 1
1/2 1 1 1
1/2 1 0 0 0
3/2 2 1 −6
0 3 1 1
1/2 1 2/5 −1
1 0 0
e t a M
t = 1/5 , z = 1/5 , y = 0 , x = 1/5.
P U
2. Dado Dado a ∈ R , considere el sistema
1 e t a
x + 2y 2x + 3 y 4x + 7 y
3z + 4z − 2z −
P U
= 4 = a = 12 12..
1 e t a M
c 2013 Todos los derechos derechos reservados. reservados. Prohibida su reproducci´ reproducci´ on on parcial o total.
1
e t a M
−
−
e t a
e t a M
e t a M
a )
Resuelva Resuelva el sistema usando el m´etodo etodo de eliminaci´ on on gaussiana gaussiana cuando a cuando a = = 4.
b)
Resuelva Resuelva el sistema usando el m´etodo etodo de eliminaci´ on on gaussiana cuando a cuando a = = 5, en el caso que exista soluci´on. on.
Soluci´ on.
Hecha en clase
P P U U 1 1 e e t e t a t a a M M 3. Use el m´etodo etodo de eliminaci´ on gaussiana para resolver cada uno de los siguientes sistemas on a )
Primer sistema
x + 3y 2x + 6y 2x + 8y
+ z + 9z + 8z
= 1 = 7 = 6.
Soluci´ on.
Consideremos la matriz aumentada del sistema
1 3 1 1 2 6 9 7 2 8 8 6
.
Ahora, hagamos el proceso de eliminaci´on on gaussiana. 1 3 1 1 2 6 9 7 2 8 8 6
10
−→
3 1 1 1 3 2 0 0 1 55//7
P U
1 3 1 1 0 0 7 5 0 2 6 4
−→
10
−→
3 0 22//7 1 0 −1/7 0 0 1 55//7
Por lo tanto,
1 e t a
b)
1 e t a
Segundo sistema
x = 5/7 y = −1/7 z = 5/7
Soluci´ on.
y 2y 3y y
+ z + z + 3z
10
+ t + t + 2t − t
= = = =
0 1 −1
3,
Consideremos la matriz aumentada del sistema
P U
1 1 3 0
1 2 3 1
0 1 1 3
1 0 1 1 2 −1 −1 3
1 e t a M 2
−→
0 0 55//7 1 0 −1/7 0 0 1 55//7
P U −→
1 e t a M x + x + 3x +
1 3 1 1 0 2 6 4 0 0 7 5
e t a M
.
P U
e t a M
e t a
e t a M
Ahora, hagamos el proceso de eliminaci´ eliminaci´ on on gaussiana.
1 e t a
1 1 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
1 2 3 1
0 1 0 1 1 1 1 2 −1 3 −1 3
1 1 0 0
0 1 0 1 0 1 2 −1 2 1 −1 −1
1 1 0 0
0 1 1 − 0
P U
1 0 0 1 1/2 1 1 4 0 2 0 2 0 3
− 0 0 − 1 0 0 1 0 0 0 1 4
Por lo tanto,
−→
1 1 0 1
0 1 1 3
1 0 0 1 −1 −1 −1 3
−→
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1 −1/2 1 −1 −1
1 0 0
1 1 0 0 0
0 0 −4 1 0 1 1 0 3 0 1 4
= = = =
−→
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
P U
1 e t a M −→
x y z t
P U
1 0 0 0
−→
−→
−2 −2
3 4.
P U
e t a M
1 1 1 0
0 1 0 1 0 1 3 −1 3 1 −1 −1
1 1 0 0
0 1 0 1 0 1 1 −1/2 1 0 −1/2 −2
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
3
−4 −2
−→
−→
−→
e t a M 4
4. Una f´ abrica abrica posee tres m´aquinas A aquinas A,, B y C , C , las que trabajan en un d´ıa durante un m´ aximo aximo de 15, 22 y 23 horas, respectivamen respectivamente. te. La f´ abrica abrica produce produ ce tres t res art´ıculos, ıculos, P 1 , P 2 y P 3 , para lo cual hace uso de las tres m´ aquinas. aquinas. La producci´on on de una unidad del art´ art´ıculo P ıculo P 1 requiere del uso de 1 hora de A, 2 horas de B de B y 1 hora de C . La producci´on on de una unidad del art´ art´ıculo P ıculo P 2 requiere del uso de 2 hora de A, 2 horas de B de B y 3 horas de C . C . Mientras que en la producci´on on de una unidad de P de P 3 se usa 1 hora de A, 2 horas de B y 2 horas de C . Si las m´ aquinas aquinas se usan al m´aximo aximo de su tiempo en un d´ıa, encontrar el n´ umero umero de unidades de cada art´ art´ıculo que es posible producir en dicho d´ıa. ıa.
1 e t a
Soluci´ on.
Hecha en clase
1 e t a M
e t a M
5. El n´ umero total de propietarios en los distritos A umero distritos A,, B y B y C C de de Lima es de 140 000. Ellos (los propietario propietarios) s) deben pagar anualmente anualmente dos impuestos impuestos P 1 y P 2 . El impuesto P impuesto P 1 var´ıa seg se gun u ´ n el distrito, 7000 soles en A, 6000 soles en B , y 8000 soles en C . Del mismo modo el impuesto P 2 es de 5000, 2000 y 3000 soles en A en A,, B y C , C , respectivamente. Si en total por el impuesto P impuesto P 1 se recauda 1 000 000 000 soles, y por el impuesto P impuesto P 2 se recauda 460 000 000 soles, entonces halle el n´umero de propietarios en cada distrito. Soluci´ on.
De acuerdo a los datos, tenemos que
1 e t a
P U
Distrito A B C
P U
tipo de impuestos P 1 P 2 7000 500 0 6000 200 0 8000 3 00 0
1 e t a M 3
e t a M
e t a
e t a M
e t a M
Sean
x el n´ umero de propietarios en el distrito A, umero distrito A,
y el n´ umero de propietarios en el distrito B umero distrito B , z el n´ umero de propietarios en el distrito C. umero
Dado que en total, entre los tres distritos, se tienen 140 000 propietarios, tenemos que
P U
x + y + y + + z z = = 140 00 0000.
P U
Puesto que se tienen x tienen x propietarios propietarios en A en A,, y propietarios y propietarios en B en B,, y z en z en C C ,, el total a pagar por el impuesto P 1 es 7000x 7000 x + 6000y 6000y + 8000z 8000z = 1000000000, 1000000000 , y por el impuesto P impuesto P 2 es
1 e t a
1 e t a M
e t a M
5000x 5000 x + 2000y 2000y + 3000z 3000z = 460 460 000000 000000..
De este modo, obtenemos el sistema de ecuaciones x + y 7x + 6y 5x + 2y
+ z = + 8z = + 3z =
140 00 0 1 0 00 00 0 00 00 460 00 0 .
Resolviendo el sistema obtenemos x = 40 00 000, 0, y y = 40000 y z y z = 60000. En efecto, la matriz aumentada del sistema es 1 7 5
1 1 140 00 0 00 6 8 1 00 000 00 0 00 2 3 460 00 0 00
Ahora, hagamos el proceso de eliminaci´on on gaussiana.
1 e t a
P U −→
−→
Por lo tanto
1 7 5 1 0 0 1 0
1 1 140 00000 6 8 1 00 000 00 0 00 2 3 460 00000
−→
1 0 0 1 0 0 1 0
1 −1 0 −
−→
−
1 0 1 0 0 0 1 60 00000
−→
x = y = z =
P U
1 1 1 40 00 0 1 20 0 00 −1 2400 000 −3 −2 −24
1 e t a M 1 140 00 0 1 20 00 0 5 30 3000 00 0000 80 00000 40 00000
.
1 1 140 00 000 1 −1 −20 00 0000 0 1 60 00 0
0 1 0 0
0 40 00000 0 40 00000 1 60 00000
40 0 00 00 40 0 00 00 60 0 00 00.
P U
−→
e t a M −→
6. Resuelv Resuelvaa el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones que aparece en el ejercicio ejercicio anterior usando usando la Regla de Cramer.
P U
Soluci´ on.
El sistema que aparece en el ejercicio anterior es el siguiente
1 e t a
1 e t a M x + y 7x + 6y 5x + 2y
+ z = + 8z = + 3z = 4
140 00 0 1 0 00 00 0 00 00 460 00 0 .
e t a M
e t a
e t a M
e t a M
Matricialmente, tal sistema equivale a
1 1 7 6 5 2
1 8 3
x y z
=
140000 1000000 460000
De la Regla de Cramer, tenemos que
140 00000 1 00000 00000 460 00000 x =
P U
|A|
donde
1 e t a
1 1 6 8 2 3
,
1 57 y =
1 7 5
P U
1 e t a
1 7 5
1 1 6 8 2 3
1 6 2
P U
1 140 00000 6 1 00000 00000 2 460 00000 , |A|
1 8 3
= 140 00 0
6 2
= 1
8 3
1 8
1 6 2 3
−1
7 5
8 3
7 6 5 2
+1
= (18 − 16) − (21 − 40) + (14 − 30) = 2 − (−19) + (−16) = 5, 5,
62 83 1 1 04600000 00000000 83 + 1 1 04600000 00000000 62 −
P U 1 e e t t a a M M
= 140 140 000( 000(18 18 − 16) − (3000000 − 3680000)+ (2000000 − 2760000) =
140 00000 1 1 00000 00000 8 460 00000 3
1 7 5 z =
1 e e t t a a M M 1 A = 7 5
Calculemos los determinantes requeridos,
140 00000 1 00000 00000 460 00000
140 00000 1 1 00000 00000 8 460 00000 3 , |A|
280 00 000
= 1
+
680 00 0 00 −
1 0 00 00 0 00 00 8 460 000 3
76 7600 000 = 200000 200000,,
− 140000
7 5
8 3
+1
7 1 0 00 00 0 00 00 5 460 00 000
= (3 000 000 − 3680000) − 140 000 000(21 (21 − 40 40)) + (3 220000 − 5000000) = 00 + 2 6 60 60 0 00 00 − 1 78 7800 000 = 200000 200000.. −680 0 00
1 1 140 00000 7 6 1 00000 00000 5 2 460 00000
= 1
6 1 0 00 00 0 00 00 2 460 00 0 00
−1
7 1 0 00 00 0 00 00 5 460 00000
+ 140 140 000
7 5
6 2
= (2 760 000 − 2000000) − (3220000 − 5 000000) + 140000(14 140000(14 − 30) = 760 00 000 + 1 78 780 00 000 − 2 24 2400 00 0000 = 30 3000 000 000..
P P U U 1 1 e e t e t a t a a M M Por lo tanto,
x =
7.
a )
200 00 0000 = 40 00 0000, 5
Sean las matrices A matrices A =
1
y =
200000 = 40 00000 5
1 10 9
1×4
5
y B =
2
y
z =
1 3
1
300 00 0000 = 60 00 0000. 5
1×4
. Calcule det(A det(AT B ).
e t a
e t a M
Soluci´ on.
Calculemos primero A primero A T B ,
1 1 10 9
AT B =
2 1
·
3 1
1×4
4×1
2 2 = 20
1 1 10 18 9
3 3 30 27
1 1 10 9
P U
e t a M .
4×4
Sumando a la primera fila la segunda fila multiplicada por − 1, obtenemos
1 e t a
P U
0 2 C = 20
0 1 10 18 9
1 e t a M
Sean c Sean c ∈ R y A = [ai j ]3
×3
Soluci´ on.
Tenemos que
.
4×4
P U det(c det(c · A · A))
a )
ca1 1 ca2 1 ca3 1
ca caca a c a a
11
=
21 31
11
=
3
ca1 2 ca2 2 ca3 2
ca1 3 ca2 3 ca3 3
a1 2 a2 2 a3 2
a1 3 a2 3 a3 3
31
×3
12
21 31
3
.
3×3
P U
a a = c caca caca = c det(A det(A). 11
22 32
a1 3 ca2 3 ca3 3
a = c a ca
, definida por ai j =
Soluci´ on.
ca1 3 ca2 3 ca3 3
1 e t a M 21
Sea la matriz A matriz A = = [ai j ]3
Hallar det(A det(A).
ca1 2 ca2 2 ca3 2
3 − 2ai j i2 + j −ai j
si i si i = j, ji ∈ Z si i si i = j, ji ∈ / Z si i si i = j = j
De la definici´on on de A de A,, tenemos
aa = = aa a = a a = 1 + 2 aa = = 12 ++ 33 aa = = 33 22aa a = 3 + 2 11
1 e t a
e t a M
. Pruebe que det(c det( c · A · A)) = c 3 det(A det(A).
c · A · A = =
Por lo tanto
1 e t a
0 1 10 9
Luego, por un teorema hecho en clase, det(A det( AT B ) = det(C det(C ) = 0; donde la ultima u ´ ltima igualdad se da desarrollando la expansi´on on del determinante de C en en la primera fila.
b)
8.
0 3 30 27
P U
22 33
− − −
11 22 33
2
12
2
13
2
−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
1 e t a M 23
21 31
− − 2
32
6
21 31
a1 1 = 0 a2 2 = 0 a3 3 = 0 a1 2 = 3 a1 3 = 4 a2 3 = 7 a2 1 = 1 a3 1 = 1 a3 2 = 11
P U
11
2
21 31
a1 2 a2 2 ca3 2
a1 3 a2 3 ca3 3
e t a M e t a M
e t a
Por tanto,
e t a M 0 3 4 A = 1 0 7 1 11 0
As´ As´ı, desarro d esarrollando llando el determin d eterminante ante de d e A en la primera fila det(A det(A)
P U
b)
1 e t a 1 e t a 9.
= 0 ·
=
0
0 7 11 0 −
− 3 ·
1 1
3(−7)
7 0 +
1 + 4 ·4 · 1
0 11 4(11) = 65.
P U
e t a M
i . Si A Si A es otra matriz cuadrada de j orden 3 que cumple la igualdad A T B = 3I 3 , determine det(A det(A).
1 e t a M
Sea B Sea B una matriz cuadrada de orden 3 definida por b i j =
Soluci´ on.
e t a M
De la igualdad anterior, tenemos que
det(A det(AT B ) = det(3I 3 )
det(A det(AT )det(B )det(B ) = 33 det(I det(I 3 ) det(A det(A)det(B )det(B ) = 27.
As´ As´ı, para calcular calcula r det(A det( A) s´ olo olo necesitamos necesitamos hallar det(B det(B ). De la definici´on on de B de B , tenemos
P U por ende,
Y entonces
b1 1 = [[1/ [[1/1]] 1]] b1 2 = [[1/ [[1/2]] 2]] b1 3 = [[1/ [[1/3]] 3]] b2 1 = [[2/ [[2/1]] 1]] b2 2 = [[2/ [[2/2]] 2]] b2 3 = [[2/ [[2/3]] 3]] b3 1 = [[3/ [[3/1]] 1]] b3 2 = [[3/ [[3/2]] 2]] b3 3 = [[3/ [[3/3]] 3]]
−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
b1 1 = b1 2 = b1 3 = b2 1 = b2 2 = b2 3 = b3 1 = b3 2 = b3 3 =
1 0 0 2 1 0 3 1 1
P U 1 e e t t a a M M
1 B = 2 3
0 0 1 0 . 1 1
det(B det(B ) = 1.
a )
Dada una matriz cuadrada D cuadrada D de orden n orden n,, diremos que E es es la matriz que D que DE E = = E D = I = I n . Denotaremos a la matriz inversa de D por D por D 1 . Dada una matriz cuadrada A cuadrada A de orden 3, calcule det(2A det(2 A 1 )T , donde
inversa inversa
de D de D si se cumple
−
−
P U
2 −1 0 A = 0 1 2 . 1 −1 1
Soluci´ on.
Hecha en clase.
1 e t a
b)
1 e t a M
P U
e t a M
Sean A, B y M M matrices cuadradas de orden n, tales que det(M det(M )) = 3 y AB = I n . Calcule det(AM det(AMB B ). 7
e t a
10.
Soluci´ on. a )
e t a M
Hecha Hecha en clase clase
Dada la siguiente siguiente matriz triangular triangular inferior inferior
a m n p
A =
P U
0 b q r
0 0 c s
Soluci´ on.
Calculemos det(A det(A), det(A det(A)
1 e t a M
P U
= a|M 1 1 (A)| − 0|M 1 2 (A)| + 0| 0 |M 1 3 (A)| − 0|M 1 4 (A)| b 0 0 = a q c 0 r s d = =
b)
,
0 0 0 d
muestre que det(A det(A) = abcd. abcd.
1 e t a
e t a M
c 0 q a b · 0 · s d r a b(cd s0) = abcd = abcd
0 d
−
+ 0 · 0 ·
q r
c s
−
=
Concluya Concluya que el determinan determinante te de una matriz triangular triangular superior A superior A = = [ai j ]4 al producto de las entradas de la diagonal, a 1 1 a2 2 a3 3 a4 4 . Soluci´ on.
×4
P U
e t a M
a|M 1 1 (A)|
de orden 4 es igual
Por lo visto en clase, sabemos que dada una matriz cuadrada R, R , se tiene que det(R det( R) = det(R det(RT ). Por lo tanto
1 e t a
P U
det(A det(A) = det(AT ) = a1 1 a2 2 a3 3 a4 4 ,
1 e t a M T
donde la ultima u ´ ltima igualdad se puesto que A que A es triangular inferior y por lo visto en el ´ıtem (a).
11. Resolver Resolver el sistema de ecuaciones ecuaciones dado en el ejercicio ejercicio 3. a), x + 3y 2x + 6y 2x + 8y
+ z + 9z + 8z
e t a M
= 1 = 7 = 6,
utilizando la Regla de Cramer.
Soluci´ on.
El sistema sistema se puede expresar matricialmen matricialmente te como
P U
1 2 2
3 1 6 9 8 8
x y z
1 2 2 y =
=
De la Regla de Cramer, tenemos que
1 e t a
1 7 6 x =
3 1 6 9 8 8 , |A|
1 1 7 9 6 8 , |A|
1 e t a M 8
1 7 6
P U 1 2 2 z =
3 1 6 7 8 6 , |A|
e t a M
e t a
donde
e t a M 1 2 2
A =
3 1 6 9 8 8
Calculemos los determinantes requeridos,
1 |A| = 2 2
1 e t a
P U
1 9 8
1 3 =2 1 3 2 8
1 3 1 7 6 9 6 8 8
1 9/2 8
=
= 2 ( 7/2) 12 38 7 6 9 +1
0 0 −7/2 1 3 9/2 2 8 8
= 2 6 9 1 8
8
−
−
P U
7 3 6
8
1 t e a M 1 1 1 2 7 9 2 6 8
= (48 − 72) − 3(56 − 54) + (56 − 36) = (2) + 20 = − 10 10,, −24 − 3(2)
2 +1 2
7 6
1 68 76 3 22 76 + 1 22
6 8
7 = 1 6
9 8
2 −1 2
9 8
P U
12 2
3 1 6 7 8 6
=
−
P U
= (36 − 56) − 3(12 − 14) + (16 − 12) = 10.. −20 − 3(−2) + 4 = − 10
1 e t a M
x =
5 −10 = , −14 7
y =
2 1 = − −14 7
y
z =
+ z + 2z + 2z
= 15 = 22 = 23 23,,
haciendo uso de la regla de Cramer.
Soluci´ on.
e t a M
5 −10 = . −14 7
12. Resolver Resolver el sistema de ecuaciones ecuaciones que aparece en el ejercicio ejercicio 4. x + 2y 2x + 2 y x + 3y
= − 14 14..
6 8
= (56 − 54) − (16 − 18) + (12 − 14) = 2 − (−2) + (−2) = 2. 2.
Por lo tanto,
1 e t a
3 6 8
e t a M
e t a M
El sistema de ecuaciones que aparece en dicho ejercicio es
P U
x + 2y 2x + 2 y x + 3y
+ z + 2z + 2z
Matricialmente se expresa como
1 e t a
1 e t a M 1 2
P U
= 15 = 22 = 23 23..
x 15 1 2 y = 22
2 2 1 3 2
z
9
23
e t a M
e t a
e t a M
e t a M
De la Regla de Cramer, Cramer, tenemos tenemos que
x =
15 2 1 22 2 2 23 3 2 , |A|
1 2 1
y =
donde
1 2 1 z =
15 1 22 2 23 2 , |A|
2 15 2 22 3 23 , |A|
P P U U 1 1 e e t e t a t a a M M 1 A = 2 1
2 1 2 2 3 2
−2
2 1
Calculemos los determinantes requeridos,
1 2 1
1 2 2
2 2 3
15 2 22 2 23 3
1 e t a
P U
1 2 1 1 2 1
Por lo tanto
1 2 2
15 1 22 2 23 2
1 e t a
2 3
2 2
2 2 3
2 2
+1
2 2 1 3
= (4 − 6) − 2(4 − 2) + (6 − 2) −2 − 4 + 4 = − 2, =
2 3
2 2
= =
15(4 − 6) − 2(44 − 46) + (66 − 46) −30 + 4 + 20 = − 6,
22 1 23
2 2
2 1 3
22 23
−
= =
= = =
−6 = 3, 3, −2
+1
22 2 23 3
15
=
−2
22 2 23 2
=
P U
2 15 1
1 e t a M 15 22 23
x =
P U
= 1
2 2
2 +1 1
22 23
2 + 15 1
2 3
(44 − 46) − 15(4 − 2) + (46 − 22) −2 − 30 + 24 = − 8.
2 −2 1
22 23
(46 − 66) − 2(46 − 22) + 15(6 − 2) −20 − 48 + 60 = − 8.
y =
−8 =4 −2
y
1 e t a M 10
z =
−8 = 4. 4. −2
P U
e t a M e t a M