e t a M
e t a M
e t a
Dirigida Dirigida 6
Matem´ aticas I 1.
a )
2013-1
P U Soluci´ on.
1 e t a
Sean A Sean A = A = A m n , B = B = B n p , como (AB (AB))m p es de orden 3, entonces m = m = p p = = 3. Sean C Sean C = = C a b , D = D = Db c , como (CD (CD))a c es de orden 2, entonces a = c = c = = 2. ×
×
1 e t a M ×
×
×
×
e t a M
como BC T = diag(3, diag(3, 1), es decir BC T es de orden 2, pero seg´un un los ordenes de las matrices B y C , tenemos dos cosas: Para que se pueda multiplicar (BC ( BC T ), entonces p = b = b = = 3 T Segundo B Segundo B C n a es de orden 2, entonces n = n = 2. ×
b)
Sea la matriz A matriz A = (ai j )m
n,
×
definida por
P U
si i si i 6 = j, ji ∈ Z si i si i 6 = j, ji ∈ /Z si i si i = j = j
3 − ai j i2 − 2 j −ai j
ai j =
Hallar la matriz A.
P U
Soluci´ on.
Seg´ un un las condiciones:
1 e t a
P U
Si AB y C D son matrices de orden 3 y 2 respectivamente, y BC T = diag(3, diag(3, 1), obtenga las dimensiones de cada matriz.
a = a = a a = =1 aa = = 12 aa = = 33 a = 3 11 22
12 13 23
21
32
A =
c )
Sean
P U
a1 1 = 0 a2 2 = 0 a3 3 = 0 a1 2 = −3 a1 3 = −5 a2 3 = −2 a2 1 = 32 a3 1 = 32 a3 2 = 5
−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
1 e t a M 33
31
Luego la matriz es
−a1 1 −a2 2 −a3 3 2 − 2(2) 2 − 2(3) 2 − 2(3) − a2 1 − a3 1 2 − 2(2)
A =
0
−3
3 2 3 2
0 5
1 2 2 −1
−5 −2
0
P U
y B =
i) Hallar la matriz X X que satisface AX satisface AX + + B B = = I I .
e t a M
1 1 −
0
1
c 2013 Todos los derechos derechos reservad reservados. os. Prohibida Prohibida su reproducci´ reproducci´ on on parcial o total.
1 e t a
1 e t a M 1
e t a M
e t a
Soluci´ on.
Sea X Sea X =
a c
e t a M
b , reemplazando las matrices d 1 2 2 −1
1 e t a
P U
a b 1 −1 1 0 + = c d 0 1 0 1
a + 2c 2c + 1 2a − c
0
b + 2d 2d − 1 1 = 2b − d + 1 0
P U
Resolviendo las ecuaciones tenemos: a = 0, c = 0, b = 15 , d = As´ı 0 15 X = 0 25
1
2 5
1 e e t t a a M M
ii) Hallar la matriz X matriz X que satisface X satisface X A + B + B = = I I . Soluci´ on.
Sea X Sea X =
e t a M
b
a , reemplazando las matrices c d a b c d
1 2 1 −1 1 0 + = 2 −1 0 1 0 1
a + 2b 2b + 1 c + 2d 2d
2a − b − 1 1 = 2c − d + 1 0
0 1
Resolviendo las ecuaciones tenemos: a = 25 , b = − 15 , c = 0, d = 0 As´ı
P U
X =
2 5
0
P U
− 15
0
1 e t a M
2. Sean A Sean A,, B y C matrices C matrices del mismo orden, analice la veracidad de las siguientes afirmaciones, justifique su respuesta.
1 e t a
a )
(A − B )2 = A2 − 2AB + AB + B B 2
Soluci´ on.
Falso, basta con dar un contraejemplo con matrices de orden 2. 1 2 2 4 Sean las matrices matrices A A = B = , entonces 3 1 1 0 7 4 −3 0 (A − B )2 = y A 2 − 2AB + AB + B B 2 = −6 −13 0 −3
b)
(A − B )(A )(A + B + B)) = A2 − B 2 Soluci´ on.
P U
e t a M
Falso, basta con dar un contraejemplo con matrices de orden 2. 1 2 2 4 Sean las matrices matrices A A = B = , entonces 3 1 1 0 −11 −8 −1 −4 (A − B )(A )(A + B + B)) = y A2 − B 2 = 10 13 4 3
1 e t a
P U
c )
1 e t a M
Si AB Si AB = AC, necesariamente B necesariamente B = C = C
2
e t a M
e t a
Soluci´ on.
Se hizo en clase.
d )
e t a M
e t a M
Si AB Si AB = 0, entonces A entonces A = 0 o B = 0 Soluci´ on.
P U
Falso, basta con dar un contraejemplo con matrices de orden 2. 1 2 2 2 Sean las matrices matrices A A = B = , entonces 0 0 −1 −1 AB = AB = 0, sin embargo A = = 0. 6 0 y B 6
1 e t a
P U
1 e t a M
3. Decimos que una matriz cuadrada A es sim´ etrica etrica si y solo si AT = A y antisim´ etrica etrica si y solo si T A = −A a )
Soluci´ on.
Debemos Debemos probar probar que
(I −
Partimos de
En efecto
1 e t a
1 1 BB T )T = I − BB T n n (I −
P U
b)
(I − n1 BB T )T
1 BB T )T n
= I T − ( n1 BB T )T = I − n1 (BB T )T = I − n1 (B T )T (B T ) = I − n1 BB T
P U
Si A Si A es una matriz cuadrada, probar que A + A + A AT es sim´ si m´etric et ricaa y A − AT es antisim´ anti sim´etrica. etri ca.
Soluci´ on.
Se hizo en clase.
c )
e t a M
Sea una matriz B matriz B de orden n orden n × m, demostrar m, demostrar que A = I = I − n1 BB T es sim´ si m´etric etr ica. a.
1 e t a M
e t a M
Demostrar Demostrar que toda matriz matriz cuadrada cuadrada se puede escribir escribir como la suma de una matriz sim´ etrica etrica y una antisim´ anti sim´etrica. etr ica. Soluci´ on.
Se hizo en clase.
4. Si A Si A y B son dos matrices del mismo orden, decimos que A que A y B conmutan si y solo si AB = BA. B A. a )
1 e t a
Si A es una matriz cuadrada de orden n y B = aA + con a, b ∈ aA + bI bI , con a, conmutan.
P U
1 e t a M 3
P U
R,
demostrar que A y B
e t a M
e t a
Soluci´ on.
e t a M
e t a M
Debemos Debemos mostrar mostrar que
AB = AB = B BA A
Partimos de
AB
En efecto
1 e t a
P U
b)
AB
1 e t a M
Soluci´ on.
Debemos Debemos mostrar mostrar que
AB = AB = BA B A ←→ (A − kI ) kI ).(B − kI ) kI ) = (B − kI ) kI ).(A − kI ) En efecto
P U
c )
e t a M
Dadas A Dadas A y B dos matrices del mismo orden, demostrar que A que A y B conmutan si y solo si (A (A − kI ) y (B − kI ) kI ) conmutan, conmutan, donde k donde k ∈ R
(A − kI ) kI ).(B − kI ) = (B − kI ) kI ).(A − kI ) kI ) (A − kI ) kI ).(B − kI ) = (B − kI ) kI ).(A − kI ) kI ) − − − − (A kI ) kI ).(B kI ) = (B kI ) kI ).(A kI ) kI ) (A − kI ) kI ).(B − kI ) = (B ( B − kI ) kI ).(A − kI ) kI )
1 e t a
P U
= A(aA + aA + bI bI ) = A.aA + A.aA + A.bI A.bI = aA.A + aA.A + bA.I bA.I = aA.A + aA.A + bI.A bI.A = (aA + aA + bI bI )A = BA
←→ ←→ ←→ ←→
AB − kAI − kI B + k + k 2 I .I = BA B A − kBI − kI A + k + k 2 I .I AB − kAI − kI B = BA B A − kBI − kI A − − AB kA kB = kB = BA B A − kB − kA AB = AB = BA B A
P U
Dadas A y B dos matrices antisim´ etricas, etricas, demostrar que AB es sim´ etrica etrica si y solo si A y B conmutan. Soluci´ on.
1 e t a M
e t a M
Debemos mostrar que (AB ( AB))T = AB ←→ AB = AB = B BA A, sabiendo que A que A T = −A y B T = −B En efecto
(AB) AB )T = AB ←→ ←→ B T .AT = AB T ←→ −B. − A = AB (AB) AB ) = AB ←→ = AB T (AB) AB ) = AB ←→ BA = AB AB ←→ BA = T (AB) AB ) = AB ←→ AB = BA B A ←→ AB =
5. Decimos Decimos que una matriz matriz A es involutiva si y solo si A si A 2 = I e I e idempotente si y solo si A si A 2 = A. a )
Usando Usando inducci´ inducci´ on on demostrar que A que A es idempotente si y solo si A si A n = A, ∀ n ∈ N.
P U Soluci´ on.
Debemos mostrar
1 e t a
Es decir dos partes
P U
A2 = A ←→ An = A, ∀ n ∈ N
1 e t a M
i. A2 = A −→ An = A, ∀ n ∈ N ii. An = A, ∀ n ∈ N −→ A2 = A
4
e t a M
e t a
e t a M
e t a M
Veamos
i. Para Para n=1, es evidente evidente que A1 = A Para n=k, se asume como v´alido A alido A k = A Para n=k+1, demostremos A demostremos A k+1 = A. A . En efecto
Ak+1 = Ak .A, .A, como A como A k = A, A, entonces A entonces A k+1 = A.A = A.A = A A 2 = A ii. como A como A n = A, ∀ n ∈ N, en particular para n = n = 2 tenemos A tenemos A 2 = A
P U
b)
1 e t a 6.
1 e t a
1 e t a M
Soluci´ on.
e t a M
Debemos mostrar ( 12 (I + A + A)) ))2 = 12 (I + A + A), ), sabiendo que A que A 2 = I . En efecto ( 12 (I + A + A)) ))2 = ( 12 (I + A + A)) ))..( 12 (I + A + A)) )) 1 = (I + A + A)( )(I I + A + A)) 4 1 = + 2A 2 A + A + A2 ) 4 (I + 1 = + 2A + I + I ) 4 (I + 1 = (2I (2 I + + 2A 2 A) 4 1 = + A)) 2 (I + A
An´ alogamente debemos mostrar ( 12 (I − A))2 = 12 (I − A), sabiendo que A alogamente que A 2 = I . En efecto ( 12 (I − A))2 = ( 12 (I − A)). )).( 12 (I − A)) 1 = (I − A)(I )(I − A) 4 1 = (I − 2A + A + A2 ) 4 1 = (I − 2A + I + I ) 4 1 = (2I (2I − 2A) 4 1 = (I − A) 2
P U
a )
1 e t a
P U
Si A Si A es una matriz involutiva, demostrar que 12 (I + A + A)) y 12 (I − A) son idempotentes
P U
1 e e t t a a M M
0 . Demostrar que esta igualdad 1 es v´alida alida para todo n´ umero u mero natural usando inducci´on on matem´ atica. atica.
Calcular S n
= A + A + A A2
Soluci´ on.
Tenemos que:
+ A3
A.A = A.A = A A 2 = Luego
P U
+ . . . + A + A , ∀ n ∈
N,
si A =
1
−1
1 0 1 0 1 0 1 0 ; A 3 = ; A4 = ; . . . ; An = −2 1 −3 1 −4 1 −n 1
S n =
S n =
n
1 0 1 + −1 1 −2
0 1 0 1 0 + + . . . + −3 1 −n 1 1
n 1 + 1 + . + . . . + 1 0 + 0 + . . . + 0 = n(n+1) −1 − 2 − . . . − n 1 + 1 + . . . + 1 − 2
P U
Ahora mostraremos mostraremos esa igualdad igualdad por inducci´ inducci´ on. on. 1 0 1 0 Para n Para n = = 1, S 1, S 1 = = , eso es v´alido alido pues S pues S 1 = A 1(1+1) −1 1 1 − 2 k 0 Para n Para n = = k k,, se asume que S que S k = k(k+1) − 2 k
1 e t a M
5
0 n
e t a M
e t a
e t a M
0 Para n Para n = = k k + + 1, debemos mostrar que S k+1 = (k+1)( k+2) k + 1 − 2 k 0 k + 1 1 0 En efecto S efecto S k+1 = S k + A + Ak+1 = + = k(k+1) (k+1)(k+2) −(k + 1) 1 − 2 − k 2
b)
k + 1
P U
1 e t a M A(I ± A)k+1 ± A)
n,
×
= A(I ± A)k .(I ± A) ± A) ± A) = A.( A.(I ± A) ± A) = A ± A2 = A ± 0 = A
n
ii.
Pa
= 1,
P U ij
∀ i ∈ {1, . . . , n}
j =1
P U
0.1 0.4 0.5 0.4 0.4 0.2 Sean las matrices matrices M M = 0.2 0.7 0.1 , N = 0.8 0.05 0.0.05 0.1 0.6 0.3 0.90.01.01 0.04.09 0.5 0.31 00.550 0.15 R = 0.4 0.4 0.2 , T = 0.2 0.7 0.1 S = S = 0 1 0 0
1
0
1 e t a M 0.9 0.02 0.09
0
−
0 1
a) Diga cuales son de Markov Soluci´ on.
e t a M
se dice que A es una matriz de Markov si cumple las siguientes
∀ i ∈ {1, . . . , n} y ∀ j ∈ {1, . . . , m}
i. 0 ≤ ai j ≤ 1,
1 e t a
P U
Para n Para n = = 1, A 1, A((I ± A)1 = A( A(I ± A) = A ± A2 = A ± 0 = A ± A) ± A) Para n Para n = = k k,, se asume que se cumple A( A (I ± A)k = A ± A) Para n Para n = = k k + + 1, debemos mostrar A mostrar A((I ± A)k+1 = A ± A) En efecto
7. 7.1 7.1 Sea Sea una una mat matri rizz A = (ai j )n condiciones:
1 e t a
0 k + 1
Sea una matriz A, tal que A2 = 0, demuestre usando inducci´on on matem´ atica atica que A(I ± A) A)n = A, ∀ n ∈ N. Soluci´ on.
1 e t a
e t a M
e t a M
Seg´ un las condiciones dadas arriba, para que una matriz sea de Markov, se debe cumplir: De un la condici´on on (i.) que todos los elementos de la matriz deben ser n´umeros umeros mayores o iguales que cero y a la vez menores o iguales que la unidad, de la condici´on (ii.) se debe cumplir que la suma de los elementos de cada fila es igual a la uno. Seg´ un un ese an´alisis alisis tenemos que:
M es de Markov , pues todos sus elementos son n´ umeros mayores o iguales que cero y umeros a la vez menores o iguales que la unidad, y tambi´ en en cumple que la suma de los elementos de cada fila es igual a la uno. N no es de Markov , pues tiene al elemento -0.15, que es negativo. R es de Markov, pues todos sus elementos son n´umeros umeros mayores o iguales que cero y a la vez menores menores o iguales iguales que la unidad, unidad, y tambi´ tambi´ en en cumple que la suma de los elementos elementos de cada fila es igual a la uno. T no es de Markov , pues en la tercera fila notemos que 0. 0 .9 + 0.02+0 02+0..09 = 1. 1.01 es decir la suma es mayor que la uno.
P U
1 e t a M 6
P U
e t a M
e t a M
e t a M
e t a
S es de Markov, pues todos sus elementos son n´ umeros mayores o iguales que cero y a umeros la vez menores menores o iguales iguales que la unidad, unidad, y tambi´ tambi´ en en cumple que la suma de los elementos elementos de cada fila es igual a la uno.
b) Halle M Halle M R, y R, y analice an alice si tambi´en en es e s de d e Marcov. Mar cov. Soluci´ on.
0.1 M.R = M.R = 0.2
P U
0.4 0.5 0.1 0.6 0.3 0.17 0.72 0.11 0.7 0.1 . 0.4 0.4 0.2 = 0.3 0.5 0.2 0.9 0.01 0.09 0 1 0 0.094 0.634 0.272 y se nota que cumple con las condiciones que implican que M R es de Markov.
P U
1 P e t P aP M P
7.2 Si A Si A y B son matrices de Markov, probar que AB tambi´ AB tambi´en en es una u na matriz de Markov.
1 e t a
Soluci´ on.
e t a M
Deseamos probar que AB es de Markov, es decir debemos probar dos condiciones,primero probaremos la condici´on on (ii.) es decir probemos que la suma de los elementos de cada fila es igual a uno. n
ii. Sea C = AB ←→ [ci j ] =
n
ai k bk j . Luego Luego ∀ i se tiene tiene
j =1
k=1
n
n
P (a P b ), P b = 1 entonces pero ik
kj
j =1
k=1
n
kj
j =1
n
Pc
n
ci j =
j =1
ai k = 1
k=1
n
ij
=
n
P(P a
i k bk j )
=
j =1 k =1
i. Ahora probaremo probaremoss que cada elemento elemento de la matriz C matriz C = AB, AB , es un n´umero umero mayor o igual que cero y a la vez menor o igual que la unidad n
C = AB ←→ [ci j ] =
P P U
ai k bk j
i, j = 1, 2, . . . , n
k=1
P U
de inmediato 0 ≤ ci j , ya que ai j ≥ 0 y b i j ≥ 0 ∀i, ∀ j
Para probar c probar c i j ≤ 1, usemos la condici´on on (ii.) ya probada.
1 e t a
n
de (ii.) sabemos
1 e t a M ij
ci j = 1. Finalmente c Finalmente c i j ≤ 1.
j =1
n
= 1, ∀ i y como ya se prob´o 0 ≤ ci j ∀i, ∀ j, j , entonces c entonces c i j ≤
j =1
n
pero
Pc
as´ı: 0 ≤ ci j ≤ 1 Por tanto AB tanto AB es de Markov.
Pc
i j , ∀
i,
j =1
e t a M
8. En la siguient siguientee matriz P matriz P ,, p ij es la probabilidad que una persona de estatura i tenga i tenga un hijo de estatura j (Se j (Se identifica 1-alto, 2-medio, 3-bajo) 0.7 0.2 P = 0.25 0.6 0.2 0.3
0.1 0.15 0.5
Si P Si P n representa la informaci´on on despu´ des pu´es es de n de n generaciones, generaciones, hallar la probabilidad que una persona alta tenga un nieto bajo.
P U
Soluci´ on.
P U
Debemos hallar P hallar P 2 ya que se trata de la segunda generaci´on: on:
1 e t a
0 .7 P = 0.25 2
0 .2
1 e t a M 0.2 0.6 0.3
0 .7 0.1 0.15 0.25 0.5
0.2 0 .6 0.3
0 .2
7
0.560 0.1 0.15 = 0.355 0.5
0.290 0.150 0.455 0.190 0.315 0.370 0.315
e t a M
e t a
e t a M
e t a M
En esta matriz matriz ubicamos ubicamos el elemento elemento de la fila 1 (persona (persona alta) y columna columna 3 (descendie (descendiente nte alto), alto), para concluir que la probabilidad que una persona alta tenga un nieto bajo es 0,150. 9. Una empresa empresa utiliza tres tipos de materias primas primas M 1 , M 2 y M 3 en la elaboraci´on on de dos productos P 1 y P 2 . El n´ umero umero de unidades de M 1 , M 2 y M 3 usados por cada cantidad de P 1 son 3, 2 y 4, respectivamente y por cada unidad de P 2 son 4, 1 y 3, respectivamente. Suponga que la empresa produce 20 unidades de P de P 1 y 30 unidades de P de P 2 a la semana. Expresar las respuestas de las siguientes preguntas como producto de matrices.
P U
P U
a )
¿Cu´al al es el consumo semanal de las materias primas?. b ) Si los costos por unidad (en soles) para M 1 , M 2 y M 3 son 6, 10 y 12, respectivamente, ¿Cu´ ales ales son los costos de las materias primas por unidad de P de P 1 y P 2 ?. c )
1 e t a M
¿Cu´al al es la cantidad total monetaria gastada en materias primas a la semana de producci´on on de P 1 y P 2 ?
1 e t a Soluci´ on.
e t a M
Seg´ un los datos tenemos tres matrices: la matriz que relaciona el el n´umero un umero de unidades de M de M 1 , M 2 y 3 2 4 M 3 usados por cada cantidad de P 1 y P 2 es A = , la matriz de unidades de P 1 y unidades 4 1 3 de P 2 a la semana es B = 20 30 y la matriz costos por unidad (en soles) para M 1 , M 2 y M 3 es 6 C = 10 , entonces 12
a )
BA = BA = 180 70 170
b)
AC =
c )
BAC = 3820
86 70
P U
P U
10. Los mensajes secretos pueden encriptarse en una matriz, por medio de un c´odigo odigo y una matriz de codificaci´on. on. Suponga que se tiene el siguiente c´odigo: odigo:
1 e t a
a 1 n 14
Sea C Sea C =
1 1 −
1 e t a M b 2
c 3
d 4
e 5
f 6
g 7
h 8
i 9
j k l m 1 0 11 12 13 10
o 15
p 16
q 17
r s t u v w x y z 18 19 20 21 22 23 24 25 26
e t a M
, la matriz de codificaci´on. on. Entonces es posible codificar un mensaje tomando cada dos 3 1 letras y convertirlas a sus n´umeros umeros correspondientes para crear una matriz de 2 × 1 y luego multiplicar cada matriz por C , y finalmente escribir ese producto de matrices como columna de una matriz, que ya ser´ıa ıa el e l mensa men saje je encriptad en criptado. o. ¿Cu´ ¿ Cu´al al es el mensaje que tiene la siguiente matriz? 11
W =
P U
5
37 79 79
−14
−3
12 15 −2
34
51
40 81 81
Soluci´ on.
P U 54
Seg´ un lo indicado para encontrar el mensaje debemos resolver las ecuaciones C X = un
1 e t a
X =
1 e t a M
α es la matriz que nos dar´a cada par de letras del mensaje y β
8
w 1j
w2j
, donde
w1j es cada columna de W w2j
e t a M
e t a
Veamos
e t a M
1
−1
3
1
1
−1
3
1
α w11 1 −→ = β w21 3
−1
w12 1 α = −→ β w22 3
−1
1
1
α 11 −→ = β 37
= 12 = l = l
5 α = −→ β 79
= 21 = u = u
α β = = 1 = a
α β = = 16 = p = p
e t a M
P P U U 1 1 e e t t e a t a a M M 1 1 w 1 1 14 −
3
1
−
α 13 = −→ β w23 3
− α = β 34
1
−→
α = 5 = e β = = 19 = s = s
1 1 w 1 1 3 −
α 14 = −→ β w24 3
−
1 −1 3 1
α w 1 = 15 −→ w25 3 β
−1
1 −1 3 1
α w 1 = 16 −→ w26 3 β
−1
3
1
1 −1 3 1
α − = β 51
1
1
1
α w17 1 −→ = β w27 3
−1
1
−→
α = 12 = l = l β = = 15 = o = o
α 12 = −→ 40 β
α = 13 = m = m = 1 = a β =
α 15 −→ = 81 β
α = 24 = x = x β = 9 = i
−2 α −→ = β 54
α = 13 = m = m β = = 15 = o = o
aximo aximo ”. Finalmente el mensaje es “ la up es lo m´
11. Resolver Resolver el sistema sistema para X para X , Y Y de orden 2,
P P U U 1 1 e e t e t a t a a M M A8 X − 2Y T T X + (AT )n Y Si
A =
3
= BA n = B T
2 −2
−3
,
y B =
n∈N
0
−1
1 0
Soluci´ on.
Notemos que
3 2 = A −3 −2
A2 =
luego A luego A es idempotente y se cumplen A cumplen A n = A, (AT )n = (An )T = A T As´ı: AX − 2Y T = BA X T
+
AT Y
(1)
= B T
(2)
trasponiendo (2 (2) se obtiene:
P U
X + Y + Y T A = B
reemplazando en (1 ( 1)
1 e t a
P U
−→ X = B − Y T A
A(B − Y T A) − 2Y T = BA B A ←→ AY T A + 2Y 2Y T = AB − BA
1 e t a M T
T
Como no podemos fatorizar Y fatorizar Y , sea Y sea Y =
y y 1
2
y3
y4
9
(3)
e t a M
, de donde reemplazando en (3 ( 3), tenemos:
e t a
3
y
2 −3 −2
y2 y4
1
y3
3y + 2y2y 1
e t a M 3 2 y +2 1 −3 −2 y3
3y2 + 2y 2 y4 −3y2 − 2y4
3
−3y1 − 2y3
9y
1 e t a
P U
de donde:
1 0 1 − −1 0 0
3 2 2y1 + −3 −2 2y3
6 y3 − 6y4 − 9y2 + 6y −9y1 + 9y 9 y2 − 4y3 + 6y 6 y4
1 5 5 −1
2y2 1 = 2y4 5
P U
5 −1
6y1 − 4y2 + 4y 4 y3 − 4y4 1 5 = −6y1 + 6y 6 y2 − 4y3 + 6y 6 y4 5 −1
1 e t a M = = = =
3 2 −3 −2
2y2 −2 3 −3 −2 = − −3 −2 2y4 2 −3
6y1 − 6y2 + 4y 4 y3 − 4y4 2y1 + −6y1 + 6y 6 y2 − 4y3 + 4y 4 y4 2y3
1
11 11yy1 − 9y2 + 6y 6 y3 − 6y4 6y1 − 4y2 + 4y 4 y3 − 4y4 9 y2 − 4y3 + 6y 6 y4 −9y1 + 9y −6y1 + 6y 6 y2 − 4y3 + 6y 6 y4
−1
6 y3 − 6y4 − 9y2 + 6y −9y1 + 9y 9 y2 − 6y3 + 6y 6 y4 1
1111yy
0
y2 3 2 = −3 −2 y4
e t a M
−→ y1 =
1 ; 2
y2 = 52 ;
y3 =
1 1 5 Y T = 2 5 −1
Trasponiendo Y T , tenemos
Y =
1 1 5 2 5 −1
5 2
e t a M
e y4 = − 12
Como ya habiamos habiamos despejado despejado X X = B − Y T A, reemplazan reemplazando do las matrices matrices ya conocidas conocidas tenemos tenemos
P U
6
5 X = −10 −6
1 e t a M
P U
12. En un mercado de dos bienes, un consumidor consumidor dispone de 11 soles para adquirir su canasta canasta de consumo. En la tienda A encuentra que los precios por unidad del bien 1 y del bien 2 son 3 y 4 soles respectivamente, mientras que en la tienda B los costos unitarios de los bienes 1 y 2 son de 4 y 3.5 soles, respectivamente. Diga cu´antas antas unidades de cada bien puede adquirir, sabiendo que compra la misma cantidad de unidades de cada bien en ambas tiendas y gasta todo su dinero.
1 e t a
Soluci´ on.
e t a M
Sean x = la cantidad de unidades del bien 1, y = la cantidad de unidades del bien 2. Seg´ un un los datos tenemos:
3x + 4y 4x + 3.5y
= =
11 11
Resolviendo se tiene x tiene x = 1, y 1, y = 2, por tanto puede adquirir 1 unidad del bien 1, y 2 unidades del bien 2.
13.
P U
a )
1 e t a
P U
Dados α y β n´ umeros reales. Analizar la consistencia del siguiente sistema de ecuaciones para las umeros variables x e y ; presentar las soluciones, donde existan.
1 e t a M 2x + αy 4x + 3y
10
= 3 = β − 1
e t a M
e t a
Soluci´ on.
e t a M
3(β 7) Resolviendo el sistema tenemos: x tenemos: x = 4(2 + α 3) α = 32 en el sistema de ecuaciones, nos queda. −
β −1
−
2x + 4x +
3 y 2
3y
= 3 = β − 1
←→
2x + 4x +
4
, y =
3 y 2
comoo aqu com aq u´ı α 6 = 32 , reemplacemos
= 3 = β − 1
3y
finalmente concluimos:
P U
β −7 , 3−2α
e t a M
4x + 3y 4x + 3y
←→
P U
= 6 = β − 1
3(β −7) 1 + β − , y = 3β−−27α 4(2α−3) 4 es { (x, y ) ∈ R2 : 4x + 3y 3 y = 6}
El sistema tiene soluci´on on unica u ´ nica si α 6 = 32 , cuya soluci´on on es x es x = Tiene infinitas soluciones si α =
1 e t a
y β = = 7, cuya soluci´on on
1 e t a M
No tiene soluci´on on si α =
b)
3 2
3 2
67 y β =
2x + y 4x + ky
= =
(k − 4)(k 4)(k − 1) (k − 4)(k 4)(k − 2)
Para que valores de k, k , el sistema tiene infintas soluciones, soluci´on on unica u ´ nica y no tiene soluci´on. on. Soluci´ on.
2
k 2k+2) Resolviendo el sistema tenemos: x tenemos: x = = (k 4)( , 2(k 2) k = 2 en el sistema de ecuaciones, nos queda. −
−
−
2x + y 4x + 2y
P U
= (2 − 4)(2 − 1) = (2 − 4)(2 − 2)
y =
1 e t a M
k(k−4) 2−k ,
6 2, reemplacemos como co mo aqu´ a qu´ı k =
P U
2x + y 4x + 2y
←→
finalmente concluimos:
1 e t a
e t a M
Sea el siguiente siguiente sistema de ecuaciones: ecuaciones:
= −2 = 0
6 2, cuya soluci´on El sistema tiene soluci´on on unica u ´ nica si k si k = on es x =
←→
2x + y 2x + y
(k−4)(k2 −2k+2) , 2(k−2)
y =
= −2 = 0
k (k −4) 2−k
e t a M
No existen valores para k, k , tal que hagan que el sistema tenga infinitas soluciones No tiene soluci´on on si k = 2
14. En el norte del per´u la mayor fuente de empleo e ingresos econ´omicos omicos depende de la venta de arroz pilado y la construcci´on on de maquinas piladoras. Para producir una tonelada de arroz se necesitan “a”m´ aquinas aquinas y “b “b” toneladas de arroz para alimentar a los obreros, maquinistas y sus familias. Para podrucir una m´aquina aquina se necesitan “c “c” toneladas de arroz para alimentar a los trabajadores y sus familias. La demanda de arroz de los pueblos aleda˜nos nos es 1000 toneladas. Los pueblos aleda˜nos no s tamb t ambi´ i´en en demandan “d “d” m´ aquinas piladoras. Se desea calcular el n´ aquinas umero total de toneladas de arroz y el n´umero umero umero total de m´aquinas aquinas que los pobladores deben producir en funci´on de las constantes dadas para satisfacer la demanda. Plantear el problema y expresarlo en forma matricial.
P U
Soluci´ on.
P U
Asumiendo que x es el n´ umero de toneladas de arroz que se necesitan e y es el n´ umero umero umero de m´aquinas aquinas piladoras requeridos, en base a los datos dados se tiene el sistema
1 e t a
1 e t a M
x = bx + bx + cy cy + + 1000 (1 − b)x + ( −c)y = 1000 ←→ y = ax + ax + d d (−a)x + (1)y (1)y = d
11
e t a M
e t a
e t a M
el cual cual tiene tiene la siguien siguiente te forma forma matricial matricial
1 − b −c −a 1
x 1000 = y d
e t a M
15. Un fabricante fabric ante produce prod uce dos art´ıculos ıculos A y A y B B.. Por cada unidad que vende de A de A la la ganancia es de $8 y por cada unidad que vende de B la ganancia es de $11, la experiencia experiencia le indica que puede venderse venderse 25 % de A de A m´as as que de B de B . Para el a˜ no siguiente el fabricante desea una ganancia total de $42000. no $42000. ¿Cu´antas antas unidades de cada producto debe vender?
P U
Soluci´ on.
1 e t a
1 e t a M
P U
Asumiendo que x es el n´ umero de unidadesque vende de A e y es el n´umero umero umero de unidades que venden de B de B , en base a los datos dados se tiene el sistema 8x + 11y 11y = 42000 x = 2500 ←→ x = 125 y y = 2000 100
As´ As´ı se tiene que debe vender 2500 unidades de A y 2000 unidades de B .
1 e t a 1 e t a
P U P U
1 e t a M 1 e t a M 12
P U P U
e t a M e t a M e t a M
