2 Limit of a Vector Function

L´ımite, Continuidad de Funciones Vectoriales

Facultad de Ingenier´ıa Universidad de Piura

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´ Calculo Vectorial (CVE)

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Contenido

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´ vectorial L´ımite de una funcion

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Propiedades de los l´ımites

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´ vectorial Continuidad de una funcion

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´ vectorial de variable real La idea de l´ımite en el caso de una funcion ´ de la idea de l´ımite de una funcion ´ f : I ⊆ R → Rn es una extension real de variable real.

I

´ f tiende Si t0 ∈ I o t0 es un punto frontera de I , se dira´ que la funcion al l´ımite L ∈ Rn cuando t tiende a t0 , si para valores de t cercanos a ´ ´ cerca a L. t0 , las correspondientes imagenes f (t) estan

I

´ formal de l´ımite de una funcion ´ vectorial Antes de dar la definicion vamos a explicar de manera intuitiva que es un punto frontera de un conjunto de puntos. Un punto frontera de un conjunto U es un punto que puede pertenecer o no al conjunto pero que tiene la propiedad ´ tanto como deseemos de que podemos acercarnos a el ´ manteniendonos siempre en el conjunto.

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´ la definicion ´ formal de l´ımite de una funcion ´ Damos a continuacion vectorial de variable real.

´ 1 (L´ımite de una funcion ´ vectorial) Definicion n ´ definida en un intervalo abierto I de R y Sea f : I ⊆ R → R una funcion sea t0 un punto de I o un punto frontera de I . Se dice que el l´ımite de la ´ f cuando t tiende a t0 es L (∈ Rn ), lo cual se escribe como funcion l´ım f (t) = L

t→t0

si dado cualquier > 0 existe un δ > 0 tal que

t ∈ I,

0 < |t − t0 | < δ

⇒

k f (t) − Lk < .

k · k es la norma euclideana de vectores de Rn , es decir kxk = x = (x1 , x2 , . . . , xn ).

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xi2

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Figura

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El siguiente teorema establece que el estudio de los l´ımites de las funciones f : I ⊆ R → Rn esta´ ´ıntimamente relacionado con el estudio de los l´ımites de las funciones coordenadas de f .

Teorema 2 ´ como en la definicion ´ anterior. Entonces Sea f : I ⊆ R → Rn una funcion ´ si l´ımt→t0 xi (t) = Li , donde l´ımt→t0 f (t) = L = (L1 , L2 , . . . , Ln ) ∈ Rn si y solo f (t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)). I

´ vamos a demostrar que si A continuacion

l´ım f (t) = L = (L1 , L2 , . . . , Ln )

t→t0

entonces

l´ım fi (t) = Li .

t→t0

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Sabemos que

l´ım f (t) = L,

t→t0

por lo tanto para cualquier ε > 0 existe un δ > 0 tal que si t ∈ I y |t − t0 | < δ entonces k f (t) − Lk < ε. Pero como

k f (t) − Lk = k(x1 (t) − L1 , x2 (t) − L2 , . . . , xn (t) − Ln )k  n 1/2 X  2  =  (xi (t) − Li )  < ε i=1

se tiene que

 n 1/2 X  2 |xi (t) − Li | ≤  (xi (t) − Li )  < ε. i=1

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Por lo tanto, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si t ∈ I y 0 < |t − t0 | < δ ⇒ |xi (t) − Li | < ε. Esto quiere decir que

l´ım xi (t) = Li .

t→t0

´ 427]). (Ver [?, pag.

El teorema 2 tiene dos sentidos: I

´ vectorial tiene l´ımite entonces cada funcion ´ coordenada Si la funcion tiene l´ımite.

I

´ coordenada tiene l´ımite entonces la funcion ´ vectorial Si cada funcion tiene l´ımite.

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Ejemplo 3

´ definida como f (t) = t2 + 1, 2t, t . Las Sea f : R → R3 la funcion funciones coordenadas son

f1 (t) = t2 + 1,

f2 (t) = 2t,

f3 (t) = t.

´ Ademas

l´ım f1 (t) = t02 + 1,

l´ım f2 (t) = 2t0 ,

t→t0

t→t0

l´ım f3 (t) = t0 .

t→t0

´ el teorema 2 Entonces, segun

l´ım f (t) = l´ım ( f1 (t), f2 (t), f3 (t)) t→t0 l´ım f (t) = l´ım f1 (t), l´ım f2 (t), l´ım f3 (t) = t02 + 1, 2t0 , t0 .

t→t0

t→t0

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t→t0

t→t0

t→t0


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´ Ejemplo 3 (Continuacion) Por ejemplo, si t0 = 1 se tiene l´ım f (t) = (2, 2, 1) t→1

Esto quiere decir que se puede tener f (t) arbitrariamente cerca del punto (2, 2, 1) ∈ R3 seleccionando t suficientemente cerca de 1.

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Ejemplo 4 ´ f : R → R3 definida como La funcion

!   sin t  2   si t , 0,  t, t , t f (t) =     (0, 0, 0) si t = 0, es discontinua en t = 0 puesto que

! sin t l´ım t, t , = (0, 0, 1) t→0 t 2

´ para t = 0, pues y este l´ımite es diferente del valor de la funcion f (0) = (0, 0, 0).

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Propiedades de los l´ımites Sean dadas las funciones f : I ⊆ R → Rn y g : I ⊆ R → Rn tales que

l´ım f (t) = L

t→t0

l´ım g(t) = M

t→t0

donde t0 ∈ I o es un punto frontera de I . Entonces se cumple:

l´ım [ f (t) ± g(t)] = l´ım f (t) ± l´ım g(t) = L ± M

t→t0

t→t0

t→t0

l´ım [ f (t) · g(t)] = l´ım f (t) · l´ım g(t) = L · M

t→t0

t→t0

t→t0

l´ım [ f (t) × g(t)] = l´ım f (t) × l´ım g(t) = L × M

t→t0

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t→t0

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´ f : I ⊆ R → Rn esta´ determinado El comportamiento de la funcion completamente por el comportamiento de sus funciones coordenadas xi : I ⊆ R → R.

I

Este hecho se empieza a sospechar con el teorema anterior que ´ f esta´ determinado por los l´ımites afirma que el l´ımite de una funcion de las funciones coordenadas xi .

I

´ analoga ´ ´ f, Una situacion ocurrira´ con la continuidad de la funcion ´ ´ que daremos a continuacion) ´ si y esta es continua (con la definicion ´ si sus funciones coordenadas lo son. solo

´ 5 (Continuidad en un punto) Definicion ´ definida en el intervalo abierto I de R y Sea f : I ⊆ R → Rn una funcion sea t0 ∈ I . Se dice que f es continua en t0 si se cumple l´ım f (t) = f (t0 ).

t→to

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´ de continuidad implica que la propiedad de continuidad La definicion ´ f equivale a que movimientos pequenos ˜ de t en torno de una funcion ˜ en las imagenes ´ de t0 producen movimientos pequenos f (t) alrededor de f (t0 ).

´ de l´ımite, dado > 0 existe δ > 0 de modo que Usando la definicion

|t − t0 | < δ | {z } t esta´ a una distancia de t0 menor que δ I

k f (t) − f (t0 )k < | {z }

⇒

f (t) esta´ a una distancia de f (t0 ) menor que

´ t , t0 que en la definicion ´ de l´ımite estaba escrita como La condicion ´ de |t − t0 | > 0, ahora queda eliminada puesto que la definicion continuidad requiere que f (t0 ) exista.

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La cadena de igualdades

l´ım f (t) = l´ım (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) t→t0 = l´ım x1 (t), l´ım x2 (t), . . . , l´ım xn (t)

t→t0

t→t0

t→t0

t→t0

= (x1 (t0 ), x2 (t0 ), . . . , xn (t0 )) = f (t0 ) ´ del siguiente teorema es fundamental en la demostracion

Teorema 6 ´ definida en el intervalo abierto I de R Sea f : I ⊆ R → Rn una funcion como

f (t) = ( f1 (t), f2 (t), . . . , fn (t)) . ´ f es continua en t0 si y solo ´ si sus funciones Sea t0 ∈ I , la funcion coordenadas fi : I ⊆ R → R, i = 1, 2, . . . , n, lo son. (UDEP)


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´ f : I ⊆ R → Rn definida en el intervalo abierto I de R se Una funcion dice que es continua en I o simplemente continua si f es continua en cada punto de I .


f (t) = (t3 + 1, t2 − 2t + 1) es continua puesto que sus funciones coordenadas son polinomios y ´ estos son funciones continuas.

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!   sin t  2   si t , 0  t, t , t f (t) =     (0, 0, 0) si t = 0 es discontinua en t = 0, pues

! sin t l´ım f (t) = l´ım t, t , = (0, 0, 1) , (0, 0, 0) = f (0). t→0 t→0 t 2

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