HIDROLOGÍA GENERAL
IC-441
ÍNDICE Pag. 1. Pregunta Nº 01
2
2. Pregunta Nº 02
3
3. Pregunta Nº 03
6
4. Pregunta Nº 04
6
5. Pregunta Nº 05
11
Página 1
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1ER EXAMEN PARCIAL RESUELTO DE HIDROLOGÍA GENERAL 1. Procesar estadísticamente (utilice las funciones de distribución Pearson, LogPearson o Gumbel) el registro de las lluvias máximas diarias de la Estación Jaén y obtenga las lluvias máximas en 24 horas de periodos de retorno 2, 5, 10, 25, 50, 100 y 500años. AÑO 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Pmax(24) 66 32 47,5 57,4 48,5 48,2 38 30 36 59,2 AÑO 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Pmax(24) 36,6 39,1 88 35,6 38,1 78,5 38,7 45,9 63,7 44,6 La distribución teórica elegida deberá cumplir la prueba de Smirnov-Kolmogorov.
Se utilizará la DISTRIBUCIÓN GUMBEL:
Media: Desviación Estándar: Parámetro de escala: Parámetro de posición:
= 48.58 = 15.721 ∝= 15.721 = 15.721
TABLA N°01. Se elabora para la prueba de Smirnov-Kolmogorov
m 1 2 3 4 5 6 7 8
y -0.939 -0.775 -0.482 -0.449 -0.4 -0.286 -0.278 -0.229
P(x) 0.048 0.095 0.143 0.19 0.238 0.286 0.333 0.381
Página 2
F(x)=G(y) 0.078 0.114 0.198 0.209 0.225 0.264 0.267 0.284
| F(x)-P(x) 0.03 0.019 0.055 0.018 0.013 0.022 0.066 0.096
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9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Como
∆< ∆
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-0.196 0.253 0.359 0.489 0.546 0.571 1.297 1.444 1.811 1.998 3.018 3.793
0.429 0.476 0.524 0.571 0.619 0.667 0.714 0.762 0.81 0.857 0.905 0.952
0.296 0.46 0.497 0.542 0.56 0.568 0.761 0.79 0.849 0.873 0.952 0.978
0.132 0.016 0.027 0.03 0.059 0.098 0.046 0.028 0.04 0.016 0.048 0.025
∆= 0.294 ∆= 0.132 , tiene un buen ajuste de datos por la distribución elegida.
Cuadro de lluvias máximas para periodos de retorno pedidos T
Prob.
Precip.
2
0.5
45.997
5
0.8
59.89
10
0.9
69.089
25
0.96
80.711
50
0.98
89.333
100
0.99
97.891
500
0.998
117.668
2. Para los mismos datos de la estación Jaén, utilice el criterio de interpolación empleando la ecuación:
= +∗
Luego obtenga las lluvias máximas en 24 horas de periodos de retorno 2, 5, 10, 25, 50, 100, 500 años.
Elaboramos un cuadro donde se aplica la fórmula de Weilbull para obtener los tiempos de retorno, para
= 20
= +1 Página 3
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TABLA N°02. Se ordena en forma descendente las precipitaciones y se halla los tiempos de retorno
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Linealizando a la ecuación:
T 21.00 10.50 7.00 5.25 4.20 3.50 3.00 2.63 2.33 2.10 1.91 1.75 1.62 1.50 1.40 1.31 1.24 1.17 1.11 1.05
P 88.00 78.50 66.00 63.70 59.20 57.40 48.50 48.20 47.50 45.90 44.6 39.10 38.70 38.10 38.00 36.60 36.00 35.60 32.00 30.00
= + ∗log = + ∑ −− ∑∑ ∑ = ∑
Se obtiene Donde:
= ∑ − ∑ TABLA N°03. Logaritmando a la tabla Nº02 y obteniendo lo que se pide
T 21.00 10.50
x=log(T) 1.32 1.02
y=P 88.00 78.50
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x*y 116.36 80.16
x^2 1.75 1.04
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7.00 5.25 4.20 3.50 3.00 2.63 2.33 2.10 1.91 1.75 1.62 1.50 1.40 1.31 1.24 1.17 1.11 1.05
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0.85 0.72 0.62 0.54 0.48 0.42 0.37 0.32 0.28 0.24 0.21 0.18 0.15 0.12 0.09 0.07 0.04 0.02 8.06
66.00 63.70 59.20 57.40 48.50 48.20 47.50 45.90 44.6 39.10 38.70 38.10 38.00 36.60 36.00 35.60 32.00 30.00 971.60
Reemplazando valores se obtiene:
55.78 45.87 36.90 31.23 23.14 20.20 17.48 14.79 12.52 9.50 8.06 6.71 5.55 4.32 3.30 2.38 1.39 0.64 496.29
0.71 0.52 0.39 0.30 0.23 0.18 0.14 0.10 0.08 0.06 0.04 0.03 0.02 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 5.61
= 44.285 = 30.737
Entonces la precipitación para un tiempo de retorno cualquiera será:
= 30.373+44.737∗log Las precipitaciones para los tiempos de retorno requeridas será: TABLA N°04. Precipitaciones para tiempos de retorno
Tr 2 5 10 25 50 100 500
PTr 44.0681 61.6909 75.0220 92.6448 105.9759 119.3070 150.2609
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3. Haga un análisis comparativo de los resultados obtenidos en las preguntas # 1 y 2 (las precipitaciones obtenidas para distintos periodos de retorno) El siguiente cuadro muestra precipitaciones para diferentes tiempos de retorno, utilizando los dos métodos (Gumbel e Interpolación).
TABLA N°05. Análisis comparativo y la diferencia que existe uno y otro metodo
Tr 2 5 10 25 50 100 500
Gumbel 45.997 59.89 69.089 80.711 89.333 97.891 117.668
Interpolación Diferencia 44.0681 1.93 61.6909 1.80 75.0220 5.93 92.6448 11.93 105.9759 16.64 119.3070 21.42 150.2609 32.59
En el cuadro se muestra que a mayor tiempo de retorno (Tr) mayor es la diferencia de precipitaciones. 4. Luego del ajuste de los datos mediante la prueba de Smirnov-Kolmogorov (resultados de la pregunta # 1), las precipitaciones máximas en 24 horas para diferentes periodos de retorno; convierta estas precipitaciones para diferentes duraciones de acuerdo a los modelos de Bell y Yance Tueros, seguidamente construya las curvas IDF de acuerdo al modelo utilizado en USA. Se tiene el siguiente cuadro: Tr 2 5 10 25 50 100 500
= 0.21 + 0.520.54. − 0.5 2 ≤ ≤ 100 ,5 ≤ ≤ 120
La relación establecida es para:
:
Precip. 45.997 59.89 69.089 80.711 89.333 97.891 117.668
ñ
Precipitación de duración t minutos y periodo de retorno T años.
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El valor de , se calcula a partir del modelo de Yance Tueros, que estima la intensidad máxima horaria a partir de la precipitación máxima en 24 horas.
Donde:
= = 0.4602 = 0.876 = 0.4602. y
Utilizando la formula de Bell se obtiene las precipitaciones para diferentes duraciones en distintos periodos de retorno. TABLA N°06. Precipitaciones para diferentes duraciones
Tr
Precip.
P1060
2 5 10 25 50 100
45.997 59.89 69.089 80.711 89.333 97.891
13.16733 16.59239 18.80480 21.54863 23.55229 25.51745
5 2.69472 4.37740 5.80274 7.92440 9.71539 11.66815
DURACIONES (min) 10 20 30 4.03366 5.62593 6.69357 6.55240 9.13894 10.87326 8.68597 12.11472 14.41376 11.86182 16.54422 19.68386 14.54271 20.28338 24.13261 17.46573 24.36026 28.98317
CURVAS IDF Se usa la siguiente fórmula:
Usando este método hallaremos
=
,
que son los parámetros regionales.
TABLA N°07. Datos de precipitaciones para distintos periodos de retorno
Tr 100 50 25 10 5 2
5 11.6681 9.7154 7.9244 5.8027 4.3774 2.6947
DURACIONES (min) 10 20 30 17.4657 24.3603 28.9832 14.5427 20.2834 24.1326 11.8618 16.5442 19.6839 8.6860 12.1147 14.4138 6.5524 9.1389 10.8733 4.0337 5.6259 6.6936 Página 7
60 38.0569 31.6878 25.8463 18.9263 14.2773 8.7891
60 8.78912 14.27733 18.92625 25.84625 31.68777 38.05688
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Se elabora el cuadro de Intensidades, utilizando:
=
Donde I es intensidad, P es precipitación y t el tiempo en horas TABLA N°08. Datos de Intensidades para distintos periodos de retorno
Tr 100 50 25 10 5 2
DURACIONES (min) 10 20 30 104.7944 73.0808 57.9663 87.2562 60.8501 48.2652 71.1709 49.6327 39.3677 52.1158 36.3442 28.8275 39.3144 27.4168 21.7465 24.2019 16.8778 13.3871
5 140.0178 116.5847 95.0928 69.6329 52.5287 32.3367
60 38.0569 31.6878 25.8463 18.9263 14.2773 8.7891
= = log = log = log = log , = =
Aplicando logaritmos linealizamos la ecuación ,
donde:
,
,
TABLA N°09. Tomamos un tiempo de retorno, las duraciones dadas a este tiempo de retorno y las intensidades para este tiempo de retorno. Repetimos estos datos para todos los tiempos de retorno. En la tabla se observa para todos los tiempos de retorno.
D 5 10 20 30 60 5 10 20 30 60 5 10 20 30
T 100 100 100 100 100 50 50 50 50 50 50 25 25 25 Página 8
I 140.02 104.79 73.08 57.97 38.06 116.58 87.26 60.85 48.27 31.69 95.09 71.17 49.63 39.37
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60 5 10 20 30 60 5 10 20 30 60 5 10 20 30 60
25 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2
25.85 69.63 52.12 36.34 28.83 18.93 52.53 39.31 27.42 21.75 14.28 32.34 24.20 16.88 13.39 8.79
Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, de donde obtendremos
= Donde:
,,,
= log = log = log
TABLA N°10. Hallamos las respectivas sumatorias y lo reemplazamos los valores de la fórmula anterior.
x1=log(T) x2=log(D) y=log(I) 2.000 0.699 2.146 2.000 1.000 2.020 2.000 1.301 1.864 2.000 1.477 1.763 2.000 1.778 1.580 1.699 0.699 2.067 1.699 1.000 1.941 1.699 1.301 1.784 1.699 1.477 1.684
x1^2 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 2.886 2.886 2.886 2.886
Página 9
x1*x2 1.398 2.000 2.602 2.954 3.556 1.188 1.699 2.210 2.510
x2^2 0.489 1.000 1.693 2.182 3.162 0.489 1.000 1.693 2.182
x1*y 4.292 4.041 3.728 3.526 3.161 3.511 3.297 3.031 2.860
x2*y 1.500 2.020 2.425 2.604 2.810 1.445 1.941 2.321 2.487
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1.699 1.778 1.501 1.699 0.699 1.978 1.398 1.000 1.852 1.398 1.301 1.696 1.398 1.477 1.595 1.398 1.778 1.412 1.000 0.699 1.843 1.000 1.000 1.717 1.000 1.301 1.560 1.000 1.477 1.460 1.000 1.778 1.277 0.699 0.699 1.720 0.699 1.000 1.595 0.699 1.301 1.438 0.699 1.477 1.337 0.699 1.778 1.155 0.301 0.699 1.510 0.301 1.000 1.384 0.301 1.301 1.227 0.301 1.477 1.127 0.301 1.778 0.944 35.786 37.532 48.178 x1=log(T) x2=log(D) y=log(I)
2.886 2.886 1.954 1.954 1.954 1.954 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.489 0.489 0.489 0.489 0.489 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 53.032 x1^2
3.021 1.188 1.398 1.819 2.065 2.486 0.699 1.000 1.301 1.477 1.778 0.489 0.699 0.909 1.032 1.243 0.210 0.301 0.392 0.445 0.535 44.604 x1*x2
3.162 0.489 1.000 1.693 2.182 3.162 0.489 1.000 1.693 2.182 3.162 0.489 1.000 1.693 2.182 3.162 0.489 1.000 1.693 2.182 3.162 51.150 x2^2
2.550 3.361 2.589 2.371 2.230 1.974 1.843 1.717 1.560 1.460 1.277 1.203 1.115 1.005 0.935 0.807 0.454 0.417 0.369 0.339 0.284 61.308 x1*y
* Los valores que están en negrita son las respectivas sumatorias ( ) de cada columna.
Reemplazamos estos valores en la fórmula anterior y se obtiene:
Resolviendo:
La fórmula final sale:
30 35. 7 86 37. 7 53 35.37.778653 53.44.063204 44.51.610450 = 48.61.58.130780869 = log = 2.030 = 107.1519 = = 0.3435 = = −0.6626 . = 107.1519∗ .
I: Intensidad máxima (mm/H) T: Periodo de retorno (años) D: Duración de la precipitación (minutos) Página 10
2.669 1.383 1.852 2.206 2.356 2.511 1.288 1.717 2.030 2.156 2.271 1.203 1.595 1.871 1.975 2.053 1.055 1.384 1.597 1.664 1.678 58.069 x2*y
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Con la cual se puede construir las curvas de Intensidad-Duración y Frecuencia:
CURVAS IDF 200 180 160
) r h 140 / m120 m ( d 100 a d i s 80 n e t n I 60
T=2 años T=5 años T=10 años T= 25 años T= 50 años
40 T= 100 años 20 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Duración (min)
5. Teniendo terrenos de cultivo aledañas al río Tambopata, se requiere proteger dichas tierras por lo menos durante 100 años. Obtenga el caudal de máxima avenida teniendo en cuenta: Superficie de la cuenca: A=20 Km2 Longitud del cauce principal: L=24 Km Pendiente del cauce principal: S=0.56 La intensidad máxima, obtener desde las curvas IDF de la pregunta #4. (Estimar datos si considera que son necesarios) Tiempo de concentración según Kirpich
. = 3.98(.) . 24 = 3.98(√ 0.56) = 57.49 La intensidad máxima se obtiene:
. 1 07. 1 519∗ = . Página 11
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Se obtendrá I para un tiempo de retorno de 100 años y una duración igual al Tiempo de Concentración:
. = 107.157.519∗100 49.
= 35.571 / Obtenidos los valores, se aplica la fórmula para poder hallar el caudal de máxima avenida:
= 3.6 = 0.62535.3.567120 = 123.51
Página 12
/s
