Péndulo simple 1
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J. López, D. Almanza, C. Miranda, E. Doria
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Departamento de Física y Electrónica, Universidad de Córdoba, Montería
Resumen Un péndulo simple se define como una partícula de masa m despreciable suspendida en una una posición de equilibrio por una cuerda inextensible de longitud L, que oscila en un solo plano en torno a su posición de equilibrio. El péndulo describirá un movimiento armónico si su amplitud está entre ; ; sobre la masa oscilante actúan dos fuerzas, la fuerza de gravedad y la tención del hilo. La fuerza resultante entre las dos fuerzas es la fuerza de retorno, teniendo en cuenta lo anterior, se realizó la práctica para determinar determinar la relación del periodo del péndulo con la masa oscilante y su longitud, encontrando que el periodo del péndulo no depende de la masa oscilante y es directamente proporcional a la longitud del péndulo, además calcularemos el valor experimental de la gravedad en el laboratorio para el estudio de este este sistema.
Palabras claves: claves: Movimiento armónico simple, partícula, amplitud, oscilador, periodo, fuerza de retorno, péndulo simple. Abstract
KEY WORDS: .
•Pinza en ángulo recto
Objetivos
Mostrar experimentalmente que el movimiento de un péndulo simple para 0°<θ<15 0°<θ<15°° resulta ser un M.A.S con
⁄ (frecuencia
angular) y que su periodo no depende de la masa oscilante sino de su longitud.
Conocer la influencia que tiene a masa y la longitud de un péndulo de hilo sobre el periodo.
Materiales • Barrea compacta • Fuente de poder de 5V • Balín con ojete de ojete de diferentes radios •Regla milimetrada 1000mm •Cursor 1 par
•Varilla cuadrad 1250mm •Base triangular •Pasador •Sedal 1m 1.
Teoría relacionada
Un péndulo simple consta de una cuerda de longitud L y de una masa m cuando la masa se deja en libertad desde un Angulo con la vertical oscila a un lado y otro con un periodo T [1], el péndulo simple es un ejemplo de un movimiento oscilatorio. En primera aproximación se puede suponer que las únicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son el peso (mg) y la tensión (T) ejercida por la cuerda o varilla. Esto implica despreciar las fuerzas de fricción e ignorar la
reacción de posibles ondas de presión emitidas al aire circundante.
Con
y cuyo periodo de oscilación se
puede modelar por la ecuación (M.A.S):
(6)
Para oscilaciones en las cuales la aproximación lineal de la ecuación de movimiento no es válida el periodo de oscilación involucra integrales elípticas de primera especie:
∫
Figura 1. Montaje del pendulo
La varilla o cuerda se suponen inextensibles y de tensión uniforme. Como la tensión varia con el movimiento de la masa, esto es una idealización que implica admitir que todos los puntos de la cuerda se “enteran” simultáneamente del cambio de la fuerza ejercida en su extremo inferior por la masa. La dinámica del sistema se consigue al aplicar la segunda ley de newton, de la geometría del problema (figura 1) se utilizan coordenadas polares ( ), quedando con un grado de libertad ( )
̈ ̇ ̈
(1)
(4)
Con esta restricción a ángulos pequeños la ecuación (3) toma la forma lineal siguiente [2]:
̈
() () (8) 1.
(5)
Montaje y Procedimiento
Siempre suelte el péndulo con ángulos menores a 15°, lo cual es fácil si el péndulo es bastante largo.
Para longitudes distintas, determine en cada caso el periodo de oscilación del péndulo. Llene tablas con las longitudes y sus respectivos tiempos.
Para una misma longitud, determine el periodo de oscilación para dos masas distintas. Anote sus resultados.
(3)
Donde es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil [3]:
(2)
Bastaría resolver (3) y sustituir en (2) para hallar el valor de T en función del tiempo. Pero hacer esto no es fácil, la razón reside en que (3) no es lineal. Sin embargo si, como en el presente caso, estamos interesados solamente en cierta clase de movimientos del sistema donde θ (medido en radianes) es siempre 1, podemos hacer una aproximación en serie de Taylor de la función alrededor de y despreciar potencias iguales o superiores 3 del ángulo θ:
(7)
2.
Análisis y resultados
Tabla 1. Para el sistema del péndulo simple con una masa constante de , y radio de la esfera
Longitud L(m) 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55
√
Longitud (m) 0,54 0,59 0,63 0,67 0,70 0,74
Periodo T(s) 1,094 1,188 1,267 1,345 1,416 1,481
Tabla 2. Para el sistema del péndulo simple con una longitud constante de y masa variable.
las siguientes tablas con coeficiente de correlación (r)
sus
respectivos
Regresión para la masa de 0,066kg Masa (gr) 66,3 84,5
Periodo T(s)
2,16254 -0,17825
m b r=0,9987
3. Preguntas y respuestas
Entonces, la ecuación toma la forma:
1. Con los datos tomados en el procedimiento 1
√
realice la gráfica de T en función de ¿Qué tipo de gráfica obtiene y qué relación existe entre el periodo y la longitud del péndulo?
T-L
(9)
De la teoría, se conoce que para pequeñas oscilaciones, el periodo se puede determinar como:
1/2
1,45
(10)
1,40
Al comparar (9) y (10) tenemos
1,35 ) s (
1,30
√ 254
T o 1,25 d o i r e P 1,20
(11)
De donde
1,15 1,10
1,05 0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
Raiz cuadrada de la longitud L
0,72
0,74
0,76
1/2
(s)
El error relativo se calcula mediante la expresión:
Gráfica 1. T en función de Se observa que para el péndulo con masa de 0.066kg y la gráfica obtenida es una línea recta, puesto que la relación entre el periodo T y la raíz cuadrada de la longitud L del hilo es de carácter lineal y directamente proporcional. 2. calcule la pendiente de la gráfica anterior. Que magnitud física puede calcular a partir de este valor. Calcúlela. Compare la magnitud física
| || ; | 4. Para el procedimiento 2. Realice la gráfica de T en función de m ¿Qué tipo de gráfica obtiene y que puede decir acerca de la relación entre T y m?
T- m
La ecuación que nos permite relacionar las variables de estudio (T, L) para el sistema del péndulo simple con masa de 0.066kg es de la forma:
(8)
Donde, m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje T. Al hacer una regresión lineal mediante el programa origin 6.0, se obtuvo
2,5
2,0
) s (
T 1,5 o d o i r e P
1,0
0,5
65
70
75
80
85
masa m(gr)
Grafica2: T en función de m para longitud constante.
8. Mencione algunas aplicaciones del péndulo simple en la vida diaria. Al graficar el periodo en función de la masa se obtiene una línea recta horizontal, denotando así una relación constante, esto indica que al variar la masa, el periodo no cambia significativamente. 5. Según sus resultados experimentales. ¿Depende el periodo de oscilación de un péndulo de su masa? Si o no ¿Por qué? No, dado que al observar la gráfica 2, el periodo (para una longitud constante) permanece constante al variar significativamente la masa, el experimento demuestra la veracidad de la expresión matemática del periodo, donde se ve reflejada la no dependencia de la masa, ver ecuación (3).
Algunas aplicaciones en la vida diaria se ven en los relojes que trabajan con un péndulo, en las exploraciones para hallar petróleo, en las obras civiles para verificar la inclinación de ciertas estructuras para evitar que los grandes edificiostorres oscilen demasiado en un sismo, pequeñas modificaciones hechas a este sistema simple son punto de partida para una rama de la física denominada caos. 9. ¿Qué posibles errores cometió en la elaboración del laboratorio y como los corregiría? 5. Conclusiones
6. ¿Qué condiciones debe cumplir el sistema de la figura 1, para ser considerado como un péndulo simple? Para que sea considerado péndulo simple de cumplir las siguientes leyes que son: El periodo del péndulo debe ser directamente proporcional a la raíz
cuadrada de la longitud T l . El péndulo debe oscilar en un solo plano. El periodo del péndulo debe ser inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la gravedad 1 . T g
El periodo del péndulo debe ser independiente de la masa oscilante es decir la masa debe ser puntual. 7. el periodo de este sistema, depende de la amplitud angular y del radio de los balines. El periodo de este sistema no depende de la amplitud angular dado que este sistema se estudia bajo una amplitud angular constante y tampoco depende del radio del balín suspendido del hilo dado que como la masa del balín se toma como puntual el radio no presenta ningún tipo de implicaciones al periodo de este sistema.
El movimiento del péndulo es armónico simple si la amplitud a la que se suelte el péndulo este entre .
El periodo del péndulo es independiente de la masa oscilante. El periodo de un péndulo depende de forma directa de la raíz cuadrada dela longitud de la cuerda. El periodo no depende de la amplitud angular se el movimiento es armónico simple El valor de la gravedad en el laboratorio es de , con un error relativo de
⁄
6. Bibliografía [1].física para la ciencia y la tecnología. Paul A. tipler,pag.416 [2].notas_de_clase(oscilaciones_y_ondas)Alicia_ Guerrero_De_Mesa,pag.3,4 [3].http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo