1_Ecuaciones de Maxwell

ECUACIONES DE MAXWELL

Figura: James Clerk Maxwell (1831-1879) cambió nuestra percepción de la realidad y dio los fundamentos de muchos de los avances científicos y tecnológicos del siglo XX. Fue un hombre modesto que quiso entender como funcionaba el mundo alrededor de él. Realizó contribuciones fundamentales en todos aspectos de las ciencias físicas. Descubrió la naturaleza de las ondas electromagnéticas e hizo posible el desarrollo de las grandes redes de comunicación: televisión, radio, radar y la telefonía móvil.

Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell están dadas por

Estas ecuaciones describen el comportamiento del campo electromagnético para una densidad de carga y corriente dadas. Si una partícula de carga q se sitúa en una región del espacio donde hay campo eléctrico y magnético, esta siente una fuerza dada por

llamada fuerza de Lorentz. La corriente y la densidad de carga se relacionan por

llamada ecuación de la continuidad, y que establece la conservación de la carga eléctrica. Si consideramos un medio dieléctrico y de permeabilidad magnética las ecuaciones de Maxwell se escriben como

donde

en que P y M son los vectores Polarización y Magnetización respectivamente. Si el medio es lineal, estos dos vectores son proporcionales al campo eléctrico y magnético

en que las constantes

χe

y

χm

se llaman susceptibilidad eléctrica y magnética

respectivamente. De este modo podemos escribir

en donde

Condiciones de borde en una interfaz de dos medios

Consideremos el par de ecuaciones de Maxwell que contienen divergencias:

Si integramos estas ecuaciones sobre una superficie gaussiana como muestra la figura, se obtiene

Si a es el ancho de la superficie que atraviesa la interfaz, en el límite a → 0 se encuentran las siguientes ecuaciones:

que establecen la continuidad del campo magnético perpendicular a la superficie y la discontinuidad de la componente normal del vector

v D.

Si se toman ahora las ecuaciones de Maxwell restantes y que incluyen rotores

y se integran a lo largo de la curva que muestra la figura, se obtiene

Se obtiene en el límite en que el ancho

a de la curva tiende acero:

y puesto que el flujo tiende acero cuando a → 0

Del mismo modo encontramos que

donde

es la corriente superficial que pasa por la interfaz.

En resumen, los campos eléctricos y magnéticos en una interfaz satisfacen las condiciones de continuidad

Si la interfaz no tiene carga ni corriente superficial, estas ecuaciones se reducen a

Ecuación de la continuidad Dada la densidad de carga eléctrica, la carga eléctrica puede calcularse de acuerdo a

De manera análoga, dado el vector densidad de corriente atraviesa una superficie S es:

v v J = ρ V , la corriente que

J S da

Puesto que la carga eléctrica se conserva y debido a que corriente es la tasa de cambio de la carga eléctrica respecto al tiempo, se cumple que

De modo que

y por tanto concluimos que

llamada ecuación de la continuidad.

Energía del campo eléctrico y vector de Poynting

La energía almacenada en el campo eléctrico está dada por

del mismo modo la energía almacenada en un campo magnético es

Por tanto la energía total de un campo electromagnético es

Podemos así calcular el trabajo realizado sobre una carga puntual por las fuerzas electromagnéticas, de acuerdo a

de modo que la potencia desarrollada es

usando la ley de Ampère, podemos escribir el integrando como

(*)

Utilizando la identidad vectorial

junto con le ley de Faraday

se puede escribir el primer término de ecuación ( * ) como

Además utilizando las identidades

se obtiene finalmente para

y por lo tanto la potencia disipada es

El integrando del segundo término de la ecuación se denomina vector de Poynting y se denota por

y corresponde a la energía que escapa del volumen V a través de su superficie S. Las 2 unidades del vector de Poynting son de [ watts/ m ].

Finalmente la potencia desarrollada por el campo eléctrico es

La energía disipada por el campo eléctrico debe ser aprovechada por la partícula de carga Q o en general por algún sistema mecánico. Por tanto

de modo que

lo que da finalmente

Esta última ecuación expresa la conservación de la energía del sistema electromecánico de campos y partículas y es análoga a la ecuación de la continuidad