La enseñanza de la división Hace cien años era prioritario enseñar el algoritmo de la división, división, porque disponer del mismo era una necesidad para los ciudadanos. Hoy esto cambió sustancialmente. La sociedad cambió y este cambio produce una transformación t ransformación en los saberes que circulan en la sociedad. De todas maneras todavía el algoritmo de la división sigue siendo una marca cultural de lo que es avanzar en el conoci conocimiento miento en la escuela. En 4to. grado los chicos van a aprender "división por dos cifras" y eso tiene una u na connotación cultural muy fuerte.
Suplemento Suplemen to Digital de la revista La Educación E ducación en nuestras nue stras manos N° 15; Diciembre de 2004 Ver Indice del Suplemento Digital N° 15
Revista La L a Educación en nuestras n uestras manos mano s N° 54, marzo de 1999 Reportaje a Patricia Sadovsky, U.B.A.
t ransmitir cultura? La Educación en nuestras manos: ¿Enseñar división es transmitir
Patricia Sadovsky: Sadovsky: Si pensamos la matemática como producción social y cultural, concluimos que, cuando en la escuela se enseña división, como cuando enseña cualquier otro contenido de la matemática, se está es tá transmitiendo parte de una obra humana, por lo tanto se está transmitiendo cultura. P.: ¿Qué
implica para la enseñanza entender que lo que se s e transmite es una
producción cultural?
P.S.: Implica considerar que la enseñanza debe plantearse la comunicación de un quehacer que atrape los rasgos esenciales de la práctica matemática. Esto exige pensar cuáles son las formas de pensar y producir en matemática que pueden comunicarse a través de la escuela. Obviamente no todas las formas que se utilizan cuando se produce matemáticas son comunicables a través de la escuela, pero sí algunas. Una cuestión esencial, por ejemplo, es la de la validación de la producción producción por parte de los alumnos. La matemática brinda la posibilidad posibilidad de tener t ener un vínculo particular con la verdad. Los alumnos deben aprender a usar el conocimiento como medio para fundamentar su trabajo. Por ejemplo, si frente a la cuenta 1253 dividido 65, un alumno dice que el resultado es aproximadamente aproximadamente 100, estaríamos buscando que otros alumnos a lumnos puedan rebartirle con argumentos del tipo: "no puede ser que 1253 dividido 65 sea 100, porque 100 por 65
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es 6500 y 6500 es mucho más que 1253". Esto sería un modo de control de la producción sustentado en conocimiento matemático; es algo típico del quehacer matemático y es posible de comunicar a través de la escuela. Si uno logra que los chicos encuentren formas de validar su producción apoyadas en conocimiento matemático, si se consigue que el conocimiento matemático sea un medio de validación está transmitiendo cultura. En realidad, yo creo que en todo momento se está trasmitiendo cultura, claro que lo que se brinda puede ser más o menos rico. P.: ¿Cómo
puede hacerse culturalmente más rica esa transmisión?
P.S.: Una cuestión esencial se vincula con el tipo de interacciones que se propician a propósito de un contenido o de una actividad, dentro de la clase. El debate, la confrontación de distintos puntos de vista respecto de una resolución, la discusión acerca del valor de verdad de una sentencia, la generalización de los resultados que se van obteniendo, el análisis y la comparación de diferentes problemas que se resolvieron a propósito de un contenido, la evocación de un tramo del trabajo realizado con el objetivo de insertarlo en un cierto campo conceptual, son prácticas esenciales para enriquecer la visión que los chicos tienen de la matemática. Si, por ejemplo, los alumnos son convocados a explicitar por qué proponen una cierta resolución, por un lado se están generando condiciones para que argumenten -y esta argumentación tiene que ver con la forma de validar en matemática-, pero por otro lado se está ayudando a los alumnos a clarificar sus propias ideas. Porque los argumentos necesarios para convencer a otro, en general, tienen que ser bastante más precisos que los que se necesitan para convencerse a uno mismo. La confrontación entre los chicos es un modo de interacción interesante para la conceptualización. Por eso es importante pensar cuáles son las interacciones que se propician en relación a un contenido, a una tarea, a un problema una vez que se plantea. P.: Desde
esta perspectiva, ¿qué tener en cuenta frente al tema de enseñar la
división?
P.S.: No tengo la receta. Sí puedo plantear algunos criterios para pensar el proyecto de enseñanza. En primer lugar es necesario definir qué entendemos por división. Hace cien años era prioritario enseñar el algoritmo de la división, porque disponer del mismo era una necesidad para los ciudadanos. Hoy esto cambió sustancialmente, la sociedad cambió y este cambio produce una transformación en los saberes que circulan en la sociedad. La
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calculadora es un objeto disponible para casi todo el mundo y la escuela no puede ignorarlo. Esta realidad lleva a redefinir qué es lo que la escuela pretende de la enseñanza de la división. Hoy saber dividir, es saber cuáles son las ocasiones de empleo de la división, en qué campo de problemas está inserto este concepto, cuáles son las condiciones en las cuales se puede aplicar una división para resolver un problema, cuándo no se puede aplicar... Los alumnos deberían estar en condiciones de establecer por qué aunque ciertos problemas pueden parecer similares, no se resuelven con el mismo recurso, o por qué problemas muy diferentes se resuelven a través de la misma operación. Los niños deberían saber también en qué viejos conceptos pueden apoyarse frente al desafío de resolver nuevos problemas de división, deberían establecer qué relaciones existen entre la división la multiplicación, la suma y la resta. El algoritmo de la división deja de ser la cuestión central, para dar paso a una actividad mucho más rica desde el punto de vista de la conceptualización. Desde esta perspectiva, priorizamos tomar como punto de partida las estrategias producidas por los chicos frente a las situaciones de división porque se basan en la comprensión que ellos tienen del concepto, en las relaciones que han podido establecer entre la división y las otras operaciones aritméticas. Se trata de pensar de qué manera puede alentarse la evolución de esas estrategias hacia procedimientos que sean cada vez más económicos y más ajustados. Habrá que ver hasta qué punto el algoritmo convencional, tal cual lo conocemos hoy, va a seguir siendo en un futuro objeto de trabajo en la escuela. Porque en realidad fuera de la escuela casi nadie divide "a mano". En cambio es importante que alguien pueda estimar o desestimar un resultado de calculadora si por alguna razón se equivocó o tocó mal las teclas. Con esto no quiero decir que los maestros no tienen que enseñar más el algoritmo porque no se va a usar; ésta no es una decisión que puede tomar cada maestro individualmente, es una decisión social. Hoy todavía el algoritmo de la división sigue siendo una marca cultural de lo que es avanzar en el conocimiento en la escuela. En 4to. grado los chicos van a aprender "división por dos cifras" y eso tiene una connotación cultural muy fuerte: los chicos piensan que si no aprenden la división van a repetir el grado, los padres dicen "ya aprendieron división con dos cifras". Creo que lo que hay que hacer es nutrir esa marca con otras cuestiones que no sean solamente el algoritmo. H.G.
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Estrategias de enseñanza
En primer lugar es importante tener claro en qué conceptos que el alumno ya conoce se apoya la división. Cuando el docente enseña algún contenido, por un lado se apoya en algo que el chico ya sabe y por el otro apunta a que produzca algo nuevo, algo que no sabe; nunca se parte de cero. Y nunca el aprendizaje es lineal. Un concepto se construye siempre en relación con otros conceptos que se están elaborando al mismo tiempo. 4
Apoyándose en suma, resta y multiplicación los alumnos pueden resolver cualquier problema de división. Se puede entonces comenzar planteando a los alumnos un problema de división y apelar a sus conocimientos de suma, resta y multiplicación para que produzcan un resultado. A partir de ahí comenzaría un proceso muy largo que no se resuelve quizás en el tiempo previsto para la división por el diseño curricular. La división es un tema que probablemente comienza en 3er. grado con algunos problemas y hay que pensar en años, en aproximaciones sucesivas, en reorganizaciones a medida que se van incorporando nuevos problemas, nuevas maneras de resolver, nuevas estrategias, nuevas formas de representar.
Cuando uno empieza con problemas de división probablemente comienza con un problema de reparto:
"Repartir 123 caramelos entre 14 chicos".
Los chicos suelen decir:
"Si le doy uno a cada chico me gasté 14 y si le doy 2 me gasté otros 14, y..."
Acuden a restas sucesivas, que despliegan bastante mayoritariamente frente a un problema de este tipo, y finalmente llegan al resultado. El docente tiene que tener en cuenta que si aumenta mucho la distancia entre el dividendo y el divisor esa cantidad de restas harán este procedimiento muy tedioso y muy antieconómico.
Frente al costo de esta estrategia, el docente puede preguntar, por ejemplo:
"¿Cómo se puede hacer para restar, pensando que se da de entrada más de 1
caramelo a cada chico?"
Aquí el docente podría apoyarse en lo que los chicos saben del sistema de numeración y plantear:
"¿Alcanza para dar 10 caramelos a cada chico?
Se espera que los alumnos piensen que 10 por 14 es 140, y que no hay 140 caramelos, entonces el resultado es menor que 10. Que sigan probando, por ejemplo asignando 5 caramelos para cada chico: 5 por 14 es 70, entonces el resultado es más que 5 y menos que 10, ya sabemos algo.
"Entonces si le damos 5 caramelos en vez e 1 a cada uno, de los 123 ya repartimos 70, nos quedan 53. ¿Alcanzan 2 más para cada chico?. 2 por 14 es 28. Parece que sí. ¿3 más para cada chico? 3 por 14 se gastarían 42, alcanza"
Se trata de un proceso de varias clases donde se discute con los chicos cómo se puede acortar el procedimiento, cómo saber cuánto asignar de entrada al cociente, cómo usar el sistema de numeración para hacer esa asignación, cómo estimar de entrada un intervalo en el cual va a estar el resultado con el apoyo de la multiplicación, del sistema de numeración y del cálculo mental, cómo a partir de esa estimación se orienta a la búsqueda.
A partir de las estrategias que proponen los chicos, hay que pensar en un proyecto de enseñanza que se plantee su evolución y convergencia hacia estrategias más económicas. Los chicos de entrada se apoyan en restas sucesivas, en sumas sucesivas y algunos en multiplicación.
Veamos un ejemplo de procedimiento que se apoya en la multiplicación.
Supongamos 357 dividido 18; si enseñamos a los chicos a apoyarse en el sistema de numeración para acotar el resultado, ellos podrán establecer "18 x 10 es 180, menos que 357. 18 x 100 es 1800, bastante más. Entonces el resultado es menos de 100 y más que 10, es de 2 cifras.
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Ya sabemos algo".
Hay chicos que dicen:
"18 x 10 es 180; 18 x 20 es 360, ya me pasé; 18 x 15 es 270, me falta; 18 x 16 es ...etc." 6
Es decir, cada vez empiezan a multiplicar y parten de 0. Pero hay chicos que dicen: "18 x 10 es 180, 357 menos 180 que ya repartí es 177 Entonces ahora mi problema es repartir estos 177"
Esta estrategia es más interesante porque va "achicando" el divisor para avanzar hacia el resultado. El docente se enfrenta al problema didáctico de provocar que esta estrategia circule y sea tomada por todos los alumnos.
La discusión con los chicos acerca de la ventaja que puede tener la segunda estrategia sobre la primera tendría que favorecer que los alumnos empiecen a usar cada vez más esta segunda estrategia pero esto no es instantáneo ni mágico. Cuesta mucho que los alumnos dejen de usar lo que viene resultando efectivo para ellos. No siempre lo que es más económico para un adulto es más económico para los chicos. A veces lo más económico es lo que es más seguro, aunque sea largo.
Se trata entonces de convocar a los chicos a usar ciertas estrategias, ver qué argumentos empiezan a circular y señalar por qué es más interesante la segunda estrategia. No es fácil que el chico abandone algo de lo que está seguro, porque siempre es un trabajo adquirir lo nuevo. Señalemos, al pasar, que el aprendizaje es un trabajo y no es evitable. La intención del docente tiene que dirigirse hacia la apropiación por parte de los chicos de esta segunda estrategia y para ello es también interesante que se relacione esta nueva estrategia con otras que circulan en la clase. Se trata de un desafío para el maestro quien debe encontrar un equilibrio entre alentar las producciones particulares y ejercer una cierta presión que contribuya al progreso de la clase.
A partir de la discusión debe quedar claro que la cantidad de operaciones que se hacen en el segundo caso es menor -y ésta es la razón de por qué es más económica, y que a través del segundo procedimiento la aproximación al resultado es menos aleatoria. Esto es algo que los chicos comprenden aunque no siempre estén muy dispuestos inmediatamente a entrar en la nueva estrategia.
Tomemos una estrategia de este tipo con números más altos, por ejemplo:
12.578 dividido 85.
"85 x 10 es 850; 85 x 100 es 8500, todavía nos falta para 12578; 85 x 200 es 17000, es más que 12578: o sea que el resultado está entre 100 y 200."
Si se atribuye 100 al cociente, ya se repartieron 8500. Quedan por repartir: 12578 menos 8500, o sea 4078.
"Sabemos que no pueden atribuirse otros 100 al cociente (recordemos que el resultado está entre 100 y 200), entonces empezamos a probar: 10 x 85 es 850, 20 x 85 es 1700 etc."
Para que el chico pueda entrar en este proceso y no tenga que hacer muchas cuentas se puede pensar en tener disponible una tabla del 85. Es decir si el docente está centrado en que el alumno entienda el funcionamiento de un cierto procedimiento, estas cuentas auxiliares pueden estar a disposición del chico para no desviar la atención en cuestiones que en ese momento son secundarias. Este es un medio para convocar al chico al pasaje de una estrategia a otra, facilitarle los recursos intermedios.
En este camino en el que se propone un cociente posible, se multiplica por el divisor y se resta este resultado del dividendo , un progreso supone ajustar cada vez mejor cuál
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es el numero inicial que se atribuye al cociente. Porque los chicos tienen tendencia a atribuir de entrada valores muy bajos (1, 2, 5)
Continuando con la cuenta anterior. Los chicos podrían decir: "Quedan 4078 para repartir entre 85, si pongo 1, entonces resto 85..."
El maestro pregunta "¿No pueden atribuir más?"
Y los chicos dicen: "Bueno, 2."
Establecemos entonces como convención que vamos a encuadrar el resultado entre dos potencias de 10, vamos a saber si está entre 10 y 100, entre 100 y 1000 o si está entre 1000 y 2000. En este caso ya vimos que 4078 a repartir entre 85, va a ser de 2 cifras.
En algún momento le vamos a plantear a los chicos:
"Si el resultado va a ser de 2 cifras vamos a establecer que solamente en dos cocientes parciales , hay que llegar al resultado. Dijimos que repartimos 100 a cada uno, nos gastamos 8500 y quedan para repartir 4078, ya sabemos que esto es menos que 100, porque si no hubiera funcionado el 200 en el cociente."
Entonces lo que hay que poner en el cociente está en el orden de las decenas. Vamos a la tabla del 85: 85 x 50 es 4250, más que 4078; 84 x 40, es 3400, por lo tanto va 40.
Primero se atribuyó 100 al cociente, con lo cual el divisor disminuyó en 8500 de los 12578 que tenía que repartir, quedaron para repartir 4078,
Ahora se atribuyó 40 al cociente, lo cual significa que ya se repartieron otros 3400, quedan para repartír 678.
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No alcanza para 10 más a cada uno porque si no hubiera funcionado el 50.
Entonces otra vez la tabla del 85 viene a prestar ayuda: 85 x 1 es 85, 85 x 2 es 170, 85 x 3 es 255, 85 x 4 es 340, 85 x 5 es 425, 85 x 6 es 510, 85 x 7 es 589, 85 x 8 es 680, ....
Entonces se asigna 7 al cociente y sobran 83 que ya no alcanzan para asignar uno más al cociente.
Primero se asignaron 100, luego 40, ahora 7 y quedan 83 sin repartir; quiere decir que el resultado es 147 y un resto de 83.
En el algoritmo convencional uno hace esto pero sin trabajar con las cantidades globales. Se trabaja con la noción de agrupamiento. Entonces, en lugar de asignar 100 al cociente, se asigna una centena. Sin embargo, no siempre se explicita que se trata de una centena y muchas veces los chicos pierden el control de lo que están haciendo.
El algoritmo convencional va pasando exactamente por las mismas cifras sólo que este procedimiento va explicitando globalmente el resultado en tanto que el algoritmo convencional explicita el valor posicional. Es un procedimiento que explicita mucho más las cuentas que están involucradas en el algoritmo convencional. Este es el punto por el cual a nosotros nos parece interesante. El algoritmo convencional no nos parece interesante de entrada porque es muy hermético.
Si no se explicitan las relaciones que están involucradas en el algoritmo es imposible entender. Hay que buscar una articulación entre lo que los chicos van desplegando y el algoritmo convencional. De poco vale plantear un trabajo de despliegue de
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estrategias de los chicos, si después se les yuxtapone el algoritmo convencional sin que los chicos comprendan qué relación hay entre lo que ellos propusieron y ese algoritmo.
Nosotros proponemos que los chicos trabajen primero sobre el procedimiento que maneja la cantidad global (esto se hace entre tercero y cuarto grado) y que recién después (podría ser en quinto grado), cuando este procedimiento funciona bien, se haga una reflexión y un trabajo sobre el algoritmo convencional, ese que los padres aprendieron en la escuela. Establecer la relación entre el procedimiento elaborado en la escuela y el algoritmo convencional, es un trabajo matemático que los chicos están en condiciones de hacer, si en el camino han tenido la oportunidad de construir los recursos necesarios. Esto también es parte de la trasmisión cultural.
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