Propiedades de las sucesiones sucesiones
1- Si ( a n ) n
N
an Si lím n
es convergente, entonces la sucesión está acotada.
l entonces
0, H ( ) 0 / n N : n H
an
l
Esto significa ue !ara los t"rminos a H 1 , a H % , a H $ , a H # ,... se verifica an
l
a n l l a n
l
Entonces estos t"rminos a n están acotados. &or otra !arte, la sucesión a1 , a % , a$ , ..., a H tam'i"n está acotada (a ue consta de un nmero finito de elementos. Entonces, la sucesión dada ( a n ) n N está acotada.
%- Si ( a n ) n
N
es una sucesión monótona ( acotada, entonces la sucesión es convergente.
Se considera el caso de una sucesión creciente acotada su!eriormente. &or otra !arte, si la sucesión es creciente, su cota inferior coincide con a1 Si la sucesión está acotada su!eriormente, e*iste un nmero l ue ue es el su!remo. Si se considera un entorno de l de de radio : l l l Si l es es el su!remo de la sucesión, entonces
n N : a n l l a n l
+demás, l no es cota su!erior su!erior (a ue es menor ue el su!remo su!remo l . Entonces, e*iste algn valor h N / a h l omo la sucesión es creciente, si n h entonces a n a h l , !or lo ue a n l . Entonces, si n h se cum!le simultáneamente l a n
l
&or lo tanto, l es es el límite de la sucesión ( a n ) n N . Si la sucesión es decreciente ( acotada inferiormente, la demostración es análoga !ero res!ecto del ínfimo.
$- ada ada la la suce sucesi sión ón ( a n )n
N
a) ( a n )n
N
/ an
1
1
n
n
:
es creciente
&ara !ro'arlo, se utilia el /inomio de 0eton:
n n ni i (a b) a b i i0 i n
Entonces
1 n ni 1 1 1 n i n
i
n i 0 i n
donde el nmero com'inatorio está e*!resado !or:
n n2 i i2(ni)2 1 1 1
n
1
1
n
1
n.
n
1 1
n
n
1
1 1
n
1
n (n
%2
n
1
%2
1
%2
.
1
n
. 1
n
1
n
1) 1 . %
n( n
$2
n
$
n
....
n(n
1)(n %)...1 1 n2
1 1 % 1 1 % .1 1 .... .1 1 ...1 $2 n n n2 n n a1 a %
a$ ... a n an 1 ...
Entonces, la sucesión es creciente. N
.
.
n
n
1 (n 1)( n %) 1 (n 1)( n %)...1 . .... . n 1 % $2 n2 n n
omo todos los t"rminos son !ositivos:
') (a n )n
1)(n %) 1
está acotada su!eriormente
n
1 n
ado ue 1
1 n
13 1
% n
1
omo
n2
%
n 1
$
13 1 1
n
n
1 3...
n
11
1 1 1 ... %2 $2 n2
1 1 n 1 n2 % n 1 1 1 1 1 1 ... 1 n 1 % %% n % 1 1 ... es la suma de una sucesión geom"trica cu(a raón es n 1 % % %
, entonces
4a suma
S n 1
1 %
1 . Entonces: %
1
n
S n
1 r
1 r
1
% 1
n
% S n
1
1
% 1
n
%
1 % . 1 n % %
&or lo tanto
1
1
n
n
1
%$
e los !untos a) ( ') se deduce ue la sucesión ( a n )n
N
está acotada3 entonces, es convergente.
/ an
1
1
n
n
es creciente (
