ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES PROBABILIDADES LABORATORIO N° 2 1. Un producto se puede embarcar a trenes de 5 aerolíneas diferentes, cada Aerolínea puede transportar los embarques por tres rutas distintas. ¿Cuántas formas de embarcar el producto existen? Use el diagrama del árbol.
n(Ω)=1º y 2º y 3º
1 * 5 * 3 = 15 Existen 15 formas de embarcar el producto
2. Un obrero de una empresa puede realizar 4 tipos de tarea diarias, en tres diferentes horarios (mañana tarde y noche) y con dos herramientas distintas, a) ¿De cuantas maneras maneras puede realizar su tarea? tarea? b) Identifique y enumere enumere los siguientes siguientes eventos: A: El trabajador hace su tarea por la mañana B: El trabajador hace su tarea sin ninguna herramienta
Solución:
a) Aplicamos la siguiente combinación:
Por lo tanto su tarea de puede realizar de 24 maneras posibles.
b) A:
El trabajador realiza realiza su tarea por la mañana mañana de 8 maneras.
B:
El trabajo no realiza tarea sin ninguna herramienta.
3. Una caja con 50 frascos de un cierto tipo de insecticida contiene 4 frascos defectuosos y 46 no defectuosos De los 50 frascos se toma una muestra de seis. Los frascos seleccionados no se reemplazan. reemplazan. a) De que tamaño es el espacio espacio muestral b) ¿Cuantas muestras distintas de tamaño seis contienen dos frascos defectuosos? c) ¿Cuántas muestras muestras distintas de tamaño seis contienen contienen a lo máscuatro frascos defectuosos? d) ¿Cuántas muestras muestras distintas de tamaño seis contienen contienen por lo menos un frasco no defectuoso?
Solución:
a) Aplicamos la siguiente combinación:
Por lo tanto su tarea de puede realizar de 24 maneras posibles.
b) A:
El trabajador realiza realiza su tarea por la mañana mañana de 8 maneras.
B:
El trabajo no realiza tarea sin ninguna herramienta.
3. Una caja con 50 frascos de un cierto tipo de insecticida contiene 4 frascos defectuosos y 46 no defectuosos De los 50 frascos se toma una muestra de seis. Los frascos seleccionados no se reemplazan. reemplazan. a) De que tamaño es el espacio espacio muestral b) ¿Cuantas muestras distintas de tamaño seis contienen dos frascos defectuosos? c) ¿Cuántas muestras muestras distintas de tamaño seis contienen contienen a lo máscuatro frascos defectuosos? d) ¿Cuántas muestras muestras distintas de tamaño seis contienen contienen por lo menos un frasco no defectuoso?
a) De qué tamaño es el espacio muestral. El tamaño del espacio muestral es de 6. b) ¿Cuantas muestras distintas de tamaño seis contienen dos frascos defectuosos?
=
979110
c) ¿Cuántas muestras distintas de tamaño seis contienen a lo máscuatro frascos defectuosos?
d) ¿Cuántas muestras distintas de tamaño seis contienen por lo menos un frasco no defectuoso?
4. Se inspecciona un lote de 120 cajas de champú mediante la selección de una muestra de 5 de ellas, con reemplazo. Suponga que 10 cajas no cumplen con los requerimientos requerimientos del cliente. a) ¿Cuál es es el número de muestras muestras distintas posibles? posibles? b) ¿Cuántas muestras muestras de 5 contienen exactamente exactamente una caja caja que no cumple con los requerimientos? c) ¿Cuántas muestras muestras de 5 contienen contienen al menos menos un caja caja que no cumple con los requerimientos?
SOLUCIÓN:
Extraen 5 cajas
Datos del problema:
(con reemplazo)
120 cajas de champú
110 cumplen requerimientos
10 no cumplen requerimientos
a)
El número de muestras con reemplazo se tiene por PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN:
n
() n1 n2 ... n5
n
() 120
5
24883 200 000
b)
Se quiere analizar un caso en particular, entonces se determina:
A: Suceso en el cual al elegir grupos de 5 muestras, 1 de ellas no cumple con los requerimientos:
n( A) 110 110 110 110 10 1464100000 c)
Se quiere analizar otro suceso y lo llamamos B:
B: Suceso en el que al elegir una caja, al menos una no cumple con requerimientos: B’: Al elegir una caja, siempre se cumple con requerimientos: 5
5
n B n n B 120 110 8 778100 000
5. Suponga que se necesita remplazar a 5 profesionales en computación altamente calificados que laboran en una determinada sección. Si se tiene 20 trabajadores disponibles para el trabajo. ¿Cuántas selecciones de 5 diferentes son posibles? SOLUCIÓN:
Datos del problema:
20trabajadores disponibles
5 vacantes disponibles
En un suceso en el que se van a elegir una determinadas parte de un total de elementos sin importar el orden y en el que no puede haber reposición (si uno ya fue elegido, no se podrá elegir uno que no ha sido elegido en el lugar de éste): Se tiene:
n( A) C 5 20
20! 5! 20 5 !
20 19 18 17 16 5 4 3 2 1
15504
6. Un espacio muestral tiene 20 eventos equiprobables. Si la probabilidad del evento A es 0.4 ¿Cuántos resultados tiene el evento A'? Solución:
1 - 0.4= n(A’) /20
n(A’)= 20 * 0.6
n(A’)= 12
El evento complemento de A tiene 12 resultados
7. Se lanza una moneda cargada que lanzada 4 veces, tres de ellas son cara. Calcule la probabilidad que al lanzar 3 veces consecutivas exactamente se obtengan tres sellos. Calcule la probabilidad de obtener por lo menos 2 sellos Solución: P(c): ¾ (Probabilidad que caiga CARA). P(s): ¼ (Probabilidad que caiga SELLO). Ahora determinamos las probabilidades pedidas:
Probabilidad que al lanzar 3 veces consecutivas exactamente se obtengan tres sellos: ¼ x ¼ x ¼ = 1/64 La probabilidad es 1/64 .
Probabilidad de obtener por lo menos 2 sellos: Como nos piden la opción de obtener por lo menos dos sellos entonces existe la posibilidad que al lanzar tres veces consecutivas solo caigan dos sellos y tres sellos por lo tanto hacemos lo siguientes: Dos sellos: ¼ x ¼ = 1/16 Tres sellos: ¼ x ¼ x ¼ = 1/64 Ahora unimos estas dos posibilidades de la siguiente manera: Dos sellos U tres sellos = Probabilidad de obtener por lo menos 2 sellos 1/16
+
1/64
=
5/64
Entonces la probabilidad para obtener por lo menos 2 sellos es de 5/64.
8. Si P(A)=0.3, P(B)=0.4 y P(A B)=0.1. Determine las siguientes probabilidades: a) P(A') b) P(AUB) d) P(AB') e) P[(AUB)'] Solución: a) Hallamos P(A’): P(A’) = 1 – P(A) P(A’) = 1 – 0.3 P(A’) = 0.7
b) Hallamos P(A U B): P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(A U B) = 0.3 + 0.4 – 0.1 P(A U B) = 0.6 c) Hallamos P(A B'): P(A B') = P(A) – P(A.B) P(A B') = 0.3 – 0.1 P(A B') = 0.2´ d) Hallamos P[(AUB)']: P[(AUB)']: = 1 - [P(A) + P(B) - P(A B] P[(AUB)']: = 1 - 0.6 P[(AUB)']: = 0.4
9. Un fabricante necesita que los diseños de un nuevo producto sean evaluados por sus clientes en potencia, con la finalidad de tener los comentarios de éstos en etapas muy tempranas del ciclo de diseño. Con base en datos históricos si dos clientes evalúan el producto y deciden de manera independiente, que les gusta, entonces el espacio muestra] y las probabilidades pueden modelarse de la siguiente forma: Cliente 1Cliente 2_ Probabilidad aprobadoaprobado 0.05 aprobadomodificar 0.15 modificaraprobado 0.15 modificarmodificar 0.65 Calcular las probabilidades de los eventos siguientes: E: El evento en que ambos clientes aprueban el diseño G: El evento en que al menos un cliente aprueba el diseño H: El evento donde el segundo cliente aprueba el diseño.
Solución: Calcular las probabilidades de los eventos siguientes: E: El evento en que ambos clientes aprueban el diseño La probabilidad de que ambos clientes aprueben el diseño es del 0.05. G: El evento en que al menos un cliente aprueba el diseño. La probabilidad de que al menos un cliente apruebe el diseño es del 0.35 H: El evento donde el segundo cliente aprueba el diseño. La probabilidad de que el segundo cliente apruebe el diseño es del 0.20.
10. Una caja contiene 3 monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es un tercio. Se selecciona una moneda al azar. Calcular la probabilidad de obtener cara.
C Moneda 1 S C Moneda 2 C C Moneda 3 S
S1= Lanzar una moneda y obtener cara
Interpretación La probabilidad de lanzar una moneda y obtener una cara es de 1.833
11. Se toma de un lote de 17 artículos, tres artículos uno tras otro. Hallar la probabilidad de que los tres estén buenos si se sabe que hay 4 defectuosos. SOLUCIÓN:
Datos del problema:
Respecto a la calidad de los artículos:
17artículos TOTAL
13 BUENOS
4 DEFECTUOSOS
Respecto a la elección de la muestra:
S1: 1º artículo es bueno S2: 2º artículo es bueno S3: 3º artículo es bueno
El suceso que se espera obtener es de que al elegir la muestra de 3 artículos uno tras otro (o sea, que no tenga reposición) se tiene lo siguiente:
P(S1 S 2 S 3)
n(S1 S 2 S 3) n
V 313 V 317
13 12 11 17 16 15
429 1020
42.06%
12. Un armador de termínales de computadora y módems utiliza componentes de dos proveedores. La compañía A suministra el 80% y la B el 20% restante. Por experiencias anteriores el armador sabe que el 5% de los componentes suministrados por la compañía A tienen defectos y que el 3% de los componentes suministrados por la compañía B tienen defectos. Se observa que un módems armado seleccionado al azar tiene un componente defectuoso. ¿De cuál de los dos proveedores es más probable que se haya seleccionado el componente defectuoso? Solución: COMPAÑÍA A: (probabilidad que se haya seleccionado el componente defectuoso) P (MA) = P(A) X P(M/A) P (MA) = 0.8 X 0.05 P (MA) = 0.04 COMPAÑÍA B: (probabilidad que se haya seleccionado el componente defectuoso) P (MB) = P(A) X P(M/A) P (MB) = 0.2 X 0.03 P (MB) = 0.006 La probabilidad mayor es de la máquina A.
13. Una empresa cuenta con tres máquinas encargadas de fabricar piezas para equipos de granulación acuosa y con solventes utilizados en la industria Si las máquinas 1, 2 y 3 producen respectivamente 40%, 35% y 25% del número total de piezas de un lote y los porcentajes de falla en las máquinas es de 2%, 4% 5% respectivamente. Si se selecciona un artículo de ese lote: a) Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso. b) Si fue defectuoso, hallar la probabilidad de que haya sido producido por la maquinal c) Si fue no defectuoso ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por lo máquina 2? d) Si fue no defectuoso, hallar la probabilidad de que haya sido producido por la máquina 3?
SOLUCIÓN:
Datos del problema:
MAQUINA II (B)
MAQUINA I (A)
DEFECTUOSO MAQUINA III
Las probabilidades son las siguientes: P (A) = 40% P (B) = 35% P (C) = 25%
P (D / A) = 2% P (D / B) = 4% P (D / C) = 5%
a) La probabilidad de que salga defectuoso está dado por: P( D) P( A) P( D / A) P( B) P( D / B) P(C) P( D / C ) P( D) 0.4 0.02 0.35 0.04 0.25 0.05 P( D) 0.8% 1.4% 1.25% 3.45%
b) El suceso pedido está determinado por un suceso condicional P (A / D): P( A / D)
P( A D) P( D)
P( A) P( D / A) P( D)
0.40 0.02 0.0345
0.008 0.0345
23.18%
c) El suceso pedido está determinado por el condicional P (B / D’):
P( B / D ')
P( B) P( D '/ B) P( D ')
0.035 1 0.04 1 0.0345
0.336 0.9655
34.8%
d) El suceso pedido es análogo al anterior y está determinado por P (C / D’):
P(C / D)
P(C ) P( D / C ) P( D)
0.25 1 0.05 1 0.0345
0.2375 0.9655
24.59%
14. Sean Ay B sucesos de un espacio muestraltq: P(A) =0.7, P(B) =0.6 y P(AUB) = 0.9 a) ¿A y B son independientes? Justificar b) Calcular P(A B) y P (B /A). Solución: Tenemos que:
Donde:
Si A y B son independientes se cumple que:
Entonces la intersección seria:
Remplazando en la ecuación (1)
Comprobemos, remplazando los valores.
A y B no son independientes debido a no respetar las leyes de la probabilidad condicional que es la ley del producto y al remplazar en la probabilidad de la unión, este no nos da el mismo valor que nos indicaron en el enunciado. b)
15. Una empresa agroindustrial registra el número de ventas de botellas de miel de abeja entre lunes y domingo. Generalmente negocia el número de ventas los sábados. Ha establecido la siguiente distribución de probabilidad para el número de ventas que espera realizar en un sábado en particular. Número de venias X Probabilidad P(X) 5 0.10 10 0.10 15 0.20 25 0.30 48 0.30 a) Que tan probable es que venda a lo menos 3 botellas de miel de abeja b) Que tan probable es que venda a lo más 15 botellas de miel de abeja Solución: a) Como nos piden la probabilidad que se venda a los menos 3 botellas de miel de abeja y sabiendo que no tenemos datos registrados menores a 3 botellas entonces nuestra probabilidad es de 1. b) la probabilidad que se venda a los más 15 botellas de miel de abeja resulta ser: P( a los más de 15)= P(5) + P(10) + P(15) P( a los más de 15)= 0.10 + 0.10 + 0.20 P( a los más de 15)= 0.40 Entonces la probabilidad es de 0.40.
16. En un hospital se registra la estancia hospitalaria de un determinado tipo de pacientes. Al administrador del hospital le preocupa el número de camas vacantes (o vacías) cada día. Un estudio reciente reveló el número de camas desocupadas y su respectivo porcentaje de tiempo que están libres esta dado por: Número de camas vacías Probabilidad 0 0.35 1 0.25 2 0.15 3 0.12 4 0.08 5 0.05 a) Calcule el número esperado de camas vacantes sin ocupar así como su varianza.
b) Suponga que se estima que el número de camas vacantes para el próximo mes se incrementa en 3. Estime su valor esperado y su varianza. SOLUCIÓN: a) Se desea calcular el número de camas vacantes sin ocupar esperado en un determinado periodo de un hospital.
Calculamos la esperanza matemática E(x):
E ( x)
x f ( x) x
E ( x ) 0 0.35 1 0.25 2 0.15 3 0.12 4 0.08 5 0.05 E ( x) 0 0.25 0.3 0.36 0.32 0.25 1.48
Interpretación: Al hacer un estudio de camas desocupadas, se espera aproximadamente que haya 1 cama desocupada en el hospital.
Calculamos la Varianza V (x): 2
2
2
2
V ( x) 0 1.48 0.35 1 1.48 0.25 2 1.48 0.15 3 1.48 0.12 2 2 4 1.48 0.08 5 1.48 0.05
V ( x ) 0.766 0.057 0.041 0.277 0.508 0.619 V ( x ) 2.268
b) Si el número de camas vacantes se incrementa en 3: Para el valor esperado: E ( x k ) E ( x) k E ( x 3) E ( x) 3 1.48 3 4.48 Para la Varianza:
V ( x k ) V ( x) V ( x 3) V ( x) 2.268
17. Con base en experiencias pasadas, corredor de bolsa considera que bajo ¡as condiciones económicas actuales un cliente invertirá con una probabilidad de 0.6 en bonos libres de impuestos, en fondos mutualistas con una probabilidad de 0.3 y en ambos instrumentos con una probabilidad de 0.15. Encuentre la probabilidad de que a) el cliente invierta ya sea en bonos libres de impuestos o en fondos mutualistas b) el cliente invierta en ninguno de los dos instrumentos. Solución: a) El cliente invierta ya sea en bonos libres de impuestos o en fondos mutualistas. A=Bonos libres de impuestos B=Fondos mutualistas
P(A B)=P(A)+P(B)- P(A B) =0.6+0.3-0.15=0.75 b) El cliente invierta en ninguno de los dos instrumentos.
)= 1- P(AB)
P(
=1-0.75=0.25
18. La probabilidad de que a un automóvil al que se le llena el tanque de gasolina necesite también un cambio de aceite es de 0.25, la de que requiera un nuevo filtro de aceite es de 0.40 y de que le haga tanto cambio de aceite como filtro es de 0.14 a) Si debe cambiarse el aceite, ¿Cuál es la probabilidad de que necesite un filtro nuevo? b) Sí. necesita un filtro nuevo, ¿Cuál es la probabilidad de que requiera que se le cambie el aceite? Solución: a) P (F/A) = P (F n A) / P(A) = 0.14 / 0.25 = 0.56 b) P (A/F) = P (F n A) / P(F) = 0.14 / 0.4 = 0.35
19. Una firma de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de diferente número de años. Dada la distribución acumulada de T, el número de años para el vencimiento de un bono seleccionado aleatoriamente, es: 0
F(T) = Encuentre: P(T > 3)
1
1/4
I
<
T < 3
1/2
3
<
T < 5
3/4
5
<
T < 7
1
P(T = 5),
T <
T >
7
P(1.4
SOLUCIÓN:
P(T 3) P(3 T 4) P(T 3) 3/ 4 1/ 2 1/ 4
P(T 2) 1 P(2 T 3) 1 1/ 2 1/ 2
20. Suponga que el 2% de los rollos de tela de algodón son defectuosos, al igual que el 3% de los rollos de tela de naylon, ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar uno de los rollos este sea defectuoso? SOLUCIÓN:
Datos del problema:
C. NUEVAS (N)
C.DE FILO (F)
IRREGULARES C. DEGASTADAS (D)
Las probabilidades son las siguientes: P (N) = 25% P (F) = 60%
P (I / N) = 1% P (I / F) = 3%
P (D) = 15%
P (I / D) = 5%
Cálculo de la probabilidad de que un corte al ser efectuado por una de las cuchillas, este sea de naturaleza irregular:
P( I ) P( N ) P( I / N ) P( F ) P( I / F ) P( D) P( I / D ) P( I ) 0.25 0.01 0.6 0.03 0.15 0.05 P( I ) 0.0025 0.018 0.0075 2.8%
21. La irregularidad del corte de productos de papel aumenta a medida que las hojas de la cuchilla se desgastan. Sólo el 1% de productos cortados con chuchlllas nuevas tienen cortes irregulares, el 3% de los cortados con cuchillas de filo promedio exhiben irregularidades y el 5% de los cortados con cuchillas desgastadas presentan irregularidades. Si el 25% efe las cuchillas utilizadas en el proceso de corte son nuevas, el 60% tiene un filo promedio y el 15% de las cuchillas están desgastadas, ¿Cuál es la proporción de productos que tendrán cortes irregulares?
SOLUCIÓN:
Datos del problema:
C. NUEVAS (N)
C.DE FILO (F)
IRREGULARES C. DEGASTADAS (D)
Las probabilidades son las siguientes: P (N) = 25% P (F) = 60% P (D) = 15%
P (I / N) = 1% P (I / F) = 3% P (I / D) = 5%
Cálculo de la probabilidad de que un corte al ser efectuado por una de las cuchillas, este sea de naturaleza irregular:
P( I ) P( N ) P( I / N ) P( F ) P( I / F ) P( D) P( I / D ) P( I ) 0.25 0.01 0.6 0.03 0.15 0.05 P( I ) 0.0025 0.018 0.0075 2.8%
22. El sofware para detectar fraudes en las tarjetas telefónicas utilizadas por los consumidores, registra todos los días el número de áreas metropolitanas donde se originan todas las llamadas. Se tiene que el 1% de los usuarios legítimos hacen al día llamadas que se originan en 2 o más áreas metropolitanas, sin embargo, el 30% de los usuarios fraudulentos hacen al día llamadas desde 2 o más áreas metropolitanas. La proporción de usuarios fraudulentos es de 1%. Si el mismo usuario hace en un día llamadas desde dos o más áreas metropolitanas, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un usuario fraudulento? Solución: P( F/ 2 o mas) = P ( 2 o más n F) / P ( 2 o más) Pero antes hallamos: P ( 2 o más) = P(2) X P ( 2 o más / L) + P(F) X P ( 2 o más / F) P ( 2 o más) = 0.99 X 0.01 + 0.01 X 0.3 P ( 2 o más) =0.0129 Con este dato obtenido remplazamos y hallamos la probabilidad de que sea un usuario fraudulento: P( F/ 2 o mas) = P ( 2 o más n F) / P ( 2 o más) P( F/ 2 o mas) = 0.01 x 0.3 / 0.0129 P( F/ 2 o mas) = 0.2326 La probabilidad es de 0.2326.
23. Los clientes se encargan de evaluarlos diseños preliminares de varios productos en el pasado, del 95% de los productos que con mayor éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60% de los productos con éxito moderado recibieron buenas evaluaciones. Además, el 40% de los productos ha tenido mucho éxito,xel 35% un éxito moderado, y el 25% una baja aceptación. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación?.
b) Si un nuevo diseño obtiene una buena evaluación, ¿Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito? c) Si un producto no obtiene una buena evaluación,' ¿Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito? Solución: Mayor éxito Buena evaluación Buena evaluación
Éxito moderado Baja aceptación
95%
60%
5%
40%
40%
35%
25%
100%
24. La probabilidad de que la orden de un cliente no se envíe a tiempo es 0.05 un cliente realiza 3 pedidos, pero el tiempo que hay entre ellos es tan grande que pueden considerarse como eventos independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los pedidos se envíen a tiempo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de ellos no se envíe a tiempo? c) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más pedidos no se envíen a tiempo?; -
Identificamos nuestro éxito:
-
-
d) -
P(no se envié a tiempo) = 0.05
(éxito)
Nuestra variable seria: X : número de órdenes que no se envían a tiempo X = 0, 1, 2, 3. El tamaño de nuestra muestra es: n = 3. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los pedidos se envíen a tiempo? La probabilidad de que todos los pedidos sean enviados a tiempo, para nuestro existo significaría la probabilidad de que ninguno no se envié a tiempo. Entonces tendríamos:
Interpretación:La probabilidad de que todos los pedidos se entreguen a
tiempo es de 85.7%.
e)
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de ellos no se envíe a tiempo? La probabilidad de que exactamente uno de ellos no se envíe a tiempo, para nuestro éxito seria x = 1;
-
Interpretación:La probabilidad de que exactamente uno de ellos no se
envíe a tiempo es de 13.6%. f)
¿Cuál es la probabilidad de que dos o más pedidos no se envíen a tiempo? -
La probabilidad de que dos o más pedidos no se envíen a tiempo, para nuestro éxito seria x ≥ 2;
Interpretación: La probabilidad de que dos o más pedidos no se envíen a tiempo es de 0.7%.
25. Un artículo electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que cualquier circuito integrado esté defectuoso es 0.01 y los circuitos integrados son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que el artículo trabaje?
0.01
0.01
0.01
0.01
………
0.01
0.01
0.99
0.99
0.99
0.99
……..
0.99
0.99
Entonces:
Interpretación:
La probabilidad de que el circuito trabaje es de 66.9 % (0.669).
26. El volumen que una máquina de llenado automático deposita en latas de una bebida gaseosa tiene una distribución normal con media 12.4 onzas de líquido y desviación estándar de 0.1 onzas de líquidos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen depositado sea menor que 12 onzas? b) Si se desechan todas las latas que tienen menos de 12.1 o más de 12.6 onzas de líquido, ¿cuál es la proporción de latas desechadas?
Solución: a) P(X<12) P(X- u / σ ) = P (z< -4) = 0.00003
b) P1(X-12.4/ σ ) = P(12.1-12.4/ 0.1) = P( Z<-3) = 0.00135 P2(X-12.4/ σ ) = P(12.6-12.4/ 0.1) = 1 - P( Z< 2) = 1 – 0.97725 = 0.02295 P1(X-12.4/ σ ) + P2(X-12.4/ σ ) = = 0.00135 + 0.02295 = 0.0243
27. La longitud de un estuche moldeado por inyección para una cinta magnética tiene una distribución normal con una media de 90.2 mm. Y desviación estándar de 0.1 mm.¿Cuál es. la probabilidad de que la longitud de una pieza sea mayor que 90.3 mm.ó menor que 89.7 mm.? Gracias a los datos proporcionados hallaremos una distribución normal estandarizada.
X = longitud de un estuche moldeado por inyección para una cinta magnética = media = 90.2 mm = desviación estándar = 0.1 mm Según el problema hallaremos:
+ Ahora, lo llevamos a nuestra variable “Z”
+ + ……(1) Graficando tendríamos:
Para hallar la probabilidad de la parte grafica pintada haremos lo siguiente:
=1- Remplazando los valores en la ecuación 1:
+
= 0.15866+
La probabilidad de que la longitud de una pieza sea mayor que 90.3 mm.o menor que 89.7 mm es de 0.158%
28. El diámetro del punto producido por una impresora tiene una distribución normal con media de 0.002 pulgadas y desviación estándar de 0.0004 pulgadas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro del punto sea mayor que 0.0026 pulgadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro del punto, esté entre 0.0014 y 0.0026 pulgadas? c) ¿Qué valor debe tener la desviación estándar deldiámetro para que la probabilidad del inciso b) sea 0.995? SOLUCIÓN:
Datos del problema:
µ = 0.002 pulgadas
0.0004 pulgadas
a) Se quiere la probabilidad en que el diámetro del punto sea mayor a 0.0026 pulgadas:
x 0.002 0.0026 0.002 0.0004 0.0004 P( z 1.5) 1 P( z 1.5) 1 0.9332 0.0668 P x 0.0026 P
b)
P(0.0014 x 0.0026)
0.0014 0.002 x 0.002 0.0026 0.002 P(1.5 z 1.5) 0.0004 0.0004 0.0004 P( z 1.5) 1 P( z 1.5) 0.9332 0.0668 0.8664
P
c) Se sabe ahora que la probabilidad pedida debe de ser P (z) = 0.995
0.0014 0.002 x 0.02 0.0026 0.002 0.0006 0.0006 z P 0.995 P
P z
0.0006 0.0006 1 P z 0.995
0.0006 P z 0.9975 P( z 2.81)
0.006
2.81 0.00021
29. El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía de, un mes tiene una distribución normal con media de 100 y desviación estándar de a) ¿Cuál es la probabilidad del tiempo por incapacidad en siguiente mes se encuentre entre 50 y 80 horas? b) ¿Cuánto tiempo de incapacidad deberá planearse para que la probabilidad de excederlo, sea del 10%?
a) Según los datos hallaremos una distribución normal estandarizada. X = tiempo de incapacidad por enfermedad = media = 100 = desviación estándar = 20 Nos dice averiguar:
Ahora, lo llevamos a nuestra variable “Z”
) (
En el grafico tendríamos:
-2.5
-1
Para hallar la probabilidad de que este entre 50 y 80 horas (la parte grafica pintada) haremos lo siguiente.
valores de los tenemos en
-
-
-
Los estadística.
nuestra tabal
Remplazando los valores.
%
La probabilidad de que el tiempo por incapacidad en el siguiente mes se encuentre entre 50 y 80 horas es de 15.3%.
b) X0 = tiempo de incapacidad que se planeara. 10% = Probabilidad de exceder a X0 -
Sabemos que el X0 puede estar en cualquier lugar de la recta. Veamos
X0
-
Si X0 se encuentre en esa posición, su probabilidad (la parte pintada) excedería el 10% (aproximadamente seria el 90%), lo cual no cumple con la pregunta.
-
Por eso, la grafica seria de esta forma
-
X0
-
Si X0 se encuentre en esa posición, su probabilidad (la parte pintada) sería igual el 10% lo cual cumple con la pregunta.
-
Teniendo la grafica, podemos hallar la probabilidad
-
Esta es la probabilidad de exceder a X0 y esta es igual a 10%.
-
Ahora, lo llevamos a nuestra variables “Z”
( )
( ) -
Así como esta no lo podemos encontrar en la tabla estadística, para eso convertimos en el formato de la tabla utilizando la propiedad del complemento.
( ) ( ) ( )
-
En los ejercicios anteriores buscábamos el valor de “Z” y encontrábamos la probabilidad, en este caso es lo contrario, encontraremos la probabilidad para hallar el valor de “Z”.
-
Entonces el valor de “Z” es:
El tiempo de incapacidad que deberá planearse para que la probabilidad de excederlo, sea del 10% es de 126 horas aproximadamente.
30. En un estudio por parte del Ministerio de Transportes y Comunicaciones se ha determinado que en la carretera con destino a Huamachuco, hay un promedio de 20 accidentes por mes. a) ¿Cuál es la probabilidad en un mes haya 15 accidentes? b) ¿Cuál es la probabilidad en dos meses haya 32 accidentes? c) ¿Cuál es la probabilidad en un mes hayan menos de 22 accidentes? d) ¿Cuál es la probabilidad en una semana haya 3 o menos accidentes? e) ¿Cuál es la probabilidad en una semana haya 3 o más accidentes?
Solución:
a) P(X=15) = P( X<=15) – P( x<=14)
σ =10
P(X=15) = 0.961 – 0.917 P(X=15) = 0.044
b) P(X=32) = P( X<=32) – P( x<=31)
σ =20
P(X=15) = 0.995 – 0.992 P(X=15) = 0.003
c) P(<22) = 0.999
σ =10
d) P(<=3) = 0.758
σ =2.5
e) P(>=3) = 1 - P(<=2) P(>=3) = 1 – 0.544
σ=2.5
P(>=3) = 0.456
31. El número de fallas que sufre cierta marca de neumáticos debido a cusas externas cada vez que recorre 2500 km. tiene media 2 fallas por cada 2500 km. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) los neumáticos no fallen en un recorrido de 2500 km? b) se presente al menos una falla en un recorrido de 2500 km? c) los neumáticos no fallen en un recorrido de 5000 Km? Identificando datos x: número de fallas que sufre cierta marca de neumáticos. μ=ƛ =2 fallas Calculando los ítems pedidos, teniendo en cuenta que se trata de una probabilidad con distribución de Poisson.
P(x = 0) = P(x<=0) Utilizando la tabla de estadística para una distribución de Poisson, para calcular el valor de P(x<=0), . P(x<=0) = 0.135
La probabilidad de que los neumáticos no fallen en un recorrido de 2500km es del 13.5%
P(x >=1) Utilizando propiedad del complemento para hallar el valor de
.
P(x>=1) = 1- P(x<=0) Utilizando la tabla de estadística para una distribución de Poisson, para calcular el valor de P(x<=0),
.
P(x>=1) = 1- 0.135=0.8650 Interpretación: La probabilidad de que al menos tenga una falla en un recorrido de 2500km es del 86.5%.
Identificando datos para este ítem: x: número de fallas que sufre cierta marca de neumáticos.
Cálculo de probabilidad pedida. P(x=0) = P(x<=0) = 0.018 Interpretación: La probabilidad de que los neumáticos no fallen en un recorrido de 5000km es del 1.8%.
32. En una empresa donde el 80% de los empleados son hombres, están aptos para jubilarse el 10% de las mujeres y el 10% de los hombres. De cinco solicitudes para jubilarse. ¿Cuál es la probabilidad de al menos estén aptos para jubilarse? Solución: N= cantidad de solicitudes= 5
Usaremos la Ley de la Probabilidad total
Usando tabla: Par términos acumulados para cada uno de los valores posibles P(X ≤ 0) = 1 P(X ≤ 1) = 0.49 P(X ≤ 2) = 0.01 P(X ≤ 3) = 0+ P(X ≤ 4) = 0+ P(X ≤ 5) = 0+
Estado
Total 100%
Defectuoso
4%
Bueno
96%
La probabilidad de que exactamente se obtenga en la muestra 4 artículos defectuosos es de 0.65%.
S1= Ninguno defectuoso.
La probabilidad de que en la muestra no se encuentren artículo defectuoso es de 44,2%.
