1.6 Conceptos Iniciales Condensación Estática

Capítulo 1

Conceptos Generales Método de análisis matricial. Condensación estática.

GUSTAVO CHIO

DINÁMICA ESTRUCTURAL - UIS

1

Método de análisis matricial Evalúe la rotación en el nodo B de la viga ilustrada. La viga se encuentra empotrada en sus extremos y simplemente apoyada en el punto medio. La viga es de concreto (E = 20 GPa) y tiene una sección constante a lo largo de su longitud (L = 6 m, I = 0.0007 m4). El primer tramo AB tiene una carga uniformemente distribuida (w = 20 kN/m) A

B

C

L CHIO-MAYO 2012


2

Método de análisis matricial Evalúe la rotación en el nodo B de la viga ilustrada. La viga se encuentra biempotrada en sus extremos y simplemente apoyada en el punto medio. La viga es de concreto (E = 20 GPa) y tiene una sección constante a lo largo de su longitud (L = 6 m, I = 0.0007 m4). El primer tramo AB tiene una carga uniformemente distribuida (w = 20 kN/m)

w A

B

C

L A

Solución :

B

C

θ

L

Al ensamblar la matriz de rigidez de la viga e introducir las condiciones de apoyos, el sistema de ecuaciones se reduce al grado de libertad de la rotación en el nudo B. {M }n + {M }equiv = [K ]{y} 

  4 EI   = 2 {θ }  12   b  wa 2 b L θ= a=b= 96 EI 2

{0} +  wa

2

E= L= I= w= Mequiv = k(θ) = θ=

20 6 0.0007 20

GPa m m4 kN/m

15 kN-m 37333.33333 0.000401786 rad

Respuesta : La rotación del nudo B debido a la carga aplicada es igual a 0.000402 radianes

CHIO-MAYO 2012


3

Método de análisis matricial {F }n = [K ]e {y}e + {F }emp

Matriz tramo AB

k12 ...  k11  F1  k F  k 22 2  21    k 31  F3  k 32 .    . F 4  .      F5  =  .  F 0  k  6,1 k 6, 2  6  .  F7     F  .  9  F10  n k10,10 k10, 2 ... {F6 }n = [k 66 ]e {y 6 }e + {F6 }emp

{0}n

Matriz tramo BC 0

. k 6,6 . .

k1,10   y1   F1  0 k 2,10   y 2   F2   0   k 3,10   y 3   F3    0   .   y 4   F4   0   .   y 5  +  F5      - wa2/12 .  y6 F  0  6    y  F    7 0  7    y 9   F9  0 k10,10  e  y10  e  F10  emp

 4 EI    wa 2   4 EI  =  +     {y 6 }e + − a b 12       emp tramoAB tramoBC  e

 wa 2   4 EI    = 2 {θ B }  12   a  CHIO-MAYO 2012

⇒

donde a = b =

L 2

wa 3 wL3 θ= = 96 EI 768EI DINÁMICA ESTRUCTURAL - UIS

4

Método de análisis matricial Solución paso a paso. Numerar los nudos y elementos y evaluar las propiedades mecánicas de la sección transversal y los coeficientes de rigidez de la matriz de rigidez. Elemento 1 2

Tramo AB BC

Ni A B

Nj B C

Elemento 1 2

Ni 1 2

Nj 2 3

GL1 1 4

GL2 2 5

Elemento 1 2

L [m] 3 3

A [m2] 1 1

I [m4] 0.0007 0.0007

E [kN/m2] 2.00E+07 2.00E+07

Elemento 1 2

AE/L 6666666.667 6666666.667

12EI/L3 6222.22222 6222.22222

6EI/L2 9333.33333 9333.33333

4EI/L 18666.6667 18666.6667

GL3 3 6

GL4 4 7

GL5 5 8

GL6 6 9

2EI/L 9333.33333 9333.33333

Ángulo [ θ] 0 0

cos(θ) 1 1

seno(θ) 0 0

w A

B

C

L CHIO-MAYO 2012


5

Método de análisis matricial Elemento 1 GL1 1 AE/L 6666666.67

GL2 2

GL3 3 3

12EI/L 6222.222222

Matriz de rigidez, [K] L GL 1 1 6666666.667 2 0 3 0 4 -6666666.667 5 0 6 0 Elemento 2 GL1 4

2

6EI/L 9333.33333

2 0 6222.22222 9333.33333 0 -6222.22222 9333.33333

GL4 4

GL5 5

GL6 6

4EI/L 18666.6667

2EI/L 9333.33333

Ángulo [ θ] 0

cos(θ) 1

GL3 6

GL4 7

GL5 8

GL6 9

12EI/L3 6222.222222

6EI/L2 9333.33333

4EI/L 18666.6667

2EI/L 9333.33333

Ángulo [ θ] 0

Matriz de rigidez, [K] L GL 4 4 6666666.667 5 0 6 0 7 -6666666.667 8 0 9 0

5 0 6222.22222 9333.33333 0 -6222.22222 9333.33333

6 7 8 9 0 -6666666.67 0 0 9333.33333 0 -6222.22222 9333.333333 18666.6667 0 -9333.33333 9333.333333 0 6666666.67 0 0 -9333.33333 0 6222.22222 -9333.333333 9333.33333 0 -9333.33333 18666.66667

CHIO-MAYO 2012

Matriz de rigidez en coordenadas locales

3 4 5 6 0 -6666666.67 0 0 9333.33333 0 -6222.22222 9333.333333 18666.6667 0 -9333.33333 9333.333333 0 6666666.67 0 0 -9333.33333 0 6222.22222 -9333.333333 9333.33333 0 -9333.33333 18666.66667

GL2 5

AE/L 6666666.67

seno(θ) 0

cos(θ) 1


Solución paso a paso.

seno(θ) 0

6

Método de análisis matricial Solución paso a paso. Sistema de ecuaciones [k] * {d} + {fep} = {fn} Matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales GL 1 2 3 4 1 6666666.667 0 0 -6666666.67 2 0 6222.22222 9333.33333 0 3 0 9333.33333 18666.6667 0 4 -6666666.667 0 0 13333333.3 5 0 -6222.22222 -9333.33333 0 6 0 9333.33333 9333.33333 0 7 -6666666.67 8 0 9 0 Vector desplazamiento GL 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 θ 7 0 8 0 9 0

CHIO-MAYO 2012

Vector cargas GL 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 -30 -15 0 -30 15 0 0 0

5 0 -6222.22222 -9333.33333 0 12444.4444 0 0 -6222.22222 9333.33333

6 7 8 9 0 9333.333333 9333.333333 0 -6666666.67 0 0 0 0 -6222.22222 9333.33333 37333.33333 0 -9333.33333 9333.33333 0 6666666.67 0 0 -9333.333333 0 6222.22222 -9333.33333 9333.333333 0 -9333.33333 18666.6667

Vector desplazamiento. Solución del sistema de ecuaciones GL 2 0 m 3 0 m 4 0 rad 5 0 m 6 0 m 7 0.00040179 rad 8 0 m 9 0 m 0 0 rad


7

Método de análisis matricial

CHIO-MAYO 2012


8

Condensación estática Condensación Estática

[K] [U] = [F] [K PP ] [K ]  SP

[K PS ] {U P } {FP }  =   [KSS ] {US }  {0} 

[K PP ] { U P } + [ K PS] { U S } = { F P }

P = Primarios S = Secundarios

[K PP ] { U P } - [ K PS] [KSS ]-1 [KSP ] { U P } = { FP }

[ K SP ] { U P } + [ K SS] { U S } = { 0 } -1

{ US } = - [K SS ] [K SP ] { U P }

[ [ K PP ] - [ K PS] [ KSS ]-1 [ KSP ] ] { U P } = { FP } [K ]condensada

[K ]condensada { U P } = { FP } CHIO-MAYO 2012


9

Condensación estática. Ejercicio Evalúe la constante de rigidez para el desplazamiento en el extremo libre de una viga en voladizo sometida a una carga puntual en el extremo libre del voladizo. A = 0.09 m2; I = 6.75x10-4 m4; E = 20x106 kN/m2. L = 3m; P = 3 kN.

CHIO

DINAMICA ESTRUCTURAL-UIS

10

Condensación estática. Ejercicio Evaluaremos la constante de rigidez utilizando los métodos del teorema de Castigliano. A = 0.09 m2; I = 6.75x10-4 m4; E = 20x106 kN/m2. L = 3m; P = 3 kN.

Localizando el sistema coordenado en el extremo empotrado

Localizando el sistema coordenado en el extremo libre

∂M = −(L − x ) ∂P L L M ∂M P (L − x ) δ =∫ ∂x = ∫ (L − x )∂x = ∫ P L2 − 2 Lx + x 2 ∂x EI ∂P EI EI L 0 0

∂M =x ∂P L M ∂M Px δ =∫ ∂x = ∫ (x )∂x EI ∂P EI L 0

M = P (L − x )

(

M = Px

)

L

M ∂M P  2 x2 x3  P  2 L2 L3  PL3 P δ =∫ ∂x = − 2 + = − 2 + = − = L x L L L L     EI ∂P EI  2 3  0 EI  2 3 3EI k L

M ∂M P  x3  P  L3  PL3 P ∂x = = = δ =∫    = EI ∂P EI  3  0 EI  3  3EI k L

3EI 3 20 x10 6 6.75 x10 −4 k= 3 = = 1500kN / m L (3)3

k=

L

(

CHIO

)(

)

(

)(

)

3EI 3 20 x10 6 6.75 x10 − 4 = = 1500kN / m L3 (3)3

DINAMICA ESTRUCTURAL-UIS

11

Condensación estática Utilizando el método de análisis matricial. Elemento 1

Tramo AB

Ni A

Nj B

Elemento 1

Ni 1

Nj 2

GL1 1

GL2 2

Elemento 1

L [m] 3

A [m2] 0.09

I [m4] 0.000675

E [kN/m2] 2.00E+07

Elemento 1

AE/L 600000

12EI/L3 6000

6EI/L2 9000

GL2 2

GL3 3

12EI/L3 6000

Matriz de rigidez, [K] L GL 1 1 600000 2 0 3 0 4 -600000 5 0 6 0

Elemento 1 GL1 1 AE/L 600000

CHIO-MAYO 2012

GL3 3

GL4 4

GL5 5

GL6 6

4EI/L 18000

2EI/L 9000

Ángulo [ θ] 0

cos(θ) 1

seno(θ) 0

GL4 4

GL5 5

GL6 6

6EI/L2 9000

4EI/L 18000

2EI/L 9000

Ángulo [ θ] 0

cos(θ) 1

seno(θ) 0

2 0 6000 9000 0 -6000 9000

3 0 9000 18000 0 -9000 9000

4 -600000 0 0 600000 0 0

5 0 -6000 -9000 0 6000 -9000

6 0 9000 9000 0 -9000 18000


12

Condensación estática

[K] [U] = [F] Matriz de rigidez de la viga [k] con condiciones de borde GL 1 2 3 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 Vector desplazamiento GL 1 0 2 0 3 0 4 d4 5 d5 6 d6

CHIO-MAYO 2012

Vector cargas GL 1 2 3 4 5 6

4 0 0 0 600000 0 0

5 0 0 0 0 6000 -9000

6 0 0 0 0 -9000 18000

0 0 0 0 -3 0


13

Condensación estática Reordenamos el sistema de ecuaciones en desplazamientos principales y secundarios

[K PP ] [K ]  SP

Matriz de rigidez de la viga [k] GL 5 5 6000 1 0 2 0 3 0 4 0 6 -9000 Vector desplazamiento GL 5 d5 1 0 2 0 3 0 4 d4 6 d6

CHIO-MAYO 2012

1 0 1 0 0 0 0

[K PS ] {U P } {FP }  =   [KSS ] {US }  {0}  2 0 0 1 0 0 0

Vector cargas GL 5 1 2 3 4 6

3 0 0 0 1 0 0

4 0 0 0 0 600000 0

6 -9000 0 0 0 0 18000

-3 0 0 0 0 0


14

Condensación estática Reordenamos el sistema de ecuaciones en desplazamientos principales y secundarios [K PP ] [K ]  SP

[K PS ] {U P } {FP } = [KSS ] {US }  {0} 

[kpp] 6000

[kps] 0

0

0

0

-9000

[ksp] 0 0 0 0 -9000

[kss] 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 600000 0

0 0 0 0 18000

[kss]-1 1.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 [kss]-1*[ksp] 0 0 0 0 -0.5

0.00E+00 1.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

0.00E+00 0.00E+00 1.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -[kss]-1*[ksp] 0 0 0 0 0.5

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 1.67E-06 0.00E+00

0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 5.56E-05 -[kps]*[kss]-1*[ksp] -4500

[kpp]-[kps]*[kss]-1*[ksp] 1500

Respuesta: la constante de rigidez equivalente kequiv es igual a 1500 kN/m

CHIO-MAYO 2012


15

Lecturas, Tarea y Referencias Lectura •“Overview of Structural Dynamics”. Tomado del libro: Dynamics of structures. Ray W. Clough y Joseph Penzien. Capítulo 1. p 1-12. Pregunta: ¿Es el principio d’Alembert una ley diferente a las leyes de Newton de la mecánica clásica?.

Tarea •

Resolver el cuestionario 1

Referencia • PAZ, M. Dinámica Estructural, REVERTÉ • CLOUGH, Ray y PENZIEN, Joseph. Dynamics of Structures. Mc Graw Hill • GARCIA, Luis. Dinámica Estructural aplicada al diseño sísmico. UNIANDES • MALDONADO R., Esperanza y CHIO CHO, Gustavo. Análisis sísmico de edificaciones. Ediciones UIS. CHIO-2014


16

1.6 Conceptos Iniciales Condensación Estática

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