PRÁCTICA N°3 ESCUELA : INGENIERÍA INDUSTRIAL DOCENTE : ING. HUGO DE LA CRUZ DE LA CRUZ ASIGNATURA : INVESTIGACION : INVESTIGACION DE OPERACIONES TEMÁTICA : PROGRAMACIÓN DE MODELOS LINEALES CICLO : 2018 - l PROBLEMA N° 01 Una pequeña refinería mezcla 5 crudos para producir 2 grados de gasolina “A” y “B”. El número de barriles diarios disponibles, número de octanos y el costo por barril, aparecen en la tabla siguiente.
CRUDO
#OCTANOS
BARRILES/DIA
1 2 3 4 5
70 80 85 90 99
2,000 4,000 4,000 5,000 3,000
COSTO x BARRIL 80 90 95 115 200
El número de octanos de gasolina “A” no puede ser menor de 95 y de la “B” menor de 85. Asumir que una disposición gubernamental obliga a producir por lo menos 8,000 barriles de gasolina tipo “B”. La gasolina de tipo A se vende a los distribuidores a 375 por barril y la B a 285 por barril. Los crudos no utilizados para producir gasolina “A” y “B”
siempre y cuando tengan al menos 90 octanos se vende como gasolina de aviación a 257 por barril y aquellos con 85 octanos, como máximo se vende como “extra” a 125 por barril. Si deseamos maximizar las utilidades diarias. ¿Cuál debe ser la producción de gasolina “A” y “B”? ¿Cómo debemos mezclar los crudos?
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SOLUCIÓN Sea X ij = Números de barriles del i-ésimo crudo dedicados al j- és im o gr ad o de ga so lina y al cr ud o que no se ut iliza (C) i = 1; 2; 3; 4; 5 Sabemos que:
j = A, B, C
UTILIDAD = VENTAS - COSTOS
DETERMINACIÓN DE LAS VENTAS: Ventas=375(X 1A +X 2 A +X 3A +X 4A +X 5A )+285(X 1B +X 2B +X 3 B +X 4B +X 5B )+275(X 1 C +X 2 C + X 3 C +X 4 C +X 5C )
DETERMINACIÓN DE LOS COSTOS: Costos=80(X 1 A +X 1B +X 1 C )+90(X 2A +X 2B +X 2 C )+95(X 3A +X 3B +X 3 C )+115(X 4A +X 4 B +X 4C ) + 200(X 5A +X 5B +X 5 C )
EL PROGRAMA LINEAL ES: Max:Z=295X 1 A +285X 2A +280X 3A +260X 4A +175X 5 A +205X 1B +195X 2B +190X 3B +45X 1C +35X 2 C +30X 3C +160X 4C +174X 5 C
Sujeto a: Restricciones debido al octanaje de Gasolina “A” (70X + 80X + 85X + 90X + 99X ) (X + X + X + X + X )
≥ 95
70X + 80X + 85X + 90X + 99X ≥ 95X + 95X + 95X + 95X + 95X
−25X − 15X − 10X − 5X + 4X ≥ 0
Restricciones debido al octanaje de Gasolina “B” (70X + 80X + 85X + 90X + 99X ) (X + X + X + X + X )
≥ 85
70X + 80X + 85X + 90X + 99X ≥ 85X + 85X + 85X + 85X + 85X
2
−15X − 5X + 5X + 14X ≥ 0
Se debe producir al menos 8 000 barriles diarios de gasolina tipo “B” (X + X + X + X + X ) ≥ 8 000
Restricciones debido a la disponibilidad de los crudos X 1 A +X 1B +X 1 C = 2 000 X 2 A +X 2B +X 2 C = 4 000 X 3 A +X 3B +X 3 C = 4 000 X 4 A +X 4B +X 4 C = 5 000 X 5 A +X 5B +X 5 C = 3 000 X ij ≥ 0,
i = 1; 2; 3; 4; 5
;
j = A, B, C
PROBLEMA N° 02 Aero Perú está considerando la probabilidad de adquirir aviones de pasajeros en el mercado mundial: U.S.A., Inglaterra o Rusia. El costo del avión (USA) A es de $6.7 millones, el avión (Inglés) B en $5 millones y el avión (Ruso) C de $3.5 millones. El directorio de dicha empresa ha autorizado la compra de aviones por valor de 150 millones. Los economistas de Aero-Perú han calculado que cualquier que sea el tipo A de mayor capacidad proporcionará una utilidad neta de $ 420.000 anuales, el avión B proporcionará una utilidad neta de $ 300,000 y el avión C una utilidad de $ 230,000 anuales. Por otro lado se conoce que la fuerza Aérea Peruana sólo le podría proporcionar 30 pilotos debidamente entrenados. Si sólo se adquieren los aviones más pequeños, los servicios de reparación y servicio con que cuenta Aero-Perú solamente podrán mantener en operación un máximo de 40 unidades. Además se sabe que mantener un avión B requiere 1 1/3 más que el avión C y que el avión A requiere 1 2/3 más que el C Determine el número de cada tipo de avión que se debe comprar para maximizar las utilidades.
3
SOLUCION Definiendo las variables:
X1: Cantidad a comprar de aviones A X2: Cantidad a comprar de aviones B X3: Cantidad a comprar de aviones C FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR UTILIDADES Max: Z = 420 X 1+ 300 X2 + 230 X3
Restricciones: Por el costo de cada avión:
6,7 X1 +5 X2 + 3,5 X3≤ 150
Por la cantidad de pilotos disponibles:
X1 + X2 + X3≤ 30
Capacidad de mantenimiento de los aviones: X1≥ 0
;
X 2≥ 0
;
1 + 1 +
≤ 40
X 3≥ 0
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PROBLEMA N° 03 (destilación de crudos). Una compañía de petróleos produce en sus refinerías gasóleo (G), gasolina sin plomo (P) y gasolina súper (S) a partir de dos tipos de crudos, c1 y
c
2
. Las refinerías están dotadas de dos tipos de tecnologías.
La tecnología nueva
T n utilizan en cada sesión de destilación 7 unidades
de
y 12 de c2 , para producir 8 unidades de G, 6 de P y 5 de S. con la tecnología antigua T , se obtienen en cada destilación 10 unidades de G, 7 de c
1
a
P y 4 de S, con un gasto de 10 unidades de c1 y 8 de c2 . Estudios de demanda permiten estimar que para el próximo mes se deben producir al menos 900 unidades de G, 300 de P y entre 800 y 1700 de S. las disponibilidades de crudo c1 es de 1400 unidades y de Los beneficios por unidad producida son. Gasolina G Beneficio/u 4
P 6
c
2
de 2000 unidades.
S 7
La compañía desea conocer cómo utilizar ambos procesos de destilación, que se pueden realizar total o parcialmente, y los crudos disponibles para que el beneficio sea el máximo. SOLUCION Definiendo las variables: X1: Número de destilaciones con Tn. X2: Número de destilaciones con Ta. Tenemos restricciones debido a las limitaciones en la disponibilidad de ambos tipos de crudos: Para C1: (7 unidades de C1) . (X1 Destilaciones) ≤ Disponibilidad de C1,
es decir:
5
7 X1 + 10 X2 ≤ 1 400 Para C2: 12 X1 + 8 X2 ≤ 2 000 Además, sabemos que si se producen X1 destilaciones con Tn y
X2 destilaciones con Ta, los productos obtenidos son:
8 X1 + 10 X2 Unidades de G 6 X1 + 7 X2 Unidades de P 5 X1 + 4 X2 Unidades de S D e los estudios de demanda, podemos establecer las restricciones 8 X1 + 10 X2
≥ 900
6 X1 + 7 X2
≥ 300
5 X1 + 4 X2
≤ 1 700
5 X1 + 4 X2
≥ 800
(Demanda de G) (Demanda de P) (Demanda de S) (Demanda de S)
El objetivo es minimizar el beneficio B del producto destilado, esto es: B =(Beneficio por unidad de G)(Unidades producidas de G) +(Beneficio de P)( Producción de P) + (Beneficio de S)(Producción de S) B = 4(8 X1 + 10 X2 )+ 6(6 X1 + 7 X2 ) + 7 (5 X 1 + 4 X2 ) B = 32 X1 + 40 X2 + 36 X1 + 42 X2 + 35 X1 + 28 X2 B = 103 X1 + 110 X2 EL PROGRAMA LINEAL ES :
Max B = 103 X1 + 110 X2 6
Sujeto a:
7 X1 + 10 X2
≤ 1 400
12 X1 + 8 X2
≤ 2 000
8 X1 + 10 X2
≥ 900
6 X1 + 7 X2
≥ 300
5 X1 + 4 X2
≤ 1 700
5 X1 + 4 X2
≥ 800
X1
≥0
X2
≥0
PROBLEMA N° 04 Una empresa petrolera mezcla 4 crudos para producir 3 grados de gasolina “M” y “N”. El número de barriles diarios disponibles, número de octanos y el costo por barril, aparecen en la tabla siguiente. CRUDO
#OCTANOS
BARRILES/DIA
1 2 3 4
80 75 90 100
2,500 4,300 3,800 6,000
COSTO x BARRIL 70 80 90 100
El número de octanos de gasolina “M” no puede ser menor de 90 y de la “N” menor de 80. Asuma que por disposición de gobierno obliga a producir por lo menos 7,000 barriles de gasolina tipo “N”. La gasolina de tipo M se vende a los distribuidores a 400 por barril y la N a 300 por barril. Los crudos no util izados para producir gasolina “M” y “N” siempre y cuando tengan al menos 100 octanos se venden como gasolina de aviación a 300 por barril y aquellos con 90 octanos, como máximo se vende como “extra” a 150 por barril. Si deseamos maximizar las utilidades diarias. ¿Cuál debe ser la producción de gasolina “M” y “N”? ¿Cómo debemos mezclar los crudos? 7
SOLUCIÓN Sea X i j = Números de barriles del i-ésimo crudo dedicados al jésimo grado de gasolina y al crudo que no se utiliza (C) i = 1; 2; 3; 4
Sabemos que:
;
j = M, N, C
UTILIDAD = VENTAS - COSTOS
DETERMINACIÓN DE LAS VENTAS: Ventas=400(X 1M +X 2 M +X 3M +X 4M )+300(X 1 N +X 2N +X 3N +X 4N )+300(X 1C +X 2 C + X 3 C +X 4 C )
DETERMINACIÓN DE LAS VENTAS: Costo=70(X 1M +X 1N +X 1 C )+80(X 2M +X 2 N +X 2 C )+90(X 3M +X 3N +X 3C )+100(X 4 M +X 4N +X 4C )
EL PROGRAMA LINEAL ES: Max:Z=330X 1 M +320X 2M +310X 3 M +300X 4 M +230X 1N +220X 2N +210X 3N +200X 4 N +230X 1C +220X 2C +210X 3C +200X 4C
Sujeto a: Restricciones de bido al octanaje de Gasolina “M” (80X + 75X + 90X + 100X ) (X + X + X + X )
≥ 90
80X + 75X + 90X + 100X ≥ 90X + 90X + 90X + 90X
−10X − 15X + 10X ≥ 0 Restricciones debido al octanaje de Gasolina “ N ” (80X + 75X + 90X + 100X ) (X + X + X + X )
≥ 80
8
80X + 75X + 90X + 100X ≥ 80X + 80X + 80X + 80X
−5X + 10X + 20X ≥ 0
Se debe producir al menos 8 000 barriles diarios de gasolina tipo “ N ” (X + X + X + X ) ≥ 7 000
Restricciones debido a la disponibilidad de los crudos X 1 M +X 1N +X 1C = 2 500 X 2 M +X 2N +X 2C = 4 300 X 3 M +X 3N +X 3C = 3 800 X 4M +X 4N +X 4C = 6 000
X i j ≥ 0,
i = 1; 2; 3; 4
;
j = M, N, C
PROBLEMA N° 05 LATAN Airlines está considerando la probabilidad de adquirir aviones de pasajeros en el mercado europeo, asiático y latino. El costo del avión (europeo) X es de $7.2 millones, el avión (asiático) Y en $6 millones y el avión (latino) Z de $4.2 millones. El directorio de dicha empresa ha autorizado la compra de aviones por valor de 200 millones. Los economistas de LATAN han calculado que cualquiera que sea el tipo X de mayor capacidad proporcionará una utilidad neta de $ 450.000 anual, el avión Y proporcionará una utilidad neta de $ 350,000 y el avión Z una utilidad de $ 250,000 anuales. Por otro lado se conoce que la fuerza Aérea Peruana sólo le podría proporcionar 35 pilotos debidamente entrenados. Si sólo se adquieren los aviones más pequeños, los servicios de reparación y servicio con que cuenta LATAN solamente podrán mantener en operación un máximo de 45 unidades. Además se sabe que mantener un avión Y requiere 1 1/5 más que el avión Z y que el avión X requiere 1 3/4 más que el Z Determine el número de cada tipo de avión que se debe comprar para maximizar las utilidades.
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SOLUCIÓN Definiendo las variables: X1: Número de aviones a comprar en el mercado europeo X2: Número de aviones a comprar en el mercado asiático X3: Número de aviones a comprar en el mercado latino Función Objetivo
Max Z=450X1 + 350X2 + 250X3 (en miles $)
Sujeto a: Presupuesto:
7.2X1 + 6X2 + 4.2X3 ≤ 200 (millones $)
Pilotos:
X1 + X2 + X3 ≤ 35
Mantenimiento: (7/4) X1+ (6/5) X2+ X3 ≤ 45 No negatividad: X1≥0
;
X2≥0
;
X3≥0
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