Analisi sismica di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dello Spettro di Risposta
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Analisi sismica con lo spettro di risposta
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Ai fini progettuali è importante conoscere i valori massimi della risposta in termini di sforzi interni e di spostamenti.
La determinazione della risposta massima di un sistema a molti gradi di libertà può essere eseguita convenientemente utilizzando il concetto di spettro di risposta, definito per i sistemi lineari viscosi a un grado di libertà.
L’equazione del moto di un sistema lineare viscoso a un grado di libertà sollecitato da un’accelerazione del suolo üg(t) si scrive
+ 2ξω u(t) + ω 2u(t) = − u(t) u g (t) Per un assegnato moto del suolo üg(t), la risposta u(t) dipende solo dalla frequenza del sistema ω, o dal corrispondente periodo naturale T, e dal rapporto di smorzamento ξ. Si ha cioè
u = u ( t,T , ξ )
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In genere, l’accelerazione del suolo varia con notevole irregolarità. Per tale ragione la soluzione dell’equazione può essere eseguita solo mediante metodi numerici. Una volta calcolata la storia nel tempo della risposta u(t), gli sforzi interni possono essere valutati attraverso un’analisi statica della struttura eseguita a ogni istante di tempo desiderato applicando la forza equivalente
fS (t) = ku(t) = mω 2u(t) = mA(t) in cui A(t) = ω2u(t) è la pseudo-accelerazione. Il taglio e il momento ribaltante alla base risultano
Tb (t) = mA(t) M b (t) = hmA(t) = hTb (t) in cui h è l’altezza della massa rispetto alla base.
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Spettro di risposta
Assegnato un moto del suolo üg(t), il diagramma dei valori massimi della risposta in funzione del periodo naturale del sistema T, per un valore prefissato del rapporto di smorzamento ξ, è chiamato spettro di risposta.
La variazione di T consente di considerare tutti i possibili sistemi lineari viscosi a un grado di libertà.
Al variare di ξ si possono tracciare diversi spettri, in modo da considerare i tipici intervalli di variazione dello smorzamento delle strutture.
Pertanto, per un’assegnata componente del moto del suolo, lo spettro di risposta consente di rappresentare la risposta massima di tutti i possibili sistemi lineari viscosi a un grado di libertà.
Gli spettri di risposta possono essere tracciati in funzione di diverse quantità:
u0 (T , ξ ) = max u(t,T , ξ ) = D (T , ξ )
spostamento
u0 (T , ξ ) = max u(t,T ,ξ)
velocità
u0t (T , ξ ) = max ut (t,T , ξ )
accelerazione totale
t
t
t
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Da un punto di vista applicativo sono importanti gli spettri di risposta in termini di pseudovelocità V e di pseudo-accelerazione A definiti in funzione di D come segue
2π V = ωD = D T
⎛ 2π ⎞ A=ω D =⎜ ⎟ D ⎝ T ⎠ 2
2
La pseudo-velocità V non rappresenta la velocità effettiva, ma è legata al valore massimo E dell’energia di deformazione immagazzinata dal sistema durante il sisma:
E=
1 2 1 2 1 1 2 kD = ω mD 2 = m (ω D ) = mV 2 2 2 2 2
La pseudo-accelerazione A non rappresenta l’accelerazione effettiva del sistema, ma consente di calcolare il valore massimo del taglio alla base:
Tb0 = mA che risulta pari alla forza d’inerzia associata alla massa m sottoposta all’accelerazione A.
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Per un accelerogramma assegnato, è possibile calcolare i valori di D, V e A incorrispondenza di valori discreti di T e di ξ, costruendo così gli spettri di risposta che si presentano, in generale, con una forma piuttosto irregolare.
Per ogni sito di interesse è importante, da un punto di vista applicativo, poter disporre di spettri regolari. Questi possono essere ottenuti normalizzando, mediando e regolarizzando gli spettri corrispondenti a gruppi di accelerogrammi compatibili con la geologia e i meccanismi sismogenetici del sito.
Spettri di questo genere sono forniti dalle norme sismiche.
A, g
1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
T, s
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Risposte modali massime
Il valore massimo del contributo alla risposta del modo n-esimo può essere calcolato attraverso lo spettro di risposta elastico in termini della pseudo-accelerazione spettrale
An = An (Tn , ξn ) e la risposta modale massima risulta
rn0 = rnst An st Il segno di rn0 è uguale al segno di rn perché An è sempre positiva.
Le risposte modali non sono sincrone e quindi non raggiungono simultaneamente i loro valori massimi. Pertanto, le risposte modali massime determinate attraverso lo spettro di risposta non possono essere sommate direttamente, ma solo combinate in maniera approssimata.
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Regole di combinazione dei contributi modali massimi
Una buona stima della risposta nel caso di strutture con frequenze naturali ben separate è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati, cioè
⎛ ⎞ r0 = ⎜ ∑ rn02 ⎟ ⎝ n=1 ⎠ N
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Per strutture in cui le frequenze naturali non sono ben separate, una migliore stima può essere ottenuta con la regola della combinazione quadratica completa, cioè
⎛ ⎞ r0 = ⎜ ∑ ∑ ρin ri 0 rn0 ⎟ ⎝ i=1 n=1 ⎠ N
N
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in cui ρin è il coefficiente di correlazione relativo ai modi i ed n. Il coefficiente ρin è pari a 1 quando i = n, mentre è compreso tra 0 e 1 negli altri casi. Diverse espressioni sono state presentate nella letteratura scientifica per tale coefficiente. A titolo di esempio, nel caso in cui
ξi = ξn = ξ, una delle più semplici è la relazione
ρin =
ξ 2 (1+ βin )
2
(1− βin )2 + 4ξ 2 βin
in cui
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βin =
ωi ωn 8
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Osservazione
L’analisi sismica con lo spettro di risposta si riduce a una serie di analisi statiche, corrispondenti ai contributi modali presi in considerazione:
1. si applicano le forze s n = Γ n Mφn e si calcolano le risposte modali statiche rnst ;
2. le risposte modali statiche sono moltiplicate per l’ordinata spettrale An allo scopo di ottenere le risposte modali massime rn0st ;
3. la risposta del sistema si ottiene combinando tra di loro le risposte modali massime.
Il metodo, quindi, non richiede esplicitamente l’analisi dinamica dei sistemi modali a un grado di libertà, ma va comunque interpretato come un’analisi dinamica.
Lo spettro di risposta, infatti, è ottenuto mediante numerose analisi dinamiche e fa riferimento alle proprietà dinamiche del sistema e del terreno di fondazione (frequenze, modi naturali di vibrazione e rapporti di smorzamento modali).
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Edifici multipiano a pianta simmetrica
Le risposte modali massime possono essere espresse in funzione dello spostamento spettrale Dn o della pseudo-accelerazione spettrale An.
Il vettore fSn = s n An con fSin = Γ n miφin An consente di calcolare direttamente le risposte massime modali:
uin = Γ nφin Dn =
Γn φ A ω n2 in n
Tbn = mn* An M bn = hn* mn* An
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Sommario del procedimento
1. Definizione delle proprietà dinamiche del sistema (gradi di libertà dinamici, matrice di massa M e matrice di rigidezza traslazionale K).
2. Determinazione delle frequenze naturali ωn (o dei periodi naturali di vibrazione Tn = 2π/ωn), dei modi naturali di vibrazione ϕn e delle masse modali efficaci mn*.
3. Stima dei rapporti di smorzamento modale ξn.
4. Calcolo dei valori massimi della risposta relativi a tutti i contributi modali inclusi nell’analisi:
− per ogni periodo naturale di vibrazione Tn e del corrispondente rapporto di smorzamento modale ξn si leggono dallo spettro di risposta i valori dello spostamento massimo Dn e della pseudo-accelerazione massima An.
− calcolo degli spostamenti di piano;
− calcolo delle forze statiche equivalenti fSn;
− calcolo degli sforzi interni attraverso un’analisi statica della struttura soggetta alle forze fSn.
5. Stima dei valori massimi della risposta mediante la combinazione dei valori massimi dei contributi modali.
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