1.4 Aspectos matemáticos de la graficación (Geometría fractal). “La geometría Fractal cambiará a fondo su visión de las cosas. Seguir leyendo es peligroso. Se arriesga a perder definitivamente la imagen inofensiva que tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, flores, rocas, montañas, tapices, y de muchas otras cosas. Jamás volverá a recuperar las interpretaciones de todos estos objetos que hasta ahora le eran familiares." Michael F. Barnsley
Un poco de historia: Los Fractales son los objetos matemáticos que constituyen la Geometría de la Teoría del Caos, aunque es importante destacar que no todos los fractales son caóticos. Los objetos fractales fueron creados mucho antes de haberse desarrollado formalmente la Geometría Fractal o la Teoría del Caos. De hecho, se pueden encontrar y reconocer figuras con características fractales como la del triángulo de Sierpinski en grabados de tela de hace varias décadas atrás, hasta en los años de 1400 se hallaron grabados japoneses con estas estructuras.
La geometría fractal es una parcela de las matemáticas cuyos límites reales no están todavía del todo claros. Históricamente sus orígenes se remontan a principios del siglo XX y durante el desarrollo de la Teoría de la Medida con el estudio de conjuntos geométricos con propiedades aparentemente paradójicas. Un grupo de matemáticos comenzó a darse cuenta que en la naturaleza se daba muy seguido el fenómeno de irregularidades y que no eran excepciones como se suponía. Los primeros que comenzaron a demostrar teóricamente esta problemática fueron Cantor (con su famoso y casi místico conjunto de Cantor) y Peano. Hasta llegar a los años de 1880 con Poincaré, al que se lo conoce como el padre de la Teoría del Caos.
Otra estructura matemática ya conocida en esa época y que más tarde pasó a formar parte de uno de los fractales más reconocidos es el de Koch “Snowflake” Curve, o lacurva de “Copo de nieve” de Helge von Koch.
Como surgieron los Fractales No fue hasta el año 1958 cuando Benoit Mandelbrot ingresa a trabajar en los laboratorios de IBM para hacer un análisis del ruido y perturbaciones eléctricas. Mientras realizaba dichos estudios encontró un patrón en su comportamiento y por lo tanto comenzó a descifrar una estructura escondida. Algo así como jerarquías de fluctuaciones en todas las escalas. Lo que sí es cierto es que esas fluctuaciones no podían ser descritas por la matemática estadística que existía. Mientras seguía adelante con sus tareas empezó a imaginar en que otros sistemas podría encontrar patrones similares que no puedan ser descritos con exactitud por la matemática existente y que se comportaran de igual manera. El término fractal fue acuñado por B. B. Mandelbrot en 1977 (en su obra The Fractal Geometry of Nature) para designar ciertos objetos geométricos de estructura irregular. Aunque Mandelbrot no dio una definición precisa, caracterizó a los fractales mediante las tres propiedades siguientes:
a) Figuras que se repiten en sí mismas infinitas veces a distintas escalas (conjuntos autosemejantes). b) Figuras con dimensión no entera (dimensión fractal). c) Conjuntos que aparecen tras procesos iterativos infinitos.
Definición: La Geometría Fractal, llamada también "Geometría de la Naturaleza", es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descritas a través de algoritmos matemáticos y computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demás figuras provenientes de la matemática tradicional. Estos objetos tienen como características fundamental las propiedades de: Autosimilitud: Cada porción de un objeto tiene las mismas características del objeto completo. También se puede decir que cada área de un fractal conserva, de manera estadísticamente similar, sus características globales. convivir en extraños paisajes formados por dimensiones fraccionarias.
Distintos tipos de Fractales Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un simple cambio en la variación de sus escalas. Esto implica algo muy importante, los fractales lineales son exactamente idénticos en todas sus escalas hasta el infinito.
Los fractales no lineales, en cambio, son aquellos que se generan a partir de distorsiones complejas o justamente como lo dice su nombre, y usando un término proveniente de la matemática Caótica, distorsiones no lineales. La mayoría de los objetos fractales puramente matemáticos y naturales son no lineales. Ejemplos de ellos son: el súper conocido por todos nosotros Conjunto de Mandelbrot (figura 2-A) o el Conjunto de Julia (figura 2-B).
Los Fractales pueden ser generados a partir de elementos de la matemática tradicional (fractales lineales), o a través de números complejos. Estos últimos seguramente los han estudiado en la secundaria. De hecho, el conjunto de Mandelbrot se genera a través de iterar una cierta cantidad de veces la ecuación compleja: Donde Z^2 significa Z al cuadrado. El símbolo ^ se utiliza para representar una potencia, y donde Z y C son números complejos.
Conclusión: Los fractales son imágenes con patrones que pueden ser formadas matemáticamente mediante una ecuación ya que tiene un patrón, los podemos encontrar en la naturaleza, comoo en los patrones de algunas hojas y flores, los puntos mas importantes a tomar en cuenta en un fractal son la autosimilitud y la dimensión fractal, podemos encontrar fractales lineales y no lineales y estos se diferencian por la manera de su construcción.
Referencias:
http://www.docentes.unal.edu.co/cibermudezs/docs/CursoGeometriaFractal.pdf http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id =16&Itemid=1 http://cauchemarg.blogspot.mx/2013/09/14-aspectos-matematicos-de-la.html
1.4 Aspectos matemáticos de la Graficación (Geometría fractal) Aspectos matemáticos de la Graficación Antes de comenzar, me gustaría citar un fragmento de un libro sobre los fractales. "le invito a contemplar alguna de las imágenes que más abajo aparecen…
Es fácilmente apreciable, además de su indudable belleza, su semejanza con estructuras
naturales con las habitualmente nos tropezamos. Sin embargo, todas ellas son producto de “matemáticas experimentales” (que no aplicadas), o dicho de otro modo, han sido confeccionadas sin salir del laboratorio matemático cuyo material es, esencialmente, un ordenador y algunos conceptos matemáticos sabiamente utilizados." Geometría Fractal o el Diseño de la Naturaleza por: Aniceto Murillo XXIX Universidad de Otoño Madrid: España
La geometría fractal ocupa en cierta medida este vacío y puede usarse para diseñar fielmente desde la intrincada silueta de una simple hoja hasta la evolución del árbol. Primero para introducirnos al el mundo de los Fractales, lo primero que hay que contar son las palabras que dan inicio al libro "Fractals Everywhere" ("Fractales en todos Lados") de Michael F. Barnsley, uno de los pioneros y más importantes divulgadores e investigadores del tema: "La geometría Fractal cambiará a fondo su visión de las cosas. Seguir leyendo es peligroso. Se arriesga a perder definitivamente la imagen inofensiva que tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, flores, rocas, montañas, tapices, y de muchas otras cosas. Jamás volverá a recuperar las interpretaciones de todos estos objetos que hasta ahora le eran familiares."
Ésta geometria tiene su origen en el concepto de proceso iterativo introducido hace ya 300 años por Isaac Newton y Gottfried Leibniz. De forma esquemática, un proceso iterativo consta de: una unidad de entrada compuesta por un dato inicial. Esta unidad de entrada alimenta la unidad de proceso, cerebro pensante del proceso iterativo, que manipula la información recibida y produce un nuevo dato que constituye la unidad de salida. Este nuevo dato será posteriormente utilizado por la unidad de entrada para volver a alimentar la unidad de proceso, y así sucesivamente.
Observamos además que después de un número suficiente de iteraciones el resultado obtenido es
prácticamente el mismo, que por cierto responde a un animal matemático con nombre propio, el triángulo de Sierpinski. También es tan sorprendente como fácilmente comprobable que, tomando una imagen inicial distinta, el resultado “final” es el mismo.
Un grupo de matemáticos comenzó a darse cuenta que en la naturaleza se daba muy seguido el fenómeno de irregularidades y que no eran excepciones como se suponía. Los primeros que comenzaron a demostrar teóricamente esta problemática fueron Cantor (con su famoso y casi místico conjunto de Cantor – Figura 2) y Peano. Hasta llegar a los años de 1880 con Poincaré, al que se lo conoce como el padre de la Teoría del Caos.
Conjunto de Cantor
El mismo también lo estudiaremos con detalle desde el punto de vista puramente matemático y crearemos los algoritmos para generarlo en clases posteriores. Discutiremos si realmente puede ser considerado un fractal de acuerdo a la dimensión fractal que posee.
Segun lo antes mencionado . . . ¿Que es Geometria Fractal?
Geometría Fractal es geometría que no distingue entre conjunto matemático y objeto natural. Este nuevo paradigma engulle paradigmas anteriores proyectando un modelo que inagura una nueva zona o región de lo real. http://graficacionito.blogspot.mx/2013/09/14-aspectos-matematicos-de-la.html
Aspectos matemáticos de la graficación (Geometría Fractal ) FRACTAL Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.[1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:[2]
*Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. *Es autosimilar.- Su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura. Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño. Ejemplos de autosimilaridad: *Fractales naturalistas *Conjunto de Mandelbrot.- Es una transformación no lineal *Fractales de paisajes.- Este tipo de fractales pueden producir paisajes realísticos convincentes. *Fractales naturales.- Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencían de los fractales matemáticos porque los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimiliralidad se extiende sólo a un rango de escalas. GEOMETRIA FRACTAL Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el
sistema circulatorio, las líneas costeras[3] o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural. 5 IMAGENES FRACTALES MAS CONOCIDAS -Naturaleza -Triangulo Sierpinski Gasket -Copo de nieve Koch Snowflake -Dimension de uno y cuarto -Conjunto de mandbrot
http://graficacionblog2012.blogspot.mx/2012/02/fractal-un-fractal-es-un-objeto.html 1.4
Aspectos
matematicos
de
la
graficacion.
Geometria Fractal. Que es un Fractal? Es un objeto geometrico cuya estructura se repite en diferentes escalas. Los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterario, capaz de producir estructuras auto-similares independientes de la escala especificada. los fractales son estructuras geometricas que comibinan irregularidad y estructura. aunque muchas estructuras naturales tienen estructuras de tipo fractal, un fractal matematico es un objeto que tiene por lo menos una de las siguientes caracteristicas: -Tiene detalles en escalas arbitrariamente pequeñas. -- Es demasiado irregular para ser descrito en terminos geometricos tradicionales. -Tiene autosimilitud exacta o estadistica. --Puede ser definido recursivamente. Por ejemplo, hay fractales en la naturaleza como lo son las nubes, montañas y los vasos sanguineos, tiene limites inferiores y superiores en detalles, no existe un termino preciso para "irregularidad", existen diferentes maneras para definir --dimension-- con valores raciones. Que es la geometria Fractal? La geometria fractal no distingue, el proposito, entre conjuntos matematicos (que viene siendo la teoria) y objetos naturales( que es la realidad).
La caracteristica principal de los fractales consiste en que si opservamos con una lupa, una parte cualquiera de si mismo, esta reproduce a escala menor a la figura total del fractal
1.4 Aspectos matemáticos de la graficación (Geometria Fractal) La geometría es fundamental para el desarrollo de software de gráficos. Los científicos y programadores de computadoras estudian geometría fractal, geometría descriptiva y perspectiva lineal, que es la geometría 3D, para desarrollar matemáticamente el dibujo de objetos en vez de dibujar con un mouse o un bolígrafo y un lápiz.
Para entender que es la geometría fractal, se debe primero conocer el significado de "Fractal", el cual es un ente geométrico el cual en su desarrollo espacial se va produciendo a si mismo cada vez a una escala menor.
¿Que es la geometria fractal? La geometría fractal es el estudio de los métodos de dibujo automatizados que se basan en una forma geométrica específica o conjunto de formas geométricas específicas. A menudo, los métodos fractales implican la inscripción repetida de una forma geométrica dentro de otra igual. Un ejemplo, es cuando un triángulo equilátero se inscribe dentro de otro triángulo equilátero, en repetidas ocasiones, de manera que cada triángulo equilátero inscrito es sucesivamente más pequeño que el anterior. Cuando el código de computadora es escrito para llevar a cabo este procedimiento, se pueden construir continuamente cada vez más pequeños triángulos equiláteros sin fin y sin intervención humana.
Triángulo o Alfombra de Sierpinski
A continuación se presentan ejemplos de imágenes fractales:
http://graficacion-suirot18.blogspot.mx/2013/09/14-aspectos-matematicos-de-la.html
Aspectos matematicos de la graficacion (Geometira fractal). Fractal El termino fractal proviene del latín fractus: quebrar. Son figuras geometricas autosemejantes, es decir que se repiten una y otra vez de forma infinita, cada vez a una escala menor. Se dice que este tipo de figuras no tiene un numero entero ni un numero finito de vertices, osea que tienen un numero no entero de dimenciones, por ejemplo 1.1134573 dimenciones.
Geometira fractal La geometria fractal se trata de la creacion y tratamiento de figulas fractales. Tecnicas,metodos y caracteristicas para la creacion de dichas figuras. Un fractal es un ente geométrico el cual en su desarrollo espacial se va reproduciendo a si mismo cada vez a una escala menor. Una característica esencial de los fractales consiste en que si observamos digamos, con una lupa, una parte cualquiera del mismo, ésta reproduce a escala menor la figura total del fractal.
Ejemplo de imagenes fractales Como primer ejemplo vamos a presentar la construcción del fractal conocido como.Triángulo o Alfombra de Sierpinski. Se parte de un triángulo equilátero. Se marcan
los puntos medios de cada lado y se unen por segmentos rectilíneos con lo que aparecerán 4 triángulos. El triángulo del medio se elimina. El procedimiento descrito se reitera en cada triángulo no suprimido una y otra vez.
Mandelbrot.
Helecho de Barnsley
Atractor de Lorenz
Difusión
http://lezamajoseantonio.blogspot.mx/2012/02/fractal-son-figuras-geometricas.html
Aspectos matématicos de la graficación ¿Qué es un fractal? Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, en fragmentos se repite a diferentes escalas. Un fractal exhibe recursividad, o autisimilitud, a cualquier escala. En otras palabras, si enfocamos una porción cualquiera de un objeto fractal se notará que tal sección resulta ser una réplica a menor escala de la figura principal. Otro aspecto importante sobre los fractales es que su dimensión es fraccionaria. osea en ves de que de ser unidomesnional, bidimensional o tridimensional, la dimensiónal en la mayoría de los fractales no se ajusta a conceptos tradicionales.
Probablemente, el primer objeto fractal puro en la historia, el polvo de Cantor, fue descrito por el matématico alemán Georg Cantor-inventor de la teoría d elos conjuntos alrededor de 1872. ¿Qué es geometría fractal? Esta nueva teoría afirma que toda la belleza de la Naturalza con su enorme polimorfía, no esta sujeta a leyes complejas, sino que proviene de procedimientos mus simples, aunque es de tipo no lineal. Un ejemplo, la molécula de agua es simplísima, pero sis e congela y se une con otras moléculas de origen a las complejas forman cristales de nieve y el cristal no es exactamente igual al otro. 5 Imagenes Fractales 1. Triangulo de Sierpinski
2. Hoja de Helecho
3. El ojo de la marisma
4. Caminos de agua
5. El árbol de agua
http://graficaciondanielnavarroleanos.blogspot.mx/2012/02/aspectos-matematicos-de-lagraficacion.html
1.4 Aspectos matemáticos de la graficación (Geometria fractal) Publicado y elaborado por Adrian Morales
¿Cómo surgieron los fractales? No fue hasta el año 1958 cuando Benoit Mandelbrot ingresa a trabajar en los laboratorios de IBM para hacer un análisis del ruido y perturbaciones eléctricas. Mientras realizaba dichos estudios encontró un patrón en su comportamiento y por lo tanto comenzó a descifrar una estructura escondida. Algo así como jerarquías de fluctuaciones en todas las escalas pero no podían ser descriptas por la matemática estadística que existía.
¿Qué es un fractal? La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del latín y significa roto, quebrado. Los Fractales son objetos cuya dimensión es no entera o fraccionaria. Un objeto fractal es aquél que su dimensión fractal de Hausdorff Besicovich supera a su dimensión topológica. La Geometría Fractal, llamada también "Geometría de la Naturaleza", es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descriptas a través de algoritmos matemáticos y computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demás figuras provenientes de la matemática tradicional. Estos objetos tienen como características fundamental las propiedades de Autosimilitud y la de convivir en extraños paisajes formados por dimensiones fraccionarias.
Tipos de fractales: Autosimilitud: Cada porción de un objeto tiene las mismas características del objeto completo. También se puede decir que cada área de un fractal conserva, de manera estadísticamente similar, sus características globales. Existen dos tipos bien definidos de fractales. Los LINEALES y los NO LINEALES. Estoy seguro que intuitivamente y con las imágenes que
hayan visto con anterioridad en diferentes galerías los podrían reconocer sin problema. Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un simple cambio en la variación de sus escalas. Esto implica algo muy importante, los fractales lineales son exactamente idénticos en todas sus escalas hasta el infinito. Los fractales no lineales, en cambio, son aquellos que se generan a partir de distorsiones complejas o justamente como lo dice su nombre, y usando un término proveniente de la matemática Caótica, distorsiones no lineales. La mayoría de los objetos fractales puramente matemáticos y naturales son no lineales. Los Fractales pueden ser generados a partir de elementos de la matemática tradicional (fractales lineales), o a través de números complejos.
Dimension fractal: Los fractales deben poseer una dimensión fractal (aunque esto es relativo, hay fractales que poseen dimensión fractal igual a 2 y aún así son fractales). Entonces, la dimensión fractal debería ser: 1.- no entera 2.- su dimensión de Hausdorff debe superar su dimensión topológica. Como los fractales están compuestos por elementos cada vez más pequeños de sí mismo (Autosimilitud), el concepto de longitud pasa a ser algo muy complejo y hasta casi sin sentido, de esta manera el concepto de dimensióncomienza a jugar un papel fundamental. De ahora en adelante no deberíamos preguntarnos cuanto mide un fractal, sino cual es su dimensión. Calcular la dimensión fractal de un objeto puede ser una tarea por demás complicada, de hecho hay muchos fractales a los que aún no se les ha podido calcular su dimensión con precisión.
La dimensión está directamente ligada con los grados de libertad. Cuando la dimensión es 0, solo podría existir ahí un punto inmóvil, y sin límites. Si en cambio la dimensión es 1 ya tenemos una recta y existe un grado de libertad, que es el de moverse de izquierda a derecha por ejemplo. Ahora, si la dimensión es 2 tenemos un plano, con 2 grados de libertad, podemos movernos de izquierda a derecha nuevamente y de arriba hacia abajo, y obviamente en diagonales. Por último, si la misma es 3 estamos en una situación como la anterior solo que se le agrega un tercer grado de libertad que es la profundidad.
Ejemplos de fractales: La curva de Koch La curva de Koch fue ideada por Helge von Koch en 1904 como ejemplo de curva de longitud infinita contenida en un recinto acotado y sin tangente en cualquier punto. Se parte de un segmento de longitud 1. El primer paso consiste en dividirlo en tres intervalos iguales, construir un triángulo equilátero sobre el intervalo central y suprimir la base de dicho triángulo, como indica la figura. El segundo paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los cuatro intervalos que han resultado. Y se repite el proceso infinitas veces. La curva de Koch es la curva a la que se van aproximando las sucesivas poligonales que resultan en cada paso. Para implementar la construcción de la curva de Koch en el software geométrico elegido se pueden seguir los siguientes pasos: 1. Construir una macro, que llamaremos koch asociada al algoritmo: se dibuja un segmento al que se le aplica la macro thales que lo divide en tres partes iguales, y sobre el segmento central se construye un triángulo equilátero. El objeto inicial de la macro es el segmento original y el objeto final son los dos segmentos de los extremos y los dos lados superiores del triángulo.
2. Se dibuja un segmento inicial al que se aplica la macro koch para obtener los cuatro segmentos del primer paso de la construcción de la curva de Koch. Aplicando repetidamente la macro koch a estos segmentos y a sus descendientes se puede avanzar tanto como se desee en la construcción de la curva de Koch.
El triangulo de Sierpinski El triángulo de Sierpinski fue ideado porWaclaw Sierpinski en 1915. Se parte de un triángulo equilátero de lado 1. El primer paso consiste en dividirlo en cuatro triángulos equiláteros iguales (lo que se consigue uniendo los puntos medios de los lados) y eliminar el triángulo central, es decir nos quedamos con los tres triángulos equiláteros de los vértices. El segundo paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los tres triángulos obtenidos en el paso anterior. Y se repite el proceso infinitas veces, obteniendo como resultado final el triángulo de Sierpinski. Para implementar la construcción del triángulo de Sierpinski con el software geométrico elegido se pueden seguir los siguientes pasos: 1. Construir una macro, que llamaremos sierpinski asociada al algoritmo: se dibuja un triángulo equilátero, se hallan los puntos medios de los lados y se dibujan los tres triángulos de los vértices, que
se rellenan de cierto color. El objeto inicial de la macro es el triángulo original y el objeto final son los tres triángulos de los extremos. 2. Se dibuja un triángulo inicial al que se aplica la macro sierpinski para obtener los tres triángulos del primer paso de la construcción. Aplicando repetidamente la macro sierpinski a estos triángulos y a sus descendientes se puede avanzar tanto como se desee en la construcción del triángulo de Sierpinski. Observación: En el triángulo de Sierpinski, el hecho de considerar triángulos equiláteros es irrelevante. Siempre que para la construcción de los triángulos de los extremos se utilicen los puntos medios de los lados, se obtienen resultados análogos usando cualquier tipo de triángulos.
Conclusión: Los fractales nos ayudan a comprender mejor el comportamiento de un sistema ya que siguiendo patrones de dearrollo se nota que con una absttracción de un sistema pequeño nos puede servir como base para determinar el comportamiento del sistema mas complejo, esta observacion se logra gracias a la iteracion de las reglas del patron. Son apreciados por su complejidad y se consideran una obra de arte.
Bibliografía: http://www.docentes.unal.edu.co/cibermudezs/docs/CursoGeometriaFr actal.pdf
http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat/ReunionMadrid2009/fractale s.pdf http://graficacionz0r3th.blogspot.mx/2013/09/14-aspectos-matematicos-de-la.html
Aspectos matemáticos de la graficación ( Geometría Fractal ) ¿Que es Fractal? Un fractal es basicamente un figura geometrica. Los fractales tienen una propiedad que les diferencia de las demas representaciones geometricas y es que son Autosemejantes, es decir que las figuras se repiten una y otra vez de una forma infinita. Otra propiedad es que los fractales tienen un numero infinito de vertices. Sin embargo, todos los fractales tienen algo en común, ya que todos ellos son el producto de la iteración, repetición, de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación aparente extraordinaria. Es decir que cada porción del objeto tiene la información necesaria para reproducirlo todo, y la dimensión fractal no necesariamente entera. ¿Que es Geometria Fractal? Geometría Fractal es geometría que no distingue entre conjunto matemático y objeto natural. Este nuevo paradigma engulle paradigmas anteriores proyectando un modelo que inagura una nueva zona o región de lo real. Tambien es una de las cosas más vistosas de la matemática, generando figuras de una simetría compleja y desconcertante para el observador no experto. imagenes fractales
http://grafi-ricardo.blogspot.mx/2012/02/aspectos-matematicos-de-la-graficacion.html
