11. Sintonizacion Ziegler Nichols

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols

Prof. Francisco Luna M.-

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols Para cada sistema (máquina, horno, etc.) existe un conjunto de estos parámetros que optimiza el funcionamiento del sistema, redundando en mejora de la producción y economía de energía. Por otra parte una selección no adecuada de parámetros podría provocar un control inestable, es decir una temperatura oscilante y susceptible a perturbaciones. Conviene ahora recordar aquella máxima de la teoría de sistemas dinámicos que dice así: "Si una proceso en general funciona, ! no lo toque ! "

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols

Los valores óptimos para estas constantes son aquellos en que el sistema exhiba un "amortiguamiento crítico". Lo que se persigue es que, ante una perturbación, se obtenga una curva de variación de la medida que se recupere rápidamente y que no produzcan demasiadas oscilaciones. Normalmente se persigue obtener un 25% de sobreoscilación máxima en la respuesta escalón. Esta sobreoscilación puede no ser admisible en muchos casos, estas reglas son una primera aproximación a los valores correctos del controlador PID

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols El controlador PID recibe una señal de entrada (generalmente es el error e ( t ) )y proporciona una salida (acción de control, u (t ) )

u(t )=K p

(

t

de(t ) 1 e(t )+ ∫ e(t )dt+τ d τ i −∞ dt

)

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols Entonces, la función de transferencia del controlador PID es 1 Gc (s )=K p 1+ +τ d s τi s

(

)

donde K p es la ganancia proporcional, τ i el tiempo integral y τ d es el tiempo derivativo. El esquema habitual de uso del controlador PID es: .

+ −

(

K p 1+

1 +τ d s τi s

)

planta

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols Ziegler y Nichols propusieron una serie de reglas para afinar controladores PID con base a una respuesta experimental. Definieron dos métodos. Primer método. Se obtiene experimentalmente la respuesta de la planta a una entrada escalón y si la respuesta no tiene oscilaciones y además posee un retardo tal que se forma una “ese”, puede obtenerse los parámetros del controlador PID utilizando el primer método. En la figura 2 se observa la respuesta en forma de s.

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols Esta respuesta se caracteriza con el tiempo de atraso L y la constante de tiempo T . Y se puede aproximar por un sistema de primero orden con atraso de transporte.

C ( s) Ke−Ls = U ( s) Ts+1 c (t )

recta tangente al punto de inflexión

t

L

T

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols Para obtener L y T, se traza una recta tangente al punto de inflexión de la respuesta, la intersección con el eje del tiempo y con el valor final de la amplitud forman las distancias L y T Con L y T , se obtienen los parámetros del controlador PID utilizando la siguiente tabla Tipo de controlador P PI PID

Kp T L T 0.9 L T 1.2 L

τi

τd

∞

0

L 0.3

0

2L

0 . 5L

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols

Sintonizar el siguiente controlados si L = 15s y T = 45s. Para el siguiente control. R( s ) + −

1 K p 1+ +τ d s τi s

(

)

1 s(s+5)

C (s)

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols Segundo método. Se utiliza para sistemas que pueden tener oscilaciones sostenidas. Primero se eliminan los efectos de la parte integral y derivativa. Después, utilizando solo la ganancia K p , haga que el sistema tenga oscilaciones sostenidas. El valor de ganancia con que se logre esto se llama ganancia crítica K cr , y obtenga el periodo critico que corresponde P cr .

.

Pcr

t

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols Con los valores de K cr y P cr se calculan lo valores de los parámetros del controlador PID, utilizando la siguiente tabla.

Tipo de controlador

Kp

P

0 . 5K cr

PI PID

τi ∞

τd 0

0 . 45 K cr

1 P cr 1.2

0 . 6K cr

0 . 5P cr 0 . 125 Pcr

0

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols Utilice el método dos de Ziegler-Nychols para encontrar los parámetros del controlador PID del siguiente sistema de control

R( s ) + −

1 K p 1+ +τ d s τi s

(

)

1 s(s+1)( s+2)

¿Como obtener los valores de Kcr y Pcr?

C (s)

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols

Obtención de parámetro Kcr (constante de proporción critico) 1.- Obtener la función de trasferencia sin tomar en cuenta el control integral ni el control derivativo Kp Kp = s³+3s²+2s+Kp s(s+1)(s+2)+Kp

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols

2.- Aplicar el criterio de estabilidad de Ruth Horwitz, para encontrar el valor de Kp para hacer el sistema críticamente estable (e) S³ S² S¹ S⁰

(6−Kp) =e 3

1 3 (6−Kp)/3

Kp

→

2 Kp 0 0

(6−Kp) ≈0 3

→

Kp=6

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols 3.- Una vez encontrado el valor de Proporción critico se debe buscar el valor de la frecuencia de oscilación

s³+3s²+2s+Kcr s³+3s²+2s+6 Recuerde que s= j ω :.

s³+3s²+2s+6 = ( j ω) ³+3( j ω)²+2( j ω)+6 − j(ω) ³−3(ω)²+2( j ω)+6

Recuerde que : j¹=√−1 j²=−1 j³ =−√−1 j⁴= j= √−1

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols

Se factoriza(− j (ω) ³−3(ω)²+2( j ω)+6) para obtener el valor de ω : .− j(ω) ³−3(ω)²+2( j ω)+6 = 6(5−ω ²)+ j ω (5−ω ²) : .ω ²=5 ω= √ 5 : . Pcr=

2π ω

= Pcr=4 . 4428

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4.- Una vez encontrados los parámetros de frecuencia critica y la constante de proporción critica se aplica se obtienen los valores de Kp, Ti y Td Pcr=4 . 4428

Kcr =√ 5

K p=0 . 6 K cr =3 . 6 τ i =0 . 5P cr =2 . 2214 τ d =0 . 125 P cr =0 . 55536036

Sintonización controladores PID Ziegler-Nichols

Por lo tanto en control PID debe tener los siguientes valores

1 G ( s )=3 .6 1+ +0 .55536 s 2. 2214 s c

(

)

Ejercicios 1 Realice la sintonización del siguiente proceso R( s ) + −

1 K p 1+ +τ d s τi s

(

)

Planta

C (s)

Si posee una respuesta del tipo “S” como se muestra en la imagen siguiente.

Ejercicios 1

Ejercicio 2 Realice la sintonización del siguiente proceso R( s ) + −

(

K p 1+

1 +τ d s τi s

)

1 s(s+1)( s+5 )

C (s)