11) Análisis Gráfico de Funciones

Fatela Preuniversitarios

MATEMÁTICA GUÍA º 11 “AÁLISIS GRAFICO DE FUCIOES” En esta guía se tratará sobre:

Análisis de Funciones: Se realizará un análisis completo de todos los aspectos relevantes de la gráfica de las funciones: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Dominio. Imagen. Ceros. Conjuntos de Positividad y de Negatividad. Extremos Relativos: Máximos y Mínimos. Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento. Ordenada al Origen. Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos. Rectas Asíntotas y Polos.

AÁLISIS DE FUCIOES 1) Dominio atural: El "dominio natural" de una función es el conjunto de todos los números reales para los cuales la función está definida. O sea es el conjunto de todos los valores de "x" a los se le asigna un valor de "y". Si una función está dada gráficamente, su dominio se puede obtener proyectando todos los puntos de la "curva" perpendicularmente sobre el eje "x", como se muestra en el gráfico que sigue. El conjunto así obtenido es el dominio de la función.

y

Recta Asíntota

Dominio de la función

6 Se obtiene proyectando todos los puntos de la gráfica sobre el eje "x"

5 4 3

(−∞ (−∞ ; 2] U (4 ; ∞ )

2 1 −4 −3 −2

−1 0

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Si la función está dada en forma analítica, o sea por su fórmula, el dominio natural se puede obtener aún sin graficar según los siguientes criterios: Matemática - Análisis de Funciones - 1 -17


a) Funciones Polinómicas: En todas las funciones polinómicas el dominio está formado por todos los números reales; pues siempre es posible elevar un número real a una potencia de exponente natural, luego multiplicarla por otro real, y por último sumar o restar con otro término similar. Polinomio de grado cero:

P0 = 5

Polinomio de grado uno:

P1 = 2 x + 3

Polinomio de grado dos:

P2 = 4 x − x + 1

Polinomio de grado tres:

P3 = 2 x3 + 7 x2 − 5 x + 8

Polinomio de grado "n":

Pn = an x + an-1 x

2

n

y

n-1

2

+ ... + a2 x + a1 x + a0

Funciones Polinómicas

3

1

−5

5 0

x

Su Dominio son todos los números Reales

Df = » = (−∞ ; ∞)

−3

b) Funciones Racionales: La función racional está formada por un cociente entre dos polinomios, en forma genérica de grados "m" y "n" respectivamente. En una función de este tipo el dominio es igual a todo el conjunto de números reales salvo los valores aislados de "x" que hacen cero al polinomio denominador. Esto es así debido a que no podemos "nunca" dividir por cero.

Función Racional

m

f(x) =

P (x) Q n (x)

;X 2 ;... X n } Df = R − {X1;X n

Ceros de Q (x)

En la siguiente gráfica se muestra una función racional, y se observa que su dominio incluye a todos los números reales distintos a "2". En ese punto la función presenta una discontinuidad llamada polo o asíntota vertical: al acercarnos más y más a x = 2 la función crece o decrece indefinidamente (crece hasta +∞ +∞ o decrece hasta −∞. −∞. Además posee una asíntota horizontal de ecuación y = 1. Matemática - Análisis de Funciones - 2 -17


y=

x

y

x − 2 3

Recta Asíntota

1

x −5

0

Recta Asíntota

Df = » − {2} Df = ( −∞; 2 ) ∪ ( 2; ∞ )

5

−3

c) Funciones Irracionales con Radicales de Índice Par: Función Irracional

=

y

3− x

Df = ( −∞; 3] 3

1

x −5

0

5

La función irracional compuesta de una raíz cuadrada (o de índice par) de una expresión que depende de "x", tiene como dominio el conjunto de valores de "x" en los cuales el radicando no sea negativo (puede ser positivo o cero). En caso contrario, el radicando negativo haría imposible la existencia de la función, pues la raíz cuadrada (o de índice par) de un número negativo no tiene resultado real, como vimos en la guía N° 1 "Conjuntos Numéricos". Para calcular el dominio en estos casos, hay que plantear una inecuación: el radicando debe ser mayor o igual a cero:

3−x≥0 3≥x x≤3

⇒

Df = ( −∞; 3]

Matemática - Análisis de Funciones - 3 -17


En el caso de que la expresión irracional (de índice par) se halle en el denominador, habrá que exigirle al radicando que sea estrictamente mayor a cero, pues de lo contrario al hacerse cero dicho radicando se podrá extraer su raíz que también es cero, pero luego no se puede dividir por cero y la función no existirá en dicho punto. 2

y=

3 x − 2 > 0

3x−2

3 x > 2 2 ⇒ x > 3

En este caso el radicando debe ser estrictamente mayor a cero:

2  Df =  ; ∞  3 

Más adelante en el curso, se tratarán los dominios naturales de las funciones trascendentes al álgebra: las funciones Exponenciales, Logarítmicas y Trigonométricas. Para Practicar

1) Dadas las siguientes funciones hallar su dominio natural analíticamente, y confirmar los resultados graficando con el simulador digital "Graficador de Funciones"

a) y = 4 − x b) y = c)

(−∞;; ∞) ℜ = (−∞

2x

ℜ − {−1}

x+1 = 3 x−6

d) y =

[2; ∞)

x2

(−∞; 5/2)

5 − 2x

e) y = x2 + 3 x − 4 f) y =

ℜ = (−∞; ∞)

5x − 3

ℜ − {0; 2}

x ( x − 2)

g) y = 2 x -1 + 5

ℜ − {0}

2) Imagen de una Función: y

Imagen de la función

3

1

5

−5

x

Se obtiene proyectando todos los puntos de la gráfica sobre el eje "y"

0

−3

If = (−∞ ; 3] Matemática - Análisis de Funciones - 4 -17


La imagen de una función es el conjunto de valores que toma la función "y" cuando la variable independiente "x" toma todos los valores del dominio. Gráficamente se puede obtener proyectando sobre el eje "y" todos los puntos de la "curva" que representa a la función. Las funciones lineales de pendientes distintas de cero (rectas oblicuas) tienen como imagen el conjunto de todos los números reales.

y Imagen de rectas oblicuas

3

1

5

−5

x

0

If = (−∞ ; ∞)

−3

y Imagen de recta horizontal

3 y=2 1

−5

5

x

0

If = {2}

−3

Las funciones cuadráticas en cambio tienen como imagen un intervalo de longitud infinita desde un cierto punto "Y v" hasta infinito si el coeficiente cuadrático "a" es positivo; o bien desde y If = [2; ∞) "−∞" −∞" hasta "Yv" si "a" es negativo. Dicho intervalo siempre es 2 Imagen de cerrado en el extremo 1 Funciones x finito "Yv", pues el 5 −5 Cuadráticas vértice pertenece a la 0 −1 función. −3

If = (−∞; −1]



En ocasiones se pide encontrar el conjunto imagen de una función en la cual se restringe o limita su dominio natural a un conjunto prefijado. Por ejemplo en la parábola siguiente: y = x 2 + 2 x − 1, se especifica que el dominio debe restringirse al intervalo (− ( −2;1]. Se pide hallar su imagen. En primer lugar y encontramos el vértice Imagen = [−2; 2] de la parábola, a fin de determinar si se halla adentro o afuera del 2 dominio limitado por (−2;1]. En este caso x vemos que se ubica adentro del mismo −2 0 1 (como va a resultar habitual en la mayoría −2 de los ejercicios de este tipo). Luego graficamos la función completa (línea punteada) y resaltamos el tramo a considerar que corresponde al dominio restringido (línea llena), prestando atención a los extremos del mismo: si está incluido se coloca punto lleno, si no lo está va punto vacío. Por último se proyectan horizontalmente todos los puntos de la curva sobre el eje "y", hallándose el conjunto imagen.

3) Ceros de la función: Los ceros de una función son los valores de "x" que hacen cero a la misma. X1 = −4

y

Ceros de la Función

X2 = 4 3

1

−4

0

x 4

Gráficamente los ceros son los puntos donde la gráfica corta al eje "x"

−3

No todas las funciones tienen ceros, puesto que puede haber curvas que no corten al eje "x". Esto ocurre, como hemos visto antes, en algunas funciones cuadráticas (parábolas) con discriminante negativo; y en general puede ocurrir en funciones polinómicas de grado par: 2, 4, 6 etc.



4) Conjuntos de Positividad y de egatividad: Se llama Conjunto de Positividad o Intervalo de Positividad al conjunto de todos los los valores de "x" para los cuales la función es positiva. Gráficamente corresponde al intervalo (o los intervalos) de valores de "x" en los cuales la "curva" está por encima del eje "x". Análogamente el Conjunto de Negatividad o Intervalo de Negatividad es el conjunto de todos los valores de "x" para los cuales la función es negativa. Gráficamente corresponde al intervalo (o los intervalos) de valores de "x" en los cuales la "curva" está por debajo del eje "x". En las funciones continuas, los ceros son los valores de “x” que separan los conjuntos de positividad y de negatividad. Como el número cero no es positivo ni negativo, el cero de la función no debe incluirse en los conjuntos de positividad ni de negatividad. En estos casos dichos conjuntos son siempre intervalos abiertos.

y

Conjuntos de Negatividad (−∞; −∞; −4) ∪ (4; ∞) 3

+ −

1

+

x

0

−4

4 −2

−

Conjunto de Positividad: (− (−4; 4)

y

Conjunto de Negatividad: (2; 3)

3

+

+ −4

+

1 0

2

3

x

Conjuntos de Positividad (−∞; −∞; −4) ∪ (−4; 2) ∪ (3; ∞) Matemática - Análisis de Funciones - 7 -17


En las funciones discontinuas, tanto los ceros como los polos o asíntotas verticales son los valores de “x” que separan (o pueden separar) los conjuntos de positividad y de negatividad, como se observa en el gráfico anterior. En funciones discontinuas también pueden darse conjuntos de positividad o negatividad cerrados o semicerrados. Conjunto de Negatividad: (−4 (−4;; 1)

y

+

+ +

1 −4

0

−

1

x

3

Conjuntos de Positividad (−∞; −∞; −4) ∪ [1; 3) ∪ (3; ∞)

5) Extremos Relativos: Máximos y Mínimos Los extremos relativos se pueden ubicar gráficamente como "picos" y "valles": son los puntos donde la función pasa de ser creciente a decreciente (picos), o de ser decreciente a creciente (valles). Como se trata de puntos del plano deben indicarse como pares ordenados.

y

Máximo Relativo (− (−2; 3) 3

1

3 −2

x

0 −2

Mínimo Relativo (3; −2)



6) Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento: Una función es creciente en un punto si al crecer "x" (movernos hacia la derecha) crece "y". Una función es decreciente si al crecer "x" decrece "y". En las funciones continuas los extremos relativos separan los intervalos de crecimiento de los intervalos de decrecimiento. Los intervalos de crecimiento son los conjuntos de valores de "x" para los cuales la función es creciente. Análogamente, los intervalos de decrecimiento son los conjuntos de valores de "x" para los cuales la función es decreciente. Los extremos relativos "nunca" están incluidos en intervalos de crecimiento o de decrecimiento, debido a que en dichos puntos la función no es creciente ni decreciente. Son puntos donde la función es estacionaria. Por ello los intervalos de crecimiento o de decrecimiento son siempre intervalos abiertos.

y 2 1 −2

x

3 0 −2

Intervalo de Crecimiento

Inter. de Decrecimiento

(−∞; −∞; −2)

Intervalo de Crecimiento

(−2; 3)

(3; ∞) ∞)

y Punto de discontinuidad

Intervalos de Crecimiento: (−4; −1) ∪ (2; ∞) 2

−4

−1

−2

Polo

0

x Intervalos de Decrecimiento: (−∞; −∞; −4) ∪ (−1; 2) Extremo Relativo Matemática - Análisis de Funciones - 9 -17


Cuando la función es discontinua, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento pueden estar separados por los puntos de discontinuidad (saltos) y polos (rectas asíntotas verticales) además de los extremos relativos ya vistos, como se muestra en el gráfico precedente.

7) Ordenada al Origen: La ordenada al origen, tal como vimos en rectas y parábolas, es el valor que toma la función (y) cuando la variable independiente se hace cero. Gráficamente corresponde al valor donde la curva corta al eje "y". No todas las funciones tienen ordenada al origen, puesto que en algunas funciones el número cero no está dentro del dominio de la misma, o sea en x = 0 la función no está definida. Esto ocurre, por ejemplo, en la Hipérbola Hipé rbola Equilátera.

y

Hipérbola Equilátera 3

= f(0) =1 3

x

0

1 x

Dominio= ℜ − {0}

⇒ ∃ f(0) −2

No tiene ordenada al origen

f(0) = − 4

8) Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos Las funciones pueden presentar también máximos o mínimos absolutos en todo el dominio natural o en una determinada restricción a este dominio. El máximo absoluto es el mayor valor que toma la función (y) en todo el dominio o en un intervalo considerado. Análogamente, el mínimo absoluto es el menor valor de la función (y) en el dominio o intervalo considerado. Los extremos absolutos difieren entonces de los relativos, ya que éstos últimos son máximos o mínimos locales (picos o valles), pero nada dicen acerca de que la función pueda tomar un valor mayor a un máximo relativo o menor a un mínimo relativo para otros valores de "x". Por consiguiente, de existir los extremos absolutos son únicos. Las rectas oblicuas (no paralelas a los ejes coordenados) no tienen máximos y mínimos absolutos, pues la función crece y decrece indefinidamente. Las parábolas presentan sólo un mínimo absoluto si el coeficiente cuadrático "a" es positivo, y es igual a la ordenada del vértice "Y v". Coincide en este caso con el mínimo relativo o local. No hay máximos absolutos. Matemática - Análisis de Funciones - 10 -17


Pero si el coeficiente cuadrático "a" es negativo, la parábola presentará un máximo absoluto igual a "Yv" coincidiendo también con el máximo relativo en el vértice. En este caso no hay mínimos absolutos. Considerando sólo el dominio natural de las siguientes funciones, se tiene:

y

Recta oblicua: No hay máximos ni mínimos absolutos

Mín. Abs. y = 1 3

Máx. Abs. y = −1

x

3 0 −2

Si se restringe el dominio natural a un determinado intervalo acotado, entonces las rectas oblicuas y las parábolas presentarán máximos y mínimos absolutos en el citado intervalo. Por ejemplo la función:

y Máximo Absoluto 2

x

1

−2 0

Mínimo Absoluto

−2 y = x2 + 2 x − 1, con un dominio restringido al intervalo ( − 2; 1 ] presenta máximo y mínimo absoluto en dicho intervalo.

y

Aún así, existen otras funciones que podrían no admitir un extremo absoluto aún restringiendo el dominio natural a un cierto intervalo acotado. Por ejemplo: en (− (−2;2) la función dada no tiene ni máximo ni mínimo absoluto.

−2

No tiene Extremos Absolutos

0

2

x



9) Rectas Asíntotas y Polos: Las rectas asíntotas son rectas a las cuales las funciones se aproximan "infinitamente" pero nunca las tocan. Pueden ser verticales (polos), horizontales o inclusive oblicuas. En los "polos" en general la función no está definida y al acercarnos a ellos la función adopta valores mayores que cualquier valor fijado arbitrariamente; decimos que tiende a "+∞ "+∞". O bien valores menores que cualquier valor negativo fijado en forma arbitraria; decimos que tiende a "−∞ " −∞". ". Puede ser que por un lado y tienda a "+∞ "+∞" y Recta Asíntota Horizontal y = 1 por el otro a 3 "−∞", −∞", o bien que tienda por ambos 1 lados a uno de x estos valores. 0

−5

5

Recta Asíntota Vertical: x = 2

−3

La recta asíntota horizontal significa sign ifica que cuando la variable independiente "x" se hace mayor que cualquier valor arbitrariamente fijado, o sea tiende a "∞ " ∞", la función tiende a tomar un valor constante "y". Si una función no tiene asíntota horizontal puede tener una un a asíntota oblicua, o sea que al tender "x" a "∞ " ∞", la función "y" también tiende a "∞ " ∞", pero lo hace acercándose "infinitamente" a una recta de pendiente distinta de cero (oblicua).

y Recta Asíntota Oblicua y=½x+1

3

1 −5

0

−3

x 5

Recta Asíntota Vertical: x = 2

En el presente curso no abundaremos más en este tema de las asíntotas oblicuas. Matemática - Análisis de Funciones - 12 -17


Para Practicar

Dadas las siguientes funciones hallar:  Dominio.  Imagen.  Ceros. Nega tividad.  Conjuntos de Positividad y de Negatividad.  Extremos Relativos: Máximos y Mínimos.  Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento.  Ordenada al Origen.  Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos.  Polos y Asíntotas

1)

2)



Y

3)

4)

5)



6)

7)



Trabajo Práctico º 11 : "Análisis Gráfico de Funciones" 11.1) Dadas las siguientes funciones hallar su dominio natural analíticamente, y confirmar los resultados graficando con el simulador digital "Graficador de Funciones"

a)

=

b) y = c)

3 − 6x x −2

x+2 y=−x+5

d) y = −x + 5 x − 2 2

e) y =

x+2 x

f) y = 5 −3 x −2 g) y =

( x − 1) ( x + 5) 5x ( x + 2 )

11.2) Dadas las siguientes funciones en forma analítica, representar gráficamente con el Simulador Digital "Graficador de Funciones", y de su gráfica hallar:         

a) b)

Dominio. Imagen. Ceros. Conjuntos de Positividad y de Negatividad. Extremos Relativos: Máximos y Mínimos. Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento. Ordenada al Origen. Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos. Polos y Asíntotas.

Tipear

1 = − x ( x − 2 ) ( x + 3) 5 1 ( x − 2) 1 y =− . + 5 ( x + 3) 5

c) y = (x+1). log2 (x + 3) − 3 d) y =

1 15

2

. ( x + 1) . ( x − 2 ) . ( x + 5)

−3 . x − 2 . sen ( x − 2 ) + 1 e) y = −15 . 2

y = -1/5*x*(x-2)*(x+3) y = -1/5*(x-2)/(x+3)+1/5 y = (x+1)*(log(x+3)/log(2))-3 y = 1/15*(x+1)^2*(x-2)*(x+5) y = -15*2^(-3*abs(x-2))*sen(x-2)+1

(Para esta última función, usar la apariencia inicial del Simulador, sin el detalle que brindaría la tecla de acercamiento "zoom")



Respuestas del trabajo Práctico º 11 "Análisis Gráfico de Funciones" 11.1) a) Df = (−∞; ½] e) Df = (0; ∞) = ℜ+ b) Df = ℜ −{−2} f) Df = ℜ −{0} c) Df = (−∞; ∞) g) Df = ℜ −{0; −2} d) Df = (−∞; ∞) 11.2) a) Df = (−∞; ∞); If = (−∞; ∞) ; Ceros: X1 = −3; X2 = 0; X3 = 2 C + = (−∞; −3) ∪ (0; 2); C − = (−3; 0) ∪ (2; ∞) Máx. Rel. (1,1; 0,8); Mín. Rel. (−1,8; −1,7) IC = (−1,8; 1,1); ID = (−∞; −1,8)∪ (1,1; (1,1; ∞) f(0) = 0; Máx. Abs. y Mín. Abs.: No tiene; Polos: No tiene. b) Df = ℜ − {−3}; If = ℜ − {0}; Ceros: No tiene. C + = (−3; ∞); C − = (−∞; −3) Máx. Rel. y Mín. Rel. : No tiene. IC = ∅; ID = (−∞; −3) ∪(−3; ∞) f(0) = 1/3; Máx. Abs. y Mín. Abs.: No tiene; Polos: X = −3 Asíntota Horizontal: y = 0. c) Df = (−3; ∞) ; If = (−3,3; ∞); Ceros: X1 = −2,7; X2 = 0,6; C + = (−3; −2,7)∪(0,6; ∞); C − = (−2,7; 0,6) Máx. Rel. : No tiene ; Mín. Rel. : (−1,6; −3,3); IC = (−1,6; ∞); ID = (−3; −1,6) f(0) = −1,3; Máx. Abs.: No tiene; Mín. Abs.: −3,3; Polos: X = −3 d) Df = (−∞; ∞); If = (−3,6; ∞) ; Ceros: X1 = −5; X2 = −1; X3 = 2 C + = (−∞; −5) ∪ (2; ∞); C − = (−5; −1) ∪ (−1; 2) Máx. Rel. (−1; 0); Mín. Rel.: (−3,9; −3,6) y (1,1; −1,6) IC = (−3,9; −1)∪(1,1; ∞) ; ID = (−∞;−3,9)∪ (−1; 1,1) f(0) = −0,7; Máx. Abs.: No tiene; Mín. Abs.:−3,6; Polos: No tiene. e) Df = (−∞; ∞); If = (−1,6; 3,6) ; Ceros: X1 = 2,1; X2 = 3,3; C + = (−∞; 2,1) ∪ (3,3; ∞); C − = (2,1; 3,3) Máx. Rel. (1,6; 3,6); Mín. Rel.: (2,5; −1,6) IC = (−1; 1,6)∪(2,5; 5); ID = (1,6; 2,5); Estable: (−∞;−1)∪(5; ∞) f(0) = 1,2; Máx. Abs.: 3,6; Mín. Abs.:−1,6; Polos: No tiene. Asíntota Horizontal: y = 1. Matemática - Análisis de Funciones - 17 -17

11) Análisis Gráfico de Funciones

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