Wyznaczanie Modułu Sztywności Metodą Dynamiczną Anna Kaleta
Wprowadzenie Jak wiadomo, każde ciało stałe składa się z atomów, które oddziałują ze sobą siłami zależnymi od odległości między nimi. Gdy wszystkie atomy znajdują się względem siebie w odległościach równowagowych, to ciało jest w równowadze. Natomiast, gdy odległości te ulegną zmianie np. wskutek działania siły zewnętrznej, ciało ulegnie deformacji i pojawi się siła sprężystości, która będzie działała w takim kierunku, by przywrócić stan równowagi. Makroskopową deformację ciała pod wpływem przyłożonej siły nazywamy odkształceniem. Rozróżniamy: − odkształcenie sprężyste - gdy po odjęciu siły zewnętrznej odkształcenie zanika, − odkształcenie plastyczne - gdy po odjęciu siły zewnętrznej odkształcenie nie zanika całkowicie. Siły odkształcające mogą działać prostopadle lub stycznie do powierzchni. Stosunek siły normalnej (prostopadłej) Fn do powierzchni S, na którą działa siła, nazywamy naprężeniem normalnym:
σ=
Fn . S
(1 )
Pod wpływem naprężeń normalnych ciało ulega wydłużeniu lub skróceniu (rys. 1).
F F
n
n
Rys. 1. Wydłużenie oraz skrócenie ciała pod wpływem siły normalnej.
Stosunek przyrostu długości ∆ l do długości początkowej l nazywamy odkształceniem względnym: ε=
∆l . l
(2 )
Okazuje się, że wydłużenie względne jest wprost proporcjonalne do naprężenia normalnego, a zależność ta nosi nazwę prawa Hooke’a: σ =Eε ,
(3 )
gdzie współczynnik E to moduł Younga, określany również jako współczynnik sprężystości wzdłużnej, a jego wymiarem jest N/m2. Moduł Younga jest stałą materiałową i jest liczbowo równy wartości naprężenia odpowiadającego dwukrotnemu zwiększeniu długości początkowej próbki (∆ l/l0 = 1). Podobnie do naprężenia normalnego, definiujemy naprężenie styczne jako stosunek siły stycznej Fs do powierzchni S, na którą działa ta siła:
τ=
Fs . S
(4 )
1
Naprężenia styczne powodują ścinanie lub skręcanie ciała, co w schematyczny sposób zostało zaprezentowane na rysunku 2. F
F
s
F
s
s
Rys. 2. Ścinanie i skręcenie ciała pod wpływem działania siły stycznej.
W tym przypadku prawo Hooke’a przyjmuje postać: (5 )
τ = Gϕ ,
gdzie ϕ jest miarą deformacji kątowej, a G – modułem sztywności (skręcenia), parametrem charakteN rystycznym dla danego materiału o wymiarze 2 . Przykładowe wartości modułu sztywności dla m ⋅ rad niektórych ciał stałych w temperaturze 20°C przedstawia tabela 1.
Nazwa ciała Cyna Miedź Mosiądz Srebro Stal
Moduł sztywności 1010 N [ 2 ] m ⋅ rad 1,8 4,0 - 4,8 4,2 2,4 - 2,9 8,15
Tabela 1. Zestawienie wartości modułu sztywności niektórych ciał stałych.
Metoda dynamiczna wyznaczania modułu sztywności Do wyznaczania modułu sztywności stosuje się metodę: − statyczną – dla prętów grubych, − dynamiczną – dla cienkich prętów i drutów. W metodzie dynamicznej badany drut jest przymocowany górnym końcem do nieruchomego uchwytu, a na jego dolnym końcu jest zawieszony wibrator (rys. 3).
d
R
1
Rys. 3. Przyrząd do pomiaru modułu sztywności.
Wibrator składa się z prętów zaopatrzonych w kołki, które umożliwiają nałożenie na nie dodatkowych obciążeń. Gdy wibrator zostanie skręcony o pewien kąt, w drucie wystąpi moment sił sprężystości starający się przywrócić stan równowagi, a zatem zwolniony wibrator będzie wykonywał ruch drgający. W takim przypadku moduł sztywności badanego drutu można obliczyć z następującego wzoru:
G=
8π lI w , r (Tw2 − T 2 ) 4
(6 )
gdzie: − − − − −
l - długość drutu, Iw - moment bezwładności walców obciążających wibrator względem osi obrotu wibratora, r - promień drutu, T - okres drgań wibratora nieobciążonego, Tw - okres drgań wibratora obciążonego znanymi masami.
Aby wyznaczyć moment bezwładności walców obciążających wibrator względem osi obrotu Iw należy skorzystać z twierdzenia Steinera. Dla N walców, o masach m, umieszczonych w odległości d od osi obrotu, twierdzenie Steinera przybiera następującą postać: I w = NI 0 + Nmd 2 ,
(7 )
gdzie I0 jest momentem bezwładności pojedynczego walca względem jego osi symetrii. Dla walca o promieniu R i masie m wynosi on: 1 I 0 = mR 2 . 2
(8 )
Przykład: Wyznaczenie momentu bezwładności Iw dla 4 walców umieszczonych w odległości d1 oraz 2 walców umieszczonych w odległości d3 symetrycznie względem osi obrotu wibratora: I w = ( 4 + 2) I 0 + 4md 12 + 2md 32 .
Wzór (6) wskazuje wielkości, jakie należy zmierzyć, by móc wyznaczyć moduł sztywności badanego pręta. Jednak nie jest to jednoznaczne z tym, że moduł skręcenia pręta zależy od jego średnicy czy długości. Należy pamiętać, że moduł sztywności jest stałą materiałową, a więc zależy od rodzaju materiału, z którego jest wytworzony badany pręt. Przebieg ćwiczenia: 1. Zmierzyć długość l i średnicę 2r badanego drutu oraz średnicę R walców obciążających wibrator. 2. Wyznaczyć okres drgań T wibratora nieobciążonego, mierząc czas 10 wahnięć (należy zwrócić uwagę, by kąt wychylenia wibratora z położenia równowagi nie przekroczył 7 ÷ 10°). 3. Wyznaczyć masy ciężarków walcowych. 4. Zmierzyć odległości d1, d2, d3 kołków wibratora od jego środka. 5. Wyznaczyć okres drgań wibratora obciążonego T1 dla kilku rozkładów obciążeń. 6. Obliczyć moment bezwładności oraz moduł sztywności dla każdego rozkładu obciążeń. 7. Obliczyć wartość średnią modułu sztywności i odchylenie standardowe średniej arytmetycznej. 8. Przedstawić wnioski.
1
