100411_385_Trabajo Fase 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Peda!icas VIMEP Esc"e#a

de Ciencias B$sicas% Tecno#oía e Ineniería &''(&& – C$#c"#o intera# Tra)a*o Co#a)orati+o ,ase &

TRABAJO COLABORATIVO FASE 1 CALCULO INTEGRAL

INTEGRANTES:

ADRIANA NATHALI CUELTAN CC: 1.126.455.295 EDWIN G. CASTILLO C.C: 1.112.619.137 EIDER ALEXANDER CORTES C.C: 1.144 .163.95 !ILIBETH CASTELLON C.C: 1.42.435.322 ESTEBAN RODOLFO "ARIN C.C: 16#9674 ALBERTO CHARRIS ARAUJO C.C: #54573#7

GRU$O 1411%3#5

TUTOR ALVARO ALVARO JAVIER JAVIER ROJAS BARACALDO BARACAL DO

UNIVERSIDAD UNIVERS IDAD NACIONAL NACIONA L ABIERTA ABIERTA ! A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICIAS& TECNOLOG'A E INGENIER'A

1



"AR(O 17 DE 216 INTRODUCCI)N

El cálculo integral, es una rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las integrales y las anti derivadas se emplea más para calcular ca lcular áreas y volúmenes. Fue usado usado princi principalm palment entee por, por, Arist Aristótel óteles, es, Descar Descartes tes,, newton newton y Barrow Barrow.. Barrow Barrow con las aportaciones de newton creo el teorema de cálculo integral que dice: que la integración y la derivación son procesos inversos.

2



ACTIVIDADES $ARA EL "O"ENTO "O"ENTO DOS: $LANEACI)N& DISE*O ! ENTREGA DEL $RODUCTO FINAL +TRABAJO COLABORATIVO FASE 1, R-/0 - - - /8/; ///.  evisar el entorno de conocimiento !re"erencias #i#liográ"icas requeridas y complementarias de la $nidad %&. compa(eros del grupo cola#orativo e interactuar con ellos para esta#lecer roles y  'denti"icar sus compa(eros estrategias con el "in de dar inicio a la actividad cola#orativa.

 )articipar en "orma individual y cola#orativamente en la planeación y construcción de la Fase % del tra#a*o cola#orativo propuesto !entorno de aprendi+a*e cola#orativo&.

 )articipar con el desarrollo de uno o dos e*ercicios de la )rimera )arte !% al &, uno o dos e*ercicios de la -egunda )arte ! al /& y uno o dos e*ercicios de la 0ercera )arte !1 al %2&, esto con el "in de a"ian+ar su conocimiento en las di"erentes temáticas que componen la $nidad didáctica !ver rú#rica anal3tica&.

 $tili+ar las 4erramientas interactivas propuestas !entorno de aprendi+a*e práctico& y sociali+ar la importancia de las mismas en el Foro de tra#a*o cola#orativo Fase %. 5onsultar la 4o*a de ruta.

 Entregar el )roducto "inal en el entorno de evaluación y seguimiento. egistrar rar en la e6port e6porta"ol a"olio, io, sus "ortal "ortale+as e+as,, di"icu di"iculta ltades des y sus oportun oportunida idades des para para me*ora me*orar r  egist !entorno evaluación y seguimiento&.

3



$ROBLE"AS $RO$UESTOS 7a anti derivada de una "unción " !8& es otra "unción g!8& cuya derivada es "!8&. En algunos te8tos la anti derivada de " reci#e el nom#re de integral inde"inida de ". 7a anti di"erenciación es el proceso inverso a la di"erenciación. 9allar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedades de las integrales inde"inidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la di"erenciación.

∫

1.

3

x + x −2 dx 2 x

-eparamos la integral en  integrales

∫

3

2 x x dx + dx − dx 2 2 2 x x x

∫

∫

-impli"icamos las integrales

∫ x dx+∫ x1 dx −2 ∫ x− dx 2

'ntegramos

x

2

2

x

+ ¿ ∣ x ∣−(

2

2

−2 x

)

2

+ ¿ ∣ x ∣+ + C x

4



∫

2.

2

sec ( x ) dx tan x √ tan

-ea 2

u=tanx; tanx; du= sec x dx -ustituimos u

∫ √ duu -impli"icamos

∫u

−1 2

du

'ntegramos 1

2 u 2 + C

empla+amos u 2 √ tanx tanx + C

∫

3.

( 1 +3 x )2 x √ x 3

dx

Desarrollamos el #inomio del numerador

∫

2

9 x

+6 x +1 3

x √ x

dx

-eparamos sumandos de la integral

5



∫

2

9 x 3

x √ x

∫ 6 x x x dx +∫

dx +

3

√

1 3

x √ x

dx

-impli"icamos

∫ x x 2

9

∫ x

9

−1 3

∫

dx + 6 x x

5 3

−1

2

∫

3

∫

dx + 6 x dx + x 3

∫

dx + x

−1 3

dx

−1 3

dx

'ntegramos 27 x 8

8 3

+

18 x 5

5 3

+

3 x 2

2 3

+ C

∫ tan x dx 3

4.

)artimos las potencias

∫ tan x tanx dx 2

2

2

tan x = sec x −1 , rempla+amos

sec

(¿¿ 2 x −1) tanx tanx dx ∫¿ tanx dx ∫ sec x tanx dx −∫ tanx 2

;ultiplicamos y separamos 2

seau =tanx;du =sec xdx

6


de Ciencias B$sicas% Tecno#oía e Ineniería &''(&& – C$#c"#o intera# Tra)a*o Co#a)orati+o ,ase & -ustituimos u e integramos tanx dx ∫ u du −∫ tanx

u

2

2

− ln ( secx ) + C

tan x − ln ( secx ) + C 2

E <= - 0 0 / -/0 - 8+>, 0-  /-? /-8// - 8 -0@-  >& ∫ f ( ( x ) dx = F ( x ) + C . R-0- 0 0/?=/--0 /-?-0  0- - @ - 0 /-8//0:

∫

5.

∫√

x √ 2+ 9 √ x dx 3

x √ x 3

2

1

2+ 9 x 2

3

dx

x 3 1 3

seau =2 + 9 x ; du=3 x

−2 3

dx ;

du 3

−2

= x 3 dx

-ustituimos

∫ √ u3du -acamos la constante e integramos 1 3

∫u

1 2

du

7


de Ciencias B$sicas% Tecno#oía e Ineniería &''(&& – C$#c"#o intera# Tra)a*o Co#a)orati+o ,ase & 3

1 ∗2 u 2 3 + C 3

-impli"icamos y regresamos a la varia#le original 3

2

x ) ] 2 + C [ ( 2 + 9 √ x 3

9

√ ( 2 +9 √ x x) + C

2 9

3

3

∫

6.

∫

x

√ 3− x

dx

4

x dx

√ 3 −( x )

2 2

2

u= x ; du= 2 x dx ;

du 2

= x dx

-ustituimos 1 2

∫

1

du

√ 3−u −1

sin

2

2

Inversodel Inverso del Sen

( ) u

√ 3

+ C

( )+ 2

1 −1 x sin 2 √ 3

C

∫ sen ( 4 x ) cos ( 3 x ) dx

7.

8


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1 2

Aplicamos Si senA cosB = sen ( A + B )+ sen ( A − B )

∫ 12 sen ( 4 x +3 x ) dx + 12 sen ( 4 x−3 x ) dx -acamos constantes y operamos ángulos 1 2

senx dx ∫ sen 7 x dx + 12 ∫ senx

'ntegramos

−1

1 cos7 x − cos x + C 14 2

∫

8.

cos ( t ) + 1 3

2

cos ( t )

dt

-eparando los sumandos de la integral 3

cos ( t )

1 Aplicamos inversade inversade que que es sec sec ( t ) ∫ cos (t ) dt +∫ cos1 (t ) dt Aplicamos cos ( t ) 2

2

2

2

∫ cos ( t ) dt +∫ sec ( t ) dt 2

'ntegramos

sen (t ) + tan ( t ) + C

$n teorema teorema generalmente generalmente posee un número número de premisas que de#en ser enumeradas enumeradas o aclaradas aclaradas de antemano. 7uego e8iste una conclusión, una a"irmación lógica o matemática, la cual es

9


de Ciencias B$sicas% Tecno#oía e Ineniería &''(&& – C$#c"#o intera# Tra)a*o Co#a)orati+o ,ase & verdadera #a*o las condiciones dadas. El contenido in"ormativo del teorema es la relación que e8iste entre las 4ipótesis y la tesis o conclusión.

x + 16 - - /- [ 0,3 ] 9. H -  -/ -  8=/; f ( ( x )= x √ x 2

f prom=

1

b− a

b

∫ f ( ( x ) dx a =0 y b =3 a

x √ x x + 16 2

(¿ ) dx u = x2 +16 ; du =2 x dx → 1 3

du 2

= x dx

3

∫¿ 0

-ustituimos 3

√ u du ∫ 3 2 1

0

-acamos la constante e integramos

[ ]

1 2u 6

3

3 2

3

0

empla+amos u

[(

1 2 6 3

]

3 3

x x + 16 ) 2 2

0

Evaluamos en 8 el intervalo

[

3

3

1 2 2 ( 3 +16 ) 2 − 2 ( 0 2+16 ) 2 6 3 3

]

-impli"icamos

10



[

]

1 2 ( 125 ) − 2 (64 ) 6 3 3

[

1 250 6

3

( )

1 122 6

−

3

]

128 3

→

122 18

→

61 9

R-0= f ( ( x )= x √ x x + 16 es 2

El valor medio de la "unción

61 9

1. S/ 0- 0=@- =-  @/; =/ = -0 - 7 / /-0  =-  @/; t - -  0 -0  @  - - -//- -//- ->@-/ ->@-/ p (t )= e . E=--& 0.023

 @/; @-/ -  /- - 0 @;>/0 3 0.

)ara resolver este pro#lema de#emos 4allar el valor promedio de la po#lación

p (t ) desdet = 0 hastat =30

1 Valor promedio = 30 −0

Valor promedio =

30

∫ 7 .e

0.023 t

dt =

0

[

1 7 7 0,023.30 e − 30 0.023 0.023

[

]|

1 7 0.023 t 30 e 30 0.023 0

]

=

1 7 0.69 e −1 30 0.023

[

]

Valor romedio =10,1 !iles de millones

R-0= 7a po#lación promedio de la tierra en los pró8imos = a(os es de %=.% miles de millones.

11



x

3

x

d  = ∫ cos ( t ) dt . dx dx 1

x )=∫ cos ( t ) dt . D--/ 11. S/  ( x 1

3

"

∫

Si  ( x )=

1

dp d cos ( t ) dt #eterminar = dx dx

3

x

3

∫ cos (t ) dt 1

x

3

∫ cos t ( dt )

 ( x x )=

1

3

x

∫

 ( x x )= sin t ¿ sen sen x − sen 1 + c 3

1

dp ( x ) =3 x 2 cos x3 dt

12. A@/ - 0-?= -- 8=- - = @ -0- $ 4

∫ sin ( 2 x ) cos ( 2 x ) dx →∫ sen 3 % cos % d%2 3

0

Sustituci&n

% =2 x ' =sin % d% =2 dx d(= cos % d%

12


de Ciencias B$sicas% Tecno#oía e Ineniería &''(&& – C$#c"#o intera# Tra)a*o Co#a)orati+o ,ase & d% 2

= dx $ 4

4

sin ( 2 x ) ¿

∫¿ 0

1 8 1 4 1 3 u du= u = ¿ 2 4 8 sin % ¿

4

1 2

∫

= ¿

( )¿

sin sin 2 0

( ( )) −¿= sen

2 $

2

4

1 8

1

4

1 [ 1 −0 ] = 8 8 4

4

¿

13



CONCLUSIONES  En la reali+ación de este tra#a*o se puede concluir que para el desarrollo de los anteriores





e*ercicios es necesario tener conocimiento y aplicar m>todos de sustitución y reempla+amiento, simp simpli li"i "icac cació ión, n, opera operaci ciona onali li+a +aci ción, ón, teor teorem emaa de valor valor medi medio, o, prim primer er y segu segundo ndo teor teorem emaa "undamental del cálculo integral. 0emas propuestos en la primera unidad del módulo de cálculo integral. En general general el t>rmino t>rmino cálcul cálculo o 4ace re"eren re"erencia cia,, indist indistint intame amente nte,, a la acción acción o el resultad resultado o correspondiente a la acción de calcular. 5alcular, por su parte, consiste en reali+ar las operaciones neces necesar aria iass para para prev prever er el resu result ltado ado de una una acci acción ón prev previa iame ment ntee conc conce#i e#ida, da, o conoc conocer er las las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos. El cálcul cálculo o consist consistee en un procedi procedimie miento nto mecánic mecánico, o, o algori algoritmo tmo,, median mediante te el cual podemos podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos de#idamente "ormali+ados y sim#oli+ados.

14



REFERENCIAS Bonnet, ?. !2==&. Cálculo Cálculo Infinites Infinitesimal imal esquemas teóricos teóricos para estudiantes estudiantes de ingeniería ingeniería y ciencias ciencias experimental experimentales. es. Disp Dispon oni#l i#lee en la Bi#l Bi#lio iote teca ca 8ico: 7arousse I Jrupo Edit ditori orial )at )atria. ia. Dis Disponi poni#l #lee en la Bi#l Bi#liiotec otecaa 8ico: 7arousse I Jrupo Edit ditori orial )at )atria. ia. Dis Disponi poni#l #lee en la Bi#l Bi#liiotec otecaa
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