Matemática 1
Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Exercícios resolvidos. Funções trigonométricas e as suas inversas. Definição. A função f (x) de domínio D f diz-se periódica com o valor do período mínimo positivo T se: a) ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f ; b) f ( x ± T ) = f ( x) . Nota. O domínio de uma função periódica é um conjunto ilimitado à esquerda e à direita.
1) Determinar, caso existem, os valores dos períodos mínimos positivos das funções. 1.1) f ( x) = sen(4 x − 1) . A função f ( x) = sen(4 x − 1) é f (u ) = senu de domínio R composta com a função u = 4 x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R . Seja T > 0 . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f .
f ( x ± T ) = sen(4 ⋅ ( x ± T ) − 1) = sen(4 ⋅ x ± 4 ⋅ T − 1) = sen((4 ⋅ x − 1) ± 4 ⋅ T ) = (∗) Substituindo 4 ⋅ x − 1 = α na continuação temos : (∗) = sen(α ± 4 ⋅ T ) = (∗ ∗) Porque o valor do período mínimo positivo da função seno é 2π e ∀α ∈ R tem-se 2π π π sen(α ± 2π ) = senα fazendo ± 4T = ±2π obtemos T = = . Portanto T = éo 4 2 2 valor mínimo positivo que verifica a relação ± 4T = ±2π é portanto é o período mínimo positivo da função. Substituindo T =
π
2
na continuação temos:
(∗ ∗) = sen α ± 4 ⋅ π = sen(α ± 2π ) = senα = sen(4 x − 1) .
2 Portanto foi provado que para a função f ( x) = sen(4 x − 1) de domínio R tem-se: a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± b) isto é, T =
π 2
π f x ± = f ( x) , 2
π 2
∈ Df = R ;
é o período mínimo positivo da função.
1
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1.2) f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) . A função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) é f (u ) = cos u de domínio R composta com a função u = π ⋅ x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R . Seja T > 0 . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f .
f ( x ± T ) = cos (π ⋅ ( x ± T ) − 1) = cos (π ⋅ x ± π ⋅ T − 1) = cos ((π ⋅ x − 1) ± π ⋅ T ) = (∗) Substituindo π ⋅ x − 1 = α na continuação temos : (∗) = cos (α ± π ⋅ T ) = (∗ ∗) Porque o valor do período mínimo positivo da função cosseno é 2π e ∀α ∈ R tem-se cos (α ± 2π ) = cos α fazendo ± π ⋅ T = ±2π obtemos T = 2 . Portanto T = 2 é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± π ⋅ T = ±2π é portanto é o período mínimo positivo da função. Substituindo T = 2 na continuação temos: (∗ ∗) = cos (α ± π ⋅ 2) = cos α = cos (π ⋅ x − 1) . Portanto foi provado que para a função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) de domínio R tem-se: a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± 2 ∈ D f = R ; b) f ( x ± 2) = f ( x) , isto é, T = 2 é o período mínimo positivo da função.
1.3) f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) . A função f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) é f (u ) = cos u de domínio R composta com a função u = 2 ⋅ x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R . Seja T > 0 . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f .
f ( x ± T ) = cos ( 2 ⋅ ( x ± T ) − 1) = cos ( 2 ⋅ x ± 2 ⋅ T − 1) = c os (( 2 ⋅ x − 1) ± 2 ⋅ T ) = (∗) Substituindo 2 ⋅ x − 1 = α na continuação temos : (∗) = cos (α ± 2 ⋅ T ) = (∗ ∗) Porque o valor do período mínimo positivo da função cosseno é 2π e ∀α ∈ R tem-se 2π cos (α ± 2π ) = cos α fazendo ± 2 ⋅ T = ±2π obtemos T = = 2π . Portanto 2
2
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T = 2π é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 2 ⋅ T = ±2π é portanto é o período mínimo positivo da função. Substituindo T = 2π na continuação temos: (∗ ∗) = cos (α ± 2 ⋅ 2 ⋅ π ) = cos (α ± 2 ⋅ π ) = cos α = cos ( 2 ⋅ x − 1) . Portanto foi provado que para a função f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) de domínio R tem-se: a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± 2 ⋅ π ∈ D f ; b)
(
)
f x ± 2 ⋅ π = f ( x) ,
isto é, T = 2 ⋅ π é o período mínimo positivo da função.
1.4) f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) . O domínio da função f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) é
π D f = R \ { x ∈ R : cos (5 x + 4) = 0 } = R \ x ∈ R : 5 x + 4 = + k ⋅ π , k ∈ Z = 2 π 4 π π π 4 π π 4 = R \ x∈R: x = − + k ⋅ , k ∈ Z = U − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅ . 10 5 5 5 10 5 5 k∈Z 10 5 Seja T > 0 . f ( x ± T ) = tg (5 ⋅ ( x ± T ) + 4) = tg (5 ⋅ x ± 5 ⋅ T + 4) = tg ((5 ⋅ x + 4) ± 5 ⋅ T ) = (∗) Substituindo 5 ⋅ x + 4 = α na continuação temos : (∗) = tg (α ± 5 ⋅ T ) . Porque o valor do período mínimo positivo da função tangente é π e para qualquer α do domínio da função tangente tem-se tg (α ± π ) = tg α fazendo ± 5 ⋅ T = ±π obtemos T=
π
5
. Portanto T =
Com T =
π 5
π
5
é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 5 ⋅ T = ± π .
tem-se:
π 4 π x ∈ Df = R \ x ∈ R : x = − +k⋅ , k∈N ⇒ 10 5 5 π π 4 π π 4 Se x ∈ − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅ então 5 10 5 5 10 5
x±
π 5
∈ Df .
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x−
π
π π 4 π π 4 ∈ − + (k − 1) ⋅ , − +k⋅ 5 10 5 5 10 5 5
e
π π 4 π π 4 ∈ − + (k + 1) ⋅ , − + ( k + 2) ⋅ . 5 10 5 5 10 5 5 Portanto foi provado que para a função f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) de domínio x+
π
π 4 π π π 4 π π 4 Df = R \ x ∈ R : x = − + k ⋅ , k ∈ Z = U − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅ 10 5 5 5 10 5 5 k∈Z 10 5 tem-se: a) ∀x ∈ D f tem-se x ± b) isto é, T =
π 5
π f x ± = f ( x) , 5
π
5
∈ Df ;
é o período mínimo positivo da função.
1.5) f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) . A função f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é f (u ) = sen u de domínio R composta com a função u = 3 2 ⋅ x + 4 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R . Seja T > 0 . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f .
f ( x ± T ) = sen (3 2 ⋅ ( x ± T ) + 4) = sen (3 2 ⋅ x ± 3 2 ⋅ T + 4) = sen ((3 2 ⋅ x + 4) ± 3 2 ⋅ T ) = (∗) Substituindo 3 2 ⋅ x + 4 = α na continuação temos :
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(∗) = sen (α ± 3
2 ⋅ T ) = (∗ ∗) Porque o valor do período mínimo positivo da função seno é 2π e ∀α ∈ R tem-se 2π 2π sen (α ± 2π ) = sen α fazendo ± 3 2 ⋅ T = ±2π obtemos T = = . Portanto 3 3 2 2π T= é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 3 2 ⋅ T = ±2π é portanto 3 2π é o período mínimo positivo da função. Substituindo T = na continuação temos: 3 (∗ ∗) = sen (α ± 3 2 ⋅ T ) = sen (α ± 3 2 ⋅ 2π ) = sen (α ± 2π ) = senα = sen 3 2 ⋅ x + 4 . 3 Portanto foi provado que para a função f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) de domínio R tem-se:
(
a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± b)
isto é, T =
)
2π = Df ; 3
2π = f ( x) , f x ± 3
2π é o período mínimo positivo da função. 3
1.6) f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) . D f = Dsen I Dtg . Dsen = R (exemplo 1.1) e π 4 π Dtg = R \ x ∈ R : x = − + k ⋅ , k ∈ Z (exemplo 1.4). 10 5 5 Portanto o domínio da função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) é
π 4 π D f = R I R \ x ∈ R : x = − +k⋅ , k ∈Z 10 5 5
= 5
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π 4 π π π 4 π π 4 = R \ x∈R: x = − + k ⋅ , k ∈ Z = U − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅ . 10 5 5 5 10 5 5 k∈Z 10 5 A função f 1 ( x) = sen(4 x − 1) é periódica e o valor do período mínimo positivo é Tsen =
π
(exemplo 1.1). 2 A função f 2 ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo positivo
é Ttg =
π
(exemplo 1.4). 5 Levando em conta que para a função periódica f 1 ( x) = sen(4 x − 1)
valor do período mínimo positivo Tsen =
π
π
, n ∈ N , também 2 2 é período da função e para a função periódica f 2 ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) com o valor do período mínimo positivo Ttg =
π
tem-se que n ⋅ Tsen = n ⋅
com o
π
, m ∈ N , também é 5 5 período da função concluímos que o período da função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) , caso existe, Portanto o período mínimo positivo T f
da
função
tem-se que m ⋅ Tsen = m ⋅
f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) ,
T f = n ⋅ Tsen = n ⋅
π
= m ⋅ Ttg = m ⋅
caso
existe,
verifica
a
relação
π
. 2 5 Porque com n, m ∈ N a relação
π
π
2 2 5 5 se verifica para n = 2, m = 5 concluímos que a função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) n⋅
= m⋅
⇔ n = m⋅
é periódica e o valor do período mínimo positivo é T f = n ⋅
π 2
=m⋅
π 5
=π .
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1.7) f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) . D f = Dc os I Dsen . Dc os = R (exemplo 1.3) e Dsen = R (exemplo 1.5). Portanto o domínio da função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é D f = R . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f , ∀T > 0 . A função f 1 ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) é periódica e o valor do período mínimo positivo é Tc os = 2π (exemplo 1.3). A função f 2 ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo positivo é Tsen = Portanto
2π (exemplo 1.5). 3 o período
mínimo
função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) ,
caso
positivo existe,
verifica
Tf
da
a
relação
2π . 3 Porque com n, m ∈ N a relação
T f = n ⋅ Tc os = n ⋅ 2π = m ⋅ Tsen = m ⋅
n ⋅ 2π = m ⋅ se
verifica
para
n = 1, m = 3
2π m ⇔ n= 3 3 concluímos
que
a
função
f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo positivo é T f = n ⋅ 2π = m ⋅
2π = 2π . 3
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1.8) f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) . D f = Dc os I Dsen . Dc os = R (exemplo 1.2) e Dsen = R (exemplo 1.5). Portanto o domínio da função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é D f = R . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f , ∀T > 0 . é Tc os
A função f 1 ( x) = c os (π ⋅ x − 1) é periódica e o valor do período mínimo positivo = 2 (exemplo 1.2). A função f 2 ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo
positivo é Tsen = Portanto
2π (exemplo 1.5). 3 o período
mínimo
função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) ,
caso
positivo existe,
verifica
Tf
da
a
relação
2π . 3
T f = n ⋅ Tc os = n ⋅ 2 = m ⋅ Tsen = m ⋅ Porque
2π 2π π ⇔ n = m⋅ = m⋅ 3 6 3 2 que verificam a relação concluímos que a função
n⋅2 = m⋅ e não existem n, m ∈ N
f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) não é periódica.
( )
1.9) f ( x) = cos x 2 . A função f ( x) = cos x 2 é f (u ) = cos u de domínio R composta com a função u = x 2 de domínio R e contradomínio R0+ . Portanto D f = R .
( )
Com T > 0 tem-se: 2 cos (x ) = cos ( x ± T ) ⇔ cos (x 2 ) = c os (x 2 ± 2 xT + T 2 ) ⇔ 2
( )
( (
)
(
cos x 2 = cos x 2 ± 2 xT m T 2
))
⇔
(∗) 8
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Levando em conta que o período mínimo positivo da função cosseno é 2π tem-se:
− 2 x ± 4 x 2 ± 8π . m2 Obtemos que T depende de x e portanto não existe T > 0 tal que ∀x ∈ R se verifica 2 cos (x 2 ) = c os ( x ± T ) , isto é, a função f ( x) = cos (x 2 ) não é periódica. 2 xT m T 2 = 2π
(
⇔ m T 2 + 2 xT − 2π = 0 ⇔ T =
)
2)
Calcular os valores das seguintes expressões que envolvem as funções trigonométricas e as funções trigonométricas inversas:
37π 2.1) arcsen sen . 6 Levando em conta que a função y = sen x tem o domínio Dsen = R e o contradomínio CDsen = [ −1, 1 ] , e a função y = arcsen x tem o domínio
π π Darcsen = CDsen = [ −1, 1 ] e o contradomínio CDarcsen = − , (a restrição principal 2 2 da função y = sen x ) resulta que π π arcsen sen x = x , se e só se x ∈ − , . 2 2 Na base da periodicidade da função y = sen x tem-se sen(α + 2kπ ) = senα , ∀ α ∈ R e ∀k ∈ Z . Então temos: 37π π 36π π arcsen sen + = arcsen sen 6π + = = arcsen sen 6 6 6 6
π π = arcsen sen = . 6 6
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45π 2.2) arcsen sen − . 4 Analogamente tem-se: 5π 45π 40π 5π arcsen sen − − = arcsen sen − = arcsen sen − 10π − = 4 4 4 4 π π π 5π = arcsen sen − = arcsen sen − π − = arcsen sen = . 4 4 4 4 43π 2.3) arc cos c os . 6 Levando em conta que a função y = c os x tem o domínio Dc os = R e o contradomínio
CDc os = [ −1, 1 ] ,
e
a
função
y = arccos x
tem
o
domínio
Darcc os = CDc os = [ −1, 1 ] e o contradomínio CDarcc os = 0 , π (a restrição principal da função y = c os x ) resulta que arccos cos x = x , se e só se x ∈ 0 , π . Na base da periodicidade da função y = c os x tem-se cos (α + 2kπ ) = c osα , ∀ α ∈ R e ∀k ∈ Z . Então temos: 43π 7π 36π 7π arc cos cos + = arc cos c os = arcc os cos 6π + = 6 6 6 6 5π 7π 5π = arc cos c os = arc cos cos 2π − = arc cos c os − = 6 6 6 5π = arc cos c os 6
5π . = 6
28π 2.4) arc cos cos − 3 Analogamente tem-se:
.
28π 28π 24π 4π arc cos cos − + = arcc os cos = arc cos cos = 3 3 3 3 4π 2π 4π = arc cos c os 8π + = arcc os cos = arcc os cos 2π − = 3 3 3 2π 2π 2π = arc cos c os − . = arc cos c os = 3 3 3
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11π 2.5) arc sen cos . 3 π 11π 12π π arc sen cos − = arc sen cos 4π − = = arc sen c os 3 3 3 3 π π π π = arc sen c os − = arc sen cos = arc sen sen − = 3 3 2 3 π π = arc sen sen = . 6 6 29π 2.6) arc cos sen − . 9 7π 29π 36π 7π arc cos sen − + = arc cos sen − = arc cos sen − 4π + 9 9 9 9 7π π 5π 5π 5π = arc cos sen . = arc cos sen + = arccos c os = 9 2 18 18 18
=
1 2.7) tg arc cos . 3 Levando em conta que tgα =
cos (arcc os (c )) = c obtemos
senα c osα
e que com
− 1 ≤ c ≤ 1 tem-se
1 1 sen arcc os sen arcc os 3 3 1 tg arc cos = = (∗) = 1 3 1 cos arcc os 3 3 1 Seja arc cos = α com α ∈ [ 0 , π ] (na base da definição da função y = arcc os x ). 3 Levando em conta que sen 2α + cos 2α = 1 ⇔ senα = ± 1 − c os 2α e com
α ∈ [ 0, π
]
tem-se 2
1 1 senα = 1 − cos α = 1 − cos arc cos = 1 − cos arcc os = 3 3 2
2
2
1 1 2 2 = 1 − = 1 − = = . 3 3 3 3 na continuação temos 1 2 sen arcc os 3 sen (α ) 3 (∗) = = = = 2. 1 1 1
3
3
3
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41π 2.8) arctg tg 6
25π + tg arctg 6
.
Na base da definição da função y = arctg x tem-se: π π arctg (tg x ) = x, ∀x ∈ − , e tg (arctg x ) = x, ∀x ∈ R . 2 2
Portanto temos: 41π 25π arctg tg + tg arctg 6 6
42π π 25π − + = = arctg tg 6 6 6 π 25π π 25π π 25π = arctg tg 7π − + = arctg tg − + =− + = 4π . 6 6 6 6 6 6
41π 2.9) arcctg ctg 6
25π + ctg arcctg 6
.
Na base da definição da função y = arcctg x tem-se: arcctg (ctg x ) = x, ∀x ∈ ] 0 , π [ e ctg (arcctg x ) = x, ∀x ∈ R .
Portanto temos: 41π arcctg ctg 6
36π 5π 25π 25π + = + ctg arcctg = arcctg ctg + 6 6 6 6 5π 25π 5π 25π 30π 5π 25π = arcctg ctg 6π + = arcctg ctg + = + = = 5π . + 6 6 6 6 6 6 6
41π 2.10) arctg ctg 6
25π + ctg arctg 6
.
41π 42π π π π arctg ctg − = arctg ctg 7π − = arctg ctg − = = arctg ctg 6 6 6 6 6 π π = arctg tg − = − . 3 3 25π ctg arctg 6
=
Portanto 41π arctg ctg 6
25π + ctg arctg 6
1 25π tg arctg 6
=
1 6 = . 25π 25π 6
6 π − 25π 2 + 18 . = = − + 3 25π 75π
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41π 2.11) arcctg tg 6
25π + tg arcctg 6
.
41π 42π π π π arcctg tg − = arcctg tg − = arcctg − tg = = arcctg tg 6 6 6 6 6 π π π π = arcctg − ctg − = arcctg − ctg = arcctg ctg − = 2 6 3 3 π 2π = arcctg ctg − + π = arcctg ctg 3 3
2π . = 3
25π tg arcctg 6
=
1 6 = . 25π 25π 6
Portanto 41π arcctg tg 6
25π + tg arcctg 6
1 25π ctg arcctg 6
=
6 50π 2 + 18 2π . = + = 75π 3 25π
13
