10 Ejercicios Resueltos Por El Método de Cross

�A�E��A� ��A� DE ��.��.��.�� E�� C�� C�� E� E��A E��A �EB �EB E�C E�C�� A� A�A� A� �� , ��, ��C�� C��A� �A�� ,, E�E�C�C E�E�C�C�� E��E� �E��E��, ��, �� C�� D� �� A� �A�E��A E��A � �� DE�C DE�CA A��A ��A �E �AF��E 100% ��A��A

10 E�E C�C�� E��E�� E�

E��D� DE C� ��

A�A�� E�� A� ��


E�E�C�C�� E��E�� 1.� 1.�

�E� �E�� E� �A E�� A �� E� �E��D� DE C��

1�/�

B I

C

D

2I

4�

I I

A

E

3�

2�

F

4�

�� D� B

  4∗   4 ∗ 1.57 ∗   1.36    4 ∗2  2    3.36 ��D� C

  4∗   4∗2  2    4 ∗ 23∗   2.66    4∗4  1 

FAC��E� DE D��B�C��

  1.36 3.36  0.4048 2  0.5952   3.36   1


2  0.3529   5.667

2.66  0.4706   5.667 1  0.1765   5.667


  5.667

  1

��D� �


  2.667 3.667  0.7273

  4∗   4 ∗ 23∗   2.667  ∗   1    4 ∗ 4

1  0.2727   3.667   1

  3.667 2� CA�C�� DE �� E�� F��

C

4�

E

∗   1 ∗ 3  0.75    12 12 0.75  ∗   1 ∗ 3  ∗  0.755   ∗     12  12  0.7 3� ��

        3  2  1 E��AD� �0� F��1


�� 1�

AB

CB

��

1

     53.13� � B

Δ     0.7 0.755 ∗ Δ1  Δ     1.25∗ Δ1

 AB

 Δ     1.25∗ Δ1

Δ  Δ1 Δ  Δ1


E��AD� �0�

0,0417 0,0051 0,0366

�0,3565

0,5653

0,0832

�0,0069

�0,0092

� ,2791

0,0148

0,0074

0,0121

,0242

0,0832 �0,025

0,0498

�0,0665

� ,0332

0,0249 0,1074

0,0537

0,0875

,1751

0,0101 �0,181

�0,3609

0,4813

� ,2407

0,2727

,5455

0,75

�0,72

0,3524

0,4706

,7273

C

0,1765

0,0731 0,4048 0,5452 ,

B

0

0,1805

D

0,2727

0,0249

0,0656

0,0034

0,0091

�0,2088

0,2792

0,01023 A

F

E �0,0903 �0,0125 � 0,002 �0.1045

  0  ��  0.2792 +0.1397 ��F*4=0 �F= 0.1047 �

  0  ��  �0.2088 �0.1045 +�E*4=0

0,02045

0,0328 0,0046 0,1397

�A�E��A� ��A� DE ��.��.��.�� E�� C�� C�� E� E��A �EB E�C��A�A� �� , ��C��A��, E�E�C�C�� E��E��, �� C�� D� �� A�E��A � �� DE�CA��A �E �AF��E 100% ��A��A

�E=0.0783 �

  0     0.0834+0.0417 -4 *HA -3 A=0 4Ha +3Va= 0.1249 .,,,,,,(1)

  0     0.0417 -0.3565 -4HA -5V =0 4HA + 5VA=-0.3148 …..( ) HA= 0.1961 t

VA= -0.2199 t

  0 R10= HA – HE +HF R10= 0.1961 -0.0783 +0.1 47 R10= 0.2225 ton.


5to distribución de momen os en el estado “1”

Δ  100   Δ    1.25∗ Δ1



 Δ    1.25∗ Δ1

Δ  Δ1 Δ  Δ1 Momentos fijos por desniv lamiento.

1.25∗100  51  ∗      6 ∗1.7 ∗ 5      6 2∗ ∗ 0.75∗100  112.5 ∗   6∗  100     4 ∗   37.5  ∗  6 ∗  100     4 ∗   37.5 ∗ 


ESTADO “1”

60.5889 9.5889

�69.679

17.8146

�70.1777

�0.4732

0.631

�22.1375

�1.0199

�0.510

�0.831

�1.662

70.1777

1.7136

3.4271

4.57

2.2852

�0.6937

�7.3867

�3.69

�6.0183

�12.0366

�5.0238

12.4105

24.8210

33.0994

16.5497

�13.6369

�27.2738

0,4706

0,7273

24.8952 36.6048 51

18.3024

51 �112.5 0,4048 ,

�112.5

0,5452 B

0,3524

0C

0,1765

37.5

D

12.414

0.2727

37.5 �10.22

1.714

4.513

�0,2367

�0.62

51.8648

37.5 �7.6813 A

F

E 37.5 7.1824 44.6824

  22.13754 29.8187  12.9891   51.86484 44.68  24.1368

29.8187


  0     60.5889+70.1777 -4 *HA - 3VA=0 4Ha +3Va= 130.7666 .,,,,,, 1)

  0     60.5889 -69.68 -4*HA -5V A=0 4HA + 5VA=-9.092) HA= 85.1381 VA= -69.92 t

  0 R11= HA – HE +HF R11= 85.1381+12.98+24.1 36 R11= 122.26 ton.

Ecuaciones de compatibili ad R10 +k1*R11=0 0.225+K1*122.2640=0 K1=-0.0018 7TO MOMENTOS FINA ES MAB= 0.0417 +(-0.0018)* 60.5589=-0.0689 ton*m MBA=0.0832 +(-0.0018)* 70.177=-0.0445 ton*m MBC=0.0832 +(-0.0018)* -70.177=-0.0445 ton*m MCB=-0.3565 +(-0.0018)* -69.68=-0.2297 ton*m MDC=0.5653 +(-0.0018)* 17.8146= 0.5329 ton*m MCD=-0.2792 +(-0.0018) -22.1375=-0.2389 ton*m MCE=-0.2088+(-0.0018)* 51.86=-0.3032 ton*m


MEC=-0.1045 +(-0.0018)* 44.68=-0.1858 ton*m MDF=0.271 +(-0.0018)* 22.1375=0.2389 ton*m MFD=0.1397 +(-0.0018)* 29.81= 0.0854 ton*m

Diagrama de momentos fin ales 0.5329

0.0445

0.2389 0.0445

0.2297

0.2389 0.303

0.7391

0.1858

0.0686

0.0686


2.A

B

2 �.� C

D

3.5 �. E 4�.

5�

6�

�� D� B

  4∗   3  0.75  4   4 ∗  0.7428  √ 29   1.49


  0.75 1.49  0.5024

  20.742 1.49  0.4976   1

��D� C


  4∗   4∗2 9  0.7428  √   4 ∗ 6  0.6667 

  0.6667 1.4095  0.473

  1.409

  0.7428 1.4095  0.527

  1


2� CA�C�� DE �� E�� F��

A

B

4�

 20∗ 4  ∗    8  8  40 ∗  ��AD�� 20 ��/� �



  ∗  250  ∗ 

3� �� GD=1 1

1

F�C1

1


1



�� CB

AB

     21.8� Δ     2.5 ∗ Δ1  Δ    2.692 ∗ Δ1

4º DISTRIBUCION DE MOMENTOS EN EL ESTADO “0” �26,4398 � 7,13

0,1183

� ,045

�0,2246

�152,87 0,9026

1,8051

�0,4535 � ,851

�3,4253

�6,9167 1 ,767

27,5347

�105,5 � 04,5

�52,248

A�10 (250) 0,5024 0,4976 �10

0,5024

26,397

13,2199

0,1062,

0,0531

1,6202

0,81

24,713

12,3567

0,4976


  0     -152.87 +20*16/2 – VA*4 0 VA=1.7815

  0     -1.7815*9 –R10*2 +20*81 /2 -26.4398=0 R10=383.76 KN

4TO DISTRIBUCION DE MOMENTOS EN EL ESTADO “1” MOMENTOS FIJOS POR DESNIVELAMIENTO

Δ  100  Δ  2.5∗Δ1 Δ  2.692 ∗Δ1 2.5∗100  46.87  ∗    3 ∗ ∗  4      6 ∗  ∗ 02.698∗100  55.7086  ∗   2 9 √


ESTADO “1”

4 .7647

�27.08

0.0189

0.1262

�0.038

�0.2394

�0.478

�0.076

.9624

0.144

.2882

1.92

0.0191

�0.58

�3.65

�0,2910

�1.15

�7.3748

�7.3 14.67

2.187

4.4380

4.69

29.358

43.7648

46..875 0,5024

�55.7

55.7086

,4976

27.0832 0.1133 �0.068

�11

1.7275 �1.04 26,35

0,5024

0,4976

  0     43.7647 – VA*4=0 VA=10.94 KN

  0    

13.5416


-10.9412*9 -2* R11 -27.08 31=0 R11= -62.777 KN 6 ECUACIONES DE CO PATIBILIDAD R10 +K1 *R11=0 383.76 –K1*62.777=0 K1= 6.1131 CORRIGIENDO DE LA SIGUIENTE FORMA MFINAL= Mº + M1*K1 MBA= 114.664 MBC=-364.66 MCB=-192.0015 MCD=192.0015 MDC=96.0011 DIGRAMA DE MOMEN OS FLECTORES

�250

34.66

�192 114.6 �192

96


3

10 ��/� B

C � � 6�. 2�

D

A 6�.

GRADOS DE DESPLAZ BILIDAD= 2-1=1

1

1

2 �.


�� D� B


  4∗   4 ∗ 28∗   1    4 ∗ 6  0.5    1.5

1  0.60   1.5

  0.5 1.5  0.40   1

��D� C


  4∗   4∗6  0.66    4 ∗ 3  0.66 

  0.66 1.22  0.5

  0.66 1.22  0.5

  1

  1.22 CROSS ESTADO “0”

FACTOR DE DISTRIBUCIÓN

-1

-0,6

-0,4

-0,5

-0,5

-1

0

0

0

0

-30

-30

0

0

0

15

15

0

1º ITERACIÓN MOMENTOS FIJOS DISTRIBUCION


2º ITERACIÓN 0

0

7,5

0

0

0

-4,5

-3

0

0

-2,25

0

0

-1,5

0

2,25

0

0

0,75

0,75

0

1,125

0,375

0

0

0

-0,9

-0,6

0

0

-0,45

0

0

-0,3

0

0,7875

0

0

0,15

0,15

0

0,39375

0,075

0

0

0

-0,28125

-0,1875

0

0

-0,140625

0

0

-0,09375

0

,25875

0

0

0,046875

0,046875

0

0,129375

0,0234375

0

0

0

-0,0916875

-0,061125

0

0

0, 4584375

0

0

-0,0305625

0

0, 8465625

0

0

0,01528125 0,01528125

7,5

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 3º ITERACIÓN 0

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 4º ITERACIÓN 0,375






TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 10ºº ITERACIÓN 0

TRANSMISIÓN

0,04232813 0,00764063

0

0

0,00764063


0,02998125 -0,0199875

0

0

0

0

DISTRIBUCIÓN 11ºº ITERACIÓN 0, 1499063

0

0

0,00999375

0, 2768906

0

0

0,00499688 0,00499688

0

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN

0,5071 -4,112 4,1125 14,03 MOMENTOS FINALES

  0     -HA*8 + MAB + MBA +1*8*4=0 HA= (MAB + MBA + 32)/ 8 HB= (MCB + MDC )/6 R10= HA- HB R10=52.3

CALCULO DE MOMEN OS FIJOS POR DESNIVELAMIENTO

Δ1  100  Δ  Δ1 Δ  Δ1

 

6 ∗ 2 ∗  100  9  ∗    8      6 6∗ ∗  100   8  ∗ 

CROSS ESTADO “1”

-14,03 -22,02



0

-0,6

-0,4

-0,5

-0,5

-1

-9

-9

0

0

-8

-8

0

-5,4

-3,6

-4

-4

-8

-2,7

0

-2

-1,8

-4

-2

0

1,2

0,8

2,9

2,9

2

0,6

0

1,45

0,4

1

1,45

0

-0,87

-0,58

-0,7

-0,7

-1,45

-0,435

0

-0,35

-0,29

-0,725

-0,35

0

0,21

0,14

0,5075

0,5075

0,35

0,105

0

0,25375

0,07

0,175

0,25375

0

-0,15225

-0,1015

-0,1225

-0,1225

-0,25375

-0,076125

0

-0,06125

-0,05075

-0,126875

-0,06125

0

0,03675

0,0245

0,088812

0,0888125

0,06125

1º ITERACIÓN MOMENTOS FIJOS DISTRIBUCION 2º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 3º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 4º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 5º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 6º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 7º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 8º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 9º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 10ºº ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 11ºº ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN MOMENTOS FINALES

0,018375 0

0 0,04440625 0,01225 0,02664375 -0,0177625 -0,0214375

0,030625

0,04440625 -0,0214375 0,04440625

0, 1332188 0 0,01071875 0,00888125 0,02220313 0,01071875 0 0,00643125 0,0042875 0,01554219 0,01554219 0,01071875 0, 0321563 0 0, 0233133

0 0,00777109 0,00214375 0,00535938 0,00777109 0,00466266 0,00310844 0,00375156 0,00375156 0,00777109

0

0,00187578 0,00155422 0,00388555 0,00187578

0

0,00112547 0,00075031 0,00271988 0,00271988 0,00187578

0, 0056273

0 0,00135994 0,00037516 0,00093789 0,00135994 0,00081596 0,00054398 0,00065652 0,00065652 0,00135994

0

-6.90

-5.07

5.07

  0     -HA*8 + MAB + MBA +1*8*4=0

4.7

-4.70

-6.45


HA= (MAB + MBA + 32)/ 8 HB= (MCB + MDC )/6 R11= HA- HB R11=-41.7

K1= R10/R11 K1=52.3/-41.7= 1.25

MOMENTOS FINALES

MAB= 4.31 KN*M MBA= 10.67 KN*M MBC=-10.67KN*M MCB= -5.67KN*M MCD= 5.68 KN*M MDC= 5.31 KN*M


4.-

G.D.= 2 – 2 = 0


DIAGRAMA DE MOME TOS FINALES


5.-

G.D.= 2-2=0




6.-

GRADO DE DESPLAZA ILIDAD= 2-1 =1 CROSS ESTADO “0”

�10

0.65 -1.21 –R10= 0 R10 = -0.56



�11

1.68+1.68–R11= 0 R11 = 3.36 R10 +K1* R11=0 K1=0.56/3.36=0.17 CORRIGIENDO MOMENTOS TENEMOS

DIAGRAMA DE MOMENTOS FINALES


7.-

B

C

10 �� 10 ��

A

�� D� B


  4∗   4∗4  1    4 ∗ 4  1 

  12  0.5

  12  0.5   1


  2 ��D� C


  4∗   4∗4  1    4 ∗ 4  1 

  12  0.5

  12  0.5

  1

  2

2� CA�C�� DE �� E�� F�� 10

A

B

4�

   8∗   108∗ 4  5  ∗    5  ∗  10

C

4�

D

   8∗   10∗8 4  5  ∗    5  ∗ 



1

1



-4.98 -4.98 –R10= 0 R10=-9.96

CALCULO DE MOMEN OS POR DESNIVELAMIENTO 5to distribución de momen os en el estado “1”

Δ  26.67  Δ  Δ1 Δ  Δ1 Momentos fijos por desniv lamiento.

26.67  10  ∗       6 ∗4 ∗   6 ∗  26.67     4 ∗   10  ∗ 



�11


-4.98 -4.98 –R11= 0 R11=-9.96

ECUACION DE COMPA IBILIDAD R10 + R11*K1=0 K1= R10/R11 K1= 1

7TO MOMENTOS FINALES MAB= 11.41 +1*11.41=2 .82ton*m MBA=8.52 +1*8.52= 17.0 ton*m MBC=-8.52+1*-8.52= -17.04 ton*m MCB=-8.52 +1*-8.52= -17 .04 ton*m MDC=11.41 +1*11.41=22.82ton*m MCD=8.52+1*8.52= 17.0 ton*m

�17.04


17.0

22.8

8

17.04

22.82


CALCULO DE FACTO ES DE DISTRIBUCCION Y MOMENT S FIJOS

GRADOS DE LIBERTAD= 0

`por ser la estructura sim etrica y estar sometida a carga simetrica, desplazamiento.

CROSS

o sufrirá


DI GRAMA DE MOMENTOS FINALES


9

�=20 ��/�

B

10 ��

C

4�.

A

D

3�.

º

5�.

4�.


GRADOS DE DESPLAZ BILIDAD= 2-1 =1


�1


�10


R10= 17.4 KN




�11


R11(= 28.02 +33.2) /5=12. 3 KN MOMENTOS FINALES MAB= -24.31 KN*M MBA= -22.86 KN*M MBC= 22.86 KN*M MCB= -24.39 KN*M MCD= 24.39 KN*M MDC= 16.63 KN*M


10 1 �/�.

B

C � � 6�. 2�

D

A 6�.

2 �.



1

1

�� D� B


  4∗   4 ∗ 28∗   1    4 ∗ 6  0.5    1.5

1  0.60   1.5

  0.5 1.5  0.40   1

��D� C


  4∗   4∗6  0.66    4 ∗ 3  0.66 

  0.66 1.22  0.5

  1.22

  0.66 1.22  0.5

  1




1

-0,6

-0,4

-0,5

-0,5

-1

5,33

-5,33

0

0

0

0

0

3,198

2,132

0

0

0

1,599 0

0 0

0 0

1,066 -0,533

0 -0,533

0 0

0 0

0 0,1599

-0,2665 0,1066

0 0

0 0

-0,2665 0,2665

0

0

0,0533

0,13325

0

0

0

0

-0,09327

-0,093275

0

0

0

-0,0466375

0

0

-0,0466375

0

0,0279825

0,018655

0

0

0,0466375

0, 1399125

0

0

0

0

0

0

0,00816156

0

0

0,00816156

0,00489694 0,00326463

0

0

0,00816156

1º ITERACIÓN MOMENTOS FIJOS DISTRIBUCION 2º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 3º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 4º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 5º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 6º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 7º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 8º ITERACIÓN TRANSMISIÓN

,07995

0 0 0, 0244847

0

0

DISTRIBUCIÓN 9º ITERACIÓN

0

0

0

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 10ºº ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 11ºº ITERACIÓN

0 0

TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN MOMENTOS FINALES

0 0,00142827 0,00085696 0,00057131

0,009327 0,02331875 0,01632313 0,01632313

0,00163231 0,00408078 0,00285655 0,00285655

0 0

0 0

0 0

0 0 0,00142827 0,00142827

0, 0042848

0

0

0,00028565 0,00071414

0

0

0

0

-0,0004999

-0,0004999

0

0 0

0,00024995 0,00024995

0 0

0 0,00024995 0,00014997 9,9979E-05

0 0

,0258 -1,938 1,9382 0,484

-0,485

0


  0     -HA*8 + MAB + MBA +1*8*4=0 HA= (MAB + MBA + 32)/ 8 HB= (MCB + MDC )/6 R10= HA- HB R10=44.6


Δ1  100  Δ  Δ1 Δ  Δ1

100  9  ∗    6 ∗ 2 ∗ 8      6∗6 ∗ 100   8  ∗ 



0

-0,6

-0,4

-0,5

-0,5

-1

9

9

0

0

8

8

1º ITERACIÓN MOMENTOS FIJOS


DISTRIBUCION 2º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 3º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 4º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 5º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 6º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 7º ITERACIÓN TRANSMISIÓN

0

-5,4

-3,6

-4

-4

-8

-2,7

0

-2

-1,8

-4

-2

0

1,2

0,8

2,9

2,9

2

0,6

0

1,45

0,4

1

1,45

0

-0,87

-0,58

-0,7

-0,7

-1,45

-0,435 0

0 0,21

-0,35 0,14

-0,29 0,5075

-0,725 0,5075

-0,35 0,35

0,105

0

0,25375

0,07

0,175

0,25375

0

-0,15225

-0,1015

-0,1225

-0,1225

-0,25375

-0,076125

0

-0,06125

-0,05075

-0,126875

-0,06125

0

0,03675

0,0245

0,088812

0,0888125

0,06125

0,018375

DISTRIBUCIÓN 8º ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 9º ITERACIÓN TRANSMISIÓN

0 0, 1332188

0

0

0,00643125

0, 0321563

DISTRIBUCIÓN 10ºº ITERACIÓN TRANSMISIÓN DISTRIBUCIÓN 11ºº ITERACIÓN TRANSMISIÓN

0 0,04440625 0,01225 0,02664375 -0,0177625 -0,0214375

0

0,04440625 -0,0214375 0,04440625

0,01071875 0,00888125 0,02220313 0,01071875 0,0042875

0,01554219 0,01554219 0,01071875

0 0,00777109 0,00214375 0,00535938 0,00777109 0,00466266 0,00310844 0,00375156 0,00375156 0,00777109

0, 0233133 0 0,00187578 0,00155422 0,00388555 0,00187578 0 0,00112547 0,00075031 0,00271988 0,00271988 0,00187578 0, 0056273

DISTRIBUCIÓN

0

MOMENTOS FINALES

6.90

0 0,00135994 0,00037516 0,00093789 0,00135994 0,00081596 0,00054398 0,00065652 0,00065652 0,00135994

5.07

-5.07

  0     -HA*8 + MAB + MBA +1*8*4=0 HA= (MAB + MBA + 32)/ 8 HB= (MCB + MDC )/6

0,030625

-4.7

4.70

6.45

10 Ejercicios Resueltos Por El Método de Cross

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