TRAZADOS BÁSICOS EN EL PLANO OBJETIVOS 1.
Recordar conceptos y construcciones elementales sobre lugares geométricos, ángulos, etc. y hallar aplicaciones.
2.
Disponer de un medio de investigación inductiva en la elaboración de esquemas geométricos.
1 LUGARES GEOMÉTRICOS
Familiarizarse con las herramientas tradicionales (escuadra, cartabón y compás), manejándolas con precisión y soltura.
2 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad geométrica reciben el nombre de lugar geométrico ( l.g.) .
O2
1.1 La circunferencia.
r
El ejemplo más sencillo de definición de una figura como lugar geométrico es la circunferencia (fig.1.1a): lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan una distancia, llamada radio ( r ), de un punto fijo, llamado centro ( O ) . Así, el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio r que pasan por un punto P , es una circunferencia de centro dicho punto y radio PO i = r (fig.1.1b). Aunque no se puede hablar en sentido estricto de los lugares geométricos como un método, es un recurso conceptual muy intuitivo y habitual en la práctica del dibujo.
2.1 Ángulo central. O1
Su vértice está situado en el centro de la circunferencia y sus lados son radios.
P
O3
O
1.1b
m
B
2.2 Ángulo inscrito.
V
El valor del ángulo es la mitad del central cuyos lados pasan por los extremos de la cuerda. Para demostrarlo consideremos un ángulo inscrito con un lado como diámetro. En el triángulo isósceles AOV , se tiene: α = γ ; y el ángulo exterior β = α + γ = 2 α ; luego: α = β / 2
90º
B
M
1.2
Q
Dicha mediatriz es la recta m perpendicular al segmento AB por su punto medio M .
Por tanto, en general, para un ángulo inscrito con sus lados cuerdas cualesquiera, como el a MVN de la figura adjunta, se verificará que:
γ β
α
A O
M
B
β
α = β / 2
N
A
V
i a n a M e d
1.3 La mediana,como paralela media. El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos rectas paralelas ( r y s ) es la mediatriz n del segmento que tiene por extremos los puntos A y B ; es, en definitiva, la paralela media o mediana de las rectas consideradas. Así, en una autovía, la mediana es la línea que separa los dos sentidos de circulación.
Su vértice está en la circunferencia y sus lados lo forman una cuerda y una tangente.
n
B
s
1.3
α = β / 2
V D
Su vértice es exterior a la circunferencia y sus lados son secantes o tangentes a ella.
P
V
A
1.4.1 Trazado si el vértice está localizado. Con centro en el vértice V se dibuja un arco cualquiera que corta a los lados en A y B . Con centro en ellos, se trazan dos nuevos arcos, de igual radio, consiguiendo el punto P . La unión de P con V determina la recta bisectriz .
1.4.1
γ
c Bi sec tri z
Q
Sea el ángulo formado por las rectas r y s , cuyo vértice es inaccesible.
s
P
b A
β
α = (β - γ ) / 2 2.4
B
Exterior.
D
2.5 Ángulo interior.
d
C
O
α = ( β - γ ) / 2
a
1.4.2 Trazado si el vértice no está localizado.
α
A
En el triángulo ACV que se forma, se cumple: α = 180° - VAC - ( 180° - ACB ) α = 180° - γ / 2 - ( 180° - β / 2 ) ; luego:
t B
Semiinscrito.
α = β / 2
Su valor es igual a la semidiferencia de los ángulos centrales que abarcan sus lados.
Es el l.g. de los puntos del plano equidistantes de los lados del ángulo. Es la semirrecta que divide el ángulo en dos partes iguales.
2.3
A
2.4 Ángulo exterior.
i z c t r s e B i
1.4 Bisectriz de un ángulo.
β
O
Como OVB es recto y el triángulo AOV es isósceles: α = 90° - γ = 90° - ( 180° - β ) / 2 esto es:
B
B
α
γ
El valor de un ángulo semiinscrito, como en un inscrito, es la mitad del ángulo central, cuyos lados pasan por los extremos de la cuerda.
90º
Inscritos.
2.2
2.3 Ángulo semiinscrito. r
α
O
V
α = β / 2
Para construirla se hace centro en los extremos A y B del segmento considerado y se trazan arcos de igual radio que se cortan en los puntos P y Q . Su unión determina la recta mediatriz del segmento AB considerado.
Central.
2.1
Su vértice está en la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma.
P
Es el l.g. de los puntos del plano equidistantes de los extremos del segmento AB dado.
α = AB
α
A
α = AB
Esto es: 1.1a
A
O
La medida del ángulo central es la misma que la del ángulo que abarca.
Oi
1.2 Mediatriz de un segmento.
Se traza una secante t cualquiera y se dibujan las bisectrices a , b , c y d de los ángulos que forman la secante con los lados del ángulo. Dichas rectas se cortan en P y Q , definiendo la bisectriz buscada.
3.
r 1.4.2
Su vértice es interior a la circunferencia. Su valor es igual a la semisuma de los ángulos centrales que abarcan sus extremos y el ángulo opuesto por el vértice. Considerando el triángulo
α
180°
=
-
BVC
BCV , se
180°
=
- ( 180° -
α = 180° - ( 180° - γ / 2 - β / 2 ) ;
cumple:
VBC
-
VCB )
luego:
C
V
γ O
β
A
α α = (β + γ ) / 2 B
2.5
Interior.
α = ( β + γ ) / 2 15
5 CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS
3 ARCO CAPAZ
CON EL COMPÁS
Es el lugar geométrico de los puntos del pla- no desde los cuales se ve un segmento, de dicho plano, bajo un mismo ángulo.
P
O
O
=
γ
- α
O
=
α
90°
A
Haciendo centro en O y A se trazan arcos de igual radio.
B
A
90°
30º =
B
A 60° / 2
45º B
O 15º =
C
C
B
r
A 30° / 2
D
22°30’
O’
- P or A se traza el ángulo α dado y la recta s perpendicular a r , que corta a la mediatriz m en el punto O , centro del arco capaz.
75º
B
C
C
m O
- Con centro O y radio OA = OB se dibuja el arco capaz, lugar geométrico de todos los puntos que miran con el mismo ángulo los extremos del segmento AB .
45º =
A 90° / 2
Arco capaz del segmento AB y su simétrico.
3
r
O 75º
120º
A = 90° - 15° = 60° + 15°
105º
D
B
C
O
r
A 37°30’ =
4
r
A l3
120º =
135º
l4 B
1
O
75° / 2
l3 2
En la figura, el punto 3 (obtenido al llevar desde el punto 1 dos veces el radio), determina l 3 1 - 3 . La distancia l 4 = 1 - 4 (lado del cuadrado inscrito) se consigue trazando dos diámetros perpendiculares. La suma de ambos segmentos es aproximadamente igual a π · r (longitud de la circunferencia), como se demuestra, analíticamente, en la parte inferior de la figura.
A 45° / 2
B
C
r
3
En Geometría, se entiende por rectificación el determinar, sobre una línea recta, la longitud de una curva, de un arco o de una circunferencia.
4.1 Rectificación de una semicircunferencia.
22°30’ =
C
B
4 RECTIFICACIÓN APROXIMADA DE ARCOS DE CIRCUNFERENCIA
O
37º30’
El arco capaz simétrico respecto del segmento AB considerado, también es solución.
B
C
A
O
60° + 60°
120° - 15° = 90° + 15°
150º
B
A
105º =
165°
B
C
C D
l4
πr
=
A l 3 =
( 2r ) 2 - r 2 = r
l 4 =
r
2
+ r 2 = r
l 3 + l4 = r
3 + r
4.2 Rectificación de una circunferencia. Siguiendo la construcción anterior, la rectificación será igual a la de un segmento suma de dos semicircunferencias. Esto es: AB + AB = 2 π r.
15º
C
s
Por tanto, para construir un arco capaz de un ángulo α dado, cuyos lados pasen por dos puntos A y B , se procede como sigue:
La longitud de la semicircunferencia es igual a la suma de los lados del triángulo equilátero ( l 3 ) y el cuadrado ( l 4 ) inscritos en ella.
30º
B
α
Si el ángulo inscrito mide α , el central valdrá 2 α y, en consecuencia, en el triángulo OAB su ángulo γ será el complementario de α :
γ = ( 180° - 2 α ) / 2 =
60°
B
La construcción del arco capaz de un ángulo α (cualquiera) de un segmento AB , consiste en dibujar un arco de circunferencia tal que los ángulos inscritos en ella, que determinan una cuerda AB , tengan el valor α .
O 180° - 45° = 90° + 45°
A
O 180° - 30° = 90° + 60°
O 180° - 15° = 90° + 75°
165º =
2 2 =
l 3 + l4
(
2 +
3) r
CON LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN
πr
= πr
45°
30°
15° 4.1
A
150º =
135º =
3
Rectificación de una semicircunferencia.
4.3 Rectificación de un cuadrante. R
La determinación del punto medio del segmento AB , mediante el trazado de su mediatriz, define el segmento AB / 2 , cuya longitud es la rectificación de un cuadrante de circunferencia.
4.4 Rectificación de un arco menor de 90°.
105°
B 60°
N
M 7
6
5
4
3
2
1
O
75° 120°
A
Dado AR < 90° , se procede como sigue: Se une el centro O con el extremo A del arco, se divide el radio OM en cuatro partes iguales y se toma MN igual a tres de dichas partes. La recta NR corta a la recta perpendicular al diámetro por A en el punto B . El segmento AB es la rectificación del arco de circunferencia AR . 16
135°
4.4
Rectificación de un arco menor de 90 °.
150°
165°
1
TRAZADOS A MANO ALZADA
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA TRAZADOS BÁSICOS EN EL PLANO
Reproducir, a mano alzada, los TRAZADOS GEOMÉTRICOS que encierran las cinco muestras, cuyo objetivo es comprender la forma en que el dibujo de croquis se integra en el proceso de diseño.
nombre y apellidos
Material: Lápices de dos durezas (3H y HB) y una goma de borrar blanca (de vinilo o similar abrasivo).
nº
Pasos a seguir para la correcta croquización de un círculo.
1
2
3
1
4
4
2
5
5
3
curso/grupo
fecha
2 3
1
1
TRAZADOS A MANO ALZADA
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA T RAZADOS BÁSICOS EN EL PLANO
Reproducir, a mano alzada, los TRAZADOS GEOMÉTRICOS que encierran las cinco muestras, cuyo objetivo es comprender la forma en que el dibujo de croquis se integra en el proceso de diseño.
nombre y apellidos
Material: Lápices de dos durezas (3H y HB) y una goma de borrar
blanca (de vinilo o similar abrasivo).
nº
Pasos a seguir para la correcta croquización de un círculo.
1
2
3
1
4
4
2
5
5
3
curso/grupo
fecha
2 3
1
VERIFICACIONES
Al análisis de la división central del CUADRADO EN BLANCO Y NEGRO, del diseñador F. Kunibert , redibuja la forma inscrita en el cuadrado dado. 2. Reproduce, a mano alzada, una de las FIGURAS adjuntas. 1.
1
2
18
VERIFICACIONES 1. Al análisis análisisde de la ladivisión divisióncentral centraldelCUADRADO del CUADRADO ENEN BLANCO Y NEGRO, del, BLANCO Y NEGRO diseñador del diseñador F. Kunibert , redibuja la forma la forma inscrita inscrita en en el cuadrado el cuadrado dado. dado. F. Kunibert , redibuja 2. Reproduce, aa mano alzada, una de de las lasFIGURAS adjuntas. FIGURAS adjuntas.
1
2
18
1
ÁNGULOS Y APLICACIONES DE ARCO CAPAZ 1. Entre los puntos A y B, distantes 7,20 m., se encuentra inicialmente un observador que decide salir de la alineación AB, moviéndose en dirección perpendicular y por encima de ella. Cuando ha caminado 5,40 m. ve los puntos A y B bajo un ángulo de 60º. Se pide: determinar, gráficamente y a escala 1/100, la DISTANCIA INICIAL, respecto de A o de B, a la que se encontraba el observador al dejar la alineación AB.
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA TRAZADOS BÁSICOS EN EL PLANO Afilado del compás
nº
3. Dibujar, a escala 1/1.000, el contorno poligonal de la SUPERFICIE DE UN TERRENO de acuerdo a las acotaciones que muestra el esquema adjunto. Comenzar el trazado construyendo el ángulo en C.
ÁNGU LO DE VISUA LIZACI ÓN
75º
3
nombre y apellidos
2. Construir el TRIÁNGULO ABC dado un lado, su ángulo opuesto y la mediana correspondiente al lado dado.
1
2
3
. m m 0 1
curso/grupo
fecha
H
TERRENO 90º 22º 30’
I
J
30º
A
75º
α
K
F
G 60º
225º
37º 30’ 105º E
135º
ESQUEMA
B
90º
C
B
e: 1/ 100 A
2
TRIÁNGULO
DATOS:
a = BC = A =
55 mm.
45°
ma (mediana)
B
= 60 mm.
C
e: 1/ 1.000 B
= 99 m.
BC
= 60 m.
CD
= 34 m.
DE
= 50 m.
EF
= 65 m.
FG
= 30 m.
GH = 50 m.
D
A
AB
C
HI
= 70 m.
IJ
= 40 m.
JK
= 50 m.
2
1
ÁNGULOS Y APLICACIONES DE ARCO CAPAZ 1. Entre los puntos A y B, distantes 7,20 m., se encuentra inicialmente un observador que decide salir de la alineación AB, moviéndose en dirección perpendicular y por encima de ella. Cuando ha caminado 5,40 m. ve los puntos A y B bajo un ángulo de 60º. Se pide: determinar, gráficamente y a escala 1/100, la DISTANCIA INICIAL , respecto de A o de B, a la que se encontraba el observador al dejar la alineación AB.
Afilado del compás
V1
75º
V2
3
nº
3. Dibujar, a escala 1/1.000, el contorno poligonal de la SUPERFICIE DE UN TERRENO de acuerdo a las acotaciones que muestra el esquema adjunto. Comenzar el trazado construyendo el ángulo en C.
ÁNGU LO DE VISUA LIZACI ÓN
TRAZADOS BÁSICOS EN EL PLANO
3
. m m 0 1
curso/grupo
fecha
H
TERRENO 90º
AB = 99 m. BC = 60 m.
22º 30’
I
J
CD = 34 m.
30º
A 60°
2
nombre y apellidos
2. Construir el TRIÁNGULO ABC dado un lado, su ángulo opuesto y la mediana correspondiente al lado dado.
1
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
2
DE = 50 m.
75º
60°
α
K
F
EF = 65 m.
G
FG = 30 m.
60º
225º
GH = 50 m.
0 4 , 5
HI = 70 m.
O
I J = 40 m.
D
JK = 50 m.
37º 30’ 105º
P A
M
60°
E
135º
Q ESQUEMA
B
90º
C
PA = BQ = 1,10 m.
1,10
5,00
1,10
B
H
e: 1/ 100 A I
2
TRIÁNGULO
DATOS:
a = BC = 55 mm. 60º
A = 45°
5 4
J
ma (mediana) = 60 mm.
K
A1
A2 F G 45°
45°
O m
a
D
B
45°
M
C
e: 1/ 1.000 B
C
E
VERIFICACIONES
Dibujar los LUGARES GEOMÉTRICOS de los puntos del plano equidistantes: a) 15 mm. de la recta r b) 10 mm. de la circunferencia c . 2. Deducir razonadamente el valor de un ángulo α marcado en la figura adjunta sabiendo que ésta representa un PENTÁGONO REGULAR ESTRELLADO .
1.
1 c
r
r
O
2 α
20
