2015
GRUPO
CASTRO VIDAL RAUL PEDRO
ARANA-TAPIA-WILDER ODON LEZAMA-VEGA-DANNY JESUS LLIUYACC-LEON-EDWARD PALOMINO-FLORES-PEDRO MIGUEL PEREZ-CAMARGO-MICHEL BENITO
problemas
() () () ( ) ()
1313210064 1213210244 1313220623
[email protected] 1313220463 082183H
Universidad Nacional del Callao
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
2DA PRÁCTICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 1. PROBLEMA
Resolución:
√ √ √ (√ √ ) (√ (√ √ )), (√ √ ) (√ )} √ ( √ )(√ )} − + ∑ ( ) √ → + + ! ( ) ( ) ( ) √ √ √ (√ ) √ ! ! ! ⋯ ! ! ! ⋯ (√ )} !! !! !! ⋯ √ (√ )} ! ! ⋯ (√ )} √ − √ √ √ − √ √ √ √ √ −
Usando la propiedad dela transformada de la derivada
Si
Encuentra la transformada de
Por series de potencia sabemos que
Luffi
1
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2. PROBLEMA
Sabemos que:
Dónde:
Sabemos:
− ( ∫ 1− ) 2 − ∫ − 0 ∫ 1−
En el problema sería:
a=-s
b=1
u=t
Integrando:
Luffi
2
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− / 0 1 1− − − 00 1 1 1− − 1− 1 1 − 1−1 −1 1 1−1 1
3. PROBLEMA
0000′′0 cos 0 +
Aplicamos la transformada de Laplace:
Al resolver tenemos: Despejando: Luffi
3 4 5 2 10 1 3 3
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3 1 1043 5 2 3 10 3 1 4 5 2 1 4 5 2 4 5 2 4 5 2
Necesitamos separar los factores primos mediante fracciones parciales:
*A + C = 0 *B + 4A + D = 0 *5A + E + +C + 4B = 3 *2A + D + 5B = 10 *2B + E = 3 => A = -1 ; B = 2 ; C = 1 ; D = 2 ; E = -1 Tenemos:
4 2 15 2 2 1 3 24 221 52 12 2 2 2 2 2 1
Ahora la otra parte:
Resolvemos:
*A + C = 1 *2A + B + 2C = 2 *2B + C = -1 => A = 2 ; B = 0 ; C = -1: Por ultimo:
12 21 2 1 1 1 12 21 21 1 22 1 2−1 cos 2 −
Ahora la aplicamos la Transformada Inversa de Laplace: Solución:
4. PROBLEMA
2 6
Encuentre la solución de la siguiente ecuación integro- diferencial
Luffi
2 6
4
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2 63! 11 21 1 1 1 11 1 − − 1 −1
5. PROBLEMA Encuentre la solucion de la siguiente ecuacion diferencial de coeficientes variables:
, , 11 22 22 00 ∗ 2 12 02 (0) 12 2 12 12 12 ( 0 ′0) 22) 1 20 212 0 ′(′2 ′′(2 21) ′ 2 2 2 2 Solucion: Aplicando la transformada de laplace:
Reemplazando en *
Luffi
5
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0 1 → 1 ’,’ 3 2 ; 0 0 4 ; 0 0 4 3 2 03302 1 1 401 1 32 1 4 1 1 1 1 2 1 1 34 21 3121 1 3 1 12311 122 21………… 22 2 2 12 1 6. PROBLEMA
Utilice el método de las transformadas de Laplace para resolver el problema de valor inicial dado. Aquí , etc. denotan diferenciación con respecto a t.
Aplicando Laplace al sistema
Aplicando la Regla de Cramer
Aplicando fracciones parciales
Igualando
2A+C+2D=0 2A+2B+C=0
2B+C+2D=-3 C=-1
Resolviendo el sistema de ecuación A=1 B=1 C=-1 D=1/3
Remplazando en (a)
Luffi
3 1 1 1 1 1 12 1 1 2 3 1
6
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− − 1 1 1 21 113 111 1 1 1 21 13 −1 3 2 3 1 1 4 1 34 21 1 234 1 1 1 4241 12 − 2 1 24 1 / –
Aplicando la Inversa de la Transformada de Laplace
Simplificando
Aplicando la Inversa de la Transformada de la Place
7. PROBLEMA
0 0, 0 30, 015 −0, 0 0 4 3 15 3 15− 3 151 3 151 ……
Con las condiciones dadas
1. Aplicando ‘L’
Luffi
7
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4 3 15 4 4 3 15 4 3 15 …… ∆ |4 3 3| 3 4 ∆∆ 61 94 9
2. Solución del sistema | y
Regla de cramer:
15:
|
1152 (2 3) |42 3 2 3| 2 15 45 15 12 91152 2 1 11522 92 1 1 2 45 9 2 1 2 1592 1 1 5⁄82 ;9 425 ⁄321; 415⁄4 ;2 259⁄32;2 1 5⁄8 2 15 5 45 8 5 5 4 12 92 1 8 1 322 9 322 1 45 2 2 2 2 1 5⁄4; 9 45⁄16 1; 451⁄2 ; 659⁄16 ; 51⁄4 45 5 45 8 6 520 12 92 1 4 1 162 9 162 1 Hallando
Luffi
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15 52⁄ 3 ;92 51⁄8 ; 0;2 9 25⁄242 ;1 0 15 5 5 25 2 92 1 3 82 9 242 1 −+ ++ ++ 451 1645(289) 166520(21 ) 35 8(259) 24(2521) − − : 3 15 4 151 |4 3 3| 315 4115 159 1 45 15 9 1 9 1 160 9 1 0;9 151⁄ 8; 0;9 15⁄ 8 1 15 15 15 960 1 8 9 8 1 1 70⁄8; 9 435 ⁄116 ;1 315 ⁄2; 9 245⁄16 ; 1 70⁄8 435 315 245 70 60 70 16 2 16 8 1 9 1 8 1 9 1 435 315 245 70 15 15 45 70 82 9 82 1 22 92 1 8 1 162 9 2 162 18 Entonces:
+
Aplicando inversa de la transformada de Laplace tenemos
:
Hallando
Entonces:
Aplicando inversa de la transformada de Laplace tenemos Luffi
:
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− Observación:
− − 45945 1 − 45∗ −sin3 9si1n 1 45 9 1 45 ∗ 24sin3 8 si n − 945 1 45 5 24 8 − 9 1 901690sin
8. PROBLEMA
Resolución:
Como no hay amortiguador C=0 En segundos hay un impulso hacia arriba de 3 newtons, por lo tanto hay una perturbacion.
, el signo negativo se debe a que tomamos el eje de referencia
positivo hacia abajo.
La ecuacion diferencial que representa el sistema es: Para resolver esta ecuacion diferencial aplicamos la transformada de laplace a ambos lado de la ecuacion. Luffi
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´ − ´ − − − − − − − − − , < , ≥
La posiscion inicial del sistema es
a)
b)
metro , y la velocidad inicial es
√
9. PROBLEMA Problema 9
6/,
4/,
Un sistema vibratorio compuesto de un resorte de constante un amortiguador de tiene adherido una bola metálica de 20N de peso. Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente está en la posición de equilibrio y sin velocidad inicial, y si desde el tiempo t=0 actúa una fuerza perturbadora definida así:
Luffi
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140000;100; ∈∈ 02,,24 2100 2. → 2 6 4 100100 100 2 4 00100 2 4 00100 4 ; 100 2 4 00 2100 2 4 00 4 100 4 100100 200 2 4 00 2 4 00 4100 4 ; 200 22 2 4 00 2 4 00 4 100 44 4 ; 100400200 2 2 400 2 4 00 2 4 100 4 4 400 4 ; 100 200 2 2100 4 4; 2 6 4 100 200 2 2 100 4 4 2 6 4 100 200 2 2 100 4 4; 3 50 100 2 250 4 4 ; 0 0 ′ 0 0 50 100 − 50 − 0,033 2 0 3 2 50 100 50 −100 50−− 50 − 3 250 100 −; 50 − 503 2 1003 2 − 3502 −; − 2 150 2 1 2 1 ; 2 1 Solución:
La ecuación diferencial que representa al sistema es: ;
Asumiendo que la gravedad es 10 m/s 2
;
Antes de resolver la ecuación diferencial aplicamos la transformada de Laplace:
;
La ecuación diferencial queda expresada de la siguiente manera:
Ahora se puede proceder a resolver la ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace:
La posición inicial del sistema
Para encontrar Laplace: Luffi
metro, y la velocidad inicial es
:
, se procede a usar el teorema de la integral de la transformada de
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− − +50+ −, − ++− ∫∫1 2 2 0 1 2 1 2 1 ; 2 50 501 50− 50 − 50 50 50− 50−; 2 1 2 1 − 250 1 50− 50−; − − [ 50 25 ] 0 − 25− 50 25 0 50− 25− 25 50 − − 50 25 −25 − 50− 12.5− 25 0 25−12.55−012. 25537.; 5 ∫ 50− 25 −50 2512.5 50 − 25 37.5 − +50+−12. 550−− 12.25537. 5 2− −+−+ 2[−50−2−− 12.+5−+−− 25 2 37.5] 2 + + − ++ − [50−− 12.5−− 25 4 37.5] 4 50− 12.5− 25 37.5 2(50−− 12.5−− 25 237.5) 2(50−− 12.5− − 25 4 37.5) 4 −− 12.5− 25−37.5; 50 0 ≤ < 2 75 5050−112212. 5 1 2 212. 5 ; 2 ≤ < 4 − 12.5 1 2 100 350; ≥ 4 Si
entonces
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene; , ,
Entonces:
;
Por lo tanto:
;
;
;
;
;
Ahora
es:
;
;
Se puede representar
Luffi
en como una función con regla de correspondencia:
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10. PROBLEMA 10 una masa de de 5kg sujeta a un resorte suspendido del techo ocasión a ocasiona que el resorte se estire dos metros allegar al reposo en equilibrio . se eleva luego la masa 1m . Sobre el punto de equilibrio y se aplica una velocidad dirigida hacia a atraz 1/3 m/seg . Determine : a) La ecuación del movimiento armonico simple de la masa b) La pocisiion del objelto en t=π/4 s
1 ∆ ∆⃗ ∆⃗ 3 51/3 5 ´´ 2 3 5 0 5´´ 2 3 0 5 ; 0 1 515´2 0 3 15 15´ 6 5 1155 66 1515 6´ 5150 ´0 Resolución :
+´ + ∫∫ +´ + =
(aplicando integral para eliminar la derivada)
= operando tonces .
11. PROBLEMA
Luffi
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Un circuito LRC con R12 ohmios, L=1, C=0.01 faradios se conecta a una batería que transmite un voltaje de 20 voltios. Si el interruptor esta inicialmente apagado y se lo enciende después de 10 segundos, permaneciendo conectada por un lapso de 20 segundos y luego desconectada definitivamente. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente inicial es cerca, determine: a) La carga acumulada en el condensador en los tiempos t=5 y t=20
0 0 < ≤ 10 200 10 <30 ≤>30 0 2 00 10 0 20 30 12 100 20 1020 30 20 − 20 − 12 3664 620 8− 20 − 2020 − − 620 8 6 8 6 8 12 100 15 15 125 − − 12 − 5 5 6 8 5 5612 8 − − − −− 12 − − 8 5 5 5 6 − 5612 8 −
Luffi
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− − 10 25 10 10 5 3√ 2−−2√ 2 10 10 30 −−22√ 2√ 1030 5 3√ 2−−2√ 5 2 3030 30 10 1001 0 ≤ 10 <≤10 3001 0 ≤ 30 <≤30 250 0 1 5
b) La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en los tiempos t=8 y t=40
Luffi
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6 − − 2√ 210 cos2√ 2 10 10 5 5 − − 2 10 10 −−2√ 22√ 510 9√ 2−−2√ 5 2 1010 10 −−2√ 2 510 10 3√ 2−−25√ 2 10 10 30 −−2√ 210 30 30 5 62√ 2−−2√ 52 30 30 −−2√ 25 30 30 69√ 2−−2√ 52 30 30 −−2√ 2 530 30 3√ 2−−2√ 5 2 10 10 10 − − − − 2√ 2 10 10 11√ 2 25 10 10 3√ 2−−5 2√ 2 10 10 2√ −−2√ 21030 30 30 5 11√ 2−−25 √ 2 30 30 3√ 2−−2√ 52 30 30 10 Luffi
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1001 0 ≤ 10 <≤10 0 0 ≤ < 9 10 1/20 9 ≤11 <≤ 11
408 ≈00
12. PROBLEMA
3001 0 30 1/20
150 1 0.0002
0 ≤ 30 <≤30 029≤≤ <<2930 30 ≤ 0
Un circuito LRC con ohmios, Henrio, faradios en se le aplica un voltaje que crece linealmente de 0 a 100 voltios, durante 10 segundos, para luego cesar por tiempo indefinido. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente es cero, determine:
La carga en cualquier instante de tiempo La corriente del circuito en t=20s
Solución:
1150− 0210 0 0 0 Tenemos que:
Y el voltaje está dado por:
Luffi
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150 15000 10 5000 10 10 100 150 10 150 5000 10 10 10 100 − − 10 10 100 5000 00 150 10 −150 0 150 5000 10 − 1010 −−100100 50 10010 10 − 100− 50 100 50 100 1/500 50 100 3/50000 → ++ + + 1/50000 1/12500 1/50 ++ + + → 1/25 1/50 − 1 1 00 3 4 1 50000 − 1 502 1001 50000 100 3 504 1001 50 50 100 De lo cual tenemos la siguiente ecuación
Aplicando la transformada de Laplace:
Ahora la inversa de la transformada de laplace:
Luffi
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500001 1001 3 4− − −− 50000 [ 1 00 10 34 ] 501 [12−1− −−]− − 1 00 34 ; < 10 50000 500001 100 341 − −−− 50000−1 [−100 10 34−−] [12 ] ; ≥ 10 50 [− −] ; < [−− −−−−− − −−] [ ] ; ≥ [− −]; < [−− − −−− −− −−] [ ]; ≥ 13. PROBLEMA
. ∫ ∫ ´ 1 ∫ ∫1 0 0 . ∫
Resolver a) b) c) e)
resolviendo : a) Luffi
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} } }1+ 1 } 1 ∫ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 ℎ ℎ ∫ 1 aplicando Laplace:
Factorizando: (
)=
b) resolviendo: aplicando Laplace,
c) resolviendo: aplicando Laplace
1 1 }1 1 } 1
14. PROBLEMA Demuestra las siguientes propiedades de la función gamma, definida como: Luffi
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−− , > 0 ∫ 1 1 21; √ ∞ l i m → ∈ , 1 ! − [ ] ∫ + − ∫ 1 1 ∫ +−− 1 ∫ − ∫ − ∫ − − + +1 − + + 1 ∫1− li−m→∫ ∫−− lim − 0 → 1 →lim 1− 11 2 1 1 I)
II)
III)
IV)
Deduce que Si
Solución:
Demostraremos la relación entre la transformada de Laplace con la función gamma De la definición de la transformada de Laplace: Por propiedad se sabe: Resolvamos
con la definición de transformada de Laplace, entonces:
De la función gamma, sea
…………………(I) , y cambiamos
entonces:
Sea , entonces , Sustituimos los datos en la ecuación (I) Ordenando se tiene:
Por lo tanto, se ha demostrado que I)
a)
calculamos por el límite:
Entonces:
Por lo tanto b)
Luffi
, partiremos de la propiedad:
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2 1 1 11 1 1 2 1 √ −− −− ∫ ∫ 2 √ 12 −− −−2 2 ∫ −2∫ − 1/2 2 ∫ −2∫ − 1/2 4 ∫ ∫ − + 1/2 4 ∫/ ∫ − Que fue demostrada, en la parte (II) Entonces:
de donde
, que
demostramos al principio,
Por lo tanto queda demostrado que: c)
, partiremos desde la definición de la función gamma , hacemos una sustitución, para
ello:
Luego:
Al operar:
…………………..(1), si cambio z por w …………………….(2)
Si multiplicamos (1) y (2)
Resolvemos la integral doble en coordenadas polares: , sabemos q el jacobiano de
, multiplicamos por -2, y dividimos entre
1/2 4 ∫ ∫ − − 2 1/2 4 ∫/→∞lim− 0 -2,
, de esta expresión, al operar la
primera integral se tiene:
, de donde nos queda:
Luffi
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11/2/2 4 ∫/
, al operar se obtiene.
Por lo tanto:
II)
12 √
1 ∫ +−− ∫ − 1 →lim ∫ − − −− 1 →lim − 0 α ∫ −− 1 →lim − 0 α ∫ −− − 1 →lim α α 1 1 ! 12 11 1 11 1 1! 34 23 11 2323 3∗2∗1 2∗1 2! 2! De la definición de función gamma: Calculamos por límites
Resolvemos la integral por partes:
Sea: Luego:
Por lo tanto se demuestra que:
III)
Deducimos a partir de la demostración hecha en la
primera parte, Por intución:
Luffi
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1 11 ! !!
Por lo tanto se demuestra que
15. PROBLEMA
´´ 0´, ′ 0 ; > 0 1 (´ ´ ´ ) ( ) 1 Comprueba que la función de transferencia del sistema
Viene dada por:
Entonces obtenemos la función transferencia:
Por lo tanto:
16. PROBLEMA 17. PROBLEMA Resuelva el siguiente sistema integro diferencial:
6 ′ 12 0 ;
Luffi
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4 ∫ 10 0
SOLUCIÓN: Aplicando la transformada de Laplace a ambas ecuaciones:
0 4∫ 10 0 − 0 − 4∫ 0 + 0 1 4 0 1 4 1 1 6 4 1 6
Operando las ecuaciones se tiene:
Entonces:
ORDENANDO:
Al reemplazar los datos iniciales:
Aplicamos la regla de cramer para resolver el sistema
Luffi
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+ + +
+ − +− ++− ++− 4 + − 4−++ +− Igualando los términos para hallar A y B :
3 4 3 3 3 4 4 + − + − −[] 5−+ 7−− , entonces:
De donde se obtiene: Entonces:
y
y
aplicando transformada inversa. Se tiene:
Operando nos queda:
5− 7
Ahora reemplazamos z(t) en una ecuación del sistema
0
5− 7 ′ 15− 7 y 15e3t 7et 5e3t 7et 0 ′ 10e3t 14et entonces derivamos:
Reemplazamos en la ecuación del sistema:
entonces :
Integrando:
∫ ′ 10 ∫ − 14 ∫ 10 − 14 5− 7 − 14 , entonces
Por lo tanto:
y
Luffi
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18. PROBLEMA Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
21 ′′ 2′ 4 − 8 ′ 2′ 4 −8 −
Solución:
Aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación:
2( ) + 8 1 2 5 244 2 2 82 [ ] −− − Ordenando y reemplazando los datos, se tiene:
Resolvemos las transformadas, por el primer teorema de traslación
1 2 5 4 4 11! [ − 1]2! − 8 1 2 5 244 2 11! 2 12!3 82 44211 212 3 8225 2 12 Resolviendo la expresión:
Por la propiedad de la transformada del delta de Dirac
entonces:
Despejando Y(s) nos queda:
++ ++ −+ + + + Ordenando tenemos:
Aplicamos la transformada inversa para hallar y(t)
− −++ ++ −+ + + + Luffi
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− − ++−++−−+− +−+ +
− ∗ 4 ∗ − 5− 8− ∗ − Resolviendo las transformadas inversas:
19. PROBLEMA Problema 19: Resuelva el siguiente problema de valor inicial:
4 2cos
0 2 ∗ 4 2 ∗ cos2 0 4 2 +2 2 40 6 4 √ √ 6 4 4128 √ 6 4 43 , 23 , 80√ 16 , 0 2 1 4 6 √ 3 0 40. 2 513 80 6 √ 3 2 √ 406 4 4128 √ 6 4 43 23 (√ 6) 80√ 1 6 (√ 6) 0.25134
SOLUCION: Por convolución: Entonces:
Aplicando Laplace a la ecuación (y(0)=2)
Despejando y hallando por fracciones parciales:
Donde:
Reemplazando:
Aplicando la inversa de Laplace :
20. PROBLEMA Resuelva el PVI
Luffi
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Donde
0 0 , 0 1
;
2 ∫ 0044080 1−− − − 2 1 4 1− 4−− 2 4 1 + 1 − 1 − 1 = 4 4 − − − − − … 24 14 − 1 ∗ − − 16 4 14 ⟦1−⌈5 −⌉− − − …⟧ 16 , 0 < < , = cos cos ,
Aplicando Laplace a la ecuación:
Sea;
Entonces:
21. PROBLEMA
Ecuación unidimensional de la onda DEMOSTRACION: Sabemos
Donde
Luffi
y
quedan determinadas mediantes las series de Fourier
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