05 SOLUCIONARIO_ALG 1°

Unidad 1

Leyes de la teoría de exponentes I

PRACTIQUEMOS

2

Q =

Nivel 1 (página 8) Unidad 1 Comunicación matemática 1.

216 . _2 4 i

_2

24.

3 i8

2.

` El exponente de a es 4.

25. (-x-1y)3.(-xy-1)5 = x-3y3x5y-5 = x2y-2

_212 i

3. 9 8 78 _7 - 1 i E = 7 -7 7 = 7 77

4.

8 E = 7 7.6 = 71 .6 & E = 42 7

8 + 10 + 7 25 M = 2 24 = 224 = 2 2 2

Clave A

5

16.

S = 2 + 10 + 1

5.

Sumamos los exponentes del numerador:

n+3

53

M = 52 + 62 = 25 + 36

6.

` M = 61 Clave B

x3n - 100 = (xn)3 - 100 = 33 - 100

8.

-3

+d1 n 3

2

Clave A

-1 =9 2

=1 3

Clave A n+4 n+3 28. E = 5n + 3 + 5n + 2

3

A = (5) + (3) + 1

4-1

1 = 81 4

1 = _3 4 i 4

Clave C

19.

=3

Comunicación matemática 11.

E = 5n + 3 - n - 2 = 5

5 (5 + 1) 5n + 2 (5 + 1)

64

x

x

12 = 212 2

` P = 1

16 2 14. Q = 2 .816

8

Intelectum 1.°

-n 3-n + 3-n + 1 = 3 _1 + 3 i = 4 -n + 2 9 3 3-n 3 2

Clave B

1 -1 - 2

2m + 1

'8

2

=

(8 2 ) m + 1 - (8 2 ) m + 2 1

(82) m + 2 - 2

=

3

(82) m - 2 ((82) 2 - 82) 1

(8 2 ) m + 2 - 1 1

-4 23. W = ( x b x _ xy-1 i l 2

W = Clave A W =

-8

m+ 1 64 2

1

Clave B

Razonamiento y demostración

xx

= 5(5)5 = 56 = (52)3 = 253

22.

m+1

1

21. I = x x + x.x = x x .x x.x = x x _ x x i

12.

2

E=

29.

Nivel 2 (página 8) Unidad 1

212

+5

n+3

Clave C


Clave E

3+4+5

5

20.

` AB = 1

13. P = 2

Nos piden: xn - 3 = 51 - 3 = 2

Comunicación matemática Clave E

-2-1

B = 81


=9

-2

2 .2

10. A = 9

(xn)2 = (51)2 & x = 5 y n = 1

` A = 53

2 2a _2 + 2-2 i 2a

= 34 = 81

1 3 1 3 = 3 + 3 = 33 + 31 1+ 1 3 +3 3 33 34

+ 20090

Clave C

Z=

+ 3-3 H 3 + 33

x2n = 25

A = 25 + 27 + 1

27 - 100 = - 73

9.

-1

-1

26. I = > 3

27. x2n + 4 = 29

-2

Clave B

Clave E

Clave B

Clave E

2n + 1 _1 + 2 i E = =3 4 2 n + 1 .2 2

5

& m = 2 & mm + 1 = 22 + 1 = 23 = 8

Clave B

n+1 + 2n + 2 17. E = 2 n+3 2

18. A = d 1 n

a= 1 + 5 = 2 3 3

7.

y -2 =d n x

= 5n

` S = 13 Clave E

Clave D

Clave A

8 10 7 15. M = 2 .2 .22


a9 . a a2 = a3 . a2 = a 3 .a = a 4

16 8 .2 = 2 24 = 1 Q = 2 24 2 2 24

3

(82) m - 2 (83 - 64)

=

= 448

1

(82) m - 2

Clave D

-1 2

& x _ x-3 y 4 i-1 0 -1 2

# x 4 y-4 -

` W = y 2 / x2 Clave C

Leyes de la teoría de exponentes II PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 12) Unidad 1

12. E =

6

5 + 16 + 9 - 25

21. R = d3 54 - 3 24 n

2

E = 5 + 4 + 9 - 5

Comunicación matemática

6

R = _3 27 - 3 8 i

E = 9 + 4 = 3 + 2 = 5

1.

Razonamiento y demostración 50 - 18 8

T=

2.

-1

T = 5 2 - 3 2 = 2 2 = 1 2 2 2 2

Clave A

U = 2 5 + 3 5 + 10 5 2 5- 5 U = 15 5 = 15 5 3

D=

4.

3

Clave B

10

E =

2

Clave B

I = 2 + 5 + 3 = 10 = 2 5 4+1

Clave A

S = 2 2 + 4 2 + 5 2 - 3 2

A =

3

8 + 9 = 2+3 = 5

Clave B

L = 11 5 ' 5 = 11

11. M = d3 32 +

4

2

2

M = _3 8 + 25 i

a.a 2 .a3 ... a10

L =

4

16 + 3 27 = 2 + 3 = 5

V = 11 Clave B

Clave C

a

10_11 i 2

55

E=

40

3

_4 x3 i

30

3

_ xi

3

x 3

26.

=

30 2

x 30 = 3 x 30 - 15 = 3 x15 = 5 x15

E=3

3

40 # 3 4

x

18.

3

= 11

a55 = a 11 = a5

Clave B

54 + 3 16 3 2

n_n + 1 i 2

Clave E

25. E =

R = (3 + 2 + 2)2 = 72 = 49

a

2

40 + 3 56 n 10 7

-1

273

-1

+ 5 + 42

1 42

1 27 3

3+5 + 2+7 8 + 9 = 2+3 = 5

=

3

=

3

+5 +

Clave E

+7

3

+7

27 # 2 + 3 8 # 2 3 2

Clave C 3. 2+3

9

8

2.2 27. V = x 2 . 3 2 = x 4 9 = x 36 x13 +

3 3 3 E = 3 23+ 2 2 = 53 2 = 5 2 2

2

11

V = 11

E =

50 n 2

M = _2 + 5 i = 7 2 = 49

a . 11 a 2 . 11 a3 ... 11 a10

6 + 10 + 3 20 + 7

3

2

Clave D

4

20. E =


24

L =


9. 10.

( 3 . 4 - 2) 2 + 4 2.4.2

x-2 x 4 = x

11


2

= x 36 = x 3

V =

19.


30

24. V =

Comunicación matemática Clave A

4

6 + 100 + 3 400 + 7


L = _10 5 - 2 5 + 3 5 i ' 5

x3

4

L = _ 500 - 20 + 45 i ' 5

8.

20

2 R = _ 9 + 4 + 3 8 i

A = _2 3 + 3 3 + 4 3 i ' 3

20

4

Clave B

16. L =

17. R = d 27 +

6

3 .3 .3 15

Clave D

3

A = _ 12 + 27 + 48 i ' 3

3+5 + 1+8

3 + 25 + 1 + 64

Clave E

A = 9 3 ' 3 = 9

3

20

4

b3 l .3 .3 15

23. Por propiedad:

S = 8 + 32 + 50 - 18

S = 8 2

Clave C

A =

2 3

5 3 15

3 4 . 15 3 20

S = (10 - 2) = 8 = 64

3

3

32

E = 3 15 .3 15 = 3 15 = 3 = 9

2

15. A =

5

10

5

2

8 + 3 125 + 3 27 3 64 + 3 1

E =

S = _ 100 - 3 8 i

3

I=

7.

= 4 =2

Clave C

22. E =

5.

6.

1

14. S = d 1000 - 3 40 n

Clave E

D = 4 23 + 3 2 = 73 2 = 7 2 2 3

1

2

128 + 3 54 3 2 3

-1

S = 49 2 - 27 3 = 7 - 3

6

R = _3 - 2 i = 16 = 1

- 273

U = 20 + 45 + 500 20 - 5

3.

Clave D

13. S = 49 2

3

Clave B

x

3.3

ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1

Clave A

3

Ecuaciones transcedentes PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 16) Unidad 1

Entonces: 2x - 1 = 0

Nivel 2 (página 16) Unidad 1 Comunicación matemática


10.

1.


2.

3.

A7

2x - 9

= A 343 3

&7 = 343 = 7 & 2x - 9 = 3 ` x=6

4.

Clave C

ax . ax . ax = a2x + 5

5.

b .b

Clave E

19

Entonces: 3n + 1 = 19

6

Entonces: 8x - x = 28 & x = 4

Clave A

x

Entonces: 2y + 12 = 24 ` y = 6

14.

3125x - 2 = 625x + 1

((5)5)x - 2 = (54)x + 1

b6 + x - 3 = b15

(5)5(x - 2) = (5)4(x + 1)

Entonces: 6 + x - 3 = 15 ` x = 12

Clave A

a 2x a x + 4 = a 20 ax + 2

7.

Entonces: 2x + x + 4 - x - 2 = 20 2x + 2 = 20 &x=9

Clave B

& 2

= 2 .2

=2

4

x-4 x+2 2

l

17

` n=8

Intelectum 1.°

2x 4 i3

_3

Luego: 2x

Clave E

= 216

Clave C

2 -1

2 -1

Clave C

= 22

7x - 1

=2

2. _23 i

3 + 2x

27x 1

& 2.83 + 2x = 27x - 1 = 27x - 1

Entonces: 10 + 6x = 7x - 1 & x = 11

= 516

Clave C

60

Entonces: 8a . 4-a = 1660

=2

2x

3 = 4 3 4 32x-1 = 42x-1

2x 3 i4

23a . 2-2a = 24.60

23a - 2a = 24 . 60

1632

23.

4

2x

= _3

2x

2

Entonces: 3a - 2a = 4 . 60 ` a = 240

= 216

4.3 = 3.4 2x

_2 2 i

Clave C

= 27 4

2 - 1l

Entonces: x + 2 + x - 4 = 4 & x = 3 2x

2 -1

(2 ) . 4-a = (24)60

x+2+x-4

17. 81 3

3 + 2x

83 + 2x

Clave A

2

3a

_2 x + 2 i . _2 x - 4 i

2

48

a 4-a

2

2l

x _ 2 xi = b 2 2

22. _5 8 i

Entonces: 12x = 72 & x = 6

& 9 + n = 17

x 20. _ 2 x i = b 2

Clave C

Luego: (2x + 2)(2x - 4) = 16

29 .2n = 2 216 1 16

Clave B

210 + 6x = 27x - 1

5x - 10 = 4x + 4 & x = 14

9+n

Clave A

& 5(x - 2) = 4(x + 1)

16. b2 2

Entonces: 12n + 8 - 3n - 5 = 39 9n = 36 & n = 4

` n=-7 2

21.

212x = 272

a12n + 8 - 3n - 5 = a39

9.

(24)3x = (23)24

a12n + 8 = a39 a3n + 5

& 6n - 3 = 8n + 4

` x = 2

163x = 82 # 4 # 3

a7n .a5n .a8 = a39 a3n .a5

15. (16x)3 = ((82)4)3

a2x + x + 4 - x - 2 = a20

8.

Clave A

36n - 3 = 38n + 4

A2y + 12 = A24

b .b = (b5)3 b3

6.

b8x = _b14 i2 bx

= _3 4 i

A6y + 10 + 2 - 4y = A2 # 3 # 4 &n=6

Clave D

13. A6y + 10 . A2 - 4y = [(A2)3]4

=b

b3n + 1 = b19

&x=6

2n + 1

2n - 1

19. ^33h

b8x - x = b28

Entonces: 3x = 2x + 5 & x = 5 n+1


Entonces: 5x+ 8 - 3 = 35 12.

a3x = a2x + 5

2n


a5x + 8 - 3 = a35

2x - 9

Clave B


a5x + 8 = a20 . a15 a3

11.


&x= 1 2

x-2

32 x - 2

_2 4 i

24

_32 x - 2 i

= 22

Clave B

x+2

= 22

x+2

= 22

x+2

Entonces: 4(32x - 2) = 2x + 2

22 . (25)x - 2 = 2x + 2 22 + 5(x - 2) = 2x + 2 Entonces: 2 + 5x - 10 = x + 2

4x = 10 & x = 5 2

Clave B

EXPRESIONES ALGEBRAICAS - Monomios PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 20) Unidad 1



12.

1.

13.

2.

Razonamiento y demostración 3.

E = x2 + 4x + 6x + 24 - x2 - 2x - 8x - 16 E = 8 Clave E

4.

Clave B

R = 10(5) + 4(8) R = 50 + 32 R = 82

5.

21.

R = 120a - 110a R = 10a Clave D

S = 49

A=3 -9

A = 0 Clave D

Clave E

3

3

Clave B

25. ` GR(y) = 2p + 7 - 2p - 3 = 4 Clave A

Resolución de problemas Clave B

2x + x - x - y 2x - y

N=

2x - y &N=1 2x - y

B = 4x - x + 9x + 3x 6 B = 12x + 3x 6

B = 2x + 3x & B = 5x l.q.q.d.

Clave D

11. GR (x) = 4 & a = 4

`

Se cumple la propiedad distributiva.

Rectángulo II:

Exceso = 2x2 + 8x + 8 - 2x2 - 8x Exceso = 8 Clave C

3A - 2C = 3(3x2y3) - 2(2x2y3)

` GA (M) + GR (y) = 3n + 2 + 8 - n + 8 - n = n + 18 = 23

& b+1=4& b=3

8x6 / 8x6

Área = 2x(x + 4) = 2x2 + 8x

18. A - C = 3x2y3 - 2x2y3 = x2y3

n=5

(8x3)x3 / x6 + 7x6

Área = (x + 2)(2x+ 4) = 2x2 + 8x + 8

Resolución de problemas & n3 = 125

(x3 + 7x3)x3 / x3 . x3 + 7(x3)(x3)

27. Rectángulo I:

Z = 2x4 + 2x - 2x4 + x5 - 2x = x5

GR (y) = 4

26. A(x) = x3

2 _2x i x 3 _3x i 33x B = - + + 6 6 6 11

N=

Resolución de problemas

5

Clave A

M = 24 b x l + 2 x 3 M = 8x + 2x = 10x

8.

Clave B

2

3

17. Demostración:

4

B(x) = x3

S = 29y

24. da - 2 + 9a - 3a n 1 = 1 & a = 4

3 16. M = b x + x + x + ... + x l + 8x 3

S = 9 + 9y - 3 + 16y - 4 + 4y - 2

1 2a - 1 + 4a - 2a + 1 = 3 & a = 801 d n 7 9 4 70 Clave A

24 veces

A = 320 - 320

23.

S + 1 = 49 + 1 = 8

3

10

10. n3 - 27 = 98

22.


- 48a + 5

A = 320 - (32)10


R = 40(3a) - 110(a)

Piden:

Clave E

9.

Los resultados obtenidos son diferentes.

15. S = 12a + 8 + 6a + 3 + 30a - 15 + 48

S = 3x

7.

20.

S = 3x2 + 6x - 3x2 - 3x

6.

T(-1) = -5(-1)3 = 5


14. R = 40(3a) - 110(a)

S = x(3x + 6) - 3(x2 + x)

20


Desarrollamos la expresión:

b) T(1) = -5(1)3 = -5


= 9x2y3 - 4x2y3 = 5x2y3

28. aabb + 5b + aabb + 5b - aabb - aabb - 5a- 5a = 100

& 5b - 5a = 50 = GR(z)

2 3 A = 3x y = 3 xy B 7 7xy 2

Clave D

El mayor grado absoluto esta en cualquiera de las dos expresiones A - C o 3A - 2C ` GA = 2 + 3 = 5 Clave A

a2 + b2 = 42 + 32

19. a) Z(1; 1) = 2(1)2(1)3 = 2

a2 + b2 = 5

Z(-1; -1) = 2(-1)2(-1)3 = -2

Los resultados obtenidos son diferentes.

Clave D

29. 7(a + b + c) = 91 & a + b + c = 13 Clave C

30. M(M(m)) = 7M(m) = 7(7m) = 343

3 ` m = 72 = 7

7


Clave C

5

PolInomios Dato: Coef. principal de A(x) = a + 3 = 5 a=2 Nos piden: TIP(x) = a = 2

PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 24) Unidad 1 Comunicación matemática 1. 2.

Razonamiento y demostración F(F(4) = 3(F(4)) - 1 = 3(12 - 1) - 1

12. P(x) = x2 + x - a2 …(I)

= 32 l. q. q. d.

P(a) = 3 Clave A

P(x + 1) = 2x + 1

Piden: P(5)

Entonces: x + 1 = 5 & x = 4

Por lo tanto: P(5) = 2(4) + 1 = 9

Clave A

P(4) = 3(4) - 2 = 10 Piden: F(P(4)) = F(10) = 2(10) + 1 = 21

Clave B

6.

GA (P) = 6m + 10 + 3 - 6m

GA (P) = 13

Clave E

7.

M(x; y) = 5xa + x3 + ay6 + 6xay8

Como: GR(x) = 4

&a+3=4

à=1

8.

P(x; y) = 2x9y - 7x2y9 + x8y3 Piden: GR(x) + GR(y) = 18

GA(Q) = 6 & a + 2 - b + 1 = 6 a - b = 3

…(2)

Piden: ab = 63 = 216

Piden: S = F _ 5 i - 4 = 4 - 4 = 0

Resolución de problemas 11. A(x) = x2 + (a + 3)x3 + 2x + a

6

Intelectum 1.°

a+5=5

Clave E

Nivel 3 (página 25) Unidad 1 24.

Razonamiento y demostración 25. P(x - 2) = (2x - 1)10 - (7x - 11)10 + 3x + 1

& GR(x) + GR(y) = 8 + 5 = 13 l. q. q. d.

TI(Y) = Y(0) = 5

0 & x - 2 = 0 x=2

P(0) = (2(2) - 1)10 - (7(2) - 11)10 + 3(2)+ 1 T.I. P(0) = 310 - 310 + 6 + 1

Clave A

` P(0) = 7 Clave A

18. Por propiedad de grado absoluto:

Entonces: Q(x) = 3x2 + 6x + 1



TI(Y) = Y(0) = (7)(- 5) + (2)(20)

Clave E

(-)

Nos piden Σcoeficientes: Q(1) = 3 + 6 + 1 = 10 & Scoef. Q(x) = 10

GR(x) = 5

17. TI(Y) = Y(0) = (2(0) + 7)(0 - 5) - 2(02 - 20)

7

10x2 - 2x + 5 7x2 - 8x + 4 3x2 + 6x + 1


10. F _ x i = 4x + 8

4_5 i + 8 F_5 i = =4 7

P(x) + Q(x) = R(x) & Q(x) = R(x) - P(x) Efectuamos: R(x) - P(x)

De (1) y (2): a = 6 / b = 3

Clave C

23. Desdepejamos Q(x):

16. GR(x) = 8 y GR(y) = 5 Clave B

Resolución de problemas exponente de la variable, entonces:


& F(F(2)) = 26

Clave A

2a + 9 = 7 & a - 1 Luego, nos piden: a2 = (-1)2 = 1

15.

F(F(2)) = F(6) = 5(6 - 1) + 1

` a=2

22. Como es de grado 7, escogemos el mayor

…(1)

Piden:

Clave E

Clave A Clave D

2a = 4

& a + 2 + b - 1 = 10 a + b = 9

& 2a + 3 = 7

` a = 0

F(2) = 5(2 - 1) + 1 = 6

a=3

F(x) = 5(x - 1) + 1

9.

21. Como: GR(y) = 7

14. Como:

GR(x) = 9 / GR(y) = 9

Clave B

Clave A

Clave A

20. Por propiedad del grado absoluto:

GA(E) = 2 . 12 = 24

13. GA(P) = 10

P(x) = 3x - 2

Clave E

Entonces: P(a) = a2 + a - a2 = 3

Nos piden: TIP(x) = -a2 = -32 = -9

S coef. M(n) = 1(1 + 1)(1 + 2) - (1)3 + 2(1)2 S coef. M(n) = 6 - 1 + 2 = 7

En (I): sea x = a

F(x) = 2x + 1

5.

polinomio es:

Clave A

3.

4.

19. Sabemos que la suma de coeficientes en un

26. P(x) = x(ax + 2c) + bx2 - c

GA(K): 9 + 5 = 14 Clave E

Dato: Σcoef. P(x) = P(1) = 0

T + R - P = (-4 + 6x2 - 5x)

Sea x = 1:

2

& P(1) = a + 2c + b - c = 0

+ (-x - 2 + 6x) - (2x - 5x + 1)

a+b+c=0

MARATÓN MATEMÁTICA (página 26) Clave D

1.

27. P(x) = ax2 + bx + c ; c ! 0

Dato:

Nos piden: a + b = −c =− 1 c c

28. Σcoef. (P) & 2x - 1 = 1

& P(1) = (5(1) - 1)m + (2(1) + 1)m - 2(1) + 1 m

- 2c 1 m + 1 2

m

m

Clave D

son iguales:

& a-4=1 / b+1=3 a = 5 b=2 à+b=7

suma de exponente)

&m=-8

= 8 + 7 ; 8 + 10; 8 + 12

Nos piden:

15

18

` Σcoef. (F) = F(1) = (-1) - 5(-1) - 8 = - 2

Clave B

(z = - 1)

3T - 2R = 3(-4 + 6x2 - 5x) - 2(-x2 - 2 + 6x) = 20x2 - 27x - 8

15

& GA(P) = 18, GR(x) = 10 & 18 + 10 = 28

2

7. 17 - x

7(P(x)) = 12x + 7 P(x) = 12 x + 1 7 12 & P(-7) = (-7) + 1 = - 11 7

Clave D

13. De f(-1) = -32

6. GA (P) es el término con mayor grado (mayor

29. TI(F)= F(0) = (-2) - 5(-2) + m = 6

= -7x2 + 28x - 8

& b=6

& Q(P(x)) =7(P(x)) - 5 = 12x + 2 (dato)

5. Si los términos son semejantes, los exponentes

2

30. 3R - 2P = 3(-x2 - 2 + 6x) - 2(2x2 - 5x + 1)

12. De Q(x) = 7x - 5

2x3 - 20x2 + 42x + 5x2 - 50x + 105

Clave C

Clave A

11. Evaluando: 32 - 3 + b = 12 Clave B

(x2 - 10x + 21)(2x + 5)

m

(z = - 2)

3a = 15 . 2 ` a = 10 Clave D

Clave B m

Clave B

& GA N(x; y; z) = 10 + a + a - 1 + 6 - a = 30 (dato) 2 & 15 + 2a - a = 30 2

4. Desarrollando:

4m + 3m = 25 `m=2

10. El polinomio es de variable x; y; z.

2x3 - 15x2 - 8x + 105

m

m

Clave D

1 x

=a & x = 12 5

x-4

4 + 3 - 1 + d 3 n + 2m = 24 + d 3 n + 2m 2 2 m

& a

5 12

2. Simplificando:

m

_4 + 3 - 1 i + fd 3 n + 2m p = 24 + d 3 n + 2m 2 2 m

1 ax

x - 4 & A = (x - 4)2 = x2 - 8x + 16

m

m

=

k=3

& P(x) = 3(x2 + 1)(x - 1) = 3x3 - 3x2 + 3x - 3

3.

TI(P) = f5 d 1 n - 1 p + f2 d 1 n + 1 p 2 2

TI(P) = d 3 n + 2m 2 Dato:

4/3 - 1/2

Clave D

x= 1 2

S coeficientes = 0

P(2) = 15 = k((22) + 1)(2 - 1)

M = x - x10 + x10 = x

Σcoef. (P) = 4 + 3 - 1 TI(P) = P(0) & 2x - 1 = 0

factor factor → (P(1) = 0)

Para determinar k; dato:

m

Clave C

a4/3 = ax-1 a1/2 a

Ec. trascendentes 99 = mm & m = 9

a $ a1/3 = ax-1 a1/2

x=1

(32)9 = mm

P(x) = k(x2 + 1)(x - 1)

Clave B

318 = mm

9. Sea el polinomio:

III. Desarrollando:


I. 3 12x = 3 2(12) & 12x = 2 . 12 x=2 II. 2x - 7 = 3 & x=5

P(1) = a + b + c = 0 & a + b = -c

= 2x2 + 6x - 7

Nos piden: ab + bc + b2 = b(a + c + b) = 0

8. 2

5$3

2 x = 2 2 Igualamos exponentes (bases iguales) 2(17 - x) = 15x 34 - 2x = 15x 34 = 17x `x=2

& x + 4 = -1 & x = -5 & f(x + 4) = f(-1) = -5a + b = -32 ...(1) De f(2) = -11 & x + 4 = 2 & x = -2 & f(x + 4) = f(2) = -2a + b = -11 Restamos las ecuaciones: -5a + b = -32 (-) -2a + b = -11 _____________ 3a = 21 a=7 / b=3 à-b=4 Clave C

Clave E


7

Unidad 2

Productos Notables

PRACTIQUEMOS





13.

2.

Razonamiento y demostración 14. (x + 2)2 - (x + 2)(x - 2) - 4x

Razonamiento y demostración 3. Z = (x2 + 4x + 4) + (x2 + 6x + 9) - 2x2 - 10x

Desarrollamos:

` Z = 13 Clave E

x2 + 4x + 4 - (x2 - 22) - 4x

x2 + 4x + 4 - x2 + 4 - 4x = 8

4. M = (x2 + 10x + 25) + (x2 - 8x + 16) - 2x2 - 2x

Clave C

` M = 41 Clave D

4xy & M=4 xy

Clave A Clave D

a2 - b2 = 42

6.

Desarrollamos:

a2 + 2ab + b2 - (a2 - b2) - 2b2 = a2 + 2ab + b2 - a2 + b2 - 2b2 = 2ab

5. M = [x2 + 4xy + 4y2 - x2 - 4y2] ' xy

M=

15. (a + b)2 - (a + b)(a - b) - 2b2

16. (x + 2)(x + 6) - (x + 4)2

Desarrollamos:

x2 + 8x + 12 - (x2 + 8x + 16) = x2 + 8x + 12 - x2 - 8x - 16 = -4

(a + b)(a - b) = 42 7(a - b) = 42

Clave C

` (a - b) = 6 Clave C

2

Por Legendre: 2 2 M = 2 _ 7 + 3 i = 20

2 2 2 2 7. K = a - 4 + a - 2

a+4

2

17. M = ^ 7 + 3 h + ^ 7 - 3 h

a+2

Clave C

K = a - 4 + a - 2 & K = 2a - 6 Clave C 2

3

8. A = (a - 1)(a + a + 1) - a

18. Q = 8 â4 + 2hâ4 - 2h + 4 =

8

a8 - 4 + 4 =

Clave E

19. M = 6^22 -

A = a3 - 1 - a3

2 2 3 h^32 - 2 h@ = [(1)(7)]2 = 72 & M = 49 2

A = -1

Clave E

Clave B

20. Dato: a - b = 4 / ab = 2

Piden: a3 - b3

2

9. R = (x + 2)(x - 2x + 4) - 8

Por identidad de Cauchy:

Suma de cubos

(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

3

R=x +2 -8

R = x3

3

Clave B

Resolución de problemas 10. M =

â + bh2 - â - bh2

ab

43 = a3 - b3 - 3(2)(4)

& a - b3 = 64 + 24 = 88

Clave C

21. A = (x - 3)(x2 + 3x + 9) - (x3 - 30)

A = x3 - 33 - x3 + 30 = -27 + 30 & A = 3

Recuerda:

(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab Luego: M = 4ab = 4 ab

22. Sabemos: Clave E

Clave C

Intelectum 1.°

Clave E


11. a8 - b8 = (a4 + b4)(a4 - b4)

8

a8 & Q = a

Diferencia de cubos

3

8

(a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2) x y z & x - y = 8abz x-y ab = 8z

Clave C

31. A = (x + 1)(x2 - x + 1)(x - 1)(x2 + x + 1)

3

23. E = ^ 2 + 1h - 5 2

A = (x3 - 1)(x3 + 1)

3

2 + 13 + 3 2 ^ 2 + 1 h - 5 2

E=

A = x6 - 1

E= 2 2 +1+6+3 2 -5 2

Clave D

E=7 Clave E

Resolución de problemas 32. Le damos una forma adecuada a los términos:

Z = (m + n)2[p + (n - m)][p - (n - m)] + (m - n)2[(m + n) + p][(m + n) - p]


Z = (m + n)2[p2 - (n - m)2] + (m - n)2[(m + n)2 - p2]

Comunicación matemática 24. Las operaciones correctas son B y C.

Z = (m + n)2p2 - (m + n) 2 (n - m) 2 + (m - n) 2 (m + n) 2 - (m - n)2p2

25. El orden es: E D A C B

Z = p2((m + n)2 - (m - n)2) Z = p2(4 mn)

Razonamiento y demostración 2

26. A =

Z = 4mnp2

2

5 + 6 5 + 9 + 16 - 8 5 + 5 + 2 5

Clave E

A = 5 + 6 5 + 25 - 8 5 + 5 + 2 5 ` A = 35

Clave E

27. A = (4x2 + 12x + 9) + (9x2 + 6x + 1) - 13x2 - 13x - 10

Clave A

2 28. R= ^ 5 + 2 5 + 1h - ^4 - 4 5 +

2 5 h+ 3

Clave A

29. A = (a2 - 5b3)2 + 10a2b3 - 25b6

Desarrollamos:

A = a4 - 10a2b3 + 25b6 + 10a2b3 - 25b6 Clave B

30. R = (x8 + 3)(x8 - 3) - (x16 - 10)

(x 3 - 1) (x 3 + 1) - x 2 (x 2 + 1) (x - 1) (x + 1)

E=

x 6 - 1 - x 2 (x 2 - 1) (x 2 + 1) x2 - 1

E=

x 6 - 1 - x 2 (x 4 - 1) x2 - 1

6 6 2 E = x - 12- x + x x -1 2 E = x2 - 1 x -1

R = (x8)2 - 32 - x16 + 10 16

E=

x3 + 1 x+1

6 E = x 2 - 1 - x2(x2 + 1) x -1

R= 6 + 2 5 - 9 + 4 5 + 3 & R = 6 5

A = a4

x3 - 1 x-1

Diferencia de cuadrados:

R= 6 + 2 5 - ^9 - 4 5 h + 3

E = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) - x2(x2 + 1)

A = 13x2 + 18x + 10 - 13x2 - 13x - 10 ` A = 5x

33. Del problema:

16

R = x - 9 - x + 10

E=1

R=1

Clave D

Clave E


9

División de Polinomios PRACTIQUEMOS

3

8.


-1

Comunicación matemática & a + b - 3c + d = 2 3 2 3

-8

18

-15

-26

3

6

-4

28

26

0

-2

14

13

0

3

2

2

-13

13

4

8

4

-6

2

23

-34

9.

14

28

0

3

2

-2

3

7

11

-8

0

1

2

0

-1

+2 2

6

-5

1 -10

2

-3

5

-3

-2

2

4

8

11

-4

5

5

-1

-13

-11

12

-37

-24

-32

-20

32

20

16

-8

-5

-4

-16

Clave B

11.

1 x = -1

5

-12

-9

2

-18

` El menor coef. del cociente = -8

6 6

1

2

6

-1

10.

-7

-10

3

3

x = -4

0

24

-15 15

+3

2

Clave A

Clave B

3

-1

` !coef.Q(x) = 6

Clave C

` Σ de coef. residuo = 8 + 11 - 4 = 15

5.

-1

& Q(1) = 6

-2

2

Q(x) = x2 - x + 6

20

7

-1

1

1

5

1

-1

1

Clave B

1 -3

-12

-3

+1

2

-25

2

0

-1

-2

10

4.

-4

Razonamiento y demostración 6

-2

-3

-4

` Cociente = 2x2 - x - 1

Clave D

3

0 1

Clave B

Scoef. Q(x) = 3 - 2 + 14 + 13 + 0 = 28

3.

-1

-2

1. c = -4; d = -12; a = 4; b = -2

2.

6

3

3

1

-1

-2

-1

2

1

0

1

` Cociente = x2 + 2x + 1

` Residuo = 5x - 1

Clave C

6.

Clave D

2

6

4

2

-4

12

-6 28

-2 3

7

-5

3

5

-14

9

2

4

+3 -5 2

36

-18

17

-15

-6

-8

15

6

-10 -3

5

2

-1

-1

5 x=1

` Residuo = 2x - 1

10 Intelectum 1.°

-2

-2

-1

5

3

1

3

1

0

` Cociente = 5x2 + 3x + 1 Clave A

` Σ de coef. del cociente = 3 + 7 + 9 = 19 7.

12.

Clave C

13.

2 x =

2 2

3 2

-12

3 2

-2

2 2

10

-2 2

2

5 2

-2

2

0

` Término independiente del cociente = 2 Clave A

Clave A

14. Evaluamos x = 2 en el dividendo:

Según dato:

2(2)3 - 4(2)2 + 7(2) - 10 16 - 16 + 14 - 10 = 4 ` Resto = 4

a2 + 11a + 2 = 0 & P(x) es divisible con (x - a).

b2 + 11b + 2 = 0 & P(x) es divisible por (x - b). Luego:

Clave C

P(x) es divisible por (x - a)(x - b) P(x) / (x - a)(x - b)Q(x); donde Q(x) = 1

15. Evaluamos x = 1 en el dividendo: 3

P(x) / x2 - (a + b)x + ab / x2 + 11x + 2

2

(1) + m(1) + n(1) + 1 = 0 1+m+n+1=0 m + n = -2

Luego: a + b = -11 ab = 2

Clave C

Entonces: Z = - 11 - 22 = - 13 121 _- 11 i

16. Evaluamos: x = -3 en el dividendo:

27(-3)425 + 81(-3)424 - 5(-3) - 19

-3428 + 3428 + 15 - 19 = -4 ` El residuo = -4

Clave E

Clave E

22. P(x) = (x2 + 1)(x - 3)Q(x) + (x2 + 4x - 6)

P(3) = (32 + 1)(3 - 3)Q(3) + (32 + 4(3) - 6) = 15

17. Por teorema del resto en la división:

Clave D

x-2=0&x=2


Reemplazamos en el dividendo: 4x4 - 3x3 - 12x2 + (a + 4)x + a = 4(2)4 - 3(2)3 - 12(2)2 + (a + 4)2 + a = 64 - 24 - 48 + 2a + 8 + a = 3a


5 2 '2

Del dato R(x) = 12, entonces: 3a = 12 & a = 4 Clave D

10

-29

12

-3

-5

100

25

-10

5

5

0

10

-4

2

2

0

100

5

-2

1

1

0

Scoef. Q(x) = 5 - 2 + 1 + 1 + 0 = 5

18. Por teorema del resto:

Clave C

d(x) = x + 2 = 0 & x = -2 D(x) = 2x4 + x3 + x2 - 30

24. 1. Sea el dividendo: D(x) = x 5 - 2x - 1 Término de mayor grado Observamos: D°(x) = 5 ...(F)

Reemplazamos: R(x) = 2(-2)4 + (-2)3 + (-2)2 - 30 R(x) = -2

2. Analizamos el divisor: d(x) = x 3 + 1 Término de mayor grado Luego: Q°(x) = D°(x) - d°(x) =5-3 Q°(x) = 2 ...(V)

Clave D


d(x) = x + 1 = 0 & x = - 1 D(x) = x3 + x2 + 2x + 3 Reemplazamos: R(x) = (-1)3 + (-1)2 + 2(-1) + 3 R(x) = -1 + 1 - 2 + 3 = 1

3. Sabemos que: R°(x)máx. = d°(x) - 1 = 3 - 1 = 2

Clave C

El grado del residuo puede ser: 0; 1; 2

...(V) Clave E


d(x) = x + 1 = 0 & x = -1 D(x) = 5x3 - 3x2 + 2x + 15


Reemplazamos: R(x) = 5(-1)3 - 3(-1)2 + 2(-1) + 15 R(x) = -5 - 3 - 2 + 15 = 5

2

6

-3 0

9

0

1

4

-9

0 0

3 0

0

0

0

0

-6 -1

+1

Clave D

Resolución de problemas 21. Supongamos el siguiente polinomio de segundo grado:

P(x) = x2 + 11x + 2 Si: x = a & P(a) = a2 + 11a + 2 x = b & P(b) = b2 + 11b + 2

3

0

0

2

1

-3

2

0 3

2 0

-1

4

-1

1

` El coef. del término cuadrático del residuo es 4.

Clave D


11

26.

1

1

10 -10

-5

3 -3 1

3

1

1 6 3

-3 -6 1

-2

32.

1

-5

1

1

-6

5

10

4

-2 -8 . -5

4 . 14

4 -2

-2 -3

1

0 -10

2

1

-2

R(x) = -5x + 14

` Cociente = x2 - 2x + 1

Clave E

Clave B

27.

1

1

3 -5 1

2

-7

3

-5 15 -25 9 -15

5

m

3

33.

n

0

x = 1 2 '2

0

1

1

4m

-8

2

-4 -4m + 4

8m - 8

0

0

1 -2m + 2 & -8 + 8m - 8 = 0 8m = 16

3

1

0

5

-3

-2 3

a

1

4

6

-2

-1

-1

2 -6

-4

0

0

1

1

0 -p 1 1

-8

2

-5

. 3

. -4

. 1

a -2

1

-2 0

2

16

0

-6

-12

9

-15

9

20

-15

25

-15

3

.

.

.

.

5

-3

35. d(x) = x + 2 = 0 & x = -2

2

1

-5

.

-2

0

-2

1

0

1

-7

1

q

0

-p 0

1 -p

1

2

8

5

4(-2)78 + 32(-2)75 + 6(-2)41 + 12(-2)40 + 5(-2)4 + 1

280 - 280 - 3 . 242 + 3 . 242 + 5 . 24 + 1

Clave A

37. Evaluamos x = -2 en el dividendo:

(-2)100 + 32(-2)95 + (n + 1)(-2)3 + n(-2)2 + 10 = 14

` a+b=5

-8(n + 1) + 4n + 10 = 14

-8n - 8 + 4n + 10 = 14

-4n = 14 - 2

n = -3 Clave B

38. Evaluamos x = 3

7 en el dividendo: 2

^ 7 h + ^- 2 - 7 h^ 7 h + ^2 7 - 15h 7 + 15 7 + m = 3m -8

7 7 - 14 - 7 7 + 14 - 15 7 + 15 7 + m = 3m - 8

2m = 8 m = 4

` q + p = -2 Clave E

12 Intelectum 1.°

1

` Resto = 81

-1 0

-4

& -4 - p = 2 & p = - 6 q + 1 = 5 & q = 4

-3

Clave B

b

1

1

20

Q(x) = x2 + 1

Clave E

1

6

. 2

36. Evaluamos x = -2 en el dividendo:

-4

a - 2 - 2 = 0 & a = 4 b-1=0 & b = 1

31.

4

Clave B

Clave B

-2

1

x =- 3 5

-2

2

-1

34.

b

1

-4

4 -3 ` Mayor coef. del cociente = 5

& a + 2 - 6 = 0 / b - 4 = 0 a = 4 b=4 `3 a+b = 2

30.

3

'5

Clave B

3

2

` m=2

-3 -2

-6

Clave A

-2m

2 -4

29.

6

& n = 15 Clave D

28.

4 -11

` S de coef. cociente = 2 + 3 - 4 + 1 = 2

& m - 25 + 9 = 0 & m = 16 n - 15 = 0 ` m + n = 31

4

Clave B

43. b = 7, ab = 14 & a = 2; a = c = 2

39. 2x - 1 = 0 & x = 1

2

2 (7) 2 2 = 14 14

& S=

5 4 R(x) = 2 c 1 m - 9 c 1 m + 3 c 1 m - 4 2 2 2

R(x) = 1 - 9 + 3 - 4 16 16 2

44.

2

R(x) = - 1 + 3 - 4 = 1 - 4 2 2 ` R(x) = -3

10

Clave E

1

3

6

15

5

1 Clave E

5

5

8

24

8

35

13

` 10 + 15 + 8 + 6 + 5 = 44

Resolución de problemas 40. Datos:

Clave D

D(x) = x9 - 27x6 + 3x2 - 5x + 2 d(x) = x2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) R(x) = ax + b = ? Sabemos que: D(x) / d(x)Q(x) + R(x) Reemplazamos: x9 - 27x6 + 3x2 - 5x + 2 = (x - 3)(x - 1)Q(x) + ax + b Sea: x = 1 & a + b = -26 ...(1) x = 3 & 3a + b = 14 ...(2) Restando (1) de (2): & a = 20 b = -46 Nos piden: a + b ` a + b = -26

45.

1 -3

2

P(x) = (x + 4)(x - 5)(x + 6)Q(x) + x - 7x + 2

2

-4

-3

0

-6

30 -87

2 -10

29 -93

1

0

-1

-6

` - 1 - 6 - 6 = - 13 Clave C


1

1

a+1

a+b

-a

-b -a

-a -b

Clave C

41. Según la condición:

3

1

...(1)

Aplicamos el teorema del resto: I. x + 4 = 0 & x = -4 En (1): P(-4) = (-4 + 4)(-4 - 5)(-4 + 6)Q(-4) + (-4)2 - 7(-4) + 2 R(x) = 46 II. x - 5 = 0 & x = 5 En (1): P(5) = (5 + 4)(5 - 5)(5 + 6)Q(5) + (5)2 - 7(5) + 2 R(x) = -8 III. x + 6 = 0 & x = -6 En (1): P(-6) = (-6 + 4)(-6 - 5)(-6 + 6)Q(-6) + (-6)2 -7(-6) + 2 R(x) = 80

1

b+1 -b 0

0

1

a

b

0 -a

-b

0

0

` Resto = 0 Clave C

2

47.

4

m

0

-5

2m

-4 m2

-2

2m

0

-2m 2 m d m - 9 n - _m 2 - 9 i 2

2

2 dm - 9 n 2

m

0

0

` m2 - 9 = 0 m = ! 3 & m = 3

Clave E


Clave A

Comunicación matemática 42. Ordenamos y completamos los coeficientes:

48.

1

Por Horner: 2

4

-1 0 +3 2

-2

0

-5

3

-2

0 2

6 0 -1

-6 0

3

0

-3

4

-2

1

Donde: 1. Q(x) = 2x2 - 2x + 1 2. R(x) = -3x + 4 3. Coef. principal R(x): -3

p

1

1

q

1

p

-2p

-1

-6

p + q -2(p + q)

-2 p

q + p q +1 -p

q + 1 -p

-2(q - p + 1)

0

0

& -1 - 2(p + q) + q + 1 - p = 0

...(V) ...(F) ...(V)

-1 - 2p - 2q + q + 1 - p = 0

3p = -q

& -6 - 2(q - p + 1) = 0 Clave D

-6 - 2q + 2p - 2 = 0


13

2p - 2q = 8

2p - 2(-3p) = 8

De (1) y (2): m = p + 5 & n (p + 5) = 1 q+2 m (q + 2) n

2p + 6p = 8 & p = 1 / q = - 3 Clave C

49.

1

1

0

2

0

0

0

…

0

0

0 -n

Resolución de problemas 54. Datos:

k

D(x) = (x - 3)80 + (x - 4)71 + 6 d(x) = (x - 3)(x - 4)

2 -1

Como el divisor es de grado 2, entonces el residuo tiene la siguiente forma: R(x) = ax + b

4 -2

-1

6 -3 8 -4

1

2

3

4

Además: D(x) = d(x)Q(x) + R(x)

...

5

...

36

-18

0

0

18

& -n + 36 = 0 & n = 36 k - 18 = 0 & k = 18 ` n + 2 = 36 + 2 = 2 k + 1 18 + 1 1

1

0 -1

0

1

0

0

-1 0

0

1

Sea: x = 4 & 7 = 4a + b x = 3 & 5 = 3a + b

0

0

1

0

1

0 0

-1

0

0

0

-2n2

1

-4

4n

2

0

0

1

n 2 1

8

2n

4n

& -4 + n = 1 2 n = 5 2

` n = 10 Clave B

52. Evaluamos x = -y en el dividendo:

(3(-y) + 4y)5 - 25(-y)5 - my5 = 0

5

& m = 1 + 2 = 33

Clave D

-2

4

5

-4

-2 0

-1 2

0

2 5

-15 5

q

-24

8

0

0

8

m - 6 = 5 & m = 16 2 n - 13 = 8 & n = 29 2 p + 5 - 24 = 0 & p = 19 q + 8 = 0 & q = -8 ` m + n + q + p = 56

Clave D

1

▪▪ m - 1 - 4 = p & m = p + 5 ▪▪ n - 2 = q & n = q + 2

14 Intelectum 1.°

8

Evaluamos en x = 3: 2(3)4 + (a + 1)(3)3 - 18(3)2 - 29(3) + 6 = 0 (a + 1)(3)3 - 81 = 0 a+1=3 ` a=2 Clave C

57. Según el enunciado:

y5(1 + 25 - m) = 0

6

-6

p

y5 + 25y5 - my5 = 0

3

n

56. 2x4 + (a + 1)x3 - 18x2 - 29x + 6

53.

Clave D

m

1 2

Clave C

x= n 2

4

-3

8

2

Resto = 0

51.

Nos piden: ` R(x) = ax + b = 2x - 1 55.

0 0

0

(x - 3)80 + (x - 4)71 + 6 = (x - 3)(x - 4)Q(x) + ax + b

Clave B

0

1

Reemplazamos:

Resolviendo: a = 2 / b = -1

50.

Clave C

m

n

Luego: A(11) = (11 - 9)(11 + 7)(5(11) + b) = 2160 & b = 5

0

-1

-2

-4

-2

2

p

q ...(1) ...(2)

A(x) = (x - 9)(x + 7)(5x + b) 3.er 2.° 1.er grado A (x) & R(x) = 2160 & A(11) = 2160 x - 11

Donde: A(x) = (x - 9)(x + 7)(5x + 5) Nos piden:

A (x) & R = A(+1) x-1

R = A(1) = (1 - 9)(1 + 7)(5(1) + 5) = -640 Clave A

Factorización PRACTIQUEMOS



Comunicación matemática 10. T(a; b) = a17b5(4a2 - 4ab + b2) = a17b5(2a - b)2


& FFV

1. 3a = 27 & a = 9; 7b = -49 & b = -7

Clave E

27x2 + 42x - 49 3x 7 " 63x 9x -7 " -21x 42x 2

2

11. A(x; y; z) = xyzw(x + 7)(w - 10)(y - 3)(z - 20)

Clave D

2

(a + b) = (9 - 7) = 2 = 4


2. -Ax = -3x + 42x = 39x & A = -39

▪▪ ax + bx + cx = (a + b + c)x


▪▪ mn2 + m2n + mn = mn(n + m + 1)

3. P(a; b) = (2a) 2 + 2 (2a) b2 + (b2) 2 -1

P(a; b) = (2a + b2)2 -1 P(a; b) = (2a + b2 + 1)(2a + b2 -1) S términos ind. de sus factores primos = 1-1 = 0

▪▪ a2b - 2ab2 = ab(a - 2b)

Clave E 2^ 5

▪▪ 5a + 5b + 3a + 3b = 8a + 8b = 8(a + b) ▪▪ x3y - x2y3 + x2y

= yx2(x - y2 + 1)

3^ 5

4. w x + 3h - t x + 3h

^x5 + 3h^ w2 - t3h ` Un factor primo es: x5 + 3

▪▪ 2xa - a + 2xb - b = (a + b)(2x - 1) Clave A

2x 1 4x -3 & P(x) = (2x + 1)(4x - 3) ` Un factor primo es (4x - 3)

Clave A Clave C

6. 3m4 + 7m2 + 4 = (3m2 + 4)(m2 + 1)

3m2 +4 m 2 +1 ` Un factor primo es: m2 + 1

7. R(x) = 8a3 - x3

= (2a)3 - x3 = (2a - x)(4a2 + 2ax + x2) ` El término independiente del factor primo con mayor coeficiente es: 4a2 Clave E

8. A(t) = t5 + 3t3 + 2t = t(t4 + 3t2 + 2)

A(t) = t(t + 2)(t + 1) Scoef.(t2 + 2) = 1 + 2 = 3

m -4 m 1 P(m) = (m - 4)(m + 1) ` S fact. primos = 2m - 3 15. 2x4 + 17x2 + 21

2x2 3 x2 7 (2x2 + 3) (x2 + 7) ` (2x2)(3) = 6x2 Clave C

16. Agrupamos convenientemente:

P(x) = x3 - 2x2 - x + 2 P(x) = x2 (x - 2) - (x - 2) = (x - 2)(x2 - 1) = (x - 2)(x + 1)(x - 1) ` Un factor primo es (x - 1).


2

14. P(m) = m2 - 3m - 4

Clave E Clave D

2

13. P(a; b) = a2 - 2ab + b2 - 1

P(a; b) = (a - b)2 - 1 P(a; b) = (a - b + 1)(a - b - 1) ` Un factor primo es: a - b + 1

5. P(x) = 8x2 - 2x - 3

t2 t2

& CIC

2 " 2t2 1 " t2 3t2

Clave B

17. F(x; y) = xy(xy + x + y + 1) Clave D

9. a2 - 2ac + c2 - a2 + 2ab - b2 - b2 + 2bc - c2

= xy(x(y + 1) + (y + 1)) = xy(y + 1)(x + 1) 4 factores primos

2

2ab - 2b - 2ac + 2bc (2ab - 2ac) + (2bc - 2b2) (b - c)(2a - 2b) 2(b - c)(a - b) - coef.

Clave C

18. H(x) = x4 - 5x2 - 14

Clave E

x2 x2

+2 " 2x2 -7 " -7x2 - 5x2


15

H(x) = (x2 + 2)(x2 - 7) = (x2 + 2)(x +

P(x) = y(x + 4)(x + 3)

7 )(x -

` Número de factores primos = 2

7)

` 3 factores primos.

Clave B Clave E

4

2

19. S(q) = q - 9q + 18 2

q q 2

5a 3a

3 " 9x 1 " 5x 14x ` Término independiente = 3

2

-3 " -3q -6 " -6q2

2

- 9q2

2

24. 15a2 + 14a + 3 = (5a + 3)(3a + 1)

S(q) = (q - 3)(q - 6)

Clave B

25. P(x) = x4 - 3x2 + 1

= ^q + 3 h^q - 3 h^q + 6 h^q - 6 h

= x4 - 2x2 + 1 - x2 = (x2 - 1)2 - x2 = (x2 - x - 1)(x2 + x - 1)

∑factores primos = 4q

Clave D

` Número de factores primos = 2


Clave B


26. M(x; y; z) = xm(xa + yb) + yn(xa + yb) + z p(xa + yb)

A) C B) I C) C

= (xa + yb)(xm + yn + zp)

21. P(x) = 21x2 + 11x - 2 = (3x + 2)(7x - 1)

3x 7x

Clave C


2 " 14x -1 " -3x 11x

27. T(m) = (m7 - m4a3) - (m3a4 - a7) Clave D

Razonamiento y demostración 22. M(x; y) = abx2 - aby2 + xya2 - xyb2

= m4(m3 - a3) - a4(m3 - a3)

= (m3 - a3)(m4 - a4)

= (m - a)(m2 + ma + a2)(m2 + a2)(m2 - a2)

= (m - a)(m2 + ma + a2)(m2 + a2)(m + a)(m - a)

T(m) = (m - a)2(m2 + ma + a2)(m2 + a2)(m + a)

= ax(bx + ay) - by(ay+ bx)

TI(m = 0) = (0 - a)2 = a2

= (bx + ay)(ax - by) Clave D

23. P(x) = yx2 +7xy + 12y 2

P(x) = y(x + 7x + 12) x 4 " 4x x 3 " 3x 7x

16 Intelectum 1.°

Clave C

28. P(x; y) = (x + y)3 - (x + y)2 = (x + y)2(x + y - 1)

Casos que se presentan: 1.° (x + y) - (x + y - 1) = + 1 2.° (x + y - 1) - (x + y) = - 1

!1 Clave C

Radicación PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 45) Unidad 2

10. S =

16 + 25 + 36 + 49

=

42 + 52 + 62 + 72


=4+5+6+7

1. Sabemos:

▪▪

a+b !

2

▪▪

2

a -b ! a = b

▪▪

K = 13 3

a2 - b2 ... (F)

a ... (V) b

2. m =

6 = 2

6 = 2

n=

15 = 5

15 = 5

3

p=

27 = 3 3 = 3 3

3

& mn = p

K = 2 3 + 10 3 + 5 3 - 4 3

a2 - b2

a2 - b2 =

&

2 - 8 +3 3 -6 9

2 + 2 -2 2 +3 3 -3 3

=

3

=0 Clave A

13. E =

5

30 + 40 + 50 + 60

5

1

E = 6^1 + 1 + 1 + 1h5 @ 5

2

E = (1 + 1 + 1 + 1 ) = 4 Clave E


30 + 23 - 33 + 18

14.

1 + 4 + 9 + 16 + 25

= 1 + 22 + 32 +

Clave C

12. 4 4 +

Clave A

3. E =

Clave C

11. K = 4 . 3 + 3 . 100 + 3 . 25 - 3 16

a . b ... (V)

a.b =

▪▪

a + b ... (F)

a+b =

&

` S = 22

a+ b

1 + 8 - 27 + 18 = 0

=

42 + 52

Clave B

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Clave C

4. P = 3 125 . 3 64 =

3

Clave B

9 + 16

Clave B

6. A =

6+ 9

`

6+3 =

17. M = 2.25 + 2 2 + 2.9 - 2.100

M = 5 2 + 2 2 + 3 2 - 10 2

9 =3

Clave A

M = 10 2 - 10 2 = 0

20 + 21 + 22 + 23 + 1

3 . 2 . 24

=

3 . 2 . 3.8 =

=

3 . 3 . 2 . 2 .2 = 3.2.2

Clave D


1 + 2 + 4 + 8 + 1 = 16 = 4 Clave C

9. R =

49 = 7

M = 5 2 + 2 2 + 3 2 - 10 2

3

2

=

1 + 3 + 9 + 27 + 9

=

Clave C Clave A

6+ 7+ 4 =

8.

=

1 . 4 + 9 . 16 = 1 . 2 + 3 . 4 = 2 + 12 = 14

30 + 31 + 32 + 33 + 9

16.

1

= 25 = ^52h2 = 5

7.

=2+2+2=6

Clave A

5. 32 + 42 =

1

1

= 2 + ^23 h 3 + ^2 4 h 4

53 . 3 43 = 5.4 = 20

4 + 3 8 + 4 16

15.

18. E =

3 . 2 . 3 .2 2

â + b h

a - b + â - b h a+b a2 - b2

â + bh2 â - bh

E=

` R = 12

a+b

+

a+b a-b

â - bh2 â + bh â - b h

a2 - b2

Clave C


17

a2 - b2 + a2 - b2 = 2 a2 - b2 = 2 a2 - b2 a2 - b2

E=

3

1 + 9

27. P =

3

8 27

= 1 +2 = 3 =1 3 3 3

Nos piden:

Clave B

(E - 1)2 = (2 - 1)2 = 1 Clave C

19. M = 64 + 3 - 10 + 2 + 5 = 64 = 8

1

1

1

28. 3 8 + 3 27 + 3 125 = ^23h3 + ^33h3 + ^53h3

= 2 + 3 + 5 = 10

T = 30 + 64 - 5 - 4 - 4 = 81 = 9

Clave A

Nos piden: M2 + T2 = 82 + 92 = 64 + 81 =145 Clave C


1

20. 21.

3

- 64 & -5 < -4

343

3

1000 & 7 < 10

3 . 27

4 3

- 125

3

3

5

30 b3l 4

3

312 & 9 >

36

m n p

40

25 9

P=

2.2.4.2

P=

32

m.n.p

a

32 4

x y

x32 y4

32

4

1

32. Introducimos al operador radical el factor x + 1 al cubo:

3 2 c m 5

= 5 - 3 = 25 - 9 = 16 3 5 15 15

8 +3 27

P = xy 8 Clave C

9 25

2

x-1

Clave C

27 64

3

2 3 c m +3 c m 3 4

140

3

100

3

3

26. M =

8+

M=

3

23 + 3 33 + 3 43

27 +

3

3 x - 1 # (x + 1) x + 1 (x - 1) 3

(x + 1) 2 (x - 1) 2

9 +3 16

8 = 27

1

1

3 2 2 3 3 2. 2 3. c m +3 c m = c m 2 +c m 3 4 3 4 3

= 3 + 2 = 9 + 8 = 17 4 3 12 12 Clave B

1

= Clave A

Clave C

1 + 9

34.

M=2+3+4=9

18 Intelectum 1.°

F=3

33.

64

x-1 x+1 c m x+1 x-1

Clave C

140

3

F=3

Clave A

20 = 3 100 3 20

7 M = 35 = 37 .3-5 = 32 = 9 3

3

Simplificamos: F = 3

3

= 2 + 3 = 8 + 9 = 17 3 4 12 12

25. M = 20

a =

P = x 32 y 32

= c 5 m 3

3

2

31. Sabemos que:

Clave E

=

2

Clave A

125 & 3 < 5 4 2 8

P = 2x2

24. E = 3

2

A = 24

3

= x 36 + x 20 = x2 + x2

23. E =

2

10 + 2 10 2 + 2 + 10 - 2 10 2 + 2

A = 10 + 2 20 + 2 + 10 - 2 20 + 2

x72 + 20 x40

72

Clave B

30. A =

Razonamiento y demostración 22. P =

1

= 1 + 2 + 3 + 4 = 10


3

1

29. 3 1 + 3 8 + 3 27 + 3 64 = 1 + ^23h3 + ^33h3 + ^43h3

^3

1 2h 2

1 = 25 +

1 ^5

1 2h 2

1 + 32

1 52

=1+1 = 8 3 5 15 Clave C

9 + 4

35. E =

32 + 22

E=


16 9


42 = 32

3 2 c m + 2

E = 3 + 4 = 9 + 8 = 17 2 3 6 6 36. P =

3

8 - 3 27 + 3 64

=

3

23 - 3 33 + 3 43

42. ▪ Homogenización de radicales.

4 2 c m 3 Clave C

Clave C

37. 3 64 + 3 216 + 3 125

=

3

4 +

3

3

6 +

3

5

Clave C

Razonamiento y demostración 44. 2x = 4 16

3

2x = 21

Clave D

2 38. K = `^2 6 h - 2.2 6 . 3 +

` x=1

2 3 j + 4 18

Clave E

K = 24 - 4 18 + 3 + 4 18 K = 27

Clave E

4.2b & N = 2a 3a 2b

2b

N= a b N=

45.

16 = 2x + 2

4

1

^ 2 4 h 4 = 2x + 2

21 = 2x + 2 & 1=x+2 ` x = -1

2b 3a

a 2 . 2b b 2 3a

2b = 3a

Clave B

46. M =

2a 3b

4

16 + 4 81 + 4 1

= 4 24 + 4 34 + 4 1 M=2+3+1=6

Clave C


Clave E

40. Si es cuadrado perfecto, entonces:

Polinomio = P 25x20 + lx18 + 4x16 - 70x10 - 28x8 + 49 5x10

2x8

10

8

5x

18

2x 10

8

47. E =

35 + 410 - 9 33 48

=

32 + 42 - 9 =

=

16 = 4

-7 -7 10

4

2x = 4 24 = 2 4 = 21

= 4 + 6 + 5 = 15

39. N = a

Raíz de una fracción. Raíz de raíz. Raíz de un producto. Introducción de factores en un radicando. Reducción de radicales semejantes. Simplificación de radicales. Exponente fraccionario.

43. Son correctas II y IV.

=2-3+4=3

3

▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪

8

9 + 16 - 9 Clave D

18

lx = 5x . 2x + 5x . 2x = 20x & l = 20 Nos piden: l2 = (20)2 = 400

48. n ^22 + 23 + 24h Clave A

n

= 22 + 23 + 24 = 4 + 8 + 16 = 28

41. De la expresión:

m+ n - m- n -3 = 0 49. M =

Elevamos al cuadrado miembro a miembro:

32

= 2 k + 2 16

2m - 2 m2 - n = 9

M = 22 + 22 = 4 + 4 = 8

m2 - n = 9 2 2 2 bm - 9 l = _ m2 - n i 2

m2 - 9m + 81 = m2 - n 4 n = 9m - 81 4 ` 4m - 9 = 4n 9

22k + 16 232 2k

m + n - 2 m2 - n + m - n = 9

m-

k

Clave C

36 + 49 + 81 + 100 4 + 9 + 16 - 1

50.

62 + 72 + 92 + 102 22 + 32 + 42 - 1

=

Clave C

Clave B

= 6 + 7 + 9 + 10 = 32 = 4 8 2+3+4-1


Clave B

19

51. P =

5

P=

5

a20 b25 = 5 a20 .a-10 .b25 .b-15 a10 b15 10

3

81 + 8 + 25 + 10 - 1 + 2

M=

3

125 = 5 Clave D

a10 .b10 = 5 âbh10 = âbh 5 = âbh2

Clave B

52. S =

8

2 + 4 + 256 - 10 - 16 + 20

S=

8

256 = 8 28 = 2

57. Simplificamos:

K = 3 20 + 14 2 Clave C

53. N =

3

2 + 63 3

16 + 8 3 81

N=

3

2 +6 3 3

24 + 4.2 3 34

N= 3 3

2 +6 . 2 3 3 3 2 + 43 3

N = 3 . 33 N = 33

1 - 43 12 1 - 2.2 3 12 23 - 2. 3 12

2 +43 3 2 +43 3

9.23 - 3 18 4

c-d = 6-5 = 30

2

2

2

2

^ 3 4 5h +^ 2 4 7h + 2

=

^ 3 4 5 h + ^ 2 4 7 h + 2^ 3 4 5 h^ 2 4 7 h

=

^ 3 4 5 + 2 4 7h =

2

5 & cd = 1 6 1 30

Nos piden:

2 2 ab _b + a i E = a2 b + b2 a = cd _c - d i c d-d c

3 2 .4 7 4 5

Reemplazamos: 5 E = 6 = 5 30 1 6 30 ` E=5 5 Clave E

34 5 + 24 7

59. x = 1 ;

a b

2

= 4 45 + 4 28 Clave D

bE a

x = 1 ca-bm 2 ab

Nos piden:

55. Sabemos que:

24

6 / d= 5

c=

=

3 & ab = 1 2

a+b = 2+3 = 5 6 6

2 - 2 3 18 - 3 18 3

54. 3 5 + 2 7 + 2 6 35

3.4.5

2 / b= 3

58. a =

2.33 - 3 3 18 = 3 3 18 - 3 3 18 3

6.8.10

]20g2 - ^14 2 h


Clave C

& M=

2

3

Clave E

9 - 3 18 4

2 - 3 3 18 3

a =

20 - 14 2

=3 8 =2

N=0

m n p

=

9 - 3 18 4

2 - 3 3 18 3

N = 93

3

= 3 ^20 + 14 2 h^20 - 14 2 h

N=

56. M =

m.n.p

V=

a

a24 = a3

480 60

a24 a3

1

20 480 M= a 3 = a1 =1 a 60 a 20 ` M=1

Clave D

20 Intelectum 1.°

x2 + 1

V=

1 a-b 2+1 4 c ab m

V=

1 c a2 - 2ab + b2 m + 1 4 ab

V=

a2 + 2ab + b2 = 4ab

V = a+b 2 ab

â + bh2

4ab

Clave C

Racionalización 10. Racionalizamos

PRACTIQUEMOS Comunicación matemática 1. Falso: F

Denominador (m = 5) = 5 - 9 = -4 + Denominador (m = 7) = 7 - 9 = -2 -6

Al factor racionalizante se le denomina conjugado y no opuesto del denominador. Verdadero: V Si, se puede racionalizar a los numeradores; pero lo común es racionalizar denominadores. Por teoría, en la racionalización de fracciones de la forma. se debe cumplir: a > b.

a

Comunicación matemática A)

A cb Clave D

2.

Razonamiento y demostración 8 = 8 2 =8 2 = 4 2 3.2 3 3 2 3. 2 . 2

Clave A

Nivel 2 (página 51) Unidad 2 11.

Falso: F

3.

m -3 = m -3 1 e o m-9 m +3 m -3

1 = m +3


7

5 = 53

7

7 54 = 7 625 (V) 5 e o 3 7 54 5

7 +1 = 6 e o 7 -1 7 +1

B)

6 = 7 -1

C)

- 10 = 5- 6

D)

1 10

7 + 1

(V)

- 10 5 + 6 = 10^ 5 + 6 h (F) e o 5- 6 5+ 6

4 = 1 - 2 = - 10 (V) 10 10 10

Lo incorrecto es la alternativa C.

Clave E

Clave C

4.

5.

6.

12 = 12. 3 = 12 3 = 2 3 2.3 2 3 2. 3 . 3

3

2 .3 9 = 3 3 3 9

Clave C

5 +2 1 = = 5 - 2 ( 5 - 2) ( 5 + 2)

1 = 5 -2

2 = 8

13. A = 3. 3

3. 3

14. M = Clave A

5 +2 = 5 +2 2 5-4 5 - 22

15. A =

A=

conjugada

`

Clave C


18 3

(3 + 7 ) 2 (3 + 7 ) 2 = = 3+ 7 # (3 - 7 ) (3 + 7 ) 32 - 7

7.

8.

3

12. Revisando la teoría Clave D

5 +2

A= Clave C

2 8 =2 8 = 8 =2 2 = 2 8 4 4 2 8. 8

9.

=

2

Clave C

5 2 +3 2 = 5 2 +3 2 = 8 2 =4 2 2 2 2 2 2. 2

Clave D

16.

Clave E

2 2 5- 2 2 2 . 5+ 2 5- 2 5+ 2 2 2 ( 5 + 2) 5-2

10 + 2 = 3^ 10 + 2h 3 e o 10 - 4 10 - 2 10 + 2

3 ^ 10 + 2h = 6

3- 3 =0

A = 2 10 + 4 3

Clave A

( 15 - 10 ) 5 # ( 15 + 10 ) ( 15 - 10 )

Resolución de problemas 3 = 10 - 2

- 3 = 3. 3 - 3 = 3

=

5 ( 15 - 10 ) = 15 - 10 5

Clave E

17. S = 5 + 7 3

10 + 2 2

3

3

= 5. 3 + 7 3 = 5 3 + 7 3 = 12 3 3 3 3 3 3. 3

Nos piden: 4(2) = 8 Clave E

S=4 3 Clave E


21

18. V = 16 - 8 2

III.

2

V = 16. 2 - 8 2 = 16. 2 - 8 2 2 2. 2

3

Clave E

19.

1 = a b c d

7

5 2 3

=

7 a2 b5 c4 d6 1 e7 2 5 4 6 o a b c d a b c d

7

5 2 3

7

2 5 4 6

a b c d abcd

=

1 m

5 3

7

5

15m

1

=

15m

7

5

e 15m

715m - 5 = o 715m - 5

15m

715m - 5 7

Clave B

=

11 - 2 9 e o 11 + 2 11 - 2

9 _ 11 - 2 i = 11 - 2 11 - 2

8 _ 11 + 3 i = 11 + 3 11 - 3 <

11 - 2

11 + 3


Por dato, la cantidad subradical es de la forma:

23. = 3. 3

7tm - p = 715m - 5

3. 3

& t = 15 p = 5

+

2^ 5 - 3 h ^ 5 + 3 h^ 5 - 3 h

3. 3 + 2^ 5 - 3 h 2 2 3 ^ 5h -^ 3h

Nos piden: t = 15 = 3 p 5

3+

Clave C

2^ 5 - 3 h = 5-3


=

3+

2^ 5 - 3 h 2

3+ 5- 3 =

5


4 ab3 c 3 a

<

11 + 3 8 8 = d n 11 - 3 11 - 3 11 + 3

/ exp. de denominador (abcd) = 1 + 1 + 1+ 1 = 4

20.

9 = 11 + 2

IV.


4 = 3 43 ab c a a 4 b9 c3

4 a2 b3 c 3 a

V = 8 2 -8 2 = 0

4 = 2 34 3 a b c a a7 b 9 c 3

3

Clave D

15 I y II. Son incorrectos, el índice debe ser mayor que el exponente de la base en 24. ^ 5 + 2 h^ 7 - 2 h + 14 - 35 el radicando para racionalizarlos. 15.^ 5 - 2 h .^ 7 + 2 h III. Incorrecto, la racionalización se realiza multiplicando numerador y = + 14 - 35 denominador con la conjugada del denominador. ^ 5 + 2 h^ 5 - 2 h^ 7 - 2 h^ 7 + 2 h IV. Correcto, el índice si es mayor con cada exponente de los factores en el 15^ 5 - 2 h^ 7 + 2 h radicando. = + 14 - 35 ^5 - 2h^7 - 2h

22.

I.

7 = x3 y 2

7

7 7

7

7 = x2 y 4 5

x y

7 x 4 y5 7 7 x 4 y5 7 = f p xy x3 y 2 7 x 4 y5

7 x2 y

7

7

<

f7 7

5 6

x y

x5 y6

p=

7

3+ 2 = 1 e o 3- 2 3+ 2

3- 2 1 1 = d n 3+ 2 3+ 2 3- 2

= 3- 2 = 3- 2 3-2 >

Clave A

25. A = 17 - 5 3 = 17 3 - 5 3

3

x y

3+ 2

= 35 + 10 - 14 - 2 - 35 + 14 = 10 - 2

5 6

1 = 3- 2

3+ 2 = 3-2

3+ 2

3

3. 3

3

A = 17 3 - 5 3 = 12 3 = 4 3 3 3 3

Clave C

26. Dando forma:

6+2 3 = 2 3 - 3

2 3 ^ 3 + 1h 3 ^ 3 - 1h

Racionalizamos: 2^ 3 + 1h^ 3 + 1h = ^ 3 - 1h^ 3 + 1h

3- 2

22 Intelectum 1.°

15^ 35 + 10 - 14 - 2h - 35 + 14 3.5

5 6

7 x y xy

II.

=

3 +1 Clave B

MARATÓN MATEMÁTICA (página 53)

27. ^5 - 24 h^ 75 + 50 h

1.

75 - 50

5^5 - 2 6 h^ 3 + 2 h^ 3 + 2 h 5^ 3 - 2 h^ 3 + 2 h

=

II.

Desarrollamos:

2

6

6

Nos piden: 7 4

A =c =

4

7

7 84 = 4 7 84 = 4 e o 3 7 8 84 8

4 7

7 4

7 4

84 m = e 8 o = 2 2

4

4

4

4 = 23

4

8 = 27

7

84 2

Trinomio cuadrado (a - b)2 Clave B 2

Clave B

3. Factorizamos por aspa simple:

Clave C

^8 - 2 15 h^ 5 + 3 h

1

5- 3 ^8 - 2 15 h^ 5 + 3 h

=

=

=

= 64 - 60 = 4 = 2 2 2 1

5- 3

e

5+ 3 o 5+ 3

M

0

0

Por el teorema del resto: x2 - 1 = 0 & x2 = 1 Damos forma a la división: (exacta)

& N + 28 = 0 N = -28 M ` = 14 = - 1 N - 28 2

^8 - 2 15 h^8 + 2 15 h

2

& 3(x2)9 + 7(x2)5 + x2 Reemplazamos x2 = 1: R(x) = 3(1)9 + 7(1)5 + 1 = 11

M = 14

2

18 10 2 10. 3x +27x + x

x -1

N

0 -14 28 7 M - 14 N + 28

& M - 14 = 0

^8 - 2 15 h^5 + 2 15 + 3h

Nos piden: 2 + 1 = 3

0

Clave C Clave A

11. Se observa que -3 es cero del polinomio,

dividimos por Ruffini. 1

5. Por el método de Horner.

1 1 2 -1 0 -2 -2 -2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -2

Clave A

4

3

7-2 7 5 +5 Clave D

4. Dividimos aplicando Horner.

2

^ 7 - 5h

= 12 - 2 35 Clave C

7 7 2 45 -2 -2 4 4 0

2

^ 7+1+2 7$1 - 5+1+2 5$1h

& a=7 y b=1 à-b=7-1=6

2 4 2 4 e4 o= 2 2 23

9. ^ 8 + 28 - 6 + 20 h

^ 7 + 1 - ^ 5 + 1 hh

7x2 - 5x - 2 7x +2 x -1 (7x + 2)(x - 1) / (ax + 2)(x - b)

8 24 ·23

4

=24 2

30.

-2ab + a2 + b2

& (b + c - a)(y - x)(y + x) ` Posee 3 factores primos.


(a - b) 2 (a + b) 2 + 2b2 + (a + b)(a - b) 2 2 - 4ab + 2b2 + a2 - b2 2

(V)

(y - x)(y + x)

Clave D

7

8.

& (b + c - a)(y2 - x2)

T = 63 - 27 = 36

7

3+ 2+ 2- 3 =2 2

Factorizamos: (b + c - a)

6

T = 9.7 - 3 2 = 9.7 - 33

4 = 83

& En la expresión:

2. -(b + c - a)x2 + (b + c - a)y2

6

T = ^3 7 h - ^ 3 h

29. A =

^4 2 - 4 3 h (4 2 + 4 3 ) = ^ 2 - 3 h (diferencia de cuadrados)

Clave B

V. 6 + 7 + 8 = 21

6

T = ^4 7 - 7 h - ^ 3 h 2

6

1 -8 7 8 8 0

IV. P(x) = 6x + 7x + 8 & P(6) = 6 . 62 + 7 . 6 + 8 = 266 (F)

T = c 28. 7 - 7 7 m - c 3. 3 m 7 7 3 2

1 6 7

2

3. 3

2

6

III. (V)

28. T = e 28. 7 - 7. 7 o - e 3. 3 o

7. 7

1

6x + 7x + 8 = 6x2 + mx + 8 / P(x) & m = 7 (V)

Clave B

5 + 24 = 5 + 2 6 = 3 + 2 (radical doble)

2

^5 - 2 6 h^5 + 2 6 h = 25 - 24 = 1

7. 7

7.

I. V

2

-3

1

5 3 -9 -3 -6 9 2 -3

0

& El polinomio es:

(x2 + 2x - 3)(x + 3) 3 x x -1 Clave A (x + 3)(x - 1)(x + 3) = (x + 3)2(x - 1) factor de

& x +22x - x - 2 = tiene por resto -2. x + 2x - 1 6.

6 + 3 proviene de: (6 + 3) + 2 6 $ 3 = 9 + 2 18

Clave C

multiplicidad 2


Clave C

23

Unidad 3

Ecuaciones de 1.er grado - Planteo de ecuaciones

9. 5x + 3x - 3 = 4x - 8

PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 58) Unidad 3 Comunicación matemática

8x - 3 = 4x - 8

1.

2.

C

F

Y

B

N

J

A

C

I

O

N

K

O

Z

S

T

A

R

D

Q

D

A

D

L

A

U

G

I

C

A

W

I

T

A

Y

I

P

Q

C

G

R

S

Z

I

X

H

C

D

E

C

K

T

L

D

T

R

A

S

D

K

N

V

B

V

F

C

H

A

B

G

L

F

B

E

I

O

S

E

R

P

E

I

N

Q

X

F

R

M

N

X

I

N

O

I

C

I

S

O

P

S

N

A

R

T

S

C

I

D

E

N

O

E

I

N

K

F

N

A

I

L

A

C

A

X

Z

J

B

C

Y

A

Q

U

V

D

T

U

D

P

L

E

C

U

A

C

I

R

G

L

A

H

C

E

F

O

S

P

H

R

O

R

M

I

V

D

Y

E

A

D

W

M

L

G

R

P

N

A

T

A

N

J

O

I

N

C

O

G

N

I

T

A

I

R

G

Q

T

K

H

X

J

Z

M

E

I

V

Y

G

I

H

S

Z

N

E

T

N

E

D

N

E

C

S

A

R

T

J

M

I. (V) 2x + 3 = 28 - 3x 2x + 3x = 28 - 3 5x = 25 x=5 II. (V) III. (F), la ecuación inicial NO presenta variables en su denominador.

4x = -5 & x = - 5 4

10. 6x + 15 = 8x + 10 + 9

15 - 19 = 8x - 6x -4 = 2x & x = - 2 Clave C

11. Resolviendo:

8x - 5 = 1 + 3 + 5 + 2 3 8x = 16 & x = 6 3

` CS = {6} Clave A

12. -8 + 9 - 18 = 7x - 4x

-17 = 3x ` x = - 17 3

4(x - 1) + 2(x + 3) - 5(x - 1) = 10 4x - 4 + 2x + 6 - 5x + 5 = 10 x=3 ` CS = {3} Clave A



14. Sea el número: x

3. 3x + 2 + x + 1 = 2x + 4 + x + 3

x + 8 = x = 5x 3 3 5

4x + 3 = 3x + 7

4x - 3x = 7 - 3

` x=4 Clave E

4. 6x - 12 = 2x + 8

& 3x + 24 = 5x 24 = 2x ` 12 = x Clave B

6x - 2x = 8 + 12 4x = 20 & x = 5

5. x - 5 = 24 & x = 29

Clave A

13. Resolviendo:

Clave C

Clave B

Clave A

t + s . (A) = v

15.

Costo Kilómetro de los adicional primeros r kilómetros

Clave D

6. 4x + 9 = 3x - 3

A = v-t s

x = -3 - 9 & x = -12

`r+A=r+

Clave A

7. 4x + 12 = 9x + 7

^ v - th

s

Clave B

5 = 5x & x = 1 Clave C

8. 3x + 6 - 20 + 35x = 8

38x - 14 = 8 38x = 22 & x = 11 19

24 Intelectum 1.°

Clave E

16. Del

ABC, se cumple: θ - 30° + q = 90° c m 2 q = 80° θ - 30° = 10° 2

Clave C


24. x - 3x = x - 6

2


5

2

5x - 6x = 5x - 30

17. I. (F)

9x - 5 = 4x + 7 3 2 3x - 5 = 2x + 7

6x = 30

x=5 Clave E

3x - 2x = 5 + 7

x = 12

3-x = 8 4-x 7

25.

II. (F) 9x = 3x; 4x = 2x 3 2

7(3 - x) = 8(4 - x) 21 - 7x = 32 - 8x 8x - 7x = 32 - 21

III. (V)

x = 11

La ecuación propuesta no es una identidad, por consiguiente es una igualdad condicional. Clave D

Clave C

26. Resolviendo:

7x + 3 = 24 2

18.

& 7x = 21 & x = 6 2

Razonamiento y demostración 19. Resolviendo:

` CS = {6}

6x - 1 = 17 5 6x = 18 & x = 15 5

Clave B

27.

` CS = {15}

2

x2 + 6x + 9 - 5x = x2 + 15

x - x2 + 6x - 5x + 9 = 15

x + 9 = 15

Clave E

x = 15 - 9

20. Resolviendo:

` x=6

x -1 - 4 = 2 3 x -1 = 6 & x = 19 3

Clave B

Resolución de problemas 28. Costo de camisas: C

` CS = {19}

Costo de pantalones: C + 13

Clave D

& 15(C + 13) + 7C = 415 15C + 195 + 7C = 415

21. 2x - 3 = 11

x+1

8

22C = 220

8(2x - 3) = 11(x + 1)

16x - 24 = 11x + 11

` Un pantalón cuesta: C + 13 = 10 + 13 = S/.23

16x - 11x = 11 + 24

C = 10

5x = 35

Clave C

` x=7 Clave E

29.

2.° +

22. x2 + 4x + 4 - 3 = x2 + 17

α

4x + 1 = 17

4x = 17 - 1

4x = 16

1.er +

` x=4 Clave E

23. (x + 7)(x + 1) = (x + 2)(x + 5)

8x - 7x = 10 - 7 x=3

18° + Cα

3.er +

De la figura: (a - 12°) + a + (18° + 90° - a) = 180°

x2 + 8x + 7 = x2 + 7x + 10

α - 12°

a = 84°

a - 12 = 72°

18° + Ca = 24°

Ca: complemento de a Clave E


Clave D

25

15(2x + 1) = 5 . 2


2x + 1 = 2 3

30. 31. LA INCONTRASTABLE

2x = 2 - 1 3 2x = - 1 & x = - 1 3 6

Clave C

A la ciudad que se le conoce con este nombre es: HUANCAYO.

Clave E

Razonamiento y demostración 38. Aplicando la identidad (a + b)2 / a2 + 2.ab + b2 en ambos miembros:

32. MCM(3; 7) = 21

21 c 2x - 4x = 4 m 3 7

x2 + 2 . x . 5 + 52 = x2 + 2 . x . 3 + 32 + 36 Eliminamos los términos repetidos en ambos miembros:

14x - 12x = 84

x2 + 10x + 25 = x2 + 6x + 9 + 36

2x = 84

` x = 42

Transponemos terminos agrupando en un miembro todas las incógnitas y en el otro todas las cantidades conocidas: 10x - 6x = 9 + 36 - 25 & 4x = 20

Clave B

33. ax - 1 = a

1 - bx

` x=5

b

Clave E

b(ax - 1) = a(1 - bx) 39. Del enunciado:

abx - b = a - abx

16x - 20 - 20x2 + 25x = 70x - 20x2 - 21 + 6x

abx + abx = a + b 2abx = a + b `x = a + b 2ab

Clave A

x +4 34. 2 = 13 + 8 5 x + 4 = 105 & x = 101 2 2

40.

1 = 35x

` x = 1/35

2

Clave C

(x - 2)2 = (x + 3)2 + 5

x - 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + 5 -9 - 5 + 4 = 6x + 4x -10 = 10x -1 = x

Clave E

35. Resolviendo:

Clave B


3x - 6 = 3 4x + 3 5

41. n.º muebles: 4m

vende: 1 ^4mh = m 4

Multiplicando en aspa: 15x - 30 = 12x + 9 3x = 39 x = 13 ` CS = {13}

n.º muebles que quedan: 4m - m = 21 3m = 21 m=7 n.º muebles: 4(7) = 28 ` Tenía 28 muebles.

Clave E

36. Resolviendo:

Clave D

3x + 4 = 7 -1 = 8 c m 2x + 1 8 7

2.°+

42.

Multiplicando en aspa: 21x + 28 = 16x + 8 5x = -20 & x = -4 ` CS = {-4} Clave C

26 Intelectum 1.°

` x = 202

2 37. 2x + 1 = 7 5 15 7 2x + 1 = 7.2 = 2 5 15.7 15

41x - 20 = 76x - 21

α

er

1. +

α + 6°

3(6°+ 2α)-4°

3.er +

La suma de las medidas de los ángulos internos es 180°: (a + 6°) + a + 3(6° + 2a) - 4° = 180° & a = 20° a + 6 = 26° 3(6° + 2a) - 4° = 134° Clave E

Sistema de ecuaciones lineales 10. 6x + 8y = 60

PRACTIQUEMOS

(+)

6x - 8y = 12 12x = 72 & x = 6


A

E

J

B

E

K

Y

C

I

F

Z

J

A

F

N

O

I

C

A

L

A

U

G

I

M

L

R

G

H

D

B

F

S

C

O

G

T

L

H

S

N

O

I

C

U

T

I

T

S

U

S

X

U

I

P

X

M

E

H

P

N

E

Q

N

G

S

P

D

E

R

J

D

O

V

R

O

D

T

T

Q

S

Y

D

T

I

Y

N

Q

W

O

Z

Q

S

U

S

T

C

N

R

W

D

E

R

L

Z

M

S

T

C

M

Z

L

U

I

V

W

A

X

B

A

U

A

C

V

C

Y

Z

K

R

U

L

R

D

U

F

I

G

U

A

L

G

H

G

X

E

U

I

B

S

J

V

T

K

R

S

I

R

W

K

R

E

D

U

C

C

O

N

P

W

Clave A

11. 2x - y = 4

...(1) x + y = 5 ...(2) Sumamos (1) y (2): 3x = 9 & x = 3 Reemplazamos x = 3 en (2): 3+y=5&y=2 ` xy = 6 Clave C

Resolución de problemas 12. A - B = 328 A B

20 12

&

. A = 12B + 20

A - B = 328 A - 12B = 20

(-)

11B = 308 B = 28 & A = 356

2.

` A + B = 356 + 28 = 384

Razonamiento y demostración 3. x + y = 5

x - y = 1 (-) 2y = 4 & y = 2

13. A + B = 103 Clave A

4. x + y = 20

x - y = 8 (-) 2y = 12 ` y=6

5. x + y = 3

5x - 2y = 8

Clave C

2x + 2y = 6 (+) 5x - 2y = 8

4x - 3y = 18 8x = 48 ` x=6

A B 5 13 . A = 13B + 5

A + B = 103 (-) A - 13B = 5 14B = 98 B = 7 & A = 96

` n.º mayor es 96.

7x = 14

`x=2

6. 4x + 3y = 30

&

&

Clave B

Clave C

Clave C


(+)

14. Resolución:

▪▪ Del dato: Clave D

4(a + b = 3) 5a - 4b = 24 (+) 4a + 4b = 12 9a = 36 & a = 4 Clave E

(+) x - 3y = 2 2x = 10 & x = 5

x2y - 1 = 321 0 x2y - 1 = 25 x = 32 x=2 & 2y - 1 = 1 & 2y - 1 = 5 y=1 0 y=3 ▪▪ Los valores de y pueden ser 1 ó 3. ` I y III Clave C

Clave B

9. x + y = 60

(-) x - y = 24 2y = 36 & y = 18

x # y = 32

x2y - 1 = 32 ▪▪ Como x e y tienen que ser enteros positivos, entonces existen dos posibilidades:

7. 5a - 4b = 24

8. x + 3y = 8

15. Resolución:

▪▪ Del enunciado: El triple del menor excede en 12 al mayor Clave B

3y =

12

+

x


27

Dato: x: mayor y: menor x > y & x + y = 84 3y = 12 + x

23. 3m + 2n = 24

2(5m - n = 27) Luego: 3m + 2n = 24 10m - 2n = 54 (+) 13m = 78 & m = 6

Clave III

Razonamiento y demostración 16. 7x - 5y = 23

5(2x + y = 9)

7x - 5y = 23 & 10x + 5y = 45 (+) 17x = 68 &x=4

24.

Clave A

Clave D

9y + 2x = 42 2(7y - x = 25) & 9y + 2x = 42 (+) 14y - 2x = 50 23y = 92 & y = 4

17. 2(3x - 5y = -11)

-3(2x - 8y = -26) & 6x - 10y = -22 -6x + 24y = 78

Clave D

(+)

Resolución de problemas 25. A - B = 40 / A > B

14y = 56 & y = 4

A - 4 = 4B & A - B = 40 A - 4B = 4

Clave B

18.

8x + y = 2 -2(4x - 3y = -34) 8x + y = 2 (+) -8x + 6y = 68 7y = 70 & y = 10

3B = 36

B = 12 & A = 52 ` A . B = 52 . 12 = 624

19. 9b - 2a = 17

12b + a = 41

Clave A

Dinero que tengo: T Del enunciado: 15 . P = T + 10 (-) 10 . P = T - 15

...(1) ...(2)

5P = 25

P = 5 & T = 65

` Dinero que tenía: S/ 65

Clave C

6x - y = 51

...(1) ...(2)


28.

Clave A

...(1) ...(2)

28 Intelectum 1.°

Igualando obtenemos: 18x + 27 = 65 - 20x 38x = 38 x=1 Hallamos y: y = 18x + 27 = 3 15 Piden: x2 + y = 1 + 3 = 4

Multiplicamos por 3 a (1): 36x - 3y = 150 (+) 8x + 3y = 70 44x = 220 x=5

…(1) …(2)

De (1): y = 18x + 27 15 De (2): y = 65 - 20x 15

Multiplicamos por 3 a (1) y por 2 a (2): 24m - 6n = 60 (+) 14m + 6n = 130 38m = 190 m=5

8x + 3y = 70

Razonamiento y demostración 29. 18x - 15y = -27

20x + 15y = 65

...(1) ...(2)

22. 12x - y = 50

Clave D

27.

Clave C

7m + 3n = 65


Multiplicamos por 4 a (2): 5x - 4y = 14 24x - 4y = 204 (-) -19x = -190 x = 10 21. 8m - 2n = 20

Clave B

26. Precio del chocolate: P

Multiplicamos por 4 a (1) y por 3 a (2): 36b - 8a = 68 (-) 36b + 3a = 123 -11a = -55 a=5 20. 5x - 4y = 14

(-)

Clave D

Clave D

y 30. x + = 1

&

y = b1 - x l b a

x - y = 1 b a

&

y = b x - 1la b

a

b

Reemplazando (1) en la ecuación (2): 2x + 3(10 - 4x) = 0 2x + 30 - 12x = 0 30 = 10x

Clave D

Entonces: b - bx = ax - a b a

34. 5(6a + 7b = 15)

7(8a - 5b = -23)

a + b = d a + b nx

b

a

2

30a + 35b = 75 86a = -86

ab

ab _a + b i

` a = -1

Clave C

a2 + b2 Resolución de problemas

` El numerador de x es: ab(a + b)

Clave A

31. 4x + 5y = 25

...(1)

7x - y = 34

...(2)

...(1)

_x + 1i 2 x + 1 = 2y - 2 ...(2)

Mi hermana: (y - 1) =

39y = 39

` y=1

Clave E

(1) en (2): x + 1 = 2(2x) - 2 x + 1 = 4x - 2 3 = 3x 1=x & y=2 ` Son 4 hijos en total: x + y + Pedro = 1 + 2 + 1 = 4

...(1)

3x + y = 11 & y = 11 - 3x ...(2)

Reemplazamos (2) en la ecuación (1):

Clave B

36. 5x - 4y = -14 …(1)

2x + 3y = k Dato: y = 3x

6x - 4(11 - 3x) = 10 6x - 44 + 12x = 10 18x = 54 ` x=3

Clave D

33. 4x + y = 10 & y = 10 - 4x ...(1)

2x + 3y = 0

Hermanas x y Tengo: y = 2x

7(4x + 5y = 25) & 28x + 35y = 175 (-) 4(4x - y = 34) & 28x - 4y = 136

32. 6x - 4y = 10

35. Hermanos

Pedro dice:

7(1) - 4(2):

(+)

56a - 35b = -161

2

a + b = d a + b nx

& x=

` x=3

...(2)

…(2)

Reemplazamos en (1): 5x - 12x = -14 -7x = -14 x=2 Reemplazamos en (2): 2x + 3(3x) = k & k = 11x = 11(2) = 22


Clave E

29

ECUACIONES DE 2.° GRADO - Planteo de Ecuaciones 10. x2 - 4x - 5 = 0

PRACTIQUEMOS

-5 x x 1 (x - 5)(x + 1) = 0 & x = 5 0 x = -1


A

M

T

N

R

A

I

C

X

E

S

B

I

K

B

S

G

R

A

D

O

L

R

K

A

T

O

L

U

H

Z

Z

G

O

Y

C

U

A

D

R

A

T

I

C

O

Q

D

Y

N

F

D

E

D

P

X

R

V

N

H

C

S

Q

O

L

Q

I

Q

K

D

J

M

G

D

F

I

O

R

N

R

S

S

S

P

O

R

C

R

E

S

T

L

T

I

D

L

C

O

X

F

E

O

A

P

F

G

U

P

M

A

I

R

L

I

S

U

C

M

E

N

Y

J

E

R

U

N

I

U

J

E

I

N

A

N

F

I

B

F

E

C

E

M

C

X

C

V

Z

E

D

J

M

H

E

T

N

A

N

I

M

I

R

C

S

I

D

R

P

I

Z

G

L

G

O

S

A

E

O

C

E

N

E

J

S

G

Y

V

L

N

E

R

N

B

E

N

K

T

K

A

C

L

O

V

E

G

H

I

H

X

T

B

U

O

D

N

U

G

E

S

U

M

L

U

M

E

D

A

` La menor raíz es -1.

Clave E

11. x2 + 3x - 4 = 0

4 x x -1 (x + 4)(x - 1) = 0 & x = -4 0 x = 1 ` La mayor raíz es 1. Clave D

12. x2 + 7x + 12 = 0

4 x x 3 (x + 4)(x + 3) = 0 & x = -3 0 x = -4 ` La menor raíz es - 4.

Clave E

Resolución de problemas 13.

2. • Sean los números: x; x - 11

▪▪ Mostrando los datos del enunciado en el diagrama:

• Por dato: x2 + (x - 11)2 = 2581

B

3. • Sean los números: N; N - 10

• Por dato: N(N - 10) = 119

4

a

2

4. x + 2(-x) = 528

x2 - 2x = 528

A

▪▪

6. N(20 - N) = 99


` El cateto mayor mide

+3 +2

14. x(x + 2) = 24

x2 + 2x - 24 = 0 x -4 x +6 (x - 4)(x + 6) = 0 x = 4 0 x = -6

x+3=00x+2=0 x = -3 0 x = -2 ` CS = {-3; -2} Clave A

` El mayor positivo es 4, piden: 4 + 2 = 6

8. x2 - x - 2 = 0

Clave B

x -2 x 1 (x - 2)(x + 1) = 0 & x = 2 0 x = -1 ` La menor raíz es -1.

Nivel 2 (página 68) Unidad 3 Comunicación matemática Clave D

15. 16. I. 2x2 - x + 1 = 0

3 x x -2 (x + 3)(x - 2) = 0 & x = 2 0 x = -3

x =

` La mayor raíz es 2.

30 Intelectum 1.°

33 m. Clave C

(x + 3)(x + 2) = 0

ABC: teorema de Pitágoras

42 + a2 = 72 a = ! 33

7. x2 + 5x + 6 = 0

9. x2 + x - 6 = 0

C

Donde “a” es el cateto mayor.

5. N + N2 = 110

x x

7

Clave E

- (- 1) ! (- 1) 2 - 4 (2) (1) 2 (2)

x = 1 ! 7 i …(F) 4

II. Toda ecuación cuadrática tiene 2 raíces, no siempre tiene 2 soluciones.

…(F)

III. 3x2 - 6x + 12 = 0 - (- 6) x1 + x2 = = 2 …(F) 3

25. 2x2 + 6x - 1 = 0

Usamos fórmula general: x1; 2 =

x1; 2 = - 6 ! 2 11 = - 3 ! 11 4 2

18. ▪ Sean los números: N; 891 N

891/N

48

2_2 i

x1; 2 = - 6 ! 44 4

Clave A

17. N + 4 N = 21

▪▪ Del enunciado: N

- 6 ! 6 2 - 4 _ 2 i_- 1 i

Clave D

Resolución de problemas 26. 3x2 - 3x + 6 = 0

3

x2 - x + 2 = 0

& N = b 891 l 3 + 48 N

2

x1; 2 =

19. ▪ Sean los números: N; 270

N

= 1! 1-8 2

▪▪ Del enunciado: N = b 270 lb 6 l N 5

- _- 1 i ! _- 1 i - 4 _1 i_ 2 i 2

x1 = 1 + 7 i 2

Razonamiento y demostración 20. x2 - 7x + 12 = 0

x2 = 1 - 7 i 2

x -4 x -3 (x - 4)(x - 3) = 0 x-4=0 0 x-3=0 x=4 0 x=3 ` CS = {3; 4}

x12 = 1 b1 + 2 7 i + _- 7 il 4 x 22 = 1 _1 - 2 7 i - 7 i 4 x12 + x 22 = 1 _2 - 14 i = 1 _-12 i = -3 4 4

Clave A

Clave C

21. x2 + 9x - 10 = 0

x 10 x -1 (x + 10)(x - 1) = 0 & x = -10 0 x = 1

27. Del enunciado:

(4 + 2x)x = 70 x2 + 2x - 35 = 0 -5 x x +7 (x - 5)(x + 7) = 0 x = 5 0 x = -7


Clave D

22. x2 + 4x - 21 = 0

x 7 x -3 (x + 7)(x - 3) = 0 & x = -7 0 x = 3

` El menor positivo es 5. Clave D


` La menor raíz es - 7.

Clave B

23. x2 + 8x - 9 = 0

x 9 x -1 (x + 9)(x - 1) = 0 & x = -9 0 x = 1

Clave E

24. x2 + x - 20 = 0

5 x x -4 (x + 5)(x - 4) = 0 & x = -5 0 x = 4

...(F)

II. 4x2 - 4x + 1 = 0 2x -1 2x -1 (2x - 1)2 = 0 2x = 1 & x = 1/2 CS = {1/2} ...(V) III. T = 4 > 0 La ecuación tiene raíces reales y diferentes. ...(F)


I. ax2 + 3x + 2 = 0 Al existir 2 variables no se puede precisar un valor real.

` La mayor raíz es 1.


Clave D

Clave E


31

29.

I. De II.

Σraíces = 10 = 5 2 2

x , x > 0 & x = 0 (NO)

x + 10 = 0, x " R (NO)

III. Sí tiene soluciones.

Clave E

(NO)

IV. x + 7 = 0 & x = -7 2 -7=0 & x= 2 x 7 x1 . x2 = -2 (SÍ) 2 47 (NO) V. 0 - 7 + = 7 7

34. x2 + 12x + 32 = 0

Rpta.: IV


Clave C


30. x2 + x - 42 = 0

x x

8 x x 4 (x + 8)(x + 4) = 0 & x = - 8 0 x = - 4 Pr oducto raíces = ^- 8h^- 4h = - 8 Suma raices 3 - 8 + ^- 4h

35. (k- 1)x2 - 5x + 3k - 7 = 0

+7 -6

Del dato:

x1 . x2 = 3k - 7 = 1 k-1 3k - 7 = k - 1

(x + 7)(x - 6) = 0 x+7=0 0 x-6=0 x = -7 x=6 ` La mayor raíz es 6.

2k = 6 ` k=3

Clave C

Clave A

31. Resolviendo:

x2 - 22x + 57 = 0 -19 x x -3 x1 = 19 / x2 = 3 ` Nos piden: x1 - x2 = 19 - 3 = 16

36.

x+4 x+2 Clave D

2

32. 3x + 10x - 2 = 0

x=

x2 - 4x - 12 = 0

x = - 10 ! 2 31 6

33. x2 - 10x - 24 = 0

x -12 x 2 (x - 12)(x + 2) = 0 & x = 12 0 x = - 2

32 Intelectum 1.°

(x + 4)2 = (x + 2)2 + x2 x2 + 8x + 16 = x2 + 4x + 4 + x2

- ^10h ! ^10h2 - 4^- 2h^ 3 h 2^ 3 h

x = - 5 ! 31 3

x

x

-6

x

+2

(x - 6)(x + 2) = 0 x = 6 0 x = -2 (no cumple con la condición) Clave A

& x=6 ▪▪ El lado de su base mide: x + 2 = 6 + 2 = 8 m Clave C

Desigualdades e inecuaciones Dividimos entre 3: -3 < x < 1 3

PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 72) Unidad 3 Comunicación matemática

15. MCM(5; 2; 4; 3) = 60

12(x - 3) + 30(x - 6) + 15(x - 4) + 20(x - 5) < 4 . 60

` x mínimo entero = -2

1. Por definición:

Clave D

3$3 + 3>3 0 3=3 F V

Resolución de problemas 9. 11 # x2 + 7 # 32

F0V=V ` Es verdadero. 2. Se denomina desigualdad a la relación de orden

que se establece entre dos cantidades que poseen diferente valor.

2 # x # 5

` x ! [2; 5]

Clave C

-13

-6

A , B = ]-13; 30] A + B = [-6; 18]

18

30

+3

-6 # x2 - 6 # 3 Clave D

Nivel 2 (página 72) Unidad 3 Clave A

4. 2x - 5 # 3x - 11

x$6 ` x ! [6; +3H Clave A

0 # (x2 - 6)2 # 36

` (x2 - 6)2 ! [0; 36]

Clave D

Comunicación matemática 11. I. (V)

17. Como:

II. (F)

x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1

Si a = 1 > 0 & 1 + 1 = 2 # -2 1 III. (V)

Luego: x ! [-3; 2H & -3 # x < 2 -1 # x + 2 < 4

0 # (x + 2)2 < 16

Clave C

5. 6 - 2x $ 7

2x # -1 x # -1/2

` x ! - 3; - 1 E 2

Clave D

12. 2 > -1; 1 < 1 = -1 -1 2

(F)

x < 0 / y < 0 & x . y > 0

(F)

Sea y = 4 & 1 = 1 > 0 y 4

(F) Clave C

6. 12x - 3 $ 15x - 10

7 $ 3x 7 $ x & 2,3 $ x 3 Por lo tanto, el mayor valor entero de x es: 2

Clave C

7. -x < -2 & x > 2 …(I)

16. Dato: x ! [- 3; 2

0 # x2 # 9

x + 5x + 6 < 0 à=5

-3

x<8

-3 # x < 2

2

77x < 616

Entonces:

(x + 3)(x + 2) < 0

3.

Clave B

10. (x - (-3))(x - (-2)) < 0


+ 20x - 100 < 240

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Por lo tanto, la suma de elementos de A es: 28

4 # x2 # 25 (x > 0)

12x - 36 + 30x - 180 + 15x - 60

Luego: (I) + (II) + (III):

2

5

+3

Clave B

8. -5 < 3x + 4 < 5

Restamos 4: -9 < 3x < 1

13. (3 - 5x) = ??

` (x + 4x + 5) ! [1; 17[ Clave D

18. Dato:

x ! 1; 3 E 2

&1
` (2x - 3) ! G-1; 0]

Sumamos 1:

Dividimos entre 2: 5 > 2x $ - 4 & 5 > x $ -2 2

Sumamos 3: - 19 < 3 - 5x # 13 2 ` (3 - 5x) ! - 19 ; 13 D 2

1 # (x + 2)2 + 1 < 17

-1 < 2x - 3 # 0

(2x - 1) ! [-5; 4H & 4 > 2x - 1 $ -5

Clave D

Multiplicamos por -5: - 25 < - 5x # 10 2

x > 0 ... (II) x < 5 … (III)

0 -3 & x ! G2; 5H ` x enteros: {3; 4}


2

Clave C

14. x + 3x + 12 < 8x + 8

Resolución de problemas 19. c x - c- 8 mm (x - 3) < 0 3 2 x - 3x + 8 x - 8 < 0 3 2 x - 1 x- 8 < 0 3 1 / n = -8 &m= 3 -8 ` 4 mn = 4 c 1 m = 4 38 = 9 3

Clave D

20. Sabemos:

0 < 4x - 4 4 < 4x & 1 < x ` x>1 Clave D

6 a / b ! R+ a + b $ ab 2


33

12 + n 12 $ n = 4 = 2 n 3 $ n 3 2 12 + n $ 4 n 3 Por lo tanto, el mínimo valor de 12 + n es: 4 n 3

Clave D


I. Como ab < 0 & un número es positivo y el otro negativo. Del dato a < b & a < 0 / b > 0 ...(V) II. a < 0 & 1 < 0 a multiplicando a la desigualdad a < b por 1 : a 1 > b ...(V) a III. a < b (a < 0) &a.a>b.a a2 > b . a (b > 0)

▪▪

Clave E

2

& 0 # x # 64

& 9 < x2 < 49

▪▪

-4 < x < 9

& 0 # x2 # 81

25. x(7a + 1) < 7a + 1

...(F)

- 4x < 9 ` CS = G-9/4; +3H

15x - 2 > 2x + 1 3 1 13x > 2 + & x > 7 ...(I) 3 39

4x2 - 12x + 1 $ m

6 2x - 5

x < 1008 1 < x < 1008 Los números enteros en este intervalo son: 2; ...; 1007 & n.º términos: 1007 - 2 + 1 = 1006

…(II)

Clave D Clave D

MARATÓN MATEMÁTICA (página 74) I. Perímetro del rectángulo

1.

…(I)

= 4x + x + 4x + x = 100 10x = 100

Sabemos:

& x = 10 m

(2x - 3)2 $ 0

Luego, partimos de: 3 # x # 7

Clave D

4x2 - 12x + 9 $ 0

6 # 2x # 14

2

1 # 2x - 5 # 9 1 # 1 # 1 9 2x - 5

4x - 12x + 1 $ -8 …(II) De (I) y (II):

x - 3 = 144

2 # 6 # 6 3 2x - 5

m # -8 & mmáx. = -8

x - 3 = 12

Además: 1 # n x2 + 2x + 5

5 # 1+ 6 # 7 3 2x - 5 ` M ! : 5 ; 7D 3

Clave E

10 > -a > 5 2 > -b > 1 20 > ab > 5

Como:

multiplicar

2 1 > 1 2 c 5

... (1) ... (2)

2. x2 + 6x - 16 = 0

(x + 1)2 $ 0

34 Intelectum 1.°

De (a) y (b): n $ 1 & nmín. = 1 4 4

Clave B

...(a)

Sabemos:

x2 + 2x + 5 $ 4 1 # 1 4 x2 + 2x + 5

I. Área del cuadrado (x - 3)2 = 144

x = 15 m

x2 + 2x + 1 $ 0 (sumamos 4)

24. Transformando:

Clave A

Del enunciado: 1 x + 21 > 1 x + 3 8 7 x 21 - 3 > - x 7 8 18 > x 56

Clave E

28. Dato:


5m = @- 3; 2 6 ; 5m - 2

30. Sea x la cantidad de números enteros (x > 1).

De (I) + (II): 7
...(V)

5m 5m - 2

& 5m = 2 & 5m = 10m - 4 5m - 2 ` m= 4 5

3x2 - 4x < 3x2 + 9 &x> -9 4

x<

CS = E- 3;

26. 3x2 - 4x < 3(x2 + 3)

Clave D

2x - 5

x(5m - 2) < 5m

...(1)

Clave A

x < 2

...(V)

23. 2x + 1 = 1 +

29. 5mx - 2m < 3m + 2x

2 (x - 4) < 3x - 14 2 4x - 16 < 3x - 14

-7 < x < -3

Clave B

Resolución de problemas Clave C

De (2):

-5 < x < 8

▪▪

` ab ! ]1; 10[ c

27. De (1):

2

& a b > b a ...(F)

22.

Piden: m . n = -8 . 1 = -2 4

Del dato: a < - 1 & 7a + 1 < 0 7 &x>1


2

multiplicamos (1) y (2): 10 > ab > 1 c

...(b)

x x

8 8x -2 -2x

6x & la ecuación es: (x + 8)(x - 2) = 0 Luego: x+8=0 0 x-2=0 & x1 = -8 & x2 = 2 Clave C

3. x(4x + 1) = 3x2 + 42

En (I) x + 16 = 40 x = 24 & x = 24 / y = 16

4x2 + x = 3x2 + 42 x2 + x - 42 = 0 x 7 x -6 (x + 7)(x - 6) = 0 x1 = -7 x2 = 6

Clave B

4. 3x + 2y = 22

2y - 7x = 2 10x = 20 &x=2

x - sx + p = 0 s: suma de raíces x2 - (3 - 1)x + (-3) = 0 p: producto de raíces x2 - 2x - 3 = 0

7. Factorizamos: Clave D

x2 - 7x + 6 = 0 -6 x x -1

Clave E

5. Sea x & los cuadernos de S/.4.

...(I) ...(II)

14x < -20 x < - 10 7

2

Clave C

Clave E

10. a=b = 4ab (identidades)

` Sraíces: 6 + 1 - 1 - 6 = 0

despejamos x x + 7 < 6x - 3 10 < 5x & x>2 B = {x ! R / x - 4 > 3x} 5 x - 20 > 15x

- 10 7

x-3 x-2 x2 - x - 2 = x2 + 2x -15 13 = 3x x = 13 3

(x - 6)(x - 1) = 0 (x + 1)(x + 6) = 0 x1 = 6 / x2 = 1 (x1 = -1) / x2 = - 6

3

2

9. x + 1 = x + 5

x2 + 7x + 6 = 0 x +6 x +1

8. A = {x ! R / x + 7 < 2x - 1}

- 10 7

& (A , B)C =

Clave C

Reemplazando en una de las ecuaciones: 3(2) + 2y = 22 2y = 16 &y=8

& 4x + 6y = 192 (recaudación) (II) - 4(I) & 2y = 32 y = 16

& A,B=

2

(-)

Sea y & los cuadernos de S/.6. & x + y = 40 (cuadernos vendidos)

B = ' x < - 10 ; x ! R 1 7

6. Formamos la ecuación cuadrática:

x1 + x2 = -1

▪▪ Manera más directa: Por Cardano 1x2 + 1x - 42 = 0 . . a b & x1 + x2 = - b = - 1 = -1 a 1

& A = { x > 2; x ! R }

aTb = a2 - b2 & x=2 = xT3 4(x)(2) = x2 - 32 8x = x2 - 9 x2 - 8x - 9 = 0 x x

-9 1

Factorizando por aspa simple: (x - 9)(x + 1) = 0 & x ! {-1; 9} Clave C


35

Unidad 4

VALOR ABSOLUTO 6. Recordar la propiedad:

PRACTIQUEMOS

|x| = a + a $ 0 / (x = a 0 x = -a)


En el problema, tenemos: 2x - 4 = 6 0 2x - 4 = -6 2x = 10 2x = -2 x = 5 x = -1 Luego: CS = {-1; 5}

1. Completa los recuadros en blanco lo que corresponda para llegar a la solución.

Determina la suma de soluciones que se obtiene a partir de:

x + 1 = 13 4 4

De acuerdo a la definición:

x + 1 = 13 4 4

Clave C

x + 1 = - 13 0 4 4

7. De la ecuación:

13 x = 13 x 1 0 4 = - 4 - 1 4 4

|x - 2| = 4 x - 2 = 4 0 x - 2 = -4 x = 6 0 x = -2 CS = {-2; 6} = {-a; b}

x = 9 4 4

0

Piden: a + b = 2 + 6 = 8

x= 9

0 x = -17

Nos piden: suma de soluciones =

x = - 17 4 4

Clave D

1 = 2 & x - 1 = 1 2 x-1

8.

9

+ (-17) = -8

x-1 = 1 2

2. A) |-3| - |2| = |-5|

3-2!5

x= 1 2

Clave D

Resolución de problemas 9. Según el enunciado:

D) |2| - |3| = |-1| 2 - 3 ! 1

|5x - 3| = 2x - 3

E) |2| + |-2| = |0| 2 + 2 ! 0 Clave B

Razonamiento y demostración 3. De la ecuación:

|2x - 1| = 5 Recuerda: |x| = a + a > 0 / (x = a 0 x = -a) Luego: 2x - 1 = 5 0 2x - 1 = -5 x = 3 0 x = -2 ` xmín. = -2

10. Según la definición:

|x2 + 2| = 2x + 1

Clave A

2x = -4 x = -2 Clave C

5. 5x - 20 = 30 0 5x - 20 = -30

2x + 1 $ 0 / (x2 + 2 = 2x + 1 0 x2 + 2 = -2x - 1) x $ - 1 / (x2 - 2x + 1 = 0 0 x2 + 2x + 3 = 0) 2 x $ - 1 / ((x - 1)2 = 0 0 (x + 1)2 + 2 = 0 2 1 x$- / x = 1 0 (x + 1)2 = - 2 2 x$-1 / x=1 0 x!Q 2 x$-1 / x=1 2 ` CS = {1}

5x = -10 x = -2

Nos piden: x = 1 & 1 x = 1 (1) = 1 2 2 2 Clave D

36 Intelectum 1.°

Según la definición: 2x - 3 $ 0 / 5x - 3 = 2x - 3 0 5x - 3 = -2x + 3 x$ 3 / x=0 0 x= 6 2 7 Como: x $ 3 , no cumplen x = 0 / x = 6 2 7 Entonces: x ! Q Clave C

4. 2x - 3 = 7 0 2x - 3 = -7

5x = 50 x = 10 ` CS = {-2; 10}

x - 1 =- 1 2

` CS = ' 1 ; 3 1 2 2

C) -|-3| = |3| -3 ! 3

x= 3 2

B) |-2| + |-3| = |-5| 2+3=5

2x = 10 x = 5 ` CS = {-2; 5}

0

Clave A

20. De la ecuación:


|2x - 7| = x - 5


11.

Por teorema: x - 5 $ 0 / (2x - 7 = x - 5 0 2 x - 7 = -(x - 5)) x $ 5 / (x = 2 0 x = 4) ` x = Q (no tiene solución)

Clave C

12.

2 5

7 9

1 8

6

3

9

Clave E

8

Resolución de problemas 21. Sea: 1 - x + 1 + x $

Cada grupo suma 29. Razonamiento y demostración 13. x - 4 = 5 - 2x 0 x - 4 = -5 + 2x

3x = 9 x=3 ` CS = {1; 3}

x

▪▪ Analizando los radicales, tenemos: 1 - x $ 0 1 + x $ 0 x$00x<0 x # 1 x$-1 x ! ]-3; 1] + x ! [-1; +3[ + x ! R ▪▪ Entonces: CS = ] -3; 1] + [-1; +3[ + R = [-1; 1]

1=x Clave D

14. |2x - 1| = x

Clave E

22. Primero que nada, hallemos el CVA (conjunto de valores admisibles):

1 - 9x2 $ 0 x2 # 1/9 |x| # 1/3 & x ! [-1/3; 1/3]

2x - 1 = x 0 2x - 1 = -x x = 1 x= 1 3 ` CS = ( 1 ; 1 2 3

Resolviendo la ecuación: (2x - 1) 1 - 9x2 = 0 2x - 1 = 0 0 1 - 9x2 = 0 x = 1/2 0 x = !1/3 Luego: A = {-1/3; 1/2; 1/3} Finalmente: [-1/3; 1/3] + A = {-1/3; 1/3} (2 raíces)

Clave C

15. x2 - 5x = 6 0 x2 - 5x = -6

x2 - 5x - 6 = 0 0 x2 - 5x + 6 = 0 x - 6 x -3 x + 1 x -2 (x - 6)(x + 1) = 0 0 (x - 3)(x - 2) = 0 x = 6 0 x = -1 0 x=30x=2 Por lo tanto, la suma de soluciones es 10.

Clave C

Clave E


16. |2x + 1| = |x|

2x + 1 = -x x = -1 x= -1 3 1 ` CS = {-1; - } 3


2x + 1 = x 0

23. Si dos números reales se diferencian solo en el signo, sus valores absolutos

son iguales, es decir, |-x| = |x| ; 6 x ! R

Clave E


|x - 2| = |3 - 2x| (x - 2)2 = (3 - 2x)2 (x - 2)2 - (3 - 2x)2 = 0 (1 - x)(3x - 5) = 0 x 1 = 1 / x2 = 5 3 5 Nos piden: x1x2 = 3

Razonamiento y demostración 25. (2 - x)|x2 - 9| < 0

2 - x < 0 / x2 - 9 ! 0

x > 2 / x2 ! 9 x > 2 / x ! {-3; 3} Luego; la menor solución entera es: 4

26.

/ (2x - 1 = -x 0 2x - 1 = x) x0#0 / (x = 1 0 x = 1) 3 ` CS = ' 1

x$0

2x = 8

x = 4

` CS = { - 3 ; 4} 2

Clave D

Clave B

18. |2x - 1| = -x

19. 3x - 1 = x + 7

24. > ; = ; <

Clave E

-4 + 3 + -5 x + y + z = -4 + 3 - 5 x+y+z + 4 3+5 = -6 = -2

Clave B


0 3x - 1 = -x - 7 4x = -6 x= -3 2

3|x - 2| = |x + 4|

Clave D

Elevando al cuadrado: (3x - 6)2 = (x + 4)2 (3x - 6)2 - (x + 4)2 = 0


37

(4x - 2)(2x - 10) = 0 x= 1 0 x=5 2 ` xmín. = 1 2

cx =

Clave A


Clave E

3x + 2 = 2x - 11

3x + 2 = -2x + 11 x1 = 9 5

0

x2 = -13

Nos piden: 5x1 + x2 = 5 d 9 n + (- 13) = -4 5 Clave B

29. |x - 10| = |5 - 3x|

34. Del enunciado:

Restricción: 4x - 5 ! 0 & x ! 5 4 Puntos críticos: x - 2 = 0 & x = 2 3x + 4 = 0 & x = - 4 3 -3 -4/3 Clave E

30. Sea |x - 1| = a $ 0

a2 - 2a - 15 = 0 -5 a a +3 (a - 5)(a + 3) = 0

` {-4} es la solución negativa de la ecuación.

x ! - 3; - 4 3 -

+3

x-2

-

-

+

3x + 4

-

+

+

Casos

A

B

C

...(1)

x - 2 - 3x + 4 $ 0 4x - 5 - (x - 2) - (- (3x + 4)) $0 4x - 5 Clave D


Operando adecuadamente: x + 3 $ 0 (puntos críticos: -3; 5 ) 4x - 5 4

x-3 = 7 x+3 |x - 3| = 7|x + 3|

+

-3

2

Nos piden: x 1x 2 = 9

-1 -3

(2|x| - 1)(|x| - 3) = 0 & 2|x| - 1 = 0 0 |x| - 3 = 0 |x| = 3 |x| = 1 2

38 Intelectum 1.°

5 4

De (1) y (2): S A = - 3; - 4 , 5 ; + 3 + - 3; - 3] 3 4

Clave D

32. 2|x|2 - 7|x| + 3 = 0

+

x ! - 3;- 3 @ , 5 ; + 3 ...(2) 4

2

(x - 3) = (7(x + 3)) (7x + 21)2 - (x - 3)2 = 0 (8x + 18)(6x + 24) = 0 x1 = - 9 0 x2 = -4 4

2|x| |x|

2

▪▪ Caso A:

& a = 5 0 a = -3 (no cumple) Como: a = |x - 1|: & |x - 1| = 5 x - 1 = 5 0 x - 1 = -5 x = 6 x = -4

Por teorema:

Clave D

x - 2 - 3x + 4 $ 0 4x - 5

0 x - 10 = -5 + 3x -5 = 2x -5 =x 2 5 1 2

Nos piden: d 15 - 5 n 4 = 5 4 2

33. De la ecuación: |3x + 2| = 2x - 11

Piden la suma de raíces obtenidas:

x - 10 = 5 - 3x 4x = 15 x = 15 4 ` CS = ' 15 ; 4

` CS = '- 3; - 1 ; 1 ; 3 1 2 2


|x + 5| = 2x - 4 x + 5 = 2x - 4 0 x + 5 = -2x + 4 x=9 0 x= -1 3 9 - 1 = 26 3 3

1 0 x = - 1 0 (x = -3 0 x = 3) m 2 2

-3

-3

-4 3

5 4

SA = G-3; -3] ▪▪ Caso B: x ! ;- 4 ; 2 3 +

...(1)

- (x - 2) - (3x + 4) x - 2 - 3x + 4 $ 0 & $0 4x - 5 4x - 5

+3

▪▪ Caso A:

Operando adecuadamente: 2x + 1 # 0 (puntos críticos: - 1 ; 5 ) 4x - 5 2 4 +

x ! - 3; - 7 3

-

x ! ;- 1 ; 5 2 4

|3|x| - 7| + |x| $ 5 + 3 |x| - 7 . +(-x) $ 5 3(-x) - 7 - x $ 5 x # - 3 ... (2)

+ 5 4

-1 2

... (2)

De (1) y (2):

De (1) y (2): SB = ;- 4 ; 2 + ;- 1 ; 5 3 2 4

-3

SA = - 3; - 7 + G- 3; - 3] 3 ▪▪ Caso B: x ! ;- 7 ; 0 3

-4 3

-1 2

5 4

2

+3

SB = ;- 1 ; 5 2 4

▪▪ Caso C: x ! [2; + 3H +

...(1)

... (1)

|3|x| - 7| + |x| $ 5 - (3|x| - 7) + (-x) $ 5 - (-3x - 7) - x $ 5 x$6

... (2)

De (1) y (2): SB = ;- 7 ; 0 + 66; +3 3

x - 2 - 3x + 4 $ 0 & x - 2 - (3x + 4) $ 0 4x - 5 4x - 5 Operando adecuadamente x + 3 # 0 (puntos críticos: -3; 5 ) 4x - 5 4 +

-

... (2)

De (1) y (2): [2; +3H + [-3; 5 H 4 5 4

x ! ;0; 7 3

... (1)

|3|x| - 7| + |x| $ 5 + - (3|x| -7) + x $ 5 + -3x + 7 + x $ 5 x#1

+ 5 4

-3

2

+3

-3

Por lo tanto, el conjunto solución final es:

` x = 1 (mayor z )

+3

7 3

... (1)

x$3

... (2)

De (1) / (2): SD = 63; +3

Puntos críticos: |x| = 0 & x = 0 3|x| - 7 = 0 & |x| = 7 & x = ! 7 3 3 0

1

|3|x| - 7| + |x| $ 5 + 3x - 7 + x $ 5

Clave D

|x| + |3|x| - 7| $ 5

-7/3

▪▪ Caso D: x ! ; 7 ; +3 3

+

35. Del enunciado, planteamos:

0

SC = [0; 1]

CS = SA , SB , SC = G-3; -3] , ;- 1 ; 5 , Q 2 4 CS = G-3; -3] , ;- 1 ; 5 2 4

... (2)

De (1) y (2) SC = ;0; 7 + G-3; 1] 3

SC = Q

-3

SB = [6; +3H

▪▪ Caso C:

-3

-3

SA = G-3; -3]

+

x ! ;- 3; 5 4

... (1)

CS = SA , SB , SC , SD

7/3

+3

x

-

-

+

+

3|x| - 7

+

-

-

+

Casos

A

B

C

D

CS = G-3; -3] , [6; +3H , [0; 1] , 63; +3

-3 -3

0

1

3

6

+3

` CS = G-3; -3] , [0; 1] , 63; +3


Clave C

39

LOGARITMOS 10. Sea N el número, del enunciado se tendrá:

PRACTIQUEMOS

5logN = 3logN + 8


2logN = 8


logN = 4

I. log215 = log25 + log23 (F) II. log3 2 = 1 log3 2 (F) 2 III. log5 7 = 1 (V) log7 5

N = 104 Clave D

Clave D

Comunicación matemática 11. I. log3x = 4 & x = 34 = 81 (V)

2.

II. log(-2)(-2) & No existe porque el número es negativo y la


base es negativa.

3. 2^7loga xh + 5^7loga xh = 343

La (II) y (III) son incorrectas.

Clave B

` x = a2

Clave B

125 m 1 -1 c m 5

log 53 j`^ 5h- log3 5 j

E = `25

5

3

3

2

log74


` E = (52)3 # (5-1)5 = 5 Clave A

5. log2 (2-5) = m

13. logx logx 7 4 = 7

Pasamos a su forma exponencial: logx 7 4 = x7 7 7

7

7 x x = 7 4 & ` x x j = ^7 4 h

-5log22 = m & m = -5

7

^x7hx = 22 & x7 = 2

Clave C

7. xlogN c = logN b + logN a

x logN c = logN b . a = logN c Clave A

A = c 1 log3 3 m^log2 33hc 1 log3 5 m^log5 2h 2 3 3 A= log3 3 log2 3 log3 5 log5 2 2.3 1 4444 4 2 44444 3

Reduciendo: log3(x + 5)(x + 3) = log316x

Luego: (x + 5)(x + 3) = 16x x2 + 8x + 15 = 16x x2 - 8x + 15 = 0 x -5 x -3 Nos piden: x1x2 = 15 Clave A

Clave B

Resolución de problemas 9. Del enunciado:

40 Intelectum 1.°

ambos miembros:

2

& x 1 = 5 0 x2 = 3

1

4logx - 4 = 2logx 2logx = 4 logx = 2 x = 102 = 100

7

14. log3(x + 5) + log3(x + 3) = log3(16x) Clave D

`x=1

7

Clave C

& B = 4log22 + 3log33 + 4log55 ` B = 4 + 3 + 4 = 11

Sacamos ` x=

B = log224 + log333 + log554

A = 1 .1 2 ` A= 1 2

log37log53

= 4 log 4 = 4 . 1 = 4 4

-1 5

2

= 2 . 2 log45 log 3log37 log 4 5 7

& E = ^253h`3log3 5 j

6.

12. Z = log45

= 2 log45log37 . 2 log53log74

1 -1

`243- logc 1 m-1 c 5 m j

E = c25 log

4.

(F)

III. log35 + log32 = log310 (F)

7 ^7loga xh = 343 = 7 . 72 7loga x = 72 & logax = 2

8.


Clave C

15. 3log^

2 2 3 h ^x - 1h

= x+5

2

3log3 ^x - 1h = x + 5 Luego: (x - 1)2 = x + 5 2 x - 2x + 1 = x + 5 x2 - 3x - 4 = 0 x -4 x 1 & x = 4 0 x = -1

log16 + logN = 5,89882

Por definición: x-1>0&x>1 Luego: m=x=4 Nos piden: m = 4 =2

4log2 + logN = 5,89882 logN = 4,6947 Se pide: logN3 = 3logN = 3(4,6947) = 14,0841 Clave C

Clave A

16. Datos:


log35 = a

Comunicación matemática 22. De las proposiciones:

log32 = b

Nos piden:

I. log2(xy) = log2|x| + log2|y| / xy > 0 ...(V)

log32,7 = log3 c 27 m = log327 - log310 10 log32,7 = 3 - (log35 + log32)

II. log

2

(x + y) = log

2

x + log

& x + y = xy; x, y ! R+

4

III. log2(-2) = 4log2|-2| = 4

log32,7 = 3 - a - b

2

y

...(V)

...(V) Clave D

Clave D

N = (log28)(log92)(log85)(log2527)

17.

propiedad N = log95 . log2527 & N = log32 5 . log52 33 N = 1 log3 5 . 3 log5 3 2 2

18.

2

=

1 2

7

>

5

1 6

>

9


& N = 3 log3 5 . log5 3 4 `N= 3 4

23. 1

24. log^10 + 2

Clave B

n

7 + 3h = 8

21 h ^

Pasando a su forma exponencial: n 8 ^ 7 + 3 h = ^10 + 2 21 h Dando forma: n

2

8

2

xlogNb = logN a + logN c

^ 7 + 3h =^ 7 + 3 + 2 7 3h

xlogNb = logN a.c = logN b2

n 2 ^ 7 + 3 h = `^ 7 + 3 h j

8

& n = 16

& xlogNb = 2 logN b `x=2

Nos piden: x Clave E

x

2

xx = 16 = 24 = 22 & x = 2 Clave E

19. A = (log26)(log36) - log32 - log23

A = (log2 2 . 3) (log3 2 . 3) - log3 2 - log2 3

25. Nos piden:

&A = (1 + log2 3) (log3 2 + 1) - log3 2 - log2 3 &A = log3 2 + 1 + log2 3 log3 2 + log2 3 - log3 2 - log2 3

log

e log 49

` A = 1 + log2 3 log3 2 = 2 44 3 1 44 2 1 Clave C

2

6 7

` 49log7 6j log7 6

49


2

log35

o

log23

log52

log5 2 $ log2 3 $ log3 5 log5 5 = 1

log7 6 i2

= _7

= 62 = 36 Clave C

20. Según el enunciado: 3

log(27N ) = 7,4512 log27 + 3logN = 7,4512 log33 + 3logN = 7,4512 3logN = 7,4512 - 3log3 logN = 2,0066

26. Del sistema de ecuaciones: 2

▪▪ 25 x = ( 5 ) y

Nos piden: (logN)2 + 1 = (2,0066)2 + 1 = 5,0266 21. Según el enunciado:

log(16N) = 5,89882

Clave E

2

y2

5 2x2 = 5 2

4x2 = y2 ...(I)

▪▪ lnx = 2lny, x > 0 / y > 0 x = y2 ...(II)


41

(II) en (I):

30. b + a = 2a - b & 2b = a

4x2 = x & x = 1 4

ab

De (II): y2 = 1 & y = 1 2 4

E = log 3 b 0, 5a = log3 b 0, 5 . 2b & E = log3 b b = logb b3 = 3 logb b È=3

Nos piden: x+y= 3 4

ab

Luego:

Clave C

27. M = log 75 - 2 log 5 + log 32

16 9 243 M = log 75 - log 16 - 2 log 5 + 2 log 9 + log 32 - log 243 M = log 52 . 3 - log 24 - 2 log 5 + 2 log 32 + log 25 - log 35

Resolución de problemas 31. a > 0 / b > 0; por dato:

a2 + b2 = 29

... (1)

loga + logb = 1

... (2)

De (2): log(ab) = 1 & ab = 10

... (3)

De (1) y (3): a = 2 / b = 5

M = 2 log 5 + log 3 - 4 log 2 - 2 log 5 + 4 log 3 + 5 log 2 - 5 log 3

Clave D

M = log 2 Clave E

2log(73N) = 9,8143

B = ^1 + log2 5h^1 + log5 2h - log2 5 - log5 2

B = 1 + log5 2 + log2 5 + log2 5 log5 2 - log2 5 - log5 2

B = 1 + log2 5 log5 2 = 1 + 1 ` B = 2

Clave E

29. log35 = a (dato)

42 Intelectum 1.°

log(73N) = 1 (9,8143) 2 3 1 log7 + logN = (9,8143) 2 1 logN = (9,8143) - 3(0,8451) 2 logN = 2,37185

Piden: A = log1581 = log1534 = 4log153 4 = 4 4 A= = log3 15 log3 3.5 1 + log3 5 4 & A = 4(1 + a)-1 1+a

32. Según el enunciado:

log(343N)2 = 9,8143

28. B = ^log2 2 . 5h^log5 10h - log2 5 - log5 2

A=

Clave C

Nos piden: (logN - 1)2 = (2,37185 - 1)2 = 1,88820 Clave A Clave D

Funciones f(x2) = 1 & 1 = 3x2 - 2; x2 = 1

PRACTIQUEMOS

17. Del dominio:

` Domf(x) = {x1; x2; x3; x4}

1. A) V ; B) V ; C) V ; D) F ; E) V

Clave E

= {2; 1; 3; 5}

` S elementos del dominio = 2 + 1 + 3 + 5 = 11

f A

& C=

Clave A

B 3

4

2

7

1

6

B) g(1) = 3

Dom(f) + Ran(f) = {1}

f(x4) = 13 & 13 = 3x4 - 2; x4 = 5


2. A)

& f = A # C = {(1; 1), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 5), (2; 6)}

f(x3) = 7 & 7 = 3x3 - 2; x3 = 3


g(7) = 5


f (3) + f (5) 2 + 6 = =8 1 f (2)

& y = 2x - 2 Donde los valores de A son los de "x". x = 2 & y = 2 par ordenado (2; 2) ! A # B x = 3 & y = 4 par ordenado (3; 4) ! A # B x = 5 & y = 8 par ordenado (5; 8) " A # B x = 6 & y = 10 par ordenado (6; 10) " A # B x = 7 & y = 12 par ordenado (7; 12) " A # B ` f = {(2; 2); (3; 4)}

Clave D


Clave C

3. (3; a + 2) y (3; 4) ! F

10. Por día lee 10 pág. & por semana 70 pág.

& por definición a + 2 = 4 a=2 ` a2 = 4 Clave B

4. (a; 3b) = (a; a + b)

& 3b = a + b 2b = a (a; 3b) = (2b; 3b) = (2b; 12)

` Dom(F) + Ran(F) = {2} Clave B

18. F = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a - b)

(-1; b - a), (a + b2; a)} Si F es función, se cumple: 2a - b = 5 a=2 b - a = -3 b = -1 Luego: F = {(2; 5), (-1; -3), (3; 2)} Dom(F) = {-1; 2; 3} Ran(F) = {-3; 2; 5}

x = n.° semanas x 1 2 3 y 70 140 210 y & = 70 x ` y = 70x

` Dom(F) + Ran(F) = {2}

Función directamente proporcional.

Clave C

19. Del rango de h(x):

11. f(x) = k & (Función inversamente proporcional)

7 < 3x - 2 # 13 9 < 3x # 15 3
y

5. F(9) = 11; F(3) = 6; G(6) = 8; G(F(3)) = G(6)

= 8 G(2) = 5 & 11 + 8 + 6 = 5 5

Clave E

6. El conjunto A posee los posibles valores de x:

x y = 4x 1 4 & (1; 4) ! A # B 2 8 & (2; 8) " A # B -3 -12 & (-3; -12) " A # B & (1; 4) ! f f = {(1; 4)} ` Ran(f) = {4} Clave B

2 20. f(2) = 2 - 1 = 3 = 1

f(x): pago por persona & f(x) = 800 x

Clave C

Clave C

21. f(r) = 2r (diámetro en función a su radio r).

12. Son funciones g; f1 y g2 . Clave C

13.

& Si r = 25 cm & f(25) = 2(25) = 50 cm ` f(r) = 2r; 50 cm Clave E


22. Sabemos:

14. f(2) = 3 & f(f(2)) = f(3) = 4

f(f(3)) = f(4) = 1 ` f(f(2)) + f(f(3)) = 4 + 1 = 5

h(x)

15. (1; 7) y (1; a) ! H & a = 7

(a; 4) y (a; b) ! H & b = 4 2

2

2

x

A9 = base # altura 2 x.h (x) 2 24 & h(x) = x 12 =

2

` a - b = 7 - 4 = 33 Clave C

Clave D



Clave E

Formamos f(x) del dominio: 2 # x # 6 8 # 4x # 24 11 # 4x + 3 # 27 & 11 # f(x) # 27 ` Ran(f) = [11; 27]

3 2+1 2 & f(f(2)) = f(1) = 1 - 1 = 0 1+1


7. 2 # x # 6 (dominio)

8. f(x1) = 4 & 4 = 3x1 - 2; x1 = 2

Formamos f(x): 2 # x # 5 Multiplicamos por - 4: -20 # -4x # -8 Sumamos: 10 -10 # -4x + 10 # 2

Sea y = n.° páginas

Clave C

&b=4/a=8 à-b=4

Clave C

F(x)

9. A = {2; 3; 4; 5; 6; 7} , B = {2; 3; 4; 5; 6}

g(6) = 2

2#x#5

Clave A

16. De A # B determinamos el conjunto A:

A = {1; 2} dato: C = {1; 5; 6}

Clave C

Nivel 3 (página 88) Unidad 4 Comunicación matemática 23. I) n(A # B) = n(A) . n(B) = 7 # 3 = 21

(no considera repetidas)


43

II) Del gráfico deducimos el conjunto R: R = {(4; 2), (4; 3), (4; 5), (4; 7), (6; 2), (6; 3), (6; 5), (6; 7)} Dom(R) = {4; 6} / Ran(R) = {2; 3; 5; 7} III)

` Dom (R) + Ran(R) = { }

Del dato: f(2) = 1 & 1 = a(2) + b 2a = 3 + 1 a = 2

-1

0

7

9

y

4

5

12

14

& 0 # x2

IV)

2 < 6 & G(2) = 4

2

n.° trabajador IP tiempo Día laboral 8 horas.

Por lo tanto, el rango de f(x) es: [1; 10] Clave B

Clave B

9 6

-4 # -2x < 8 1 # -2x + 5 < 13

Litros

V) 1 = k M = 1 & M = 4 7 28 7 III) V

IV) F

Clave C

& (3; 7)

" A # B 31. (3; 1) ! f(x) & 1 = a(3) - 8

26. Función lineal: f(x) = ax + b ... (I)

Del dato: f(0) = -3 & -3 = a(0) + b b = -3

44 Intelectum 1.°

#

x

Pasamos capacidad a litros 36 m3 <> 36 000 L & A) caudal 60 L/min, reemplazamos en la función:

a = 3 & f(x) = 3x - 8 f(4) = 3(4) - 8 = 4

Clave D

y

Función de proporcionalidad inversa

Clave C

=

3 & y = 36 m x

Como el caudal está en L/min

g(4) = 2(4)2 - 1 = 31

2(5) + 1 = 11 & (5; 11) " A # B 2(6) + 1 = 13 & (6; 13) ! A # B 2(-2) + 1 = -3 & (-2; -3) ! A # B ` f = {(-2; -3), (6; 13)}

3 # 16 = 2 # x

36 m3

30. f(3) = 3(3) - 5 = 4 25. 2(3) + 1 = 7

n.º de trabajadores por horas = k

35. Capacidad = caudal # tiempo

f(x)

Clave B


Luego 2 trabajadores los 400 m.

Clave B

` Rf = [1; 13[

V) F

Primero 400 m los 3 trabajadores: obra = k horas 200 = 400 x = 16 h & los 3 trabajadores 8 x

x = 24 h (3 días laborables)

29. -4 < x # 2

3

Clave C

34. n.° trabajador DP con obra

1 # x + 1 # 10 1 # f(x) # 10

Df = R - {!3}

12

1 2 3 4

` E = 13 + 17 + 2 = 32 = 4 8 4+4 Resolución de problemas

# 9

28. x + 3 ! 0 & x ! -3 / x - 3 ! 0 & x ! -3

Costo

II) F

5 < 6 & G(5) = 4

Reemplazando en (I): & f(x) = 2x - 3

27. -3 # x # 2

Se observa que es una fracción lineal: -1 + 5 = 4 7 + 5 = 12 & x + 5 = y (regla de correspondencia) ` Si x = 0, y = 5; si y = 14, x = 9

24. I) V

9 $ 6 & G(9) = 17

Clave C

x

33. 7 $ 6 & G(7) = 13

Clave A

60 = 36 000 & x = 600 min <> 10 h x & B) caudal 25 L/min, reemplazamos en la función:

32. Como h(-2) = -1; gráficamente:

Dom h(x) = [-2; 9] y Ran h(x) = [-1; 10[ Clave D

25 = 36 000 & x = 1 440 min <> 24 h x

Clave D

Progresiones PRACTIQUEMOS

a1 = 28 an = 208


an - a1 +1 r 208 28 +1 n= 4 ` n = 46 Sabemos: n =

1. I) m + 1 - (m - 2) = 3 (razón) & m + 4

II) 7; x; 17 & 17 - x = x - 7 & x = 12 III) 10; 10 + r; 10 + 2r; 10 + 3r; 10 + 4r; 10 + 5r 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 35

r = 32 - 28 & r = 4

6.


35 & r = 5

Clave C

n=6

IV) 3 - 2 - 3 = r = - 2 & 3 - 2

7. r = 30 - 27 = 3

V) n.° términos 12 = 35 - 2 + 1 & r = 3 r t20 = 2 + (19)3 = 59

a1 = 27 an = 333

t30 = 2 + (29)3 = 89

Sn =

2. I) 4x; 5x + 1; 4x + 10; ...

n = 333 - 27 + 1 3 n = 103

(an + a1) (27 + 333) .n = 103 2 2 ` Sn = 18 540 Clave B

En una PA se cumple:

4x + 10 - (5x + 1) = 5x + 1 - 4x

8. a1 = 4 / q = 2

9-x=x+1

a20 = a1 . q19 = 4 . 219 = 221

8 = 2x

a10 = a1 . q9 = 4 . 29 = 211

x= 4

` a20 : a10 = 210 = 1024

Clave B

II) En una PG se cumple: 3x + 1 = 7 16 7 x 48x + 16 = 49x

Resolución de problemas 9. Como la progresión aritmética admite término central:

a1 + a2 2 a +a & Sn = c 1 n m n = Tc . n 2 425 = 17 . n ` n = 25 Tc =

x = 16

Razonamiento y demostración 3. Sean los números: 1; 2; 3; ...; n es una PA de razón r = 1

(a1 + an) n 2 & de la PA a1 = 1; an = n ; r = 1 n^n + 1h (1 + n) ` Sn = n= 2 2

Clave B

& sabemos Sn =

10. Del enunciado:

a3 = 18 & a1 + 2r = 18 a7 = 30 & a1 + 6r = 30 De (1) y (2): & a1 = 12 / r = 3

4. Como es una PA:

an = a1 + (n - 1)r observamos que r = 4 n = 20 a1 = 10 & a20 = 10 + (20 - 1)4 ` a20 = 86

...(2)

Luego: a17 = a1 + 16r = 12 + 16(3)

Clave E

5. Sabemos que an = a1 + (n - 1)r

(a - a ) & n = n 1 + 1 r Datos: an = 119 (último término) n = 29 r=4 & En la ecuación (I) (119 - a1) +1 29 = 4 ` a1 = 7

...(1)

a17 = 60 a1 + a17 m 17 = c 12 + 60 m 17 2 2 ` S17 = 612 & S17 = c

... (I)

Clave D

11. Sean las edades:

a1; a 2 y a 3 . . a1 qa1 a1q2

Dato: a1 . a2 . a3 = 27 000 a13 q3 = 27 000 & a1q = 30

Por lo tanto, la edad de la persona intermedia es 30. Clave C

Clave B


45

19. a5 = a1 . q4 & 24 = a1 . q4 ...(1)


a2 = a1 . q & 81 = a1 . q


Dividiendo (1) entre (2):

12. I) 1; 3; 5; ...; 55 PA de razón r = 2

4 24 = a1 q & q3 = 8 & q = 2 81 a1 q 27 3

II) Fila n.° 17 = a17 = 1 + (16)2 = 33

III) n.° total de bolitas

S = 1 + 3 + 5 + ... + 55 (1 + 55) & Sn = n 2 n = = 55 - 1 + 1 = 28; en Sn 2 ` Sn = 28 # 28 = 784 bolitas

Reemplazando q = 2 en (2): 3 81 = a1 . 2 & a1 = 243 3 2 & a1; a2; a3; a4; a5; a6 243 81 54 36 24 16 2

S6 = b 4 + 128 l 6 2 = 396 4 8 SL = 1- 1 2 396 = 49, 5 M= 8

Por lo tanto: El número de términos enteros es 5.

13. M =

Clave A

20. Sean: a1; a2; a3; a4; a5 números enteros en PG creciente.

Dato:


▪▪ S5 = a1

14. En una PA: r = m - 2 - (m + 3)

r = -5

▪▪ P5 = Clave D

15. Dato: a5 = a1 + (5 - 1) 1 = 4

& a1 = 2

...(2)

q-1

...(1)

= 31

â1 .a5h5 = 1024

a1a5 = 24 = 16; a5 = a1q4

2

^q 5 - 1 h

& a12 q4 = 16 & a1q2 = 4

...(2)

De (1) y (2): q = 2 / a1 = 1 ` q + a1 = 3

Piden: a15 = a1 + (15 - 1) 1 = 2 + 7 2 a15 = 9

Clave A

Clave A

16. Como:


-2

a1 = 2 / q = 2 & a49 = a1 .q48 = 2-2 . 248 ` a49 = 246

21. En un triángulo se cumple: Clave C

17. Dato: a4 = 2 / a10 = 128

a4 = a1 . q3 a10 = a1 . q9

Clave C

22. I) Fila 1

Luego: a10 q9 = 3 = q6 a4 q 128 = q6 & q6 = 64 = 26 2 ` q=2

10° + 10° + r + 10° + 2r = 180° 30° + 3r = 180° 3r = 150° r = 50° Pero piden el mayor 10° + 2r = 110°

3

Fila 2

Fila 3

Fila 4 ... Fila 10

6

12

24 ... x ...

Es una PG de razón: q = 2

& t10 = 3(2)9 = 3 # 512 = 1536

II) 3 + 6 + 12 + 24 + ... + 3(2)11 (suma de las 12 filas) Clave B

S12 =

3 (212 - 1) = 3 # 212 - 3 = 12 285 2-1

Resolución de problemas 18. Dato: primer término a1

Razonamiento y demostración 23. A = 1 + 22 + 13 + 24 + ... 7 7 7 7

quinto término a1q4 donde q: razón a1 q4 = 16 & q = 2 & a1 Dato: a1 + a1 16 = 51 17a1 = 51 a1 = 3 a3 = a1q2 & a3 = 3 . 22 = 12 Clave C

46 Intelectum 1.°

A = c 1 + 13 + 15 + ... m+ c 22 + 24 + 26 + ... m 7 7 7 7 7 7 2 2 1 1 7 + 72 = 7 + 49 A= 48 48 1 - 12 1 - 12 49 49 7 7

A= 7 + 2 = 9 48 48 48

29. : a1 ; a2 ; a3; a4; ...; a10

` A= 3 16

Datos: ▪▪ a1 + a2 + a3 + … +a10 = 60 Sabemos que: a +a Sn = c 1 10 m 10 = 60 2 & a1 + a10 = 12 …(I) …(II) Dato: a10 - a1 = 18

Clave B

24. 5° = 50; 55; 60; 65 ... 145; 149

PA de razón 5 145 55 + 1 n= 5 n.° términos: 19

Sumando (I) y (II): 2a10 = 30 ` a10 = 15

(55 + 145) 19 2 S10 = 1900

& S20 =

Clave A

Clave C

MARATÓN MATEMÁTICA (página 94)

25. De la PG: q = 2 = 2

1.

2

& a10 = a1q & a5 = a1q

10 - 1

a) |x - 3| = 4 & x-3=!4 x1 = 7 ; x2 = -1

5-1

a10 = q5 = a5

5

logx9 = 2 & x2 = 9 x=!3 x1 = +3 0 x2 = -3

2 =4 2 Clave D

26. De la PA:

Por definición de logaritmos: x>0 & x=3

5b + 3a - (4a - 3b) = 4a - 3b - (a + b) 8b - a = 3a - 4b 12b = 4a a =3 b

log3(x + 2) + log39 = 1

log3(x + 2) + 2log33 = 1

Clave A

log3(x + 2) = -1

x + 2 = 3-1 x= 1 -2= -5 3 3

Resolución de problemas 27.

SL = 8 a1 = 8 & a1 = 8(1 - q) ...(1) 1-q Además: a1 + a2 = 6 a1 + a1 . q = 6

a1(1 + q) = 6 & a1 =

De (1) y (2): 8(1 - q) =

6 1+q

b) F(x) = 7x - 3 (Evaluando)

q2 = 1 & q = 1 4 2 Reemplazando este valor en (1): ` a1 = 4

Clave D

a10 = a1 + 9r & a1 + 9r = 39 De (1) y (2): & r = 4 / a1 = 3 ^2a1 + ^n - 1h r h n Sn = = 465 2 (6 + (n - 1)4)n = 930 (4n + 2)n = 930 (2n + 1)n = 465 (2n + 1)n = 31 . 15 ` n = 15

11

25

46

18

-17

x

2

4

7

3

-2

c) 1; 3; ... 38; 39

...(2)

6 & 1 - q2 = 6 = 3 8 4 1+q

28. a5 = a1 + 4r & a1 + 4r = 19

F(x)

...(1)

Es una progresión geométrica de razón 3.

PG: Sn = a1 e

n: n° de términos = 10 ; q: razón = 3

& Sn = 1

-3; 4; ...; 95;102

PA de razón 7

Sn =

...(2)

qn - 1 o q-1

^310 - 1h

3-1

10 = 3 -1 2

(- 3 + 102) n 2

& Sn = 812

102 - (- 3) +1 7 n = 16 n=

(x - 7) (x + 1 - 8) =2. F(x) = 7 - x = x+1 x+1 8 -1 & F(x) = x+1

Clave E

x+1

Del dominio formamos F(x). 0< x#5 1< x+1 #6


47

Evaluando: 3k + 2k = 30 k=6 & f(x) = 6k

1 # 1 <1 6 x+1 4 # 8 <8 3 x+1 1 # 8 -1 <7 3 x+1

En lo que piden

F(x) Clave A

3. |x - 3| = 3

6 (7) + 6 (8) =5 6 (3)

9. Por definición:

x-1>0 & x > 1 / x - 3 > 0 / x ! 4 & x ! G0, + 3H - {4}

x-3= !3 x1 = 6; x2 = 0

Clave D

4. 4x - 2x + 2 - 32 = 0

22x - 2x + 2 - 25 2x -2 . 22 x 2 2 2

- 2 . 2x + 2 2x + 2

x>3

De la ecuación: (x - 3)2 = x - 1 x2 - 7x + 10 = 0 x -5 x -2 & x = 5; x = 2 & x = 5 (cumple con la restricción) Clave D

-2x + 2

10. Invitados

(2x - 23)(2x + 22) = 0 & 2x = 23 0 2x = -22 & x = 3

7; 10; 13; ... 37 & Es una PA. Clave C

5. T11 = a1 + (11 - 1)r = 25

T4 = a1 + (4 - 1)r = 11

& El tiempo que transcurre n (n.° términos) # 5(min)

... (I)

& De la PA: n = 37 - 7 + 1 = 11 3

... (II)

` El tiempo que transcurre 11 . 5 = 55 minutos Clave C

(I) - (II): 7r = 14 `r=2 Clave A 2

2logxy = 10 & logxy = 5 & xy = 10 & xy = 10

...(1) ...(2)

(2) en (1): 960 =

` a=5 Clave C

x = T12 = -5 + (12 - 1)4 razón & x = 39 y = T20 = -5 + (20 - 1)4 y = 71 & x + y = 110

48 Intelectum 1.°

an - 10 + 1 ...(2) 4 (an + 10) (an - 6) 8

96 . 80 = (an + 10)(an - 6)

& an -6 = 80

an = 86 (páginas que lee el último dia)

Clave D

f(3) + f(2) = 30

10 + an m n ...(1) 2

producto de 2 números que se diferencian en 16

7. En la PA de razón 4:

8. Función de proporcionalidad F(x) = kx

PA de razón 4

n.° de dias: n =

Igualamos (1) y (2): 10a = 105

Total de páginas: 960 = Sn = c

De logxy = a a

11. Páginas que lee: 10 + 14 + 18 + ... + an

2

6. Del dato: logx + logy = 10 5

Clave A

& En (2): n = 86 - 10 + 1 = 20 (dias en que demorará en leer toda la obra) 4 & Del 12 al 30 de abril trascurrieron 17 días. ` Terminará el 3 de mayo. Clave E

05 SOLUCIONARIO_ALG 1°

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