04 - Linijski elementi.pdf

4. LINIJSKI ELEMENTI

4.1. GREDNI NOSAČI 4.1.1. KARAKTERISTIKE, PRIM PRIMENA ENA I SISTEMI Grednim nosačima smatramo one linijske elemente koji su pretežno opterećeni na savijanje silama. Javljaju se sastavnim delom praktično svih inženjerskih konstrukcija i najčešće su horizontalnog pravca pružanja. U zgradarstvu se primenjuju kao noseći elementi međuspratnih konstrukcija, kao glavni nosači krovnih konstrukcija većeg raspona, kao sastavni deo temeljnih konstrukcija (temeljne kontragrede). Kod mostova grednog sistema primenjuju se kao glavni isekundarni isekundarni nosači mostovske mostovske konstrukcije. Pojavljuju se i kao sastavni deo složenijih armiranobetonskih elemenata: rigle ramovskih konstrukcija, gredni nosači kombinovanih sistema, osnovni elementi temeljnih roštilja itd. U konstrukcijama se gredni elementi najčešće javljaju u sklopu sa drugim elementima: stubovima, pločama, zidovima (Sl. 73).

Sl. 72. Statički sistemi grednih nosača

Načelno, gredni nosači mogu biti projektovani preko jednog ili više raspona. Statički sistem grednog nosača je određen rasporedom oslonaca, koji mogu biti formirani kao nepomerljivi ili pomerljivi (potpuno, delimično). Ređi je slučaj da je greda na svom jednom kraju uklještena u masivni zid ili neki drugi element konstrukcije. U konstrukcijama zgradarstva su najčešće kruto vezane za vertikalne oslonce (stubove), čime se formiraju armiranobetonski okviri (Sl. 72). Grednim nosačima se mogu smatrati elementi kod kojih je odnos visine poprečnog preseka i raspona nosača manji od 0.20. U ovim slučajevima su zadovoljene osnovne pretpostavke tehničke teorije savijanja (zanemarenje normalnih napona σ y). Za veće odnose visine prema rasponu, grede se tretiraju saglasno teoriji ploča opterećenih u svojoj ravni, kao zidni nosači ili visoke grede. Ipak, u praksi je uobičajen gredni tretman elemenata sve do odnosa visine prema rasponu od 0.40.

81

Brujić – Betonske konstrukcije - radna verzija - 3 jun 2010

Sl. 73. Okvirne i roštiljne konstrukcije

4.1.2. OBLIKOVANJE OBLIKOVANJE Gredni nosači se najčešće projektuju punog pravougaonog poprečnog preseka. U slučaju krute veze sa međuspratnom pločom, preseci nosača postaju T-oblika, budući da, kao pritisnuta, ploča saučestvuje u prenosu napona pritiska. Za prefabrikovane gredne elemente je karakteristična optimizacija poprečnog preseka i za manje raspona. Tada se koriste T-preseci, nesimetrični i simetrični Ipreseci ili, zavisno od namene i opterećenja neki drugi, razuđeni oblik poprečnog preseka.

Sl. 74. Karakteristični poprečni preseci grednih nosača

Kod većih raspona, u cilju uštede u težini, grede se mogu projektovati razuđenih ili sandučastih preseka. Optimalan oblik preseka je određen potrebnom nosivošću pritisnute zone betona, te minimiziranjem zategnute površine betonskog preseka na meru dovoljnu za smeštaj i pravilno vođenje armature. Širina nosača je primarno funkcija zadovoljenja glavnih napona zatezanja, ali se proporcionalno menja sa visinom nosača. Razuđeni oblici preseka su karakteristika montažnih grednih elemenata, te većih raspona. Uobičajene visine poprečnih preseka greda se nalaze u rasponu od 1/12 do 1/8 raspona. 82

4. Linijski elementi

Po dužini, gredni nosači mogu biti konstantnog ili promenljivog preseka. Silueta nosača se, kada je to ekonomski opravdano, projektuje tako da približno prati promenu momenata savijanja. Promenljiva silueta se može postići izvođenjem vuta, što je čest slučaj kod kontinualnih nosača u okolini oslonaca (mesta maksimalnih momenata savijanja). Vute su obično vertikalne i mogu biti projektovane kao pravolinijski ili krivolinijske (Sl. 75). U pojedinim situacijama kada je visina limitirana, opravdano je projektovanje horizontalnih vuta proširenjem preseka (Sl. 75).

Sl. 75. Vertikalne i horizontalne vute

Vertikalne vute se izvode strmije od horizontalnih. Proračunski, vertikalne vute su limitirane nagibom na 1:3, ma kako da su izvedene, dok horizontalne vute imaju uobičajene nagibe od 1:8 do 1:6. Uobičajene dužine vuta ne prelaze desetinu raspona grede. Jedna vrsta horizontalne vute se često primenjuje u oslonačkim delovima grednih elemenata (posebno karakteristično za montažne grede), kada se proširenjem preseka povećava moć prijema glavnih napona zatezanja, koji u ovim zonama imaju maksimalne vrednosti (Sl. 76). U konkretnoj situaciji, uobičajeno je proširenje rebra na širinu uže (donje) flanše.

Sl. 76. Oblikovanje oslonačkog dela grede nesimetričnog I-preseka

Sl. 77. Montažna greda promenljive visine

Osim vutama, promenljiva silueta može biti izvedena i promenom visine nosača duž cele njegove dužine, na primer. Takav je slučaj kod krovnih grednih glavnih nosača, 83


kada se gornja ivica projektuje u nagibu, kojim je greda opskrbljena maksimalnim visinama preseka na mestima maksimalnih momenata savijanja, a, sa druge strane, obezbeđen nagib za krovne ravni (Sl. 77). 4.1.3. PRORAČUN UTICAJA Proračun statičkih uticaja grednih nosača se, načelno, sprovodi saglasno linearnoj teoriji elastičnosti. Pri tome, za raspon grede se usvajaju odgovarajuća rastojanja sistemskih linija. Međutim, kada je širina oslonca veća od desetina raspona grede, ili kada nije moguće utvrditi položaj sistemnih linija, teorijski raspon grede (raspon grede u statičkom sistemu) može se usvojiti kao svetli raspon uvećan za 5%.

Sl. 78. Teorijski rasponi grednog nosača

Sa ovako usvojenim rasponima formira se statički sistem nosača, za koji se određuju uticaji. Iako je uobičajeno da se, za gredne elemente u konstrukcijama zgradarstva, uticaji određuju za ukupno opterećenje22. Ipak, kad god to može dovesti do značajnijih promena u rezultatima, neophodno je razmatrati različite rasporede korisnog opterećenja (skladišta, biblioteke, sportski objekti...), te eventualnu povoljnost delovanja pojedinih dejstava (različiti rasponi kod kontinualnih nosača, na primer).

Sl. 79. Minimalne „proračunske“ vrednosti momenata u polju kontinualne grede

Kod kontinualnih greda, bez obzira na rezultat određivanja statičkih uticaja, prilikom dimenzionisanja je, za pozitivne momente u polju, neophodno usvojiti vrednosti najmanje jednake onima koje odgovaraju mometima u polju obostrano, odnosno jednostrano, uklještene grede opterećene ravnomerno podeljenim

22

Razlog ovome je relativno mali udeo korisnog tereta u ukupnom u konstrukcijama zgradarstva. 84


opterećenjem (Sl. 79). Uklještenje nad krajnjim osloncem kontinualne grede je opravdano usvojiti u statičkom sistemu samo kada je ono konstruktivnim merama obezbeđeno i dokazano. Kontinualne grede oslonjene na zidove ili stubove od opeke, kada rotacija grede nije sprečena, dakle, nad osloncima treba dimenzionisati prema redukovanoj, paraboličnoj raspodeli momentnog dijagrama (Sl. 80a). Češći slučaj je kruta veza grede sa stubovima, kada je opravdano oslonački presek grede dimenzionisati na momente na ivici oslonca (Sl. 80b).

Sl. 80. Oslonački momenti kod kontinualnih greda zglobno i kruto spojenih sa osloncima

Prikazani su (Sl. 81) karakteristični oblici dijagrama momenata savijanja za najčešće statičke sisteme (prosta greda, kontinualna greda, okvir) u kojima se nalaze gredni elementi. Načelno, greda kod koje je nad krajnjim osloncima ostvareno delimično ili potpuno uklještenje je, statički, povoljnija od zglobne, jer joj odgovaraju manje ekstremne vrednosti momenata savijanja. Ipak, kada postoji opasnost od neravnomernog sleganja oslonaca ili nekog drugog deformacijskog opterećenja, statički određene ili manje statički neodređene konstrukcije su u prednosti. Kod montažnih konstrukcija, jednostavnije je izvođenje zglobnih od krutih veza (Okvir 3).

Sl. 81. Dijagrami momenata savijanja u grednim nosačima

U okvirnim konstrukcijama grede su najčešće kruto vezane za stubove. Stepen elastičnog uklještenja kraja grede u ostatak okvirne konstrukcije može biti približno određen - procenjen (moment elastičnog uklještenja) korišćenjem prve iteracije Cross-ovog postupka, na primer, kako je to pokazano na Sl. 82. Rezultat je dovoljne tačnosti za potrebe dimenzionisanja, kada je o vertikalnom opterećenju reč, te o horizontalno ukrućenim okvirima. Tada se momenti u srednjim stubovima mogu zanemariti.

85


Sl. 82. Određivanje momenta uklještenja kraja grede prvom iteracijom Cross-ovog postupka Okvir 3

Montažni P-okvir

Optimalno formiran okvir od montažnih elemenata bi, saglasno rečenom, bio formiran od stubova G-oblika, proizvedenih sa konzolnim ispustom dela grednog elementa, kako je prikazano na prvoj skici. Pozicioniranjem nastavaka/spojeva montažnih elemenata na mestima nultih momentnih tačaka odgovarajućeg monolitnog P-okvira, uz obezbeđenje prenosa aksijalne i transverzalne sile, bi omogućilo izostajanje potrebe za ostvarivanjem momentnog kontinuiteta na mestu spoja. Dijagram momenata bi imao isti oblik kao da je okvir monolitan.

Međutim, značajno je jednostavnija (jeftinija) proizvodnja, transport i montaža pravih elemenata, nego elemenata izlomljene ose. Ovo je najčešće odlučujući faktor optimizacije u korist nepovoljnijeg statičkog sistema, kojim se momentno ne angažuje spoj grede i stuba (desna slika). Određenu kompenzaciju može da predstavlja racionalniji oblik poprečnog preseka, karakterističan za montažne elemente.

4.1.3.1. Preraspodela momenata savijanja i duktilnost preseka Statički uticaji kod statički neodređenih konstrukcija su funkcija krutosti elemenata i njihove promene. Krutosti po dužini armiranobetonskih elemenata se menjaju u skladu sa dostignutim naponsko-deformacijskim stanjem, isprskalošću preseka, promenom količine armature... Na Sl. 83 su prikazana karakteristična naponskodeformacijska stanja grednog elementa opterećenog dvema koncentrisanim silama. Malim momentima savijanja odgovara pravolinijska raspodela normalnih napona (Ia), i u pritisnutom i u zategnutom delu. Momentima neposredno pred pojavu prslina (Ib) odgovara linearno promenljivo naponsko stanje u pritisnutoj i nelinearno promenljivo u zategnutoj zoni. Za momente jednake i veće od momenta pojave 86


prsline, javljaju se prsline (na ovim mestima je zatežući normalni napon u betonu jednak nuli), a raspodela napona pritiska po visini pritisnute zone je kvazi-linearna (II). Daljim povećanjem opterečenja, šire se prsline, zategnuta podužna armatura je u plastičnoj fazi rada, a pritisnuti beton trpi nelinearne deformacije, zbog čega se i naponski dijagram odlikuje visokom nelinearnošću (III). Ovo stanje, stanje III, odgovara graničnom kapacitetu nosivosti preseka i koristi se za proračun preseka prema graničnoj nosivosti.

Sl. 83. Karakteristična naponsko-deformacijska stanja grednog ele menta

Uticaji određeni primenom linearne teorije elastičnosti su, kod armiranobetonskih elemenata u statički neodređenim konstrukcijama, „realni“ samo za male nivoe opterećenja. Razvoj prslina i plastifikacija u čeliku za armiranje mogu, nekad, kvalitativno da promene stanje naprezanja elementa. I pored toga, linearna teorija elastičnosti, odnosno uticaji određeni njenom primenom, se koristi i za uticaje u stanju granične nosivosti. Kasnije, prilikom dimenzionisanja poprečnih preseka, uvažavaju se činjenice nelinearnog deformisanja, ali sa uticajima koji, još jednom, odgovaraju linearnoj teoriji elastičnosti. Postavlja se pitanje koliko ovakva nedoslednost može biti održiva i opravdana. Sa stanovišta jednostavnosti primene, nema dileme da je prednost na strani ovakvog pristupa. Ali, čak i kad je opravdanost u pitanju, ovakav koncept je održiv. Naime, rezultati linearne teorije elastičnosti predstavljaju jedno moguće ravnotežno stanje statički neodređene konstrukcije. Konstrukcija (i elementi) dimenzionisani i armirani saglasno ovim uticajima će se u velikoj meri i ponašati na ovaj način. Posledica je ovo, pre svega, činjenice da se, kolokvijalno, „armiranobetonski elementi ponašaju na način na koji su armirani“. Ovo ne znači da se u tako armiranoj konstrukciji neće realizovati preraspodele naprezanja, naravno, ali svakako ne u istoj meri u kojoj bi to bio slučaj da je sa ovakvim preraspodelama kalkulisano. Preraspodela naprezanja između preseka i elemenata konstrukcije je moguća tek ukoliko je najopterećenijim presecima (zonama) omogućena dovoljno „dugačka“

87


plastična rotacija23. Preseci koji se odlikuju visokom sposobnošću postelastične (plastične) rotacije, duktilni preseci, su, na osnovu iznetog u prethodnom paragrafu, neophodni i kod konstrukcija/elemenata koji su proračunati i armirani saglasno uticajima linearne teorije elastičnosti. Pad krutosti preseka je funkcija nivoa naprezanja, oblika poprečnog preseka. Na Sl. 84 je prikazano kako za tri različita poprečna preseka (jedan pravougaoni i dva Tpreseka zategnuta u različitim zonama) kvalitativno i kvantitativno izgleda pad krutosti sa prirastom spoljašnjeg momenta savijanja.

Sl. 84. Promena krutosti sa prirastom momenta savijanja (na nivou preseka)

Za pravougaoni i T-presek zategnut u donjoj zoni karakterističan je relativno strm pad krutosti sa pojavom i razvojem prslina, te održavanje konstantne krutosti isprskalog preseka sve do pred lom. T-presek zategnut u gornjoj zoni se karakteriše mnogo dužim padom krutosti, koji je karakteristika praktično celog intervala od pojave prslina do loma. Kvantitativno, konstatujmo i da pad krutosti može biti vrlo velik, reda veličine 30 do 60%.

Sl. 85. Zavisnost moment savijanja – krivina preseka

Sada ćemo posmatrati kako se povećanje momenta savijanja koji deluje na poprečni presek, na primer pravougaoni, odražava na promenu krivine preseka. Idealzovano, ovo je prikazano na Sl. 85. Dijagram je, na neki način, analogan dijagramu napondilatacija, a nagib krive u nekoj tački definiše krutost preseka.

23

Rotacija kritičnih preseka je osnova mehanizma transfera opterećenja u realizacij preraspodele. 88


U fazi malih vrednosti momenata, sve do pojave prslina, prirast krivine je, saglasno Hooke-ovom zakonu, linearan. Pri momentu M pr javljaju se prsline24, zbog čega krutost pada (nagib krive je manje strm), a prirast krivine sa povećanjem momenta savijanja je veći. Na ovaj način su dve veličine povezane sve do trenutka dostizanja granice razvlačenja u zategnutom čeliku. Čelik koji se do tada ponašao linearno prelazi u plastičnu fazu rada (pri krivini κ v) , koja se karakteriše prirastom dilatacija bez (ili sa malim) prirasta napona. Povećanje dilatacija u čeliku je praćeno, usled potrebe očuvanja ravnoteže preseka, (manjim) povećanjem dilatacija u betonu i smanjenjem visine pritisnute zone betona. Kako sila u armaturi, sa ovim povećanjem dilatacije, ostaje približno konstantna, a promena kraka unutrašnjih sila (iako se povećava) nije značajna, to se i moment savijanja ne menja sa povećanjem dilatacija. Ili, presek nije u stanju da prihvati svo ono momentno opterećenje koje se javi nakon dostizanja plastifikacije u armaturi. Povećanje dilatacija, po definiciji, znači i povećanje krivine preseka, što se na analiziranom dijagramu manifestuje kao približno horizontalna grana – prirast krivine bez prirasta momenta savijanja. Krutost preseka za ovaj nivo opterećenja je bliska nuli. Sam presek se, naponski, opire spoljašnjem momentu koji odgovara momentu nosivosti preseka, ali se za dalji prirast opterećenja ponaša kao zglob – plastični zglob (iznad nekog nivoa opterećenja rotacija je nesprečena). Kako je povećanje krivine praćeno redukcijom visine pritisnute zone betona, to se lom, kolaps, preseka događa, najčešće, imajući na umu vrlo visoku sposobnost čelika za dugu plastičnu deformaciju, drobljenjem pritisnutog betona, za krivinu koja je na slici obeležena sa κ u. Dijagram na Sl. 85 direktno definiše faktor duktiliteta krivine preseka napregnutog na savijanje, kao količnik dve krivine – krivine pri lomu i krivine pri kojoj počinje plastično deformisanje čelika: D =

κ u . .............................................................................................. (4.1) κ v

Ova veličina predstavlja meru žilavosti preseka. Smatra se da je preraspodela uticaja u statički neodređenim konstrukcijama obezbeđena tek nakon ostvarenja duktiliteta većeg od nekog koji je u intervalu između 3 i 6. Mere kojima je duktilitet moguće povećati, prilikom projektovanja se, pre svega, odnose na poboljšanje karakteristika pritisnute zone preseka, budući da je njegov kolaps najčešće izazvan drobljenjem betona, te da je čelik „kritičan“ samo u situacijama vrlo jako armiranih poprečnih preseka: •

Smanjenje procenta armiranja podužnom zategnutom armaturom. Ovim se ne želi reći da preseke treba pod-armirati. Proračunom se određuje minimalno potrebna količina armature u preseku i ona tamo mora biti i obezbeđena u elementu. Ideja je da se ukaže na kontradiktornu situaciju

24 Razvoj

prslina nije trenutan fenomen i realna kriva nema ovako izražene tačke loma. 89


kada višak čelika za armiranje ne rezultira dodatnom sigurnošću (prikazano na Sl. 86, za dva procenta armiranja, µ 1>µ 2) . Duktilni preseci su armirani količinom zategnute armature koja je maksimalno bliska potrebnoj, određenoj uz uvažavanje svih postojećih okolnosti koje mogu uticati i na njeno smanjenje (na primer činjenica prisustva pritisnute armature u drugoj zoni). •

Armiranje pritisnute zone preseka. Čelik je, svojim nosivim karakteristikama, superioran u odnosu na beton čak i kada je prijem pritiska u pitanju. Zato, dodavanje čelika u pritisnutu zonu ima za posledicu povećanu mogućnost prijema pritiska, a samim tim seodlaže i trenutak kolapsa preseka.

•

Kvalitet betona. Očigledno je da više marke betona obezbeđuju prijem većih napona/sila pritiska, te da povoljno utiču na duktilitet.

•

Utezanje preseka gustom poprečnom armaturom. Poprečna armatura, obuhvatajući pritisnutu zonu, sprečava bočno širenje unoseći napone pritiska i u ravni normalnoj na pravac osnovnog pritiska. Ovako utegnut presek je sposoban za prijem većih pritisnih naprezanja od slabije utegnutog preseka.

•

Vrsta čelika. Načelno, čelici sa nižom granicom razvlačenja (GA ima granicu razvlačenja na dilataciji od oko 1.2 promila) su duktilniji od onih sa višom (RA – približno 2 promila). Sa Sl. 85 proizilazi da će krivina κ v imati manju vrednost, te da će time i duktilitet biti veći. Ipak, ovde treba biti oprezan. Za prijem istih uticaja prilikom dimenzionisanja, glatkog čelika će biti oko 65% više, koliko proizilazi iz odnosa njihovih granica razvlačenja (400/240~1.67). Na račun ovoga, konačni ishod po pitanju duktiliteta ne mora uvek biti na strani GA. Uticaj količine armature (nivo uticaja koji su je odredili) je sada presudan. Sa Sl. 87 ovo se, za nižu marku betona može i očitati.

Sl. 86. Dijagram moment savijanja – krivina za dva različita koeficijenta armiranja

Ako je presek, osim momentom, opterećen i aksijalnom silom, treba imati u vidu da aksijalna sila pritiska smanjuje, a zatezanja povećava duktilnost.

90


Sl. 87. Uticaj kvaliteta betona i vrste čelika na duktilitet preseka

Prepoznajmo, još jednom, na Sl. 85 tri veličine krutosti koje odgovaraju prirastu spoljašnjeg momenta savijanja. Usvajajući ovakvu, skokovitu, promenu krutosti, na primeru obostrano uklještene grede biće pokazan (Sl. 88) tok preraspodele.

Sl. 88. Preraspodela momenta savijanja obostrano uklještene grede

Posmatrana greda je, zbog jednostavnosti analize, usvojena konstantne krutosti i nosivosti, kako po dužini, tako i za slučajeve zategnute gornje, odnosno donje zone. Analizira se promena momenata savijanja u krajnjem i u preseku u sredini raspona sa prirastom ravnomerno podeljenog opterećenja na gredi. Saglasno linearnoj teoriji elastičnosti, oslonački moment je dva puta, apsolutno, veći od momenta u polju. Sa prirastom opterećenja, do početka razvoja prslina, ovo će i biti slučaj. Kada se dostigne moment pojave prslina (tačka A1, skica c) u oslonačkom preseku, doćiće i do pada njegove krutosti. Kako je, sada, presek u sredini raspona 91


(neisprskao) veće krutosti, to će mu, pri daljem prirastu opterećenja, odgovarati i brži prirast momenta, sve do trenutka formiranja prslina u središnjem delu elementa (tačka B2, skica d). Opet ravnopravnih krutosti, preseci teže da uspostave momentnu sliku koja jednakim krutostima odgovara (dvostruko veći oslonački moment). Zato je dalji prirast momenta u sredini vrlo mali, a nad osloncem strm. Ovakvo ponašanje se prekida dostizanjem granice razvlačenja čelika u oslonačkom preseku (tačka D 1, skica e). Sada, dalje povećanje opterećenja ne može biti više praćeno prirastom momenta nad osloncem, ovaj presek rotira na račun plastične deformacije, a posledica ove rotacije je dalji „život“ grede, tj. preraspodela naknadnog opterećenja ka preseku u sredini, koji još nije dostigao, u čeliku, granicu razvlačenja. Konačno, kada je i ovaj presek dostigne (skica f), svako dalje povećanje opterećenja aktivira statički sistem kritične konfiguracije, koji nije održiv. Ovim je definisan kraj nosivosti grede, ali je očigledno da je greda, statički neodređena, u stanju da primi viši nivo opterećenja od onoga koji rezultira momentom nosivosti kritičnog (ili kritičnih) preseka. Krajnji dijagram momenata savijanja ima jednake vrednosti momenta u polju i nad osloncem – momenat je preraspodeljen. U praksi, realizacija celog opisanog toka bi bila praćena vrlo velikim deformacijama čelika i, samim tim, velikim otvorima prslina. Budući da je reč o plastičnim deformacijama, po rasterećenju greda bi u znatnoj i vidljivoj meri bila oštećena. 4.1.3.2. Linearna teorija sa ograničenom preraspodelom Iako je pokazano da primena linearne teorije elastičnosti za granično stanje nosivosti može biti opravdana, valja primetiti da, pokrivajući jedno moguće ravnotežno stanje, na ovaj način nije obezbeđeno najracionalnije projektovanje. Ili, utrošak materijala, eventualno i dimenzije preseka, bi mogao biti manji. Dimenzionisanje koje bi za cilj imalo ovu vrstu optimizacije je bazirano na preraspodeljenim uticajima. Zbog velike međuzavisnosti ulaznih i izlaznih faktora u ovoj analizi, do potpunog optimuma nije lako doći, nego bi se rešenja morala tražiti zametnim iterativnim postupcima u kojima je relativno velik broj variranih parametara. Pravilnikom je dopušteno da se, pri proračunu prema graničnim stanjima loma, sile u presecima (konkretno, momenti savijanja) statički neodređenih nosača, sračunate prema linearnoj teoriji elastičnosti, umanje ili povećaju za sledeću vrednost datu u procentima:  µ − µ 2  20 ⋅ 1 − 1  . ................................................................................ (4.2) µ lim   µ 1

koeficijent armiranja zategnutom podužnom armaturom,

µ 2

koeficijent armiranja pritisnutom podužnom armaturom,

µ lim

granična vrednost (granica) procentna armiranja.

92


Povećanje momenata savijanja u jednom preseku zahteva njegovo povećanje u drugim presecima, kako bi uslovi ravnoteže ostali zadovoljeni. Ili, na ovaj način se statički neodređena konstrukcija „podvrgava“ drugom ravnotežnom stanju. Granica procenta armiranja je data u sledećem obliku: µ lim = 0.405 ⋅

f B

σ v

, .................................................................................. (4.3)

a mogućnost primene preraspodeljenih uticaja se ograničava sledećim uslovom: µ1 − µ 2 ≤ 0.5 ⋅ µ lim . ............................................................................... (4.4) Granica µ lim je proistekla iz analize pravougaonog poprečnog preseka (ili, bar preseka sa pritisnutom zonom pravougaonog oblika) i ograničenju pritisnute visine preseka na četvrtinu statičke visine: x ≤ 0.5 ⋅ xlim = 0.25 ⋅ h , ........................................................................... (4.5) gde je sa x lim obeležena visina pritisnute zone koja odgovara stanju dilatacija od ε b/ ε a = -3.5/3.5. Analizom izraza (4.2), može se zaključiti da se dozvoljena preraspodela kreće u granicama između 10 i 20%: • 10% za µ1 − µ 2 = 0.5µ lim , •

20% za µ1 − µ 2

= 0.

Povećanjem količine pritisnute armature se povećava duktilnost (smanjenjem pritisnute visine preseka) i omogućuje preraspodela. Efekti proračuna na bazi preraspodeljenih uticaja mogu biti: smanjenje ukupne količine armature (čest slučaj kod nosača sa velikim udelom korisnog opterećenja) i/ili smanjenje razlike u potrebnoj armaturi oslonačkih zona i preseka u polju, čime se postiže ujednačenije armiranje dve zone i izbegavaju se jako armirani oslonački preseci. U oba slučaja, efekti su pozitivni, te se primena preraspodele u ograničenom obliku preporučuje. Razlozi za ograničenje stepena preraspodele su u činjenici da visokim duktilnostima (koje zahtevaju viši stepeni preraspodele) mogu biti ugrožena granična stanja upotrebljivosti elementa (prsline, ugibi). 4.1.4. DIMENZIONISANJE Pod dimenzionisanjem se, u užem smislu, podrazumeva određivanje potrebnih količina pojedinih armatura elementa, na bazi određenih uticaja i poznate geometrije betonskih preseka. Redovno je proračun prema graničnim stanjima loma merodavan za dimenzionisanje, ali ovo je neophodno dokazati kontrolom graničnih stanja upotrebljivosti. Samo u retkim situacijama (jako opterećeni i armirani elementi, strogi zahtevi po pitanju ugiba i/ili prslina) granično stanje upotrebljivosti je „kritično“ i zahteva korekciju potrebnih količina armature određene prema prvom. Budući da je teorija proračuna elemenata prema graničnim stanjima već prikazana, na ovom mestu su date samo neke dodatne napomene. 93


Podužna armat armatura ura grednih elemenata je, načelno, produkt proračuna grednog

nosača prema graničnom stanju loma na simultano dejstvo momenata savijanja i aksijalnih sila , saglasno već izloženom (#3.3). Pri tome, granične vrednosti uticaja momenata savijanja i aksijalnih sila odgovaraju istoj kombinaciji opterećenja. Za praktičnu primenu razvijena su inženjerska pomagala u obliku tablica (bezdimenzionalni koeficijent k , kao funkcija spoljašnjih uticaja, geometrije preseka i kvaliteta betona) ili specijalizovanog softvera. Osim toga, postupak obezbeđenja glavnih napona zatezanja, takođe, rezultuje potrebom za dodatnom količinom podužne armature: deo glavnog napona izazvan smicanjem zahteva dodatnu količinu zategnute armature, dok torzionim uticajima odgovara potreba za podužnom armaturom ravnomerno raspoređenom po obimu poprečnog preseka. U proračunu prema graničnom stanju nosivosti, za grede izložene raspodeljenom opterećenju, sadejstvujuća širina ploče (debljine najmanje 10% visine grede ili 8cm), u funkciji širine grede (b 0 ), razmaka nultih momentnih tačaka grede (l 0) i međusobnog rastojanja greda (e ), iznosi za simetrične preseke (Sl. 89a):  b0 + 20 ⋅ d  b = min b0 + 0.25 ⋅ l0 ............................................................................ (4.6)  e 

Za nesimetrične T-preseke, ako je sprečeno bočno pomeranje i torzija (Sl. 89b):  b0 + b1 + 8 ⋅ d  b′ = min b0 + b1 + 0.25 ⋅ l0 / 3 .................................................................. (4.7)  e / 2 

Sl. 89. Sadejstvujuća širina ploče

Za ploče čija je debljina maja od desetine ukupne visine grede: b0 + 12 ⋅ d ............................................................................... (4.8) b = min  e  b0 + b1 + 5 ⋅ d b = min  ........................................................................... (4.9) e / 2 

U proračunima prema graničnim stanjima upotrebljivosti – ugiba, kao i za proračun statičkih uticaja, preporuka je da se za simetrične T-preseka usvaja manja širina: b = b0 + 6 ⋅ d ...................................................................................... (4.10) 94


Nesimetrične T-preseke, kada nije sprečena torzija i bočno pomeranje, treba dimenzionisati na dejstvo kosog momenta savijanja (koso savijan presek). Proračunska poprečna armatura je rezultat proračuna grednog elementa na dejstvo glavnih napona zatezanja izazvanih transverzalnim silama i momentima torzije. Najčešće se projektuje u obliku vertikalnih uzengija, čija se potreba određuje posebno za dejstvo smicanja, a posebno za dejstvo torzije. Višesečnost (više od 2) uzengija koje se prostiru celom visinom preseka može biti obuhvaćena proračunom samo na dejstvo smicanja.

Sl. 90. Prijem indirektnog opterećenja uzengijama

Iako je pravac pružanja kosih gvožđa takav da se njima postiže efikasniji (sa manjom količinom armature) prijem glavnih napona zatezanja, iskustveno se njihova primena pokazala nepovoljnijom (veće širine prslina) od primene samo vertikalnih uzengija. Zato, ova vrstu armature dobija preporuku primene samo kod preseka kod kojih bi armiranje vertikalnim uzengijama ugrozilo dobru ugradnju betona. Dodatno, povijanjem armature iz donje u gornju zonu, kosim delom redovno nije obezbeđeno i potrebno koso gvožđe, budući da je, redovno, mesto povijanja locirano suviše daleko od oslonca, tj. od mesta potrebe za kosim gvožđima. Kosa gvožđa se mogu projektovati samo u cilju prijema dela glavnog napona zatezanja izazvanog smicanjem.

Sl. 91. Prijem obešenog opterećenja uzengijama

95


U pojedinim situacijama, uzengijama je neophodno prihvatiti indirektno koncentrisano opterećenje (Sl. 90) ili optrećenje po donjoj ivici grede („obešeno opterećenje“). Tada se njihova potrebna dodatna količina određuje iz uslova da same mogu prihvatiti kompletno predmetno opterećenje (Sl. 91). Sa ciljem prijema obešenog ili indirektnog opterećenja, mogu se projektovati i kose šipke (Sl. 90). 4.1.5. ARMIRANJE25 Grede se mogu armirati glatkom GA, rebrastom ili Bi-armaturom. Prilikom usvajanja i raspoređivanja šipki podužne armature neophodno je izborom profila i njihovim razmakom obezbediti uslove dobre ugradnje betona, dobre prionljivosti i postizanja kompaktnog zaštitnog sloja. U Pravilniku, minimalni čist razmak dve šipke, i horizontalno i vertikalno, je 3cm, ali ne manje od prečnika najkrupnije šipke ili 80% prečnika najveće frakcije agregata (Sl. 92a). Ovim se, između ostalog, obezbeđuje i prostor za prolaz igle pervibratora u sve delove elementa prilikom ugradnje betona. Ipak, treba primetiti da je, na ovaj način definisan, minimalni razmak premali, te da bi u praktičnim situacijama preporuka išla u pravcu usvajanja većih razmaka. Posebno je diskutabilna, i teško ostvarljiva kod jače armiranih preseka, odredba kojom se minimalni razmaci moraju obezbediti i na mestima nastavljanja armature preklapanjem.

Sl. 92. Minimalni razmaci armaturnih šipki

Kako bi se postigla povoljnija slika prslina, maksimalni razmak između šipki glavne podužne armature je ograničen na 15cm. U vertikalnom pravcu, ovaj limit je 30cm, za elemente čija visina nije manja od 50cm (Sl. 92b), a obezbeđuje se ubacivanjem dodatnih podužnih profila ne manjih od Ø8.

Sl. 93. Svežnjevi (cvasti)

25 Posebne

odredbe koje se odnose na detalje armiranja greda konstrukcija u seizmičkim područjima će biti prikazane u sklopu poglavlja Višespratne zgrade. 96


Dopušteno je, ali ne i preporučljivo, grupisanje armaturnih prfoila u cvasti (maksimalno četiri profila). U situacijama jako armiranih preseka, grupisanje armature može biti jedini način obezbeđenja ugradnje betona. Sa druge strane, korišćenje svežnjeva ima za posledicu i sve efekte analogne ugradnji profila velikog prečnika (granična stanja upotrebljivosti). Ako se grupa šipki (cvast) zameni ekvivalentnim (po površini) prečnikom, onda se za cvasti primenjuju ista pravila raspoređivanja armature u poprečnom preseku (Sl. 93). U cilju sprečavanja krtog loma u trenutku pojave prsline, definisan je minimalni minimalni procenat armiranja glavnom zategnutom armaturom u funkciji marke betona (f bk ) i vrste čelika (Sl. 94): 3

µ 1,min

= 5.1

2

f bk

σ v

, f bk i σ v u MPa. ...................................................... (4.11)

Dodatno, u karakterističnim (lokalno najopterećenijim) presecima, minimalni koeficijent armiranja, bez obzira na prethodno, ne sme biti manji od 0.25% za glatku armaturu GA240/360, 0.20% za rebrastu RA400/500 ili BiA680/800 (Sl. 94, isprekidane linije). Ove odredbe se ne odnose na masivne betonske elemente.

Sl. 94. Minimalni procenti armiranja

Dimenzionisanjem su određene potrebe za podužnom armaturom samo u karakterističnim presecima. Potreba za armaturom duž nosača, kada aksijalne sile mogu biti zanemarene, se može odrediti prema liniji zatežućih sila , kojom se, grafički, određuje sila koju armaturom treba prihvatiti duž nosača. Sila zatezanja u armaturi je količnik momenta savijanja i kraka unutrašnjih sila: Z u =

M u z

. ......................................................................................... (4.12)

97


Sl. 95. Linija zatežućih sila

Kako bi se linijom zatežućih sila obuhvatila i potreba za dodatnom podužnom armaturom usled smicanja, to se „radna“ linija zatežućih sila određuje horizontalnom translacijom prethodne, momentne, za veličinu v , jednaku 75% statičke visine preseka kada se smicanje osigurava samo vertikalnim uzengijama, odnosno 50% statičke visine ako se za prijem smicanja koriste i kosa gvožđa26. sk retne sile , saglasno kotlovskoj Povijanje armature (i zategnute i pritisnute) izaziva skretne formuli (Sl. 96). Posledica skretnih sila je i pojava zatezanja upravno na ravan povijanja. U blizini ivice betonskog preseka ovo je posebno opasno, zbog mogućnosti istiskivanja zaštitnog sloja betona. Intenzitet skretnih sila je obrnuto proporcionalan radijusu povijanja, zbog čega je od izuzetne važnosti poštovanje pravila datih u smislu oblikovanja armature (#2.9.5).

Sl. 96. Skretne sile izazvane povijanjem armature

Sl. 97. Korišćenje ploče za smeštaj oslonačke podužne armature

Kod oslonaca kontinualnih nosača T-preseka, deo oslonačke podužne armature (ne više od 50% ukupne) se može smestiti u ploču, van širine rebra, i, time, se obezbediti bolji uslovi ugradnje betona. Kod projektovanja razuđenih (nepravougaonih) poprečnih preseka, po pravilu sa tankim rebrom, često se donji deo preseka oblikuje proširen u vidu donje flanše, čime se omogućava komforniji smeštaj podužne armature (Sl. 97). Deo armature u širini rebra može biti povijen u

26

Kosa gvožđa, pravca pružanja bliskog pravcu glavnih napona zatezanja, ne zahtevaju dodatnu podužnu armaturu. 98


gornju zonu (kosa gvožđa ili prijem negativnih momenata), a armatura van širine rebra se može postepeno ukidati, saglasno potrebi za armaturom. Vertikalne vute se armiraju posebnom podužnom armaturom koja prati ivicu preseka, a uzengije se na dužini vute projektuju promenljive visine. Podužna horizontalna armatura, u ovom slučaju, ne mora biti preklopljena. Kod horizontalnih vuta, glavna armatura se vodi neprekinuta (ili nastavljena) u širini nosača, a vuta dobija svoju podužnu armaturu po visini nosača. Uobičajeno je da armatura vute ima posebne uzengije, dok prava armatura nosača „zadržava“ svoje (Sl. 98).

Sl. 98. Armiranje vertikalnih i horizontalnih vuta

Kod slobodnih krajeva grednih elemenata (konzole), koji su po pravilu opterećeni koncentrisanim silama, podužnu glavnu armaturu iz gornje zone je poželjno poviti u donju zonu, preko čela nosača, sidrenjem „unatrag“. Čelo nosača se obezbeđuje horizontalnim ukosnicama (Sl. 99).

Sl. 99. Armiranje kraja prepusta

Nastavljanje podužne armature je neophodno kod greda velikog raspona ili kod

kontinualnih sistema. Pri izboru mesta nastavka, pravilno je armaturu nastavljati u pritisnutoj zoni, na mestima najmanjih naprezanja. Tako se, u slučaju kontinualnih greda, armatura donje zone nastavlja preklapanjem preko oslonca, dok je gornju poželjno nastavljati u središnjoj zoni polja.

Sl. 100. Mesta nastavljanja armature kod kontinualnih greda

Po celoj dužini, gredni nosači se armiraju zatvorenim uzengijama , načelno prema dijagramu glavnih napona zatezanja. Osim vertikalnih uzengija, za prijem glavnih napona zatezanja mogu biti upotrebljene i kose uzengije i kosa gvožđa .

99


Sl. 101. Širina kosih prslina u funkciji načina poprečnog armiranja

Eksperimentalnim ispitivanjima (Sl. 101) je utvrđeno da najmanjom širinom kosih prslina rezultuje primena kosih uzengija, zatim vertikalnih, a da je najveća širina karakteristična za primenu koso povijene podužne armature (kosih gvožđa). Sa druge strane, primena kosih uzengija je vezana sa problemima izvođenja, zbog čega se ne primenjuju često. Uz napomenute probleme vezane za kosa gvožđa, armiranje vertikalnim uzengijama ostaje dominantno i preporučeno. Osim obezbeđenja glavnih napona zatezanja, uzengijama se postiže i utezanje poprečnog preseka, što rezultira formiranjem troosnog stanja pritiska podužno pritisnutih elemenata (ili delova preseka, pri savijanju) sprečavanjem širenja i, time, povećanu sposobnost prijema pritiska. Pokazano je da se, u pojedinim situacijama, prima „obešeno“ opterećenje, kada one imaju funkciju, lokalno, podužne zategnute armature (Sl. 91).

Sl. 102. Načini armiranja pravougaonog preseka uzengijama

Maksimalno rastojanje uzengija je ograničeno na 2/3 visine grede, odnosno na 30cm, odnosno na 15Ø, gde je Ø prečnik najtanje podužne armature (manju od ovih vrednosti), kada nije prekoračena smičuća nosivost betona. U suprotnom, na dužini osiguranja, maksimalan razmak uzengija je ograničen na 1/2 visine grede, odnosno na 25cm. Dodatno, minimalni procenat armiranja uzengijama na dužini osiguranja iznosi 0.2%. Procenat armiranja uzengijama je definisan na sledeći način, u funkciji površine preseka šipke uzengije (a uz ) i razmaka uzengija (e uz ): µ uz =

m ⋅ auz b ⋅ euz

, .................................................................................... (4.13)

gde je sa m označena sečnost uzengija. Višesečne (više sečnosti od 2) se projektuju u istom preseku i pružaju se celom visinom preseka (Sl. 102c). Poželjno je (jaka preporuka) da se jednom uzengijom obuhvati ceo poprečni presek.

100


Uzengije se mogu projektovati kao zatvorene i preklopljene oko ugaone šipke ili preklopljene oko kraće stranice. Ove druge su obavezne kod torziono opterećenih preseka, ali i kod loših uslova sidrenja uzengija. Ukoliko se primenjuju, kosa gvožđa moraju biti postavljena na razmaku ne većem od 30cm ili 50% statičke visine preseka. Kada se deo oslonačke armature preseka spojenog sa pločom smešta u ploču, uzengijama je, oblikovanjem, potrebno obuhvatiti kompletnu podužnu armaturu, kako je prikazano na Sl. 97. Ovakvo oblikovanje uzengija može biti opravdano i kada je njima potrebno primiti momente savijanja u ploči, upravno na pravac pružanje grede (na primer kod rebrastih tavanica). Kod razuđenih poprečnih preseka (T, I), formiraju se, u istom preseku, posebne uzengije rebra i flanši. Uzengije flanši mogu biti zatvorene ili se sidriti u rebru (Sl. 103a). Kod ovakvih preseka, glavne napone zatezanja je neophodno kontrolisati, osim u rebru, i u ploči (Sl. 103b).

Sl. 103. Uzengije kod razuđenih preseka

U zoni oslonca , naponi pritiska (od reakcije oslonca) normalni na pravac armature poboljšavaju uslove sidrenja, kao i formiranje pritisnutih dijagonala.

Sl. 104. Trajektorije napona pritiska

Sl. 105. Završetak horizontalne armature vertikalnim i horizontalnim kukama

Ivične šipke donje zategnute armature moraju, slobodnim krajem, biti produžene preko slobodnog oslonca i sidriti kukom. Sidrenje može biti u horizontalnoj ili vertikalnoj (češće) ravni (Sl. 105). U slučaju ograničenog prostora za sidrenje, početak kuke mora biti bar 3cm udaljen od ivice oslonca, prečnik kuke D r se proračunava, a čelo nosača se prožima otvorenim horizontalnim uzengijama, za prijem sila cepanja. U slučaju potrebe, izuzetno malih raspoloživih dužina, mogu se primeniti specijalni načini sidrenja armature, poput zavarenih ploča ili šipki upravnog pravca (Sl. 106). 101


Sl. 106. Sidrenje podužne armature iznad oslonca

Oslonačke zone moraju biti projektovane dovoljne širine, a locirane na način koji ne ugrožava ivični beton (Sl. 107).

Sl. 107. Loše projektovan položaj/širina oslonca

Indirektno oslonjena greda treba imati glavnu armaturu sidrenu u horizontalnoj

ravni, kako bi se izbeglo poklapanje efekta cepanja betona usidrenjem šipki sa pravcem prslina glavne grede (Sl. 108).

Sl. 108. Sidrenje glavne armature indirektno oslonjene grede

Kod armiranja kontinualnih greda moguć je izbor između racionalnijeg (manji utrošak čelika) armiranja povijanjem šipki iz donje u gornju zonu, kada deo povijene armature, u svojim kosim delovima, može da preuzme i funkciju obezbeđenja glavnih napona zatezanja (diskutabilno!), i jednostavnijeg armiranja odvojenom armaturom dve zone, te pravim šipkama (Sl. 111). U oba slučaja, naravno, usvojenim načinom armiranja pokriva se potreba za armaturom definisana „pomerenom“ linijom zatežućih sila. Visoke grede sa odnosom raspona prema visini u granicama između 2 i 5,

orijentaciono, armiraju se odvojenim šipkama gornje i donje zone, te vertikalnim uzengijama, kojima treba prihvatiti ukupne glavne napone zatezanja. Od posebnog značaja kod ovih nosača je (analogno zidnim nosačima) dobro usidrenje šipki glavne armature i obezbeđenje nosača horizontalnom armaturom celom dužinom grede. Glavna armatura se celim ili većim iznosom prostire celim rasponom, u formi zatege (Sl. 109). Za nosače sistema proste grede relativno velikih raspona, zbog uštede u utrošku materijala, često se koriste nosači promenljive visine . Osim racionalizacije oblika (visina preseka prati, otprilike, promenu momenata savijanja), nagib ivice siluete 102


prouzrokovan promenom visinom se može pogodno iskoristiti u cilju obezbeđenja nagiba krovne ravni. Otud se ovakvi nosači najčešće primenjuju kao glavni krovni nosači konstrukcija tipa industrijskih hala, pogotovu u situacijama kada su projektovane kao montažne konstrukcije. Tada se redovno izvode horizontalne donje ivice i nagnutih gornjih ivica, a u cilju dalje racionalizacije poprečni preseci se projektuju T ili I-oblika (Sl. 77).

Sl. 109. Armiranje visokih greda: prosta i kontinualna greda

Kako je prirast visine kod ovakvih nosača, najčešće, linearan, a prirast momenta, opet najčešće, paraboličan, to se maksimalna potreba za armaturom ne registruje u presecima sa maksimalnim momentom savijanja. Na Sl. 110 prikazan je primer četiri simetrične grede pravougaonog preseka raspona 10m, opterećene sopstvenom težinom i ravnomerno raspodeljenim linijskim opterećenjem. Varirana je visina preseka u sredini: visina preseka na krajevima je u svim slučajevima 60cm, a središnje visine su 70, 100, 130 i 160cm. Na slici su prikazani dijagrami potrebe za podužnom armaturom u donjoj zoni preseka. Već iz priloženog, očigledno je položaj preseka sa maksimalno potrebnom armaturom zavisi od nagiba gornje ivice – većim nagibima odgovaraju „kritični“ preseci bliži osloncima.

Sl. 110. Dijagrami promene potrebe za podužnom armaturom za različite A-nosače

U praksi, za grubu orijentaciju, mogu se kontrolisati preseci na trećini raspona. Čak i ako ovim nije određena maksimalna potreba za armaturom, razlike nisu velike.

103


Prilikom armiranja ovakvih elemenata, pad potrebne armature u delu između kritičnih preseka se odražava i na pad usvojene armature – presek u sredini će imati istu količinu armature kao i kritični preseci.

Sl. 111. Dva varijantna rešenja armiranja kontinualnih greda 104


4.2. STUBOVI Stubovi su linijski elementi značajnih vrednosti aksijalnih sila pritiska. U betonskim konstrukcijama se javljaju kao samostalni elementi ili u sklopu okvirnih sistema. Najčešće su vertikalnog pravca pružanja. 4.2.1. OBLIKOVANJE STUBOVA U konstrukcijama su, osim za prijem i prenos aksijalnih naprezanja, zaduženi i za prihvat momenata savijanja, koji prvenstveno potiču od horizontalnih dejstava. Imajući na umu alternatvni karakter horizontalnih dejstava, stubovi se najčešće, presekom i armiranjem, projektuju kao dvoosno ili jednoosno simetrični. Najčešće se primenjuje pravougaoni oblik poprečnog preseka, kao najjednostavniji za izvođenje27. Alternativno, primenjuju se kružni i poligonalni oblici, a kod montažnih stubova česta je primena razuđenih oblika preseka u cilju racionalizacije utroška mateijala (Sl. 112). Načelno, stubom se smatraju elementi kod kojih je odnos stranica poprečnog preseka manji od 5. U suprotnom, reč je o zidovima.

Sl. 112. Poprečni preseci stubova

U pojedinim situacijama, stubovi mogu biti opterećeni i značajnim momentima savijanja nastalim kao posledica delovanja gravitacionog opterećenja. Tada može biti opravdano usvajanje nesimetrične dispozicije poprečnog preseka. Minimalne dimenzije preseka stubova su, osim uslovima dobre ugradnje betona i pravilnog konstruisanja betona, određeni i efektima izvijanja. Saglasno osetljivosti na uticaje izazvane deformacijom (izvijanje) stubovi se mogu klasifikovati na kratke , kod kojih ovi efekti mogu biti zanemareni proračunom, i vitke , kod kojih to nije slučaj. Pri tome, momenti savijanja mogu biti orijentisani u pravcu jedne od glavnih osa preseka stuba, kada je stub jednoosno savijan , ili u pravcu koji se ne poklapa ni sa jednim od glavnih, kada je stub dvoosno, koso, savijan . 4.2.2. DIMENZIONISANJE KRATKIH KRATKIH STUBOVA Kratki stubovi se dimenzionišu saglasno uticajima proizašlim iz analize elementa/konstrukcije prvog reda. Preseci su u stanju centričnog ili ekscentričnog pritiska (u fazi malog ili velikog ekscentriciteta), a merodavna kombinacija opterećenja je, po pravilu, ona kojom se minimiziraju aksijalne sile pritiska, a

27 S

obzirom na silu pritiska, pravougaoni presek stubova je znatno racionalniji u odnosu na gredne elemente. 105


maksimiziraju momenti savijanja. Kod stubova sa malim vrednostima momenta savijanja, parcijalni koeficijenti sigurnosti mogu uzeti povećane vrednosti, skladno rezultujućem dilatacionom stanju. Centrično pritisnutim stubovima će, izvesno, odgovarati maksimalne vrednosti parcijalnih koeficijenata. Potreba za podužnom armaturom stuba je u potpunosti određena osnovnim proračunskim pretpostavkama graničnog stanja nosivosti i proizilazi kao rezultat zadovoljenja uslova ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila na nivou preseka, za poznat odnos količina armatura uz pojedine ivice poprečnog preseka. Međutim, kalkulacija je, za praktične potrebe, zametna i zahteva pomoć odgovarajućih inženjerskih pomagala. U slučaju jednoosno savijanih stubova , to su interakcioni dijagrami , kojima se daje veza između graničnih vrednosti momenata savijanja i aksijalne sile, sa jedne strane, i potrebe za armaturom i graničnih dilatacija, sa druge. Daju se u formi familije izo-krivih kojima se na polju M u spajaju tačke iste u-N N u u spajaju potrebe za armaturom. Paralelno, linije kojima se povezuju tačke istog dilatacinog stanja su prave. U cilju postizanja univerzalnosti, dijagrami se daju u bezdimenzionalnom obliku, preko bezdimenzionalnih vrednosti aksijalne sile ( n u ) , u), momenta savijanja (m u – mehanički koeficijent armiranja): – u) i količine armature (µ nu =

N u b ⋅ d ⋅ f B

, mu

=

M u b ⋅ d 2 ⋅ f B

, µ

=

µ ⋅

σv f B

=

Aa σ v ⋅

Ab

f B

. .............................. (4.14)

Projektantima danas, naravno, na raspolaganju stoji i lepeza specijalizovanih softverskih alata kojima se rešavaju problemi ovog dimenzionisanja.

Sl. 113. Interakcioni dijagram za pravougaoni poprečni presek

Kod koso savijanih preseka , rešavanje problema određivanja potrebne količine podužne armature je složeniji, već utoliko što, umesto dva, podrazumeva zadovoljenje tri uslova ravnoteže. U opštem slučaju, presek opterećen momentom savijanja čiji se pravac (napadni pravac) ne poklapa sa nekom od glavnih osa se savija oko ose (pravac savijanja) koja se ne poklapa niti sa nekom od glavnih osa, niti sa napadnom osom momenta. Ugao ose savijanja (rezultujuće neutralne linije) uvek pravi otklon od napadne ose momenta ka osi manjeg momenta inercije idealizovanog preseka (Sl. 114). Samo u specijalnom slučaju rotaciono simetričnog 106


rotaciono simetrično armi anog preseka napadna osa momenta i osa savijanja se poklapaju.

Sl. 114. Koso savijan presek

Granična nosivost nekog oprečnog preseka poznatog načina ar iranja i količine armat rmatu ure, re, te te saglas lasno opš opštim tim pror proraču ačuns nski kim m pret pretpo post stav avka kama, ma, mo e biti definisana kao maksimalni moment s vijanja nekog napadnog ugla, α , pri određenoj vrednosti aksij ksijaalne sile ile. Rezu zult ltaat m že biti biti prika rikaza zan n kao kao ttač ačka ka u troo troosn sn m koordinatnom sistemu Mxu-Myu-N u pr projekcije graničnog m menta na glavne u, gde su Mxu i Myu prav pravce ce.. Vari Varira ranj njeem na napa padn dnog ugla i aksijalne sile formiraju se inte akcione površi za za predmetni presek (Sl. 115a). Geo Geome metr trij ijsk ski, i, tač tačke ke koj kojee sad sad odgo odgova varr ju jednom stanju dila dilata taci cija ja ili ili jed jedno nojj vre vredn dno o ti ugla savijanja nisu više krive u ravni, iako odstupanja, često, nisu velika (Sl. 115b .

Sl. 115. Interakciona površ i kriva koja spaja tačke istog ugla savi anja

Rešenje pr problema od određiv nja graničnog graničnog stanja napona napona i dilatacij dilatacija koso savijanog preseka podrazumeva od eđivanje eđivanje rezultujuće rezultujućeg g nagiba nagiba neutra neutraln lne linije i njenog visinskog položaja zadov ljava javan nje uslova ravn avnote oteže po po mo momen men ima i aksijalnim silama (Sl. 116). Reč je o zahtevnom problemu, zbog čega je na ovaj način samo korišće korišćenje njem m odgova odgovaraj rajuće uće softvera moguće doći do rešenja.

107


Sl. 116. Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila za jedan nagib neutr lne linije

U praksi se i dalje koriste približna rešenja. U tom smislu se če to koristi pomoć interakcionih dijagrama z koso savijane preseke (datih i u Prilozima Priručnika PBAB) ili se problem koso savijanog preseka razlaže na dva problema jednoosno savijanih preseka. U ovom drugom slučaju, PBAB zahteva i, dodatno, zadovoljenje tzv. Bresler-ovog kriteriju a „recipročne sile“. Naime, Bresler je predložio aproksimaciju interakcione površi sledećim izrazom: 1 Nu

=

1 Nux

+

1 N uy

−

1

, ........................................................................ (4.15)

u0

Nu

granična vredno t aksijalne sile,

N ux i N uy

granične vredno t sile za jednoosno savijan presek, u dva pravca,

N u0

granična vredno t aksijalne sile za centrično opterećen presek.

Najjednostavnije je matematičku pozadinu predloženog izraza predstaviti modifikacijom interakcion površi, kojom se umesto veze Mx–My –N , daje veza ex– ey–1/N (Sl. 117). Novoformirana površ je, takođe, konveksna. Tačka granične nosivosti na zadatim ek centricitetima se određuje kao tačk sekantne ravni određene sa tri tačke: 1/N u

tačka A (0,0,1/N u0 ) - odgo ara maksimalnoj graničnoj aksijalnoj sili za entrično opterećen presek,

’ B

tačka B (e x ,0,1/N ux ) - odgo ara maksimalnoj graničnoj aksijalnoj sili na ekscentricitetu e x′ , pri čem je e y = 0, tačka C (0,e y, 1/N uy ) - odgo ara maksimalnoj graničnoj aksijalnoj sili na ekscentricitetu e y′ , pri čem je e x = 0.

C

x u

0 u

y u

N / 1

A

N / 1

N / 1

e x

e x

e y e y

Sl. 117. Bresler-ov p ibližni postupak

Greška koja se ovom apro simacijom čini odgovara razlici položaja tačaka D (tačka na interakcionoj površini) i D’ (tačka na sekantnoj ravni, koju određuje Bresler-ov 108


kriterijum) na Sl. 117Error! Reference source not found.. Iako je, zbog konveksnosti interakcione površi, prikazani trougao izvesno unutar interakcione površi, ovim nije obezbeđena konzervativnost postupka a priori. Treba primetiti da tačka sekantne ravni D’ nije unutar trougla. 4.2.3. ARMIRANJE STUBOVA Minimalni poprečni presek podužne armature stubova je Ø12, minimalni ukupni koeficijent armiranja za kratke stubove je 0.6%, a maksimalni 6%. Ipak, projektantima je preporučena primena nešto većih minimalnih koeficijenata u praksi, između 0.8 i 1.0%. Kod vitkih elemenata, minimalni procenat armiranja je funkcija vitkosti, na sledeći način28: min µ =

λ 50

− 0.4% ≥ 0.6% .

................................................................ (4.16)

Šipke podužne armature treba da budu simetrično raspoređene, tako da im se težište poklapa sa težištem preseka. Kod razuđenih i nesimetričnih preseka, takođe treba težiti ispunjenju ovog zahteva, bar približno. Broj šipki podužne armature treba da zadovolji i uslov da se u svakom uglu preseka nađe bar jedna (Sl. 118).

Sl. 118. Minimalan broj podužnih šipki

Maksimalno međusobno rastojanje podužnih šipki ne sme biti veće od 40cm, a neugaone šipke podužne armature treba obuhvatiti dodatnim zatvorenim uzengijama u cilju sprečavanja njihovog lokalnog izvijanja (Sl. 119).

Sl. 119. Maksimalno rastojanje podužnih šipki

Kod jako armiranih preseka poželjno je grupisanje šipki podužne armature u uglovima preseka, jer su tamo najefikasnije (Sl. 120, desno).

28 Dati

izraz je čest predmet kritika i teško ga je opravdati. 109


Sl. 120. Uzengije razuđenih preseka i grupisanje podužne armature

Minimalni profil uzengija je Ø6, za podužnu armaturu do Ø20, odnosno Ø8, za podužne profile veće od Ø20. Uzengije na konkavnim uglovima stuba razuđenog preseka treba prekinuti kako bi se izbegla mogućnost izbijanja zaštitnog sloja. Umesto toga, treba predvideti preklapanje zatvorenih ili otvorenih uzengija (Sl. 120). U cilju obezbeđenja od lokalnog izvijanja pritisnutih šipki, razmak između uzengija stubova je ograničen na 15 prečnika najtanje šipke podužne armature, manju dimenziju presek ili 30cm (najmanja od ove tri). Maksimalni hod spirale spiralno armiranih stubova je ograničen na 20% prečnika betonskog jezgra, odnosno na 8cm (Sl. 121). Minimalni hod spirale je definisan opštim pravilima za armiranje.

Sl. 121. Razmak uzengija i hod spirale

Primena spiralno armiranih stubova je, Pravilnikom, ograničena na centrično pritisnute stubove vitkosti ne veće od 50, kružnog ili mnogougaonog poprečnog preseka prečnika ne manjeg od 20cm. Spiralna armatura se završava punim krugom u ravni poprečnog preseka, sidrenjem unutar mase betonskog preseka u minimalnoj dužini od 30Ø bez kuke. Nastavljanje se sprovodi na dužini ne manjoj od 30Ø uz dodatno sidrenje krajeva bez kuka, za dužinu ne manju od 20Ø (Sl. 122).

Sl. 122. Sidrenje i nastavljanje spiralne armature

4.2.4. VITKI STUBOVI STUBOVI29 Uticaji na krajevima stuba, aksijalne sile i momenti ili, ekscentrična aksijalna sila (na ekscentricitetu e = M u/ N u30 izazivaju deformaciju (ugib) stuba. Ovim ugibom, ,

29 Na

110

ovom mestu, stub se smatra zasebnim elementom ili izdvojenim iz konstrukcije.


ekscentricitet aksijalne sile se povećava, a samim tim i momenat savijanja i, skladno, količina potrebne podužn armature. Budući da su stubovi opt rećeni značajnim aksijalnim silama, prirast omenta izazvan ugibom može biti zn čajan, a njegovo zanemarenje može za p sledicu imati značajan podbačaj u oličini armature. Problem je utoliko izraženiji ukoliko je stub manjih dimenzija p prečnog preseka (vitkiji), te ukoliko je aksi alna sila veća, a prirast ugiba/mome ta sa aksijalnom silom je nelinearan (Sl. 123). Očigledno, moguće su situacije u k jima razmatranje ravnotežnog stanja nedeformisanog stuba nije zadovoljavajuće ta nosti, nego je od interesa analizirati ravno ežno stanje deformisanog elementa, saglasno teoriji drugog reda (teorija velikih deformacija). Pri tome, stub je armiranobetonski, što njegovo ponašanje čini i materijalno nelinearnim. Simultano obuhvatanje dve nelinearnosti (pr thodna je bila geometrijska) je, i na niv u izdvojenog stuba, računski zametno, zbog čega se u praksi koriste pojednosta ljene metode, zasnovane na modifikovanim uticajima prvog reda (proisteklim iz nalize konstrukcije).

Sl. 123. Prirast u iba sa porastom aksijalnog ekscentričnog opterećenja

Prema teoriji elastične stabilnosti, kritična sila P c (Euler-ova kritičn sila), pod kojom dolazi do neograničeno velikog deformisanja (Sl. 123) aksij lno opterećenog elementa (do gubitka sta ilnosti), se izračunava u funkciji savojne krutosti (EI ) i dužine izvijanja stuba (l i ): Pc =

π 2 EI 2

li

, li

= k ⋅ l ,

.......................................................................... (4.17)

gde se pod dužinom izvija ja razmak nultih tačaka momenta drug g reda ili, tačaka infleksije. Dužina izvijanja je osnovni parametar – mera – osetlji osti elementa na efekte izvijanja. Za aksijalno opterećene stubove sa nepomerljivim krajevima, faktor efektivne dužine k nalazi se u granicama od 0.5 ≤ k ≤ 1.0 (Sl. 124), dok je u slučaju stubova sa pomerljivim kra evima njegova vrednost veća jednaka 1.0 (Sl. 125).

30 S

obzirom da se razmatra granično stanje nosivosti, uticaji su dati (indeks – u ).

graničnom obliku

111


Sl. 124. Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno nepomerljivim krajevima

Sl. 125. Koeficijenti dužine izvijanja stubova sa horizontalno pomerljivi

krajevima

Maksimalne poprečne deformacije ose stuba i maksimalni prirast omenta savijanja usled uticaja normalnih sila najveći su u srednjoj trećini dužine i vijanja, te je ovo oblast stuba koja može biti merodavna za kontrolu granične nosiv sti preseka. Uopšteno gledano, ako na neki način može da se proceni dužin izvijanja stuba31 dalji proračun se može s rovesti na izdvojenom zglobno vezanom zamenjujućem stubu dužine l i . U bezdimenzionalnom obliku, dužina izvija ja relativizovana radijusom inercije daje par metar vitkost stuba: λ =

31

li i

= li ⋅

A I

. ................................................................................. (4.18)

U opštem slučaju, stubovi u konstrukcijama su na krajevima elastično uklješteni i različitog stepena pomerljivosti, a prikazani Euler-ovi slučajevi, su nek vrsta idealizacije. Dodatno, stalno je prisutan i problem obuhvatanja efekata prslina kro redukciju savojne krutosti. 112


Sl. 126. Uticaj krutos i greda na dužinu izvijanja stubova u okvirnoj ko nstrukciji

Kod armiranobetonskih k nstrukcija stubovi su, u opštem sluč ju, sastavni deo podužnih i poprečnih okvira (ne figurišu kao samostalni elementi). Uslovi oslanjanja, a samim tim i deformacije, u dva ortogonalna pravca su različiti. Pored ovoga, na veličinu i oblik deformacione linije bitno utiče krutost greda (Sl. 126) i njena promena po dužini izazvana pojavom prslina duž AB elementa. vo čini problem određivanja dužine izvijan a kod stubova armiranobetonskih kon trukcija izuzetno kompleksnim, i samo približno rešivim. U praksi je uobičajeno odr đivanje dužine izvijanja stubova saglas o nomogramima za određivanje efektivne d žine stuba (Sl. 127). Ovim je uveden uticaj ste ena uklještenja krajeva stubova na dužinu izvijanja. Za uklješten kraj stuba (vezan za beskonačno krutu gredu) biće k =0, ok će za zglobno vezan kraj stuba koeficijent k težiti beskonačno velikoj vrednosti. Sa određenim koeficijentima k , iz nomo rama se očitava faktor efektivne dužin stuba. Vrednost k - koeficijenta treba mi imalno uzeti kao 0.4, jer se u pr tivnom dobijaju potcenjene vrednosti du ine izvijanja. Takođe, bez obzira na rezultat, ne preporučuje se usvajanje k eficijenta efektivne dužine manjeg od .85.

Sl. 127. Nomogrami za određivanje efektivne dužine stuba: a) nepomerljivi; b) pomerljivi krajevi stuba

Očigledno je da stepen uklještenja kraja stuba zavisi i od ačina oslanjanja suprotnih krajeva greda kruto vezanih u posmatranom čvoru. Tak konzolna greda 113


neće uopšte doprinositi p treba uračunavati u sumu vezana smanjuje stepen krutosti greda, njenu krut krutosti za 50% preko fakt k =

većanju stepena uklještenja stuba, te njenu krutost ne rutosti greda. Greda koja je na suprotn m kraju zglobno uklještenja stuba, zbog čega, prilik m sračunavanja st treba redukovati. Evrokodom je pre ložena redukcija ra redukcije α (Sl. 128):

∑ ( E I / l ) . ∑ ( α ⋅ E I / l ) C C

B B

C

......................................................................... (1.19)

B

Sl. 128. Određivanje k – koeficijenata krajeva stuba S2

Granična nosivost stuba o terećenog aksijalnom silom pritiska na ekscentricitetu e , za različite vrednosti vitko ti stuba prikazana je na Sl. 129.

Sl. 129. Uticaj vitkosti na graničnu nosivost stuba i vrsta sloma u funkciji vitkosti

Spoljašnja, interakciona kriva odgovara maksimalnoj nosivosti poprečnog preseka u smislu momenta savijanj za određi nivo aksijalnog naprezan ja i za poznatu količinu armature u prese u. Prava linija odgovara teorijskoj nul oj vitkosti stuba. Uticaji drugog reda ne postoje, a nosivost preseka je uslovljena proračunom koji uvažava materijalnu nelin arnost32. Sa porastom vitkosti, poveć vaju se i uticaji 32

Dimenzionisanjem preseka saglasno graničnoj nosivosti uvaže a je materijalna nelinearnost, preko nelinearnih komponentnih zavisnosti napona i betona. 114


drugog reda. Za niske vitk sti, deformacija štapa ima zanemarljiv uticaj na njegovu graničnu nosivost, koja e dostiže iscrpljenjem nosivosti kritičnog poprečnog preseka. Sa povećanjem vi kosti (λ2 ) raste i uticaj efekata drugog eda, no granična nosivost je još uvek uslovljena nosivošću kritičnog preseka. Z stubove velikih vitkosti (λ3 ), prirast momenta spoljašnjeg savijanja je brži nego što je to presek u stanju da prati prirastom unutrašnjeg momenta savijanja. Granična ravnoteža je dostignuta pre iscrpljenja osivosti preseka, gubitkom stabilnosti. Saglasno ovome postavljaj se i kriterijumi kojima se stubovi klasifikuju na kratke i vitke (Sl. 130). Prema Pravilniku, kratkima se smatraju oni stu ovi kod kojih je zadovoljeno: M  , ...................................................................... (4.20) λ ≤ 25 ⋅   2 − 01  02   Momenti na krajevima stuba, M 01 i M 02 , daju pozitivan odnos u oliko zatežu istu stranu stuba. Po apsolutno vrednosti, M 02 je veći od M 01, a ukoliko je stub centrično opterećen, ovaj odnos se usvaja jednakim jedinici. Ovim čak i stub vitkosti 75, u situaciji najpovoljnije distribucije momenta savijanja, može biti tretiran kao kratak. Osim ovoga, stub se sma ra kratkim i u situacijama kada je do inantno savijan. Pravilnik ovo definiše sled ćim uslovima, preko odnosa ekscentriciteta aksijalne sile i odgovarajuće dužine stra ice preseka (visine): e1 / d ≥ 3.5 za

≤ 75

e1 / d ≥ 3.5 ⋅ λ / 75 za λ ≥ 75

. ............................................................... (4.21)

Sl. 130. Klasifikacija stubova

Momentima savijanja pr og reda, za nepromenljivu aksijaln silu, odgovara ekscentricitet aksijalne si e prvog reda , e 1. Načelno, reč je o dnosu momenta savijanja i aksijalne sile. N , kako je, u opštem slučaju, moment sa ijanja promenljiv po dužini stuba, ovaj ekscentricitet se računa na bazi ekvivalentnog momenta savijanja prvog reda (Okvir 4): e1 = M u / N u = 0.65 ⋅ e02 + 0.35 ⋅ e01, M u = 0.65 ⋅ M 02,u + 0.35 ⋅ M 01,u ,. ........... (4.22)

Ukoliko stub ne može biti klasifikovan kao kratak, stub je vitak i dodatna analiza kojom se procenjuju dod tni uticaji (momenti savijanja) izazvani izvijanjem mora biti sprovedena. Ovom analizom se razmatraju svi fenomeni koji mogu bitno da

115


opredele ponašanje stuba osetljivog na deformaciju. Osim efekat drugog reda, to su još i efekti geometrijski netačnosti (imperfekcija), kao i reološki efekti. Okvir 4

Ekvivalentni ekscentricitet prvog reda

Slično, i prema Evrokodu se određuje ekvivalentni ekscentricitet prvog reda:

e1 M u / Nu , Mu = 0.6 ⋅ M02,u + 0.4 ⋅ M 01,u .

Dija ramom je prikazana razlika, no treba imati na umu i d , saglasno Evrokodu, ovaj ekscentricite ne može biti usvojen manjim od 40% ekscentriciteta e 02 .

4.2.4.1. Ukupni ekscentricitet Najpogodnije je problem nalizirati preko ekscentriciteta aksijalne sile, kako je to već učinjeno za ekscentricitet prvog reda. Tako, ukupni (totalni) ekscentricitet aksijalne sile, nakon def rmacije stuba, može biti prikazan ao zbir sledećih pojedinačnih ekscentriciteta (Sl. 131): •

ekscentricitet prvog reda, e 0,

•

ekscentricitet usled geometrijskih imperfekcija (slučajni), e a,

•

ekscentricitet usled tečenja, e φ, i

•

ekscentricitet drugo reda, e 2: etot = e0 + ea + eφ + e2 = e I + e2 . ............................................................. (4.23)

Sl. 131. arcijalni ekscentriciteti i ukupni ekscentricitet

Prva tri imaju „karakter“ ekscentriciteta prvog reda, zbog čega su i grupisana u vidu ekscentriciteta e I. Ekscentricitetom usled netačnosti pri izvođen u obuhvataju se dimenzionalne netačnosti i nepouzdanosti položaja i pravca delovanja aksijalnih sila. Domaći propisi ga definišu kao (Sl. 132a): 2 cm < ea = l0 / 30 < 10 cm , .............................................................. (4.24) 116


ili preko dodatnog nagiba33 (Sl. 132b): 1/150 za jednospratne okvire tgα =  . .................................................. (4.25) 1/ 200 za visespratne okvire 

Sl. 132. Računska imperfekcija

Tečenje betona kod pritisnutih vitkih armiranobetonskih stubova izaziva povećanje ugiba, a samim tim i smanjenje njihove nosivosti. Tačan proračun ovih efekata podrazumeva upotrebu složenog matematičkog aparata (isprskao presek, nelinearan zakon tečenja, redistribucija naprezanja beton-čelik i dr.). Zbog toga se može smatrati opravdanim korišćenje približnih metoda proračuna, kao i postavljanje odgovarajućih kriterijuma kada uticaj tečenja betona nije neophodno obuhvatiti proračunom. Zbog jednostavnosti primene, analiza uticaja efekata tečenja betona se izdvaja posebno prilikom dokaza granične nosivosti vitkog armiranobetonskog stuba. Efekti tečenja se u proračun uvode putem procene ekscentriciteta usled tečenja 34. Prema PBAB87, efekti tečenja mogu biti zanemareni proračunom ako je ispunjen bar jedan od sledeća tri uslova: λ < 50 , e0 / d > 2 ili N g ≤ 0.2 ⋅ N q , ...................................................... (4.26) gde su N g i N q eksploatacione vrednosti aksijalne sile pritiska usled stalnog i usled ukupnog opterećenja. Ukoliko ni jedan od uslova nije ispunjen, efekti tečenja se uvode preko dodatnog ekscentriciteta njime izazvanog:  1−α α  N g π 2 Eb I b − 1  , α E = , N E = . ............................. (4.27) eϕ = ( e0 g + ea ) ⋅  e 2   N l E 0   E

E

N E je Euler-ova sila izvijanja za stub krutosti preseka E bI b i dužine izvijanja l 0.

33 Za

horizontalno pomerljive konstrukcije.

34 U

praksi se, osim na ovaj način, primenjuju i postupci kojima se modifikuje veza između napona i dilatacija u betonu za dugotrajna opterećenja, kao i postupci kojima se, na račun tečenja, redukuju krutosti armiranobetonskih elemenata. 117


Konačno, ekscentricitet rugog reda je faktor koji primarno razlikuje metode proračuna efekata vitkosti, a nekoliko postupaka je prikazano u na tavku. Sa određenim parcijalnim i ukupnim ekscentricitetom, kritični presek stuba se dimenzioniše prema aksijalnoj sili i uvećanom momentu savijanja, recimo M u2 , koji odgovara ukupnom eksce tricitetu e tot (moment savijanja prvog reda M u odgovara ekscentricitetu I reda e 0 < e tot ). No, kako god određeni uvećani momenti bili, stub uvek treba prov riti i u presecima koji se nalaze izvan dužin izvijanja. Naime, može se dogoditi da uticaji prvog reda na krajevima nepomerljiv g stuba (linearno promenljivi momenti po dužini stuba imaju maksimalne vrednosti baš na krajevima) rezultuju v ćom potrebnom količinom armature nego preseci u kritičnoj zoni dužine izvijanja. 4.2.4.2. Postupak dopunske ekscentričnosti Domaćim Pravilnikom, za stubove u rasponu vitkosti između 25 i 75 (područje umereno vitkih stubova, Sl. 130) dozvoljena je primena pri ližnog postupka dopunske ekscentričnosti35. Postupak bazira na izraču avanju ukupnog, uvećanog, ekscentriciteta aksijalne sile kao zbira parcijalnih (4.23), tena gruboj proceni samog ekscentriciteta drugog reda, e 2 , u funkciji vitkosti i ekscentriciteta prvog reda, e 0 , na sledeći način (Sl. 133): e2 = d ⋅ e2 = d ⋅ e2 = d ⋅

λ − 25

100 λ − 25

160 λ − 25

160

⋅ 0.1 +

,

 

e0 d

, kada je 0 ≤

ada je 0.30 ≤

⋅  3.5 −

e0 

e0 d

e0 d

≤ 0.30 ,

≤ 2.50 ,

.................................. (4.28)

.......................................... (4.29) e

, kada je 2.50< 0  d  d

< 3.50 .

............................ (4.30)

Sl. 133. Zavisnost kscentriciteta drugog reda od ekscentriciteta prvog reda

35 Ovim

118

postupkom dozvoljeno je proračunavati i stubove pomerljivih konstrukcija.


4.2.4.3. Veza M M-N-κ i m mod odelel-stub metod Prethodni postupak, iako jednostavan za primenu, ne može bi i primenjen kod stubova vitkosti veće od 5 (na stranu činjenica da je ekscentri itet drugog reda njime vrlo grubo procen en). Za stubove veće vitkosti moraj biti primenjeni složeniji postupci, koji se odlikuju većom tačnošću. Naravno, kao tačniji, ovi postupci mogu biti pri enjeni i u polju umereno vitkih st bova. Jedan od najpogodnijih (najmanje epogodnih) za praktičnu primenu je ostupak modelstub. Kao osnovu, ovaj etod koristi poznatu vezu na nivou preseka između M -N momenta savijanja, aksijal e sile i njegove krivine, tzv M- M N- N -κ κ vezu , koju je pogodno predstavljati u obliku M (κ , za različite vrednosti N . Pri tome, krivina preseka se definiše kao (h je statička isina): κ =

ε b + ε a h

. ..................................................................................... (4.31)

Za praksu je u pogodniji b zdimenzionalni oblik M-N- κ veze, odn sno m-n-k veza, gde su m , n i k bezdimenzionalne vrednosti momenta savijanja, normalne sile i krivine preseka: m=

M u

Ab df b

, n=

N u

Ab f b

, k = κ ⋅ h ⋅103 .......................................... (4.32)

Prednost bezdimenzionalnog oblika veze je njena nezavisnost od kvaliteta betona, te dimenzija poprečnog pr seka. Okvir 5

Ograničenje dilatacije zategnute armature

Posl dica ove pretpostavke je opravdanost upotrebe maksi alnih koeficijenata sigurnosti, prilikom proračuna prema PBAB, iako samoj gra ici razvlačenja odg varaju nešto veće vrednosti. Iako se uvedenom pretpostavkom maksimalna moguća krivina, k, drastično redukuje sa 13.5 (10+3.5) promila na, za rebrasti čelik, na rimer, 5.5 (2+3.5), posledice nisu drastične. Najbolje je ovo ilustrovano narednim dijagramom gde su predstavljene interakcione krive koje odgovaraju pojedin im vrednostima krivina.

Očigledno je da je već interakcionom linijom za krivinu (bez dimenzionalnu) od 5.5, praktično, „pokrivena“ kompletna granična nosivost pr seka.

119


Za uspostavljanje ove ve e uvode se pretpostavke proračuna rema graničnom stanju loma, s tim što se, rema PBAB87, dilatacije zategnute arm ture iz praktičnih razloga (Okvir 5) ograničavaju na veličinu blisku pragu velikih izdu enja čelika: max ε a =

σv

E a

. ................................................................................ (4.33)

Za presek poznatih karakteristika i za poznatu vrednost sp ljašnje granične normalne sile N u moguće je odrediti maksimalnu nosivost pre eka na savijanje (maxM u) i odgovarajuću m ksimalnu krivinu (maxκ ). Svakoj krivini κ i (u intervalu od 0 do maxκ ), na osnovu uslova ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila, odgovara jedinstveno stanje dilatacij (ε ai i ε bi ), a time i moment unutrašnjih sila M ri , pri kojem ostaje očuvana ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila (Sl. 134). Njemu mora da bude jednak spoljašnji mo ent savijanja M u, čime je definisana v ličina spoljašnjeg momenta koji će, uz datu silu N u, da izazove pretpostavljenu krivin : M ui = M ri ......................................................................................... (4.34)

Sl. 134. Spoljašnje i unutrašnje sile preseka pri krivini κ i

Ilustracije radi, prikazan je oblik m–n–k veze sračunate prema od edbama domaćih propisa (Sl. 135a) i pre a odredbama Evrokoda (Sl. 135b) z nivo aksijalnog opterećenja definisan bezdimenzionalnom normalnom silom -0.30, uz pretpostavku korišćenja čelika RA400/500, te za različite koeficijente ar iranja preseka. Posmatrajući ovu drugu (z koju nije primenjena pretpostavka ogr ničenja dilatacije zategnute armature), očigl dno je da kriva koja predstavlja ovu vezu ima dva loma. Oba odgovaraju lomu bilinearnog radnog dijagrama čelika za armiranje. Prvi lom se javlja kada dilatacija gor je (pritisnute) armature dostigne dilataciju na granici razvlačenja, a drugi kada s to dogodi sa dilatacijom donje (zategn te) armature.

Sl. 135. Veze m-n-k

Kako je prema odredbama PBAB'87 dilatacija zatezanja ograničen baš na vrednost koja odgovara granici raz lačenja, to je treći deo m–n–k veze, u slučaju domaćih 120


propisa, izostavljen. No, svakako, treba primetiti da je prirast momenta savijanja posle ove granice minimalan što odgovara i ranije iznešenoj konstataciji. Sa stanovišta teorije konstrukcija, kod analize pritisnutog vitkog stuba potrebno je rešiti stanje unutrašnjih sila i deformacija elementa, problem koji je zbog uticaja normalnih sila na stanje momenata savijanja geometrijski nelinearan, a zbog nelinearnih deformacija preseka pri datim spoljnim opterećenjima još i materijalno nelinearan. Posmatrajmo konzolu sa Sl. 136. Da bi se odredilo pomeranje vrha konzole opterećene horizontalnom silom H u vrhu, kod koje, zbog materijalne nelinearnosti, spoljašnjim linearno promenljivim momentima savijanja odgovara nelinearna raspodela krivina preseka, treba rešiti iz Teorije konstrukcija poznati integral: l

l

∫

∫

0

0

a = M ( x ) M ( x ) / EI ( x ) dx = M ( x ) κ ( x ) dx .......................................

(4.35)

Ako se zna zakon promene krivine preseka u funkciji veličine momenta savijanja, veličine normalne sile pritiska, količine i rasporeda armature u preseku date geometrije (m-n-k veza), onda se pomeranje može sračunati korišćenjem Mohr-ove analogije ili numeričkom integracijom. Ako je stub visok i pritisnut, tada se proračun u principu sprovodi iterativno, jer svakom novosračunatom stanju pomeranja odgovara novo stanje momenata savijanja. Ako proračun deformacija i sila ne konvergira - pomeranja usled normalnih sila rastu brže od prirasta nosivosti preseka pri povećanju krivina - lom usled gubitka stabilnosti.

Sl. 136. Pomeranje vrha konzole – materijalna nelinearnost

Umesto ovakvog, egzaktnog, rešenja, može se iskoristiti iskustvo teorije elastične stabilnosti kojim se oblik deformisane ose stuba može dovoljno tačno aproksimirati sinusnim zakonom. Ovo je pretpostavka model- postupka . model -stub -stub Model–stub je, dakle, konzolni stub za koji se pretpostavlja da je usled uticaja prvog i drugog reda pretrpeo deformaciju u obliku sinusnog polutalasa. Najveći moment savijanja prvog i drugog reda (stub je poprečno neopterećen između krajeva) se javlja u preseku u uklještenju. Uz opravdano zaokruženje π2~10, pomeranje vrha stuba može da se izrazi u funkciji, za sada nepoznate, krivine preseka u uklještenju (κ 0) : 2 2 e2 = 0.4 ⋅ κ 0 ⋅ l = 0.1 ⋅ κ 0 ⋅ l0 , l0 = 2l ..................................................... (4.36) 121


Ranije je (4.23) ukupni eks entricitet definisan kao zbir početnog ekscentriciteta e I i ekscentriciteta drugog red e 2 : etot = e1 + e2 = e1 + 0.1 ⋅ κ 0 ⋅ l02 ................................................................. (4.37) ili, u bezdimenzionalnom bliku: etot

=

d

 l0  + 0.1 ⋅ κ 0 ⋅ d ⋅   d d 

e1

2

=

2

 l0  + 0.1 ⋅ k 0 ⋅ ⋅   ............................... (4.38) d d −a d 

e1

d

gde je: k 0 – bezdimenzionalna krivina preseka u uklještenju, d – visina poprečnog preseka stuba, a h=d- – statička visina preseka stuba. U nastavku će bezdimenzionalni ekscent iciteti biti obeležavani oznakama koje su korišćene za stvarne ekscentricitete: etot d

→ etot ,

e2 d

e2 ,

e1 d

→ e1

Na dijagramu e tot -k 0, linija promene ukupnog ekscentriciteta je prava i raste sa porastom promenljive kri ine. Podelimo li sada bezdimenzion lnu m–n–k vezu bezdimenzionalnom nor alnom silom n , svešćemo M–N–κ v zu na isti oblik bezdimenzionalnosti: m n

=

M N ⋅d

=

e

=

d

( k 0 ) ....................................................................... (4.39)

Sada prava (4.38) daje akon promene spoljašnjeg optereće ja za presek u uklještenju u funkciji krivine tog preseka, dok kriva (4.39) daj zakon promene unutrašnjih sila poprečno preseka (Sl. 137). Pod uticajem spolja njeg opterećenja krivina u kritičnom pres ku se povećava dok ne bude zado oljena ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila. Razvoj deformacija će se zaustaviti a onoj vrednosti krivine k 0’ koja odgovara j dnakom ekscentricitetu spoljašnje i unutrašnje aksijalne sile (jednakost momenata savijanja). Na Sl. 137 to je prikazan presekom krive unutrašnjeg i prave spoljašnjeg opterećenja.

Sl. 137. Pre ek linije spoljašnjeg i unutrašnjeg ekscentricitet

122


Sl. 138. Slučaj koji odgovara gubitku stabilnosti, odnosno minimalnoj potrebno j količini armature

Ukoliko kriva unutrašnjeg ekscentriciteta sve vreme ostaje ispod prave spoljašnjeg ekscentriciteta (Sl. 138a), e može doći do uravnoteženja spoljašn jeg i unutrašnjeg momenta savijanja, te o akav slučaj odgovara gubitku stabiln sti konstrukcije. Granični slučaj odgovara ituaciji u kojoj prava spoljašnjeg eksc ntriciteta tangira krivu unutrašnjeg ekscent iciteta (Sl. 138b). Ovim slučajem je definisan minimalni koeficijent armiranja pres ka, tj. potrebna količina armature u preseku. Ovo znači da bi iterativnim postup om po količini armature mogao da se reši problem dimenzionisanja stuba, a ne samo kontrole usvojene armature. Za druge tipove nepomerl ivih stubova (stubovi koji nisu konzol ) bez poprečnog opterećenja, za "model-stub" se može usvojiti polovina "zglob o" vezanog dela stuba (deo stuba između t čaka infleksije) - konzola - čija je visin jednaka polovini dužine izvijanja (Sl. 139 . Primena model-stub metode je o raničena, prema PBAB87, na nepomerljive stubove sa vitkošću manjom od 140 (maksimalna dozvoljena vitkost AB elemenata). Linearno promenljivi moment pr og reda se mogu zameniti ekvivalentnim ko stantnim momentom duž ose stuba.

Sl. 139. Izdvajanje model–stuba

4.3. OKVIR E KONSTRUKCIJE 4.3.1. UVOD Okvirni sistemi su među najčešće korišćenim konstruktivnim elementima kod armiranobetonskih konstrukcija. Činjenica da je ostvarivanje monolitne veze elemenata, kojom je om gućen prenos momenata savijanja, transverzalnih i/ili aksijalnih sila sa jednog na drugi element, svojstveno i pri odno monolitno izvođenim armiranobetonskim konstrukcijama je značajno uticala a ovo.

123


Okviri se najčešće primenjuju u konstrukcijama zgrada i hala, ali i u praktično svim drugim vrstama armiranobetonskih konstrukcija. Okvir (prost okvir) je element koji čine dva stuba povezana gredom na način da je između elemenata ostvarena kruta, monolitna, veza. Različite dispozicije prostih okvira sa vertikalnim ili kosim stubovima, horizontalnim ili nagnutim, pravolinijskim ili poligonalnim gredama... prikazane su na Sl. 140.

Sl. 140. Karakteristični primeri okvirnih sistema

Zahvaljujući krutim vezama grede i stuba, te nepomerljivim osloncima, postiže se, takozvano okvirno dejstvo: pod dejstvom vertikalnog opterećenja sa grede se, na stub, prenose i momenti savijanja, što za posledicu ima manje apsolutne vrednosti momenata savijanja u gredi (Sl. 141). Dalje, greda prima i određenu aksijalnu silu, čime je, takođe, u povoljnijem položaju od odgovarajuće proste grede. Sa druge strane, stubovi su sada izloženi i savijanju, zbog čega moraju biti krući.

Sl. 141. Okvirno dejstvo

U statičkom smislu okviri mogu biti statički određeni ili neodređeni, a osnovni tipovi su okvir na tri zgloba, okvir na dva zgloba i uklješteni okvir (Sl. 142). Sa stanovišta konstruktivne racionalnosti prednost je na strani uklještenih okvira, budući da se njima obezbeđuje minimalan utrošak materijala. Opet uslovi fundiranja ili karakteristike tla, ali i neki drugi faktori, mogu usloviti primenu dvozglobnih ili statički određenih, trozglobnih, sistema. Ovo poslednje je slučaj kod konstrukcija fundiranih na tlu lošijih karakteristika ili kod okvira izloženih velikim temperaturnim opterećenjima, kada je potrebno neutralisati utucaje izazvane, na primer, neravnomernim sleganjem oslonaca.

124


Sl. 142. Statički sistemi prostih okvira

Očigledno, horizontalna nepomerljivost oslonaca je uslov okvirnog dejstva. Postiže se konstruisanjem temelja u koje su stubovi uklješteni ili s njima zglobno nepomerljivo vezani. Na temelje se time prenosi, osime vertikalne, horizontalna sila i, eventualno, moment savijanja. Nepomerljivost temelja (Sl. 143) se obezbeđuje trenjem preko kontaktene površine temelja i tla, za manja, ili povezivanjem temelja zategom, za veća horizontalna opterećenja (sada se zategom primaju horizontalne komponente, a na tlo se prenosi samo vertikalna reakcija).

Sl. 143. Nepomerljivost oslonava

Složeni okvirni sistemi (takođe ih zovemo okvirima) se formiraju povećanjem broja etaža i/ili brodova (polja), „razigravanjem“ dispozicije (Sl. 146a) ali i umetanjem zglobova. Tako, zavisno od broja polja i broja etaža, okviri mogu biti jednobrodni ili višebrodni, jednospratni ili višespratni (Sl. 144), a u funkciji načina oslanjanja i veze sa temeljima, kao i međusobne veze pojedinih okvira, mogu biti sa krutim, sa zglobnim vezama ili kombinovani (Sl. 145).

Sl. 144. Brodovi i spratovi okvira

Sl. 145. Zglobovi u okvirnim sistemima

125


Sl. 146. Karakteristični primeri okvira kod industrijskih hala

Kao specijalan slučaj ravanskih okvirnih sistema mogu se javiti i zatvoreni okviri, prikazani na Sl. 147.

Sl. 147. Zatvoreni okvirni sistemi

Mogu biti formirani od linijskih elemenata ili, što je češći slučaj, mogu se delovi konstrukcija formiranih od površinskih elemenata statički tretirati kao zatvoren okvir. To je često slučaj kod analize konstrukcija silosa, tunela, cevi, podzemnih prolaza... (Sl. 148). Ovakve, najčešće prizmatično oblikovane, konstrukcije velike dužine u odnosu na dimenzije preseka dozvoljavaju izdvajanje preseka jedinične dužine forme zatvorenog okvira.

Sl. 148. Izdvajanje zatvorenih okvira iz površinskih konstrukcija

Okvir, načelno, prenosi opterećenje u svojoj ravni. Prostorni rad, mogućnost prijema opterećenja proizvoljnog pravca, postiže se formiranjem prostornih okvira.

Sl. 149. Prostorne ramovske konstrukcije

Ovo se najčešće čini povezivanjem stubova gredama u dva ortogonalna pravca, ali raspored stubova može usloviti i ramove drugačijih dispozicija (Sl. 149). Iako danas primena softvera za strukturalnu analizu obezbeđuje brz proračun uticaja u prostornim okvirima, za grubu kontrolu ili za orijentaciju, pogodno je prostorne okvire svesti na pojedinačne ravanske.

126


Na Sl. 150 je prikazana prostorna okvirna jednospratna konstrukcija karakteristična za industrijske hale, a označavanjem podužnih i poprečnih okvira je asocirana ravanska dekompozicija prostornog sistema.

Sl. 150. Jednospratni prostorni okvir industrijske hale

Ekonomičnost jednospratnih ramovskih konstrukcija izvedenih u armiranom betonu ide do raspona od oko 25m. Stubovi se najčešće projektuju pravougaonog preseka, a relativno retko (montažne konstrukcije) se projektuju razuđenih oblika preseka. Gredni elementi se konstruišu pravougaonog preseka za manje raspona, odnosno T ili I oblika preseka, za veće. Višespratne okvirne konstrukcije se najviše primenjuju u konstrukcijama različitih vrsta zgrada i formiraju se, načelno, „ređanjem“ jednospratnih okvira jedan na drugi, njihovim zglobnim ili krutim povezivanjem u prostornu konstrukciju. Uobičajeni rasponi u konstrukcijama zgradarstva se kreću u granicama 4 do 10m, a veze elemenata, zbog monolitnog načina izvođenja, su najčešće krute. 4.3.2. PRORAČUN I DIMENZION DIMENZIONISANJE ISANJE OKVIRA Proračun uticaja u elementima okvirnih konstrukcija se sprovodi uobičajenim metodama teorije elastičnosti. Za novije vreme je karakteristična primena softverskih alata, te prostorno modeliranje ramovskih konstrukcija, zajedno sa površinskim elementima. Pri formiranju proračunskog modela, za sistemske linije se usvajaju težišne linije elemenata, a geometrijske karakteristike koje se modeliranim elementima pridružuju najčešće odgovaraju homogenim betonskim presecima. Međutim, izvesno je da se grede i stubovi okvira međusobno razlikuju u stepenu isprskalosti, a samim tim i u krutosti, te da već pri eksploatacionom opterećenju dolazi do određene preraspodele uticaja u odnosu na rešenja teorije elastičnosti. Ne samo to, deo opterećenja je aktivan i pre formiranja kompletne konstrukcije, tečenje i skupljanje dodatno pospešuju preraspodele uticaja, a i granični uslovi predstavljaju samo grubu idealizaciju stvarnih uslova fundiranja. Sve ovo vodi zaključku da uticaji određeni primenom teorije elastičnosti mogu biti prihvaćeni samo kao približni, alipraktično upotrebljivi. Iako su danas (zbog razvoja računarske tehnike) od sve manjeg značaja, za grubu analizu uticaja u pojedinim elementima, orijentacije radi, mogu poslužiti približne 127


praktične metode. Tako, za vertikalna dejstva , kruta veza stuba i grede može biti zanemarena i greda tretirana kao kontinualna. Ivični stubovi i kraj grede mogu, uticajno, biti proračunati korišćenjem jednostavnog modela na Sl. 151b. Tačnije rezultate obezbeđuje složeniji model na shemi Sl. 151c.

Sl. 151. Modeli približnog proračuna

Za horizontalna dejstva , raspodela uticaja je određena odnosom krutosti greda i stubova (Sl. 152). Grede male krutosti vode situaciji u kojoj se veći deo momenta spoljašnjih sila prihvata uklještenjima, a manji spregom sila, i obrnuto.

Sl. 152. Uticaj odnosa krutosti greda i stubova na raspodelu momenata savijanja u stubovima

Dimenzionisanje elemenata okvira u potpunosti odgovara postupcima za dimenzionisanje grednih elemenata i stubova. Sprovodi se prema određenim vrednostima uticaja (presečnih sila). Prostorno modelirane konstrukcije se, u opštem slučaju, karakterišu koso savijanim stubovima. 4.3.3. NASTAVLJANJE ARMATUR ARMATUREE STUBOVA Na delu stuba na kome se nastavlja podužna armatura broj uzengija treba udvostručiti tako da njihovo rastojanje ne prelazi 7.5 prečnika najtanje podužne šipke, niti 15cm (Sl. 153). Ove uzengije treba da budu preklopljene preko kraće strane, a uloga im je prijem zatežućih horizontalnih sila.

128


Sl. 153. Progušćenje uzengija stuba na mestu nastavka podužne armature

Nastavak armature stuba se najčešće izvodi preklapanjem, neposredno iznad međuspratne konstrukcije. Radi izvođenja nastavka potrebno je predvideti ankere čija dužina iznad međuspratne konstrukcije odgovara dužini preklopa ili potrebnoj dužini za izvođenje zavarivanja (Sl. 154a). Ukoliko je stub više etaže manjih dimenzija, propuštanje donjih šipki u gornji stub je moguće samo ukoliko nagib povijanja ne prelazi 6:1 (Sl. 154b). U suprotnom, potrebno je predvideti posebne ankere za nastavljanje armature (Sl. 154c).

Sl. 154. Nastavljanje armature stubova iznad međuspratne konstrukcije

4.3.4. ČVOROVI OKVIRNIH KONSTRUKCIJA KONSTRUKCIJA Postizanje krute veze elemenata u okvirnim konstrukcijama je određeno pravilnim proračunom i armiranjem čvorova. Potrebno je obezbediti da nosivost čvorova bude jednaka nosivosti priključnih elemenata, a takva da do krtog loma čvora ne dođe pre nego što se u vezanim elementima razviju plastične deformacije (plastični zglobovi). Pojedini čvorovi mogu biti izloženi dejstvu alternativnih momenata, što ih čini predmetom detaljnije analize. Jednostavno armiranje bez nastavaka armature u čvoru, kao i dobar kvalitet i ugradnja betona su osnov dobrog ponašanja čvora u eksploataciji. U nastavku su zasebno razmatrani karakteristični čvorovi okvirnih konstrukcija.

129


Poseban problem predstavlja analiza čvorova u situacijama kada su opterećeni cikličnom opterećenju i rasterećenju, kao što je slučaj pri delovanju seizmičkog opterećenja. Principi za ovo vezani su razmatrani u poglavlju koje se odnosi na aseizmičko projektovanje višespratnih zgrada. 4.3.4.1. Spoj krajnjeg stuba i krajnje grede Kod ugaonih čvorova okvirnih sistema opterećenih na način da im je spoljašnja strana zategnuta (što je slučaj, na primer, za gravitaciona opterećenja), ispitivanja su pokazala veliku koncentraciju napona pritiska na unutrašnjoj ivici, te maksimalna zatezanja locirana bliže neutralnoj osi nego spoljašnjoj ivici preseka (Sl. 155).

Sl. 155. Naponsko stanje u čvoru i oblikovanje čvora sa vutama

Efekat koncentracije napona pritiska je moguće značajno ublažiti konstruisanjem vuta (pravolinijskih ili krivolinijskih, Sl. 155). Potreba za vutama ove vrste raste sa povećanjem momenta u čvoru, te sa krutošću stuba u odnosu na gredu.

Sl. 156. Skretne sile, lokalni naponi i armiranje čvora

Zategnuta armatura se kroz čvor vodi neprekinuta i povija se po određenom poluprečniku. S jedne strane, ovaj poluprečnik mora biti takav da zadovolji uslove pravilnog oblikovanja armature. U skladu s tim, treba primetiti da bi izbor velikih profila armature moga orezultovati poluprečnicima kojima bi nosivost čvora, zbog „spuštanja“ armature po visini preseka, mogla biti bitno narušena. Sa druge strane, povijanje zategnute armature po luku izaziva skretne sile, kojima armaturna šipka lokalno napreže okolni beton (Sl. 156). Zato, poluprečnikom povijanja (veći poluprečnik – manje skretne sile – kotlovska formula) mora biti obezbeđeno da lokalni naponi pritiska nisu prekoračeni. Na Sl. 157 je prikazan model čvora. Ovako, idealizovano, posmatrano, glavni naponi su u pravcima dijagonala čvora, a u jezgru čvora se javlja čisto smicanje. Zatežuće sile u armaturi i pritiskujuće u betonu daju dijagonalnu rezultantu 2 V ⋅ , koja izaziva cepanje u upravnom pravcu ukoliko je dostignuta zatežuća čvrstoća betona. 130


Sl. 157. Proračunski model čvora - naponi cepanja u betonu izazvani skretnim silama

Sl. 158. Armiranje čvora sa obezbeđenjem od cepanja

U cilju predupređenja formiranja dijagonalne pukotine, čvor može biti i dodatno armiran čelikom (mrežom), u dva ili tri reda obično, za prijem sila cepanja. Radijalno postavljene uzengije učestvuju u prenosu pritiska, ukrućuju čvor i, horizontalnim delovima, prihvataju poprečne sile cepanja (Sl. 158).

Sl. 159. Vertikalno i horizontalno opterećen uklješteni okvir

Horizontalno opterećeni okviri, na mestu posmatranog čvora, mogu biti u situaciji, zavisno od smera horizontalnog opterećenja, da im je unutrašnja ivica zategnuta (Sl. 159). Ukoliko je horizontalno opterećenje velikog intenziteta, pozitivni momenti mogu da budu veći od negativnih koji odgovaraju gravitacionom, te da ceo čvor dovedu u stanje zategnute unutrašnje ivice. Jasno, u tim situacijama čvor će naizmenično biti zatezan na spoljašnjoj i na unutrašnjoj strani. Sa stanovišta analize i armiranja ovo je znatno nepovoljniji slučaj. Pojedina ispitivanja su pokazala da je nosivost ovako opterećenog čvora može biti znatno manja od prethodnog, kada je zategnuta spoljašnja ivica. Posebno je to slučaj (Sl. 160) kada zategnuta armatura nije pravilno usidrena, bilo po pitanju dužine, bilo

131


načina (ne obuhvata čvor). Već za mali nivo opterećenja, u ovako armiranim čvorovima se formiraju prsline i stvaraju mogućnosti za odvajanje pritisnutog dela.

Sl. 160. Zategnuta unutrašnja strana čvora

Bolju nosivost je moguće obezbediti upravo dovoljnim dužinama sidrenja zategnute armature i njenim povijanjem na način da uteže čvor. U tom smislu, korišćenje armaturnih petlji (Sl. 161a) je idealno, ali je, zbog poluprečnika povijanja, ograničeno na manje armaturne profile. Sličan efekat obezbeđuje i način armiranja dat na Sl. 161b.

Sl. 161. Pravilno armiranje čvora sa pozitivnim momentom

Dalje povećanje nosivosti čvora, u smislu približavanja nosivosti priključnih elemenata, moguće je postići dodavanjem kose armature (Sl. 161c). Preporučuje se (Evrokod) da količina dodatne kose armature (Asv ) bude bar polovina veće od armatura As1, za slabije armirane elemente (koeficijent armiranja manji od 1%), odnosno da joj bude jednaka za jače armirane preseke (Sl. 162).

Sl. 162. Kosa armatura kod čvora opterećenog pozitivnim momentom

Ako za ovaj slučaj opterećenja čvora formiramo idealizovani proračunski model (Sl. 163), opet se može konstatovati da su glavni naponi dijagonalnog pravca, suprotnog znaka od onih na Sl. 157. Ako se, dodatno pretpostavi (potvrđeno ispitivanima) da su naponi zatezanja raspodeljeni po paraboličnom zakonu i da deluju na širini bliskoj 0.8 visine preseka, može se proračunati i maksimalni

132


zatežući napon, te armatura potrebna za njegovo prihvatanje, ukoliko je veći od zatežuće čvrstoće betona (Asd na Sl. 164).

Sl. 163. Proračunski model

Na Sl. 164 su prikazani pravilni načini armiranja čvora opterećenog pozitivnim momentom i čvora opterećenog momentima alternativnog znaka.

Sl. 164. Armiranje čvora koji je ili može biti zategnut po unutrašnjoj ivici

Sl. 165. Armiranje kolenaste grede

Slična situacija se javlja i kod kolenastih delova grednih elemenata. Način prihvatanja pozitivnih momenata armaturom je, ovde, zavisan od ugla koji priključni elementi zaklapaju (Sl. 165). Za uglove bliske 180° (veće od 160°) dozvoljava se neprekinuto vođenje zategnute armature. Nepovoljan uticaj skretnih sila (težnja odvaljivanju zaštitnog sloja betona) se predupređuje njihovim prihvatanjem dovoljnom količinom uzengija. Za uglove manje od 160°, armiranje odgovara armiranju prethodno analiziranih ugaonih čvorova opterećenih pozitivnim momentom savijanja. 133


4.3.4.2. Spoljašnji i gornji čvor Na Sl. 166 su prikazani, uz detalje klasičnog armiranja, karakteristični oblici i smerovi dijagrama momenata savijanja za spoljašnje i gornje čvorove okvirnih konstrukcija. Nosivost spoljašnjeg čvora može biti narušena bilo dostizanjem čvrstoće prionljivosti između betona i armature (Sl. 167a), bilo dostizanjem zatežuće čvrstoće betona u jezgru čvora.

Sl. 166. Momentni dijagrami u spoljašnjem i gornjem čvoru

Mala čvrstoća prionljivosti je karakteristična za gornju zonu grede neposredno uz čvor, gde se očekuje pojava prsline, ali i gde je i beton lošiji. Veliki naponi prijanjanja pojavljuju se između armature stuba i betona u području čvora. Sile, zatezanja i pritiska, F s2g +F s1d prenose se prijanjanjem na visini ne većoj od visine grede h b. Malu visinu grede prate veliki naponi prijanjanja, te vertikalne pukotine (trend odvaljivanja zaštitnog sloja) sa spoljašnje strane čvora. Otud, mala visina grede može biti uzrokom male nosivosti čvora.

Sl. 167. Naponsko stanje u čvoru

Sa druge strane, pod dejstvom sila na čvor, pojavljuju se približno dijagonalni glavni naponi zatezanja i pritiska (Sl. 167b). Ovi zatežući relativno brzo dostižu zateznu čvrstoću betona, što ima za posledicu formiranje dijagonalne prsline. U cilju prevencije ovih pukotina, eksperimentalno je pokazano, od najvećeg značaja su gusto postavljene horizontalne zatvorene uzengije u čvoru (Sl. 168a, b, c).

134


Sl. 168. Armiranje spoljašnjeg čvora

Zategnuta, gornja, armatura grede može biti usidrena u stub (Sl. 168a), ali je ovo povezano sa problemima izvođenja, zbog prekida betoniranja neposredno ispod grede. Otud, rešenja prikazana na slikama Sl. 168b i c mogu biti razmatrana kao alternativa. 4.3.4.3. Unutrašnji čvor Na Sl. 169 je prikazan najnepovoljniji slučaj opterećenja unutrašnjeg čvora, koji odgovara visokim intenzitetima horizontalnog dejstva. I ovde, zbog delovanja sila na čvor, u njegovom jezgru se javljaju dijagonalno orijentisani glavni naponi pritiska i zatezanja. Ovi drugi su, zbog malih zatežućih čvrstoća betona, razlog pojavi pukotina.

Sl. 169. Proračunski model

Najefikasniji način prijema napona zatezanja u čvoru podrazumeva propuštanja kroz čvor uzengija i stuba i grede, iako je ovo, izvođački posmatrano, vrlo zahtevno. Podužna armatura optimalno neprekinuta prolazi pravo kroz čvor, bez povijanja iz stuba u gredu (Sl. 169b). 4.3.4.4. Kruta veza stuba i temelja Na Sl. 170 prikazani su detalji armiranja stuba uklještenog u temelj. U prvom slučaju dato je uklještenje stuba u nearmirani temelj preko temeljnog jastuka, a u drugom klasični primer uklještenog temelja. Ukoliko se na spoju temeljnog jastuka i temelja mogu pojaviti i zatežući naponi, njih je, kako je pokazano, potrebno prihvatiti posebnom armaturom. 135


Sl. 170. Veza temelja i stuba

4.3.5. ZGLOBOVI U OKVIRNIM KONSTRUKC KONSTRUKCIJAMA IJAMA Zglob (momentni zglob) je mesto u armiranobetonskoj konstrukciji koje dozvoljava relativnu rotaciju delova sa njegove dve strane. Može biti projektovan u cilju smanjenja stepena statičke neodređenosti konstrukcije ili postizanja statički određenih sistema (Sl. 171). Izložen je uticajima aksijalne i transverzalne sile (ne i momenta savijanja). Načelno, može biti ostvaren naglim suženjem poprečnog preseka na maloj dužini elementa (pravi zglob) ili se sličan efekat može ostvariti i promenljivom visinom preseka elementa, te izborom preseka malog momenta inercije, u poređenju sa susednim elementom (Sl. 172).

Sl. 171. Primena zglobova

Sl. 172. Način ostvarivanja zglobova

Zavisno od toga kakvu rotaciju omogućuju, zglobovi mogu biti linijski i tačkasti (Sl. 173). Linijski zglob dozvoljava rotaciju samo u jednom pravcu, dok je tačkasti ekvivalent sfernom zglobu.

136


Pravi zglobovi se projektuju naglim suženjem poprečnog preseka (najčešće stuba), kako je prikazano na Sl. 174a. Visina poprečnog preseka zgloba, kao i širina preseka tačkastog zgloba se usvajaju u sledećim granicama, ne manji od 15cm: 1 1 1 1 d 0 =  ÷  ⋅ d ≥ 15cm , b0 =  ÷  ⋅ b ≥ 15cm , .................................... (4.40)  4 3  4 3 dok se visina zgloba (t ) redovno usvaja kao petina manje dimenzije poprečnog preseka. Grlo zgloba se projektuje zaobljeno, a visina zgloba se ka krajevima postepeno povećava za, ukupno, 1 do 2cmm, kako bi se omogućilo lakše uklanjanje oplate. Prekid betoniranja ne sme biti u samom zglobu.

Sl. 173. Linijski i tačkasti zglob

Sl. 174. Pravi zglob – geometrija

Zglob mora biti kontrolisan u smislu zadovoljenja lokalnih napona pritiska. Čvrstoća betona pri lokalnom pritisku (f 0) je veća od čvrstoće pri pritisku betonske kocke – marke betona (f bk ). Razlog ovome je sprečenost bočnog deformisanja okolnim betonom (ekvivalent utegnutosti preseka) i, posledično, formiranje troosnog (kod linijskih - dvoosnog) stanja pritiska. Saglasno Pravilniku, lokalna čvrstoća definisana je na sledeći način, za tačkasti, odnosno linijski zglob: f 0 = f B ⋅

Ab0 i Ab1

Ab1 Ab 0

≤ 1.6 ⋅ f bk , f 0 = f B ⋅ 3

Ab1 Ab 0

≤ 1.6 ⋅ f bk ...................................

(4.41)

površina preseka suženog i nesuženog dela (Sl. 174b). 137


Apsolutnim ograničenjem lokalnog napona sprečava se obračunavanje prevelike angažovane površine. Podužna armatura stuba se dodatno obavija ukosnicama koje prate njegovo donje čelo. Kontrolisan na lokalna pritiskujuća naprezanja, zglob se, kao pritisnut, armira minimalnom količinom podužne armature (0.8 do 1.0%). Usvajaju se tanji profili, koji moraju biti gusto utegnuti preklopljenim uzengijama. U slučaju većih intenziteta aksijalne sile, podužnu armaturu zgloba treba obuhvatiti i unutrašnjim uzengijama (Sl. 175, Sl. 176).

Sl. 175. Armiranje zgoba i okolnih elemenata

U pravcu upravnom na pravac rasprostiranja napona pritiska, javljaju se zatežući naponi (sile cepanja), koji mogu prouzrokovati cepanje betonskih elemenata, te moraju biti obezbeđeni armaturom. Saglasno pravilniku, armaturu je potrebno proračunati iz granične zatužeće sile36 deinisane na sledeći način:  d  Z Z u = 0.3 ⋅ N u ⋅  1 − 0  ⇒ Aa = u . . .................................................... (4.42) σ v  d 1  Ova armatura se obezbeđuje u obliku progušćenih uzengija na strani stuba, te u obliku armaturne mreže ili zmijaste armature na strani temelja.

36 Kako

je sila posledica pritiskujućih napona, to se njena granična vrednost određuje sa maksimalnim vrednostima parcijalnih koeficijenata. 138


Ukoliko je zglob opterećen transverzalnom silom visokog intenziteta, tj. kada je transverzalna sila veća od 0.75N u, potrebno je projektovati i kosu armaturu za prijem smicanja37. Njen oblik je prikazan na Sl. 175b. Potrebna količina ove armature se određuje iz celokupne transverzalne sile: Aak =

T u

2 ⋅ sin α ⋅ σ v

. .............................................................................. (4.43)

Sl. 176. Armiranje zgloba

Sl. 177. Armiranje Gerber-ovog zgloba

Zglob u grednom elementu može biti izveden kao Gerber-ov, uzajamnim oslanjanjem dva kratka elementa. Armiranje i proračun su povezani sa projektovanjem kratkih elemenata (Sl. 177). 4.4. REŠETKASTI NOSAČI 4.4.1. UVOD, PRIMENA Rešetkasti nosač se formira od niza štapova povezanih u čvorovima u stabilnu strukturu. Formiraju je pojasni štapovi – štapovi gornjeg i donjeg pojasa, i štapovi ispune – dijagonale i, ne neophodno, vertikale (Sl. 178).

37 Menager-ov

zglob. 139


Sl. 178. Rešetkast nosači: elementi i geometrija

Odlikuju se malim utroškom betona i komplikovanom oplatom, zbog čega se primenjuju za savladavanje većih raspona, kada su troškovi proizvodnje kompenzovani uštedom u materijalu. Nalaze primenu u konstrukcijama zgradarstva, kao glavni krovni nosači, i kod mostovskih konstrukcija, gde se koriste kao glavni nosači. U zgradarstvu, rasponi su uobičajeno između 15 i 30m. Rešetkasti nosači u zgradarstvu su, po pravilu, montažni elementi, a mogu da se proizvode prefabrikovane u celini ili u delovima. Za raspone preko cca. 15m, u situacijama kada postoji mogućnost (ako ne postoje visinska ograničenja, te ako postoje dovoljno snažne dizalice) za njihovo izvođenje, rešetkastim nosačem je, u odnosu na gredni, moguća ušteda čelika i do 40%. No, troškovi oplate, popravilu, anuliraju ovaj benefit. Za mostovske rešetkaste nosače su karakteristična polumontažna ili monolitna rešenja. Mogu se projektovati kao armiranobetonske ili prednapregnute. Iako su, kod armiranobetonskih rešetkastih nosača, veze između štapova su krute, izborom odgovarajućih oblika i dimenzija poprečnih preseka, te samom konfiguracijom strukture, štapovi rešetke su pretežno aksijalno opterećeni. Pri tome, štapovi gornjeg pojasa su izloženi pritisku, donjeg zatezanju, a štapovi ispune, zavisno od orijentacije, mogu biti pritisnuti ili zategnuti. Mali utrošak materijala čini ih racionalnim elementima i, u polju navedenih raspona, konkurentnim drugim vrstama nosača. 4.4.2. GEOMETRIJA Odnos ukupne visine rešetke (H ) prema rasponu (L ) naziva se stinjenost rešetke. Kod krovnih konstrukcija, stinjenost ovih nosača se kreće u rasponu od 1/10 do 1/7. Stinjenost opredeljuje nivo uticaja, pre svega, u pojasnim štapovima na način da manjim vrednostima stinjenosti (rešetke manje visine) odgovaraju veće sile (manji krak unutrašnjih sila), i obrnuto. Oblik rešetke zavisi od nagiba krovne površine (štapovi gornjeg pojasa se obično projektuju u nagibu koji prati nagib krovne ravni), visinskog položaja krovnog pokrivača u odnosu na rešetku, kao i od stinjenosti. Uobičajeno je da se svi štapovi krovne rešetke projektuju unutar zatvorene prostorije (Sl. 179a, b), čime se izbegavaju neprijatni prodori štapova kroz krovni pokrivač (prokišnjavanje), eliminišu nejednaka temperaturna dejstva na štapove i postiže bolji estetski efekat. Retko, rešetka može biti postavljena i izvan gabarita korisnog prostora, kada krovni pokrivač opterećuje donji pojas nosača (Sl. 179c). 140


Sl. 179. Oblici rešetkastih nosača

Kako su rešetkasti nosači montažni elementi, to je od značaja obezbediti sigurnost od njegovog prevrtanja u fazi montaže, kada još nije pričvršćen za ostatak konstrukcije (na primer vetrom upravnim na ravan rešetke). Zato je izborom oblika zgodno obezbediti da se ravan oslanjanja rešetke nalazi iznad težišta ukupne njene mase, kako je pokazano na Sl. 179a. U suprotnom, neophodno je kontrolisati stabilnost rešetke u fazi montaže, ali i eksploatacije, te preduzeti privremene i/ili konstruktivne mere kojima se ona (stabilnost) obezbeđuje. Po pravilu, rešetkasti nosač povezan rožnjačama sa drugim elementima krovne konstrukcije (drugim rešetkastim nosačima, najčešće) je obezbeđen od preturanja u eksploatacionoj fazi. Kod krovova na jednu vodu ili, uopšte, kod „jednovodnih“ rešetki, pojasevi se najčešće projektuju kao paralelni (Sl. 179b), a stubovi na koje se oslanja se rade različitih dužina. Kao krovni pokrivači kojima se zatvara krovna ravan, a oslanjaju se na rešetkaste nosače, koriste se najčešće laki krovni pokrivači koji se oslanjaju na sistem paralelno postavljenih rožnjača, najčešće armiranobetonskih i/ili prednapregnutih. U ovom slučaju opterećenje se sa pokrivača prenosi na rožnjače, a dalje, u vidu koncentrisanih sila, na rešetkasti nosač. Alternativno, umesto rožnjača, mogu se koristiti i montažne betonske ploče ili ploče od lakog betona, kojima se savladava raspon dva rešetkasta glavna nosača. U tom slučaju, krovno opterećenje se na rešetkasti nosač prenosi kao ravnomerno raspodeljeno. Pri određivanju oblika ispune i razmaka čvorova rešetke poželjno je imati situaciju u kojoj se koncentrisano opterećenje sa krova na rešetku prenosi u njenim čvorovima, zbog čega valja uskladiti razmak rožnjača sa razmakom čvorova rešetke. Iako su rešetke sa trougaonom ispunom estetski prihvatljivije, često se njima ne obezbeđuje dovoljno mali razmak čvorova, pa je neophodno projektovati i vertikalne štapove ispune, kao na Sl. 180.

Sl. 180. Potreba za vertikalama uzrokovana rasporedom rožnjača

Takođe, dijagonalne štapove valja projektovati u nagibu što bližem uglu od 45°, a, generalno, kod štapova ispune, poželjna je struktura u kojoj su dužištapovi zategnuti, a kraći pritisnuti (zbog izvijanja). Štapovi pritisnutog pojasa se mogu projektovati promenljivog nagiba, čime je, osim praćenja krovne ravni, moguće postići i statičke pogodnosti (oblik potporne linije). Zategnuti pojas, pak, zbog nepovoljnog uticaja skretnih sila, treba projektovati pravim. 141


Čvorovi rešetke se oblikuju tako da se ose svih štapova koji se u jednom čvoru sustiču seku u jednoj tački (centrisanje štapova). Čvor treba da bude bez oštrih ivica kako bi se izbegli nepovoljni uticaji koncentracije napona. U slučaju da se u čvoru sustiču štapovi različitih širina, čvor treba da ima širinu najšireg štapa (Sl. 194).

Sl. 181. Oblikovanje čvora rešetkastog nosača

Poprečni preseci štapova rešetke zavise primarno od znaka i intenziteta aksijalne sile, te od nivoa sekundarnih uticaja (momenti savijanja). Najčešće se štapovi projektuju konstantnog poprečnog preseka po dužini, jednostavnih oblika preseka, najčešće pravougaonih. Zbog većih sila, pojasni štapovi su obično većih površina preseka od štapova ispune. Pritisnuti pojasni štapovi su projektuju pravougaonog ili T preseka (Sl. 182). Veći moment inercije u ravni rešetke je logičan izbor u situacijama kada momenti savijanja nisu mali. Savojnom krutošću van ravni rešetke, štapovi se odupiru bočnom izvijanju. Oblikovanjem štapa u T obliku moguće je postići oba cilja.

Sl. 182. Mogući poprečni preseci štapova pritisnutog pojasa

Zategnuti pojasni štapovi su izloženi velikim aksijalnim silama zatezanja, a nedvosmisleno je od interesa umanjiti momente savijanja. Zato se najčešće projektuju pravougaonog preseka (oblik nije od posebnog interesa, a pravougaoni je najjednostavniji) na način da im se minimizira savojna krutost (Sl. 182b). Štapovi ispune se biraju pravougaonog ili kvadratnog oblika preseka. Poželjno je da međusobno budu jednake širine, radi lakšeg izvođenja. Estetski, prednost imaju rešetkasti nosači kojima su svi štapovi (i pojasni i štapovi ispune) jednake širine (Sl. 181a). 4.4.3. UTICAJI Rešetke se najčešće konstruišu kao jednorasponske, a retko kao kontinualne. Dominantno su opterećene u svojoj ravni. S obzirom da su veze štapova, de facto, krute, rešetke su višestruko statički neodređene strukture. Kao dominantni, u štapovima rešetke se javljaju aksijalni uticaji, dok se, kao posledica krutih veza u čvorovima, kao sekundarni javljaju relativno mali momenti savijanja u ravni rešetke. Često se ovi uticaji savijanja 142


nazivaju sekundarnim, a cilj projektovanja rešetki je njihova minimizacija. To se postiže izborom preseka štapova sa malom savojnom krutošću u ravni rešetke, te forsiranjem prenosa krovnog opterećenja u čvorove rešetke. Ipak, rešetkasti nosači su neminovno, ako ničim onda sopstvenom težinom, opterećeni i van čvorova, a prenos krovnog opterećenja van čvora, po dužini štapa, može da ima za posledicu potrebu potrebu za većom savojnom krutošću štapa. Iako je uobičajeno da se, statičkim proračunom, AB rešetkasti nosači tretiraju kao nosači sa zglobno vezanim štapovima, danas, kada ni analiza znatno složenijih modela nije problem, nema potrebe za ovom vrstom pojednostavljenja proračuna. Štapove rešetke valja modelirati kruto spojenima u čvorovima. Međutim, pravilan izbor aksijalnih krutosti pojedinih štapova je od velikog značaja kad je o deformacijama rešetkastog elementa reč, ali i, s njima vezano, preraspodeli uticaja unutar elemenata samog nosača. Posebno je značajan pravilan izbor aksijalne krutosti zategnutih štapova, pre svega štapova donjeg pojasa (videti deo kod Lučnih nosača, Sl. 199). Tako, kod armiranobetonskih zatega (štapovi donjeg pojasa), aksijalna krutost je bliska onoj koja potiče samo od armature, dok se kod prednapregnutih donjih pojaseva najčešće računa sa aksijalnom krutošću bruto betonskog preseka. Kako se u pojasnim (nekad i u štapovima ispune) realizuju velike sile pritiska, to problem stabilnosti (izvijanja) postaje aktuelan. Za dužinu izvijanja štapa u ravni rešetke uvek, bez obzira na krute veze, treba usvajati čvorno rastojanje, a dimenzije poprečnog preseka pritisnutih štapova birati imajući na umu moguće izvijanje. Mnogo većim problemom se može pojaviti izvijanje upravno na ravan rešetke, problem aktuelan u fazi montaže rešetkastog nosača, kada pritisnuti pojas nije ničim bočno pridržan. Iako je opterećenje u fazi montaže malo i isključuje težinu krovnog pokrivača, dužina izvijanja je cela dužina pritisnutog pojasa. Naknadnim povezivanjem rešetke sa ostalim elementima krovne konstrukcije problem bočnog izvijanja nestaje (osim ukoliko se krvno opterećenje ne prenosi na donji pojas), ali za fazu montaže se potrebnim mogu pojaviti mere privremenog obezbeđenja od izbočavanja. Rešetkasti montažni elementi se najčešće izvode u horizontalnom položaju, u drvenoj ili čeličnoj oplati. Nakon očvršćavanja i skidanja oplate, ispravljaju se u vertikalni položaj u kojem se vrši njihov transport i montaža. Pri tome, iako poželjno, prihvatanje rešetke najčešće ne odgovara njenom eksploatacionom oslanjanju, zbog čega pojedini štapovi u ovoj fazi mogu biti izloženi aksijalnim silama suprotnog znaka od eksploatacionog. Zato, rešetkasti nosači, kao uosatlom svi montažni elementi, moraju biti proračunski obezbeđeni i za sve predeksploatacione faze.

143


4.4.4. DIMENZIONISANJE I AR ARMIRANJE MIRANJE Preseci pritisnutih pojasnih štapova se, najčešće, nalaze u stanju pritiska malog ekscentriciteta, čime je i njihovo armiranje određeno, poput odgovarajućih stubova. Presek se armira (Sl. 183) minimalnom količinom podužne armatue, 0.8 do 1.0%. S obzirom da je reč o montažnim elementima, te da se koristi pritisna čvrstoća betona, prednost ima primena viših marki betona, preko 30 (naravno, u meri u kojoj je to limitirano stabilnošću elementa).

Sl. 183. Armiranje poprečnih preseka pritisnutog pojasa

Zategnuti pojas se karakteriše velikim intenzitetima aksijalne sile, te vrlo malim momentima savijanja. Dimenzionišu se kao centrično ili ekscentrično (faza malog ekscentriciteta) zategnuti, po pravilu uz pretpostavljanje simetričnog rasporeda armature po površini preseka. Kako kod zategnutih elemenata krak armature nije od interesa, to je, u cilju smanjenja površine poprečnog preseka štapa, poželjno podužnu armaturu raspoređivati po celoj površini preseka, kako je dato na Sl. 184. „Zmijasta“ armatura na slici ima funkciju obezbeđenja položaja (i razmaka) šipki podužne armature. Ukoliko je moguće, treba izbeći nastavljanje podužne armature, a ukoliko nije, armaturu je poželjno nastavljati zavarivanjem.

Sl. 184. Armiranje preseka zatege

Aksijalne sile u štapovima ispune su znatno manjih intenziteta, a opet je reč o presecima koji su centrično ili ekscentrično (mali ekscentricitet) pritisnuti ili zategnuti. Generalno, minimalna armatura pritisnutih štapova može biti određena i njihovom vitkošću, u skladu sa odredbom Pravilnika kojom se ove dve veličine dovode u vezu: min µ =

λ 50

− 0.4 ≥ 0.6 .

...................................................................... (4.44)

Na narednim skicama su dati karakteristični detalji armiranja čvorova rešetkastih nosača. Načelno, konstruisanje armature mora biti takvo da se obezbedi monolitnost i krutost uz što jednostavnije izvođenje. Armatura pritisnutog štapa se vodi do teorijskog čvora38, a zategnuta se produžava za dužinu sidrenja. Sidrenje može biti pravim delom šipke, sa ili bez kuke, ili talasasto (Sl. 185, Sl. 186). Na Sl. 38 I

144

pritisnuta armatura se sidri.


187 prikazana su armiranja čvora u kojem se sustiču dva zategnuta štapa i pritisnuta vertikala. Promena pravca sile zatezanja unosi veliku aksijalnu (skretnu) silu u vertikalu.

Sl. 185. Čvor: gornji pojas – vertikala – dijagonala

Sl. 186. Čvor: donji pojas – vertikala - dijagonala

Sl. 187. Čvor: donji pojas – krajnja dijagonala – vertikala

Usidrenje zategnute armature u oslonački čvor, ukoliko ne postoji dovoljno prostora za razvoj dužine sidrenja, može biti sprovedeno preko ploče za sidrenje (Sl. 188b). Sam donji pojas može biti prednapregnut (Sl. 187b). Oslonački čvor se karakteriše prostornim stanjem naprezanja usled unosa velik koncentrisanih sila. Zato ga treba armirati u sva tri pravca kako bi se obezbedio od cepanja.

145


Sl. 188. Oslonački čvor

4.5. LUČNI NOSAČI 4.5.1. UVOD, PRIMENA Lukovi su zakrivljeni ili izlomljeni nosači sa konveksnom stranom prema gore i sa nepomerljivim (praktično nepomerljivim) osloncima. Primenjuju se kao glavni nosači srednjih i velikih raspona industrijskih ili sportskih hala ili drugih objekata visokogradnje, te kao glavni mostovski nosači.

Sl. 189. Elementi i geometrija luka

Osa luka je linija koja spaja središta njegovih poprečnih preseka, raspon (L ) je horizontalno rastojanje oslonaca, a strela (f ) je visina luka merena u polovini raspona (Sl. 189). Odnos strele i raspona se naziva stinjenost luka. Na mestu oslanjanja, lukovi mogu biti zglobno nepomerljivo oslonjeni ili uklješteni. Horizontalna, uz vertikalnu, nepomerljivost oslonaca obezbeđuje postojanje horizontalnih reakcija pri vertikalnim opterećenjima, čime se oslonci odupiru težnji „ispravljanja“ luka. Ovim se duž luka, od uticaja, javljaju dominantno sile pritiska i, ukoliko je pravilno projektovane geometrije, relativno mali momenti savijanja, što, dalje implicira rad preseka u fazi malog ekscentriciteta pritiska i odsustvo prslina. Ovim, armiranobetonski luk predstavlja jedan od najracionalnih elemenata u betonskim konstrukcijama uopšte. U konstrukcijama zgradarstva se primenjuju za raspone veće od 20m, dok se kod mostovskih konstrukcija retko koriste za raspone manje od 30m (do nekoliko stotina metara). Primena betona visokih čvrstoća je, u novije vreme, učinila lučne elemente još lakšim i racionalnijim i omogućila savladavanje izuzetno velikih raspona (danas, kod mostovskih konstrukcija, višestruko prevazilaze raspone od 100m). Danas se vrlo često primenjuju lučne konstrukcije sa krutom armaturom (čelični profili ispunjeni betonom visoke čvrstoće), kada čelična armatura ima i ulogu skele i oplate. Takođe, za novije vreme

146


je karakteristično i montažno izvođenje lučnih konstrukcija, spajanjem lamela u konzolnom načinu gradnje. 4.5.2. GEOMETRIJA LUKA I STATIČKI STATIČKI SISTEMI Za poznatu konfiguraciju opterećenja, oblik ose luka je moguće pogodno izabrati na način da se poklapa (da minimalno) sa potpornom linijom opterećenja i, time, da se minimiziraju momenti savijanja, a preseci lukova pretežno aksijalno opterete. Kako je opterećenje tokom eksploatacije promenljivo, to se oblik ose luka prilagođava uglavnom stalnom opterećenju kod konstrukcija zgradarstva, odnosno stalnom i polovini korisnog (prosek minimalnog i maksimalnog eksploatacionog opterećenja), kod mostovskih konstrukcija. Stinjenost lukova u konstrukcijama zgradarstva je uobičajeno u intervalu između 1/10 i 1/6. Kod mostovskih sistema, zavisno od statičkog sistema, uslova oslanjanja ili nivoa opterećenja, stinjenost može biti u širokom intervalu između 1/16 i 1/2. Pri tome, plići lukovi odgovaraju slabo opterećenim, pešačkim mostovima, a duboki su karakteristični za mostove visokog nivoa opterećenja, preko dubokih dolina (povezano sa dobrom mogućnošću prijema horizontalnih sila na mestima oslanjanja).

Sl. 190. Statički sistemi prostih lukova

Mogući statički sistemi prostih lučnih nosača su (Sl. 190): •

Uklješteni luk je najjednostavnija lučna konstrukcija i, ujedno, najpogodnija

za savladavanje velikih raspona. Negativna (loša) posledica uklještenih krajeva je pojava većih momenata savijanja (tzv. sekundarni uticaji), posebno blisko krajevima. Takođe, kao višestruko statički neodređena konstrukcija relativno velike savojne krutosti, osetljiva je na deformacijska dejstva kakva su pomeranje oslonaca, temperaturni uticaji ili uticaji skupljanja betona. Veličine sekundarnih uticaja su srazmerne stinjenosti (veće su kod dubljih lukova). •

Dvozglobi luk se najčešće primenjuje kod plitkih lukova u cilju smanjenja

statičke neodređenosti i redukcije intenziteta momenata savijanja. •

Trozglobni lukovi su statički određene konstrukcije minimalnih momenata

savijanja i imune na deformacione uticaje. Ovo i opredeljuje njihovu primenu na slučajeve kada postoji realna opasnost od pomeranja/razmicanja oslonaca, ili na lukove velike stinjenosti (plitke). Zglobovi komplikuju i 147


usporavaju izvođenje, izazivaju oštre lomove deformacione linije (neprijatni udari vozila, kod mostova) i zahtevaju strožiji režim održavanja tokom eksploatacije. Kod svih ovih sistema neophodno je, kako je rečeno, obezbediti horizontalnu nepomerljivost oslonaca, te je od posebnog značaja pravilan izbor načina i realizacija fundiranja, kojim je potrebno primiti opterećenje uz minimiziranje deformacija tla. U cilju dalje racionalizacije elementa, kao i oslobađanja temeljnih konstrukcija od velikih horizontalnih sila, luk se često kombinuje sa ostalim elementima krovne ili mostovske konstrukcije, čime se formiraju kombinovani lučni sistemi . Osnovni reprezenti ovakvih sistema su (Sl. 191):

Sl. 191. Kombinovani lučni sistemi •

Luk sa zategom je lučna konstrukcija čiji su krajevi spojeni zategom, koja

preuzima horizontalne reakcije luka i time oslobađa oslonce potrebe njihovog prijema. Kombinovani sistem sada može biti samo prosto oslonjen. Ipak, ovde se mora puna pažnja posvetiti izduženjima zatege: s jedne strane ovo je ekvivalent razmicanju oslonaca, sa druge opredeljuje projektovanje oslonačkih elemenata. Sama zatega može biti projektovana u armiranom ili prednapregnutom betonu, ili kao čelični element. Primena ovakvog sistema je redovna kod industrijskih hala (Sl. 193a), gde bi prenos horizontalnih reakcija u vrhove stubova za posledicu imala velike momente u uklještenjima stubova. Radi smanjenja momenata savijanja u zatezi (usled sopstvene težine), zatega se, takozvanim vešaljkama (Sl. 192), „veša“ o lučni element.

Sl. 192. Vešaljke luka sa zategom •

Greda ojačana vitkim lukom , ili Langer -ova greda, podrazumeva lučni deo

male savojne krutosti, zbog čega se u njemu generišu vrlo mali momenti savijanja, čime je izložen skoro isključivo aksijalnom pritisku. Greda, koja se projektuje kao savojno kruta, sada, osim uloge zatege, preuzima na sebe kompletno savijanje. Ovakav sistem je pogodan za mostovske konstrukcije sa 148


kolovoznom konstrukcijom postavljenom preko ovih krutih greda. Ređe, u situacijama kada postoji potreba da se sekundarni elementi oslone u horizontalnoj ravni, ovakvi sistemi se koriste i za glavne krovne nosače konstrukcija hala (Sl. 193b).

Sl. 193. Luk sa zategom i Langer-ova greda kao glavni krovni vezači •

Luk sa zategom i kosim vešaljkama , ili Nilsen -ov luk, se projektuje sa kosim

vešaljkama, kako bi se i one angažovale u prijemu savijanja i, time, rasteretile lučni nosač u izvesnoj meri. •

Vitki luk sa gredom za ukrućenje sa gornje strane , za razliku od prethodnih

sistema, nema zategu, nego se horizontalne reakcije predaju fundamentima. Kruta greda je elastično oslonjena na stubove, kojima opterećenje predaje vitkom luku. Opet, mala savojna krutost luka implicira i dominantno stanje pritiska u presecima luka. Sistem se često primenjuje kod mostovskih konstrukcija. Osa luka je najčešće zakrivljena, kružnog ili paraboličnog oblika, ili poligonalna na

način da aproksimira neku od ovih krivih. Većim stinjenostima (dubokim lukovima) odgovara parabolični, a manjim oblik kružnog luka. Luk se može projektovati i kao poligonalni ili kolenast, u situacijama kada je to iz nekog razloga pogodno ili potrebno (montažne konstrukcije, velika koncentrisana opterećenja koja prave lomove u potpornoj liniji...). Mogućnosti izbora oblika poprečnog preseka lučnih nosača su velike, a neke od njih su prikazane na Sl. 194. Najjednostavniji, i najstariji u primeni, je pravougaoni oblik. Zavisno od statičkog sistema u kom se primenjuju, mogu se projektovati većih i manjih savojnih krutosti (a ili b ), zavisno od težnje za minimiziranjem momenata savijanja ili njenog odsustva. Većom širinom preseka, u odnosu na visinu, postiže se veća stabilnost luka na izvijanje upravno na svoju ravan, a minimizira se i savojna krutost luka u svojoj ravni.

149


Sl. 194. Poprečni preseci lučnih nosača

Visina preseka luka (Sl. 192), kod objekata zgradarstva je redovno u granicama između 1/40 do 1/30 raspona, dok je kod mostovskih konstrukcija manja (1/100 do 1/60 raspona). Povećanje bočne stabilnosti se još efikasnije ostvaruje projektovanjem višesdelnih poprečnih preseka, kojim se obezbeđuje velika krutost van ravni luka uz minimalan utrošak materijala. Delovi poprečnog preseka su povezani poprečnim rebrima (c , d , e ). Sa druge strane, višedelni preseci zahtevaju i skupu i komplikovanu oplatu. Optimalno (najracionalnije) rešenje podrazumeva primenu sandučastih preseka (f do i ). I ovi preseci se projektuju velike savojne krutosti na bočno savijanje, a karakterišu se i manjim vitkostima u ravni luka. Primenjuju se kod mostovskih konstrukcija velikih raspona. Silueta luka može biti konstantne ili promenljive visine i/ili širine. Promenom

momenta inercije utiče se na raspodelu uticaja duž statički neodređenog luka, a time je moguće postići i efekat zglobnih veza. Zglobove je, naravno, moguće projektovati i u obliku naglog suženja poprečnog preseka luka (Sl. 195). Pri izboru zakona promene visine/širine luka, teži se maksimalnom iskorišćenju materijala. Kako se aksijalna naprezanja relativno malo menjaju duž luka, to promenu otpornih momenata preseka treba uskladiti sa promenom maksimalnih (anvelopa) momenata savijanja.

Sl. 195. Zglobovi

Na Sl. 196 prikazani su dijagrami momenata savijanja u lukovima različitih statičkih sistema: 1 – uklješteni luk sa prirastom momenta inercije ka osloncima (Sl. 190a), 2 – uklješteni luk sa konstantnim momentom inercije, 3 – uklješteni luk u obliku srpa, 4 – luk na dva zgloba, i 5 – luk na tri zgloba. U slučaju uklještenog luka, najracionalnije je srednje dve trećine projektovati konstantnog preseka, a ka krajevima povećavati moment inercije. Dvozglobni lukovi, optimalno, srednju polovinu imaju konstantne visine i sužavaju se ka krajevima. Saglasno, luk na tri zgloba ima najveće momente inercije u četvrtinama i sužava se ka zglobovima. 150


Sl. 196. Dijagrami momenata savijanja za lukove različitih statičkih sistema

Kako je horizontalna nepomerljivost krajeva element na kojem bazira racionalnost lučnih elemenata, od izuzetnog je značaja njeno obezbeđenje. Kod prostih lučnih sistema, bez zatege, kada se na oslonce luka prenose kosa sila i, eventualno, momenat savijanja, oslonci se projektuju kao masivni temelji oblika prilagođenog pravcu i veličini opterećenja. Dodatno, oblik i dimenzije temelja su određene i vrstom i karakteristikama tla na kojem se fundira. Kod kvalitetnog tla (npr. stena), temeljna stopa se obično konstruiše u nagibu, kako bi se povećala otpornost na klizanje. Dodatno povećanje je moguće postići stepenastim oblikovanjem kontaktne površine temelja (Sl. 197). Pri proračunu sigurnosti na klizanje, dodatne sigurnosti radi, pretpostavlja se da ukupna horizontalna sila luka mora biti primljena samo silama trenja na donjoj površini (AB), a zanemaruje se, osim u slučaju kvalitetne stene, doprinos (pasivni otpor tla) površine A-C. U slučaju kombinovanih sistema kod kojih se horizontalna reakcija prima zategom, fundiranje je uobičajeno za prijem vertikalnih opterećenja.

Sl. 197. Oslonci prostih lučnih sistema

Kod krovnih nosača u sistemu luka sa zategom, oslanjanje na stubove se projektuje preko ležišta od tvrde gume ili preko metalnih valjaka, kada se želi postići pokretni oslonac. Nepokretna veza se može ostvariti zavarivanjem čeličnih pločica ankerovanih u stub i u luk, ili preko ispuštenih ankera i direktnog (preko sloja cementnog maltera) oslanjanja oslonačkog dela luka na stub39 (Sl. 198).

Sl. 198. Oslanjanje lučnih krovnih nosača sa zategom na stubove

39 Primetiti

da su lučni nosači u zgradarstvu redovno montažni elementi. 151


Kod lukova sa zategom koji se fundiraju u tlu, i zatega se redovno projektuje ispod nivoa terena, u zatvorenom kanalu, kojim je obezbeđena zaštita i kontrola zatege. Unutar kanala, zatega se oslanja na blisko postavljene pokretne (omogućuju rad zatege) oslonce (ekvivalent vešaljki), opet u cilju minimiziranja momenata savijanja od sopstvene težine. 4.5.3. UTICAJI Preseci luka su izloženi centričnom pritisku ili pritisku u fazi malog ekscentriciteta, zbog čega proračun saglasno uticajima proizašlim iz proračuna prema teoriji prvog reda daje zadovoljavajuće rezultate. Ovi uticaji se određuju standardnim postupcima teorije konstrukcija (metoda sila) ili, danas uobičajeno, uz pomoć odgovarajućih softverskih alata. Pri tome, logično, lučne elemente je opravdano modelirati takvima da im savojna i aksijalna krutost proizilaze iz bruto betonskog preseka. Doprinos armature, budući da preseci nisu jako armirani, nema potrebe obuhvatati prilikom procene krutosti. Međutim, pravilna procena krutosti (aksijalne) zatege može biti od velikog značaja. Kod čeličnih zatega usvaja se aksijalna krutost bruto čeličnog preseka. Kod zatega od prednapregnutog betona obračunava se aksijalna krutost bruto betonskog ili idealizovanog (doprinos čelika) preseka. Ovde je od interesa trenutak utezanja kablova – utezanje kablova nakon izvođenja luka ima za posledicu uticaje u luku izazvane silom prednaprezanja. Ovi uticaji izostaju ukoliko se zatega prednapreže pre izvođenja luka. Kod armiranobetonske zatege, procena aksijalne krutosti je složenija. Zategnuta, armiranobetonska zatega će imati razvijene prsline, a samim tim i krutost značajno redukovanu u odnosu na krutost bruto betonskog preseka. Sa druge strane, beton koji se u eksploatacionom stanju karakteriše izvesnom zatežućom čvrstoćom, između dve prsline saučestvuje u prijemu zatezanja, zbog čega napon u armaturi zatege nije konstantan (Sl. 199), prosečan napon σ ap je manji od onog na mestu prsline σ a , a samim tim i izduženje čelika (ujedno i izduženje zatege) je manje nego što bi bio slučaj kada bi se aksijalna krutost zatege izjednačila sa krutošću samo čelika za armiranje. Neka je sa ψ obeležen odnos maksimalnog i prosečnog napona, a (EF) ef efektivna aksijalna krutost zatege: ψ =

σ ap σ a

. ( EF )ef

=

Ea F a

ψ

. .................................................................. (4.45)

Sl. 199. Promena napona u armaturi armiranobetonske zatege 152


Za određivanje koeficijenta ψ , modelom propisa CEB-FIP je predloženo:  β ⋅ F  ψ = 1 −  z bz   σ a ⋅ Fa 

2

≥

Ea ⋅ F a Ebz ⋅ F bz

, .............................................................. (4.46)

β z

čvrstoća betona na zatezanje,

F bz

površina betonskog preseka zatege,

F a

površina armature u zatezi,

E bz

modul deformacije betona pri zatezanju, okvirno oko polovine onoga koji odgovara pritisku.

Treba primetiti da procena krutosti zatege zavisi od količine armature, koja u trenutku određivanja uticaja nije poznata, čime je impliciran iterativni proračun. Kod lučnih nosača velikog raspona40 neophodna je kontrola stabilnosti luka, kako u ravni, tako i upravno na ravan luka. U prilog ovoj „opreznosti“ idu i sve manje dimenzije poprečnih preseka lukova sa porastom čvrstoća betona. Na Sl. 200 su prikazani karakteristični oblici deformacije lukova u trenutku gubitka stabilnosti, za slučaj simetrične i antimetrične deformacije. Načelno, za uklještene i dvozglobne lukove, merodavna je antimetrična konfiguracija, a za trozglobne – simetrična za stinjenosti manje od 0.3, odnosno antimetrična za stinjenosti veće od ove.

Sl. 200. Karakteristični oblici pri gubitku stabilnosti

Za proračunske dužine izvijanja približno mogu biti usvojene sledeće dužine (sa s je obeležena kriva/razvijena dužina luka):  0.58 ⋅ s za trozglobne lukove  li = 0.54 ⋅ s za dvozglobne lukove . ..................................................... (4.47)  0.36 ⋅ s za ukljestene lukove 

Aksijalna sila pritiska koja odgovara pravom (ispravljenom) proračunskom, ekvivalentnom, štapu, u trenutku gubitka stabilnosti iznosi: N c =

π 2 ⋅ Ecm ⋅ I m 2

li

, .............................................................................. (4.48)

I m

srednja vrednost momenta inercije luka,

E cm

sekantni modul elastičnosti betona.

40 Prema

Eurocode 2, proračun luka na izvijanje u sopstvenoj ravni je neophodna uvek kada je visina preseka luka manja od 1/25 raspona. 153


4.5.4. DIMENZIONISANJE I AR ARMIRANJE MIRANJE Dimenzionisanje preseka luka se sprovodi saglasno uticajima proisteklim iz statičkog proračuna. Preseci luka su najčešće pritisnuti u fazi malog ekscentriciteta, zbog čega se u njima usvaja minimalna armatura, poput preseka stubova, oko 0.8%. Armatura se raspoređuje simetrično (Sl. 201), a retke su situacije (veliki momenti savijanja) kada je opravdan njen nesimetričan raspored. Nastavljanje podužne armature se projektuje preklopom ili zavarivanjem. Obuhvata se uzengijama, dvosečnim ili, za veće širine, višesečnim, dodavanjem unutrašnjih, radi boljeg utezanja preseka.

Sl. 201. Armiranje poprečnih preseka lukova

Sl. 202. Uzengije, spoljašnje i unutrašnje

Pritisnuta armatura na spoljašnjoj i zategnuta na unutrašnjoj strani savijanih lukova, imaju tendenciju ka izbacivanju zaštitnog sloja betona skretnim silama, zbog čega treba predvideti uzengije kojima će ove sile biti primljene. Sila u uzengijama (po metru dužnom) se određujeprema kotlovskoj formuli, ako je F a sila u armaturi: F uz =

F a r

. ......................................................................................... (4.49)

Sl. 203. Prihvatanje skretnih sila uzengijama

Zglobovi se dimenzionišu i armiraju () na način kako je to pokazano kod okvirnih konstrukcija (#4.3.5).

Sl. 204. Armiranje zglobova lučnog nosača

154


Vešaljke kombinovanih lučnih sistema se dimenzionišu na centrično zatezanje (eventualno na zatezanje u fazi malog ekscentriciteta) i armiraju simetrično uz pravilno obezbeđenje dobrog sidrenja šipki (Sl. 205). Od velikog je značaja dobro usidrenje armature zatege (Sl. 206). Kod manjih raspona (a ) treba nastojati da se veći deo armature zatege prevede preko oslonca (tačka A) a ostatak, bar, preko ivice oslonca. Kako bi se smanjile sile cepanja (posledica skretnih sila), savijanje armature u čvoru mora biti po blagom luku, a ovu zonu treba ojačati i gustom poprečnom armaturom. Ukoliko postoji mogućnost, dobro je obezbediti konzolno produženje zatege preko oslonca, čime je omogućeno jednostavno pravo sidrenje šipki (b ). U nedostatku prostora za sidrenje, ankerovanje se može sprovesti zavarivanjem armature za čeličnu ploču koja se postavlja na oslonački blok sa spoljašnje strane (c ).

Sl. 205. Armiranje vešaljke

Sl. 206. Sidrenje armature zatege

Oslonački blok i ovde, u cilju prihvatanja lokalnih napona, treba armirati gustom troosnom mrežom formiranom od tanjih profila (Sl. 207).

Sl. 207. Armiranje oslonačkog bloka i sidrenje armature zatege

155


4.6. OSTALI KOMBINOVANI LINIJSKI NOSAČI 4.6.1. ARMIRANOBETONSKI GRE GREDNI DNI ROŠTILJI Gredni roštilji su ravanske konstrukcije formirane od greda dva ili više pravca pružanja, koje se međusobno presecaju u čvorovima. Oslonjene su na krajevima greda i/ili u pojedinim čvorovima (Sl. 208). Najčešća je primena roštilja sa ortogonalno postavljenim gredama, ali su moguće i drugačije dispozicije, poput onih primenjivanih kod rebrastih međuspratnih konstrukcija (Sl. 209). U objektima zgradarstva se koriste u sklopu međuspratnih konstrukcija, kada su u čvorovima oslonjeni na stubove.

Sl. 208. Nekoliko primera statičkih sistema grednih roštilja

Sl. 209. Neki primeri grednih roštilja

U statičkom smislu, opterećenje koje deluje na jedan nosač se prenosi na susedne, budući da je opterećena elastično oslonjena na poprečne elemente, a ovi, opet, na podužne... Ovo ih čini racionalnim nosačima. Roštiljne konstrukcije se u zgradarstvu koriste za pokrivanje većih površina, najčešće pravougaone, ali i trougaone, kružne, trapezne ili nekog drugog oblika osnove. Poprečni preseci greda su najčešće pravougaoni, odnosno, u sadejstvu sa pločom, T oblika. Grede dva pravca mogu biti iste ili različite visine, što je uslovljeno intenzitetom sila u presecima, te uslovima pravilnog vođenja armature.

Sl. 210. Uvrtanje grede roštilja

Pod dejstvom vertikalnog opterećenja, u gredama roštilja se javljaju i torzioni uticaji, izazvani ugibom grede drugog pravca. Prilikom određivanja statičkih uticaja, od posebnog je značaja procena torzione krutosti greda roštilja. Precenjivanjem (na primer usvajanjem torzione krutosti homogenog betonskog preseka), mogu se značajno podceniti vrednosti momenata savijanja. Za granično stanje nosivosti opravdano je zanemariti postojanje torzione krutosti. U statičkom proračunu ovo 156


može da znači značajnu redukciju statičke neodređenosti, kako je pokazano na Sl. 211.

Sl. 211. Redukcija statičke neodređenosti zanemarenjem torzione krutosti greda

Armiranje grednih roštilja u svemu odgovara armiranju grednih elemenata. Zbog pojave uvrtanja greda, uzengije treba izvoditi preklopljene preko kraće strane. Pogodno je da grede dva pravca budu različite visine iz razloga nesmetanog prolaska podužne armature dva pravca kroz čvor. U suprotnom, kada su grede dva pravca iste visine, na mestu ukrštanja armatura se ređa naizmenično, ukoliko je usvojena u više redova (Sl. 212).

Sl. 212. Podužna armatura u čvoru

4.6.2. GREDE SA ZATEGAMA (DVOPOJASNI NOSAČ NOSAČI) I) Kombinacijom grednog nosača i poligonalne zatege mogu se formirati vrlo racionalni elementi sposobni da savladaju velike raspone uz minimalan utrošak materijala. Primena ovakvih sistema je karakteristična za krovne konstrukcije velikog raspona, gde se upotrebljavaju kao glavni ili sekundarni nosači.

Sl. 213. Dvopojasni nosači

Greda se projektuje kao armiranobetonski element, vertikale mogu biti armiranobetonske ili čelične, a zatega se projektuje kao čelična, prednapregnuta ili armiranobetonska. Kod nosača velikog raspona, u armiranobetonskoj zatezi, meka armatura može uspešno biti zamenjena kablovima od visokokvalitetnog čelika. Međutim, u takvim situacijama, znatno većim vrednostima dopuštenih napona odgovaraju i znatno veća izduženja zatege, pa se proračun saglasan teoriji drugog reda javlja neophodnim. Statički, greda se oslanja kruto na krajevima, a elastično, na zategu, na mestima vertikala – kontinualni nosač na elastičnim osloncima. Ovim se značajno redukuju momenti savijanja u gredi, u odnosu na prostu gredu, a pošto je zatega usidrena u 157


samu gredu, predaje joj i značajne sile pritiska. Ovim, gredni element može da ostane u stanju pritiska u fazi malog ekscentriciteta. Kako je greda pritisnuta, to se i u ovom slučaju mora kontrolisati mogućnost bočnog izvijanja. Ovo je razlog što su poprečni preseci greda često većeg momenta inerciju u ravni normalnoj na ravan nosača, često i višedelni (Sl. 214). Za velike raspone povoljna je primena sandučastih preseka.

Sl. 214. Poprečni preseci dvopojasnih nosača

Vertikale se obično projektuju u trećinama raspona u slučaju kolenaste grede, odnosno u četvrtinama kod pravih greda. Stinjenost ovakvih nosača je u granicama između 1/15 i 1/7. Dvopojasni nosači, osetljivi na deformacije generalno, moraju biti kontrolisani i u smislu vremenskih deformacija betona – promene dužine (skraćenja) pritisnute grede. Skraćenje grede ima za posledicu i skraćenje raspona zatege (lančanice), te povećanja ugiba kablova. Primer uspešno izvedene konstrukcije velikog raspona sa ovim sistemom je konstrukcija Hangara 2 na aerodromu u Surčinu, a u novije vreme, krovna konstrukcija Beogradske arene.

Sl. 215. Shematski prikaz konstrukcije Hangara 2 na aerodromu u Surčinu

4.6.3. VIRANDEL NOSAČI Virandel nosači su gredni elementi sastavljeni od mreže krutih četvorouglova, koji formiraju gornji i donji pojas, te sistem vertikala. Mogu biti projektovani u sistemu proste ili kontinualne grede, a primenjuju se kao krovni i međuspratni glavni nosači u zgradarstvu, te kao glavni nosači mostovskih konstrukcija. Pojasevi se konstruišu kao paralelni pravolinijski ili poligonalni. Sve veze elemenata su krute.

Sl. 216. Pravolinijska i poligonalna konfiguracija

158


Nastali su u težnji da se racionalizuje puni gredni element formiranjem četvorougaonih otvora. Postignuta je racionalna konstrukcija, koja u nekim situacijama može biti konkurentna sa rešetkastim ili lučnim nosačima. Forsirano krute veze između štapova imaju za posledicu izuzetno krutu konstrukciju velike nosivosti, nezavisno od konfiguracije ili promene opterećenja. Sa druge strane, zbog momenata savijanja i transverzalnih sila visokog nivoa, utrošak armature je neuporedivo veći nego kod ostalih kombinovanih linijskih sistema. Velika vertikalna opterećenja mogu usloviti projektovanje virandel nosača bez otvora u krajnjim poljima, radi mogućnosti prijema smicanja. 4.7. KRUŽNI PRSTENASTI NOSAČI NOSAČI 4.7.1. UVOD, PRIMENA, OBLIK OBLIKOVANJE... OVANJE... Kružni zatvoreni prstenasti nosač je čest element armiranobetonskih konstrukcija kružne osnove i javlja se kao obodni oslonački element kružnih i prstenastih ploča, obodni nosač na spoju ljuskastih elemenata, temeljni nosač (greda) ispod stubova rspoređenih po obimu kruga... (Sl. 217).

Sl. 217. Primena kružnog prstenastog nosača

U konstrukcijama, prstenasti nosač se koristi kao prelazni oslonački element, kojim se, na primer, kružne ploče oslanjaju na niz stubova, a kada ploči, dovoljnom savojnom krutošću, obezbeđuje linijske uslove oslanjanja po obodu, dok je sam oslonjen diskontinualno na stubove. U tom slučaju, prstenasti nosač je dominantno savijan u vertikalnoj ravni, a kao posledica zakrivljenosti realizuju se i momenti torzije po dužini prstena (Sl. 218a). U drugom slučaju, prstenasti nosač može biti kontinualno oslonjen na zidove, bilo da je reč o zidovima od opeke ili da je monolitno spojen sa armiranobetonskim ljuskastim elementom kružne osnove. I tada, i pored obezbeđene vertikalne nepomerljivosti, usled momenata uvrtanja, može biti izložen uticajima momenata savijanja. U oba slučaja, prstenasti element može biti izložen i dejstvu horizontalnog opterećenja, u sopstvenoj ravni, kada se kao posledica javljaju dominantno aksijalne sile. Šta više, neretka uloga prstenastog nosača je obezbeđenje horizontalnog oslonca ljuskastim (sferični, konični) 159


elementima, kada je nosač izložen aksijalnim silama visokog intenziteta. U takvim situacijama, uobičajeno je njegovo projektovanje u prednapregnutom betonu. Kako se javlja elementom konstrukcija koje svojom geometrijom zadovoljavaju rotacionu simetriju41, te kako su ovakve konstrukcije gravitaciono najčešće rotaciono-simetrično i opterećene gravitacionim opterećenjem, to se i sam prsten često proračunava u uslovima zadovoljene rotacione simetrije geometrije i opterećenja (Sl. 218b).

Sl. 218. Diskontinualno oslonjen prsten i rotaciono-simetrično opterećenje prstenastog nosača

U poprečnom preseku, prstenasti nosač se najčešće oblikuje pravougaonog oblika, mada su, posebno kad je spoj ljuskastih elemenata u pitanju, mogući i drugi, nepravilni, oblici (Sl. 217b, na primer). 4.7.2. UTICAJI 4.7.2.1. Kontinualno oslonjen kružni prsten U uslovima rotacione simetrije, kontinualno oslonjen kružni prstenasti nosač može biti opterećen ravnomerno podeljenim (linijskim) opterećenjem, koje se može razložiti na vertikalnu i horizontalnu komponentu, te ravnomerno raspodeljenim momentima uvrtanja. Membranski (statički određeni) uslovi oslanjanja prstena podrazumevaju nesmetanu promenu prečnika ploče i sprečeno vertikalno ugibanje.

Sl. 219. Prsten opterećen u svojoj ravni (kotlovska formula)

Pod dejstvom horizontalnog rotaciono-simetričnog opterećenja (Sl. 219) koje deluje u težištu prstena42, za „membranske“ uslove, u prstenu se realizuje aksijalna sila, prema kotlovskoj formuli (direktno iz uslova ravnoteže):

41 Rotaciona

simetrija podrazumeva nezavisnost oblika od rotacije, ili, jednake karakteristike u svim radijalnim pravcima. 42 Primetiti

160

da je opterećenje ravnotežno.


Z = H ⋅ r . ......................................................................................... (4.50)

Normalni naponi i dilatacije su, zapravougaoni presek: σ =

Z F

=

H ⋅ r b ⋅ d

, ε r = ε ϕ =

H ⋅ r E ⋅ b ⋅ d

, ....................................................... (4.51)

dok je promena poluprečnika (∆r ) data narednim izrazom, a obrtanje izostaje: 2

∆r = ε ⋅ r =

H ⋅ r

E ⋅ b ⋅ d

, χ = 0 . ................................................................ (4.52)

Uz zanemarenje širine b prema radijusu, može se smatrati da sve tačke preseka prstena imaju jednaku deformaciju, tj. da se presek pomera kao kruto telo (Sl. 220).

Sl. 220. Deformacija prstena opterećenog u svojoj ravni

Sl. 221. Prsten opterećen rotaciono-simetričnim momentima uvrtanja i kombinovanim uticajima

Pod dejstvom rotaciono-simetričnih momenata uvrtanja (m ), budući da je opet reč o ravnotežnom opterećenju, ne ralizuju se nikakve oslonačke reakcije. Kako „membranski“ uslovi oslanjanja obezbeđuju nesmetanu rotaciju poprečnih preseka, uz ponovno zanemarenje širine preseka prema radijusu, u prstenu se realizuju konstantni momenti savijanja u vertikalnoj ravni43 (Sl. 221a): M = m ⋅ r .

........................................................................................ (4.53)

Normalni naponi, linearno promenljivi, su funkcija položaja po visini preseka: 43 Kao

posledica zakrivljenosti, situacija je „pomalo“ paradoksalna: po dužini linijski element ne trpi vertikalnu deformaciju, a izložen je momentima savijanja. Prikazanom smeru opterećenja odgovaraju momenti savijanja koji zatežu donju stranu prstena. 161


σ =

M I

⋅ y =

12 ⋅ m ⋅ r b ⋅ d 3

⋅y,

..................................................................... (4.54)

dok su naponi na ivici: σ = ±

6⋅ m⋅ r b⋅d

=±

2

m⋅ r W

. ....................................................................... (4.55)

Prsten se deformiše obrtanjem poprečnih preseka oko svog težišta za veličinu χ . Dilatacija, odnosno promena poluprečnika, u funkciji položaja po visini preseka je: ε =

12 ⋅ m ⋅ r E ⋅ b ⋅ d 3

2

⋅ y

, ∆r = ε ⋅ r =

12 ⋅ m ⋅ r

⋅ y.

3

E ⋅ b ⋅ d

.............................................. (4.56)

Sada se do obrtanja preseka kao krutog tela može doći iz promene poluprečnika ivičnih vlakana (∆r0 ): 2

∆r 0 =

6 ⋅ m ⋅ r

2

E ⋅ b ⋅ d

→

χ =

2

∆r 0

=

m ⋅ r

d / 2

EI

. ................................................... (4.57)

U opštem slučaju, kada na kontinualno, „membranski“ oslonjen, prsten deluju rotaciono-simetrična opterećenja proizvoljnog pravca, i kada se širina preseka može zanemariti u odnosu na radijus, svođenjem spoljašnjih sila na težište preseka i dekompozicijom (projekcijama) moguće je opšti slučaj opterećenja svesti na dva navedena (Sl. 221b). Uslovi oslanjanja koji podrazumevaju slobodno horizontalno pomeranje redovno se ne javljaju u realnim konstrukcijama, ali je moguće usvojiti ih u osnovnom, statički određenom sistemu, a za statički prekobrojnu izabrati horizontalnu, rotaciono-simetričnu, reakciju. 4.7.2.2. Diskontinualno oslonjen prstenasti nosač Uslovi ravnoteže za diferencijalno prstenastog nosača, prema Sl. 222, su: dQ d α

+ p ⋅ r = 0 ,

dM x

+ dM y = 0 ,

d α

mali dM y d α

isečak

diskontinualno

= Q ⋅ r + M x ,

oslonjenog

.............................. (4.58)

Sl. 222. Analiza sila na elementarnom delu diskontinualno oslonjenog kružnog prstena

iz čega se sređivanjem dolazi do diferencijalne jednačine, te njenog rešenja: d 2 M y 2

d α

162

2

+ M y = − p ⋅ r

, M y

2

= A ⋅ sin α + B ⋅ cos α − p ⋅ r

. .......................... (4.59)


Integracione konstante su u funkciji ivičnih uslova. Sile u presecima su, u opštem slučaju, statički neodređene, ali se za neke specijalne slučajeve opterećenja mogu izvesti samo iz uslova ravnoteže. Primera radi, u nastavku su data rešenja za dva karakteristična slučaja opterećenja.

Sl. 223. Ravnomerno vertikalno opterećenje; Dijagrami My, Mx i Tz

Kružni nosač sa proizvoljnim brojem (n ) ravnomerno po obimu raspoređenih oslonaca i opterećen ravnomerno raspodeljenim vertikalnim opterećenjem (p ) (Sl. 223): •

•

•

R =

2π n

⋅ r ⋅ p , Qmax = ±

2

 π ⋅ cos α

M y = r π 

 n ⋅ sin α 0

π n

⋅r⋅ p ,



− 1 , M x = − r π 2



 π ⋅ sin α  α −   , 2α 0 n sin α ⋅ 0  

= 2π / n ,

Q = −r ⋅ π ⋅ α .

Kružni nosač sa parnim brojem oslonaca ravnomerno raspoređenih po krugu, opterećen u poljima naizmeničnim ravnomerno podeljenim opterećenjem ±p (Sl. 224): •

•

•

R = 0 , Qmax = ± 2

π n

 cos α

M y = r π 

 sin α 0 Q = −r ⋅ π ⋅ α .

⋅r⋅ p ,



 sin α

− 1 , M x = r π  −



2

 sin α 0



+ α  , 2α 0 = 2π / n ,



163


Sl. 224. Naizmenično opterećenje; Dijagrami My, Mx i Tz

4.7.3. DIMENZIONISANJE I ARMIRANJE Dimenzionisanje i armiranje kružnog prstenastog nosača u svemu odgovara onom kod grednih elemenata napregnutih pomenutim uticajima momenata savijanja, torzije, aksijalne i transverzalne sile. Pravila i preporuke za vođenje i nastavljanje armature su, takođe, identična. 4.8. KRATKI ELEMENTI Kratki elementi su, načelno, kratki konzolni nosači opterećeni koncentrisanom silom, često velikog intenziteta, na svom kraju. Raspon elementa (krak sile u odnosu na uklještenje), a , nije veći od statičke visine elementa, h (Sl. 225a). Slično, kratkim elementima se, prilikom proračuna, smatraju i delovi grednih nosača na kojima dolazi do znatne promene transverzalne sile na dužini grede koja nije veća od njegove visine, kakav je, na primer, slučaj kada u neposrednoj blizini oslonca deluje poprečna koncentrisana sila velikog intenziteta (Sl. 225b). U praksi, kratki elementi se često primenjuju (Sl. 226): kao oslonci podužnih nosača kranskih staza, kao oslonci prefabrikovanih elemenata u montažnom načinu gradnje, ili na dilatacionim razdelnicama, pri oblikovanju Gerber-ovih zglobova...

Sl. 225. Kratki elementi

164


Zbog specifičnosti oblika, kratki elementi su pre površinski elementi opterećeni u svojoj ravni nego linijski, zbog čega ni njihov proračun kao linijskih nije prihvatljiv. Takođe, primena teorije elastičnosti kod ovih elemenata nije primerena, zbog prslina koje su karakteristika već eksploatacionih opterećenja, a za posledicu imaju plastične i viskozne deformacije.

Sl. 226. Primena kratkih elemenata

Na Sl. 227 prikazane su trajektorije glavnih napona44 kod kratkih elemenata opterećenih vertikalnom silom, koji se razlikuju u nagibu donje ivice. Punim linijama su, očigledno, date trajektorije napona pritiska, a isprekidanim – zatezanja. Slika pravaca naprezanja je izuzetno informativna i omogućava postavljanje aproksimativnih postupaka proračuna. Upoređenjem dva slučaja, može se zaključiti da je kosa ivica povoljnija u statičkom smislu, jer obezbeđuje nešto povoljniji (male razlike) ugao unosa sile pritiska u stub. Kod ravne donje ivice (jednostavnije za izvođenje), dodatno, jedan deo elementa ostaje neiskorišćen i, pogotovu izložen dinamičkim i udarnim opterećenjima, sklon odvaljivanju na spoju napregnutog i nenapregnutog dela.

Sl. 227. Trajektorije naprezanja kratkih elemenata sa zakošenom i ravnom donjom ivicom45

Eksperimentalno je pokazano46 da su naponi zatezanja uz gornju ivicu konzole praktično konstantni celom dužinom od ivice stuba do mesta dejstva sile. Samim

44 Trajektorije

mogu biti određene, na primer, fotoelastičnim postupkom, eksperimentalno, ili primenom metode konačnih elemenata, računski. 45 Visina

nosača, a ne statička visina, na crtežima je obeležena sa h c (ovakvo obeležavanje, invertovane oznake za ukupnu i statičku visinu, karakteristično je za Evrokod). 46 Najčešće

se citiraju eksperimentalna istraživanja Franz -a i Niedenhoff -a. 165


tim, i ukupna zatežuća sila F s je nepromenljiva. Takođe, sila pritiska, koja se pruža od napadne tačke sile do korena kratkog elementa je približno konstantna, a već je konstatovan relativno mali uticaj oblika konzolnog elementa na trajektornu sliku. Na osnovu iznetog kristalisao se štapni mehanizam kao aproksimativni pristup proračunu kratkih elemenata (Sl. 228), koji podrazumeva razlaganje spoljašnjeg koncentrisanog dejstva (u opštem slučaju – kosog) na horizontalnu silu zatezanja i kosu silu pritiska.

Sl. 228. Štapni mehanizam kratkog elementa

Na Sl. 229 prikazani su mogući mehanizmi otkaza kratkih elemenata, intenzivno istraživani od strane Kriz -a i Raths -a.

Sl. 229. Mogući tipovi sloma kratkih elemenata

Slomu usled zatezanja gornje zone izazvanog momentom savijanja (slika a) prethode velike deformacije horizontalne armature, a slom se „realizuje“ drobljenjem pritisnutog betona. Dijagonalno cepanje po dužini pritisnutog štapa (slika b), nakon pojave pukotine uz lice stuba, rezultiraće slomom smicanjem u pritisnutoj zoni. Niz kratkih i odvojenih dijagonalnih pukotina (slika c) vodi slomu usled klizanja, nakon spajanja ovih prslina. Opterećenje naneto blizu kraja konzole (slika d) formira vertikalni pritisnuti štap i vodi slomu odsecanjem. Kod malih površina podložnih pločica može doći do lokalnog preopterećenja i drobljenja betona ispod pločice (slika e). Konačno, horizontalno, uz vertikalno, opterećenje može biti uzrok vertikalnim prslinama i slomu po njoj (slika f).

166


Armatura za prijem napona zatezanja izazvanih momentom savijanja se određuje i konstruiše na isti način kao i kod ostalih konzola. Pri tome je, saglasno Sl. 228, moment savijanja uz lice stuba: M = Fv ⋅ ac + H c ⋅ ∆ h . ......................................................................... (4.60)

Sl. 230. Armatura za prijem napona zatezanja od momenta savijanja

Granična vrednost ovog momenta i horizontalne sile rezultuje potrebnom količinom armature, nakon što se za krak unutrašnjih sila, preporučeno, usvoji nešto niža vrednost od one koja odgovara grednim elementima – oko 80% statičke visine. Ova armatura se oblikuje na način prikazan na Sl. 230, i sidri se, dovoljnom dužinom, u stub, na oba kraja. Armatura za prijem uticaja od transverzalne sile se sračunava direktno iz ukupne transverzalne sile i, preporučeno, postavlja se kao kosa, potrebne površine: Aak =

T u

2 ⋅ σ v ⋅ cos β

, .......................................................................... (4.61)

gde je sa β obeležena razlika uglova nagiba kose armature i kosog pravca od 45º. Potrebna količina kose armature treba da bude raspoređena na način (prema tzv. Mehmel -ovom modelu) da bude relativno ravnomerno raspoređena duž linije koja spaja napadnu tačku sile i koren elementa (Sl. 231a).

Sl. 231. Kosa armatura za prijem transverzalnih sila i armiranje kratkih kratkih elemenata

Kod vrlo kratkih konzola, kada je raspon znatno manji od visine, kosi glavni naponi zatezanja, umesto kosom, mogu biti primljeni horizontalnom armaturom (otvorene uzengije) raspoređenom po visini elementa (Sl. 231b). Treba naglasiti i da mnogi savremeni propisi ne preporučuju korišćenje kose armature za prijem glavnih 167


napona zatezanja ni kod kratkih elemenata. Razlog ovome je nemogućnost njenog potpunog iskorišćenja, ali i komplikovano izvođenje i otežano betoniranje. Shema armiranja u kojoj izostaju kose šipke je prikazana na Sl. 232, za kratki element horizontalne donje ivice.

Sl. 232. Armiranje samo horizontalnom i vertikalnom armaturom

Osim proračunskom, kratki element, dodatno, mora biti gusto armiran i horizontalnim i vertikalnim konstruktivnim uzengijama. Razlog ovome je i u mogućim drugačijim mehanizmima sloma kratkog elementa. Saglasno Evrokodu, kod kratkog elementa je neophodno dokazati i nosivost pritisnute dijagonale/štapa. U tom cilju se granična vrednost sile pritiska deli površinom određenom širinom preseka, b , i širinom (efektivnom) pritisnutog štapa, c , za koju se usvaja jedna petina statičke visine (Sl. 228). Ovako određen napon se upoređuje sa računskom vrednošću pritisne čvrstoće pri savijanju.

Sl. 233. Indirektno opterećen kratki element

Indirektno opterećeni kratki elementi (Sl. 233) mogu biti približno analizirani podelom vertikalnog opterećenja na dva jednaka dela, od kojih jedan deluje u gornjem, a drugi u donjem delu. Za silu na gornjoj ivici proračun odgovara iznetom, a donja polovina sile se razlaže na jednu zatežuću, F s2 , i jednu pritiskujuću, F c2 . Zatežućoj sili, sada, odgovara i dodatna količina armature. Podmetač, preko kojeg se prenosi sila na kratki element, mora biti dovoljno udaljen od ivice, kako je slikom prikazano (Sl. 234a). 168

04 - Linijski elementi.pdf

Recommend Documents