VEKTOR B. Tinjauan Vektor Secara Secara Analitis Analitis (1) Pengertian Vektor satuan adalah sebuah vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor basis adalah vektor satuan yang arahnya searah dengan sumbu-sumbu koordinat. Terdapat tiga macam vektor basis, yaitu: z yang searah dengan dengan arah sumbu sumbu X positip i yaitu vetor basis yang
yang searah dengan dengan arah sumbu sumbu Y positip j yaitu vetor basis yang k yaitu vetor basis yang searah dengan arah sumbu Z positip
x
Menyatakan vektor a secara analitis yaitu menyatakannya
y
dalam bentuk persamaan dengan komponen i , j dan k dan dinyatakan sebagai
a1 a = a1 i + a2 j + a3 k atau a 2 a 3
Sebagai pelengkap pemahaman materi, berikut ini diberikan beberapa contoh soal sebagai berikut : z
01. Ga Gambarlah vector a = 3 i + 5 j + 4 k Jawab
G
D
F
E 4 x
O A
(b) DC
(c) CE
(d) DB
G
D
F
E 2 x
V ektor
3
y
z
02. Pada gambar balok disamping, disamping, nyatakanlah nyatakanlah vektor-vektor berikut ini dalam bentuk persamaan vektor (a) EG
5
B
C
O A
4
B
3
C
y
1
Jawab
z
(a) EG = ED + DG
G
D
= –3 i + 4 j + 0 k
F
E
= –3 i + 4 j
2
3 = 4 0
O
x
3
B
4
A
y
C
z
(b) DC = DG + GC
G
D
= 0 i + 4 j – 2 k
E
= 4 j – 2 k
2
F
O
0
= 4 2
x
3
B
4
A
y
C
z
(c) CE = CB + BA + AE
G
D
= 3 i – 4 j + 2 k
F
E
3 = 4 2
2
O
x
B
4
A
y
C
3
z
(d) DB = DE + EF + FB
G
D
= 3 i + 4 j – 2 k
3 = 4 2
F
E 2 x
O B
4
A
3
C
y
03. Diketahui balok OABC.DEFG dimana O adalah pusat koordinat Cartesius. Jika panjang sisi OA = 4 cm, OC = 7 cm dan OD = 5 cm. Tentukanlah : (a) Persamaan vektor EC z
(b) Panjang vektor EC Jawab (a) EC = ED + DG + GC
F
E
= –4 i + 7 j – 5 k
5 4 x
Vektor
G
D
A
O
C
7
y
B
2
(b)
2 2 2 EC = EG + GC
= ( ED 2 +
DG
2
) +
2 GC
= (4) 2 + (7) 2 + (5) 2 = 16 + 49 + 25 2 EC =
90
Jadi
EC =
90 = 3 10 cm
Catatan Dari contoh soal diatas dapat disimpulkan bahwa jika vektor a = a1 i + a2 j + a3 k maka panjang vektor a dapat dirumuskan :
Jika
A(
,
,
)
B(
,
,
)
a =
2
2
2
a1 a 2 a 3 .
maka AB = ( b1 – a 1 ) i + ( b 2 – a 2 ) j + ( b 3 – a 3
b1 a 1 ) k = b 2 a 2 b 3 a 3
Sebagai contoh, akan diuraikan berikut ini: 04. Diketahui titik A(2, –4, 1) dan B(5, –3, –2). Tentukanlah persamaan vector AB Jawab
52 AB = 3 ( 4) = 2 1
3 1 = 3 i + j – 3 k 3
(2). Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Pada Vektor Operasi penjumlahan pada atau pengurangan pada vector secara analitis dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurang komponen-komponennya, sehingga : a1 b1 (a1 i +a2 j +a3 k ) + (b1 i + b2 j + b3 k ) = [a1 + b1] i + [a2 + b2] j + [a3 + b3] k = a 2 b 2 a 3 b 3 a1 b1 (a1 i +a2 j +a3 k ) – (b1 i + b2 j + b3 k ) = [a1 – b1] i + [a2 – b2] j + [a3 – b3] k = a 2 b 2 a 3 b 3
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini: 05. Jika a = 3 i – j + 2 k , b = –4 i + 2 j + 5 k dan c = i + 4 j – 6 k , tentukanlah hasil dari : (a) 2 a – b + 3 c (b) a + 2 b – 2 c Jawab
Vektor
3
1 3 4 (a) 2 a – b + 3 c = 2 1 – 2 + 3 4 6 2 5 6 4 3 2 – 2 + 12 = 4 5 18 =
6 (4) 3 2 2 12 4 5 (18)
=
13 8 19
= 13 i +
(b) a + 2 b – 2 c =
=
=
=
=
8 j – 19 k
4 1 3 1 + 2 2 – 2 4 5 6 2
3 1 + 2
8 4 – 10
2 8 12
3 (8) 2 1 4 8 2 10 (12) 7 5 24 –7 i – 5 j + 24 k
06. Diketahui a = 2 i +3 j + k , b = 3 i – 2 j + k dan c = i + 3 j – 2 k . Tentukanlah persamaan vector x jika a + 2 x – 3 c = b Jawab a + 2 x – 3 c = b 3 3 2 3 + 2 x – 9 = 2
1
Vektor
6
1
4
3 3 2 2 x = 2 + 9 – 3 1 6 1
33 2 2 x = 2 9 3 1 (6) 1 4 2x = 4 6
4 x = 4 2 6 1
2 2 x = 3 x = 2 i + 2 j – 3 k
07. Diketahui titik P(3, 0, 2), Q(-2, 1, -1) dan R(2, -3, 2) maka tentukanlah vector hasil dari 3 PR – 2 QR Jawab
23 2 (2) 3 PR – 2 QR = 3 3 0 – 2 3 1 2 2 2 ( 1) 4 1 = 3 3 – 2 4 3 0
Vektor
=
3 8 9 – 8 0 6
=
11 1 6
5
08. Diketahui titik A(4, –3, –2) dan B(2, 1, –3). Jika AB + BC = –9 i + 4 j + 6 k , maka tentukanlah koordinat titik C Jawab Misalkan koordinat C(x, y, z), maka
24 AB = 1 ( 3) = 3 ( 2) x2 y 1 = BC = z ( 3)
2 4 1
x 2 y 1 z 3
9 Sehingga AB + BC = 4 6 2 x 2 9 4 + y 1 = 4 1 z 3 6 x 2 9 y 1 = 4 – z 3 6
2 4 1
7 x 2 y 1 = 0 7 z 3 Jadi x – 2 = –7 maka x = –5 y – 2 = 0 maka y = 2 z + 3 = 7 maka z = 4
Vektor
6
