PENYELESAIAN ANALITIS PERSOALAN OPTIMASI
1. Optimasi Tanpa Kendala
min f x -
f(x) f(x) adalah adalah fung fungsi si skalar skalar yang yang didefin didefinisik isikan an pada pada ruan ruang g vekto vektor r n x R
penyelesaian dari persoalan diatas dapat dicari dengan cara sbb : - bila bila x* x* ada adala lah h titi titik k mini minimu mum m mak makaa f(x*) = 0 - bila bila H(x*) H(x*) adalah adalah positi positiff defini definisi si maka maka x* x* yang yang meme memenuh nuhii syarat syarat titik minimum
f(x*) = 0 adalah
contoh : $ X %# # X ## " X % X # X % ! X # min
X % " X # f(x) = " X % " X # !
% f(x) = 0 x* yang merupakan calon (kandidat) penyelesaian dari $
persoalan H(x*) = "
"
adalah pos& def&
"
% adalah titik minimum dengan ' = -$ $ Z
X2 Elips-elips ini disebut c ontour dari f(x)
3
-1 X1 -1 3
X1
X2
2. Optimasi dengan Kendala Persamaan
min f(x) st hi(x) = 0 = %#$ && ( st = +ub,ect o o (dengan syarat)
./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
kendala)
%
7ontoh : # # 6in $ X % # X # " X % X # X % ! X # X % X # % +t
X2
3
Penyelesaian
1 -1
1
X1 X1 + X2 - 1 = 0
% $ tidak memenuhi
h(x) = 0
% $ bukan penyelesaian dari persoalan diatas&
x* adalah penyelesaian dari persoalan diatas x* A dimana 3 = x h( x ) 0 3 adalah himpunan titik-titik vektor x yang memenuhi semua kendala 3 disebut daerah layak dari persoalan tersebut atau (8easible 4egion)
min f ( x ) x* adalah penyelesaian dari sth ( x ) 0 x* A x h( x ) 0 dan f(x*)
f(x)
x A
untuk menyelesaikan persoalan optimasi dengan kendala persamaan dipergunakan fungsi 2agrange n
2 (x ) = f(x) 9
ihi( x) )) i %
= disebut pengali 2agrange
dengan ini persoalan optimasi dapat diubah men,adi persoalan optimasi tanpa kendala dalam bentuk min
2 (x )
(x* *) adalan penyelidikan dari 2x )
L( x* *) 0 L 0 f ( x) ihi ( x) 0 X L 0 hi ( x) 0 X contoh : # # 6in $ X % # X # " X % X # X % ! X #
./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
#
+t
X % X # % 0
X " X # % L 0 % % 0 " X " X ! X % # L 0 X % X # % 0 X $ persamaan dengan $ variabel (;% ;# ) X % " X # # 0 " X % " X # # ! 0 # X % # 0 X % % X % X # % 0 X # #
! 0 " % # "
x*
% cara penyelesaian adalah x* = # X2
3 2 1 -1
1
X1 X1 + X2 - 1 = 0
bila 2(x ) adalah konvex maka x* adalah titik minimum yang dicari - f(x*) adalah konvex karena H(x) pos&def - h(x*) adalah konvex karena linier - 2(x* *) = f ( x*) * h( x*) f ( x*) "h( x*) = konvex 9 konvex = konvex
% x* adalah titil penyelesaian # syarat perlu 2(x ) = 0 syarat cukup 2(x ) harus konvex
f(x) harus konvex h(x) dengan positif harus konvex h(x) dengan negatif harus konkav
./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
$
3. Optimasi Dengan Kendala Pertidasamaan
min f(x) st g(x) 0
i = %#$ &
7ontoh : (%)
# # 6in $ X % # X # " X % X # X % ! X # X % X # % +t
g ( x) X % X # %
(#)
min st
f(x) X % X # % g ( x ) X % X # %
secara geometris (%)
(#) X2
X2
X*
3 g X*
2
X
f
2
X
g
f (X*)
-4
3 g
1
f g
-1
1
X1
-1
1 f 1
X1+ X2 = 1
X1 X1+ X2 = 1
-4
X " X # f ( x ) % " X % " X # !
" f (x) "
./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
" f (x) "
"
% g (x) %
% g ( x) % ($)
harus berla
min st X2
X*
3 g
X1
3 2
1
1
-1
1
f
2
f
f(x) ;% 9 ;# = $
X2
g
X*
min st
1
-1
X1
f ( x ) g ( x ) 0 0
X % " X # 0 " X % " X # ! 0
;% = -% ;% 9 ;# = $
;# = "
>oleh searah ? berla
f(x)
min st
g ( x) 0
f(x) g(x) 9 a# = 0
ambahkan +lack L( x a ) f ( x) g ( x) a # min 2(x a)
Befinisikan Bidapat
: :
+yarat perlu
L 0 X
(%) (#) ($)
L 0
L 0 a
f ( x ) g ( x ) 0 g ( x ) a # 0 g ( x ) 0 #a 0 #a # 0 #( g ( x )) 0 g ( x ) 0
./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
C
(")
0
bila terdiri dari banyak kendala min st
f(x)
gi ( x ) 0
i : %#$ &n
L( x a ) f ( x)
n
i gi( x) ai #
i %
syarat perlu (%) (#) ($) (")
f ( x ) i gi ( x ) 0 gi ( x ) 0 igi ( x ) 0
i 0
contoh : 6in
$ X %# # X ## " X % X # X % ! X #
+t
X % X # %
(%)
X % " X # % " X " X ! % 0 # % X % " X # 0 " X % " X # ! 0
(#) ($) (")
X % X # % 0
X %
X # % 0 0
kemungkinan % (%)
:
0
X % " X # 0
;% = -% ;# = $
" X % " X # ! 0
(#)
;% 9 ;# - % = -% 9 $ -% = %
kemungkinan #
:
0
(t&m)
0
X # % 0 X % X # % 0
($)
X %
(%)
X % " X # 0
;# = #
" X % " X # ! 0 ;% = -%
- " 9 ! - ! 9 = 0 " 0 % ,adi x* #
(memenuhi)
dengan "
./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
nterpretasi
:
7ontoh %
:
" 0
% x* = #
terletak pada batas kendalanya
kendalanya berpengaruh
karena 0 (selalu) maka syarat cukup untuk persoalan optimasi dengan kendala pertidaksamaan adalah sbb : bila f(x) adalah Konvex dan gi(x)untuk 0 adalah Konvex maka x* yang memenuhi syarat-syarat perlu adalah penyelesaian dari persoalan tersebut !. "ent# $m#m Pers%alan Optimasi
min st
f(x)
gi ( x ) 0
h,(x) = 0
i : %#&$&&n , : %##&&m
syarat perlu suatu titik x* dapat men,adi penyelesaian adalah : (%) (#) ($) (") (C)
f ( x*) i gi ( x*) ! jhj ( x*) 0 gi ( x*) 0 hj ( x*) 0 i gi ( x*) 0
i : %#&&n , : %#&&m i : %#&&n i : %#&&n
i 0
secara geometris g1 X2
h
h
g1
FR (Fisible Region)
- f
h
h f X1 g2
X*
- f - f
g2
secara matematis f ( x ) " # X % X #
g % ( x ) " X % g # ( x ) " X # h ( x ) " X % X # #
(%)
f ( x ) % g %( x ) # g # ( x ) ! h ( x ) 0
./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
D
# % 0 % % % 0 # % ! % 0
# % ! 0 % # ! 0 X % 0 X # 0 X % X # # 0 % X % 0 # X # 0 % 0
(#) ($) (") (C)
% 0 # 0
kemungkinan %: (")
# 0
X % 0 X # 0
($)
X % X # # 0 0 # # # 0 % 0
kemungkinan # : (") ($) (%)
# 0
X # 0 X % X # # 0 X % # # 0 ! 0 ! # ! # % # ! 0 % 0
kemungkinan $ : (") ($) (%)
(memenuhi)
# 0
X % 0 X # # % 0 ! 0 ! %
# % ! 0
% %
% 0
kemungkinan " :
(%)
(t&m)
(memenuhi)
# 0
! # ! %
(t&m)
# x* 0 % 0
# %
! #
dengan nilai max = "( " 0) = " contoh : ./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
!
6in +t
# # X % # X # X % X # " X % X # "
syarat perlu :
# X % % # # X % % # % 0 #
%a %b
" 0 # # X % X # " 0 %
X X %
#a
#
#b
X % X # " 0
$a $b
# X % X # " 0 % 0 # 0
kemungkinan % : % 0 (%a) (%b) ($a) ($b)
X % 0 X # 0 0 0 " " 0 00" " 0
kemungkinan # : % 0 (#b) (%a) (%b)
# 0
(memenuhi) (t&m&)
# 0
# X % x # " 0 # X % # # 0 # X # # 0
(;#)
# X % " x # 0 # X % " x # 0
(#b)
# X % x # " C X # " X # 0! X % % # # X # % 0
($a)
% 0! " % $ 0
(memenuhi)
($b)
$# 0! " 0 0
(memenuhi)
% x* 0! ./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
E
# 0
kemungkinan $ : % 0
X % x # " 0
(#a) (%a)
# X %
(%b)
# X #
(#a)
% 0 % 0
(;#)
# X % # x # 0
X % X #
# X % "
X % #
X # #
($a)
##"00
(memenuhi)
($b)
" # " # $ 0
(memenuhi)
% # X % " $ 0
(%a)
kemungkinan " : % 0
(t&m)
# 0
f
t&m
g1 >0,
> 0
g2
f g1 >0, g2 f
f
g2
(t.m. Krn Harus neg. upaya total grad ien ! ")
=0
=0,
> 0
X1 g2 2 X 1 + X 2 = 4
X 1 + X 2 = 4
C& &$ADRATI' PRO(RAMMIN(
6odel matematika : 6ax
Z CX X T DX
s&t
AX b X 0
atau 6ax
Z CX X T DX
./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
%0
s&t
A b XG X 0 I 0
dimana X x% x # &&& x n
T
C c% c # &&& c n
b b% b# &&& bm
a &&& A &&& a &&& D &&&
%%
m%
%%
m%
T
&&& &&& a &&& &&&
&&&&& a%n
&&&&& &&&&&
&&&&&
mn
%n
mn
./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
%%
B adalah matrik +imetri B definit negatif ,ika tu,uannya memaksimumkan ' dan B definit positip
,ika tu,uannya
meminimumkan '
Bengan menggunakan fungsi 2agrange : L X ! Z T ! T G X
% # &&&& m
T
! ! % ! # &&&&& ! n
T
+yarat .erlu keoptimalan :
L 0 X
%&
L 0
L 0 !
Z T ! T G X 0 # X T D T A ! T C
# DX AT ! C T
Fika S b AX 0 adalah variabel slack #&
n * ' i (( bi a ij x j %% 0 j % ) &
i S 0 ! j
j
0
$&
AX S b
"&
( ! ( X ( S 0
+yarat .erlu di atas dapat ditulis kembali sbb :
./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
%#
X
T D# A I " C A " " I ! b S T
! j x j 0
i S i 0
! X S 0
7ontoh : 6ax
Z " x% x # # x% # x # # x% x #
s&t
x% # x# #
#
#
x% x # 0
Fika ditulis dalam bentuk matrik :
./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
%$
6ax
x% x%# % Z " x #% x # x#% #
s&t
% % # # x #
x
% x 0 # x
+yarat .erlu Auhn - ucker :
./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
%"
" # % % 0 0 x " # " # 0 % 0 % # 0 0 0 % ! # ! x
%
#
%
%
#
x%
x #
%
! %
! #
4 %
4 #
+%
4A
r
$
-%
-%
0
0
0
%0
4 %
"
#
%
-%
0
%
0
0
"
4 #
#
"
#
0
-%
0
%
0
+%
%
#
0
0
0
0
0
%
#
terasi % : Aarena ! % 0 maka x% yang berubah men,adi variabel dasar tukar dengan 4 %
x%
x #
%
! %
! #
4 %
4 #
+%
4A
r
0
$
$ #
% #
-%
-
$ #
0
0
"
x%
%
% #
% "
0
0
%
4 #
0
$
$ #
%
0
"
+%
0
$ #
0
%
%
% "
% "
% "
0
% #
-%
% "
0
-
% #
% "
terasi # : ./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
%C
Aarena ! # 0 maka x# yang berubah men,adi variabel dasar tukar dengan + % x%
x #
%
! %
! #
4 %
4 #
+%
4A
r
0
0
#
0
-%
-%
0
-#
#
x%
%
0
% $
% $
0
% $
0
% $
# $
4 #
0
0
#
0
-%
-
% #
%
-#
#
x#
0
%
%
%
0
-
%
0
# $
# $
-
-
-
terasi $ : Aarena +% = 0 maka % yang berubah men,adi variabel dasar tukar dengan 4 # x%
x #
%
! %
! #
4 %
4 #
+%
4A
r
0
0
0
0
0
-%
-%
0
0
x%
%
0
0
% $
%
% $
%
0
% $
%
0
0
%
0
% #
0
% #
-%
%
x#
0
%
0
%
%
% %#
% #
C
% $
x#
-
-
% %#
-
-
Fadi x% *
*
C
' = "(%?$) 9 (C?) - #(%?$)(%?$) - #(C?)(C?) - #(%?$)(C?) =
./1/2/+33 332+ ./4+5323 5.63+
%
