G eometría Teoría
Ia Ix IA Ig IT It IA
Presentación Ser docente en Matemática en la actualidad es un gran reto, pues se trata de una tarea compleja que requiere multiplicidad de saberes; para hacer frente a este desafío y hacer menos laborioso este trabajo presentamos la Colección Intelectum Evolución para Secundaria que ha sido elaborada en congruencia con la renovación y actualización de la educación, teniendo como objetivo desarrollar las competencias y capacidades matemáticas de los estudiantes y que sirva como medio para comprender, analizar, describir, interpretar, explicar, tomar decisiones y dar respuesta a situaciones concretas haciendo uso de conceptos y procedimientos. Esta Colección ha sido actualizada siguiendo los lineamientos dados por el Ministerio de Educación, de modo tal que presentamos por año el texto escolar compuesto de cuatro áreas (Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría), en ellas se desarrollan los tres componentes: Número, relaciones y operaciones, Geometría y medición y Estadística y probabilidades. Acompañan al texto escolar los libros de actividades uno por área, formando un paquete de cinco libros por año. En los textos escolares se ha desarrollado el contenido teórico, los conocimientos por área, que supera los requerimientos del Diseño Curricular Nacional (DCN), complementado con la sección Problemas resueltos que llevará el estudiante a un (auto) aprendizaje significativo autónomo. Cada libro de actividades está estructurado en cinco secciones. La parte de Lectura mediante algunas biografías de eminentes matemáticos y reseñas del avance de la Matemática a lo largo de la historia, pretende estimular al estudiante a compenetrarse más en el área.
Aplicamos lo aprendido, con la finalidad de evaluar los conocimientos procesados, a través de un grupo de problemas que el estudiante deberá resolver, a su vez como entrenamiento de las diversas estrategias. Esta parte y la sección Practiquemos, conformada por un conjunto de problemas clasificados por capacidades (Comunicación matemática, Razonamiento y demostración y Resolución de problemas) y ordenados por niveles, determinarán el grado de avance y el logro. La sección Maratón matemática, donde el alumno tendrá que discernir qué conocimiento aplicar, porque son problemas de toda la unidad y con un mayor nivel de complejidad. La parte final, Sudoku, se propone ejercitar y entrenar el razonamiento matemático y la destreza numérica. Centrados en la idea de que la Matemática sirva a la ciencia y esta a la vida real y concreta, esperamos contribuir al progreso de la Educación y por ende al de la humanidad.
Estructura del libro Texto escolar
Binaria motivadora En ella están los contenidos, los indicadores de logro y una lectura de contexto matemático. Indicadores de logro Son las capacidades que el estudiante desarrollará en el transcurso del año escolar: Comunicación matemática, Razonamiento y demostración y Resolución de problemas. Lectura Está relacionada con uno de los conocimientos desarrollados en la unidad, para que el estudiante asocie lo que está procesando con hechos reales, como una de las herramientas principales de las rutas del aprendizaje.
Contenido:
Ig
Intelectum Geometría
Unidad 1
Indicadores
de logro
Unidad 2
•
Unidad 3
Congruencia de triángulos.
Unidad 4
•
Segmentos.
•
Proporcionalidad.
•
Polígonos regulares.
•
Ángulos, paralelismo y perpendicularidad.
•
Polígonos.
•
Semejanza de triángulos.
•
Áreas.
•
Triángulos.
•
Cuadriláteros
•
Relaciones métricas.
•
Geometría del espacio.
•
Triángulos rectángulos notables.
•
Circunferencia.
•
Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos.
•
Sólidos geométricos.
Unidad 1
Unidad 2
Unidad 3
Unidad 4
• Identifica la propiedad del punto medio en los segmentos. • Resuelve problemas aplicando las propiedades de los segmentos. • Interpreta la notación científica del rayo, semirrecta y segmento de recta. • Identifica las propiedades relacionadas en las rectas paralelas. • Identifica las propiedades de las rectas paralelas relacionando con los ángulos suplementarios. • Aplica relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. • Reconoce la bisectriz, mediana, altura y la mediatriz en los triángulos. • Reconoce el baricentro, ortocentro, circuncentro, incentro y excentro de los triángulos. • Identifica las propiedades de los triángulos notables exactos, aproximados y pitagóricos. • Demuestra el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos notables.
• Identifica los casos de congruencia (ALA, LAL, LLL y LLA) en las operaciones con triángulos. • Clasifica los polígonos simples según el número de lados y la región que forman. • Representa gráficamente los polígonos simples según el número de lados. • Identifica las características de los polígonos convexos. • Demuestra las propiedades de los cuadriláteros (trapecio, trapezoide y paralelogramo). • Aplica las propiedades del trapecio, trapezoide y paralelogramo en los problemas. • Identifica las propiedades de los ángulos en la circunferencia y establece las posiciones relativas entre dos circunferencias coplanares. • Aplica las propiedades de los ángulos presentes en las circunferencias interiores y exteriores.
• Identifica la razón y proporción geométrica y el teorema de la cuaterna armónica en las proporciones. • Clasifica los triángulos según su semejanza y aplica los teoremas en la interpretación de las propiedades. • Relaciona los elementos homólogos en los triángulos inscritos en la circunferencia. • Establece una relación de semejanza introduciendo una recta paralela en el triángulo. • Identifica los teoremas de las relaciones métricas en el triángulo rectángulo. • Identifica las rectas isogonales interiores y exteriores. • Formula los teoremas de las relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos. • Identifica el teorema de la mediana en las operaciones con triángulos.
• Expresa las propiedades de los diferentes polígonos regulares según su numero de lados. • Reconoce las clases de regiones circulares, triangulares y cuadrangulares. • Elabora los criterios de las lúnulas de Hipócrates en la circunferencia. • Aplica la mínima distancia entre dos rectas alabeadas. • Reconoce el ángulo diedro entre dos planos y el ángulo triedro que se determina por tres rayos recurrentes dos a dos. • Elabora las proyecciones en el espacio sobre un plano. • Reconoce el teorema de Thales y el teorema de las tres perpendiculares en la resolución de problemas. • Identifica las propiedades de los sólidos geométricos según su género. • Clasifica a los poliedros según el número de lados y aplica sus principales teoremas en las operaciones.
REDES GEODÉSICAS Una red geodésica es un conjunto de puntos (vértices geodésicos) físicamente establecidos dentro de un territorio que determinan sobre los mismos una red de contorno poligonal y que además se subdivide en triángulos interiores; dicha red proporciona información cartográfica exacta del territorio sobre la que está dispuesta la red geodésica ya que todos sus vértices poseen coordenadas de posición (latitud, longitud, altitud) exactas. Las redes geodésicas pueden conformar entre sí enlaces geodésicos, mediante la unión de dos redes independientes, que sumadas resultan en una red geodésica mucho más grande, la cual pueden abarcar continentes enteros; por ejemplo el Enlace Geodésico ÁFRICA-EUROPA.
Cómic matemático
En él se presentan historias divertidas relacionadas con hechos matemáticos que serán de interés del estudiante, para que no vea la matemática como una ciencia ajena a su realidad, sino como una ciencia cotidiana.
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
C) Teorema de la mediana
G
D) Teorema de la proyección de la mediana
B
B
NATURAlEzA DE UN TRIáNGUlO
a
Se puede conocer la naturaleza de un triángulo a partir de las longitudes de los lados y teniendo en cuenta los siguientes casos.
Caso I
Conocimientos
Se debe tener en cuenta que para hallar la naturaleza de un triángulo este debe cumplir primeramente con el postulado de “existencia de un triángulo”. Sea el TABC: B
A
Entonces BD es una bisectriz exterior. Por el teorema de la bisectriz exterior: AB = BC CD AD
D
A
3
B
E
4
9
...(I)
Si CB // DE & OC = OB = 3 + AB BE 9 - AB CD Igualamos (I) y (II):
2
Calcula:
A
20° 20°
y x
A
B θ θ
4
y
β β
2
AD = AE & 2 = 3 + x CE 1 x DC 2x = 3 + x ` x=3
E
x
8
6
D
A
Por el teorema de la bisectriz interior: y 4 = 5 / = x a b a b
B θ θ
a
E
y
β β
5 b
C
C
D
D
3
A
De la figura, calcula x.
26
B
6
50° 65° x
12 60°
C
Aplicamos el teorema de Thales: x = 6 &x=4 12 6 + 12
C
20
9
Del grafico, calcula: x
D
B
B 26
A
40
IV
A
α
x
65°
50° 65° x
20
C
C
C
α θ F 2 E 1
20
D
De la figura: AB // CD / BC // DE Por teorema de Thales: DF = EF & DF = 1 ... (1) CE BD 2 BD
A
m
N A x
8
P
C
Resolución: Aplicamos el teorema de Ceva:
Intelectum 3.°
a
4
De (1) y (2): 1 = 3 ` x=6 2 x
Intelectum 3.°
N
M 3 A
x
P
8
5 G
F b
D
n
E 3 C
Aplicamos el teorema de Menelao en el TABE: ab(3) = mn(B) & ab = 8 ...(I) 3 mn Aplicamos el teorema de Ceva en el TABE: ab(x) = mn(5 - x) & ab = 5 - x ...(II) x mn
B
DF = CF & DF = 3 ... (2) BD AC BD x
B a
M
θ
Resolución:
E D
B 4
Halla x.
G
F A
Resolución:
3
20
m
G) Teorema de la bisectriz interior
Si m = ProyAC AB y n = ProyAC BC
Recuerda
& Se cumple:
Teorema de carnot
b
H
m
A
A C
n
Si m = ProyAC AB y n = ProyAC BC
b2 - a2 = n2 - m2
& Se cumple:
B
b2 - a2 = n2 - m2
A
θ
C
c
I. DABC acutángulo
A
50
b
θ
m
H
c
H
m
b C
Si el ÅBAC es agudo y m = ProyAC AB
Si el ÅABC es obtuso y m = ProyAC AB
& Se cumple: b2 = a2 + c2 - 2cm
& Se cumple: b2 = a2 + c2 + 2cm
A
A
b
a m
b
c
m
C
y
n
E
Cuando BE es una ceviana exterior, entonces se cumple:
A n
C
b2m - a2n = y2c - cmn
J) Segundo teorema de Booth
En todo triángulo la suma de los cuadrados de las longitudes de los segmentos que unen sus vértices con su baricentro es igual al a tercera parte de la suma de los cuadrados de sus tres lados. B
Q
M
c/2
y
a
b/2 c/2
B
a
B β
b/2
a/2 c
BM
b - a = 2ec • El teorema de Steward también se aplica para cevianas exteriores.
& Se cumple: y2 = mn - ab
B
N
θ
A
E
c/2 C
AC
2
Si BE es una bisectriz exterior
En todo triángulo la suma de los cuadrados de las longitudes de sus tres medianas es igual a las tres cuartas partes de la suma de los cuadrados de las longitudes de sus tres lados. a/2
a C
C
& Se cumple: x2 = ab - mn
B
a
b2 = a2 + c2 - 2ac(cosq)
n
Si BP es una bisectriz interior
II. DABC obtusángulo
B
Sea q un ángulo trigonométrico, entonces se cumple:
P
2
H) Teorema de la bisectriz exterior
y
I) Primer teorema de Booth
B) Teorema de Euclides
Dependiendo si un triángulo es acutángulo u obtusángulo, se pueden presentar dos casos:
b
a
m
M
entonces se cumple:
Donde: p = 1 (a + b + c); p: semiperímetro 2
β
b
A c/2 e
Si AM , MC y e = Proy
C
c
Se cumple: h = 2 p (p - a) (p - b) (p - c) c
B
x
H
b
h
H
θ θ
a a
C
n
H
a
A
C
n
P c
x C
Si CN = z / AQ = x / BM = y & Se cumple: x2 + y2 + z2 = 3 (a2 + b2 + c2) 4
Intelectum 3.°
A
b G
Nota
z c
C
Si G es el baricentro del DABC & Se cumple: x2 + y2 + z2 = 1 (a2 + b2 + c2) 3
Para demostrar el segundo teorema de Booth a partir del primero, se debe tomar en cuenta que el baricentro divide a cada mediana, en segmentos que están en razón de dos a uno.
GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
51
Conjuntos de problemas en los que se han utilizado diversas estrategias, para su resolución, con el objetivo de reforzar la destreza y la habilidad del estudiante.
BI = 6 + 6 = 12 & BI = 3 4 4 IH IH
En el gráfico: BE = 5 y EC = 3; calcula GE. B
DC // AB, por teorema de Thales: TD = TC & 5 = 8 ` BC = 24 5 DA BC 3 BC
D
A
Resolución:
b
b
a
B
m
Si BP es una ceviana interior
B
a
A
A
II. DABC obtusángulo
B
F) Teorema de Herón
b
x
C
& Se cumple: a2n + b2m = x2c + cmn
A) Teoremas de las proyecciones I. DABC acutángulo
E) Teorema de Steward
a c
C
Pero nos piden: IH = 1 BI 3 11
De las circunferencias tangentes interiores: TD = TE & TD = 5 DA EC DA 3
Trazamos CE // BD. Luego, el 9 BEC es equilátero. Entonces BE = 12 y CE = 12.
60°
D
θ θ
2
Resolución:
E 12 B 60° 6 60° 60° 12 x
6
I H
2
El TABC es isósceles. Aplicamos al teorema del incentro:
B
E
T
Resolución:
y & a = 4 = b 5 x
x
A
C
θ
12
60° 60° x
Resolución: 4
6
... (2)
θ
D
B
x
θ
A
Si: a2 + c2 < b2 & El DABC es obtusángulo ` Åq es obtuso (q > 90°)
Dependiendo si el triángulo es acutángulo u obtusángulo, se pueden presentar dos casos:
postulado de existencia • c-b
• El teorema de la proyección de la mediana también se aplica en triángulos obtusángulos. B
B
C
Todos los triángulos cumplen con los siguientes teoremas.
Para afirmar que el TABC es acutángulo, rectángulo u obtusángulo primero debe cumplirse:
Observación
b2 - a2 = 2ec
b
a c
Si: a2 + c2 = b2 & El DABC es rectángulo ` Åq es recto (q = 90°)
C
H e M c
& se cumple:
Problemas resueltos
C
B α α
Del gráfico, calcula BC, si EC = 3, TE = 5 y T es punto de tangencia.
En el gráfico, calcula x.
θ θ
H
... (1)
Por teorema de Ceva: (PB)(CQ)(AD) = (AP)(QB)(DC) De (1) y (2): AD = DC ` x=6
Por cuaterna armónica:
70°
D 1 C
A
Resolución
Por teorema de Thales: PB = QB & (PB)(CQ) = (AP)(QB) CQ AP
E
x
D 1 C
70°
C
x
D
A
5
C
θ
A
Si BM es mediana y HM es su proyección sobre AC
2 & se cumple: a2 + b2 = 2m2 + c 2
B α α
Q 6
Resolución:
5
E
A
C
c
C
M c
Si BM es mediana relativa al lado AC
Si: AB = 6; HC = 2; calcula: IH BI
B
70°
Resolución: B
10
P A
B
2
...(II)
` OB = 6
& AB = 3
A
A
En la figura PQ // AC. Calcula x.
I
En el gráfico, calcula x.
20° 20°
Por proporcionalidad: Si AC // DB & OC = OA = 3 AB AB CD
3 = 3 + AB 9 - AB AB
7
Reemplazando: 26 = x & x = 13 20 40
C O
Resolución:
B b
a
b
θ
En un triángulo el ángulo que se opone a uno de los lados será obtuso si el cuadrado de este lado es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
B
B a
A
Si: a2 + c2 > b2 & El DABC es acutángulo ` Åq es agudo (q < 90°)
A
Caso III
En un triángulo el ángulo que se opone a uno de los lados será recto si el cuadrado de este lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
TEOREMAs pRINcIpAlEs
C
c
Caso II
b
a
G
Problemas resueltos Si CB // DE, AC // BD y OA = 3. Halla OB.
b
a
Constituye el desarrollo de contenidos, los cuales se han adecuado a los requerimientos del Diseño Curricular Nacional. Se ha hecho uso de un lenguaje sencillo, conceptos graduales clasificados de acuerdo al grado escolar y lo principal con criterio pedagógico. Acompañan este desarrollo los mediadores cognitivos (personajes de la colección) que con sus sugerencias e indicaciones, reforzarán el aprendizaje del estudiante.
1
En un triángulo el ángulo que se opone a uno de los lados será agudo si el cuadrado de este lado es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Atención
b
m
Veamos: x(4)a = (3)a(8) x=6
a C
Igualamos (I) en (II): 8 = 5 - x & 8x = 15 - 3x x 3 x = 15 11
` GE = 15 11
GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
41
Libro de actividades Recuerda Tales de Mileto Se le llamó Tales de Mileto (o Thales) porque vivió en la ciudad de Mileto, entre 624 a. C. – 546 a. C. Fue uno de los “siete sabios” de la antigüedad. Filósofo y matemático griego. En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. Se destacó principalmente por sus trabajos en filosofía y matemáticas. En esta última ciencia, se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico, por esto, se la considera el Padre de la Geometría. Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Según Tales, el principio original de todas las cosas es el agua, de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez. Se atribuye a Tales el uso de sus conocimientos de geometría para medir las dimensiones de las pirámides de Egipto y calcular la distancia desde la costa hasta barcos en alta mar. Son seis sus teoremas geométricos: 1.- Todo diámetro biseca a la circunferencia. 2. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales. 3. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 4. Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales son iguales. 5. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 6. El famoso “teorema de Tales”: los segmentos determinados por una serie de paralelas cortadas por dos transversales son proporcionales. En astronomía fue observador de la Osa Menor e instruyó a los marinos para guiarse con esta constelación. Predijo el eclipse solar del año 585 a. C., utilizando el Saros, un ciclo de 18 años, 10 días y 8 horas. Thales fue el primero en sostener que la Luna brillaba por el reflejo del Sol y además determinó el número exacto de días que tiene el año. Tales también fue el famoso sabio de la historia que cayó en un pozo por mirar las estrellas y una anciana le dijo: “pretendes observar las estrellas y ni siquiera ves lo que tienes a tus pies”. También se le atribuye a Tales la historia del mulo que cargaba sal y que se metía en el río para disolverla y aligerar su peso; Tales le quitó esa mala costumbre cargándolo con esponjas. Cuando le preguntaron la recompensa que quería por sus descubrimientos, contestó: “Me consideraría bien recompensado si los demás no se atribuyeran mis hallazgos, sino que reconocieran que son míos”.
Lectura inicial En ella se incluyen biografías de eminentes matemáticos y reseñas del avance de la matemática a lo largo de la historia. La intención es iniciar la conexión entre elementos de interés del estudiante y lo que va a procesar. Acompañan a la lectura un grupo de pensamientos que conducirán al estudiante a la reflexión, además un ejercicio de razonamiento matemático como entrada a lo que será el desarrollo de sus actividades.
Aplicamos lo aprendido tema 2: 1
2
Si el área de la región triangular es 7 2 cm , calcula x. 45° x
La diagonal de un cuadrado mide a 2 , ¿cuánto mide el semiperímetro de otro cuadrado cuya área es el doble del primer cuadrado?
7
8
Halla el área del triángulo ABC.
2
A) 4 a D) 4a 2
B 4 cm O A
C
T
3 cm
B) a 2 E) 2a 2
C) 8a 2
4 cm
B
C
A
D
10
B) 25 E) 64
C) 20
Calcula el área de la corona circular si AB = 8 m. M
A
B
O
A) 3 cm D) 7 cm 3
B) 4 cm E) 8 cm
A) 12 cm2 D) 9 cm2
C) 5 cm
Halla el área de una región triangular equilátera, sabiendo que las distancias de un punto interior a los lados, son de 2; 3 y 4 cm.
B) 7 cm2 E) 10 cm2
10 m
B
C) 10 3 cm2
R
P
A) 20 m2 D) 25 m2
En un trapecio rectángulo ABCD (BC // AD), se sabe que BC = 6 m; AD = 8 m y el área del trapecio es 28 m2. Calcula AB.
B) 12p m2 E) 6p m2
C) 9p m2
Halla el área de un círculo inscrito en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 12 cm.
2 D
2
A
B) 30 m2 E) 35 m2
D
A) p - 1 D) 2p - 1
C) 40 m2
B) p - 2 E) p + 4
A) 2p cm2 D) 8p cm2
C) p - 3
Calcula el área del círculo circunscrito a un triángulo equilátero, sabiendo que el lado del triángulo mide 4 3 m.
Halla el área de un cuadrilátero, si sus diagonales forman un ángulo de 30°, además, el producto de estas es 48 m2.
6
12
C
N
20 m
13 5
A) 8p m2 D) 16p m2
Calcula el área sombreada.
11
C
B M
A
B) 20 3 cm2 E) 6 cm2
C) 120 m2
Halla el área de la región sombreada.
4
12 m
A) 27 3 cm2 D) 8 cm2
B) 60 2 m2 E) 100 m2
14
B) 4p cm2 E) 9p cm2
C) 6p cm2
Halla el área de la región sombreada, si AO = OB. A
1 O
10. D
8. A
9. A
7. E
12. B
14. A
11. B
C) 48 m2
13. A
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
83
Nivel 1 Comunicación matemática 1.
2.
F b=4
3
5 θ
M 8 c=9
4 3
A
N
8
Paso 1: Trazamos NF AB y BN = AN & AF = FB Como AB MN y AB FN & AB TFMN y AB FM
1.
A) 30° 2.
B) 40°
C) 50°
M
Q
P
B) 75 2 m2 E)135 m2
B) - p 6
... (a)
Del triángulo MBN: c < 5 + 8 & c < 13
... (b)
N 9
4 3 F
C) p 6
D) - 5p 6
E) 0
En el triángulo ABC de semiperímetro 45 m, el lado BC mide 12 m. La circunferencia exinscrita al lado BC tiene radio 10 m. Halla el área del triángulo ABC. B) 240 m2 E) 450 m2
C) 300 m2
A
C) 8 m
C
C) 125 m2
B
A) (6 + 5 ) m
D) 65 m E) 9 m 6.
7.
C
A
α
20 90 u2
A) 6
110°
M
10 u
H
B) 40
D) 50
B) 4 E) 3
A) 8 2 m
A
A) 75 m2
D
B) 84 m2
C) 96 m2
2
C)5 6 m
D) 90 m2
B
Resolución de problemas
B) 42 cm2 E) 39 cm2
18. Halla el área de un triángulo si sus lados miden: 3 2 ; 2 5 A) 9 ( )
xyzR xyzR 2
II. A9ABC = III. A9ABC =
( )
6 m2
C) 36 cm2
x
A
B
Q
D) 15
26 y
E) 14
B) 195 E) 105
C) 160
20. Calcula el área de la región limitada por el cuadrilátero AQPH, si AP = 10 m y AB = QH.
14. Si los triángulos ABC y BPQ son equiláteros, halla x. P
C) 10
A) 210 D) 135
( )
xyzR
B) 12
19. En un triángulo ABC se trazan la mediana AM y la altura BH, de modo que BH = 20 y AB = 29. Calcula el área de la región triangular AMH.
Razonamiento y demostración
3 cm
E
84
y
A z EC
II
A) 48 cm2 D) 45 cm2
A) 169p B) 85 C) 85p D) 69 E) 69p
F
EB
B
C) 9/1
I
C
B T
I. A9ABC = 1 2
C
A
=A+B ( )
C x R
B) 7/16 E) 8/15
B
ABC
C) π - 3 6 2
17. Si: BT = 24 y BF = 36, halla las diferencias de las áreas sombreadas. (T es punto de tangencia)
A
EA
E) 12 m2
En el gráfico: AE = EB = 6, calcula el área de la región sombreada, si además: BC = AC = 12
III) A
C
B) π - 3 3 4 E) π - 3 3 6
13. Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada caso:
2
11. Si el área del círculo es 9p cm2, ¿cuál es la suma de las áreas de las regiones cuadradas I y II?
E) 108 m2
B
A
C
A) π - 3 3 2 D) π - 3 6 4
R
III.
P
E
II) R = A + B ( )
C
A
10. En un trapecio ABCD (BC//AD y AD = 4BC), se inscribe un rectángulo PQRS, tal que: Q ! AB, R ! CD y P con S están ubicados en AD. Calcula la razón de áreas de las regiones limitadas por dichos cuadriláteros, si AQ = 2QB.
C
B
A B
E) 16
C) 4 3
B) 6 2 m
6 m2
D)
E) 60
2
A) 8/19 D) 2/3
5.
D) 12
En un trapecio isósceles ABCD (BC // AD) se traza BH = AD (H ! AD). Calcula el área de la región trapecial ABCD, si AC = 6 m y BH = 2 m.
E
C
C) 45
Calcula el área de la región trapecial ABCD, si: AD = 2BC, AB = 5 m y CD = 13 m B
C) 9
A) 2 3 D) 6 2 9.
16. Halla el área de la región sombreada, si el triángulo ABC es equilátero y BE = 3 . (A, E, P son puntos colineales).
A) 6 m2 B) 1 m2 C) 2 m2 D) 3 m2 E) 9 m2
Q
A) 29 m2 B) 30 m2 C) 40 m2 D) 50 m2 E) 60 m2
P
A
Intelectum 3.°
O
B
H
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
85
Sección ubicada al final de cada unidad didáctica, son problemas de todos los temas desarrollados y en donde el alumno tendrá que discernir qué conocimiento aplicar para llegar a la meta que es la resolución del problema.
C D
7m H F
2 E
A
B) 8
20 m
B A
Calcula el lado de un triángulo equilátero, si su perímetro es numéricamente igual a su área.
8.
I) R = A + B ( ) C
15 m
R
II.
P
De la figura, calcula el área de la región ABC, si CM = 10 y C es centro de la circunferencia menor.
A) 30 4.
A A
E) 12 - π 3
El área de una región triangular ABC es 144. Sobre AB y BC se toman los puntos M y N respectivamente, tales que AB = 8BM y BN = NC. Calcula el área de la región triangular MBN.
7.
B
8m
6
G
I K
En un triángulo 12 cm de lado se inscribe un círculo. Sí el círculo y el triángulo giran alrededor de AH (altura del triángulo ABC), calcula la diferencia entre los dos volúmenes generados. A) 20 3 p cm3
B) 40p 3 cm3
D) 10 3 p cm3
E) 32p 3 cm3
C) 30 3 p cm3
Una esfera cuyo radio mide 6 cm; está inscrita en un cono recto. Se traza un plano tangente a la esfera y perpendicular a la generatriz del cono. Si el plano dista 2 cm del vértice del cono, calcula el volumen del cono. A) 768p cm3 D) 384p cm3
8.
70°
B
I.
A) 60 m2 B) 80 m2 C) 100 m2 D) 50 m2 E) 72 m2
B
Comunicación matemática 12. Indica la opción correcta en cada gráfico ( ) o incorrecta ( ) según corresponda.
C) 15 - 9 π 4
B) (16 - 3p)
15. Halla el área de la región sombreada.
Nivel 2
Resolución de problemas
N
B 10 u2 70° C 20 u
C) 12^3 3 - πh
Maratón matemática
La figura representa una caja; en el punto H sobre la cara ABFE se encuentra una hormiga, y en el punto I sobre la cara EFGK se encuentra su comida. Halla la mínima distancia recorrida por la hormiga para llegar a I. B) (6 + 37 ) m
El radio de una esfera aumenta en 0,01 m. y el volumen se
A) 120 m2 D) 330 m2
96
B
incrementa en d 13 n p cm3. En el mismo sistema de unidades, 3 cuál es la diferencia entre los números que representan a la superficie y al volumen de la esfera. A) 5π 6
4.
5.
E) 70°
N
D
A) 85 m2 D) 125 3 m2 3.
D) 60°
En la siguiente figura M, N, P y Q son los puntos medios de los lados del cuadrado ABCD. Sí el lado del cuadrado ABCD es 25 m, calcula el área de la región sombreada. A
Entonces del triángulo FMN: c < 3 + 4 3 & c < 9, 93
` VB - AMN = 16 2
Las caras de un ángulo diedro son cortadas en los puntos M y N por una recta; siendo A la proyección ortogonal de estos puntos sobre la arista. La mitad del ángulo diedro es igual a la semidiferencia de los ángulos ANM y AMN. Si estos últimos están en relación de 3 a 1, ¿cuál es el valor del ángulo diedro?
α
B) 12^2 2 - πh E) 24^3 3 - 2πh
A) 8 - 9 π 4
Completa los siguientes recuadros teniendo en cuenta los valores presentes en los siguientes gráficos:
u2
A) 8^3 6 - πh
D) 16 - 9 π 4
B
Paso 4: Del triángulo FMN: (ley de cosenos) 2 _4 3 i = 32 + 92 - 2(3)(9)cosq
Paso 3: Del triángulo ABN: FN = 4 3
( )
M
θ & cosq = 7 M 9 3 Por la cual senq = 4 2 9 Paso 4: VB - AMN = VB - FMN + VA - FMN = 1 (ÁreaTFMN)(AB) 3 (3) (9) senq VB - AMN = 1 < F (8) 3 2
Paso 2: Del triángulo BFM: b < 5 & 2b < 10 & AB (mayor valor entero par) = 8 ` b = 4 y FM = 3 (por el teorema de Pitágoras).
( )
Razonamiento y demostración 3.
De (a) y (b): & c(mayor valor entero) = 9
B
II. El área de un triángulo obtusángulo es igual al semiproducto de su base y la altura relativa a dicha base. III. Un triángulo heroniano posee lados enteros.
A
Matemática
b=4
( )
D) 12^3 3 - 2πh
Grafica un cuadrado ABCD y un círculo C con centro en A. La circunferencia C corta a AB y AD en los puntos M y N, respectivamente.Si: AN = 3 y CD = 4, calcula el área de la región del pentágono mixtilíneo MBCDN.
6.
I. El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de sus catetos.
20 u
Presenta gran variedad de problemas propuestos, distribuidos en tres niveles, los cuales van en orden de jerarquía: niveles simple, intermedio y avanzado. En cada nivel desarrollamos en el estudiante las tres capacidades del área: Comunicación matemática, Razonamiento y demostración, y Resolución de problemas.
Resolución:
Coloca (V) o (F) según corresponda:
B
Practiquemos
Se tiene la pirámide B - AMN, tal que BA MN, BN = AN = 8, BM = 5. Si AB toma su mayor valor entero par y MN su mayor valor entero, calcula el volumen de la pirámide.
16 18 19 22 25
Practiquemos
Claves
Intelectum 3.°
A) B) C) D) E)
C) 2π 3
B) π 3 E) π 5
5. C
B) 16 m2 E) 10 m2
6. D
A) 24 m2 D) 12 m2
C) 4 m
3. A
82
B) 2 m E) 7 m
4. B
A) 3 m D) 5 m
¡Razona...! Coloca los números del 1 al 10 en cada uno de los círculos mostrados, de tal forma que la suma de los números en cada uno de los cinco lados sea la misma y la menor posible. ¿Cuál es esa suma?
B
A) π 2 D) π 4
C) 15p m2
1. D
B) 18p m2 E) 12p m2
2. A
A) 16p m2 D) 10p m2
• El hombre generoso olvida los favores que hace y guarda en el corazón los que recibe.
Esta sección con la finalidad de evaluar los conocimientos aprendidos a través de un grupo de problemas que el alumno deberá resolver; a su vez sirve de entrenamiento de las diferentes estrategias para resolver problemas y encaminar al estudiante hacia el aprendizaje significativo autónomo.
C) 6 cm2 A) 120 2 m2 D) 60 m2
• El entusiasmo y la paciencia son dos condiciones necesarias para avanzar en el camino de la fortuna.
Aplicamos lo aprendido
E
A) 16 D) 36
Un paralelogramo tiene 64 m de perímetro. El lado menor es los 3/5 del mayor y los ángulos agudos miden 45°. Calcula el área del paralelogramo.
9
• El hombre labra su felicidad de varios materiales incoherentes, para poder construir con ellos un edificio durable. • Cuando encontramos la felicidad en nosotros mismos, hacemos poco caso de la que puede venirnos de otra parte.
En la figura, encuentra el área del cuadrado ABCD, si: CF = 13; DF = 15 y FE = 9 F
ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
Reflexiona
B) 1152p cm3 E) 256p cm3
C) 576p cm3
Instrucciones: completa los tableros subdivididos en 9 cuadrados llenando las celdas vacías con los números del 1 al 9, sin que se repita ninguna cifra en cada fila, ni en cada columna, ni en cada cuadrado. 1.
A) _3 + 2 i cm
B) d 9 - 25 n cm C) d 9 + 25 n cm 2 2
D) _4 + 35 i cm
E) d 9 + 45 n cm 2
Intelectum 3.°
8 1
9 5
3
6
9 2
8
9
8
2
6
9
2 7
8
5 8
4
7
2
6
8
1
9
3
1
3
4
7
9
2
4
4
5
4
8
6
8
3
7
7
9
8
9 2
8 2
4 6
4
8
2
5
4 3 6
2 2
3
4
9
1 8
2
4
1
2
6
3
2 5
4
5 2
2
4 5
1 6 1
5
8 3
7
8 6
7
9 2
8 9
6
4
1
1
9
3
2 9
7
2
8 9
6
4 4
5 2
9 4
8 5
6 7
7
9 4
4
2 3 8
1
2
8 1 1 7
6 3
1 8
2 4
3 1
5 2
7 6
9 5
4
3
1
1 8
4 2
6 3
7 6
9 1
8 9
3 5
5 4
4
5
9
3
2
1
8
1
3
5
7
9
4
2
8
6
2
8
7
6
9
4
3
4
6
9
5
2
8
3
1
7
6.
2 1 5
4 7 3
5 4 6
3 9 2
7 8 1
9 3 8
1 2 4
6
9
5
7
7
8
3 2 6
5 1 4
2 3 9
8 4 1
6 5 7
4 8 5
1 9 2
7 6 3
5
8
1
9
6
2
7
3
4
6
7
9
5
3
8
2
4
1
4
7
6
8
5
3
2
9
1
4
8
3
6
2
1
9
7
5
3 4
9 5
7 1
1 7
4 9
5 6
6 8
8
5
2
3
1 9
2 8
7 1
9 5
4 2
6 7
3 6
8 4
7
9
8
2
4
6
1
5
3
2
5
7
4
6
3
1
8
9
1
6
2
3
8
5
4
7
9
1
4
6
8
7
9
3
5
2
7.
1 7 2
5 9 4
3 5 9
7 1 8
2 4 6
9 2 7
4 6 5
8
6
3
5
1
9
4 8 3
2 7 1
9 4 8
3 1 7
5 6 2
1 2 5
7 3 6
8 9 4
1
3
2
7
6
9
5
8
4
7
6
3
2
8
9
4
5
1
7
4
8
1
3
5
6
9
2
8
9
5
6
4
1
3
2
7
5 6
6 1
2 4
4 9
8 7
3 8
1 3
7
1
5
4
8
7
6
5
3
1
2
9
5
9
3
8
2
1
4
7
6
2
2 7
4 6
3 1
5 9
7 3
9 8
8 4
6 5
4
5
9
7
2
8
6
1
3
3
1
8
5
6
4
7
9
2
8.
2
6
8
7
1
9
5
4
4
7
1
2
8
9
6
5
3
7 1
3
4
5
8
7
6
9
2
8
4
7
9
1
5
2
3
6
5
7
1
2
9
4
8
3
2
5
3
4
6
8
7
1
9
4
9 8
7 1
7
7 5
6
8 4 8
5
2
7
6 1
2
6 9
5 2
9 2
6
6
6 3 4
8 3 1
7 6
3 9
4
4
5 6
6
6 9
2
2 9 4
1 4
3 4
1
9 5
6 7 5
2 5
4.
8. 3
7 6 3
4 3
2
5
4
1 5 8
8 1
9
8 1
5
9 4 2
6 8
8
5
3 1 7
5 7
3
4 4
5
8
4.
2
4
2
3
7
3
4 2 9
3 9
6
5 3
9 8
5 4
4 5
9
9
7
5 8 6
5 6
2
8
8 6
2 9 1
8 2
3.
4
1 6
7 6 3
3 1
3
7 3
7
7. 2 8 1
5 8 4
1 4
9
1
9
8 5 1
3.
9 7 8
6 8
6
9 5
3 6
8
5
5
4 2 5
9 7
8
7 5
1
9
2
9
3 4
7
1
1 4
1 3 6
7 3
2.
6. 5 1 8
6 5 9
4 9
9
7
8 1 2
2 5 8
9
1 3
7
5 1
1
5.
3 4
3
7 4
1
4
2
6 9
8
2.
5
Para ejercitar y entrenar el razonamiento, la habilidad y la destreza matemática.
9 7
8
6 6 1
2 9
4
7
9
Sudoku
1.
5. 3
Se tiene un paralelepípedo recto de altura 3 cm cuya base es un cuadrado de lado 4 cm, se desea construir una pirámide recta que tiene la misma base del paralelepípedo. Calcula la altura que debe tener dicha pirámide para que el volumen común a los dos sea las 2/3 partes del volumen del paralelepípedo.
8 1
9 4
9 5
8 2
6 3
4 7
4 9
3 5
5 2
6 8
2 7
1 3
3 6
7 1
1 8
5 6
5 9
1 7
6 3
9 2
2 8
6 9
7 1
3 5
4 5
2 3
3 6
7 4
8 4
5 1
9 2
8 6
1 7
4 8
8
7
1
2
6
3
5
4
9
6
1
4
8
9
2
3
7
5
5
6
3
9
1
4
8
2
7
3
8
5
6
7
1
9
4
2
2
GEOMETRÍA
V
VI
Intelectum 3.°
2
Unidad
1
Unidad
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
CAPACIDADES DE ÁREA (5)
(12)
Circunferencias.
Cuadriláteros.
Polígonos.
Congruencia de triángulos.
(31)
(26)
(23)
(19)
Triángulos rectángulos notables. (17)
Triángulos.
Ángulos. paralelismo y perpendicularidad. (7)
Segmentos.
CONOCIMIENTOS
• Aplica propiedades de segmentos en la resolución de problemas. • Calcula el valor de los ángulos aplicando las propiedades de los ángulos en las rectas paralelas. • Resuelve problemas aplicando las líneas notables en los triángulos. • Calcula el valor de los ángulos y los lados relacionándolos con los triángulos pitagóricos.
• Resuelve problemas en donde intervienen segmentos. • Construye triángulos aplicando las líneas notables. • Resuelve problemas sobre paralelismo y perpendicularidad. • Resuelve problemas aplicando las propiedades de los triángulos notables. • Resuelve problemas aplicando la relación de los lados de los triángulos notables y pitagóricos.
• Aplica propiedades sobre congruencia de triángulos. • Representa a los polígonos simples según el número de lados y la región que forman. • Demuestra las propiedades de los cuadriláteros. • Aplica las propiedades de los ángulos presentes en las circunferencias interiores y exteriores.
• Resuelve problemas aplicando las propiedades sobre congruencia de triángulos y demuestra el teorema del triángulo isósceles. • Resuelve problemas aplicando el teorema de Poncelet y Pitot en los cuadriláteros. • Resuelve problemas sobre trapezoides y trapecios.
• Identifica las propiedades sobre los tipos de congruencia entre triángulos. • Clasifica los diferentes tipos de polígonos simples según el número de lados. • Analiza las propiedades en los cuadriláteros y los clasifica según su género. • Reconoce y diferencia las propiedades que se aplican en las circunferencias continuas. • Resuelve problemas en donde intervienen las propiedades sobre congruencia de triángulos. • Resuelve problemas aplicando las propiedades sobre el trapezoide y el trapecio. • Elabora estrategias para la resolución de problemas donde se aplican las propiedades de la circunferencia continua.
• Identifica los casos de congruencia en los triángulos. • Clasifica los polígonos simples según el número de lados y la región que forman. • Aplica las propiedades del trapecio, trapezoide y paralelogramos en los problemas. • Identifica las propiedades de los ángulos en la circunferencia y establece las posiciones relativas entre dos circunferencias coplanares.
• Aplica las propiedades de los segmentos en problemas. • Identifica las propiedades de las rectas paralelas relacionando con los ángulos suplementarios. • Aplica relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. • Reconoce las líneas notables dentro de los triángulos. • Reconoce el baricentro, ortocentro, circuncentro, incentro y excentro de los triángulos. • Demuestra el teorema de Pitágoras en los triángulos notables.
• Identifica las propiedades del segmento de recta. • Demuestra las propiedades que existen en los ángulos entre rectas paralelas. • Clasifica los ángulos según sus medidas. • Analiza las propiedades sobre los triángulos. • Identifica líneas y ángulos notables en los triángulos. • Relaciona los lados de los triángulos notables en la resolución de problemas.
• Aplica los casos sobre congruencia de triángulos. • Comprende los distintos tipos de polígonos y realiza diferencias entre polígonos simples y complejos. • Interpreta postulados y teoremas basados en los cuadriláteros. • Aplica las propiedades en las circunferencias continuas.
• Identifica la propiedad del punto medio en los segmentos. • Interpreta la notación científica del rayo, semirrecta y segmento de recta. • Identifica las propiedades relacionadas con las rectas paralelas. • Identifica las propiedades de los triángulos notables exactos, aproximados y pitagóricos.
INDICADORES DE LOGRO
• Interpreta representaciones gráficas operaciones con segmentos. • Clasifica los diferentes tipos de ángulos en las rectas paralelas relacionadas con las rectas perpendiculares. • Interpreta postulados y teoremas basados en los triángulos. • Aplica las propiedades en los triángulos rectángulos notables.
CAPACIDADES ESPECÍFICAS
PROGRAMACIÓN CURRICULAR Geometría - Tercer grado de Secundaria
• Verifica la información sobre los casos de congruencia destacando su importancia. • Muestra seguridad al aplicar las propiedades en los polígonos. • Es seguro al aplicar las propiedades de los cuadriláteros y valora su importancia. • Es seguro y perseverante al aplicar las propiedades de las circunferencias continuas y las demuestra correctamente para afianzar lo aprendido.
• Utiliza el lenguaje matemático para comunicar su información relacionada con los segmentos. • Valora la existencia de los ángulos como una herramienta que se utiliza en la construcción de las edificaciones. • Discute las propiedades de los triángulos. • Muestra flexibilidad al aplicar las propiedades de los triángulos pitagóricos.
ACTITUDES
GEOMETRÍA
VII
4
Unidad
3
Unidad
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE
DEMOSTRACIÓN
RAZONAMIENTO Y
MATEMÁTICA
COMUNICACIÓN
CAPACIDADES DE ÁREA
(42)
(37)
(57)
Sólidos geométricos. (72)
Rectas y planos en el espacio. (64)
Área de una región plana.
Polígonos regulares. (54)
Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos. (51)
Relaciones métricas. (47)
Semejanza de triángulos.
Proporcionalidad.
CONOCIMIENTOS
• Expresa las propiedades de los diferentes polígonos regulares según su número de lados. • Reconoce las clases de regiones circulares, triángulos y cuadrangulares. • Reconoce el ángulo diedro entre dos planos y el ángulo triedro que se determina por tres rayos recurrentes dos a dos. • Identifica las propiedades de los sólidos geométricos. • Aplica las propiedades de los polígonos regulares de n lados en la resolución de problemas. • Elabora los criterios de las lúnulas de Hipócrates en la circunferencia. • Elabora las proyecciones en el espacio sobre un plano. • Reconoce los teoremas de Thales y el teorema de las tres perpendiculares en la resolución de problemas. • Clasifica los poliedros según el número de lados y aplica sus principales teoremas en las operaciones. • Aplica propiedades de los polígonos regulares en la resolución de problemas. • Calcula el área de las regiones cuadrangulares. • Calcula el área de un sector circular aplicando las propiedades de las regiones circulares. • Resuelve problemas aplicando el teorema de las tres perpendiculares.
• Demuestra la propiedad de un polígono regular de n lados. • Clasifica polígonos regulares según el número de lados. • Compara las regiones planas según su forma. • Analiza las propiedades de las rectas y planos en el espacio. • Demuestra las propiedades en las áreas de las regiones triangulares. • Analiza las posiciones relativas en el espacio de dos planos. • Identifica las propiedades de sólidos geométricos. • Resuelve problemas en donde intervienen los polígonos regulares. • Resuelve problemas aplicando el área de regiones planas. • Aplica el teorema de Thales en la resolución de problemas. • Resuelve problemas aplicando las propiedades de los sólidos geométricos.
• Resuelve problemas aplicando la propiedad de las bisectrices armónicas en los triángulos y el teorema de Thales. • Resuelve problemas aplicando los distintos casos sobre semejanza de triángulos. • Aplica el teorema del incentro y excentro en las operaciones con los triángulos. • Aplica los teoremas de Steward y Herón para resolver problemas en triángulos oblicuángulos.
• Resuelve problemas en donde intervienen las propiedades sobre proporcionalidad. • Resuelve operaciones aplicando las propiedades sobre semejanza de triángulos. • Resuelve problemas aplicando las propiedades sobre las relaciones métricas. • Resuelve problemas aplicando las relaciones métricas en triángulos oblicuángulos.
• Identifica los polígonos regulares notables. • Clasifica los diferentes tipos de regiones triangulares y cuadrangulares y establece sus propiedades. • Establece las proyecciones en el espacio sobre un plano. • Clasifica las propiedades de los diferentes tipos de sólidos geométricos.
• Resuelve problemas aplicando el teorema sobre proporcionalidad de la cuaterna armónica de Descartes y Newton. • Relaciona los elementos homólogos en los triángulos inscritos en la circunferencia. • Establece una relación de semejanza introduciendo una recta paralela en el triángulo. • Resuelve problemas sobre relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos. • Identifica el teorema de la mediana en las operaciones con triángulos.
• Identifica la razón y proporción geométrica y el teorema de la cuaterna armónica en las proporciones. • Clasifica a los triángulos según su semejanza. • Identifica los teoremas de las relaciones métricas en el triángulo rectángulo. • Identifica las rectas isogonales interiores y exteriores. • Formula los teoremas de las relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos.
INDICADORES DE LOGRO
• Identifica las propiedades de proporcionalidad del teorema de Thales. • Efectúa operaciones sobre semejanza de triángulos. • Identifica los diferentes tipos de propiedades en las relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos. • Aplica los teoremas sobre proyecciones en el triángulo obtusángulo y acutángulo. • Demuestra el teorema de Euclides en el triángulo obtusángulo y acutángulo.
• Interpreta el teorema de la cuaterna armónica en relación a Descartes y Newton. • Comprende los distintos casos de semejanza sobre triángulos. • Interpreta postulados y teoremas basados en las relaciones métricas en el triángulo rectángulo. • Aplica la proyección ortogonal de un punto o un segmento sobre una recta.
CAPACIDADES ESPECÍFICAS
• Utiliza el lenguaje matemático para comunicar su información relacionada con los polígonos regulares. • • Valora la existencia del área de las regiones planas cuando se realizan edificaciones. • • Escoge adecuadamente los teoremas y valora su importancia para la resolución de problemas. • • Muestra seguridad al trabajar con sólidos geométricos.
• Promueve la búsqueda de nuevas relaciones de proporcionalidad. • Muestra seguridad al aplicar las propiedades sobre semejanza de triángulos. • Valora la importancia de las relaciones métricas en la construcción de los puentes en la vida cotidiana. • Escoge adecuadamente las propiedades para comunicar las expresiones matemáticas.
ACTITUDES
Contenido Geometría
U1
U2
U3
U4
Segmentos
5
Tipos de enunciados geométricos (axioma, postulado, teorema). La línea recta.
Ángulos, paralelismo y perpendicularidad
7
Ángulo plano. Clasificación de un ángulo por sus medidas. Clasificación respecto a la medida de otro ángulo. Clasificación respecto a su posición con otro ángulo. Paralelismo y perpendicularidad.
Triángulos
12
Definición. Propiedades básicas. Líneas notables. Ángulos entre líneas notables del triángulo.
Triángulos rectángulos notables
17
Triángulo rectángulo (triángulos rectángulos notables exactos y triángulos rectángulos notables aproximados). Triángulos pitagóricos.
Congruencia de triángulos
19
Congruencia de figuras. Congruencia de triángulos. Aplicaciones de la congruencia de triángulos.
Polígonos
23
Definición. Clasificación de polígonos simples. Propiedades de los polígonos convexos.
Cuadriláteros
26
Definición. Clasificación. Propiedades del trapezoide, trapecio y paralelogramo.
Circunferencia
31
Definición. Medida angular y longitudinal de la circunferencia. Ángulos en la circunferencia. Posiciones relativas entre dos circunferencias coplanares. Triángulos y cuadriláteros inscritos en una circunferencia. Triángulos y cuadriláteros circunscritos a una circunferencia. Triángulos y cuadriláteros exinscritos a una circunferencia.
Proporcionalidad
37
Razón y proporción geométrica. Cuaterna armónica. Teoremas de proporcionalidad.
Semejanza de triángulos
42
Definición. Casos de semejanza de triángulos. Elementos homólogos. Teoremas de semejanza. Propiedades de semejanza.
Relaciones métricas
47
Proyección ortogonal sobre una recta. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo.
Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos
51
Relaciones métricas en la circunferencia. Rectas isogonales.
Polígonos regulares
54
Definición. Polígonos regulares notables. Polígono regular de n lados.
Área de una región plana
57
Definición. Comparación de regiones planas. Áreas de regiones triangulares. Áreas de regiones cuadrangulares. Área de una región circular.
Rectas y planos en el espacio
64
La recta. El plano. El espacio. Mínima distancia entre dos rectas alabeadas. Teorema de las tres perpendiculares. Teorema de Thales. Ángulos diedro y triedro. Poliedros.
Sólidos geométricos
72
Prisma. Cilindro. Pirámide. Cono. Esfera. Teoremas de Pappus y Guldim.
VIII Intelectum 3.°
