1 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIONES. PRODUCTOS NOTABLES.
Son las multiplicaciones con expresiones algebraicas de uso muy frecuente y cuyo resultado puede obtenerse a partir de dos caminos: a) Empleando la regla común o general de multiplicación de polinomios (Se multiplican todos los términos de la primera expresión por todos los términos de la segunda y luego se reducen términos semejantes). Ejemplo: (2x – 3)(2x + 5) = 4x2 + 10x – 6x – 15 = 4x2 + 4x – 15. b) Empleando una regla particular y de ésta manera, encontrar el resultado por simple inspección. En el ejemplo anterior, tenemos el producto notable conocido como “Binomios con Término común”; cuyo resultado se obtiene a partir de la regla: “El cuadrado del término común más, el producto del término común por la suma de los términos no comunes más, el producto de los términos no comunes”
Ejemplo: 2 (2x – 3)(2x + 5) = (2x)2 + (2x)( – – 3 + 5) + ( – – 3)(+ 5) = 4x + 4x – 15. Para el curso que no ocupa, debemos aprender a emplear el segundo camino para obtener el resultado de dichos productos notables. Algunos de los casos de productos notables son: a) Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio , es el producto de dos binomios idénticos. El cual se
b)
c)
d)
e)
representa por un binomio elevado a la segunda potencia (al cuadrado). Ejemplos: (4x – 3)(4x – 3) = (4x – 3)2 (3x2 + 5x)(3x2 + 5x) = (3x2 + 5x)2 2 ( – – x – 2y)( – – x – 2y) = ( – – x – 2y) Binomios conjugados, es el producto de dos binomios que tienen un término común y dos términos que son simétricos. Ejemplos: (4x – 3)(4x + 3) Término común: 4x Términos simétricos: – 3 y + 3 2 2 2 (3x + 5x)(3x – 5x) Término común: 3x Términos simétricos: + 5x y – 5x ( – Término común: – 2y Términos simétricos: – x y + x – x – 2y)(+ x – 2y) Binomios con término común, es el producto de dos binomios que tienen un término común y dos términos que no son comunes, pero sí semejantes. Ejemplos: (4x – 3)(4x + 5) Término común: 4x Términos no comunes: – 3 y + 5 2 2 2 (3x + 4x)(3x – 3x) Término común: 3x Términos no comunes: + 4x y –3x ( – Término común: – 2y Términos no comunes: – 2x y + x – 2x – 2y)(+ x – 2y) Binomio al cubo o cubo de un binomio, tal como su nombre lo indica, se trata de un binomio elevado a la tercera potencia (al cubo). Ejemplos: 3 (4x – 3)3 (3x2 + 5x)3 ( – – x – 2y) Binomio por trinomio, es el producto de un binomio por un trinomio cuya característica del trinomio resulta de, considerando los términos del binomio: el cuadrado del primer término, enseguida el signo opuesto al binomio, luego el producto de ambos términos sin considerar el signo de ambos y por último, el cuadrado del segundo término. Ejemplos: (4x – 3)(16x2 + 12x + 9) (3x2 + 4x)(9x4 – 12x3 + 16x2) (2x – 3y)(4x2 + 6xy + 9y2)
2 EJERCICIO:
ESCRIBE, FRENTE A CADA EXPRESIÓN, EL NOMBRE CORRESPONDIENTE A CADA UNA.
EXPRESIÓN
NOMBRE
01 (1/4a + 9)(1/5a – 1)
=
02 (7a + b)(7a + 3b)
=
03 (4ab2 + 6xy3)(4ab2 – 6xy3)
=
04 (1/4x2 + 2/3y2)2
=
05 (8 – a)3
=
06 (0.3x4 – 5y2)( 0.3x4 – 5y2)
=
07 (x3 – 4x2)( – x3 - 4x2)
=
08 (2x + 5/3)(4x2 – 10/3 x + 25/9) = 09 (7x2 – 12y3)(7x2 + 2y3)
=
10 (x + 4)3
=
11 (5x + 2y)(5x + 2y)
=
12 (7a + b)(49a2 – 7ab + b2)
=
13 ( – 1 – 4y)( – 1 – 4y)
=
14 (3a3 – 7x)( – 2a3 – 7x)
=
15 ( – 2x4 – 8y) (2x4 – 8y)
=
16 (x + 5/3)(x + 3/2)
=
17 (x3 – 4x2)(x6 + 4x5 + 16x4)
=
18 (y – 12)3
=
19 (4x3 – 15)(4x3 + 5)
=
20 (5y + 4)3
=
21 (2x2y + 4m)3
=
22 (1/4a + 9)(1/4a – 9)
=
23 (x +5)2
=
24 (5a + 10b)(5a – 10b)
=
25 (2x + 5/3)(x + 3/2)
=
3 Las reglas para encontrar, por simple inspección, el resultado de cada uno de los productos notables descritos son: BINOMIO AL CUADRADO
“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término” Ejemplos: 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 3. (4x – 3)2 = 16x 2 – 24x + 9 BINOMIOS CONJUGADOS “El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del término común menos el cuadrado del simétrico ” Ejemplos: 1. (a + b)(a – b) = a2 + 2ab + b2 2. (2a – 3b)(2a + 3b) = 4a 2 – 9b 3. (4x – 3)( – 4x – 3) = 9 – 16x 2 BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN. “Cuadrado del primer término, más la suma de los términos no comunes multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos” Ejemplos: 1. (a + 2b)(a – 3b) = a2 + (2b – 3b)(a) + (2b)( – 3b) = a2 – ab – 6b2 2. (2a – 3b)(2a – 5b) = 4a2 – 8ab + 15b2 3. (4x – 3)( – 7x – 3) = 9 + 9x – 28x 2 CUBO DE UN BINOMIO. “El cubo del primer término más, el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo más, el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo más, el cubo del segundo término” Ejemplos: 1. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 2. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 3. (2x – 3)3 = 8x 3 – 36x 2 + 54x – 27 4. (x + 5)3 = x 3 + 15x 2 + 75x + 125 BINOMIO POR TRINOMIO. “El cubo del primer término más o menos (según el signo del binomio), el cubo del segundo término” Ejemplos: 1. (a + b)(a2 – ab + b2 ) = a3 + b3 2. (a – b)(a2 + ab + b2 ) = a3 – b3 3. (2x – 3)(4x 2 + 6x + 9) = 8x 3 – 27 4. (x + 5)(x 2 – 5x + 25) = x 3 + 125
4 EJERCICIO:
ESCRIBE, FRENTE A CADA EXPRESIÓN, EL RESULTADO QUE OBTIENES APLICANDO LA REGLA RESPECTIVA DE CADA UNA.
EXPRESIÓN
RESULTADO
01 (1/4a + 9)(1/5a – 1)
=
02 (7a + b)(7a + 3b)
=
03 (4ab2 + 6xy3)(4ab2 – 6xy3)
=
04 (1/4x2 + 2/3y2)2
=
05 (8 – a)3
=
06 (0.3x4 – 5y2)( 0.3x4 – 5y2)
=
07 (x3 – 4x2)( – x3 - 4x2)
=
08 (2x + 5/3)(4x2 – 10/3 x + 25/9) = 09 (7x2 – 12y3)(7x2 + 2y3)
=
10 (x + 4)3
=
11 (5x + 2y)(5x + 2y)
=
12 (7a + b)(49a2 – 7ab + b2)
=
13 ( – 1 – 4y)( – 1 – 4y)
=
14 (3a3 – 7x)( – 2a3 – 7x)
=
15 ( – 2x4 – 8y) (2x4 – 8y)
=
16 (x + 5/3)(x + 3/2)
=
17 (x3 – 4x2)(x6 + 4x5 + 16x4)
=
18 (y – 12)3
=
19 (4x3 – 15)(4x3 + 5)
=
20 (5y + 4)3
=
21 (2x2y + 4m)3
=
22 (1/4a + 9)(1/4a – 9)
=
23 (x +5)2
=
24 (5a + 10b)(5a – 10b)
=
25 (2x + 5/3)(x + 3/2)
=
