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Namedida Namedida do comprim compriment ento o deuma peça peça utiliz utilizandoando-se se uma réguamilimé réguamilimétri trica ca plásti plásticade cade baixo baixo custo(menor custo(menor divisã divisão o é
5%
), foram realizadas várias leituras, e os resultados estão dispostos na tabela abaixo. Após a
realizaçãodasmedidas,verificou-sequearéguatinhacomprimentototal qu qualidade(considerada“padrão”). alidade(considerada“padrão”).
maiordoqueumaréguadeboa
Como Como seria seria pos possíve sível l corrigi corrigir r as med medida idas s realiza realizadas das, , devidoao devidoao efeito efeito sistemá sistemátic tico o produz produzidopela idopela“ “dilatação” d ilatação” da da régua? Apósestacorreção,determineovalordocomprimentodapeça,estimandosuaincerteza. Expliqueejustifiqueseuscálculos. Qualaincertezadominantenocálculodaincertezafinal?
217,0 217,3 217,4 217,1 217,1 217,5 217,3 217,6 217,2 217,0 çã 5% 5% 1,05 + 5%× 5%× 1,05 ⇒ 1,05 206,7 207,0 207,0 206,8 206,8 207,1 207,0 207,2 206,9 206,7 + ≈ 0,05 mm 1 ± √ √ ± 1 1 ∑( ) = ± 1 mm2 ±0,5 mm Medidasem
Como existe um erro sistemático de valor deve ser divido por , pois:
, cada valor obtido está com
de defasagem dilatada, logo cada
onde e são os valores de distância medidos com o erro e de referência, respectivamente. respectivamente. Assim, as medidas corrigidas (e arredondadas) ficam: Medidasem
A incerteza dessas medidas pode ser estimada pela incerteza combinada, da incerteza do tipo A (estatística), , com a do tipo B (instrumental), :
onde
e
, dada pela distância euclidiana
é encontrada pelo desvio padrão médio:
é encontrada pela metade da menor medida que a escala do instrumento pode oferecer:
Dessa forma, a incerteza dominante nesta estimativa é a do tipo B.
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0,5 40,25,23 39,25,84 40,24,19 40,25,51 40,25,00 39,24,98 40,25,22 40,25,41 40,25,30 40,24,09 çã
Nadeterminaçãodaáreadeumasuperfícietriangular,foramrealizadasmediçõesdabase edaaltura do triângulo,utilizando-seumaréguamilimétricametálica(menordivisãoé
).Osresultadosestão dispostos
natabelaabaixo. Determine o valor da área da superfície, com o respectivo intervalo de confiança. Explique e justifique seus cálculos.
Os cálculos de área e intervalo de confiança (incerteza estimada) pode ser feitos de duas formas diferentes.
Na primeira (M1), calcula-se a área respectiva da média das medidas e então calcula-se a média e estima-se a incerteza combinada (vide exercício 1):
Á ∗Á +∗Á Área ×2 ∗Á ±Área × + ∗Á ± 0,52mm ±0,25 mm 1 1 × Área 10 ∑Área ∑ = 10 = 2 1 ∗Á ± 10×9 ∑(Ár e a Ár e a ) = ∗Á ∗Á
dada pela propagação de erro, desses dados:
Na segunda (M2), calcula-se a média e a incerteza combinada da base e da altura separadamente:
e então calcula-se a área e incerteza utilizando esses últimos dados.
40, 25,23 39,25,84 40,24,19 40,25,51 40,25,00 39,24,98 40,25,22 40,25,41 40,25,30 40,24,09 503±1,5 mm Área (mm²)
508,53
505,46
499,245
508,275
500,0
494,76
506,52
507,02
503,75
Ambas as formas retornaram o mesmo valor de área de
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498,0
Média
Incert.
40,14 25,07
±0,07 ±0,06
503,2
±1,5
Área (mm²) 503,2
±1,5
M1 M2 .
.
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139,4 ±0,8
Parasedeterminaradensidadedomaterialdeumapeçasólida,cujoformatoéumprismacombasetriangular
20 32, 1 5 101,30 95% çã ℓ ℎ 0 √ 3ℓ/4 ℎ ∫ ∫ √ 43 ℎ ℓ √12 3 ℓℎ ⇒ √12 3 32,15×10− m101,30×10− m ≈ 15,113×10− m 139,4 g− m ≈ 9,22×10 g/m ≈ 15,113×10 ± + ± + ±0, 8 g ℓ 1 1 mmℎ ℓ ± 2 20 ±0,025 mm ℓ ± ℓ ℓ + ℎ ± ℓ + ℎ 0, 0 25 mm 0 , 0 25 mm − ⇒ ≈ ±15,113×10 m 32,15 mm + 101,30 mm ±0,012×10− m − 0 , 8 g 0 , 0 12×10 m ≈ ±9,22×10 g/m 139,4 g + 15,113×10− m 0,05×10 g/m 95% 95% 2 % 9,22±2·0,05 × 10 g/m 9,22±0,10 ×10 g/m (equilátera),foramfeitasasmedidasdesuamassa( cujo nônio tinha .
)edasdimensões,utilizandoumpaquímetro
divisões. As leituras obtidas foram: lado do triângulo de
; altura da peça de
Apartirdestesdados, determineadensidadedomaterialeointervaloque englobaovalorverdadeirocom deprobabilidade.Expliqueejustifiqueseuscálculos.
Para se determinar a densidade do material proposto, primeiramente, deve-se obter o valor do volume da peça através das dimensões de lado do triângulo e altura utilizando a área da base triangular equilátera em função da altura tal que seja nula quando e seu valor máximo de quando :
Como tal valor, obtemos a densidade pela relação entre a massa
A incerteza
e o volume:
dessa medida pode ser estimada pela propagação:
A incerteza da massa é dada pelo enunciado ( da incerteza da medida do lado do triângulo e da altura :
). A incerteza do volume depende da propagação
Assim, temos que:
Para que obtenhamos um valor com de probabilidade de certeza, devemos assumir que o valor obtido para a densidade assumiria uma distribuição gaussiana (normal) se fosse obtido diversas vezes. Dessa forma, podemos assumir que a incerteza expandida assumindo que a incerteza encontrada anteriormente é um desvio padrão da distribuição. Logo, aproximadamente de probabilidade assume um fator , onde:
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⁄
O índice de massa corpórea ( definiçãoé: Pede-se:
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) vem sendo utilizado para avaliação da saúde de homens e mulheres. Sua .
a) Quaissãoasprincipaisgrandezasdeinfluênciadomensurando? b) Avalieasdificuldadesnadefiniçãodestemensurando(porexemplo,amassanãoéconstanteduranteumdia, etc.). c)
Sugiramelhoriasparaadefiniçãodestemensurando.
d) Qualéaunidadedomensurando,nosistemainternacionaldeunidades? e) Construaumdiagramatipoespinhadepeixeparaestemensurando. f)
Calculeoscoeficientesdesensibilidadeparaasgrandezasmassaealtura.Casoosequipamentosdemedição da massa e da altura possuam a mesma incerteza relativa, e havendo possibilidade de trocar um dos equipamentos(apenasum)poroutrodemenorincertezarelativa,qualdelesdevesertrocado?Justifique.
g) Algumasreferênciasfornecematabelaabaixo:
18,5 18,25,50 24,29,99 30 90 5%
Abaixode
Abaixo do peso
a
Normal
a
Sobrepeso
Acimade
Sabendo-sequeumapessoapossuimassade
Obeso
1,805% 5% 2 200% 5%
,e altura de
combinada).Considerequeamassapossuiumaincertezapadrãode grandezasdeinfluência).
h) Considerando-seque,paraumerronormalizado( )maiorque (
1,80
,calcule o
eaaltura,de
(comsuaincerteza (desprezeoutras
),pode-seafirmarquehádiferença
significativaentreosvalores.Verifiqueapartirdequemassa,demedidacomincertezade ,uma pessoa comalturade ,comincertezapadrãode ,poderiaserclassificadanacondiçãodesobrepeso.
çã
a) Uma grandeza de influência é aquela que não é um objeto de medida, mas influencia no valor medido. Como o cálculo do IMC envolve o peso e a altura do indivíduo, pode-se dizer que a temperatura, a umidade, a pressão ambiente, o tempo em que o mesmo se encontra acordado e a quantidade de alimentos e líquidos ingeridos nas últimas 24 horas são grandezas de influência visíveis sobre certas condições. b) Como ressaltado no item anterior, cada grandeza de influência denotada possui uma complexidade que, sobre certas condições, dificultam na determinação do valor preciso do IMC. c) Para que esse valor se torne mais preciso, é necessário incluir o máximo de variáveis possíveis na equação. Quanto menor for a quantidade de grandezas de influência, menos variações inesperadas acontecerão em diferentes cálculos e menos condições serão necessárias para se tomar as medidas.
/
d) De acordo com o SI, massa é determinada em em .
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e altura é determinada em
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. Logo, o IMC é determinado
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e) f)
Calculando a propagação de erro, temos:
± + 1 ⇒ ± + 2 ⇒ ± + 2 ⇒ ± +4 ⇒ +4
Caso se queira trocar um dos instrumentos como descrito pelo enunciado, para minimizar a incerteza, devese trocar o instrumento de medição de altura por um de menor incerteza, pois a incerteza relativa deste possui um peso 4 vezes maior na determinação da incerteza do IMC quando comparada à incerteza relativa da massa.
901,80kgm ≈ 27,778 kg/m +4 ⇒ ≈±±27, 778 ,05 + 4·0,05 ⇒ ≈ ±30kg/m 28±3 kg/m + ≤ 2 ⇒ ≤ 2 + ⇒ ⇒ 2 2 + + ≤ 4(0,≤ 0,0051 +0,+0,0015 ) ⇒ 0,920,9 2 2 +2+0,0,992 ≤ 0 ⇒ 1,98 ≤ ≤ 1,98 ⇒ 0,90 ≤ ≤ 1, 1
g) De acordo com a equação fornecida, o índice médio é dado por:
enquanto a incerteza combinada é dada por:
Logo, de acordo com a tabela, o valor:
Indica que a pessoa está obesa ou, com maior probabilidade, com sobrepeso.
h) Pela definição do erro normalizado exigido pelo enunciado (considerando a incerteza como expandida):
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∴22,730,kg/m90·25 ≤≤ ≤ ≤33,1,313·30kg/m
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5. Os gráficos abaixo representam resultados experimentais obtidos para a variação de um mensurando , em funçãodeumagrandezadeinfluência .
Curva experimental 1
Curva experimental 2
Pede-se:
% ·100 ⁄ % ,
a) Emambasascurvas,traceasretasqueindicamovalordocoeficientedesensibilidade Estasretasrepresentamaproximadamente:aderivadadafunção
,suaintegral,ouoseuvalor?
2 % ·100 çã ′ ′ > ′ ⇒ > ′ ′ ⇒ ′ tanΔ/Δx b) Emqualpontoémaiorocoeficientedesensibilidadeemcadacurva: c)
Supondoqueacurva sejadadapelaequação
d) Sendoomensurando
daincertezaem ,istoé,
ou
?
,qualseriaovalordocoeficientedesensibilidade
,determineaexpressão daincertezaem ,devido
.
,nospontos e .
,istoé,
?
emfunção
Definindoasincertezaspercentuaiscomosendorespectivamente:
e) Suponhaagoraummensurandodadopelaequação Determinetambémasexpressõesde
f)
ede
,calculeovalorde
paraestecaso.
.
Casoomensurando sejafunçãodeduasgrandezasdeinfluência
e
(ouseja,
),proponha
métodosparadeterminaroscoeficientesdesensibilidadede emrelaçãoa ea ,tantoparao casoem queaexpressãodafunção éconhecida,comonocasoemque sejadesconhecida.
a) O coeficiente angular da reta entre os pontos A e B representam aproximadamente a derivada da função naquela região. b) Na primeira curva, o maior coeficiente de sensibilidade se encontra no ponto , pois a derivada ponto é maior que . Ou seja:
′
nesse
Na segunda curva, não há maior coeficiente de sensibilidade, pois ambas as derivadas são as mesmas. Ou seja:
c) O valor do coeficiente de sensibilidade seria dado pelo coeficiente de linearidade , pois:
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⇒ ±±|| ⇒⇒ ± ⇒ % |%| ′ ± ⇒⇒±± ⇒ | | ⇒⇒ % |%| ,
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d) Pela propagação de erro, temos:
e) Como
, temos:
As expressões de incerteza são desenvolvidas similarmente ao item anterior (pela propagação de erro):
f)
Caso a função derivadas parciais:
seja conhecida, os coeficientes de sensibilidade podem ser encontrados pelas
Caso a função não seja conhecida, os coeficientes de sensibilidade podem ser encontrados atribuindo uma pequena variação em apenas uma variável e mensurando a variação sofrida em .
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