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Mod´ elisation turbulente Profils de vitesses Diagramme de Moody
Turbulence et frottement MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
Olivier THUAL, 22 janvier 2011
MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
Turbulence et frottement
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Mod´ elisation turbulente Profils de vitesses Diagramme de Moody
Introduction 1. Mod´elisation turbulente Les flux turbulents, comme celui d’un scalaire passif ou le tenseur de Reynolds, sont des moyennes de produits de fluctuations turbulentes. On les relie aux gradients des champs moyens. 2. Profils de vitesse Le mod`ele turbulent de longueur de m´elange est utilis´e par les ing´enieurs. Il permet de d´eriver des profils logarithmiques pr`es de parois lisses ou rugueuses `a partir de la loi de Von Karman. 3. Diagramme de Moody Le diagramme de Moody permet de d´eterminer le coefficient de frottement en fonction de l’´ecoulement moyen et de la rugosit´e. Son application aux ´ecoulements en charge est abord´ee. MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
Turbulence et frottement
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Mod´ elisation turbulente Profils de vitesses Diagramme de Moody
´ Ecoulement `a surface libre
´ Ecoulement en charge D
h
U
s
A
U
g
s
Charge H, perte de charge lin´eique J et cisaillement τ∗ H=
U2 p +z + , ρg 2g
dH = −J ds
et
τ∗ = ρ g RH J
Coefficient de frottement λ J = λ(Re)
U2 2 g DH
avec
Poiseuille circulaire DH = D
et
Re =
U DH ν
et
DH = 4 R H
Poiseuille plan λ=
64 Re
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RH = h Turbulence et frottement
et
λ=
96 Re 3 / 24
Mod´ elisation turbulente Profils de vitesses Diagramme de Moody
Exp´erience de Reynolds : Re = UD/ν
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Turbulence et frottement
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Mod´ elisation turbulente Profils de vitesses Diagramme de Moody
.1
λ
8
4 Laminaire
Li ss e
Ru = .01 Turbulent
Ru = .001
2
Rugueux
Ru = .0001 .01
104
105
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106 Turbulence et frottement
107
Re 5 / 24
Mod´ elisation turbulente Profils de vitesses Diagramme de Moody
Moyenne et fluctuations ´ Ecoulements incompressibles Viscosit´ e turbulente
log EB
B B
!
B
a)
b)
B!
B
B
!!
log(K) or log(ω)
Signal temporel b(t) = B(x, t) ou spatial b(x) = B(x, t) : Z Z 1 −i ω t b b b(t) = b(ω)e dω ⇐⇒ b(ω) = b(t)e i ω t dt 2π IR IR ZZZ ZZZ 1 b b(x) = b(K )e iK ·x dk 3 ⇐⇒ b b(K ) = b(x)e −i K ·x dx 3 3 (2π) 3 3 IR IR Spectres EB (ω) = 12 |b b(ω)|2 ou EB (K ) =
RR
1 b 2 2 |b(K )| dS
motivent :
B(x, t) = B(x, t) + B 0 (x, t) MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
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Mod´ elisation turbulente Profils de vitesses Diagramme de Moody
Moyenne et fluctuations ´ Ecoulements incompressibles Viscosit´ e turbulente
Scalaire passif B advect´e par U : ∂B + U · grad B = kB ∆B ∂t En utilisant div U = 0 : ∂B + div (U B) = kB ∆B ∂t D´ecomposition B = B + B 0 et U = U + U 0 : ∂B + div (U B) = kB ∆B − div (U 0 B 0 ) ∂t Flux turbulent de B : F Bt = U 0 B 0 MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
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Mod´ elisation turbulente Profils de vitesses Diagramme de Moody
Moyenne et fluctuations ´ Ecoulements incompressibles Viscosit´ e turbulente
´ Equations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds : div U = 0
et
∂ 1 U + U ·grad U = − grad p + ν ∆U − div R ∂t ρ
log E(K) U
U!
! K0
CK !2/3 K −5/3 ! ! Kd
Tenseur de Reynolds : MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
log K
Rij = Ui0 Uj0
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Moyenne et fluctuations ´ Ecoulements incompressibles Viscosit´ e turbulente
Diffusivit´e turbulente kBt : F Bt = −kBt grad B
F Bt = U 0 B 0
avec
∂B + U · grad B = div (kB + kBt ) grad B ∂t Viscosit´e turbulente νt : 2 kI avec Rij = Ui0 Uj0 3 h i ∂Uj i Tenseur des taux de d´eformations : d ij = 21 ∂U + ∂xj ∂xi 1 02 02 ´ Energie cin´etique turbulente : k = 2 U1 + U2 + U32 R = −2 νt d +
Pour un ´ecoulement parall`ele U = u(z) e x : u 0 w 0 = −νt MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
∂u ∂z
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Longueur de m´ elange Fond plat Profils logarithmique
Longueur de m´elange lm pour la viscosit´e turbulente νt : q 2 νt = lm 2d :d avec d : d = tr (d.d) = dij dji = dij dij
U2 δ a)
U1 a) lm ∼ 0.07 δ.
U
U
δ
δ b)
c)
b) lm ∼ 0.075 δ.
c) lm ∼ 0.16 δ.
Analogie avec la viscosit´e mol´eculaire ν ∼ lmol umol : q ∂U νt = lm um o` u um ∼ lm 2 d : d et dij = 21 ∂xij + MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
U
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∂Ui ∂xj
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Longueur de m´ elange Fond plat Profils logarithmique
Pour un ´ecoulement parall`ele U = u(z) e x : ∂u 2 2 ∂u et donc = −lm νt = lm u 0 w 0 = −νt ∂z ∂z
∂u ∂u ∂z ∂z
Longueur de m´elange pr`es d’un mur : lm = κ z
avec
κ = 0.41
constante de “Von Karman”
z u(z)
lm lm
0 MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
x Turbulence et frottement
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Longueur de m´ elange Fond plat Profils logarithmique
´ Ecoulement forc´e par un gradient de pression constant G : 1 ∂p ∂ ∂u 1 ∂p ∂ 0 0 0=− + ν −u w et 0 = − −g − w 0w 0 ρ ∂x ∂z ∂z ρ ∂z ∂z
R
z 0
τ (z) ez τ∗
u(z)
ks
zvisq
Contrainte tangentielle τ (z) = ρ ν
∂u ∂z
− u0w 0
x
∂p = −G et τ (z) = τ∗ − G z ∼ τ∗ si R τ∗ /G ∂x 2 ∂u ∂u D’o` u ν + lm = u∗2 en d´efinissant τ∗ = ρ u∗2 ∂z ∂z MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
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Mod´ elisation turbulente Profils de vitesses Diagramme de Moody
lm = κ z
=⇒
∂u ν+κ z = u∗2 ∂z ∂z
Lisse : couche z ∈ [0, zvisq ] lm ∼ 0
=⇒
Longueur de m´ elange Fond plat Profils logarithmique
2
Rugueux : couche z ∈ [0, z0 ]
u∗ z u = u∗ ν
z0 =
z
R
2 ∂u
R u(z)
a)
0
lisse pour
et
u(z) = 0
z u(z)
zvisq = 11ν/u∗
u∗ ks <5 ν
ks 33
b)
0
et
rugueux pour
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ks z0 = ks /33
u∗ ks > 70 ν 13 / 24
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Longueur de m´ elange Fond plat Profils logarithmique
Dans la couche o` u ν est n´egligeable : ∂u ∂u u 1 z = u∗2 =⇒ = ln κ2 z 2 +ζ , ∂z ∂z u∗ κ δ z
R
R u(z)
a)
0
zvisq = 11ν/u∗
Lisse : zvisq = 11 ν/u∗ u sth 1 z = ln + ζsth u∗ κ δsth δsth = ν/u∗ ζsth = 11 − ln(11)/κ = 5.2 MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
z u(z)
b)
0
ks z0 = ks /33
Rugueux : z0 = ks /33 u rgh 1 z = ln + ζrgh u∗ κ δrgh δrgh = ks ζrgh = ln(33)/κ = 8.5 Turbulence et frottement
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Frottement moyen Hydraulique en charge Pertes de charge singuli` eres
Moyenne sur la couche logarithmique : u 1 z = ln + ζ et zvisq ∼ 0 ou z0 ∼ 0 u∗ κ δ Z 1 R u 1 R 1 U = dz = ln +ζ − =⇒ u∗ R 0 u∗ κ δ κ z
R
R u(z)
a)
0
zvisq = 11ν/u∗
z u(z)
b)
0
ks z0 = ks /33
D´efinition du coefficient de frottement λ : r U 8 1 = ⇐⇒ τ∗ = ρ u∗2 = λ ρ U 2 u∗ λ 8 MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
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Mod´ elisation turbulente Profils de vitesses Diagramme de Moody
Frottement moyen Hydraulique en charge Pertes de charge singuli` eres
Diam`etre hydraulique DH = 4 R
o` u
1 U 1 DH √ = √ = a log10 +b δ 8 u∗ λ √ √ a = ln(10)/(κ 8) = 2.0 et b = [ζ − (1 + ln 4)/κ]/ 8] z
R
R u(z)
a)
0
zvisq = 11ν/u∗
z u(z)
b)
0
ks z0 = ks /33
Coefficients de frottement λ pour fonds lisses ou rugueux : β 1 U DH √ √f = −2.0 log10 avec Re = ν λsth Re λ sth 1 Ru ks p = −2.0 log10 avec Ru = αf DH λrug MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
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Frottement moyen Hydraulique en charge Pertes de charge singuli` eres
Formule de Colebrook pour tous types de fonds : 1 Ru βf √ = −2.0 log10 + √ αf ∈ [3, 4], αf λ Re λ
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Frottement moyen Hydraulique en charge Pertes de charge singuli` eres
!1
10
Re ≥ 107 1/
Ru = 10−1
!1
10
λ
λ
Ru = 10−2
λ
Ru = 10−3 Rugueux Ru = 10−4
!2
10
4
10
Re
6
10
λ=
8
10
=
φM
S
3
Ru
og 1 2l − [ 1/
2
(R
αf u/
)]
0
!2
10 !4−4 10 10
−3 !3 10 10
Ru
−2 !2 10 10
−1 !1 10 10
Param´etrisation de Manning-Strickler pour les r´egimes rugueux : λ = φMS Ru 1/3 Proche de la formule de Colebrook pour φMS ∼ 0.2 MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
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Frottement moyen Hydraulique en charge Pertes de charge singuli` eres
´ Equations de Navier-Stokes incompressibles turbulentes div U = 0 ,
∂U 1 1 + U ·grad U = −grad (g z) − grad p + div τ t ∂t ρ ρ
Tenseur des contraintes visqueuses et turbulentes : τ t = ρ (2 ν d − R)
L
M1
τ∗
M2 A(s)
n P(s) es
s U
Relation de Bernoulli : le long d’une ligne de courant L Z 1 ∂U H(M2 ) = H(M1 ) − + J · dM L g ∂t avec H =
p 1 2 +z + U ρg 2g
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et
J=−
1 div (τ t ) ρg
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Frottement moyen Hydraulique en charge Pertes de charge singuli` eres
Charge hydraulique dans une conduite H(s) =
p f (s) U 2 (s) + Zf (s) + α(s) ρg 2g
Vitesse moyenne ZZ 1 U(s) = U · e s da A(s) A(s)
z
l
H
Coefficient 1 1 α(s) = 2 U (s) A(s)
ZZ
U 2 da A(s)
0
Jl U2 α 2g pf − p a ρg Zf
s
pa /(ρ g) MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
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Perte de charge lin´eique ZZ 1 J(s) = J · e s da A(s) A(s)
Frottement moyen Hydraulique en charge Pertes de charge singuli` eres
avec
J=−
1 div τ t ρg
n
Contrainte de cisaillement Z 1 τ∗ (s) = − e ·τ ·n dl P(s) P(s) s t
A(s)
P (s)
Rayon hydraulique RH (s) = A(s)/P(s) Relation entre τ∗ et J valable dans les cas graduellement vari´es τ∗ (s) = ρ g RH (s) J(s) MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
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Frottement moyen Hydraulique en charge Pertes de charge singuli` eres
´ Ecoulements en charge turbulents : α ∼ 1 dH p U2 U2 = −J avec H = f + Zf + et J = λ(Re, Ru) ds ρg 2g 2 g DH Pertes de charges singuli`eres ∆H = Kg
U2 2g ϕ
p1 A1 p1
DH
A2
U1
ρc
U2 p1
p2
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p1 A1 p1 a)
Frottement moyen Hydraulique en charge Pertes de charge singuli` eres
A2
U1
U2 p2
p1
U1
U2
b)
´ a) Elargissements brusques ∆H = Kg
U12 2g
avec
Kg =
1−
A1 A2
2 .
Bilan de quantit´e de mouvement (th´eor`eme d’Euler) : ρ U12 A1 + p1 A2 = ρ U22 A2 + p2 A2 b) R´etr´ecissement brusques ∆H = 0 : pas de perte de charge singuli`ere MEC567 : SCIENCES DE L’EAU ET ENVIRONNEMENT
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Frottement moyen Hydraulique en charge Pertes de charge singuli` eres