Teorema de Dandelin

TEOREMA DE DANDELIN

El teorema de Dandelin permite demostrar que la sección plana de un cono es una de las curvas definidas en el capítulo No. 12, en los casos de elipse e hipérbola. El caso de la parábola ya fue probado en esa guía. El teorema usa las dos definiciones siguientes: Una elipse es el lugar geométrico de los. puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano es constante. Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante.

LAS ESFERAS DE DANDELIN

Sea un cono y un plano

que no pasa por su vértice.

La idea de Dandelin fue colocar una segunda esfera tangente al cono y al plano, de manera que la primera esté colocada por “encima” del plano π y la segunda por “debajo” del plano π. EI punto de contacto de la segunda esfera y del plano π lo llamamos F  . Como se puede ver en la figura, esto no es posible sino en dos casos, cuando el ángulo β  es diferente del ángulo α.

Sea entonces P  un punto de la intersección ( Γ). Trazamos la generatriz OP. Esta recta corta a ( C ) en Q y a (C  ) en Q .

El caso

β < α. Este caso se resuelve exactamente de la misma manera, lo dejamos como ejercicio.

(Ejercicio No. 1.) EJERCICIOS. 1. Pruebe que si β < α, la sección es una hipérbola, según la definición definición métrica. 2. Sea un cono de ángulo α = 30◦ . Un plano (P ) corta este cono de manera que: I. el ángulo β  = 60◦ II. la esfera de Dandelin de “arriba” tiene un radio r = 1. Calcule:

√  √  3+1 √  a) El radio de la otra esfera de Dandelin. R: 3−1 = 2 + 3  b) La distancia dist ancia F A, siendo A y A los puntos de la cónica sobre sobre la recta (F F  ). R: F A = 1 c) La distancia del punto A a la recta intersección intersección de los planos (π ) y (C ). ) . R:

√ 

3

3. Dibujar en su plano la elipse elipse obtenida en el ejercicio ejercicio No. 2. 4. Demuestre, Demuestre, por el mismo método de esta guía que la sección obtenida obtenida al cortar un cilindro con un plano oblicuo, es una elipse.

7. El lugar geométrico de los vértices de conos que pasan por una parábola es otra parábola.

13. Lugar de los puntos puntos P  del espacio que equidistan de un plano π y de un punto F, situado fuera de π. (paraboloide de revolución.) 14. Lugar de los puntos P  del espacio cuya diferencia de distancia a dos puntos fijos F 1 y F 2 es constante. (Hiperboloide de dos hojas.) 15. ¿Qué superficie en el espacio se obtiene al hacer girar una elipse alrededor del eje de sus focos? ¿Y si se hace girar una hipérbola alrededor de F 1 F 2 ? ¿Y una parábola alrededor de la perpendicular a la directriz por F ? 16. Se corta un cono de ángulo α por un plano que corta a las dos alas del cono según un ángulo β  (β < α). Conociendo el radio r de la esfera menor de Dandelin, halle el radio R de la esfera

mayor. sen α − sen β  ) sen α + sen β  17. Un plano corta corta un cono de vértice V según una elipse. elipse. Si A y A son los extremos del diámetro

( Respuesta: R = r

mayor de la elipse y si V A = 6, V A = 2 y la excentricidad de la elipse es E  = 21 , calcule la distancia de A a la directriz.