FUNGSI Tao dan Sigma FUNGSI τ Dan ơ
Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki bilangan-bilangan bulat dapat didefinisikan fungsi-fungsi tertentu yang mempunyai peranan penting dalam Teori Bilangan. Fungsi-fungsi khusus tersebut serin sering g diseb disebut ut fungsi fungsi aritm aritmeti etik k (fungs (fungsii teori teori bilan bilanga gan). n). Pada Pada umumn umumnya ya fungsi fungsi aritme aritmetik tik didefinisikan/mempunyai daerah asal pada himpunan semua bilangan bulat positif. Apabila f suatu fungsi aritmetik,maka f B B dengan B adalah himpunan semua bilangan bulat B adalah himpunan semua bilangan bulat positif. Berikut ini akan dibahas fungsi ! (tan) dan fungsi " (sigma) A. Fungsi ! (tan)
) %) ) $)
#efinisi $.% &isalkan n suatu bilangan bulat positif ! (n) menyatakan banyaknya pembagi bulat positif dari n. 'ontoh Pembagi-pembagi bulat positif dari % adalah ,%,,$,*,dan %,maka T (%) + * Pembagi-pembagi bulat positif dari adalah ,,,dan ,maka T () + $ Pembagi-pembagi bulat positif dari adalah dan ,maka T () + % Periksalah baha ! () + , ! (%) + %, ! () + %, ! ($) + , ! () + %, ! (*) + $, ! () + $, Apabila p suatu bilangan prima, maka ! (p) + % ! (n) yaitu yaitu banya banyakny knyaa pembag pembagii bulat bulat positi positiff dari dari n serin sering g dinya dinyatak takan ande denga ngan n rumu rumuss yang yang menggunakan notasi (sigma). Berikut ini beberapa 0ontoh definisi notasi .
'ontoh ) n + a 1 a%1 a 1 a$ 1 a %) + % 1 1 $ 1 1 * ) + 1 1 1 1 $)
+ 1 % 1 1 $ 1 * 1 %,yaitu 2umlah semua pembagi bulat positif dari %
)
+ 1 1 1 1 1 , yaitu banyaknya pembagi bulat positif dari %
*)
+ f() 1 f(%) 1 f() 1 f(*) 1 f(3) 1 f() #ari beberapa 0ontoh pemakaian notasi tersebut, ! (n) dapat dirumuskan sebagai berikut ! (n) + untuk n 4 5adi !(n) merupakan pen2umlahan dari sebnyak pembagi bulat positif dari n.
'ontoh ) 6emua pembagi bulat positif dari % adalah ,%,$,,* dan %,maka + 1 1 1 1 1 + * %) 6emua pembagi bulat positif dari $ adalah ,%,,$,,*,,%,*,%$,dan $,maka + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 7 ) Periksalah baha + , + 1 + %, + 1 1 + , 1 1 1 + $, 5ika p suatu bilangan prima,maka + 1 + % #ari #ari uraia uraian n dan dan 0onto 0ontoh-0 h-0on ontoh toh di ata atass dapa dapatt dipah dipahami ami baha baha apabi apabila la p suatu suatu bilang bilangan an prima,maka pembagi-pe pembagi-pembagi mbagi bulat bulat positifnya positifnya hanyalah dan p sa2a,sehingga sa2a,sehingga !(p) !(p) + % % % % Pembagi-pembagi bulat positif dari p adalah ,p dan p sehingga !(p ) + + 1 1 + Periksalah baha !(p ) + $, ! (p$) + , !(p) + *. 8ampak baha 2ika k suatu bilangan bulat positif,maka positif,maka !(pk ) + k 1 . 9ngat baha p disini adalah suatu bilangan prima. 'ontoh ) *$ + %*, maka ! (*$) + !(% *) + * 1 + : Periksalah dengan men0a0ah semua pembagibulat positif dari *$ %) !(%$) + !( ) + 1 + * )
Periksalah baha !(%) + *, !(*) + , ! () + , !(%) + $ dan ! (%$7) + , 6ekarang,apabila p dan p%keduanya adalah bilangan prima dan n + p p p%, maka pembagi-pembagi bulat positif positif dari n adalah adalah ,p p p% dan p p p% + n sehingga !(n) + $. 5ika m + p p p%, maka pembagi-pembagi bulat positif m dapat disusun sebagai berikut , p% , p%%, p% P, p p p%, p p p%%, p p p% P%, p% p%, p% p%%, p% p%+ m 8ampak pada pada daftar ini ini baha !(p% p%) + ; $ + % 'ontoh ) !($$) + !(% $ . %) + ; + %) !(%) + ! ( . :%) + $ ; + % ) Periksalah baha !(*:) + %, ! (:$) + #apatkah anda membuktikan baha apabila n + p k
8ampak pada daftar tersebut baha ! (n) + !(pk ita telah mengetahui teorema dasar aritmatika,yaitu baha setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari dapat difaktorkan se0ara tunggal atas fa0tor-faktor prima. &issal :% + % . %, 77 + %% . . % 6etiap bilangan bulat positif n 4 untuk setiap i +,%,,=k Teorema $.3 Apabila bentuk kanonik dari bilangan bulat n adalah p a, p%%, pa,=. pk ak,maka ! (n) + (a 1 ) (a% 1 ) (a 1 ) = (ak 1 ) Bukti Apabila d suatu pembagi bulat positif dari n,maka d + pt, p%t%,=. pk tk dengan 7 ? t ? a maka banyaknya pembagi bulat positif dari n merupakan hasil kali banyaknya pilihan yang mungkin untuk t i dari (ai 1 ) pilihan. 6ehingga diperoleh !(n) + (a 1 ) (a%1 ) (a 1 ) = (a k 1 ) @umus !(n) tersebut sering dinyatakan dengan notasi (pi). Berikut ini diberikan definisi 0ontoh pemakaian notasi 'ontoh ) di + d . d% . d . d$ . d %) f(n) + f() . f(%) . f() . f($) ) (di 1 ) + (d 1 ) (d% 1 ) (d 1 ) = (dn 1 ) Teorema $.3 atas dituliskan dengan notasi sebagai berikut Apabila n + pa p%a% =. Pk ak + piai, maka ! ( n) + (ai1 ) 'ontoh ) %*7 + %% . % . . :,maka ! (%*7) + t (% %. % . . :) + (% 1 ) (% 1 ) ( 1 ) ( 1 ) + * %) .7: + . % . :%, maka ! ( . %. :%) + ( 1 ) (% 1 ) (% 1 ) + * ) Periksalahbaha ! (%7) + 7, !(%7) + , !(.*) + 3 6ekarang kita akan memperhatikan hasilkali pembagi-pembagi bulat positif dari suatu bilangan bulat positif n. 'ontoh ) Pembagi-pembagi bulat positif dari % adalah ,%,$,* dan %. !(%) + * Casilkan semua pembagi bulat positif dari % ditulis dengan notasi > (%) maka >(%) + . % . . $ . * . % + ( . %) (% .*) ( . $) + % . % .%
+ (%) %) 6emua pembagi bulat positif dari % adalah ,%,$,:,$ dan %. !(%) + * Casil kali semua pembagi bulat positif dari % adalah >(%) + . % . $ . : . $ . % + ( . %) (% . $) ($ . :) + % . % . % + (%) ) Periksalah baha >(%) + %, >() + , >(3) + %:, >() + , >(%$) + %$, >(%) + % 5ika p suatu bilangan prima,maka >(p) + p, >(p %) + p , >(p) + p *, >(p$) + p 7 dan >(pt) + p /% t(t 1 )
Teorema $.7 Apabila n suatu bilangan bulat positif,maka hasilkan semua pembagi bulat positif dari n adalah >(n) + n/% !(n) Bukti &isalkan d adalah suatu pembagi bulat positif dari n, maka ada d (yaitu pembagi bulat positif dari n pula)sedemikian hingga dd + n.hal ini mungkin sa2a ter2adi baha d + d ,yaitu 2ika n suatu kuadrat sempurna. >arena banyaknya pembagi bulat positif dari n adalah !(n),dengan mengalikan setiap pembagi dari n (misalnya d) dengan pembagi pasangannya (misalnya d ) sedemikian hingga dd + n,maka akan diperoleh baha hasil kali semua pembagi bulat positif dari n adalah >(n) + n 8otasi lain dari > (n) adalah d
/% !(n)
B. Fungsi " (sigma) Apabila !(n) menyatakan banyaknya pembagi bulat positif dari n, maka "(n) menyatakan 2umlah semua pembagi bulat positif dari n. #efinisi $. Apabila n suatu bilangan bulat positif ,maka "(n) menyatakan 2umlah semua pembagi bulat positif dari n. dengan menggunakan notasi , ditulis "(n) + 'ontoh ) 6emua pembagi bilangan bulat positif dari % adalah ,%,,$,* dan % maka D(n) + 1 % 1 1 $ 1 1 * 1 % + % %) D(%:) + 1 1 3 1%: + $7 ) Periksalah baha "(%) + , "() + $, "() + *, "(:) + , "() + % 5ika p suatu bilangan prima,maka "(p) + p 1 ,"(p %) + 1 p 1 p%,"(p) + 1 p 1 p %1 p dan D(pt) + 1 p 1 p%1 =1 pt &engingat rumus 2umlah deret geometri,maka 1 p 1 p % 1 p1=1 pt + 5adi "(pt) + ,2ika p suatu bilangan prima dan t suatu bilangan bulat positif 'ontoh ) 6emua pembagi bulat positif dari % adalah ,%,$,,* dan %,maka D(%) + 1 % 1 $ 1 1 * 1 % + * D(%) + "(%) + %71 % 1 %% 1 % 1 %$ 1 %+ %* E + *
%) periksalah baha "(%:) + $7, "($3) + :, "(%) + *, "(*$) + %:, "($%) + 3*, "(*) + % Apabila p dan < adaah dua bilangan E bilangan prima yang berbeda dan n + p<,maka semua pembagi bulat positif dari n adalah ,p,< dan p< + n, sehingga D(n) + "(p<) + 1 p 1 < 1 p< + ( 1 p) ( 1 <) 5ika m + p%< dengan p dan < bilangan-bilangan prima yang berlainan,maka 2umlah semua pembagi bilat positif dari m dapat disusun sebagai berikut D(m) + ( 1 p 1 p% 1 p) 1 ( 1 p< 1 p< % 1 p<) 1 (p% 1 p%< 1 p%<%1 p%<%) + ( 1 p 1 p%) ( 1 < 1 < %1 <) D(m) + . >ita dapat menyimpulkan baha apabila n + p k
+ + Cal ini dikatakan baha merupakan 2umlah kebalikan dari pembagi-pembagi bulat positif dari n. 'ontoh ) 6emua pembagi bilangan bulat positif dari adalah ,%,,*,3 dan . D() + 3 5umlah semua kebalikan pembagi-pembagi dari adalah + 1 1 1 1 1 + + +
Sejarah dan Perkembangan Bilangan Prima
&anusia telah mengenal bilangan prima se2ak *77 sebelum masehi (6.&.). tulang 9shango yang ditemukan pada tahun 3*7 (sekarang disimpan di &usse dHCistoire 8aturelle di Brussels) membuktikan hal tersebut. Tulang 9shango memiliki baris takik. 6alah satu kolomnya memiliki , , : dan 3 takik, yang merupakan bilangan prima antara 7 dan %7. 6ekitar abad * 6.&., Phythagoras dan kelompoknya telah mempela2ari sifat-sifat bilangan, antara lain bilangan sempurna ( perfect numbers), bilangan sekaan ( amicable numbers), bilangan segi banyak( polygonal numbers) dan bilangan prima ( prime numbers).
6elan2utnya, sekitar abad ke empat 6&, Iu0lides mengembangkan konsep dasar teori bilangan. Beberapa 2enis bilangan khusus akan dikemukakan, namun pengertian pembagi dan pembagi se2ati perlu dikemukakan lebih dahulu. Pembagi (kadang disebut faktor) dari sebuah bilangan bulat adalah bilangan yang dapat membagi bilangan itu tanpa adaa sisa. &isalnya pembagi dari % adalah . Pembagi se2ati (proper diJisors) adalah pembagi sebuah bilangan yang kurang dari bilangan itu sendiri. &isalnya pembagi se2ati dari % adalah . 6elan2utnya, beberapa bilangan khusus dikemukakan sebagai berikut. . Bilangan Berlimpah ( Abundant Numbers) 5ika sebuah bilangan dengan 2umlah pembagi se2atinya lebih dari bilangan itu sendiri disebut bilangan berlimpah. &isalnya, pembagi se2ati %$ adalah dan 1%11$1*11%+* adalah bilangan berlimpah karena *K%$.
%. Bilangan Berkekurangan ( Deficient Numbers) 5ika 2umlah pembagi se2ati sebuah bilangan kurang dari bilangan itu sendiri, maka bilangan itu disebut berkekurangan. &isalnya, * adalah bilangan berkekurangan karena 2umlah pembagi se2atinya adalah 1%1$1+L*. . Bilangan 6empurna ( Perfect Numbers) 6ebuah bilangan disebut sempurna apabila 2umlah pembaginya sama dengan bilangan itu sendiri. &isalnya, * adalah bilangan sempurna karena pembagi * adalah ,% dan serta 1%1+*. $. Bilangan &ungil ( cute numbers) 5ika sebuah bilangan kuadrat dapat dibagi ke dalam n kuadrat pada paling banyak dua ukuran berbeda, maka n disebut bilangan mungil. &isalnya $ dan 7 adalah bilangan mungil. . Bilangan 6etengah 6empurna ( semiperfect numbers) 6ebuah bilangan setengah sempurna apabila sama dengan 2umlah sebagian pembagi se2atinya. &isalnya, misalnya adalah bilangan setengah sempurna karena pembagi se2ati adalah dan 1*13+. 6ebuah bilangan setengah sempurna yang merupakan 2umlah dari semua pembagi se2atinya disebut bilangan sempurna. *. Bilangan Berbahagia ( happy numbers) 6ebuah bilangan yang 2umlah kuadrat angka-angkanya pada akhirnya ber2umlah satu disebut bilangan berbahagia. &isalnya %7 adalah bilangan berbahagia, karena 1 1 +, 1 +7, 1 +. :. Bilangan 8arsis ( narcissistic numbers) 6eorang narsis 2ika tertarik kepada dirinya sendiri, sebuah bilangan narsis nampaknya sedikit terpusat pada dirinya 2uga. 6ebuah bilangan narsis adalah sebuah bilangan yang sama dengan sebuah pernyataan yang menggunakan angka yang sama. &isalnya *+ M *. >adang-kadang sebuah bilangan narsis didefenisikan sebagai bilangan yang sama dengan 2umlah angkaangkanya yang berpangkat tertentu. ebih khusus, sebuah bilangan dengan n angka sama dengan 2umlah angka-angkanya yang berpangkat tertentu. ebih khusus, sebuah bilangan dengan n angka sama dengan 2umlah angka-angkanya berpangkat n. &isalnya, : adalah bilangan narsis karena :+ dan 3$:$ 2uga bilangan narsis karena . Bilangan Palindrom ( palindromic numbers) 6ebuah polindrom adalah kata yang sama baik diba0a dari kiri maupun kanan, misalnya noon atau kayak. Bilangan polindrom, seperti dan *$7$* mempunyai angka yang sama baik diba0a dari kiri maupun dari kanan.
3. Bilangan bersahabat ( amicable numbers) #ua bilangan disebut bersahabat apabila 2umlah pembagi se2ati bilangan pertama sama dengan bilangan kedua dan 2uga sebaliknya 2umlah pembagi se2ati bilangan kedua sama dengan bilangan pertama. &isalnya, %*%7 dan %3%$ adalah dua bilangan bersahabat. Pembagi se2ati %*%7 adalah yang 2umlahnya . 6elan2utnya, kita memeriksa pembagi se2ati %3%$, yaitu dan 2umlahnya . #engan demikian, kedua bilangan itu bersahabat. 7. Bilangan 6osial ( sociable numbers) Bilangan sosial seperti bilangan bersahabat, tetapi bilangan sosial dalam kelompok yang lebih besar. Pembagi se2ati dari bilangan pertama dalam sebuah kelompok 2umlahnya sama dengan bilangan kedua, pembagi se2ati bilangan kedua 2umlahnya sama dengan bilangan ketiga, dan seterusnya. Pembagi se2ati bilangan terakhir dalam kelompok 2umlahnya sama dengan bilangan pertama. Bilangan sosial 0enderung besar, sehingga sulit didapatkan tanpa menggunakan komputer. 6atu 0ontoh kelompok bilangan sosial adalah %$3*, $%, $:%, $* dan $%*$. . Bilangan Berpola ( figurate numbers) Bilangan dari titik dalam sebuah susunan titik-titik yang ber2arak sama disebut bilangan berpola. &isalnya Titik-titik dapat disusun dalam dimensi satu, dua, tiga atau lebih. Ada banyak 2enis bilangan berpola, misalnya bilangan polygon ( polygonal numbers) dan bilangan tetrahedral ( tetrahedral numbers).
%. Bilangan Poligon ( polygonal numbers) 6ebuah bilangan poligon adalah bilangan titik yang ber2arak sama diperlukan untuk menggambar sebuah bilangan berpola. Barisan bilangan poligon berdasarkan pada poligon tersarang. 'ontohnya Terdapat banyak 2enis berbeda dari bilangan poligon, mulai dengan bilangan kuadrat dan bilangan segitiga. . Bilangan >uadrat ( square numbers) Bilangan kuadrat adalah hasil perkalian sebuah bilangan dengan dirinya sendiri. 9ni adalah sama dengan kuadrat sempurna ( perfect squares) +, +$, +3 dan seterusnya. >uadrat dari adalah % dan beker2a dari belakang, kita mengatakan baha akar kuadrat dari % adalah . Beberapa gambar bilangan kuadrat diberikan sebagai berikut.
$. Bilangan >ubik ( cube numbers) Bilangan kubik adalah hasil dari perkalian sebuah bilangan dengan dirinya sendiri dua kali +, +, +%: dan seterusnya. >ubik dari $ adalah *$ dn beker2a dari belakang, kita mengatakan baha akar pangkat tiga dari *$ adalah $. 5ika kita menggunakan balok bentuk kubik (kubus) untuk membangun sebuah kubik lebih besar, banyaknya balok yang diperlukan adalah sebuah bilangan kubik. &isalnya, kita akan membangun kubik 7 0m dengan menggunakan kubik 0m kita membutuhkan 777 kubik. . Bilangan Tetrahedral ( tetrahedral numbers) Bilangan tetrahedral adalah satu 2enis bilangan berpola yang diperoleh dengan menghitung banyaknya titik ber2arak sama yang diperlukan untuk membangun sebuah tetrahedron. Tetrahedron adalah piramid dengan dasar segitiga. *. Bilangan 6egitiga ( triangular numbers) 6ebuah bilangan segitiga adalah banyaknya titik yang diperlukan untuk menggambar sebuah segitiga. 9ni adalah satu 2enis bilangan berpola. Beberapa gambar bilangan segitiga yang pertama diberikan sebagai berikut @umus bilangan segitiga ke-n adalah T(n)+n(n1)/%. :. Bilangan Aneh ( weird numbers) 6ebuah bilangan aneh (tidak a2ar) apabila berlimpah tetapi tidak setengah sempurna, misalnya :7 adalah bilangan aneh. Pembagi se2ati :7 adalah dan , tetapi :7 tidak sama dengan 2umlah beberapa pembagi se2atinya.
6ebelum komputer ditemukan, perkembangan penemuan bilangan prima masih lambat karena orang belum merasakan manfaatnya. &eski pun sedikit sekali manfaat yang diketahui, namun di aal masehi orang-orang tetap men0ari dan membuktikan baha suatu bilangan merupakan bilangan prima. Bilangan prima disebut oleh 8i0oma0hus, Theon dan ambli0hus sebagai N bilangan prima dan tidak komposit O. Theon mendefenisikan hampir sama dengan yang didefenisikan oleh
Iu0lid, yaitu N bilangan yang tidak dihasilkan oleh sebarang bilangan, melainkan oleh hanya satu satuan sajaO. 6atuan berarti bilangan asli yang bukan bilangan prima dan 2uga bukan
bilangan komposit. Aristotheles 2uga mengatakan baha bilangan prima tidak dihasilkan oleh
sebarang bilangan, sebuah satuan bukan merupakan bilangan, tetapi hanya permulaan bilangan (Theon dari 6myrna mengatakan hal yang sama). &enurut 8i0oma0hus, bilangan prima adalah sebuah subbagian, bukan dari sembarang bilangan melainkan dari bilangan yang gan2il, yaitu Nbilangan ganjil yang tidak berlaku untuk bagian yang lain kecuali bagian yang disebutkan setelah nama bilangan iu sendiriO. Bilangan prima adalah , , : dan seterusnya. #an tidak ada
subkelipatan dari ke0uali /, tidak ada subkelipatan dari ke0uali / dan seterusnya. #alam kasus ini satu-satunya subkelipatan tersebut adalah satuan. &enurut 8i0oma0hus, adalah bilangan prima yang pertama sedangkan Aristotheles menganggap % sebagian bilangan prima (% adalah satu-satunya bilangan genap yang prima), hal ini menun2ukkan baha perbedaan doktrin phytagorean lebih aal dari Iu0lid. Angka % 2uga memperkuat defenisi Iu0lid terhadap bilangan prima. ambli0hus men2adikan ini sebagai dasar serangan lain terhadap Iu0lid. Argumentasinya adalah baha % adalah satu-satunya angka genap yang tidak memiliki bagian ke0uali sebuah satuan. 8amun, sebelumnya di2elaskan baha genap kali genap, gan2il kali gan2il dan gan2il kali genap, semuanya tidak termasuk sifat bilangan prima. Telah di2elaskan baha kemungkinan besar % adalah bilangan genap dan gan2il, yang dihasilkan dengan mengalikan % terhadap bilangan gan2il yakni satuan tersebut, sehingga % dianggap sebagai batas atas subbagian bilangan genap, yang bukan termasuk bilangan prima. Theon memandang % dalam anggapan yang sama, tetapi mendukungnya dengan lingkaran yang nyata. Bilangan prima menurutnya, 2uga disebut gan2il-kali-gan2il, sehingga hanya bilangan gan2il yang prima dan tidak komposit. Bilangan genap tidak dihasilkan oleh hanya satu satuan, ke0uali %, sehingga terlihat gan2il tetapi tidak prima. Terdapat beragam nama yang digunakan terhadap bilangan prima. >ita telah memperhatikan penandaan yang aneh terhadapnya yaitu gan2il kali gan2il. &enurut ambli0hus, beberapa orang menyebutnya euthimetric dan thimaridas rectilinier , dengan dasar baha ia hanya dapat ditemukan dalam satu dimensi tanpa luasan. Aspek yang sama dari bilangan prima 2uga dinyatakan oleh Aristotheles, yang membedakan bilangan komposit dengan bilangan prima yang hanya memiliki satu dimensi. Theon dari 6myrna memberikan linear sebagai nama alternatif dari rectilinear . #alam kedua kasus, untuk membuat deskripsi yang pas terhadap bilangan prima, kita harus memahami kata hanya, Nbilangan prima adalah bilangan yang hanya linear atau rectilinear O. Bagi 8i0oma0hus, yang menggunakan bentuk linear , dengan 2elas
mengatakan baha semua bilangan 2uga begitu, yakni dapat dipresentasikan oleh titik-titik linear untuk 2umlah yang dibutuhkan dan ditetapkan pada seruas garis.
Bilangan prima disebut prima atau pertama,menurut nicomachus,karena hanya dapat diperoleh dengan meletakkan se2umlah satuan tertentu bersama,dan satuan tersebut adalah permukaan dari bilangan.&enurut lamblichus,karena tidak ada bilangan sebelumnya,bilangan prima men2adi kumpulan satuan yang merupakan kelipatan dan mun0ul pertama sebagiaan basis yang bilangan yang lain yang men2adi kelipatannya.Berdassarkan berbagai pernyataan tersebut,bilangan prima dapat didefinisikanberikut. “Bilangan bulat p! disebut bilangan prima bilamana tidak ada bilangan pembagi d terhadap p yang memenuhi syarat !"d"p#Dengan perkataan lain,bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu dan bilangan itu sendiri#$ebuah bilangan bulat p! yang bukan bilangan prima disebut bilangan komposit%tersusun&'#
6ebagian 0ontoh,%, , dan : adalah bilangan prima, sedangkan $, *, dan 3 adalah bilangan komposit. Perlu diperhatikan baha bukan bilangan primaa dan bukan pula bilangan 0omposit, sehingga disebut satuan. 5adi, himpunan semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terbagi dalam himpunan bagian yang saling lepas, yaitu ) Cimpunan bilangan prima %) Cimpunan bilangan komposit ) Cimpunan bilangan satuan.
B. Rumus Bilangan Prima
6elama berabad-abad, banyak matematikaan telah men0oba untuk men0ari rumusan yang dapat digunakan dalam menentukan bilangan prima. 6emua bilangan prima yang lebih besar dari % 2elas merupakan bilangan gasal (gan2il) sehingga orang per0aya baha untuk suatu bilangan prima p, - 2uga merupakan bilangan prima. Persamaan ini sama halnya dengan persamaan yang diungkapkan oleh &ersenne, yakni rumus + -, nK. 8amun, hal tersebut kemudian terbukti tidak benar. Pada tahun *, @egius membuktikan baha bilangan -+%7$:+% 3, bukan bilangan prima. 'ara yang paling sederhana untuk men0ari bilangan prima adalah dengan menggunakan metode saringan (ratosthenes %$ie)e of (ratosthenes&, sebuah karya dari Iratosthenes (%$7 6&), seorang ilmuan unani >uno. 'ara ini yang paling sederhana dan paling 0epat untuk
menemukan bilangan prima, sebelum saringan Atkin ditemukan pada tahun %77$. 6aringan Atkin merupakan 0ara yang lebih 0epat namun lebih rumit dibandingkan dengan saringan Iratosthenes. &isalkan, kita hendak menemukan semua bilangan prima di antara sampai bilangan bulat 7. Peragaaun saringan Iratosthenes untuk membuat daftar bilangan kurang dari atau sama . %. . $. . *. :. . 3.
dengan 7 dilakukan sebagai berikut &embuat daftar bilangan mulai dari sampai dengan 7, &en0oret bilangan dari daftar bilangan tersebut, &embiarkan bilangan % dan men0oret semua bilangan kelipatan %, &embiarkan bilangan dan men0oret semua bilangan kelipatan , &embiarkan bilangan dan men0oret semua bilangan kelipatan , &embiarkan bilangan : dan men0oret semua bilangan kelipatan :, &embiarkan semua bilangan yang belum di0oret, &elihat hasil bilangan yang dibiarkan dan tidak di0oret. &endaftar semua bilangan prima yang kurang dari 7, yaitu %, , , :, , , :, 3, %, %3, , :, $, $ dan $:. (a!a!an" beberapa bilangan mendapat pen0oretan lebih dari sekali)
#
''
% %% %
%$% $' )'
$ '$ #$
$
$ $ %$ $ $$
%
% $
* * %* * $*
& '&
%: $& )&
% $
3 '( #(
3 $3
7 %7 7 $7 7
Penggunaan saringan Iratosthenes tidak dapat se0ara memuaskan untuk mengu2i langsung suatu bilangan adalah bilangan prima atau bukan bilangan prima, sehingga banyak “formula' lain yang dibuat untuk menghasilkan bilangan prima. @umus atau formula itu antara
lain ) f(n)+ -n1$, untuk n 8 Qntuk n+ sampai dengan n+$7, diperoleh daftar angka yang merupakan bilangan prima. Tetapi, untuk n+$ maka f($)+ bukan bilangan prima karena * habis dibagi , $ dan *. #engan demikian, f(n)+ -n1$ gagal men2adi rumus bilangan prima. %) f(n)+ -:3n1*7 Formula ini gagal men2adi rumus bilangan prima sebab f()+ -:3()1*7+:*, di mana faktor dari :* adalaah , $,$ dan :*, sehingga :* bukan bilangan prima.
) f(n)+ 1 @umus ini dibuat oleh Fermat. 5ika se0ara berturut-turut n diganti dengan , %, dan $ maka diperoleh semuanya adalah bilangan prima. Tetapi, 2ika n diganti dengan maka f()+ 1+$.%3$.3*:.%3:. Casil ini bukan bilangan prima karena habis dibagi oleh *$. 5adi, rumus Fermat gagal menghasilkan bilangan prima untuk n+. $) Bilangan prima 6ophie Rermain. 6ebuah bilangan prima p disebut bilangan prima 6ophie Rermain bila %p1 2uga bilangan prima. &isalnya, % adalah bilangan prima 6ophie Rermain karena % %1+$: 2uga bilangan prima. Bilangan ini diberi nama sesuai nama matematikaan Peran0is &arie 6ophie Rermain.
) Bilangan prima dengan rumus 1$k, untuk kK7. Tentu, rumus ini gagal menghasilkan bilangan prima untuk k+, karena 1$()+ bukan bilangan prima. *) Teorema ke0il Fermat menyatakan jika p adalah bilangan prima, maka untuk semua bilangan bulat a, *a%mod p&. 9ni berarti, 2ika kita mengambil sembarang bilangan a, kemudian mengalikan
dengan dirinya sendiri sebanyak p kali dan mengurangi a, hasilnya akanhabis dibagi dengan p. 6e0ara khusus, 2ika a bukan faktor p, maka (mod p) . Teorema ini memberikan u2i yang baik untuk ketidakmiripan. #engan bilangan bulat nK, pilihlah aK dan hitung (mod n). 2ika hasilnya , maka n bukan bilangan prima. 6ebaliknya, 2ika hasilnya+, maka n mungkin bilangan prima sehingga n mungkin disebut bilangan prima semu basis a (prima semu, bilangan yang NmendekatiO bilangan prima). 6ebagai 0ontoh, untuk a+% dan n+$, maka (mod $)+ (mod $)+ + mod $+. Tetapi, $ bukan bilangan prima karena $+ , sehingga $ adalah bilangan prima semu basis %. (umumnya digunakan oleh praktisi kriptografi, kriptografi adalah teknik untuk menyamarkan suatu pesan dengan kata lain NsandiO). &eski bilangan prima &ersenne terbukti tidak se0ara pasti benar baha rumus tersebut adalah rumus untuk bilangan prima, namun para peneliti tetap menggunakan rumus &ersenne dalam men0ari bilangan prima. Bilangan prima terbesar yang diketahui pada 6eptember %77* adalah -. Bilangan ini mempunyai 3.7. digit dan merupakan bilangan prima &ersenne yang ke-$$. (demikian notasi penulisan bilangan prima &ersenne ke-$$) ditemukan oleh 'urtis 'ooper dan 6teJen Boone pada $ september %77* yang keduanya adalah profesor uni)ersity of
$entral +issoouri beker2a sama dengan puluhan ribu anggota lainnya dari proyek Rreat 9nternet
&ersenne Prime 6ear0h (R9&P6). #i antara semua bilangan prima &ersenne yang sudah ditemukan, sepuluh bilangan terbesarnya ditemukan dengan R9&P6. Bilangan prima &ersenne terbesar saat ini memiliki 3.7. digit angka.
*. Teorema Bilangan Prima
6ebelum membahas teorema tentang bilangan prima, terlebih dahulu di2elaskan istilah saling prima. #ua buah bilangan dikatakan saling prima 2ika faktor persekutuan terbesar (FPB)
dari dua bilangan tersebut adalah . 9stilah lain dari saling prima adalah komprima atau prima relatif . 5adi defenisi saling prima dapat dituliskan sebagai berikut. “Dua bilangan bulat a dan b dikatakan prima relatif, jika (a,b)=1”
Apabila ( )+ maka 2uga dikatakan saling prima. Bilangan bulat positif dikatakan saling prisma dua-dua atau saling prima sepasang, apabila ( )+, untuk i+, %, ,=., n dan 2+, %, ,=., n dengan i 2. 0ontoh (:, , )+,sehingga dikatakan baha :, dan saling prima dan sekaligus saling prima dua-dua, sebab (:,)+(:,)+(,)+. 'ontoh lain ($, *, 3, 7) + menun2ukkan baha $, *, 3 dan 7 saling prima, tetapi tidak saling prima dua-dua, sebab ($,*)+%, ($,7)+%, (*,3)+, (*,7)+% meskipun ($,3)+(3,7)+. ) Teorema *. ika sisa pembagian b oleh a adalah prima relatif dengan a, maka b juga prima relatif dengan a# Buk!i"
&isalkan a dan b adalah bilangan-bilangan bukat daan a+7, maka menurut algoritma pembagian diperoleh b+a<1r dengan &isalnya, (a,r)+. Apakah %b,a&*!&isalkan (b,a)+d, maka dan dSb >arena b+a<1r dengan d dan dSb maka dSr 6elan2utnya dan dSr, sehingga d merupakan faktor persekutuan dari a dan r. Tetapi, karena (a,r)+, maka d . &engingat (b,a)+d, yaitu d , maka d+. &aka, (b,a)+
*on!oh"
&isalkan dan %**, dengan %**+()()1%. Perhatikan baha (,%)+, maka menurut teorema (%**,)+. Cal ini dapat dilihat pada Algorotma Iu0lides. %) Teorema *.% $etiap bilangan bulat n! dapat dibagi oleh suatu bilangan prima# Dengan perkataan lain, jika n dan n adalah bilangan komposit, maka ada bilangan prima p sehingga#p.n Buk!i" *ara I
) Ambil sembaraang bilangan positif nK. 5ika n bilangan prima maka berarti teorema terbukti. %) Apabila n adalah bilangan komposit, maka n mempunyai faktor selain dan n sendiri. &isalnya , yaitu maka ada sehingga n+ dengan L Ln. ) Ambil bilangan prima sehingga , dengan demikian teorema terbukti. Tetapi, 2ika suatu bilangan komposit, maka mempunyai faktor selain dan , misalnya , yaitu S sehingga ada sehingga , L L. $) Ambil bilangan prima sehingga . >arena dan Sn maka . 5adi, n terbagi oleh suatu bilangan prima , sehingga teorema terbukti. Tetapi, 2ika suatu bilangan komposit, maka mempunyai faktor selain dan , misalnya , yaitu . 9ni berarti ada sedemikian sehingga + dengan L L . ) Ambil bilangan prima dan dengan dan yang berimplikasi sehingga teorema terbukti. Tetapi, 2ika suatu bilangan komposit, proses seperti di atas dapat dilan2utkan sedemikian sehingga didapatkan suatu barisan n, , ,=.,dengan nK K K==K. Penguraian atas faktor-faktor komposit tersebut tentu berakhir pada suatu faktor prima, karena faktor-faktor tersebut selalu kurang dari bilangan yang diuraikan dan selalu lebih dari . &isalkan penguraian berakhir pada faktor prima , maka dan karena , ,=.., sehingga .
Fungsi-fungsi khusus yang akan dikemukakan adalah fungsi tau ( ) dan fungsi sigma ). '. Fungsi Tau + ,
Pembahasan fungsi tau dimulai dengan sebuah definisi berikut.
De-inisi .$ /ungsi tau %n& menyatakan banyaknya pembagi bulat positif dari n, untuk n suatu bilangan
bulat positif# *on!oh .&
Tentukanlah pembagi bulat positif mulai dari bilangan hingga bilangan M Pen/elesaian"
a) b) 0) d) e) f)
Pembagi bulat positif dari adalah sendiri sehingga () + Pembagi bulat positif dari % adalah dan %, sehingga (%) + % Pembagi bulat positif dari adalah dan , sehingga () + % Pembagi bulat positif dari $ adalah , % dan $, sehingga ($) + Pembagi bulat positif dari adalah dan , sehingga () + % Pembagi bulat positif dari * adalah , %, , dan *, sehingga (*) + $
#engan 0ara yang sama, dapat diketahui baha (:) + %, () + $, (3) + , (7) + $, () + %, (%) + *, ()+%, ($)+$, ()+$ Berdasarkan 0ontoh *.:, dapat diketahui baha apabila p suatu bilangan prima, maka ( p)+%. Banyaknya pembagi bilangan bulat positif dari n sering dinyatakan dengan rumus yang menggunakan notasi (ba0a sigma). Beberapa 0ontoh penggunaan notasi diberikan dalam 0ontoh berikut *on!oh .0
a. + a 1 a% 1 a 1 a$ b. + 1 $ 1 1 * 0. + % 1 % 1 % 1 % 1 % 1 % d. + 1 % 1 : 1 $ yaitu 2umlah semua pembagi bulat positif dari$. e. + 1 1 1 yaitu banyaknya semua pembafi bulat positif dari $. f. + f() 1 f(%) 1 f() 1 f(*) 1 f(3) 1 f(). Berdasarkan beberapa 0ontoh notasi tersebut, (n) dapat dirumuskan sebagai berikut (n) + untuk n 5adi (n) merupakan pen2umlahan dari sebanyak pembagi bulat positif dari n. *on!oh .(
a. 6emua pembagi bulat positif dari 7 adalah , %, , , *, 7, , 7, sehingga +1111 111+ b. 6emua pembagi bilangan bulat positif dari $% adalah , %, , *, :, $, % dan $% sehingga +1111 111+ 0. 6emua pembagi bulat positif dari $ adalah , %, , $, *, , %, *, %$, dan $ sehingga d. + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 7
#engan 0ara yang sama dapat diketahui baha + , + 1 + %, + 1 + %, + 1 1 + , + 1 1 1 + %, 1 1 1 + $, + 1 + %, + 1 1 1 + $ dan seterusnya. Berdasarkan 0ontoh tersebut dapat disimpulkan baha 2ika p suatu bilangan prima, pembagi bulat positifnya hanyalah dan p, sehingga (p)+%. >arena itu + 1 + % untuk setiap bilangan prima p. 6elan2utnya, ) Pembagi bulat positif dari p % adalah , p dan p % sehingga (p %) + + 1 1 + %) Pembagi bulat positif dari p adalah , p, p %, dan p sehingga (p) + + 1 1 1 + $ ) Pembagi bulat positif dari p $ adalah , p, p %, p, dan p$ sehingga (p ) + + 1 1 1 1 + Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan baha 2ika k suatu bilangan bulat positif dan p adalah suatu bilangan prima maka (p k ) + k 1 . *on!oh .'1
Tentukan (*), (%), ()M Pen/elesaian"
a)
* + %$, sehingga (*) + (%$) + $ 1 + .
Cal ini dapat diperiksa dengan men0a0ah semua pembagi bulat positif dari * yaitu , %, $, , *. b) 0)
% + %, sehingga (%) + (%) + 1 + * 6emua pembagi bulat positif dari % adalah , %, $, , *, %. + $, sehingga () + ($) + $ 1 + 6emua pembagi bulat positif dari adalah , , 3, %:, .
Apabila p dan p% keduanya adalah bilangan prima dan n + p p%, maka pembagi bulat positif dari n adalah , p , p% dan p p% + n sehingga (n) + $. 5ika m + p% p%, maka pembagi bulat positif dari m dapat disusun sebagai berikut P, , Terlihat
P% PP%, P%,
P ,, ,
pada daftar ini baha (m) + ( ) + $ + %.
*on!oh .''
Tentukan (*$), (*:), dan (*%)M Pen/elesaian "
a) b)
,
(*$) + (% $) + ( 1 ) ($ 1 ) + %7 (*:) + ( %) + ( 1 ) (% 1 ) + %
P +m
0)
(*%) + ( :%) + ( 1 ) (% 1 ) + %
', Teorema . '$
Apabila n * pk qt dengan p dan q bilangan0bilangan prima yang berlainan dan k, t adalah t bilangan0bilangan bulat positif, maka %pk q & * %k 1 !& %t 1 !&#
Buk!i"
6emua pembagi bulat positif dari n + p k
p%, p%<,
p, p<, p<%, . . . p
p%<%, . . . p%<%,
p, p<, p<%, . . . p
= pk = pk <
<%,
= pk <% = . = . = . = pk
Terlihat pada daftar tersebut baha (n) + (pk
Apabila d suatu pembagi bulat positif dari n, maka d + P P% P,=Pk dengan 7 t ai. Banyaknya pembagi bulat positif dari n merupakan hasil kali banyaknya pilihan, sehingga diperoleh (n) + (a 1 )(a% 1 )(a 1 )=(ak 1 ). @umus (n) tersebut sering dinyatakan dengan notasi (ba0a pil). 'ontoh pemakaian notasi diberikan sebagai berikut. *on!oh .'#
a)
+ P P% P P$ P.
b) 0) d) e)
ai
+ =
*on!oh .'$
Tentukan (%%7), (3$7), dan (%%77)M Pen/elesaian"
a) %%7 + % :% (%%7) + (% :%) + (% 1 )( 1 )( 1 ) + b) 3$7 + % % (3$7) + (% % ) + ( 1 )( 1 )(% 1 ) ( 1 ) + $ 0) %%77 + %$ % % : (%%77) + (%$ % % :) + ($ 1 )(% 1 )(% 1 ) ( 1 ) + 37 'ontoh berikut memperlihatkan hasilkali pembagi-pembagi bulat positif dari suatu bilangan bulat positif n. *on!oh .')
Tentukan hasil kali semua pembagi bulat positif dari %$ dan *M Pen/elesaian"
a) Pembagi bulat positif dari %$ adalah , %, , $, *, , %, dan %$, sehingga (%$) + Casilkali semua pembagi bulat positif dari %$ ditulis dengan notasi >(%$) yaitu >(%$) + + ( )(% )( )($ ) + %$ + %$$ b) 6emua pembagi bulat positif dari * adalah , %, $, :, , $, %, dan *, sehingga (*) + Casilkali semua pembagi bulat positif dari * adalah >(*) + + ( )(% )($ )(: ) + * + *$ >ita dapat memriksa baha >(%) + %, >() + , >() + , >(:) + :, dan seterusnya. 5adi 2ika p suatu bilangan orima, maka >(p) + p, >(p %) + p, >(p) + p*, >(p$) + p7 dan >(pt) + p/%t(t 1 ) $, Teorema .'% Apabila n suatu bilangan bulat positif, hasilkali semua pembagi bulat positif dari n adalah 5%n&
* atau dapat ditulis * Buk!i"
&isalkan d adalah suatu pembagi bulat positif dari n, ada dH (yaitu pembagi bulat positif dari n pula) sedemikian sehingga ddH + n. hal ini mungkin sa2a ter2adi baha d + dH, yaitu 2ika n suatu kuadrat sempurna. >arena banyaknya pembagi bulat positif dari n adalah (n), dengan mengalikan setiap pembagi dari n (misalnya d) dengan membagi pasangannya (misalnya dH) sedemikian sehingga ddH+ n, maka akan diperoleh baha hasilkali semua pembagi bulat positif dari n adalah + #. Fungsi Sigma+ ,
Pada bagaian sebelumnya telah dibahas mengenai fungsi tau yang menyatakan banyaknya pembagi bulat positif dari n,Pada bagian ini dibahas mengenai fungi sigma yang menyatakan 2umlah semua pembagi buat positif dari n. De-enisi .) ika n suatu bilangan bulat positif,maka menyatakan jumlah semua pembagi bulat positif
darin,yakni *on!oh .')
Tentukan , Penyelesaian a) Pembagi buat positif dari 7 adalah ,%,,,*,7,,7, sehingga b) Pembagi bulat positif dari $% adalah ,%,,*,:,$,%, dan $% sehingga 0) Pembagi bulat positif dari $ adalah ,%,,$,*,,%,*,%$ dan $ sehingga
*on!oh .'%
Tentukan Pen/elesaian"
a. b. 0. d.
Pembagi bulat positif dari % adalah dan % sehingga Pembagi bulat positif dari adalah dan sehingga Pembagi bulat positif dari sehingga #engan0ara yang sama ,
'ontoh *. menun2ukan baha 2ika p suatu bilangan prima, maka )+1p1pU1pV dan . @umus dapat di bentuk dngan mengigat rumus 2umlah deret geometri . karena itu, perlu di2elaskan mengenai deret geoetri sebagai berikut. #iketahui suatu barisan geometri a, ar, arU, arV,=. Apabila suku-sukunya 2umlahkan diperoleh + untuk rL atau
untuk r rumus 2umlah deret geometri, diperoleh 2adi,2ika p suatu bilangan prima
dan t suatu bilangan bulat positif, maka
*on!oh.'
Tentukan Penyelesaian a) b) 0) d)
Pembagi bulat positif dari * adalah ,%,, dan * sehingga Pembagi bulat positif dari *$ adalah ,%,$,,,*,%, dan*$ sehingga %:. Atau +%: Pembagi bulat positif dari % adalah ,,%, dan % sehingga +* Pembagi bulat positif dari %$ adalah ,,3,%:, dan %$ sehingga
Apabila p dan < adalah dua bilangan prima yang berbeda dan n +p<, maka semua pembagi semua positif dari n adalah , 2ika m+ dengan p dan < dua bilangan prima yang berlainan, maka 2umlah semua pembagi bulat positif dari m dapat di susun sebagai berikut 1(p1p<1p
Tentukanlah Penyelesaian a. b. 0. d. e.
( ) ()(:)+:*: )+()()+7*$
Teorema .'
ika
bentuk
kanonik
dari
bilangan
bulat
positif
n
adalah
maka Buk!i "
6etiap suku dari perkalian (1p1 1 1=.1 ) ) dengan yang lainnya dan masing E masing merupakan pembagiaan darian n, sehingga Berdasarkan rumus 2umlah deret geometri , maka 1 6ehingga *on!oh .'0
Tentukan Penyelesaian a. b. 0.
+3* +
Pada pembahasan sebelumnya, telah di2elaskan mengenai definisi di mana d merupakan semua pembagi bulat positif dari n . karena
pembagi bulat positif dari n pula, maka rumus dapat 2uga
ditulis dalam bentuk @umus merupakan 2umlah kebalikan dari pembagi E pembagi bulat positif *on!oh .'(
Tentukan Penyelesaian a. 6emua pembagi bulat positif dari % adalah , %, , $, * dan % sehingga 5umlah semua dari kebalikan pembagi dari % adalah b. 6emua pembagi bulat positif dari adalah , %, , *, 3 dan , sehingga 5umlah semua kebalikan pembagi dari adalah 0. 6emua pembagi bulat positif dari adalah dan sehingga d. 6emua pembagi bulat positif dari : adalah dan :, sehingga 5umlah semua dari kebalikan pembagi dari : adalah e. 6emua pembagi bulat positif dari adalah dan , sehingga 5umlah semua kebalikan pembagi dari adalah
dari n.
B2B III P3NUTUP 2. 4esim5ulan
. @umus Teori Bilangan Prima, @umus atau formula itu antara lain f(n)+ -n1$, untuk n 8 f(n)+ -:3n1*7 f(n)+ 1 Bilangan prima 6ophie Rermain. 6ebuah bilangan prima p disebut bilangan prima 6ophie • • • •
Rermain bila %p1 2uga bilangan prima. &isalnya, % adalah bilangan prima 6ophie Rermain karena % %1+$: 2uga bilangan prima. Bilangan ini diberi nama sesuai nama matematikaan •
•
Peran0is &arie 6ophie Rermain. Bilangan prima dengan rumus 1$k, untuk kK7. Tentu, rumus ini gagal menghasilkan bilangan prima untuk k+, karena 1$()+ bukan bilangan prima. Teorema ke0il Fermat menyatakan jika p adalah bilangan prima, maka untuk semua bilangan bulat a, *a%mod p&. 9ni berarti, 2ika kita mengambil sembarang bilangan a, kemudian mengalikan
dengan dirinya sendiri sebanyak p kali dan mengurangi a, hasilnya akan habis dibagi dengan p. %. Teorema bilangan prima 5ika sisa pembagian b oleh a adalah prima relatif dengan a, maka b 2uga prima relatif dengan a. 6etiap bilangan bulat nK dapat dibagi oleh suatu bilangan prima. #engan perkataan lain, 2ika n • •
dan n adalah bilangan komposit, maka ada bilangan prima p sehingga pSn 6etiap bilangan bulat nK dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima. 5ika n suatu bilangan komposit, maka n memiliki faktor k dengan Lk . 5ika n 8 (bilangan asli), maka n mempunyai faktor prima terbesar p sehingga p . . Faktorisasi prima 5ika p suatu bilangan prima dan , a, b W, maka atau . 5ika p suatu bilangan prima dan maka , untuk . 5ika semua bilangan prima dan , maka p+ untuk suatu k dengan . Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu atas faktor-faktor prima • • •
• • • •
adalah tunggal, ke0uali urutan dari faktor-faktornya mungkin tidak tunggal. Banyaknya bilangan prima adalah tidak terhingga 5ika dalam barisan bilangan prima, p n menyatakan bilangan prima ke-n, maka p n Qntuk n ada paling sedikit n 1 buah bilangan prima yang lebih ke0il dari $. Fungsi Tau ( ) dan Fungsi 6igma ( ) Fungsi tau yang menyatakan banyaknya pembagi bulat positif dari n dan fungi sigma yang • • •
menyatakan 2umlah semua pembagi buat positif dari n.
Induksi ma!ema!ika merupakan suatu metode pembuktian dalam matematika untuk
menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli. 6ebagai 0ontoh, apakah asli nX
X berlaku untuk semua bilangan
Qntuk membuktikannya, kita dapat menggunakan induksi matematika.
Langkah-langkah Induksi Matematika
&isalkan
suatu pernyataan yang dinyatakan berlaku
untuk semua bilangan asli n. Qntuk membuktikan apakah pernyataan ini bernilai benar atau tidak untuk semua bilangan asli, ada dua langkah yang dilakukan, yaitu 1. Jika
benar, dan
2. Jika
benar yang mengakibatkan
&aka
bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.
juga benar,
*on!oh Soal Penggunaan Induksi 6a!ema!ika Buktikan baha untuk setiap bilangan asli n berlaku f(n) + ; % 1 % ; 1 ; $ 1
1 n (n 1 ) + n (n 1 )(n 1 %).
5aaban angkah f() + ; % + %
&aka pernyataan tersebut bernilai benar untuk n + . angkah % &isalkan pernyataan tersebut bernilai benar untuk n + k, yaitu f(k) + ; % 1 % ; 1 ; $ 1
1 k (k 1 ) +
. (persamaan )
&aka akan kita buktikan baha pernyataan tersebut 2uga benar untuk n + k 1 , yaitu f(k 1 ) + ; % 1 % ; 1 ; $ 1 (persamaan %)
1 k (k 1 ) 1 (k 1 )(k 1 %) +
#ari persamaan tadi, kita tambahkan (k 1 )(k 1 %) pada kedua ruas, yaitu ;%1%;1;$1
1 k (k 1 ) 1 (k 1 )(k 1 %) +
1 (k 1 )(k 1 %)
Persamaan terakhir ini sama dengan persamaan % di atas. #engan demikian, kita telah membuktikan baha pernyataan tersebut bernilai benar untuk setiap bilangan asli n, dengan menggunakan induksi matematika.
