TUGAS KULIAH FUNGSI Tao dan Sigma

FUNGSI Tao dan Sigma
FUNGSI τ Dan ơ

Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki bilangan-bilangan bulat dapat
didefinisikan fungsi-fungsi tertentu yang mempunyai peranan penting dalam
Teori Bilangan. Fungsi-fungsi khusus tersebut sering disebut fungsi
aritmetik (fungsi teori bilangan). Pada umumnya fungsi aritmetik
didefinisikan/mempunyai daerah asal pada himpunan semua bilangan bulat
positif.
Apabila f suatu fungsi aritmetik,maka : f : B B dengan
B adalah himpunan semua bilangan bulat
B adalah himpunan semua bilangan bulat positif.
Berikut ini akan dibahas fungsi τ (tan) dan fungsi ơ (sigma)
A. Fungsi τ (tan)

Definisi 4.2
Misalkan n suatu bilangan bulat positif τ (n) menyatakan banyaknya pembagi
bulat positif dari n.
Contoh :
1) Pembagi-pembagi bulat positif dari 12 adalah 1,2,3,4,6,dan 12,maka
T (12) = 6
2) Pembagi-pembagi bulat positif dari 15 adalah 1,3,5,dan 15,maka T
(15) = 4
3) Pembagi-pembagi bulat positif dari 13 adalah 1 dan 13,maka T (13) =
2
4) Periksalah bahwa τ (1) = 1, τ (2) = 2, τ (3) = 2, τ (4) = 3, τ (5)
= 2, τ (6) = 4, τ (8) = 4,
Apabila p suatu bilangan prima, maka τ (p) = 2

τ (n) yaitu banyaknya pembagi bulat positif dari n sering dinyatakandengan
rumus yang menggunakan notasi (sigma). Berikut ini beberapa contoh
definisi notasi .

Contoh :
1) n = a1 + a2+ a3 + a4 + a5

2) = 2 + 3 + 4 + 5 + 6

3) = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

4) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12,yaitu jumlah semua pembagi bulat positif
dari 12

5) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, yaitu banyaknya pembagi bulat positif
dari 12

6) = f(1) + f(2) + f(3) + f(6) + f(9) + f(18)

Dari beberapa contoh pemakaian notasi tersebut, τ (n) dapat dirumuskan
sebagai berikut :
τ (n) = untuk n 1
Jadi τ(n) merupakan penjumlahan dari 1 sebnyak pembagi bulat positif dari
n.
Contoh :
1) Semua pembagi bulat positif dari 32 adalah 1,2,4,8,16 dan 32,maka
= 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 = 6
2) Semua pembagi bulat positif dari 48 adalah
1,2,3,4,5,6,8,12,16,24,dan 48,maka
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10
3) Periksalah bahwa = 1, = 1 + 1 = 2, = 1 + 1 + 1 = 3, 1 + 1+ 1 + 1
= 4,
Jika p suatu bilangan prima,maka = 1 + 1 = 2

Dari uraian dan contoh-contoh di atas dapat dipahami bahwa apabila p suatu
bilangan prima,maka pembagi-pembagi bulat positifnya hanyalah 1 dan p
saja,sehingga τ(p) = 2
Pembagi-pembagi bulat positif dari p2adalah 1,p dan p2 sehingga τ(p2) = =
1 + 1 + 1 = 3
Periksalah bahwa τ(p3) = 4, τ (p4) = 5, τ(p5) = 6. Nampak bahwa jika k
suatu bilangan bulat positif,maka τ(pk) = k + 1. Ingat bahwa p disini
adalah suatu bilangan prima.

Contoh :
1) 64 = 26, maka τ (64) = τ(26) = 6 + 1 = 7
Periksalah dengan mencacah semua pembagibulat positif dari 64
2) τ(243) = τ(35) = 5 + 1 = 6
3) Periksalah bahwa τ(32) = 6, τ(16) = 5, τ (81) = 5,
τ(125) = 4 dan τ (2401) = 5,

Sekarang,apabila p1 dan p2keduanya adalah bilangan prima dan n = p1p2, maka
pembagi-pembagi bulat positif dari n adalah 1,p1p2 dan p1p2 = n sehingga
τ(n) = 4.
Jika m = p1p2, maka pembagi-pembagi bulat positif m dapat disusun sebagai
berikut :
1 , p2 , p22, p23
P1, p1p2, p1p22, p1p23
P12, p12p2, p12p22, p12p23= m
Nampak pada daftar ini bahwa τ(p12p23) = 3 x 4 = 12
Contoh :
1) τ(144) = τ(24 . 32) = 5 x 3 = 15
2) τ(1323) = τ (33 . 72) = 4 x 3 = 12
3) Periksalah bahwa τ(675) = 12, τ (784) = 15

Dapatkah anda membuktikan bahwa apabila n = pkqt dengan p dan q bilangan-
bilangan prima yang berlainan dan k,t adalah bilangan-bilangan bulat
positif, maka : τ(n) = τ(pkpt) = (k + 1) (t + 1)
Bukti :
Semua pembagi bulat positif dari n = pkptdapat disusun daftar sebagai
berikut :
1, p, p2, p3, …., pk
q, pq, p2q, p3q, …., pkq
q2, pq2, p2q2, p3q2, ….., pkq2
………………………………………….
q2, pq2, p2q2, p3q2, ….., pkqt= n

Nampak pada daftar tersebut bahwa :
τ (n) = τ(pkqt) = (k + 1) (t + 1)

Kita telah mengetahui teorema dasar aritmatika,yaitu bahwa setiap bilangan
bulat positif yang lebih besar dari 1 dapat difaktorkan secara tunggal atas
factor-faktor prima.
Missal: 72 = 23 . 32, 300 = 22 . 3 . 52
Setiap bilangan bulat positif n 1 untuk setiap i =1,2,3,…k

Teorema 4.9
Apabila bentuk kanonik dari bilangan bulat n adalah
p1a3,p232,p3a3,….pkak,maka:
τ (n) = (a1 + 1) (a2 + 1) (a3 + 1) … (ak + 1)
Bukti :
Apabila d suatu pembagi bulat positif dari n,maka :
d = p1t1,p2t2,….pktk dengan 0 t1 a1
maka banyaknya pembagi bulat positif dari n merupakan hasil kali banyaknya
pilihan yang mungkin untuk ti dari (ai + 1) pilihan. Sehingga diperoleh
τ(n) = (a1 + 1) (a2+ 1) (a3 + 1) … (ak + 1)
Rumus τ(n) tersebut sering dinyatakan dengan notasi П (pi). Berikut ini
diberikan definisi contoh pemakaian notasi П

Contoh :
1) di = d1 . d2 . d3 . d4 . d5
2) f(n) = f(1) . f(2) . f(3) . f(4)
3) (di + 1) = (d1 + 1) (d2 + 1) (d3 + 1) … (dn + 1)

Teorema 4.9 atas dituliskan dengan notasi π sebagai berikut:
Apabila n = p1a1 p2a2 …. Pkak = piai, maka

τ ( n) = (ai+ 1)

Contoh :
1) 1260 = 22 . 32 . 5 . 7,maka
τ (1260) = t (22. 32 . 5 . 7) = (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 36
2) 33.075 = 33 . 52 . 72, maka
τ (33 . 52. 72) = (3 + 1) (2 + 1) (2 + 1) = 36
3) Periksalahbahwa τ (2310) = 10, τ(210) = 8, τ(1.156) = 9
Sekarang kita akan memperhatikan hasilkali pembagi-pembagi bulat positif
dari suatu bilangan bulat positif n.
Contoh :
1) Pembagi-pembagi bulat positif dari 12 adalah 1,2,4,6 dan 12. τ(12)
= 6
Hasilkan semua pembagi bulat positif dari 12 ditulis dengan notasi K (12)
maka :
K(12) = 1 . 2 .3 . 4 . 6 . 12
= (1 . 12) (2 .6) (3 . 4)
= 12 . 12 .12
= (12)3
2) Semua pembagi bulat positif dari 28 adalah 1,2,4,7,14 dan 28. τ(28)
= 6
Hasil kali semua pembagi bulat positif dari 28 adalah :
K(28) = 1 . 2 . 4 . 7 . 14 . 28
= (1 . 12) (2 . 14) (4 . 7)
= 28 . 28 . 28
= (28)3
3) Periksalah bahwa K(2) = 2, K(5) = 5, K(9) = 27, K(18) = 183, K(24)
= 243, K(32) = 323
Jika p suatu bilangan prima,maka K(p) = p, K(p2) = p3, K(p3) = p6, K(p4) =
p10 dan K(pt) = p1/2 t(t + 1)

Teorema 4.10
Apabila n suatu bilangan bulat positif,maka hasilkan semua pembagi bulat
positif dari n adalah
K(n) = n1/2 τ(n)

Bukti :
Misalkan d adalah suatu pembagi bulat positif dari n, maka ada d1 (yaitu
pembagi bulat positif dari n pula)sedemikian hingga dd1 = n.hal ini mungkin
saja terjadi bahwa d = d1,yaitu jika n suatu kuadrat sempurna.
Karena banyaknya pembagi bulat positif dari n adalah τ(n),dengan mengalikan
setiap pembagi dari n (misalnya d) dengan pembagi pasangannya (misalnya d1)
sedemikian hingga dd1 = n,maka akan diperoleh bahwa hasil kali semua
pembagi bulat positif dari n adalah : K(n) = n1/2 τ(n)
Notasi lain dari K (n) adalah d

B. Fungsi ơ (sigma)
Apabila τ(n) menyatakan banyaknya pembagi bulat positif dari n, maka ơ(n)
menyatakan jumlah semua pembagi bulat positif dari n.
Definisi 4.3
Apabila n suatu bilangan bulat positif ,maka ơ(n) menyatakan jumlah semua
pembagi bulat positif dari n. dengan menggunakan notasi , ditulis ơ(n) =
Contoh :
1) Semua pembagi bilangan bulat positif dari 12 adalah 1,2,3,4,6 dan
12 maka
Ơ(n) = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 12 = 28
2) Ơ(27) = 1 + 3 + 9 +27 = 40
3) Periksalah bahwa ơ(2) = 3, ơ(3) = 4, ơ(5) = 6, ơ(7) = 8, ơ(11) = 12
Jika p suatu bilangan prima,maka ơ(p) = p + 1,ơ(p2) = 1+ p + p2,ơ(p3) = 1 +
p + p2+ p3 dan
Ơ(pt) = 1 + p + p2+ …+ pt
Mengingat rumus jumlah deret geometri,maka: 1 + p + p2 + p3+…+ pt =
Jadi ơ(pt) = ,jika p suatu bilangan prima dan t suatu bilangan bulat
positif
Contoh :
1) Semua pembagi bulat positif dari 32 adalah 1,2,4,8,16 dan 32,maka
Ơ(32) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63
Ơ(32) = ơ(25) = 20+ 21 + 22 + 23 + 24 + 25= 26 – 1 = 63
2) periksalah bahwa ơ(27) = 40, ơ(49) = 57, ơ(125) = 156, ơ(64) = 127,
ơ(42) = 96, ơ(6) = 12
Apabila p dan q adaLah dua bilangan – bilangan prima yang berbeda dan n =
pq,maka semua pembagi bulat positif dari n adalah 1,p,q dan pq = n,
sehingga :
Ơ(n) = ơ(pq) = 1 + p + q + pq = (1 + p) (1 + q)
Jika m = p2q3 dengan p dan q bilangan-bilangan prima yang berlainan,maka
jumlah semua pembagi bilat positif dari m dapat disusun sebagai berikut :
Ơ(m) = (1 + p + p2 + p3) + (1 + pq + pq2 + pq3) + (p2 + p2q + p2q2+
p2q2)
= (1 + p + p2) (1 + q + q2+ q3)
Ơ(m) = .
Kita dapat menyimpulkan bahwa apabila n = pkqt denganp dan q keduanya
bilangan prima yang berbeda dan k,t bilangan \-bilangan bulat positif.maka
:
Ơ(n) ơ(pkqt) = . = ơ(pk) . ơ(qt)
Analog dengan contoh diatas,buktikanlah pernyataan tersebut :
Contoh :
1) Ơ(15) = ơ(3.5) = ơ(3).ơ(5) = 4 . 6 = 24
Ơ(45) = ơ(32.5) = ơ(32).ơ(5) =13 . 6 = 78
2) Periksalah bahwa ơ(504) = 1560, ơ(784) = 1764,ơ(847) = 1064

Teorema 4.11
Apabila bentuk kanonik dari bilangan bulat positif n = 1a1,maka ơ(n) =
Bukti :
Perhatikan suku-suku dari perkalian (1 + p1 + p12 + p13 + … + p1a1) (1 + p2
+ p22 + p33 + … + p2a2) (1 + p3 + p32+ p33 + … + p3a3) … (1 + pk + pk2 +
pk3 + … + pkak)

Setiap suku dari hasil perkalian ini berbeda satu dengan lainnya dan masing-
masing merupakan pembagian dari n,sehingga :
Ơ(n) = i + pi2 + pi3+ … + piai)
Mengingat rumus jumlah deret geometri,maka
(1 + pi + pi2+ pi3 + … + piai =
Sehingga ơ(n) =
Contoh :
1) Ơ(2130) = ơ(2 . 3 . 5 . 7 . 11) = . . . .
= 3 . 4 . 6 . 8 . 12 = 6912
2) Ơ(5600) = ơ(22 . 52 . 7) = . . = 63 . 31 . 8 =15.624
Perhatikan kembali definisi 4.2 dan definisi 4.3, yaitu jika n suatu
bilangan bulat positif,maka (1) τ(n) = dan (2) ơ(n) =
Pada rumus (2),d menjalani semua pembagi bulat positif dari n. mengingat
merupakan pembagi bulat positif dari n pula, maka rumus (2) dapat ditulis
sebagai :
Ơ(n) =
=
=
Hal ini dikatakan bahwa merupakan jumlah kebalikan dari pembagi-pembagi
bulat positif dari n.
Contoh :
1) Semua pembagi bilangan bulat positif dari 18 adalah 1,2,3,6,9 dan
18. Ơ(18) = 39
Jumlah semua kebalikan pembagi-pembagi dari 18 adalah :
= + + + + +
= = =

Sejarah dan Perkembangan Bilangan Prima
Manusia telah mengenal bilangan prima sejak 6500 sebelum masehi
(S.M.). tulang Ishango yang ditemukan pada tahun 1960 (sekarang disimpan di
Musse d'Histoire Naturelle di Brussels) membuktikan hal tersebut. Tulang
Ishango memiliki 3 baris takik. Salah satu kolomnya memiliki 11, 13, 17 dan
19 takik, yang merupakan bilangan prima antara 10 dan 20.
Sekitar abad 6 S.M., Phythagoras dan kelompoknya telah mempelajari
sifat-sifat bilangan, antara lain : bilangan sempurna (perfect numbers),
bilangan sekawan (amicable numbers), bilangan segi banyak(polygonal
numbers) dan bilangan prima (prime numbers). Selanjutnya, sekitar abad ke
empat SM, Euclides mengembangkan konsep dasar teori bilangan. Beberapa
jenis bilangan khusus akan dikemukakan, namun pengertian pembagi dan
pembagi sejati perlu dikemukakan lebih dahulu.
Pembagi (kadang disebut faktor) dari sebuah bilangan bulat adalah
bilangan yang dapat membagi bilangan itu tanpa adaa sisa. Misalnya pembagi
dari 12 adalah . Pembagi sejati (proper divisors) adalah pembagi sebuah
bilangan yang kurang dari bilangan itu sendiri. Misalnya pembagi sejati
dari 12 adalah . Selanjutnya, beberapa bilangan khusus dikemukakan sebagai
berikut.

1. Bilangan Berlimpah (Abundant Numbers)
Jika sebuah bilangan dengan jumlah pembagi sejatinya lebih dari bilangan
itu sendiri disebut bilangan berlimpah. Misalnya, pembagi sejati 24 adalah
dan 1+2+3+4+6+8+12=36 adalah bilangan berlimpah karena 36>24.

2. Bilangan Berkekurangan (Deficient Numbers)
Jika jumlah pembagi sejati sebuah bilangan kurang dari bilangan itu
sendiri, maka bilangan itu disebut berkekurangan. Misalnya, 16 adalah
bilangan berkekurangan karena jumlah pembagi sejatinya adalah
1+2+4+8=1<16.

3. Bilangan Sempurna (Perfect Numbers)
Sebuah bilangan disebut sempurna apabila jumlah pembaginya sama dengan
bilangan itu sendiri. Misalnya, 6 adalah bilangan sempurna karena pembagi 6
adalah 1,2 dan 3 serta 1+2+3=6.

4. Bilangan Mungil (cute numbers)
Jika sebuah bilangan kuadrat dapat dibagi ke dalam n kuadrat pada paling
banyak dua ukuran berbeda, maka n disebut bilangan mungil. Misalnya 4 dan
10 adalah bilangan mungil.

5. Bilangan Setengah Sempurna (semiperfect numbers)
Sebuah bilangan setengah sempurna apabila sama dengan jumlah sebagian
pembagi sejatinya. Misalnya, misalnya 18 adalah bilangan setengah sempurna
karena pembagi sejati 18 adalah dan 3+6+9=18. Sebuah bilangan setengah
sempurna yang merupakan jumlah dari semua pembagi sejatinya disebut
bilangan sempurna.

6. Bilangan Berbahagia (happy numbers)
Sebuah bilangan yang jumlah kuadrat angka-angkanya pada akhirnya berjumlah
satu disebut bilangan berbahagia. Misalnya 203 adalah bilangan berbahagia,
karena + + =13, + =10, + =1.

7. Bilangan Narsis (narcissistic numbers)
Seorang narsis jika tertarik kepada dirinya sendiri, sebuah bilangan
narsis nampaknya sedikit terpusat pada dirinya juga. Sebuah bilangan narsis
adalah sebuah bilangan yang sama dengan sebuah pernyataan yang menggunakan
angka yang sama. Misalnya 36= 3! 6. Kadang-kadang sebuah bilangan narsis
didefenisikan sebagai bilangan yang sama dengan jumlah angka-angkanya yang
berpangkat tertentu. Lebih khusus, sebuah bilangan dengan n angka sama
dengan jumlah angka-angkanya yang berpangkat tertentu. Lebih khusus, sebuah
bilangan dengan n angka sama dengan jumlah angka-angkanya berpangkat n.
Misalnya, 371 adalah bilangan narsis karena 371= dan 9474 juga bilangan
narsis karena

8. Bilangan Palindrom (palindromic numbers)
Sebuah polindrom adalah kata yang sama baik dibaca dari kiri maupun kanan,
misalnya noon atau kayak. Bilangan polindrom, seperti 88 dan 1640461
mempunyai angka yang sama baik dibaca dari kiri maupun dari kanan.

9. Bilangan bersahabat (amicable numbers)
Dua bilangan disebut bersahabat apabila jumlah pembagi sejati bilangan
pertama sama dengan bilangan kedua dan juga sebaliknya jumlah pembagi
sejati bilangan kedua sama dengan bilangan pertama. Misalnya, 2620 dan 2924
adalah dua bilangan bersahabat. Pembagi sejati 2620 adalah yang jumlahnya
.
Selanjutnya, kita memeriksa pembagi sejati 2924, yaitu dan jumlahnya .
Dengan demikian, kedua bilangan itu bersahabat.

10. Bilangan Sosial (sociable numbers)
Bilangan sosial seperti bilangan bersahabat, tetapi bilangan sosial dalam
kelompok yang lebih besar. Pembagi sejati dari bilangan pertama dalam
sebuah kelompok jumlahnya sama dengan bilangan kedua, pembagi sejati
bilangan kedua jumlahnya sama dengan bilangan ketiga, dan seterusnya.
Pembagi sejati bilangan terakhir dalam kelompok jumlahnya sama dengan
bilangan pertama. Bilangan sosial cenderung besar, sehingga sulit
didapatkan tanpa menggunakan komputer. Satu contoh kelompok bilangan sosial
adalah 12496, 14288, 15472, 14536 dan 14264.

11. Bilangan Berpola (figurate numbers)
Bilangan dari titik dalam sebuah susunan titik-titik yang berjarak sama
disebut bilangan berpola. Misalnya:
Titik-titik dapat disusun dalam dimensi satu, dua, tiga atau lebih. Ada
banyak jenis bilangan berpola, misalnya bilangan polygon (polygonal
numbers) dan bilangan tetrahedral (tetrahedral numbers).

12. Bilangan Poligon (polygonal numbers)
Sebuah bilangan poligon adalah bilangan titik yang berjarak sama diperlukan
untuk menggambar sebuah bilangan berpola. Barisan bilangan poligon
berdasarkan pada poligon tersarang. Contohnya:
Terdapat banyak jenis berbeda dari bilangan poligon, mulai dengan bilangan
kuadrat dan bilangan segitiga.

13. Bilangan Kuadrat (square numbers)
Bilangan kuadrat adalah hasil perkalian sebuah bilangan dengan dirinya
sendiri. Ini adalah sama dengan kuadrat sempurna (perfect squares): =1, =4,
=9 dan seterusnya. Kuadrat dari 5 adalah 25 dan bekerja dari belakang, kita
mengatakan bahwa akar kuadrat dari 25 adalah 5. Beberapa gambar bilangan
kuadrat diberikan sebagai berikut.

14. Bilangan Kubik (cube numbers)
Bilangan kubik adalah hasil dari perkalian sebuah bilangan dengan dirinya
sendiri dua kali : =1, =8, =27 dan seterusnya. Kubik dari 4 adalah 64 dn
bekerja dari belakang, kita mengatakan bahwa akar pangkat tiga dari 64
adalah 4. Jika kita menggunakan balok bentuk kubik (kubus) untuk membangun
sebuah kubik lebih besar, banyaknya balok yang diperlukan adalah sebuah
bilangan kubik. Misalnya, kita akan membangun kubik 10 cm dengan
menggunakan kubik 1 cm kita membutuhkan 1000 kubik.

15. Bilangan Tetrahedral (tetrahedral numbers)
Bilangan tetrahedral adalah satu jenis bilangan berpola yang diperoleh
dengan menghitung banyaknya titik berjarak sama yang diperlukan untuk
membangun sebuah tetrahedron. Tetrahedron adalah piramid dengan dasar
segitiga.

16. Bilangan Segitiga (triangular numbers)
Sebuah bilangan segitiga adalah banyaknya titik yang diperlukan untuk
menggambar sebuah segitiga. Ini adalah satu jenis bilangan berpola.
Beberapa gambar bilangan segitiga yang pertama diberikan sebagai berikut:

Rumus bilangan segitiga ke-n adalah T(n)=n(n+1)/2.

17. Bilangan Aneh (weird numbers)
Sebuah bilangan aneh (tidak wajar) apabila berlimpah tetapi tidak setengah
sempurna, misalnya 70 adalah bilangan aneh. Pembagi sejati 70 adalah dan ,
tetapi 70 tidak sama dengan jumlah beberapa pembagi sejatinya.

Sebelum komputer ditemukan, perkembangan penemuan bilangan prima masih
lambat karena orang belum merasakan manfaatnya. Meski pun sedikit sekali
manfaat yang diketahui, namun di awal masehi orang-orang tetap mencari dan
membuktikan bahwa suatu bilangan merupakan bilangan prima.
Bilangan prima disebut oleh Nicomachus, Theon dan Lamblichus sebagai
"bilangan prima dan tidak komposit". Theon mendefenisikan hampir sama
dengan yang didefenisikan oleh Euclid, yaitu "bilangan yang tidak
dihasilkan oleh sebarang bilangan, melainkan oleh hanya satu satuan saja".
Satuan berarti bilangan asli yang bukan bilangan prima dan juga bukan
bilangan komposit. Aristotheles juga mengatakan bahwa bilangan prima tidak
dihasilkan oleh sebarang bilangan, sebuah satuan bukan merupakan bilangan,
tetapi hanya permulaan bilangan (Theon dari Smyrna mengatakan hal yang
sama). Menurut Nicomachus, bilangan prima adalah sebuah subbagian, bukan
dari sembarang bilangan melainkan dari bilangan yang ganjil, yaitu
"bilangan ganjil yang tidak berlaku untuk bagian yang lain kecuali bagian
yang disebutkan setelah nama bilangan iu sendiri". Bilangan prima adalah 3,
5, 7 dan seterusnya. Dan tidak ada subkelipatan dari 3 kecuali 1/3, tidak
ada subkelipatan dari 11 kecuali 1/11 dan seterusnya.
Dalam kasus ini satu-satunya subkelipatan tersebut adalah satuan.
Menurut Nicomachus, 3 adalah bilangan prima yang pertama sedangkan
Aristotheles menganggap 2 sebagian bilangan prima: (2 adalah satu-satunya
bilangan genap yang prima), hal ini menunjukkan bahwa perbedaan doktrin
phytagorean lebih awal dari Euclid. Angka 2 juga memperkuat defenisi Euclid
terhadap bilangan prima. Lamblichus menjadikan ini sebagai dasar serangan
lain terhadap Euclid. Argumentasinya adalah bahwa 2 adalah satu-satunya
angka genap yang tidak memiliki bagian kecuali sebuah satuan. Namun,
sebelumnya dijelaskan bahwa genap kali genap, ganjil kali ganjil dan ganjil
kali genap, semuanya tidak termasuk sifat bilangan prima. Telah dijelaskan
bahwa kemungkinan besar 2 adalah bilangan genap dan ganjil, yang dihasilkan
dengan mengalikan 2 terhadap bilangan ganjil yakni satuan tersebut,
sehingga 2 dianggap sebagai batas atas subbagian bilangan genap, yang bukan
termasuk bilangan prima. Theon memandang 2 dalam anggapan yang sama, tetapi
mendukungnya dengan lingkaran yang nyata. Bilangan prima menurutnya, juga
disebut ganjil-kali-ganjil, sehingga hanya bilangan ganjil yang prima dan
tidak komposit. Bilangan genap tidak dihasilkan oleh hanya satu satuan,
kecuali 2, sehingga terlihat ganjil tetapi tidak prima.
Terdapat beragam nama yang digunakan terhadap bilangan prima. Kita
telah memperhatikan penandaan yang aneh terhadapnya yaitu ganjil kali
ganjil. Menurut Lamblichus, beberapa orang menyebutnya euthimetric dan
thimaridas rectilinier, dengan dasar bahwa ia hanya dapat ditemukan dalam
satu dimensi tanpa luasan. Aspek yang sama dari bilangan prima juga
dinyatakan oleh Aristotheles, yang membedakan bilangan komposit dengan
bilangan prima yang hanya memiliki satu dimensi. Theon dari Smyrna
memberikan linear sebagai nama alternatif dari rectilinear. Dalam kedua
kasus, untuk membuat deskripsi yang pas terhadap bilangan prima, kita harus
memahami kata hanya, "bilangan prima adalah bilangan yang hanya linear atau
rectilinear". Bagi Nicomachus, yang menggunakan bentuk linear, dengan jelas
mengatakan bahwa semua bilangan juga begitu, yakni dapat dipresentasikan
oleh titik-titik linear untuk jumlah yang dibutuhkan dan ditetapkan pada
seruas garis.
Bilangan prima disebut prima atau pertama,menurut nicomachus,karena
hanya dapat diperoleh dengan meletakkan sejumlah satuan tertentu
bersama,dan satuan tersebut adalah permukaan dari bilangan.Menurut
lamblichus,karena tidak ada bilangan sebelumnya,bilangan prima menjadi
kumpulan satuan yang merupakan kelipatan dan muncul pertama sebagiaan basis
yang bilangan yang lain yang menjadi kelipatannya.Berdassarkan berbagai
pernyataan tersebut,bilangan prima dapat didefinisikanberikut.
"Bilangan bulat p>1 disebut bilangan prima bilamana tidak ada bilangan
pembagi d terhadap p yang memenuhi syarat 1 lain,bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu dan
bilangan itu sendiri.Sebuah bilangan bulat p>1 yang bukan bilangan prima
disebut bilangan komposit(tersusun)".
Sebagian contoh,2, 3, 5dan 7 adalah bilangan prima, sedangkan 4, 6, 8
dan 9 adalah bilangan komposit. Perlu diperhatikan bahwa 1 bukan bilangan
primaa dan bukan pula bilangan composit, sehingga 1 disebut satuan. Jadi,
himpunan semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terbagi dalam 3
himpunan bagian yang saling lepas, yaitu:
1) Himpunan bilangan prima
2) Himpunan bilangan komposit
3) Himpunan bilangan satuan.

B. Rumus Bilangan Prima
Selama berabad-abad, banyak matematikawan telah mencoba untuk mencari
rumusan yang dapat digunakan dalam menentukan bilangan prima. Semua
bilangan prima yang lebih besar dari 2 jelas merupakan bilangan gasal
(ganjil) sehingga orang percaya bahwa untuk suatu bilangan prima p, -1 juga
merupakan bilangan prima. Persamaan ini sama halnya dengan persamaan yang
diungkapkan oleh Mersenne, yakni rumus: = -1, n>1. Namun, hal tersebut
kemudian terbukti tidak benar. Pada tahun 1536, Regius membuktikan bahwa
bilangan -1=2047=23 89, bukan bilangan prima.
Cara yang paling sederhana untuk mencari bilangan prima adalah dengan
menggunakan metode saringan Eratosthenes (Sieve of Eratosthenes), sebuah
karya dari Eratosthenes (240 SM), seorang ilmuwan Yunani Kuno. Cara ini
yang paling sederhana dan paling cepat untuk menemukan bilangan prima,
sebelum saringan Atkin ditemukan pada tahun 2004. Saringan Atkin merupakan
cara yang lebih cepat namun lebih rumit dibandingkan dengan saringan
Eratosthenes.
Misalkan, kita hendak menemukan semua bilangan prima di antara 1
sampai bilangan bulat 50. Peragaaun saringan Eratosthenes untuk membuat
daftar bilangan kurang dari atau sama dengan 50 dilakukan sebagai berikut:
1. Membuat daftar bilangan mulai dari 1 sampai dengan 50,
2. Mencoret bilangan 1 dari daftar bilangan tersebut,
3. Membiarkan bilangan 2 dan mencoret semua bilangan kelipatan 2,
7. Membiarkan semua bilangan yang belum dicoret,
8. Melihat hasil bilangan yang dibiarkan dan tidak dicoret.
9. Mendaftar semua bilangan prima yang kurang dari 50, yaitu 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 dan 47.
(catatan: beberapa bilangan mendapat pencoretan lebih dari sekali)

"1 "2 "3 "4 "
"P1, "P1P2, "P1 ,, "P1 "
", "P2, ", "= m "

Terlihat pada daftar ini bahwa (m) = ( ) = 3 4 = 12.

Contoh 6.11
Tentukan (648), (675), dan (6125)!
Penyelesaian :
a) (648) = (23 34) = (3 + 1) (4 + 1) = 20
b) (675) = (33 52) = (3 + 1) (2 + 1) = 12
c) (6125) = (53 72) = (3 + 1) (2 + 1) = 12

1) Teorema 6. 13
Apabila n = pkqt dengan p dan q bilangan-bilangan prima yang berlainan dan
k, t adalah bilangan-bilangan bulat positif, maka (pkqt) = (k + 1) (t +
1).
Bukti:
Semua pembagi bulat positif dari n = pkqt dapat di susun daftar sebagai
berikut:
1, p, p2, p3, … pk
q, pq, p2q, p3q, … pkq q2,
pq2, p2q2, p3q2, … pkq2
. . . . … .
. . . . … .
. . . . … .
qt, pqt, p2q2, p3qt, … pkqt = n

Terlihat pada daftar tersebut bahwa:
(n) = (pkqt) =(k + 1) (t + 1).
Pada teorema dasar aritmetika, telah dijelaskan bahwa setiap bilangan bulat
positif yang lebih besar dari 1 (n ) dapat difaktorkan secara tunggal atas
faktor-faktor prima. Selanjutnya, n dapat ditulis dalam bentuk kanonik
sebagai n = … dengan Pi untuk i = 1, 2,…, k adalah bilangan –bilangan
prima yang berlainan dan ai 1 untuk setiap i = 1, 2, 3,…, k. Bila telah
diperoleh bentuk kanonik dari suatu bilangan bulat positif, maka dapat
ditentukan banyaknya pembagi bulat positif dari n yaitu (n) yang
dijelaskan dalam teorema berikut.

2) Teorema 6.14
Apabila bentuk kanonik dari bilangan bulat positif n adalah
… maka (n) = (a1 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)…(ak + 1).

Bukti:
Apabila d suatu pembagi bulat positif dari n, maka d = P1 P2 P3,…Pk dengan
0 t1 ai. Banyaknya pembagi bulat positif dari n merupakan hasil kali
banyaknya pilihan, sehingga diperoleh (n) = (a1 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)…(ak +
1).

Rumus (n) tersebut sering dinyatakan dengan notasi (baca; pil). Contoh
pemakaian notasi diberikan sebagai berikut.

Contoh 6.12
a) = P1 P2 P3 P4 P5.
b)
c)
d) ai = …
e)

Contoh 6.13
Tentukan (2205), (9450), dan (25200)!

Penyelesaian:
a) 2205 = 32 5 72
(2205) = (32 5 72) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 18
b) 9450 = 2 33 52
(9450) = (2 33 52 ) = (1 + 1)(3 + 1)(2 + 1) (1 + 1) = 48
c) 25200 = 24 32 52 7
(25200) = (24 32 52 7) = (4 + 1)(2 + 1)(2 + 1) (1 + 1) = 90

Contoh berikut memperlihatkan hasilkali pembagi-pembagi bulat positif dari
suatu bilangan bulat positif n.

Contoh 6.14
Tentukan hasil kali semua pembagi bulat positif dari 24 dan 56!

Penyelesaian:
a) Pembagi bulat positif dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8,
12, dan 24, sehingga (24) = 8
Hasilkali semua pembagi bulat positif dari 24 ditulis dengan notasi K(24)
yaitu:
K(24) = 1
= (1 )(2 )(3 )(4 )
= 24
= 244
b) Semua pembagi bulat positif dari 56 adalah 1, 2, 4, 7,
8, 14, 28, dan 56, sehingga (56) = 8
Hasilkali semua pembagi bulat positif dari 56 adalah:
K(56) = 1
= (1 )(2 )(4 )(7 )
= 56
= 564
Kita dapat memriksa bahwa K(2) = 2, K(3) = 3, K(5) = 5, K(7) = 7, dan
seterusnya. Jadi jika p suatu bilangan orima, maka K(p) = p, K(p2) = p3,
K(p3) = p6, K(p4) = p10 dan K(pt) = p1/2t(t + 1)

3) Teorema 6.15
Apabila n suatu bilangan bulat positif, hasilkali semua pembagi bulat
positif dari n adalah K(n) = atau dapat ditulis =
Bukti:
Misalkan d adalah suatu pembagi bulat positif dari n, ada d' (yaitu pembagi
bulat positif dari n pula) sedemikian sehingga dd' = n. hal ini mungkin
saja terjadi bahwa d = d', yaitu jika n suatu kuadrat sempurna.
Karena banyaknya pembagi bulat positif dari n adalah (n), dengan
mengalikan setiap pembagi dari n (misalnya d) dengan membagi pasangannya
(misalnya d') sedemikian sehingga dd'= n, maka akan diperoleh bahwa
hasilkali semua pembagi bulat positif dari n adalah =

2. Fungsi Sigma( )
Pada bagaian sebelumnya telah dibahas mengenai fungsi tau yang
menyatakan banyaknya pembagi bulat positif dari n,Pada bagian ini dibahas
mengenai fungi sigma yang menyatakan jumlah semua pembagi buat positif
dari n.
Defenisi 6.4
Jika n suatu bilangan bulat positif,maka menyatakan jumlah semua pembagi
bulat positif darin,yakni
Contoh 6.14
Tentukan ,
Penyelesaian:
a) Pembagi buat positif dari 30 adalah 1,2,3,5,6,10,15,30,
sehingga
b) Pembagi bulat positif dari 42 adalah 1,2,3,6,7,14,21, dan 42
sehingga
c) Pembagi bulat positif dari 48 adalah 1,2,3,4,6,8,12,16,24 dan 48
sehingga

Contoh 6.15
Tentukan
Penyelesaian:
a. Pembagi bulat positif dari 2 adalah 1 dan 2 sehingga
b. Pembagi bulat positif dari 3 adalah 1 dan 3 sehingga
c. Pembagi bulat positif dari 5 sehingga
d. Dengancara yang sama ,

Contoh 6.15 menunjukan bahwa jika p suatu bilangan prima, maka )=1+p+p²+p³
dan .
Rumus dapat di bentuk dngan mengigat rumus jumlah deret geometri .
karena itu, perlu dijelaskan mengenai deret geoetri sebagai berikut.
Diketahui suatu barisan geometri a, ar, ar², ar³,….
Apabila suku-sukunya jumlahkan diperoleh = untuk r<1 atau
untuk r rumus jumlah deret geometri, diperoleh
jadi,jika p suatu bilangan prima dan t suatu bilangan bulat positif, maka

Contoh6.16
Tentukan
Penyelesaian :
a) Pembagi bulat positif dari 6 adalah 1,2,3, dan 6 sehingga
b) Pembagi bulat positif dari 64 adalah 1,2,4,,8,16,32, dan64
sehingga 127. Atau =127
c) Pembagi bulat positif dari 125 adalah 1,5,25, dan 125 sehingga =156
d) Pembagi bulat positif dari 243 adalah 1,3,9,27,81 dan 243 sehingga

Apabila p dan q adalah dua bilangan prima yang berbeda dan n =pq, maka
semua pembagi semua positif dari n adalah 1, jika m= dengan p dan q dua
bilangan prima yang berlainan, maka jumlah semua pembagi bulat positif
dari m dapat di susun sebagai berikut ;
+(p+pq+pq²+pq³)+(p²+p²q+p²q²+p²q³)
= (1+p+p²)(1+q+q²+q³)
=
jika apabila n= dengan p dan q keduanya bilangan prima yang berbeda serta
k dan t bilangan bulat positif, maka ;
Contoh 6.17
Tentukanlah
Penyelesaian :
a.
b.
c.
d. ( ) (31)(57)=1767
e. )=(8)(133)=1064

Teorema 6.16
Jika bentuk kanonik dari bilangan bulat positif n adalah
maka
Bukti :
Setiap suku dari perkalian (1+p+ + +….+ ) ) dengan yang lainnya
dan masing – masing merupakan pembagiaan darian n, sehingga
Berdasarkan rumus jumlah deret geometri , maka
1+
Sehingga
Contoh 6.18
Tentukan
Penyelesaian :
a. =96
b.
c.
=

Pada pembahasan sebelumnya, telah dijelaskan mengenai definisi di mana d
merupakan semua pembagi bulat positif dari n . karena pembagi bulat
positif dari n pula, maka rumus dapat juga ditulis dalam bentuk :

Rumus merupakan jumlah kebalikan dari pembagi – pembagi bulat positif
dari n.

Contoh 6.19
Tentukan
Penyelesaian:
a. Semua pembagi bulat positif dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12
sehingga
Jumlah semua dari kebalikan pembagi dari 12 adalah:
b. Semua pembagi bulat positif dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9 dan 18,
sehingga
Jumlah semua kebalikan pembagi dari 18 adalah:
c. Semua pembagi bulat positif dari 5 adalah 1 dan 5 sehingga
d. Semua pembagi bulat positif dari 7 adalah 1 dan 7, sehingga
Jumlah semua dari kebalikan pembagi dari 7 adalah:
e. Semua pembagi bulat positif dari 11 adalah 1 dan 11, sehingga
Jumlah semua kebalikan pembagi dari 1adalah:
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Rumus Teori Bilangan Prima, Rumus atau formula itu antara lain:
f(n)= -n+41, untuk n N
f(n)= -79n+1601
f(n)= +1
Bilangan prima Sophie Germain. Sebuah bilangan prima p disebut
bilangan prima Sophie Germain bila 2p+1 juga bilangan prima. Misalnya, 23
adalah bilangan prima Sophie Germain karena 2 23+1=47 juga bilangan prima.
Bilangan ini diberi nama sesuai nama matematikawan Perancis Marie Sophie
Germain.
Bilangan prima dengan rumus 3+4k, untuk k>0. Tentu, rumus ini gagal
menghasilkan bilangan prima untuk k=3, karena 3+4(3)=15 bukan bilangan
prima.
Teorema kecil Fermat menyatakan jika p adalah bilangan prima, maka
untuk semua bilangan bulat a, =a(mod p). Ini berarti, jika kita mengambil
sembarang bilangan a, kemudian mengalikan dengan dirinya sendiri sebanyak p
kali dan mengurangi a, hasilnya akan habis dibagi dengan p.
2. Teorema bilangan prima
Jika sisa pembagian b oleh a adalah prima relatif dengan a, maka b
juga prima relatif dengan a.
Setiap bilangan bulat n>1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima.
Dengan perkataan lain, jika n dan n adalah bilangan komposit, maka ada
bilangan prima p sehingga p"n
Setiap bilangan bulat n>1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali
bilangan-bilangan prima.
Jika n suatu bilangan komposit, maka n memiliki faktor k dengan 1 .
Jika n N (bilangan asli), maka n mempunyai faktor prima terbesar p
sehingga p .
3. Faktorisasi prima
Jika p suatu bilangan prima dan , a, b Z, maka atau .
Jika p suatu bilangan prima dan maka , untuk 1 .
Jika semua bilangan prima dan , maka p= untuk suatu k dengan 1 .
Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu
atas faktor-faktor prima adalah tunggal, kecuali urutan dari faktor-
faktornya mungkin tidak tunggal.
Banyaknya bilangan prima adalah tidak terhingga
Jika dalam barisan bilangan prima, pn menyatakan bilangan prima ke-
n, maka pn
Untuk n 1 ada paling sedikit n + 1 buah bilangan prima yang lebih
kecil dari
4. Fungsi Tau ( ) dan Fungsi Sigma ( )
Fungsi tau yang menyatakan banyaknya pembagi bulat positif dari n dan
fungi sigma yang menyatakan jumlah semua pembagi buat positif dari n.

Induksi matematika merupakan suatu metode pembuktian dalam matematika untuk
menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli.
Sebagai contoh, apakah ? berlaku untuk semua bilangan asli n?
Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan induksi matematika.

Langkah-langkah Induksi Matematika

Misalkan suatu pernyataan yang dinyatakan berlaku untuk semua
bilangan asli n.
Untuk membuktikan apakah pernyataan ini bernilai benar atau tidak untuk
semua bilangan asli, ada dua langkah yang dilakukan, yaitu:
1. Jika benar, dan
2. Jika benar yang mengakibatkan juga benar,
Maka bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.

Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematika

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:
f(n) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + n (n + 1) = n (n + 1)(n + 2).
Jawaban:
Langkah 1:
f(1) = 1 x 2 = 2

Maka pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = 1.
Langkah 2:
Misalkan pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = k, yaitu:
f(k) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) = . (persamaan 1)
Maka akan kita buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k +
1, yaitu:
f(k + 1) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) =
(persamaan 2)
Dari persamaan 1 tadi, kita tambahkan (k + 1)(k + 2) pada kedua ruas,
yaitu:
1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) = + (k +
1)(k + 2)

Persamaan terakhir ini sama dengan persamaan 2 di atas.
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa pernyataan tersebut bernilai
benar untuk setiap bilangan asli n, dengan menggunakan induksi matematika.

TUGAS KULIAH FUNGSI Tao dan Sigma

Recommend Documents