5ème Année GE Option ISIP
COMMANDE VECTORIELLE DES MACHINES ASYNCHRONES & SYNCHRONES
Rotative demi sphères
Edition 2008
Marcel DUCHAMP 1924
J.M RETIF
Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
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i
Chapitre 1 COMMANDE VECTORIELLE DE LA MACHINE ASYNCHRONE
1.
PASSAGE D’UN REPERE DIPHASE A UN REPERE TRIPHASE..................... TRIPHASE.....................1 1 1.1. Principe. ............................................ ................................................................... .............................................. ..............................................1 .......................1 1.2. Cas particulier de grandeurs sinusoïdales. ............................................. ............................................................. ................ 3 1.3. Expression de la puissance dans le repère de Park ............................................ ................................................ .... 4
2.
MODELISATION DE LA MACHINE ASYNCHRONE. ....................................... .......................................5 5 2.1. Préambule. ............................................ .................................................................... ................................................ ......................................... ................. 5 2.2. Modélisation dans un repère lié au champ tournant. .............................................5 .............................................5 2.3. Représentation d’état. ............................................... ....................................................................... ............................................. .....................6 6 2.4. Représentation de la machine asynchrone dans le repère α β. β. .............................. ..............................7 7
3.
DECOUPLAGE SUR LES AXES D ET Q........................................ Q.............................................................. ........................ .. 8 3.1. Solution 1. ............................................. ..................................................................... ................................................ ......................................... ................. 9 3.1.1. Formulation à 5 paramètres. .............................................. ....................................................................... ......................... 9 3.2. Formulation avec un modèle à 4 paramètres. ................................................. ...................................................... ..... 10 eme 3.3. 2 Solution...................................... Solution.............................................................. ................................................ ........................................... ...................10 10 3.3.1. Formulation avec un modèle à 5 paramètres .............................................. .............................................. 10
4.
COMMANDE VECTORIELLE. ............................................ ................................................................... ................................. .......... 13 4.1. Représentation de la machine dans le repère d,q. ............................................ ................................................ .... 14 4.2. Découplage du système......................... système.................................................. .................................................. ...................................... ............. 15 4.3. Boucles de commande. ........................................... .................................................................. ............................................. ......................16 16
5.
NOTATIONS. ............................................ .................................................................. ............................................. .......................................... ...................18 18
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ii
Chapitre 2 COMMANDE VECTORIELLE DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS
1.
MODELISATION. ............................................. .................................................................... .............................................. ................................ ......... 19 1.1. Structure d’une machine synchrone à aimants permanents (MSAP)................... 19 1.2. Représentation dans un repère diphasé. ............................................. ............................................................... .................. 20 1.3. Equations de Park de la machine. ............................................... ....................................................................... .......................... 20 1.4. Equations d’état de la machine. .............................................. ...................................................................... ............................. ..... 21 1.5. Bond graph dans le repère d,q....................................... d,q............................................................... ....................................... ............... 22 1.6. Equations dans le repère α, β............................ β................................................... ............................................... ............................ .... 23
2.
DECOUPLAGE DES COURANTS ID ET IQ. ............................................ ......................................................... ............. 24
3.
BOUCLES DE COMMANDE..................... COMMANDE. ........................................... .............................................. ...................................... ............... 25
Chapitre 3 COMMANDE VECTORIELLE DE LA MACHINE SYNCHRONE A ROTOR BOBINE
1.
MODELISATION. ............................................. .................................................................... .............................................. ................................ ......... 27 1.1. Equations de Park de la machine .............................................. ..................................................................... ........................... .... 28 1.2. Equations d’état de la machine. .............................................. ...................................................................... ............................. ..... 28
2.
DECOUPLAGE DES COURANTS .............................................. ..................................................................... ........................... .... 30 2.1. Découplage des courants Id et Iq . ............................................. .................................................................... ............................ ..... 30 2.1.1. Contexte technologique. ............................................... ....................................................................... ............................... ....... 32 2.1.2. Boucles de commande. ............................................ ................................................................... .................................... ............. 32 2.2. Découplage du courant inducteur. ............................................... ....................................................................... ........................ 33 2.2.1. Contexte technologique. ............................................... ....................................................................... ............................... ....... 34 2.3. Elaboration des références de courants...................... courants. ............................................. .......................................... .................. 34
3.
COMMANDE DU MOTEUR A COS( )=1................................. )=1........................................................ ............................ ..... 35 3.1. Asservissement des courants aux consignes ............................................. ........................................................ ........... 35 3.2. Commande à facteur de puissance unitaire.................................... unitaire.......................................................... ......................35 35 3.2.1. Principes de la commande de couple à facteur de puissance unitaire.......... 35 3.2.2. Génération des références de courant .............................................. .......................................................... ............ 36
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iii
Chapitre 4 MLI VECTORIELLE
1. 2.
Préambule. ............................................ .................................................................... ............................................... .............................................. ................................. .......... 39 MLI Vectorielle, montage en triangle............................... triangle....................................................... ................................................ ............................ .... 40 2.1. Calcul des temps d’application des états de l’onduleur........................ l’onduleur. ............................................... ........................ 41 2.2. Calcul des rapports cycliques de commutation pour chaque secteur............................ 42 2.3. Calcul des rapports cycliques de commutation pour chaque bras. ............................... ............................... 44 2.4. Tension d’alimentation de l’onduleur............................................ l’onduleur..................................................................... ............................... ...... 46 3. MLI Vectorielle, montage étoile........................................ étoile............................................................... ............................................... ............................ .... 47 3.1. Calcul des temps d’application des états de l’onduleur........................ l’onduleur. ............................................... ........................ 48 3.2. Calcul des rapports cycliques de commutation pour chaque secteur............................ 49 3.3. Calcul des rapports cycliques de commutation pour chaque bras ................................ ................................ 50 3.4. Algorithme de programmation pour le montage étoile......................... étoile. ................................................ ........................ 52 3.5. Tension d’alimentation de l’onduleur............................................ l’onduleur..................................................................... ............................... ...... 55 4. MLI I ntersective ............................................. ..................................................................... ................................................ ............................................. ..................... 56 5. Fonctionnement en pleine onde. .............................................. ...................................................................... ............................................. ..................... 58 5.1. Montage étoile. .............................................. ..................................................................... ............................................... ........................................ ................ 58
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iv
ANNEXE A PASSAGES DES REPERES TRIPHASES A DIPHASES
1.
Transformées de Concordia et de Park. .............................................. ...................................................................... .................................. .......... 59 1.1. Transformation de Concordia. ............................................... ...................................................................... ....................................... ................ 59 1.2. Transformation de PARK ........................................... .................................................................. ............................................. ........................... ..... 60 2. Passages entre le repère triphasé et le repère diphasé............................... diphasé......................................................... ............................ .. 62 2.1. Passage du triphasé vers le repère α−β........................ α−β............................................... .............................................. .......................... ... 62 2 2.1.1. Utilisation de k ............................................ ................................................................... .............................................. .......................... ... 62 3 =
2
. ............................................ ................................................................... ............................................. ...................... 63 3 2.2. Passage du triphasé vers le repère d-q. .............................................. ....................................................................... ........................... .. 64 3. Passages d’un d’un repère diphasé diphasé vers un repére triphasé. .................................................. ......................................................... ....... 65 3.1. Passage des coordonnées α, β vers β vers un système triphasé. ............................................. ............................................. 65 3.2. Passage du repère d-q vers un système triphasé. .................................................. .......................................................... ........ 65 4. Passage diphasé triphasé. ................................................ ......................................................................... ................................................. ............................. ..... 67 4.1. Passages α,β vers α,β vers le repère r epère d-q.................................................. d-q........................................................................... ................................... .......... 67 4.2. Passages Passages d-q vers le repère α,β............................ α,β.................................................. ............................................. .................................. ........... 67 2.1.2.
Utilisation de k
=
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1
Chapitre 1 COMMANDE VECTORIELLE DE LA MACHINE ASYNCHRONE 1.
PASSAGE D’UN REPERE DIPHASE A UN REPERE TRIPHASE . 1.1.
Principe.
Sans rentrer dans des développements complexes, il est facile de comprendre que les équations régissant le fonctionnement des machines alternatives triphasées dépendent des résistances et inductances du stator et du rotor, ainsi que de la mutuelle inductance stator-rotor. Ces mutuelles inductances dépendent de la position relative du rotor par rapport au stator. Afin de simplifier la formulation des équations différentielles régissant la machine il faut opérer à un changement de coordonnées des grandeurs triphasées. Pour rendre la mutuelle inductance constante il est usuel d’utiliser les transformations de Concordia et Park (Cf. Annexe A) Cette transformation permet donc de passer des valeurs des courants, des tensions et des flux des trois bobines du stator (repère ( repère a s , bs , cs ) ainsi que celle ce lle du rotor (repère a r , br , c r ) dans un repère lié au champ tournant (repère dq).
i bs q
v bs d r a
r
i b
V r
i a
r c
V
vcs
θs
ics
r
vas
ias
i c
Figure 1-1 : Représentation de la MAS dans un repère triphasé Repè Repère re lié lié au stat stato or
as , bs , cs
Repère lié lié au rotor tor
a r , br , c r
Repère lié au champ tournant
dq
Dans les bobines du stator (repère ( repère a s , bs , cs ) et du rotor (repère a r , b r , c r ) les courants, les tension tensionss et les flux flux sont sont déter détermin minés és par leurs leurs comp composa osante ntess triphas triphasées ées Xa , X b , Xc . Dans Dans le repèr repèree orthog orthogona onall dq ces ces grand grandeurs eurs triphas triphasées ées seron serontt notées notées Xd , X q . Pour opérer à ce changement de repère nous utiliserons les transformée de Concordia et Park définies dans l’annexe A.
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2 Ainsi nous auront :
⎡xa ⎤ ⎡xd ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ = k ⋅ P23 ⋅ ⎢ x b ⎥ ⎣ q⎦ ⎢⎣ x c ⎥⎦
(1.1)
Nous obtenons pour le passage du repère a, b, c au repère dq la relation matricielle suivante : P23
⎡ ⎛ θ − 2π ⎞ cos ⎛ θ + 2π ⎞ ⎤ x θ cos cos ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎡ a ⎤ ⎢ ⎡ xd ⎤ 3 ⎠ 3 ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎝ ⎥ x b ⎢ x ⎥ = k ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ π π 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎣ q⎦ ⎢ − sin ( θ ) − sin ⎜ θ − 3 ⎟ − sin ⎜ θ + 3 ⎟⎥ ⎟ ⎥ ⎣⎢ x c ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ suuuuuuuuuuuuuuuuuuu u uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu u uuuuuuuuuuuu u t
Pour avoir une relation conservative pour la puissance k =
(1.2)
2
. 3 Ce calcul peut être fait en deux temps, passage des grandeurs triphasées au repère α−β et ensuite calcul dans le repère dq. Dans ce cas nous aurons (cf. Annexe A) : C 23
⎡ 1 1 ⎤ x 1 − − ⎢ ⎥ ⎡ a⎤ ⎡xα ⎤ 2 2 ⎥⋅ ⎢ x b ⎥ Une transformée de Concordia : ⎢ ⎥ = k ⋅ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 3 3⎥ ⎣ xβ ⎦ − ⎥ ⎣⎢ x c ⎥⎦ ⎢0 2 2 ⎦ ⎣ suuuuuuuuuuuuuuuuuu t
R ( θ )
⎡ x d ⎤ ⎡ cos ( θ ) ⎢ x ⎥ = ⎢ − sin θ ( ) ⎣ q⎦ ⎣
sin ( θ ) ⎤ ⎡x α ⎤
suuuu uu uuuuu uuuuuu uu uuuuu uu uuu u t
Une rotation :
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⎥ ⎢
⎥
cos ( θ ) ⎦ ⎣ xβ ⎦
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3
1.2.
Cas particulier de grandeurs sinusoïdales.
Soit trois tensions sinusoïdales triphasées de pulsation ω , considérons maintenant un repère dq tournant à la pulsation ω et dont l’angle de rotation est : θ = ω⋅ t . d q
θ = ω⋅ t
γ
V⋅
3 2
Nous allons considérer que ces trois tensions sont déphasées d’un angle γ conformément à la figure 1-2. Nous allons vérifier vér ifier que dans ce repère lié à la pulsation de la tension les tensions Vd et Vq sont constantes.
Figure 1-2 : Représentation de grandeurs sinusoïdales Exprimons Vd et Vq par l’intermédiaire de la relation (1.2) il vient :
⎡ ⎤ ⎡ ⎛ θ − 2π ⎞ cos⎛ θ + 2π ⎞ ⎤ ⎢ V ⋅ sin(ω.t + γ ) ⎥ ( ) cos cos θ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎡Vd ⎤ 2π 2⎢ 3 ⎠ 3 ⎠ ⎢ ⎝ ⎝ ⎥ ⋅ V ⋅ sin(ω.t − + γ )⎥ ⎢V ⎥ = .⎢ ⎢ ⎥ 2π 2π 3⎢ 3 ⎣ q⎦ − sin (θ) − sin ⎛ θ − ⎞⎟ − sin⎛ θ + ⎞⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎜ ⎥ 4π ⎢⎣ 3 ⎠⎥⎦ ⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ V ⋅ sin(ω.t − + γ )⎥ ⎢⎣ 3 ⎦⎥
(1.3)
En développant cette relation matricielle nous obtenons : Vd
=
3 2
⋅ V ⋅ sin (γ )
Vq = −
3 2
⋅ V ⋅ cos(γ )
(1.4)
Nous pouvons noter que le coefficient coeffici ent utilisé ici pour la transformée de Park affecte dans le plan 2 dq la valeur du module module de la tension. (il aurait fallu choisir k = pour avoir des modules 3 égaux). Réciproquement, pour des tensions ou des courants constants exprimés dans le repère dq, nous voyons, que via la matrice P32 , nous obtenons des grandeurs triphasées sinusoïdales P32
⎡ ⎤ ⎢ cos ( θ ) sin ( θ ) ⎥ − ⎡ Va ( t ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎛ θ − 2π ⎞ − sin ⎛ θ − 2π ⎞ ⎥⋅ ⎡ Vd ⎤ V ( t ) c o s ⋅ = ⎢ b ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥ ⎣ Vq ⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ Vc ( t ) ⎥⎦ ⎢ ⎛ 2π ⎞ ⎛ θ + 2π ⎞ ⎥ cos sin θ + − ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎝ 3 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ 3 ⎠ suuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuut
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(1.5)
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4
1.3.
Expression de la puissance dans le repère de Park
Notons Vs le module des tensions de Vd et Vq soit Vs = A partir de (1.5) nous obtenons Va(t) crête =
La tension efficace effica ce vaudra : Ve
=
2 3
2. V 2 + Vq d
⋅ Vs
Vcrête soit Ve 2
=
Vs 3
(1.6)
De la même manière nous aurons pour le courant efficace dans une phase : I 2 I e = s avec Is = I 2 + Iq d 3 La puissance électrique s’exprimera :
⎛ ⎝
⎞ ⎛ ⎠ ⎝
⎞ ⎠
P = 3.Ve .Ie .cos( ϕ) = ⎜ Vd 2 + Vq 2 ⎟ . ⎜ Id 2 + Iq 2 ⎟ . co cos(ϕ) = Vs ⋅ Is .cos(ϕ)
(1.7)
Nota : Dans la transformée de Concordia un facteur de grandeurs électriques, ici nous avons choisi
2 3
maintient dans le repère dq les modules modules des des
2
pour avoir une conservation de la puissance. 3 En fait ce facteur est arbitraire il faut bien évidemment utiliser le même pour les transformation dire direct ctes es et inve invers rses es (mat (matri rice cess P32 et P23 ).
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2.
MODELISATION DE LA MACHINE ASYNCHRONE . 2.1.
Préambule.
La modélisation de la machine asynchrone dans le repère de Park aboutit, lorsque l’on sépare les régimes électrique et mécanique, à une équation d’état de dimension quatre.
2.2.
Modélisation dans un repère lié au champ tournant.
Dans un référentiel lié au champ tournant, les équations de la machine asynchrone sont les suivantes: Tensions au stator. Vsd
= R s .Isd + Φsd − ωs .Φ sq
(2.1)
Vsq
= R s .Isq + Φsq + ωs .Φ sd
(2.2)
Flux au Stator.
Φsd = Ls .Isd + L m .I rd
(2.3)
Φsq = Ls .Isq + L m .I rq
(2.4)
Tensions au rotor. Vrd
= R r .Ird + Φ rd − ωsl .Φ rq = 0
(2.5)
Vrq
= R r .Irq + Φ rq + ωsl .Φrd = 0
(2.6)
Flux au rotor.
Φ rd = L r .I rd + L m .Isd
(2.7)
Φ rq = L r .I rq + L m .Isq
(2.8)
Couple électromagnétique. L Cem = P ⋅ m Lr
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⋅ ( Φ rd .Isq − Φ rq .Isd )
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(2.9)
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6
2.3.
Représentation d’état.
Nous avons ici ic i à un système multivariable qui peut être représenté par des équations d’état. Des choix multiples sont possibles pour le vecteur d’état, parmi ceux-ci, nous prendrons les composantes du courant statorique et le flux rotorique : X = ⎡ Isd Isq ⎣
t
Φ rd Φ rq ⎤⎦ .
Les équations différentielles peuvent se mettre sous la forme suivante :
⎡ Isd ⎤ ⎡ Isd ⎤ ⎢ ⎥ ⎢I ⎥ I sq ⎢ ⎥ = A. ⎢ sq ⎥ + B. ⎡ Vsd ⎤ ⎢V ⎥ ⎢Φ ⎥ ⎢Φ rd ⎥ ⎣ sq ⎦ ⎢ rd ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣Φ rq ⎥⎦ ⎣⎢Φ rq ⎦⎥
(2.10)
⎡ L 2 .R + L 2 .R ⎢ m r r s ⎢ L 2 .L − L 2 .L ⎢ m r r s ⎢ ⎢ −ωs ⎢ A = ⎢⎢ ⎢ L m .R r ⎢ Lr ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣
ωs
(
Lr 2 .Ls − L m2 .L r
Lm 2 .R r
+ Lr 2 .Rs
Lm 2 .Lr
− L r 2 .Ls
1 ⎡ ⎢ 2 ⎢ Ls − L m ⎢ Lr ⎢ B = ⎢⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣⎢
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Lm .R r
−
L m.R r
L r .Ls − L m2
Lr 2 .Ls − Lm 2 .Lr
−
Lr
L r .Ls − L m2
ωr .L m
0 Lm .R r
)
ωr .Lm
Rr L r
− ( ωs − ωr )
(
ωs − ωr −
Rr Lr
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ Lm 2 ⎥ ⎥ Ls − L r ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎦⎥
)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
(2.11)
0
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(2.12)
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7 2.4.
Représentation de la machine asynchrone dans le repère
.
Dans un repère lié au stator les équations différentielles de la machine asynchrone sont les suivantes : Tensions au stator.
= R s .Isα + Φsα
Vsα
(2.13)
Vsβ = R s .Isβ + Φsβ
(2.14)
Flux au Stator.
Φsα = Ls .Isα + Lm .Ir α
(2.15)
Φsβ = Ls .Isβ + L m .Ir β
(2.16)
Tensions au rotor. Vr α
= R r .Ir α + Φr α + ωr .Φ r β = 0
(2.17)
Vr β
= R r .Ir β + Φ r β − ωr .Φ r α = 0
(2.18)
Flux au rotor.
Φ r α = Lr .Ir α + Lm .Isα
(2.19)
Φ r β = L r .I r β + Lm .Isβ
(2.20)
Couple électromagnétique. L Cem = P ⋅ m Lr
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⋅ ( Φ rα .Isβ − Φ r β .Isα )
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(2.21)
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8 3.
DECOUPLAGE SUR LES AXES d ET q.
Nous pouvons constater au regard des équations (2.1) à (2.8) que le système est couplé, en effet les composantes du vecteur tension Vsd et Vsq influencent simultanément les grandeurs Isd et Isq .
Le rotor de la machine asynchrone n’ayant pas technologiquement un axe privilégié pour le flux rotorique, nous allons placer l’axe de façon à simplifier les équations différentielles régissant son fonctionnement. Ainsi si nous prenons un flux rotorique colinéaire avec l’axe d nous aurons :
Φ rd = Φr Φ rd = 0
(3.1)
Pour contourner le problème du couplage des composantes du courant statorique vis-à-vis des tensions, nous allons, par voie algébrique, transformer ce système multivariable (2 entrées 2 sorties) en deux systèmes monovariables. Exprimons le flux rotorique en définissant comme courant magnétisant Imr
=
Φ r Lm
(3.2)
A partir de la formulation d’état (équations (2.10), (2.11), (2.12)) l’expression de la dérivée du flux rotorique sur l’axe d s’exprime par :
Φ rd = Φ r = R r .
Lm Lr
.Isd
−
R r Lr
.Φ r
⇒ Imr .
L r R r
= Isd sd − Imr
Le courant magnétisant pourra être obtenu par un transfert du premier ordre Imr
=
Isd
(3.3)
1 + Tr .p
A partir des équations (2.1) à (2.8) nous pouvons exprimer les tensions Vsd et Vsq
⎛ ⎛ L2m ⎞ L2m ⎞ Lm Vsd = R s .Isd + ⎜ Ls − .Isd − ωs . ⎜ Ls − .Isq + .Φ rd ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ L L Lr r ⎠ r ⎠ ⎝ ⎝
(3.4)
⎛ ⎛ L2m ⎞ L2m ⎞ Lm Vsq = R s .Isq + ⎜ Ls − .Isq + ωs . ⎜ Ls − .Isd + ωs . .Φ rd ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ L L Lr r ⎠ r ⎠ ⎝ ⎝
(3.5)
Le contrôle des grandeurs électriques de la machine asynchrone passe par l’asservissement de la dynamique des courants statoriques Isd et Isq à l’aide des tensions de commande Vsd et Vsq . Les tensions Vsd et Vsq sont liées aux courants Isd et Isq ainsi qu’à la pulsation ωs . Afin de s’affranchir du couplage naturel entre les axes d et q il faut faire apparaître des termes de découplage qui transformeront ce système multivariable en deux systèmes monovariables. Nous pouvons constater d’après les deux équations différentielles différentielles (3.4) et (3.5) que l’évolution l’évolution du courant Isd dépend de I sq , ωs et Φ rd et le courant I sq est lié aux grandeurs I sd , ωs , Φ rd .
Pour découpler l’évolution des courants Isd et Isq , il faut trouver deux nouvelles entrées, que nous noterons Vsd1 et Vsq1 sq1 , et dont les équations correspondantes fassent appel respectivement aux courants Isd et Isq . Il existe plusieurs manières d’opérer pour satisfaire au découplage des axes d et q, nous présenterons présenterons ici deux solutions. INSA 5GE-ISIP
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9 3.1.
Solution 1. 3.1.1. Formulation à 5 paramètres. paramètres.
En considérant le courant magnétisant (3.2) et (3.3) sachant que le flux est colinéaire avec l’axe d ( Φ rd = Φ r et Φ rd = 0 ), les transformées de Laplace des équations (3.4) et (3.5) donnent :
⎛ ⎛ L2m ⎞ L2m ⎞ Lm 2 .p Vsd = R s .Isd + p.⎜ Ls − .Isd ⎟⎟ .Isd − ωs . ⎜⎜ Ls − ⎟⎟ .Isq + ⎜ L L 1 T .p + r ⎠ r ⎠ r ⎝ ⎝
⎛ ⎛ L2m ⎞ L2m ⎞ Lm2 Vsq = R s .Isq + p.⎜ Ls − .Imr ⎟ Isq + ωs . ⎜⎜ Ls − ⎟⎟ .Isd + ⎜ ⎟ L L L r ⎠ r ⎠ r ⎝ ⎝ Nous mettrons mettrons cette dernière relation sous sous la forme forme : Vsd
(3.6)
(3.7)
= Vsd1 − Femd
Pour les découplages Femd et Femq suivants : Femd
⎛ L2m ⎞ Lm 2 .p.Imr = +ωs . ⎜ Ls − ⎟ .Isq − ⎜ Lr ⎟ Lr ⎝ ⎠
(3.8)
Femq
⎛ L2m ⎞ Lm 2 . Im r = −ωs . ⎜ Ls − ⎟ .Isd − ωs . ⎜ Lr ⎟ Lr ⎝ ⎠
(3.9)
Les équations sur les axes dq sont alors régies par deux équations différentielles de premier ordre.
⎛ L2m ⎞ Vsd1 = R s .Isd + p.⎜ Ls − ⎟ .Isd ⎜ Lr ⎟ ⎝ ⎠
(3.10)
⎛ L2m ⎞ Vsq1 = R s .Isq + p.⎜ Ls − ⎟ .Isq ⎜ Lr ⎟ ⎝ ⎠
(3.11)
Ce qui donne deux fonctions de transfert identiques : Isd Vsd1
=
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Isq Vsq1
=
1
⎛ L2m ⎞ 1 + ⎜1 − ⋅ p ⎜ L r ⋅ Ls ⎟⎟ ⎝ ⎠
⋅
1 R s
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(3.12)
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10 3.2.
Formulation avec un modèle à 4 paramètres.
La matrice d’état de la machine asynchrone est de dimension quatre et possède donc quatre valeurs propres, il existe une infinité de solutions à cinq paramètres donnant les mêmes valeurs propres. Afin de lever cette indétermination, indétermination, nous utiliserons utiliserons une modélisation modélisation à quatre paramètres paramètres en ramenant ramenant l’inductance l’inductance de fuite fuite L f au stator. Dans ce cas nous aurons Lr = L m et Lf = Ls − Lr . Avec cette simplification, les relations (1-19) à (1-23) deviennent : Femd
Isd Vsd1
Femq
Isq Vsq1
p.L m .Imr = +ωs .Lf .Isq − p.L
(3.13)
⎛ ⎞ ⎟ 1 ⎜ 1 = ⎜ ⎟ Lf ⎟ R s ⎜ ⎜ 1 + .p ⎟ ⎝ Rs ⎠
(3.14)
= −ωs .Lf .Isd − ωs .Lm . Im r
(3.15)
⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ 1 ⎜ ⎟ = L R s ⎜ f ⎟ ⎜ 1 + R p ⎟ s ⎠ ⎝
(3.16)
2eme Solution.
3.3.
3.3.1. Formulation avec un un modèle à 5 paramètres paramètres Reprenons les relations (3.4) et (3.5) Vds
Vsq
⎛ ⎛ L2m ⎞ L2m ⎞ Lm .Φ rd = R s .Isd + ⎜ Ls − ⎟ .Isd − ωs . ⎜ Ls − ⎟ .I sq + s d s q ⎜ ⎜ Lr ⎟ Lr ⎟ Lr ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ L2m ⎞ L2m ⎞ Lm = R s .Isq + ⎜ Ls − ⎟ .Isq + ωs . ⎜ Ls − ⎟ .Isd + ωs . .Φ rd ⎜ ⎜ Lr ⎟ Lr ⎟ Lr ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ici, nous allons à partir de la formulation d’état, ((2.10) à (2.12)) expliciter les dérivées des composantes du flux rotorique Φ dr .
Φ dr = Φ r =
Φ qr = 0 =
sachant que Vsd
Lm .R r Lr
Lm .R r Lr
.Isd
.Isq
−
Rr .Φ r Lr
− ( ωs − ωr ) .Φ r ⇒ ωs = ωr +
(3.17)
L m .R r .Isq L r .Φ r
(3.18)
Φ r = L m .I mr , (3.4) devient :
= R s .Isd
⎛ ⎛ L2m ⎞ Lm2 L2m ⎞ L + ⎜ Ls − ⎟ .Isd + R r . 2 .Isd − ωs . ⎜ Ls − ⎟ .Isq + R r . m .Imr ⎜ ⎜ Lr ⎟ Lr ⎟ Lr Lr ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(3.19)
Afin d’obtenir les mêmes constantes de temps sur les axes d et q, nous formulerons la tension sur l’axe q sous la forme :
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11 ⎞ ⎛ ⎛ L2 L2m ⎞ Lm 2 Lm2 L m2 m Vsq = R s .Isq + p.⎜ Ls − . Im r + Rr. .I − Rr. .I ⎟ .Isq + ωs . ⎜ Ls − ⎟ .Isd + ωs . 2 sq 2 sq ⎜ ⎜ Lr ⎟ L r ⎟ Lr Lr Lr ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ L2m ⎞ Lm2 En prenant ici : Femd = +ω s . ⎜ Ls − (3.20) ⎟ .Isq + R r . 2 .Imr ⎜ L r ⎟ Lr ⎝ ⎠
et Femq
⎛ L2m ⎞ Lm 2 Lm 2 . Im r + Rr. .I = −ωs . ⎜ Ls − ⎟ .Isd − ωs . 2 sq ⎜ L r ⎟ Lr Lr ⎝ ⎠
(3.21)
Les équations différentielles sur les axes d et q sont :
⎛ L2m ⎞ Lm2 Vsd1 = R s .Isd + ⎜ Ls − .I ⎟ .Isd sd + R r . 2 sd ⎜ Lr ⎟ Lr ⎝ ⎠
(3.22)
⎛ L2m ⎞ Lm2 Vsq1 = R s .Isq + ⎜ Ls − ⎟ .Isq + R r . 2 .Isq ⎜ Lr ⎟ Lr ⎝ ⎠
(3.23)
Les fonctions de transfert reliant Isd et Isq aux nouvelles entrées Vsd1 et Vsq1 sont deux premiers ordres ayant pour formes :
⎛ ⎛ ⎞⎜ ⎜ ⎟⎜ Isq ⎜ ⎟⎜ Isd 1 1 .⎜ = ⎜ ⎟ Vsd1 Vsq1 ⎜ Lm 2 L r . L r .Ls − L m 2 ⎜ ⎟ ⎜ R r . L 2 + R s ⎟ ⎜ 1 + p. 2 2 r ⎝ ⎠ ⎜ Ls . L m .R r + Lr .R s ⎝
(
)
(
)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
(3.24)
Formulation avec un modèle à 4 paramètres. paramètres . Avec cette hypothèse les relations (3.20) à (3.23) deviennent : Femd
= +ω s .Lf .Isq + R r .Imr
(3.25)
Femq
= −ωs .Lf .Isd − ωs .Lm . Im r + R r .Isq
(3.26)
En utilisant la relation (3.19), une variante à l’expression précédente donne pour Femq : Femq
= −ωs .Isd .Lf − ωr .Lm .Imr
(3.27)
Les transmittances reliant les courants aux deux nouvelles tensions sont des premiers ordres : Isd Vsd1
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=
Isq Vsq1
=
R r
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 1 ⎟ .⎜ + R s ⎜ 1 + Lf .p ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ R r + R s ⎠
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(3.28)
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12 Solution 1 2
Femd Femd
Femq
= +ω + ωs .Lf .Isq − Lm .p.I mr
Femd
= ωs .Lf .Isq + R r Imr
Femq Femq
= −ωs .Lf .Isd − ωs .Lm . Im r
= −ωs .Lf .Isd − ωs .Lm . Im r + R r .Isq Femq = −ωs .Isd .Lf − ωr .Lm .Imr
Tableau 3-1
Solution
1
2 Rr
Isd
Isq
Vsd1
Vsq1
⎛ ⎞ ⎟ 1 ⎜ 1 ⎜ ⎟ Lf ⎟ Rs ⎜ ⎜ 1 + .p ⎟ ⎝ Rs ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 1 ⎟ .⎜ + R s ⎜ 1 + Lf .p ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ R r + R s ⎠
Rr
⎛ ⎞ ⎟ 1 ⎜ 1 ⎜ ⎟ Lf ⎟ Rs ⎜ ⎜ 1 + .p ⎟ ⎝ Rs ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 1 ⎟ .⎜ + R s ⎜ 1 + Lf .p ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ R r + R s ⎠
Tableau 3-2
• Pour Pour la solu soluti tion on 1, les les dyna dynami miqu ques es pour pour les les cour couran ants ts
I sd et Isq sont sont du prem premier ier ordr ordre, e, ce qui qui simplifie la synthèse des correcteurs. En outre, le gain et la constante de temps sont indépendants de la résistance rotorique, ce qui représente un avantage pour la robustesse. Par contre les grandeurs Femd et Femq varieront avec la résistance rotorique rotorique via le courant courant Imr
• Pour
la solution 2 nous avons encore deux dynamiques du premier ordre mais celles-ci dépendent de la résistance rotorique ce qui peut nuire à la robustesse des correcteurs de ces deux boucles.
Le choix d’une solution de découplage dépend sur quoi l’on désire voir apparaître les Isq I perturbations dues à une variation variat ion de la résistance rotorique, les transmittances sd et ou Vsd1 Vsq1 les lois de découplage Femd et Femq . Pour une commande vectorielle indirecte, les variations induites par évolution de la résistance rotorique (tableau 3-2) montrent que le meilleur découplage correspondant à la solution 1. Quelle que soit la solution de découplage adoptée, les incertitudes paramétriques et le bruit amené par l’onduleur sur la commande doivent être pris en compte par une approche robuste de la synthèse de la commande.
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13
4.
COMMANDE VECTORIELLE .
Nous avons défini la transformée de Park nécessaire nécess aire au changement de coordonnées utilisé pour la commande vectorielle. Une fois dans ce repère, le moteur asynchrone peut être considéré comme un système multivariable sur lequel le vecteur d’entrée est constitué des deux composantes de la tension Vsd et Vsq dans le repère dq et des pulsations du champ tournant ωs et du rotor ω r . La sortie est constituée de l’ensemble des flux et courants au stator et au rotor. Lorsqu’un moteur électrique entraîne une charge mécanique il est indispensable, pour bien piloter la dynamique de celle-ci, de maîtriser le couple instantané de celui-ci. L’idée directrice de la commande vectorielle est d’avoir pour la machine asynchrone un couple moteur proportionnel à un flux et un courant comme pour la machine à courant continu. Ainsi, reprenons l’expression du couple électromagnétique de la machine asynchrone Cem = P. Φ rd .Isq − Φ rq .Isd , le repère dq dans lequel sont projeté le flux rotorique et le courant statorique tourne à la vitesse du champ tournant, soit ici Le repère d , q n'est pas orienté orienté sur sur
Φr
θ s = ωs ⋅ t .
Le repère d, q est orienté orienté sur sur
q
Φr
q
Cem = P. Φ rd .Isq − Φ rq . Isd
) Φ r
Φ rq
d
θs = ω s ⋅ t I sd I sq
C em = P ⋅ Φ r ⋅ I sq
Φ r
Isd
d
Φ rd Isq
Is
Is Figure 4-1 : Flux rotorique non orienté.
Figure 4-2. : Flux rotorique orienté
Il existe, pour la machine asynchrone, une infinité de positions du repère dq tournant à la vitesse θs = ωs ⋅ t , pour celles ci le flux rotorique et le courant statorique se projettent conformément à la figure 4-1. La position du repère dq étant arbitraire, afin d’avoir une expression du couple électromagnétique analogue à celle d’un moteur à courant continu nous orienterons l’axe d dans la direction du flux rotorique Φ r (figure 4-2). L’expression du couple électromagnétique devient : Cem
= P ⋅ Φ r ⋅ Isq
Pour obtenir cette orientation il faut calculer la pulsation l’angle
ωs que
(4.1)
l’on intégrera pour calculer
θs nécessaire aux transformations de coordonnées. A partir des équations d’état (2.10) à
(2.12) si nous exprimons la composante du flux rotorique sur l’axe q on obtient :
Φ rq = 0 =
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L m .R r Lr
.Isq
− ( ωs − ωr ) .Φ r ⇒ ω s = ω r +
L m . R r L r . Φ r
.I sq
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(4.2)
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14 Au paragraphe 3 nous avons défini défini un courant magnétisant (3.2) et (3.3) I mr I mr sachant que
=
=
Φ r Lm
tel que :
Isd
(4.3)
1 + Tr .p
la pul pulsa satio tion n stat stator oriq ique ue peut peut être être expr exprim imée ée par par : Φ r = L m .I mr , la
ωs = ωr +
1
⋅
Isq
Tr I mr
(4.4)
Nous pourrons ainsi à partir de la mesure de vitesse mécanique estimer les pulsations statoriques. Nous voyons que le couple peut s’exprimer par : C em = P ⋅ L m ⋅ I mr ⋅ I sq , le courant magn magnéti étisan santt Imr étant étant,, à la cons constan tante te de temps temps roto rotori riqu quee Tr près, près, l’ima l’image ge du cour couran antt Isd . Ainsi si nous commandons correctement les courants statoriques Isd et I sq nous maîtriserons le couple de la machine asynchrone. Le courant I sd permettra de fixer le flux rotorique
Φr
et le courant I sq pilotera le couple
électromagnétique. Nous allons maintenant préciser les tâches nécessaires à la mise en œuvre d’une commande vectorielle.
• • •
Passage dans le repère dq des grandeurs électriques de la machine asynchrone. Découplage des boucles de commande commande pour les courants Isd et Isq . Mise en place des diverses boucles de commande.
Nous allons maintenant préciser ces divers points
4.1.
Représentation de la machine dans le repère dq.
A partir des mesures des courants sur chaque phase il faut calculer les composantes Isd et Isq . L’algorithme de commande fournira le vecteur tension Vsd et Vsq qu’il faudra retransformer dans un repère fixe par rapport au stator. Ces transformations nécessitent la connaissance de θs qui sera estimé. Le schéma bloc de ces transformations est décrit figure 4-3. θ = θs θ = θs
Vsd Vsq
⎡ ⎢ cos (θ ) ⎢ 2 ⎢ 2 π ⎞ ⎛ . cos ⎜ θ − ⎟ 3 ⎢ 3 ⎠ ⎝ ⎢ 2π ⎞ ⎢ cos ⎛ ⎜θ + ⎟ 3 ⎠ ⎝ ⎣⎢
⎤ − sin (θ ) ⎥ ⎥ 2π ⎞ ⎥ ⎛ − sin ⎜ θ − ⎟ 3 ⎠ ⎥ ⎝ ⎥ 2π ⎞ ⎛ − sin ⎜ θ + ⎟⎥ 3 ⎠ ⎦⎥ ⎝
V an
Ia
V bn
I b
Vcn
Machine asynchrone triphasée
Ic
⎡
cos (θ ) 2 ⎢ .⎢ 3 ⎢ − sin (θ )
⎢⎣
2 π ⎞ ⎛ ⎟ 3 ⎠ ⎝ ⎛ 2 π ⎞ − sin ⎜ θ − ⎟ 3 ⎠ ⎝ cos⎜ θ −
2 π ⎞ ⎤ ⎛ ⎟ 3 ⎠ ⎥ ⎝ ⎥ 2π ⎞ ⎥ ⎛ − sin ⎜ θ + ⎟⎥ 3 ⎠ ⎦ ⎝ cos⎜ θ +
I sd I sq
C em
Figure 4-3 : Passage du repère triphasé au repère dq
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15 Vsd
+
I sd
Isq
+
Vsq
(
Cem = P. Φ rd .I sq − Φ rq .I sd
)
C em
Figure 4-4. Schéma bloc équivalent de la MAS dans le repère dq Ces transformations étant effectuées la commandes des courants Isd et Isq de la machine synchrone correspond à un système multivariable possédant deux entrées qui influencent chacune des sorties (figure 4-4).
4.2.
Découplage du système.
Pour pouvoir maîtriser indépendamment les dynamiques des courants nous découplerons le système conformément à la figure 4-5. Ici nous avons choisi la deuxième méthode de découplage pour ne pas avoir à effectuer une dérivée du courant magnétisant. ωs
Isq
I mr
Femd = ω s .L f . Isq + R r I mr
Femd
Vsd 1
Vsd
Vsq 1
Vsq
I sd Moteur Asynchrone dans le repère dq
I m r
1 1 + Tr ⋅ p
ω s = ω r +
1
⋅
I sq
ωs
Tr I mr
Isq C em
θs 1 p
I sd
Isq
Charge mécanique
ω r
Femq
Femq = − ω s .I sd .L f − ω r .L m .I mr
ω r ω r
I sd I mr ωs
Figure 4-5. : Découplage des courants pour la machine asynchrone
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16 V sd1
V sq 1
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 1 ⎟ .⎜ L f ⎟ R r + R s ⎜ ⎜ 1 + R + R .p ⎟ r s ⎠ ⎝
I sd
I sq
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 1 ⎟ .⎜ L ⎜ ⎟ R r + R s f ⎜ 1 + R R .p ⎟ r + s ⎠ ⎝
Figure 4-6. : Comportement de la MAS avec le découplage sur les courants
4.3.
Ce découplage étant réalisé le comportement du système est ramené à deux premiers ordres dont il faudra établir les lois de commande. Ces transmittances du premier ordre pourront être valablement commandées par des correcteurs polynomiaux de type RST. Un soin particulier devra être porté à la robustesse car la résistance rotorique R r évolue considérablement en fonction de la température et du glissement.
Boucles de commande.
Le découplage étant réalisé il faut faire la synthèse des correcteurs nécessaires à la commande de la charge. Correcteurs Kd et Kq. Ils assurent les dynamiques requises en asservissement les courants I sd et I sq et doivent éliminer une partie de bruits inhérents à la présence de l’onduleur. Nous noterons pour les transferts en asservissement :
Γd =
I sd et # I sd
Γq =
I sq
(4.5)
# I sq
Correcteur Km. La boucle d’asservissement du courant Isd étant définie par la transmittance Km devra assurer une bonne dynamique sur le courant magnétisant I mr . # I m r I m r
Correcteur
I
# s d
Km
Γ d
I sd
1
d le Γd
correcteur
I mr
1 + Tr ⋅ p
Figure 4-7 : Boucle de commande du courant magnétisant I Km sera calculé pour obtenir en asservissement Γm = mr . # I mr
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17 Correcteur Kv. Ici nous avons illustré la commande vectorielle par un asservissement de vitesse du coté de la charge le schéma de commande est le suivant : I sd
# Ω r
Ω r
# I sq
Kv
Γ q
I sq
C em = P ⋅ L m ⋅ Isd ⋅ I sq
C em
Charge mécanique
Ω r
1 J ⋅ p + f
Système à commander
Figure 4-8 : Boucle d’asservissement de la vitesse Le système à commander possède un gain dépendant du courant I sd , qui pourra être ici considéré comme un perturbation mesurable. Le correcteur Kv fixera la dynamique désirée sur la vitesse de rotation, sa grandeur de # constitue la consigne de la boucle de courant interne. commande Isq L’ensemble de tous ces correcteurs est représenté sur le schéma bloc figure 4-9. Désexitation # Ω r
# I mr
Ω r
Correct eur
I mr
I mr
#
Ω r Ωr
Correct eur
I
Km
1
# sd
I sd
V sd 1
Kd
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ . ⎟ ⎜ L R r + R s f . ⎟ ⎜ 1 + R + R p ⎝ r s ⎠
I sd
1
I sd
1 + Tr ⋅ p
# I sq
Kv I sq
ω r = P ⋅ Ω r
Correct eur
ω s = ω r +
1
⋅
I sq
Tr I mr
⎞ ⎛ ⎜ ⎟ 1 ⎟ .⎜ ⎟ L f R r + R s ⎜ . ⎟ ⎜ 1 + R + R p ⎝ r s ⎠
Correct eur
Kq
ωs
I sq
1
1 p
θs
Transformation de coo rdonnées rdonnées d, q
Figure 4-9 : Ensemble des correcteur pour la commande de la machine asynchrone
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5.
NOTATIONS. Machine asynchrone. Résistance au stator
R s Ls Ls
Inductance au stator
Rr
Résistance au rotor
Lr
Inductance au rotor
Lm
Mutuelle inductance
Lf
Inductance de fuite
Vsd , Vsq
Tension stator sur les axes d et q
I sd , I sq
Courants stator sur les axes d et q
I rd , Irq
Courants rotor sur les axes d et q
Φ sd , Φ sq Φ rd , Φ rq
Flux statorique stator sur les axes d et q
C em
Couple électromagnétique
P
Nombre de paires de pôles Vitesse mécanique en rd/s
Ωr ωr ωs ωsl Vsα , Vsα I sα , I sα I rα , I r α
Φ sα , Φ sα Φ rd , Φ rq
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Flux rotorique stator sur les axes d et q
Vitesse électrique en rd/s Pulsation des courants statoriques Pulsation de glissement ( ωs - ωr )
α et β Courants stator sur les axes α et β Courants rotor sur les axes α et β Flux statorique stator sur les axes α et β Flux rotorique stator sur les axes α et β Tension stator sur les axes
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Chapitre 2 COMMANDE VECTORIELLE DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS 1. MODELISATION . 1.1. Structure d’une machine synchrone à aimants permanents (MSAP). Les machines synchrones vis-à-vis des machines asynchrones ont une puissance massique plus importante et le flux rotorique étant connu il est plus facile de maîtriser le couple. Les progrès fait dans la fabrication des aimants, qu’ils soient à base d’alliages métalliques ou de terre rares font qu’aujourd’hui l’utilisation des MSAP va croissante. Au plan technologiques les aimants peuvent être surfaciques ou placés dans la profondeur du rotor, ils sont dit alors enterrés cf. Fig. 1-1 et Fig. 1-2-.
Figure 1-1 : Machines à aimants superficiels
Figure 1-2 : Machines à aimants enterrés
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1.2. Représentation dans un repère diphasé. Comme pour la machine asynchrone les grandeurs triphasées sont projetées dans un repère tournant d-q. Pour la MSAP ce repère sera lié au rotor avec l’axe d dans le sens de l’induction magnétique cf. Fig 1-3. θr
ias
d
θr
d
id
vas
L d Rs
vd
N v bs
Φf
vq
i bs
S q
iq
vcs ics
q
L q
Rs
Figure 1.3 : Représentation de la MSAP dans les repères triphasé (a, b, c) et diphasés (d-q) La projection dans un repère lié au rotor permet de définir une machine diphasée équivalente à la machine triphasée, les enroulements étant disposés sur deux axes orthogonaux. Dans ce nouveau repère nous noterons : Ld (H) : Inductance équivalente d'induit sur l'axe d. Lq (H)
: Inductance équivalente de l’induit sur l'axe q.
R s ( Ω)
: Résistance équivalente d'enroulements statoriques.
P f J
: Nombre de paires de pôles. : Coefficient de frottement fluide. : Inertie du rotor.
Nous pouvons maintenant écrire les équations régissant le fonctionnement du moteur. Il est à noter qu’ici la MSAP est ramené à une machine à une paire de pôle, l’angle
θr
correspondra à l’angle réel du rotor multiplié par le nombre de paire de pôle P.
1.3. Equations de Park de la machine. Si nous considérons une répartition sinusoïdale de l’induction magnétique et en négligeant les phénomène de saturation dans le fer nous aurons dans le repère d-q les relations suivantes : Equations pour les tensions : Vd
= R s .Id +
Vq
= R s .Iq +
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d Φ d dt d Φ q dt
− ωr .Φ q
+ ωr .Φd
(1.1)
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(1.2)
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21 Equations pour les flux :
Φd = Ld .Id + Φf
(1.3)
Φ q = Lq .Iq
(1.4)
Expressions du couple électromagnétique : Cem Cem
= P.( Φd .Iq − Φq .Id )
(1.5)
= f ⋅ ( Φ α , Φβ , Iα , Iβ )
Cem
= P.( Id .Iq ⋅ ( Ld − Lq ) + Φf .Iq )
(1.6)
(
Cas particulier pour la machine à pôles lisses Ld Cem
= Lq ) .
= P.Φ f .Iq
(1.7)
Dans ce cas le courant Id n’intervenant pas dans l’équation du couple le minimum des pertes pertes Joule est atteint pour une valeur nulle.
1.4. Equations d’état de la l a machine. En prenant comme vecteur d’état les deux composantes du courant sur les axes d et q pour vecteur d’entrée, les équations (1.1) à (1.4) permettent d’obtenir l’équation d’état suivante :
⎡ R ⎡.⎤ ⎢ − s ⎢ Id ⎥ ⎢ L d ⎢ . ⎥=⎢ L ⎢ Iq ⎥ ⎢ − d ⋅ ωr ⎣ ⎦ ⎢ Lq ⎣
⎤ ⎡1 ⋅ ωr ⎥ ⎢ Ld ⎥ ⋅ ⎡ Id ⎤ + ⎢ Ld ⎢ ⎥ R s ⎥ ⎣ Iq ⎦ ⎢ − ⎥ ⎢ 0 Lq ⎦⎥ ⎢⎣ Lq
0 1 Lq
⎤ ⎥ ⎡ Vd ⎤ ⎥ ⋅ ⎢ Vq ⎥ ω ⎥ ⎢ ⎥ − r ⎥ ⎢Φ ⎥ Lq ⎥⎦ ⎣ f ⎦ 0
(1.8)
Autre choix du vecteur d’état : Si l’on désire observer le flux de la machine synchrone il faut que les composantes de celui-ci apparaissent dans le vecteur d’état. Pour y parvenir nous prendrons comme vecteur d’état : X
⎡Φ df ⎤ vect eur d’entrée : U = ⎡⎣ Vd =⎢ ⎥ avec Φ df = Φ d − Φ f et comme vecteur Φ ⎣ q⎦
Vq
Φ f ⎤⎦
T
A partir des mêmes relations ((1.1) à (1.4)) et pour un moteur à pôles lisses ( Ls nous obtenons : R ⎡ . ⎤ ⎡⎢ − s +ωr ⎤⎥ ⎡Φdf ⎤ ⎡1 ⎢Φ df ⎥ ⎢ Ls ⎥ ⋅⎢ ⎥+⎢ ⎢ . ⎥=⎢ R s ⎥ ⎣ Φ q ⎦ ⎣0 ⎢ Φq ⎥ ⎢ −ωr − ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ Ls ⎦
INSA 5GE-ISIP 5GE-ISIP
0 1
⎡ Vd ⎤ 0 ⎤ ⎢ ⎥ V ⋅ −ωr ⎥⎦ ⎢⎢ q ⎥⎥ ⎣Φ f ⎦
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= Ld = Lq )
(1.9)
J.M RETIF
22 T
Avec comme vecteur de sortie ⎡⎣ Id
⎡1 ⎡ Id ⎤ ⎢⎢ Ls ⎢I ⎥ = ⎢ ⎣ q⎦ ⎢0 ⎣
Iq ⎤⎦ il vient :
⎤ ⎥ ⎡Φ ⎤ ⎥ ⋅ ⎢ df ⎥ 1 ⎥ ⎣ Φq ⎦ Ls ⎥⎦ 0
(1.10)
1.5. Bond graph dans le repère dq. Le Bond graph est un outil d’analyse très adéquat pour la modélisation, ici nous allons procéder à la démarche inverse et établir celui-ci à partir des équations différentielles qui viennent d’être définies. Ainsi, à partir des relations (1.1) à (1.4), nous pouvons écrire : Vd
= R s .Id + Ld .I d − ωr .Lq .Iq = R s.I d + L d .I d − e d
Vq = R s .Iq
+ Lq .I q + ωr .Ld .Id + ωr ⋅ Φ f = R s .Iq + Lq .I q + e q1 + e q 2
Couple électromagnétique :
= P.Φ f .Iq
Cem
Equation mécanique.
J⋅Ω r
= Cem + f ⋅ Ωr
ωr = P ⋅ Ωr I : Ls
q : V
L s I :
I:J
S e
1 Se : Vd
Id
1
ed Id
ωr ⋅ Φf MGY
e q1
Iq
eq 2 1
Iq
GY
Φf
Φf ⋅ Iq
Φf ⋅ Iq 1
ωr ωr
R : Rs
ωr
P TF
C em
Ωr
1
0
R : Rs
ωr
R:f
Figure 1.4 :Bond graph avec la charge mécanique Si nous considérons la vitesse comme constante nous obtenons :
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23 I : Ls
q : V
L s I :
S e
1 Se : Vd
ed
1
Id
Id
ωr ⋅ Φf MGY
eq 2
e q1
1
Iq
Iq
GY
Φf
Φf ⋅ Iq
Φf ⋅ Iq 1
ωr ωr
R : Rs
ωr
P TF
C em
Ωr
Sf : Ωr
0
R : Rs
Figure 1.5 : Bond graph du moteur synchrone à vitesse fixe
1.6. Equations dans le repère
.
Si nous exprimons les équations différentielles de la machine synchrone dans un repère diphasé lié au stator (repère α, β) le jeu d’équations différentielles régissant les courants et les flux est le suivant : Tensions. dIα
Vα
= R s ⋅ I α + Ls
− ωr ⋅ Φ f ⋅ sin ( θs )
(1.11)
Vβ
dI = R s ⋅ Iβ + Ls β + ωr ⋅Φ ⋅ Φ f ⋅ cos ( θs )
(1.12)
dt
dt
Flux.
Φsα = Ls ⋅ Iα + Φ f ⋅ cos ( θs )
(1.13)
Φsβ = Ls ⋅ Iβ + Φ f ⋅ sin ( θs )
(1.14)
Couple. Cem = p
( Φα ⋅ Iβ − Φβ ⋅ Iα )
(1.15)
Nous pouvons remarquer, ce qui est naturel puisque le repère diphasé est fixe, que les composantes des courants et des flux sont sinusoïdales.
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24
2. DECOUPLAGE DES COURANTS ID ET IQ. Pour commander ce moteur, il est impératif de contrôler le couple, celui-ci dépendant uniquement des composantes des courants statoriques dans le repère d-q (équation d’état (1.9)) il faut maîtriser ceux-ci. Comme il est loisible de le remarquer, les courants Id et Iq dépendent simultanément des grandeurs d’entrée Vd et Vq . Nous avons ici à un système multi variable 2 entrées 2 sorties couplé. Afin de pouvoir mettre en place des commandes mono variables nous allons à partir des équations régissant le régime dynamique du moteur rechercher une contre réaction non linéaire qui découple le système. A partir des équations (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) nous pouvons écrire : Vd
= R s .Id + Ld ⋅
Vq
= R s .Iq + Lq .
dId dt
dIq dt
+ ωr .Lq .Iq
(2.1)
+ ωr .Ld .I d + ωr . Φ f
(2.2)
Pour Pour déco découp upler ler l’évo l’évolu luti tion on des des cou couran rants ts I d et Iq par rapport aux commandes nous allons définir des termes de compensations Ed et E q tel que : Pour la première composante du courant statorique stat orique nous aurons :
Avec
Vd
+ ωr .Lq .Iq = R s .Id + Ld ⋅
Ed
= −ω r .Lq .Iq = −ω r .Φ q
dId dt
= Vd ' = Vd − Ed
(2.3) (2.4)
Pour la seconde composante il vient : Vq − ωr .Ld .Id Avec
Eq
− ωr .Φ f = R s .Iq + Lq .
dI q dt
= Vq ' = Vq − Eq
= ωr .Ld .Id + ωr .Φ f = ωr .Φ d
(2.5) (2.6)
' ' Avec les nouvelles entrées Vd et Vq , nous pouvons à partir des équations différentielles (2.3) et
(2.5) définir deux transmittances mono variables : Id ( p ) Vd' ( p ) Iq ( p ) '
Vq ( p )
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=
=
1 R s
+ Ld ⋅ p 1
R s
+ Lq ⋅ p
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(2.7)
(2.8)
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25 Avec ce découplage nous obtenons le schéma bloc suivant :
Figure 2-1 : Découplage de la machine synchrone à aimants Le moteur et son découplage revient donc à avoir 2 transmittances du premier ordre dont les ' ' nouv nouvell elles es gran grande deur urss de de comm comman ande de sont sont Vd et Vq , le schéma bloc devient alors :
Figure 2-2 : Comportement de la MSRB avec le découplage
3.
COMMANDE DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS .
3.1. Boucles de commande. Pour Pour pilo pilote terr les les deux deux cour couran ants ts I d et I q il est nécessaire nécessaire de faire la synthèse synthèse de deux correcteurs correcteurs
K d et K q . Ceux-ci étant définis, un troisième correcteur K w assura la commande de la vitesse en fournissant la consigne de couple (référence I#q ) à la boucle I q .
Figure 2-3 : Boucles de commandes
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3.2. Schéma technologique. ωr Iq
r .Lq .Iq
ω
ω#r
Onduleur '
#
Id
ωr
Boucles de commande
I d
Vd
- Vd +
'
Vq
I q
+ +
Vq
⎡cos ( θr ) − sin ( θr ) ⎤ ⎢ ⎥ cos ( θr ) ⎦⎥ ⎣⎢sin ( θr )
Vs β
ωr I d
Codeur
Vs α
MSAP
MLI
Mesures des courants
ωr .Ld .Id +ωr ⋅Φf
I a
θr
INSA 5GE-ISIP 5GE-ISIP
I b
P
Ωr
Calcul de la vitesse
P
ωr
Ic
⎡ 2π ⎞ 2π ⎞ ⎤ ⎛ ⎛ ⎢ cos ( θr ) cos ⎜ θr − 3 ⎟ cos ⎜ θr + 3 ⎟ ⎥ 2⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ 3⎢ 2 π ⎞ 2 π ⎞⎥ ⎛ ⎛ ⎢ − sin (θr ) − sin ⎜ θr − 3 ⎟ −sin ⎜ θr + 3 ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣
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θr
Θr
Id Iq
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Chapitre 3 COMMANDE VECTORIELLE DE LA MACHINE SYNCHRONE A ROTOR BOBINE 1.
MODELISATION .
Ici nous présentons le modèle d’une machine synchrone à pôles saillant sans amortisseurs. La présence de ces derniers ajoutant un régime asynchrone au fonctionnement. La machine à pôles saillants correspond au schéma de la figure 1-1.
Figure 1.1 Repère de Park de la machine synchrone
Figure 1-2 Machine équivalente de Park
La projection dans un repère lié au rotor permet de définir une machine diphasée équivalente à la machine triphasée, les enroulements étant disposés sur deux axes orthogonaux, comme le montre la figure 1-2. Dans ce nouveau repère nous noterons: Ld (H) : inductance équivalente d'induit sur l'axe d. Lq (H)
: inductance équivalente de l’induit sur l'axe q.
R s (Ω)
: résistance équivalente d'enroulements statoriques.
Lf (H)
: Inductance de l'inducteur.
M sf (H) : Mutuelle inductance entre le stator et le rotor. R f (Ω) P f J
: résistance de l'inducteur. : nombre de paires de pôles. : coefficient de frottement fluide. : inertie du rotor.
Pour simplifier l’écriture on prendra un nouveau paramètre M telle que: M =
3
Msf 2 Nous pouvons maintenant écrire les équations régissant le fonctionnement du moteur.
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1.1.
Equations de Park de la machine
Tensions : Vd = R s .I d +
Vq = R s .Iq + Vf = R f .If +
d Φ d dt d Φ q dt
− ωr .Φ q
(1.1)
+ ωr .Φ d
(1.2)
d Φ f
(1.3)
dt
Flux :
Φ d = L d .Id + M.If
(1.4)
Φ q = L q .Iq
(1.5)
Φ f = L f .If + M.Id
(1.6)
Couple électromagnétique: C em = P. Φ d .Iq − Φ q .I d
1.2.
(1.7)
Equations d’état de la machine.
Nous avons 3 équations différentielles, la dimension d’état sera donc de trois et e t nous prendrons comme vecteur d’état : X t ( t ) = ⎡⎣ Id ( t )
Iq ( t )
If ( t ) ⎤⎦
(1.8)
Ici le vecteur de commande sera constitué des deux composantes des tensions statorique et de la tension d’excitation.
⎡ Vd ( t ) ⎤ ⎢ ⎥ U ( t ) = ⎢ Vd ( t ) ⎥ ⎢⎣ Vf ( t ) ⎥⎦
(1.9)
Pour le vecteur de sortie nous prendrons les trois courant du vecteur d’état soit Y(t) = X(t)
(1.10)
Nous allons maintenant exprimer le modèle dynamique de la MSRB par ses équations d’état : .
X ( t ) = AX ( t ) + BU ( t ) Y ( t ) = CX ( t )
(1.11)
En exprimant les flux et leurs dérivées des équations ((1-1) à (1-3)) par les expressions des équations ((1-4) à (1-6)) on obtient:
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29 Vd = R s ⋅ I d + Ld.
Vq = Rs.I q + Lq.
dI d
dI q dt
Vf = R f .If + L f .
dI f
− ωr .Lq.Iq
(1.12)
+ ωr ⋅ (Ld.I d + M.If )
(1.13)
dt
dI f dt
+ M.
+ M.
[
dt
dI d
(1.14)
dt
]
[
]
Posons maintenant: X(t) = I d I q I f T et U(t) = Vd Vq Vf T
(1.15)
Vd = R s .x1 (t) + L d .x 1 (t) + M.x 3 (t) − ω r .Lq.x 2 (t)
(1.16)
Vq = R s .x 2 (t) + L q .x 2 (t) + ω r .(L d .x1 (t) + M.x 3 (t ) )
(1.17)
Vf = R f .x 3 (t) + L f .x 3 (t) + M.x 1 (t)
(1.18)
⎡ −L .Rs f ⎢ ⎢ Ld .Lf − M 2 ⎢ ⎢ − Ld .ωr A = ⎢ Lq ⎢ ⎢ ⎢ −M.R s ⎢ M 2 − L .L d f ⎣⎢
(
(
⎡ Lf ⎢ 2 ⎢ Ld .Lf − M ⎢ ⎢ B= 0 ⎢ ⎢ M ⎢ ⎢ 2 M − Ld .Lf ⎣⎢
(
(
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Lf .Lq .ωr
) ( Ld .Lf − M2 ) ( −R s Lq Lq .M.ωr
) ( M2 − Ld .Lf ) ( )
0
(
Lq
)
)
(1.19)
)
⎤ ⎥ L d .L f − M 2 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ −Ld ⎥ ⎥ M 2 − Ld .Lf ⎥ ⎦ −M
1
0
⎤ ⎥ 2 ⎥ Ld .L f − M ⎥ − M.ωr ⎥ ⎥ Lq ⎥ ⎥ Ld .R f ⎥ M 2 − Ld .Lf ⎥ ⎥⎦ M.R f
(
)
⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ C= 0 1 0 ⎢ ⎥ ⎣⎢0 0 1 ⎥⎦
)
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(1.20)
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30
2.
DECOUPLAGE DES COURANTS 2.1.
Découplage des courants I d et Iq.
L'onduleur étant un onduleur de tension, Il nous faut donc définir les fonctions de transfert appliquées ées ent entre Vd , Vq et I d , Iq . En dérivant (1.4) et (1.5) par rapport au temps et en injectant ces résultats dans (1-1) et (1-2), nous obtenons : Vd = R s .I d + L d .
Vq = R s .Iq + L q . Si l’on explicite
d I f dt
d Id dt d I q dt
− ωr .Φ q + M.
d I f
(2-1)
dt
+ ω r .Φ d
(2- 2)
à partir de (1-6), nous pouvons obtenir une équation analogue à (1.12) sur
l’axe d. d I d ⎛ M d Φf M 2 ⎞⎟ ⎜ Vd = R s .I d + . Ld − . − ω .Φ q + r dt ⎜ Lf ⎟ Lf dt ⎝ ⎠
(2-3)
Comme pour la machine asynchrone, les équations reliant les tensions aux courants sur les axes d et q sont interdépendantes (relation (1.12), (1.13), (1.14)). Afin de pouvoir mettre en œuvre des techniques de commande monovariables, il est nécessaire de s’affranchir du couplage reliant les courants Id et I q aux tensions Vd et Vq . A partir des équations (1.12) à (1.14). En soustrayant à chacune d'entre elles les termes de couplage il est possible d’obtenir deux découplages différents. Dans les deux cas nous poserons : Vd = Vd' + Femd Vq = Vq' + Femq Découplage 1.( équations (1.12) & (1.13). Ici :
Vd' = R s .I d + L d .
d Id
avec Fem d = −ω r .Φ q + M.
dt
d I q ' Vq = R s .I q + L q . dt
avec avec Femq = ω r .Φ d
d I f dt
(2- 4)
(2-5)
Dans ce cas les dynamiques des courants Id et I q seront : I d (p) 1 1 = ⋅ ' (p) R s L Vd 1 + d ⋅ p R s I q (p) Vq' (p)
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=
1 R s
⋅ 1+
1 L q Rs
(2-6)
(2-7)
⋅ p
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31 Découplage 2.( 2.( équations (1-8) & (1-9). Ici :
d I d ⎛ M 2 ⎞⎟ ' ⎜ Vd = R s .I d + Ld − dt ⎜ Lf ⎟ ⎝ ⎠
avec Fem d = −ω .Φ q + r
d I q ' Vq = R s .I q + L q . dt
avec avec Fmq = ω r .Φ d
M d Φ f . Lf dt
(2-8)
(2- 9)
Dans ce cas les dynamiques des courants Id et I q seront : I d (p) 1 = ⋅ ' R s Vd (p)
I q (p) ' (p) Vq
=
1 R s
1
⎛ L M 2 ⎞⎟ d ⎜ 1+ − ⋅ p ⎜ R s R s ⋅ L f ⎟ ⎝ ⎠
⋅ 1+
1 L q Rs
(2-10)
(2-11)
⋅ p
L’élaboration de ces grandeurs impose l’utilisation d’un estimateur ou d’un observateur de flux. Ce découplage permet de simplifier considérablement la commande, en effet, par rapport aux ' et V ' , la dynamique nouvelles tensions Vd dynamique des courants I d et I q est définie par des premiers q ordres : Nous pourrons alors aisément synthétiser des correcteurs polynomiaux de type RST pour prendre en compte des contraintes de poursuite et de rejet de perturbations.
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32 2.1.1.
Contexte technologique. technologique.
Pour obtenir ce découplage il faut calculer des termes proportionnels aux composantes du flux et à la vitesse de rotation. Si nous considérons les variations du flux d’excitation négligeable devant devant la dynam dynamiqu iquee des couran courants ts stator statoriqu iques es pour pour retro retrouve uverr Vd et Vq à partir de V'd et V'q il suffit d’ajouter leur terme de couplage comme le montre le schéma bloc suivant. Hacheur Commande de l'inducteur
ωr ωr .Φq + M.
I q
d If dt
# r
Onduleur
ω
# I d
ωr
Boucles de commande
I d I q
' Vd ' Vq
+ + +
Vd
Vq
⎡cos ( θr ) − sin ( θr ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎣⎢sin ( θr ) cos ( θr ) ⎦⎥
Vs β
ωr I d
Codeur
Vs α
MSRB
MLI
Mesures des courants
ωr .Φd
Ia
θr
I b
θr
Θr
P
Ωr
Calcul de la vitesse
P
ωr
Ic
2π ⎞ 2π ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎛ cos ( θr ) cos ⎜ θr − cos ⎜ θr + ⎟ ⎟ ⎢ 3 3 ⎠ ⎥ 2⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎥ 3⎢ ⎛ θ − 2 π ⎞ −sin ⎛ θ + 2 π ⎞⎥ sin sin − θ − ( ) r ⎢ ⎜ r 3⎟ ⎜ r 3 ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣
I d I q
Figure 2-1 : Schéma de régulation des courant id et iq. La MLI MLI (Modula (Modulation tion de Largeur Largeur d'Impulsion d'Impulsions) s) permet permet de transfor transformer mer les command commandes es Vd et Vq en une séquence d'impulsions de largeur variable admissibles par l'onduleur et donnant en sortie de ce dernie dernierr un systèm systèmee de trois trois tensio tensions ns tripha triphasée séess ( Va , Vb , Vc ) corr corres espo pond ndan antt à Vd et Vq . 2.1.2.
Boucles de commande. commande.
Du point de vue du calcul du régulateur, le processus (partie encadrée) sera donc représenté par les équations ((1-20)&(1-21) ou (1-24)&(1-25)). Nous avons donc réussi à transformer le système couplé en deux systèmes indépendants du premier ordre. Les schémas nous permettant de calculer les correcteurs sont les suivants :
Figure 2-2 : Boucle de régulation du courant i d .
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33 Figure 2-3 : Boucle de régulation du courant i q
2.2.
Découplage du courant inducteur.
L’axe d, étant par convention colinéaire avec le rotor, il y a un couplage direct sur cet axe entre le stator et le rotor dont il faut s’affranchir. A partir des équations de tension et de flux au rotor (1-3) et (1-6), l’équation différentielle du courant d’excitation devient : d If
=
dt
1 Lf
.(Vf − R f .I f ) −
M d Id 1 Rf M d I d . .Vf − .I f − . = L f dt Lf Lf L f dt
Ce qui conduit pour la transformée de Laplace de If: 1
M
.p R f If (p) = .Vf (p) − .Id (p) Lf 1+ .p 1+ .p Rf R f Rf Lf
(2- 12)
Le courant de l’inducteur I f est lié à la tension d’excitation Vf et au courant I d qui peut être ici considéré comme une perturbation mesurable. Il nous est donc possible de compenser son influence par une contre réaction adéquate, ainsi nous pouvons exprimer If de la façon suivante : 1 If (p) =
1+
1
M
R f Lf Rf
(
)
. Vf' (p) + M.p.Id (p) − .p
1+
Rf Lf Rf
.Id (p) = .p
1+
R f Lf R f
.Vf ' (p) (p )
(2-13)
.p
Nous aboutissons ainsi à un transfert monovariable du premier ordre : 1 If ( p) Vf ' (p)
= 1+
R f Lf R f
(2-14) .p
Le schéma nous permettant de calculer le régulateur de l'inducteur se résume alors à la figure suivante :
M.p
V'f
+ +
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Vf
Nota : La comp compen ensa sati tion on de I d , Id ici considéré comme une PROCESSUS perturbation mesurable, M p . nécessite une dérivation. L Rf 1 + f . p Celle ci pourra être Rf approximé par une transmittance de la If M ⋅ p 1 1 + . forme : R f 1 L f . p + 1 + ω 0 ⋅ p Rf 1 Avec ω0 >> M Figure 2-4 : Schéma équivalent après découplage
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34 2.2.1.
Contexte technologique. technologique.
Le schéma physique de la boucle de régulation est le suivant:
Figure 2-5 : Schéma physique de la boucle de régulation du courant inducteur Comme pour les boucles boucles de courant I d et Iq , le contrôle du courant d’excitation pourra avantageusement être réalisé par un correcteur RST.
if #
Processus et sa Compensation
V'f
Régulateur RST
if
Figure 2-6 : Boucle RST du courant inducteur
2.3.
Elaboration des références de courants.
L’ensemble de la commande d’une machine synchrone peut être représenté par le schéma bloc figure 2-7. Les 3 boucles de courants pilotées par des correcteurs RST assurent la poursuite des # pour avoir la références Id# Iq# et If# . La boucle externe fournit une consigne de couple Cem dynamique désirée sur la vitesse ou la position de la charge mécanique. Pour satisfaire le couple désiré, il existe une infinité d’états magnétiques du rotor et du stator possible. A ces états magn magnét étiq ique uess corre corresp spon onde dent nt diffé différe rent ntss trip triple lets ts de de cons consig igne ne Id# Iq# et If# . Ω r θ r ω r ⋅ Φ q # I d STRATEGIE D'ELABORATION DES CONSIGNES DE COURANT
I d ω r ⋅ Φ d
# I q
I q I d
I
# f
I f
Commande RST & d écouplage écouplage
Commande RST & découplage
Commande RST & découplage I d I q
# C em
Boucle externe pour la commande de vitesse ou de position
I f
# Ω r
V d
V q
Vf
MLI vectorielle HACHEUR & ONDULEUR
Mesure des courants courants et projection dans le repère dq
θ r
Mesure de la pos ition ition θ r
CHARGE
Ω r
Figure 2-7 :.Schéma de principe de la commande d’une MSRB Nous allons ici à titre illustratif opter pour une stratégie à facteur de puissance unitaire. INSA 5GE ISIP
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35
3.
COMMANDE DU MOTEUR A COS (
)=1.
La stratégie de pilotage du couple revient à déterminer les consignes de de courant Id # , I q # , If # à partir de la consigne de couple. La qualité de la régulation sera fixée par l’aptitude des correcteurs à maintenir ces courants égaux à leur consigne. La qualité de la commande sera, elle, fonction du choix de la stratégie de génération des consignes.
3.1.
Asservissement Asservissement des courants aux consignes
Nous avons opté pour des régulateurs de type RST. Le principal avantage de ceux-ci est de traiter indépendamment la régulation et la poursuite et de pouvoir définir, lors de leur calcul, des profils de réjection des bruits sur la commande (onduleur) et sur la mesure (capteurs).
3.2.
Commande à facteur de puissance unitaire
Le degré de liberté sur le courant inducteur d’une machine synchrone permet de fixer le facteur de puissance quelle que soit la puissance fournie. Dans le cas particulier où la machine synchrone n’est pas utilisée en compensateur synchrone, il parait pertinent de fixer un facteur de puissance unitaire. Nous nous y sommes intéressés et les résultats sont présentés ci-après. 3.2.1. Principes de la commande commande de couple couple à facteur de puissance unitaire
Vq
V I
Iq δ
Représentons les différentes variables de la machine synchrone dans le repère de Park et imposons un facteur de puissance unitaire (donc I et U en phase). En projetant le flux Φ et le courant I sur les axes d et q, nous obtenons :
Φ
Φ q
δ
Vd Id
Φ d
d
⎧⎪Id = − I Sin ( δ ) ⎨ ⎪⎩Iq = I Cos ( δ ) ⎧Φ ⎪ d = Φ Cos ( δ ) ⎨ ⎩⎪Φq = Φ Sin ( δ )
(3-1)
Figure 3-1 : Représentation dans le repère d-q Avec : δ, l’angle de charge de la machine. D’après ces équations et l’expression du couple Γ, nous obtenons :
(
)
Γ = p.( Φd.Iq − Φq.Id ) = p.Φ.I. .I. Cos 2δ + Sin 2δ avec p, le nombre de paires de pôles. D’où : Γ = p.Φ.I
(3-2) (3-3)
En travaillant à flux maximal sans saturation, nous minimiserons le courant en gardant le facteur de puissance à un.
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36 3.2.2.
Génération des références de courant
La caractéristique de défluxage de la machine nous donne le flux maximal sans saturation en fonction de la vitesse : Φ
La consigne de couple Γ # et le flux maximal Φ # nous permettent permettent de calculer calculer la consigne consigne de courant courant I # :
Φ*
ΩR
Γ# # I = # p.Φ
Ω
Figure 3-2
(3- 4) (3-
On mesure les trois courants de phases, et la position angulaire du rotor pour déterminer Id et Iq par la transformation de Park. Les valeurs Id et Iq et la mesure du courant inducteur nous permettent de calculer les flux :
⎪⎧Φ d = Ld .I d + M.If ⎨ ⎪⎩Φ q = Lq .Iq
(3-5)
Le flux global vaut donc :
Φ = Φd 2 + Φq 2
(3-6)
D’où la valeur de l’angle de charge :
Φ d ⎧ Cos δ = ( ) ⎪⎪ Φ ⎨ ⎪Sin ( δ ) = Φq ⎩⎪ Φ
(3-7)
On peut alors calculer les consignes pour l’induit :
⎧Id # = − I# ⋅ Sin ( δ ) ⎪ ⎨ # # ⎪⎩Iq = I ⋅ Cos ( δ )
(3-8)
La consigne de courant inducteur est calculée à partir des autres consignes. 2
If# =
(
Φ # − Lq.Iq
#
)
2
− Ld .Id #
M
(3-9)
Enfin, pour maintenir le flux le plus constant possible pendant la phase dynamique, on vient ajouter à la consigne de courant inducteur un signal dépendant de l’écart entre le flux réel et celui de consigne. Cet écart est nul en régime permanent.
∆I # = k.⎛ Φ # − Φ ⎞⎟ ⎜ f ⎝ ⎠
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où k est une constante
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(3-10)
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37 D’où le schéma bloc suivant : θ
Ia Ib Ic
3/2 Id
Φd
e-jθ Iq c
d
Φ
e
Φq
Id*
Sinδ f
Cosδ
g
Iq*
Reg Id Reg Iq
Vd* Vq*
3/2
Ia e-jθ Ib MLI Moteur Ic
If d θ dt
θ
Ω
Φ*
a
b
h
Φ
Id*
∆ If
Reg If
Vf * Vf *
MLI If Hacheur Inducteur
If *
Iq*
i
Φ*
Figure 3-3: Schéma bloc de la commande de couple à facteur de puissance unitaire
Γ* p.Φ *
b
I* =
c
⎡ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎤ cos cos cos θ θ − ( ) ⎜ ⎟ ⎜ θ + ⎟ ⎥ ⎡ Ia ⎤ ⎢ ⎡ Id ⎤ 3 ⎠ 3 ⎠ ⎢ ⎥ 2⎢ ⎝ ⎝ ⎥ I b ⎢I ⎥ = ⎢ ⎥ 3 π π 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎣ q ⎦ ⎢ − sin ( θ) − sin ⎜ θ − ⎟ − sin ⎜ θ + ⎟ ⎥ ⎢⎣ Ic ⎥⎦ 3 ⎠ 3 ⎠ ⎦ ⎝ ⎝ ⎣
d
⎧Φd = Ld.Id + M.If ⎨ ⎩Φq = Lq.Iq
e
Φ = Φd 2 + Φq 2
f
Φd ⎧ Cos δ = ⎪⎪ Φ ⎨ ⎪Sinδ = Φq ⎩⎪ Φ
g
⎧Id # = −I # ⋅ Sinδ ⎪ ⎨ ⎪⎩Iq # = I # ⋅ Cosδ
h
∆I # = k.⎛ Φ # − Φ ⎞⎟ ⎜ f ⎝ ⎠
i
I# = f
INSA 5GE ISIP
2 # # Φ − ⎛ ⎜ Lq.Iq ⎞⎟
⎝
⎠
2
− Ld.Id #
M Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné
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38
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Commande vectorielle de la machine synchrone à rotor bobiné
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39
Chapitre 4 MLI VECTORIELLE 1. PREAMBULE.
La commande des machines alternatives par un onduleur de tension fait généralement appel à des techniques de modulation de largeur d'impulsions pour commander les commutateurs de puissance. Si la commande en commutation des transistors de puissance minimise les pertes du convertisseur, par contre elle altère de façon importante les tensions appliquées au moteur électrique. Les techniques de modulation de largeur d’impulsions sont multiples, le choix d’une d’entre elles dépend du type de commande que l’on applique à la machine, de la fréquence de modulation de l’onduleur et des contraintes harmoniques fixées par l’utilisateur. La modulation peut être faite par diverses approches, classiquement par comparaison des références à une fonction triangulaire ou à l'aide d'un calcul en temps réel satisfaisant un critère. Notre propos n'étant pas ici de décrire les nombreuses techniques de modulation existantes dans une très copieuse littérature. Dans le contexte d’une commande échantillonnée, nous avons à l'instant discret de calcul k, trois tensions Va ( k ) , V b ( k ) , Vc ( k ) qui doivent, par l'intermédiaire des éléments non linéaires de l'onduleur, s'appliquer au moteur. Pour des utilisations à vitesses variables, sur sur des machines de petites et moyennes moyennes puissances, puissances, les onduleurs fonctionnant à des fréquences de commutation de quelques kHz. Nous allons dans ce chapitre mettre l’accent sur la modulation vectorielle et montrer sa supériorité vis-à-vis de la MLI intersective généralement utilisée. Principe de la MLI Vectorielle .
Pour chaque période de modulation de l’onduleur, les tensions triphasées fournies par l’algorithme de commande peuvent s’exprimer dans un repère fixe au stator, par l’intermédiaire de leurs projections Vα (k) et Vβ (k) (cf. Annexe Annexe A). A). Un onduleur triphasé à deux niveaux de tension, possède six cellules de commutation (Fig. 1-1), donnant huit configurations de commutations possibles. Ces huit configurations de commutations (notés de ν 0 à ν 7 ) peuvent s’exprimer dans le plan α, β par 8 vecteurs de tensions, parmi ceux-ci deux sont nuls les autres sont equi-répartis tout les 60°. I ond
E
C
2 A
O
Moteur triphasé
B C
C
E 2
Figure 1-1 : Onduleur de tension à deux niveaux
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40 Sachant que dans le repère triphasé les tensions Va ( k ) , Vb ( k ) , Vc ( k ) , sont représentées dans le plan
α, β par un vecteur Vs ( k ) ;le principe de MLI vectorielle, consiste à projeter ce vecteur
Vs ( k ) sur les les deux deux vecteurs vecteurs adjace adjacents nts corresponda correspondant nt à deux états de commu commutation tation de l’ondu l’onduleur. leur. Les valeurs de ces projections assurant le temps de calcul des commutations désirées. Selon le couplage étoile ou triangle du stator les tensions aux bornes de chaque enroulement diffèrent, ce qui conduit à un calcul particulier de la MLI. Nous allons maintenant dévelloper dans ces deux cas le calcul des temps de commutations de la MLI vectorielle. 2. MLI VECTORIELLE, MONTAGE EN TRIANGLE
Pour un montage en triangle, les différentes configurations des trois bras de l’onduleur conduisent aux tensions suivantes entre les différents points d’un onduleur deux niveaux (tableau 2-1). Nom Vao V bo Vco Vab V bc Vca
ν0 ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6 ν7
-E/2
-E/2
-E/2
0
0
0
+E/2
-E/2
-E/2
+E
0
-E
+E/2
+E/2
-E/2
0
+E
-E
-E/2
+E/2
-E/2
-E
+E
0
-E/2
+E/2
+E/2
-E
0
+E
-E/2
-E/2
+E/2
0
-E
+E
+E/2
-E/2
+E/2
+E
-E
0
+E/2
+E/2
+E/2
0
0
0
Tableau 2-1 : Tensions simples et entre phases L’expression des grandeurs triphasées dans le repère α β passe par la transformée de Concordia, celle-ci possède un coefficient arbitraire k. Désirant avoir, pour cette transformation, la 2
conservation des puissances nous avons pris k =
. (Voir Annexe A) 3 Ici, les tensions dans le repère α β s’expriment par la relation matricielle suivante : 1 1 ⎤ ⎡V ⎤ ⎡ ab 1 − − 2 ⎢ ⎥ 2 2 ⎥⎢ . ⎢ V bc ⎥ ⎥ ⎢V ⎥ = . ⎢ 3 3⎥ 3 ⎢ ⎣ sβ ⎦ ⎢V ⎥ 0 − ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ ⎣ ca ⎦
⎡Vsα ⎤
(2-1)
A chaque état de commutation de l’onduleur les commutations
ν0 à ν7 donnent des tensions
dans le plan α, β, décrites par le tableau suivant :
ν0
ν1
ν2
ν3
ν4
ν5
ν6
ν7
Vab
0
+E
0
-E
-E
0
+E
0
V bc
0
0
+E
+E
0
-E
-E
0
Vca
0
-E
-E
0
+E
+E
0
0
Vα
0
3
0
Vβ
0
+
3 2
+E
.E
0
+ 2.E
2
−
3 2
.E
+E 2
−
−
2
1 2
.E
.E
Tableau 2-2 : Tensions dans le repère INSA 5GE ISIP
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− 2.E
+
−
3 2 1
2
.E
.E
α, β JM RETIF
0 0
41 La représentation dans le plan α, β de des vecteurs tensions correspondants à ces commutations permet de déterminer un hexagone à l’intérieur duquel le vecteur tension doit se trouver pour éviter la saturation de la grandeur de commande. 2.1.
Calcul des temps d’application des états de l’onduleur.
A chaque période de modulation de l’onduleur que nous noterons Tmod , le vecteur Vs , projeté sur ses deux vecteurs adjacents assure le calcul des temps de commutation (figure 2-2 et 2-3). Vβ 2E
Vβ
ν2 2E
ν3
i=3
i=1
3
ν0 ν7
i=4
ν4
ρ2 =
ν1
i=1
i=2
ρ1 =
ν2
i=6
2
Vs β
E Vα
T1 Tmod T2
Tmod
Vs
ν1
2
i=5
ν ⋅
ν6
i=6
2
ρ
ρ 1
ν0 ν 7
⋅ ν 1
Vα 3
Vs α
2
ν5
E
α, β
Figure 2-3 :Décomposition d’un vecteur tension La somme des temps de conduction Ti et Ti +1 doit être inférieur à la période de modulation Figure 2-2 : Tensions dans le repère
Tmod de l’onduleur.
G
Pour illustrer la méthodologie, considérons ici le vecteur de tension Vs entre les vecteurs de G
G
V1 et V2 qui correspondent aux commutations ν1 et
G
V1
j.
= 2 . E. e
π G
6 et V 2
j. j.
= 2 . E. e
π 2 .
En exprimant le vecteur tension dans le repère G
Vs
Vsα + j.V j.Vsβ
= Vsα + j. Vsβ = =
T1 ⋅ 2 ⋅ E Tmod
⎛ ⎝
T1 Tcom
G
. V1 +
ν2 . (2-2)
α,β nous aurons :
T2 Tcom
G
. V2
⎛ π ⎞ + j.sin ⎛ π ⎞ ⎞ T ⋅ 2 ⋅ E . ⎛ cos ⎛ π ⎞ + j.sin ⎛ π ⎞ ⎞ j.sin ⎜ ⎟ ⎟ + 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟⎟ ⎜ ⎜2⎟ Tmod ⎝6⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
. ⎜ cos ⎜
(2-3)
(2-4)
En développa développant nt cette cette équation équation il est est possi possible ble d’exprimer d’exprimer les temps temps d’appl d’applicatio ication n T1 et T2 des
G
G
vecteurs V1 et V2 en fonction de Vsα et Vsβ . Ces temps de conduction seront : T1 =
T .Vsα . mod et T2 3 E 2
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1 ⎛ 1 ⎞ T Vsβ ⎟ . mod = ⎜ − Vsα + 2 ⎝ 6 ⎠ E
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(2-5)
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42 Si nous faisons les mêmes calculs pour les six secteurs, les temps de conduction obtenus sont les suivants : i=1 T1 =
2 3
i=2
.Vsα .
Tmod
T2
E
1 ⎛ 1 ⎞T T2 = ⎜ − Vsα + Vsβ ⎟ . mod 2 ⎝ 6 ⎠ E
1 ⎛ 1 ⎞T = ⎜ + Vsα + Vsβ ⎟ . mod 2 ⎝ 6 ⎠ E
T3
T .Vsα . mod 3 E 2
=−
i=4 T4
=−
i=3
⎛ = ⎜− ⎝ ⎛ T4 = ⎜ − ⎝ T3
1 6 1 6
1
Vsα −
1
i=5
T .Vsα . mod 3 E 2
T5
1 ⎛ 1 ⎞ T T5 = ⎜ + Vsα − Vsβ ⎟ . mod 2 ⎝ 6 ⎠ E
T .Vsα . mod 3 E 2
=
⎞ T Vsβ ⎟ . mod 2 ⎠ E
i=6
1 ⎛ 1 ⎞T = ⎜ − Vsα − Vsβ ⎟ . mod 2 ⎝ 6 ⎠ E
T6
⎞ T Vsβ ⎟ . mod 2 ⎠ E
Vsα +
⎛ = ⎜+ ⎝ ⎛ T1 = ⎜ + ⎝
T6
1 6 1 6
⎞ T Vsβ ⎟ . mod 2 ⎠ E
Vsα −
1
Vsα +
1
⎞ T Vsβ ⎟ . mod 2 ⎠ E
Tableau 2-3 : Calcul des temps d'application des vecteurs non nuls G
Afin de reconnaître dans quel secteur se trouve le vecteur de tension V s une série de tests sur Vsα et Vsβ assurent la localisation de celui ci. 2.2.
Calcul des rapports cycliques de commutation pour chaque secteur.
Afin de faciliter les calculs nous normaliserons à
β
l’intervalle [1 1] les tensions Vsα et Vsβ en posant :
2 3
Vsα 2
1
6
3
4
α
1
5
Vecteurs tension dans le plan
Vsβ
Vsα
= =
E Vsβ
⋅
2
⋅
2
3
(2.6)
(2-7) E 3 le calcul des commutations sera défini à partir des Ti rapports cycliques ρi = (2-8) Tmod
α, β
Figure 2-4 : Vecteurs tensions Par exemple, pour le secteur 1 les relations du tableau 2-3 donnent : T1 =
T .Vsα . mod 3 E 2
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T2
1 ⎛ 1 ⎞ T = ⎜ − Vsα + Vsβ ⎟ . mod 2 ⎝ 6 ⎠ E
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43 En reportant dans ces deux relations les expressions expressions de Vsα et Vsβ issues des équations (2.6) Ti (2-7) et sachant que le rapport cyclique est défini par ρi = , nous obtenons : Tmod ⎛ 3 ⎞ ρ2 = ⎜⎜ −0,5 ⋅ Vsα + Vsβ ⎟⎟ . 2 ⎝ ⎠
ρ1 = Vsα
En opérant de la même façon pour les autres secteurs les résultats sont donnés tableau 2-4. i=1
i=2
ρ1 = Vsα ⎛ 3 ⎞ 0, 5 ⋅ Vsα + Vsβ ⎟ ρ2 = ⎜⎜ −0,5 ⎟ 2 ⎝ ⎠
⎛ 3 ⎞ 0, 5 ⋅ Vsα + Vsβ ⎟ ρ2 = ⎜⎜ +0,5 ⎟ 2 ⎝ ⎠
ρ3 = −Vsα
i=4
i=3 ⎛ ρ3 = ⎜⎜ −0,5 ⋅ Vsα + ⎝ ⎛ ρ4 = ⎜⎜ −0,5 ⋅ Vsα − ⎝
i=5
ρ4 = −Vsα ⎛ 3 ⎞ 0, 5 ⋅ Vsα − Vsβ ⎟ ρ5 = ⎜⎜ +0,5 ⎟ 2 ⎝ ⎠
⎛ 3 ⎞ 0, 5 ⋅ Vsα − Vsβ ⎟ ρ5 = ⎜⎜ −0,5 ⎟ 2 ⎝ ⎠
ρ6 = Vsα
⎞ ⎟ 2 ⎠ 3 ⎞ Vsβ ⎟ ⎟ 2 ⎠ 3
Vsβ ⎟
i=6 ⎛ ρ6 = ⎜⎜ +0,5 ⋅ Vsα − ⎝ ⎛ ρ1 = ⎜⎜ + 0,5 ⋅ Vsα + ⎝
⎞ ⎟ 2 ⎠ 3 ⎞ Vsβ ⎟ ⎟ 2 ⎠ 3
Vsβ ⎟
Tableau 2-4 : Calcul des rapports cycliques
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44 2.3.
Calcul des rapports cycliques de commutation pour chaque bras.
Pour chaque bras, il faut définir le chronogramme qui défini les temps durant lesquels le point milieu d’un bras est à E/2 ou –E/2. A l’intérieur d’une période de commutation de l’onduleur, il existe différentes stratégies d’application des vecteurs assurant l’obtention de la tension désirée. Afin de diminuer les harmoniques il est préférable de générer des tensions centrées sur la période de modulation de l’onduleur. Durant une période de modulation, l’onduleur aura trois états distincts, les deux premiers correspondent aux temps de conduction assurant l’obtention de la tension, la somme de ces deux temps devant devant être inférieure à Tcom . i=1 νz
ν1
ν2
νz
ν5
ν4
νz
i=2 ν2
ν1
νz
νz
ν3
ν2
ν4
ν5
νz
νz
ν5
ν6
νz
i=3 ν2
ν3
νz
νz
ν6
ν5
νz
νz
ν3
ν4
νz
ν4
ν3
νz
ν6
ν1
νz
Ba +
Bb +
Bc +
i=4 νz
i=5 νz
i=6 ν1
ν6
νz
Ba +
Bb +
Bc +
Figure 2-5 : Formes des rapports cycliques pour chaque secteur Le complément à la période de commutation Tcom sera assuré par les commutations nulles G ν0 ou ν7 . En notant Vz l’un de ces vecteurs nul, l’application des différents vecteurs en fonction des secteurs définis dans le plan
α, β sont donnés figure 2-5.
Ce type de modulation permet d’obtenir des tensions efficaces supérieures à celles obtenues par la modulation intersective et conduit à des réalisations logicielles véloces compatibles avec les contraintes de calcul en temps réels des machines alternatives. Pour chaque bras de l’onduleur, nous considérerons que l’état ‘un’ correspond à la conduction du E transistor du haut (tension + ), et l’état ‘zéro’ à la conduction du transistor du bas 2 E (tension − ). 2 A partir des rapports cycliques exprimant les temps d’application d’un état de l’onduleur correspondant au tableau 2-4, il est nécessaire de déterminer les rapports cycliques de conduction des bras pour tous les secteurs.
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45
i=1 νz
ν1
ν2
νz
ν2
ν1
νz
Ba +
Considérons, pour illustrer notre propos, le secteur 1 dont les chronogrammes sont représentés ci-contre figure 2-6. Si la tension dont on désire déterminer la modulation est inscrite à l’intérieur de l’hexagone (voir figure 2-2) les temps d’application des G G vecteurs V1 et V2 sont inférieurs à la période de modulation, ce qui conduit à : ρ1 + ρ2 < 1 . Pour compléter la période de modulation nous G G appliquerons un vecteur nul ( V0 ou V7 ). Ici ce
Bb +
Bc +
G
T0
T1
T2
T7
T2
T1
4
2
2
2
2
2
T0
G
vecteur nul est réparti également entre V0 et V7 .
4
Figure 2-6 : Commutations centrées
ρA = ρ1 + ρ2 + 0,5 ⋅ ρz pour le bras B ρB = ρ2 + 0,5 ⋅ ρ z pour le bras C ρC = 0,5 ⋅ ρz
Nous pouvons donc écrire : pour le bras A
Sachant que ρ1 + ρ2 + ρ z ρA = 0,5 (1 + ρ1 + ρ2 )
= 1 nous obtenons : ρB = 0,5 (1 − ρ1 + ρ2 )
ρC = 0,5 (1 −ρ1 −ρ 2 )
Si nous réitérons ces calculs pour les autres secteurs nous obtenons le tableau suivant : Secteur 1 2 3 4 5 6
ρB
ρA 0,5 (1 + ρ1 + ρ 2 ) 0,5 (1 + ρ2 − ρ3 ) 0,5 (1 − ρ3 − ρ 4 ) 0,5 (1 − ρ4 − ρ5 ) 0,5 (1 − ρ5 + ρ6 ) 0,5 (1 + ρ6 + ρ1 )
ρC 0,5 (1 − ρ1 − ρ 2 ) 0,5 (1 − ρ2 − ρ3 ) 0,5 (1 − ρ3 + ρ 4 ) 0,5 (1 + ρ4 + ρ5 ) 0,5 (1 + ρ5 + ρ6 ) 0,5 (1 + ρ6 − ρ1 )
0,5 (1 − ρ1 + ρ2 ) 0,5 (1 + ρ2
+ ρ3 ) 0,5 (1 + ρ3 + ρ4 ) 0,5 (1 + ρ4 − ρ5 ) 0,5 (1 − ρ5 − ρ6 ) 0,5 (1 − ρ6 − ρ1 )
Tableau 2-5 : Rapports cyclique pour les bras de l’onduleur Ces relations ne sont dépendantes que des chronogrammes définis figure 2-5, maintenant il faut : pour la modulation vectorielle que nous mettons en œuvre, définir ces rapports cycliques en
fonction des tensions tensions réduites Vsα et Vsβ . Pour y parvenir reprenons les résultats du tableau 2-4. Ainsi pour le secteur 1
ρA = 0,5 (1 + ρ1 + ρ2 ) avec ρ1 = Vsα et ρ2 = ⎛⎜ −0,5 ⋅ Vsα + ⎜
⎝
après simplification donne :
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3 2
⎞ ⎟ ⎠
Vsβ ⎟ ce qui
⎛ 1 3 ⎞ ρA = 0,5 ⎜⎜1 + ⋅ Vsα + ⋅ Vsβ ⎟⎟ . 2 2 ⎝ ⎠
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46 Pour tous les bras et tous les l es secteurs nous obtenons les résultats suivants : Secteur 1
2
Bras A
⎛ ⎜ ⎝
5
2
⋅ Vsα +
⎞ ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎠
3
⎛ ⎜ ⎝
1
0,5 ⎜ 1 +
⎛ ⎜ ⎝
0,5 0, 5 ⎜ 1 +
2
3 2
+ Vsα )
⋅ Vsα +
⎞ ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎠
3⋅
2
0,5 1 + Vsα
⎞ ⎟ ⎠
⎛ 3 ⋅ Vsα + ⎜ ⎝ 2 ⎛ 1 0,5 ⎜ 1 − ⋅ Vsα + ⎜ ⎝ 2
)
0,5 0, 5 ⎜ 1 −
⎛ ⎜ ⎝
1 ⋅ Vsα 2
−
3 ⎞ ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎠
⎛ ⎜ ⎝
1 ⋅ Vsα 2
−
3 ⎞ ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎠
0,5 0, 5 ⎜ 1 +
0,5 1 − 3 Vsβ
⎞ ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎠ 3 ⋅ ⎞ Vsβ ⎟ ⎟ 2 ⎠
⎛ 1 ⋅ Vsα − ⎜ ⎝ 2 ⎛ 1 0,5 ⎜ 1 + ⋅ Vsα − ⎜ ⎝ 2
3
0,5 0, 5 ⎜ 1 −
0,5 (
(
− Vsα )
0,5 0, 5 ⎜ 1 −
Vsβ ⎟
⎞ ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎠ 3 ⎞ ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎠ 3
0,5 (
3
⋅ Vsα +
(
6
⎛ 3 0,5 0, 5 ⎜1 − ⋅ Vsα + ⎜ ⎝ 2 ⎛ 1 0,5 0, 5 ⎜1 − ⋅ Vsα + ⎜ ⎝ 2
0,5 (
Bras C ρC
Bras B ρB
⎛ 3 3 ⎞ ⋅ Vsβ ⎟⎟ 0,5 0, 5 ⎜ 1 + ⋅ Vsα + ⎜ 2 2 ⎝ ⎠
3 4
1
0,5 ⎜ 1 +
ρA
⎞ ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎠ 3 ⎞ Vsβ ⎟ ⎟ 2 ⎠
3
(
− Vsα )
)
0,5 1 − 3 Vsβ
)
Tableau 2-6 : Rapports cyclique pour les bras de l’onduleur 2.4.
Tension d’alimentation de l’onduleur.
Si l’on ne veut pas de distorsions pour la MLI vectorielle il est nécessaire que le vecteur tension se situe à l’intérieur du cercle inscrit dans l’hexagone défini par les vecteurs non nuls. Sachant que la transformée de Concordia que nous utilisons prend, afin d’être conservative pour la
β 2 ⋅E
3
α ⋅E
2
puissance, un facteur k
3 2
.
⋅ E sachant que pour ce coefficient coefficient k,
Vs = Veff
comme tension du ⋅ 3 il nous faudra donc comme
bus continu E = Veff α, β
2
3 La tension maximum du vecteur Vs sera : Vs =
Vecteurs tension dans le plan
=
Exemple : Pour Veff
⋅ 2
220 V E 311V = 220
Figure 2-7 : Limite du vecteur tension
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47 3. MLI VECTORIELLE, MONTAGE ETOILE .
Pour un montage en étoile le potentiel du neutre varie en fonction f onction des commutations, les tensions Van , Vbn , Vcn différent de Vao , Vbo , Vco . I ond
E
C
2
Moteur triphasé
A
O
N
B C
C
E 2
Figure 3-1 : Onduleur à deux niveaux de tension associé à une charge en étoile Avec une charge équilibrée les tensions aux bornes des enroulements peuvent s’exprimer à partir des tensions Vao , V bo , Vco par la relation matricielle (3-1) :
⎡ 2 − 1 − 1⎤ ⎡ Vao ⎤ ⎡ Van ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎢ 1 2 1 = − − V ⎢ bn ⎥ 3 ⎢ ⎥. ⎢V bo ⎥ ⎢⎣ Vcn ⎥⎦ ⎣⎢− 1 − 1 2 ⎦⎥ ⎣⎢ Vco ⎥⎦
(3-1)
A partir de la relation (3-1) nous pouvons définir les tensions aux bornes des enroulements du moteur. Pour obtenir ces tensions dans le repère α, β nous utiliserons l’équation (2-1), ce qui, pour les huit vecteurs de commutation de l’onduleur, l’onduleur, fourniront le résultat tableau 3-1.
Van V bn
ν0
ν1
0
+ .E
0
Vα
0
Vβ
2 3
0
Vcn
0
ν2
−
E
3 E − 3
+
2 3
0
.E
ν3
+
E 3
+
E 3
2 3 1
+
6 1 2
E
−
3
2 3
E 3 E + 3
2 3
.E
−
.E
+
3
1 6 1 2
.E .E
−
+
E
−
ν5
− .E
+ .E
− .E +
ν4
−
2 3
0
.E
−
E
3
+
3
.E
6 1 − .E 2
0
3
2 3
2
1
E
− .E
+ ⋅E
−
ν7
+
3 E
ν6
+ −
E
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0
3
1 6 1 2
.E .E
Tableau 3-1 : Tensions pour un montage en étoile
INSA 5GE ISIP
0
JM RETIF
0 0
48 3.1.
Calcul des temps d’application des états de l’onduleur.
G
G
Dans ce plan, plan, les vecteurs vecteurs V0 à V7 définissent un domaine de tension (figure 3-2) à l’intérieur duquel duqu el doit doit se trouver trouver le vecteur vecteur Vs . E
ν3
Vβ
Vβ
2
ν2
i=2
ν2
E 2
ρ1 =
i=1
i=3
ν4
ν0
Vα
ν1
ν7
2 i=4
3
i=6
i=1
T1 Tmod
ρ2 =
E
T2 Tmod
Vs
2
⋅ ν 2
i=5
ρ
Vα
ν1
ν5
ρ1 ⋅ ν1
ν6
2 3
Figure 3-2
E
Figure3-3
Nous pouvons remarquer ici, ce qui normal, que les vecteurs tensions correspondant aux différents états états de commutation de l’onduleur l’onduleur d’un module 3 plus faible faible que pour le montage étoile et orientés de
π − .
6 Comme pour le montageGtriangle les tensions à fournir à la charge peuvent s’exprimer dans le plan α, β par un vecteur Vs G G G T T Vs = Vsα + j.V j.Vsβ = 1 .V1 + 2 .V2 (3-2) Tmod Tmod Pour le secteur 1 nous pouvons exprimer la tension dans le repère statorique. Vsα + j.V j.Vsβ
=
T1 Tmod
⋅
2
j.sin ( 0 ) ) + ⋅ E ⋅ ( cos ( 0 ) + j.sin
3 Après résolution nous obtenons :
T2 Tmod
⎞ T ⎛ 3 T 1 .Vsα − .Vsβ ⎟ . mod et T2 = 2.Vsβ . mod ⎜ ⎟ E 2 ⎝ 2 ⎠ E
T1 = ⎜
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⋅
⎛ π ⎛ π ⎞⎞ j.sin ⎜ ⎟ ⎟ ⋅ E ⋅ ⎜ cos ⎛⎜ ⎞⎟ + j.sin 3 ⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝3⎠ 2
(3-3)
(3-4)
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49 Pour l’ensemble des secteurs les temps d’application des vecteurs non nuls sont tabulés ci après : i=1
i=2
⎛ 3 ⎞ T mod 1 .Vsα − .Vsβ ⎟ . ⎜ ⎟ E 2 ⎝ 2 ⎠
T1 = ⎜
T2
Tmod
= 2.Vsβ . E
⎛ = ⎜⎜ ⎝ ⎛ T3 = ⎜ − ⎜ ⎝ T2
3 2
.Vsα +
⎞ T .Vsα + .Vsβ ⎟ . mod ⎟ 2 2 ⎠ E
T
T4
T
= 2.Vsβ . mod E
⎛ 3 ⎞T 1 = ⎜⎜ − .Vsα − .Vsβ ⎟⎟. mod 2 ⎝ 2 ⎠ E
T5
i=6
⎛ 3 ⎞ T 1 = ⎜⎜ − .Vsα − .Vsβ ⎟⎟ . mod 2 ⎝ 2 ⎠ E
⎛ 3 ⎞T 1 T6 = ⎜ + .Vsα − .Vsβ ⎟ . mod ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ E
= − 2.Vsβ . mod E Tableau 3-2
3.2.
1
T3
I=5
⎛ 3 ⎞T 1 = ⎜⎜ − .Vsα + .Vsβ ⎟⎟. mod 2 ⎝ 2 ⎠ E T5
⎞ T .Vsβ ⎟ . mod ⎟ 2 ⎠ E
1
3
i=4 T4
i=3
T6
⎛ ⎜ ⎝
T1 = ⎜ +
T
= − 2.Vsβ . mod E 3 2
.Vsα
⎞ T .Vsβ ⎟ . mod ⎟ 2 ⎠ E
1
+
Calcul des temps d'application des vecteurs non nuls
Calcul des rapports cycliques de commutation pour chaque secteur.
β Afin de faciliter les calculs nous normaliserons, comme pour le couplage triangle, à l’intervalle
E 2
[-1 1] les tensions Vsα et Vsβ en posant :
2 3
1 6
4
α 2 3
E
5
Figure 3-4 : Tensions actives de l’onduleur dans le repère α, β
INSA 5GE ISIP
ˆ V sα
V = 2 ⋅ sα
ˆ V sβ
= 2⋅
E
le calcul des commutations sera défini à partir Ti des rapports cycliques ρi = . Tmod
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E Vsβ
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50 Nous opérons comme comme pour le montage montage triangle (§ 2-2) pour construire construire le tableau suivant : i=1
i=2
⎛ 3 1 ⎞ ρ1 = ⎜⎜ ⋅ Vsα − ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ρ2 = Vˆ sβ
⎛ 3 1 ⎞ ρ2 = ⎜⎜ ⋅ Vsα + ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 1 ⎞ ρ3 = ⎜⎜ − ⋅ Vsα + ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎝ 2 ⎠
⎛ 3 1 ⎞ ρ4 = ⎜⎜ − ⋅ Vsα − ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎝ 2 ⎠
i=4
i=5
i=6
⎛ 3 1 ⎞ ρ4 = ⎜⎜ − ⋅ Vsα + ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ρ5 = −Vˆ sβ
⎛ ρ5 = ⎜⎜ − ⎝ ⎛ ρ6 = ⎜⎜ ⎝
ρ3
i=3 = Vˆ
sβ
ρ6 = −Vˆ sβ
1 ⎞ ⋅ Vsα − ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠ 3 1 ⎞ ⋅ Vsα − Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠
3
⎛ 3 1 ⎞ ρ1 = ⎜⎜ ⋅ Vsα + ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 ⎝ 2 ⎠
Tableau 3-3 Calcul des rapports cycliques 3.3.
Calcul des rapports cycliques de commutation pour chaque bras
Pour des impulsions centrées par apport à la période de commutation les chronogrammes chronogrammes sont les suivants (voir figure 3-5) et nous obtenons (voir tableau 3-3) évidemment les mêmes expressions des rapports cycliques que dans le couplage triangle. G
G
G
Ici Vz représente un vecteur de tension nul, soit V0 soit V7 . i=1 νz
ν1
ν2
νz
i=2 ν2
ν1
νz
νz
ν3
ν2
ν4
ν5
νz
νz
ν5
ν6
νz
i=3 ν2
ν3
νz
νz
ν6
ν5
νz
νz
ν3
ν4
νz
ν4
ν3
νz
ν6
ν1
νz
Ba +
Bb +
Bc +
i=4 νz
ν5
ν4
νz
i=5 νz
i=6 ν1
ν6
νz
Ba +
Bb +
Bc +
Figure 3-5 : Rapports cycliques pour chaque secteur
INSA 5GE ISIP
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51
ρB
ρA 0,5 (1 + ρ1 + ρ 2 ) 0,5 (1 + ρ2 − ρ3 ) 0,5 (1 − ρ3 − ρ4 ) 0,5 (1 − ρ4 − ρ5 ) 0,5 (1 − ρ5 + ρ6 ) 0,5 (1 + ρ6 + ρ1 )
Secteur 1 2 3 4 5 6
ρC 0,5 (1 − ρ1 − ρ 2 ) 0,5 (1 − ρ2 − ρ3 ) 0,5 (1 − ρ3 + ρ 4 ) 0,5 (1 + ρ4 + ρ5 ) 0,5 (1 + ρ5 + ρ6 ) 0,5 (1 + ρ6 − ρ1 )
0,5 (1 − ρ1 + ρ2 ) 0,5 (1 + ρ2
+ ρ3 ) 0,5 (1 + ρ3 + ρ4 ) 0,5 (1 + ρ4 − ρ5 ) 0,5 (1 − ρ5 − ρ6 ) 0,5 (1 − ρ6 − ρ1 )
Tableau 3-4 : Rapports cycliques pour chaque bras de l’onduleur En reportant dans les expressions des rapports cycliques
ρA , ρB , ρC (tableau 3-4) les relations
du tableau 3-3, nous pouvons les exprimer exprimer en fonction des tensions normées normées Vsα et Vsβ . Secteur 1
Bras A
⎛ ⎜ ⎝
3 4
⎛ ⎜ ⎝
1 ⎞ ⋅ Vsα + ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠
3
0,5 0, 5 ⎜ 1 +
(
0,5 0, 5 1 + 3 ⋅ Vsα
⎛ ⎜ ⎝
0,5 0, 5 ⎜ 1 +
3 3 ⎞ ⋅ Vsα + ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠
(
⎛ ⎜ ⎝
0, 5 ⎜ 1 −
⎛ ⎜ ⎝
0,5 ⎜ 1 −
3 ⎞ ⋅ Vsα + ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠
3
(
⎛ ⎜ ⎝
3 1 ⎞ ⋅ Vsα − ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠
(
0,5 0, 5 1 − Vsβ
⎛ ⎜ ⎝
0, 5 ⎜ 1 −
⎛ ⎜ ⎝
0,5 0, 5 ⎜ 1 −
)
1 ⎞ ⋅ Vsα + ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠
3
⎛ ⎜ ⎝
0,5 0, 5 ⎜ 1 −
)
3 1 ⎞ ⋅ Vsα + ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠
0,5 0, 5 1 + Vsβ 0, 5 ⎜ 1 −
Bras C ρC
ρB
0,5 0, 5 1 + Vsβ
)
1 ⎞ ⋅ Vsα − ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠
3
⎛ ⎜ ⎝
0,5 ⎜ 1 −
)
3 1 ⎞ ⋅ Vsα − ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠
0,5 0, 5 ⎜ 1 +
5 6
(
0,5 0, 5 1 + 3 ⋅ Vsα
⎛ ⎜ ⎝
Bras B
3 1 ⎞ ⋅ Vsα + ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠
0,5 0, 5 ⎜ 1 +
2
ρA
3 3 ⎞ ⋅ Vsα − ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠ 1 ⎞ ⋅ Vsα − ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠
3
(
0,5 0, 5 1 − Vsβ
⎛ ⎜ ⎝
0, 5 ⎜ 1 −
)
)
3 ⎞ ⋅ Vsα − ⋅ Vsβ ⎟⎟ 2 2 ⎠
3
Tableau 3-5 : Calcul des rapports cycliques pour chaque bras de l’onduleur
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52 3.4.
Algorithme de programmation pour le montage étoile.
La programmation d’une MLI vectorielle passe par l’exploitation l ’exploitation des tableaux 3-3, 3-4 et 3-5. Le calcul des différents rapports cycliques nécessite de déterminer le secteur dans lequel le vecteur tension se trouve. Diverses stratégies sont possibles, nous allons ici en présenter deux : • la première utilise les composante de Vs dans le repère α, β ,
• la seconde applique une transformation TRT particulière qui orthogonalise certains vecteurs correspondants aux états de commutation de l’onduleur. Dans le plan
α, β la sélection du secteur correspond à l’organigramme Fig. 3-6.
4, 5 6
4, 5
Non
Vs β ≥ 0
5, 6
Oui
1,2, 3
5, 6
Vs α ≥ 0
Vs α ≥ 0
1, 2
Vs β ≥ 3 ⋅ Vs α
Vs β ≥ 3 ⋅ Vs α
Vsβ ≥ − 3 ⋅ Vsα
Vsβ ≥ − 3 ⋅ Vsα SECTEUR 1 SECTEUR 2
SECTEUR 3
SECTEUR 5
SECTEUR 5
SECTEUR2
SECTEUR 6
SECTEUR4
Figure 3-6 : Algorithme de décision dans le repère
α, β
Utilisation du repère RT. Ce type de repère simplifie l’algorithme de choix et s’appuie sur une transformation linéaire qui déforme l’espace de telle façon que les directions des vecteurs sont colinéaire avec un repère orthonormé ou à 45°. Ainsi pour un onduleur à 2 niveaux la matrice de transformation est la suivante :
TRT
⎡1 − 1 ⎤ ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ = ⎢0 2 ⎥ ⎢⎣ 3 ⎥⎦
(3-5)
En calculant pour les 6 directions des états actifs de l’onduleur tel que :
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⎡ Vsα ⎤ ⎡ VR ⎤ T = ⋅ ⎢ V ⎥ RT ⎢ V ⎥ ⎣ T⎦ ⎣ sβ ⎦
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53 Nous obtenons : ν3
ν2
ν2
ν3
i=2 i=2
i=3
i =1
i =1
Vs ν4
ν1
i=4
Vs
i=3 ν4
ν1 i=6
i=6 i=4
i =5
i=5
ν5
ν6
ν5
Figure 3-7 : Représentation de V s dans le repère α, β
ν6
Figure 3-8 : Représentation de V s dans le repère R, T
Avec cette transformation RT l’algorithme de choix est simplifié (Fig. 3-9).
2, 3, 4
Non
VR ≥ 0
2, 3
1,5,6
Oui
5, 6
VT < 0
VT ≥ 0
SECTEUR 4
SECTEUR 1
VT > V R
SECTEUR SECTEUR 3
− VT > VR
SECTEUR 2
SECTEUR 6
SECTEUR 5
Figure 3-9 : Algorithme de décision dans le repère R, T Pour des tensions sinusoïdales la MLI vectorielle fourni des rapports cycliques sur chaque bras qui présentent un harmonique 3 (Fig.3-10). Ceci présente un avantage car cela permet d’avoir, comme nous le verrons dans le paragraphe suivant, une tension efficace plus importante qu’avec une MLI intersective. Pour un signal à 50 Hz, et d’amplitude maximum les rapports cycliques sur les trois bras ne sont pas sinusoïdaux et présentent un harmonique d’ordre 3, comme le point neutre est relié celui-ci est éliminé et les tensions composées seront sinusoïdales cf. Fig.3-11.
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54 ρa
1 0.5 0 5
10
15
20
25 t(ms)
30
35
40
45
30
35
40
45
30
35
40
45
ρ b
1 0.5 0 5
10
15
20
25 t(ms) ρ c
1 0.5 0 5
10
15
20
25 t(ms)
Figure 3-10 : Rapports cycliques pour les trois bras de l’onduleur Vab 400 200 0 -200 -400
400 200 0 -200 -400
400 200 0 -200 -400
5
10
15
20
25 t(ms) Vbc
30
35
40
45
5
10
15
20
25 t(ms) Vca
30
35
40
45
5
10
15
20
25 t(ms)
30
35
40
45
3-11 : Tensions entre phases
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55 3.5.
Tension d’alimentation de l’onduleur.
Si l’on ne veut pas de distorsions pour la MLI vectorielle il est nécessaire que le vecteur tension se situe à l’intérieur du cercle inscrit dans l’hexagone défini par les vecteurs non nuls. Sachant que la transformée de Concordia que nous utilisons prend, afin d’être conservative pour E
2
la puissance, puissance, un facteur k Vs = 3 ⋅ Veff 2
E
E
3
2
=
E
Exemple : Pour Veff = 220 220 V
2
=
2 3 E = 6 ⋅ Veff
E 540V
Vecteurs tension dans le planα , β
Figure 3-12 : Limite du vecteur tension t ension
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56 4. MLI I NTERSECTIVE
La modulation intersective repose sur la comparaison entre les références des trois signaux de tension avec une porteuse triangulaire de haute fréquence. Classiquement, pour des signaux de l’ordre de 50 Hz la fréquence de modulation est supérieure à 10 kHz. Références des tensions triphasées
Signaux de commandes des bras de l'onduleur Onduleur
Comparateurs
+ -
+ -
+
Porteuses triangulaires
-
Figure 4-1 : Schéma de principe d’une MLI intersective Cette technique peut être réalisé facilement avec des circuits analogiques, générateur de signaux triangulaires associé à trois comparateurs cf. Fig. 4-1. Référence de tension
Les 3 signaux représentant les tensions triphasée sont normés dans l’intervalle de la porteuse triangulaire. Le signal de commande est actif si la porteuse est inférieure à la référence de tension cf. Fig. 4-2.
Porteuse triangulaire
Signal de commande d'un bras
Figure 4-2 : Principe de génération Actuellement de type de modulation est réalisée par voie numérique, dans ce cas les rapports cycliques des bras de l’onduleur sont les suivants :
ρa = 0,5 + 0,5. 0, 5. ρ b = 0,5 + 0,5.
ρc = 0,5 + 0,5. 0, 5.
V
sin ( ω.t ) Vmax V Vmax V Vmax
(4-1)
⎛ ⎝
2.π ⎞
⎛ ⎝
2.π ⎞
sin ⎜ ω.t − sin ⎜ ω.t +
3
3
(4-2)
⎟ ⎠
(4-3)
⎟ ⎠
La tens tensio ion n Vmax est est le maxi maximu mum m atte atteig igna nabl blee et vaut vaut :
E
. 2 Afin de comparer cette technique intersective avec la modulation vectorielle nous allons exprimer le vecteur tension dans le plan α, β .
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57 A partir des relations de l’annexe A § 2.1 nous aurons :
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡1 − 1 − 1 ⎤ ⎢ V ⋅ cos ( θ ) ⎥ ⎢ ⎡ Xα ⎤ 2 2 ⎥ ⎢ ⎛ θ − 2 ⋅ π ⎞ ⎥ ⎢ ⎥ = ⋅ ⋅ k V c o s ⎢X ⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥ 3 ⎠ ⎥ 3 3⎥ ⎢ ⎝ ⎢ ⎣ β⎦ ⎢⎣ 0 2 − 2 ⎥⎦ ⎢ ⎛ θ + 2 ⋅ π ⎞ ⎥ ⋅ V c o s ⎢ ⎜ ⎟⎥ 3 ⎠ ⎦ ⎝ ⎣
(4-4)
V représentant l’amplitude maximum de la tension sinusoïdale. Nous obtenons : ⎡ Xα ⎤ ⎡cos ( θ ) ⎤ 3 2 (4-5) avec k = il vient : ⎢ X ⎥ = k ⋅ ⋅ V ⎢ sin θ ⎥ 2 3 ( ) β ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ Xα ⎤ ⎡cos ( θ ) ⎤ 3 3 ⋅V V d’où Vs = = ⋅ ⎢X ⎥ ⎢ ⎥ θ sin 2 2 ( ) ⎣ ⎦ ⎣ β⎦ Comme la tension crête ne peut dépasser
E 2
(4-6)
nous obtenons finalement : Vs
Afin d’obtenir une relation avec la tension efficace, sachant sachant que Vs
=
3 E
⋅
2 2
= 3 ⋅ Veff (voir annexe A
§2.1.2) nous aurons : E = 2 2.Veff
(4-7)
Application numérique. Pour une tension Veff
= 220 V il faudra une alimentation continu de E 622V qui est à
comparer à E = 540 V obtenu avec la modulation vectorielle. vectorielle. Comparaison avec la MLI vectorielle A partir de la relation (4-7) il est possible d’établir une interprétation sur les directions des commutations une interprétation géométrique de la MLI intersective qui montre clairement l’intérêt de la MLI vectorielle. E
E ν3
2
2
Vβ
ν2
2
E
Vs ν4
ν0
Vα
ν1
ν7
E
3
2
2 3
E
ν5
Vecteurs tension dans le planα ,
ν6
β
Figure 4-3 : Comparaison entre les MLI intersectives et vectorielles INSA 5GE ISIP
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58 5. FONCTIONNEMENT EN PLEINE ONDE .
Dans certains cas, la modulation par largeur d’impulsion n’est pas nécessaire et un fonctionnement dit en « plein onde » est suffisant. G G Ce type type de fonctio fonctionnem nnement ent corresp correspond ond à l’applicati l’application on succes successive sive des vecteu vecteurs rs non nuls V1 à V6 C’est dans ce mode que le maximum d’énergie est transmis à la charge. 5.1.
Montage étoile. E
G
V3
G
2
V2
2
Ici le module du vecteur tension est constant et E
G
3
G
V4
V1
vaut Vs
=
2
⋅E .
3
G G
V5
V6
Vecteurs tension dans le planα ,
β
Figure 5-1 : Configuration utilisées Vao +
−
−
−
2
ν3
ν5
ν4
ν6
ν1
ν
2
ν3
ν4
ν5
ν6
Les différentes formes de la tension sont représentées ci-contre.
E 2
ν1
ν
2
ν3
ν5
ν4
ν6
ν1
ν
2
ν3
ν4
ν5
ν6
E
Pour obtenir les tensions aux bornes de chaque phase nous utiliserons la relation (3-1), nous obtenons (voir tableau 2.7) les tensions suivantes :
2
E 2
Vco +
ν
2
V bo +
ν1
E
ν1
ν2
ν3
ν5
ν4
ν6
ν1
ν2
ν3
ν4
ν5
ν6
E 2
E 2
Figure 5-2 : Tensions délivré par le convertisseur en fonctionnement en pleine onde Van +2
E
ν3
ν4
ν5
ν6
ν1
ν2
ν3
ν4
ν5
ν6
ν1
ν2
ν3
ν4
ν5
ν6
ν1
ν2
ν3
ν4
ν5
ν6
ν1
ν2
ν3
ν4
ν5
ν6
ν1
ν2
ν3
ν4
ν5
ν6
E 3
V bn
E 3
−2
E 3
Vcn +2
ν2
3
−2
+2
ν1
E
−2
3
E 3
Figure 5-3 : Tensions par phase avec un fonctionnement en pleine onde
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59 ANNEXE A
PASSAGES DES REPERES TRIPHASES A DIPHASES 1. TRANSFORMEES DE CONCORDIA ET DE PARK. 1.1.
Transformation de Concordia.
Pour Pour un système système comp composé osé de trois trois grandeu grandeurs rs triphas triphasées ées dans dans le repère repère triphasé triphasé a,b,c a,b,c ( xa , x b , x c ), il existe plusieurs transformations pour faire correspondre au système triphasé deux grandeurs diphasées dans le repère α−β ( x α , x β ) et une grandeu grandeurr homopo homopolair lairee x h . Nous noterons :
Pour le repère triphasé le vecteur
⎡ xa ⎤ ⎢ ⎥ Xabc = x b ⎢ ⎥ ⎢⎣ x c ⎥⎦
(1-1)
Pour le repère diphasé le vecteur
⎡ xh ⎤ ⎢ ⎥ Xhαβ = ⎢ x α ⎥ ⎢ xβ ⎥ ⎣ ⎦
(1-2)
Une des plus classique est la transformée de Concordia, définie par une matrice C33 , le passage des composantes triphasée X abc a la composante homopolaires et aux coordonnées dans le plan α−β est donné par le relation matricielle suivante X αβh
Avec
= k ⋅ C33 ⋅ X abc
(1-3)
⎡ 1 1 1 ⎤ ⎢ ⎥ 2 2 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 1 C33 = ⎢ 1 − − ⎥ 2 2 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 3 3 ⎢ 0 − ⎥ 2 2 ⎦⎥ ⎢⎣
(1-4)
Cette transformation dépend d’un coefficient arbitraire k de normalisation. Les valeurs usuelles prise par k sont : 2 k = : Si l’on désire conserver la norme de X qui pour un moteur serons les courant, les 3 tensions et les flux. k=
2 3
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: Si l’on veut conserver dans la transformation la norme de la puissance.
Annexe A
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60
⎡xα ⎤ Si l’on sépare la composante composante homopolaire des coordonnées coordonnées X αβ = ⎢ ⎥ la la matrice C33 se x ⎣ β⎦ décom compose en deux eux sou sous matr atrices ices C13 et C23 .
⎡ ⎣
Avec C13 = ⎢
1
1
2
2
⎡ 1 1 ⎤ 1 − − ⎢ ⎥ 1 ⎤ 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ C23 = ⎢ 2⎦ 3 3⎥ 0 − ⎢ ⎥ 2 ⎦ ⎣ 2
Pour une machine dont le point neutre n’est pas relié les composantes homopolaires sont nulles et les relations (1-3) et (1-4) deviennent : X abc
X αβ
⎡ xa ⎤ ⎡ xα ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ = k ⋅ C23 ⎢ x b ⎥ ⎣ β⎦ ⎢⎣ x c ⎥⎦ suuu uuu t
suuuut
(1-5)
C23
⎡ 1 1 ⎤ x 1 − − ⎢ ⎥ ⎡ a⎤ ⎡ x α ⎤ 2 2 ⎥⋅ ⎢ x b ⎥ ⎢ x ⎥ = k ⋅ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 3 3⎥ ⎣ β⎦ − ⎥ ⎣⎢ x c ⎥⎦ ⎢0 2 ⎦ ⎣ 2 suuuuuuuuuuuuuuuuuu t
1.2.
(1-6)
Transformation de PARK
Le repère de Park correspond à un repère diphasé, pour une machine asynchrone il est lié généralement au champ tournant et pour une machine synchrone il est solidaire du rotor. Ce repère tournant est noté d-q, ainsi le passage d’un repère fixe à un repère tournant est donné par la matrice de rotation tel que :
⎡xd ⎤ ⎡x α ⎤ R = θ ( ) ⎢ x ⎥ ⎢x ⎥ q ⎣ β ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ cos ( θ) Avec R ( θ ) = ⎢ ⎣ − sin ( θ)
(1-7)
sin ( θ ) ⎤
⎥
(1-8)
cos ( θ ) ⎦
Réciproquement pour le passage inverse :
⎡ x d ⎤ ⎡xα ⎤ t ⎢ x ⎥ = R ( θ) ⎢ x ⎥ ⎣ β⎦ ⎣ q ⎦ Avec R
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t
(1-9)
⎡cos ( θ ) − sin ( θ ) ⎤ θ = ( ) ⎢ ⎥ cos ( θ ) ⎥⎦ ⎢⎣sin ( θ )
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(1-10)
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61 Si nous recherchons maintenant le passage entre les composantes triphasées et le repère diphasé d-q, nous aurons à partir des relations (1-6), (1-7) et (1-8). X abc
⎡ xa ⎤ ⎡ xd ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ = R ( θ ) ⋅ k ⋅ C23 ⎢ x b ⎥ ⎣ q ⎦ ⎢⎣ x c ⎥⎦ suuu uuu t
(1-11)
C23
X abc
⎡ 1 1 ⎤ x − − 1 ⎢ ⎥⎡ a⎤ ⎡xd ⎤ 2 2 ⎥⎢ ⎥ Soit : ⎢ ⎥ = R ( θ ) ⋅ k ⋅ ⎢ x b ⎢ ⎥ xq ⎢ 3 3⎥ ⎣ ⎦ − ⎥ ⎢⎣ x c ⎥⎦ ⎢0 2 2 ⎦ ⎣ suuuuuuuuuuuuuuuuuu t
suuu uuu t
(1-12)
En développant cette relation nous obtenons :
⎡xa ⎤ ⎡ xd ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ = k ⋅ P23 ⋅ ⎢ x b ⎥ ⎣ q ⎦ ⎢⎣ x c ⎥⎦
(1-13)
P23
⎡ ⎛ θ − 2π ⎞ cos ⎛ θ + 2π ⎞ ⎤ x cos cos θ ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎡ a⎤ ⎡ x d ⎤ ⎢⎢ 3 ⎠ 3 ⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎝ ⎥ x b ⎢ x ⎥ = k ⎢ 2π ⎞ 2π ⎞ ⎥ ⎢ ⎥ ⎛ ⎛ ⎣ q⎦ ⎢ − sin ( θ ) − sin ⎜ θ − 3 ⎟ − sin ⎜ θ + 3 ⎟⎥ ⎢⎣ x c ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ suuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu u uuuuuuuuuuuuuuuuuuu u uuuuuuuuuuu u t
(1-14)
Maintenant que ces transformées sont définies nous allons expliciter les différents passages entre les coordonnées triphasé et diphasées.
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2. PASSAGES ENTRE LE REPERE TRIPHASE ET LE REPERE DIPHASE Passage du triphasé vers le repère La transformation d’un repère triphasé à un repère diphasé
α−β est donné par la relation (1-6) :
C23
⎡ 1 1 ⎤ x 1 − − ⎢ ⎥ ⎡ a⎤ ⎡xα ⎤ 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⋅ ⎢ x b ⎥ ⎢x ⎥ = k⋅⎢ ⎢ ⎥ β 3 3 ⎣ ⎦ − ⎥ ⎢⎣ x c ⎦⎥ ⎢0 2 2 ⎦ ⎣ suuuuuuuuuuuuuuuuuu t
(2-1)
Le coefficient k est arbitraire, usuellement 2 valeurs sont prises k =
2
et k
=
2
. 3 3 Pour illustrer les conséquences pour ces deux valeurs, nous allons dans le cas d’une alimentation sinusoïdale expliciter le calcul.
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ X ⋅ cos ( θ ) ⎥ ⎢ ⎛ 2 ⋅ π ⎞ ⎥ . Considérions un système triphasé t riphasé tel que : Xabc = ⎢ X ⋅ cos ⎜ θ − ⎟⎥ 3 ⎠ ⎥ ⎝ ⎢ ⎢ ⎛ 2 ⋅ π ⎞ ⎥ ⎢ X ⋅ cos ⎜ θ + ⎟⎥ 3 ⎠ ⎦ ⎝ ⎣ X représentant ici la valeur crête d’une tension, d’un courant, d’un flux …. En utilisant la relation (2-1) il vient :
⎡1 ⎢ ⎡ Xα ⎤ ⎢ X ⎥ = k ⎢ ⎢0 ⎣ β⎦ ⎢⎣
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 1 ⎤ ⎢ X ⋅ cos ( θ ) ⎥ − − ⎥ ⎢ 2 ⋅ π 2 2 ⎞ ⎥ = k ⋅ 3 ⋅ X ⎡cos ( θ ) ⎤ ⎥ ⋅ ⎢ X ⋅ cos ⎛ θ − ⎢ sin θ ⎥ ⎜ ⎟⎥ 3 ⎠ ⎥ 2 3 3⎥ ⎢ ⎝ ⎣ ( )⎦ − ⎥ 2 2 ⎦ ⎢ ⎛ θ + 2 ⋅ π ⎞ ⎥ X c o s ⋅ ⎢ ⎜ ⎟⎥ 3 ⎠ ⎦ ⎝ ⎣
2.1.1. Utilisation de k =
(2-2)
2 3
Il est clair au vu de la relation (2-2) que les amplitudes des grandeurs électriques telles les ⎡ xα ⎤ ⎡cos ( θ )⎤ courants les tensions sont conservées. ⎢ ⎥ = X ⋅ ⎢ ⎥. x sin θ ( ) β ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Les amplitudes des tensions et courants sont conservées avec cette valeur de k =
2 3
.
Soit : I, et V les valeurs crêtes des tensions et des courants triphasées, dans le repère diphasé Vα = V ⋅ cos ( θ ) Iα = I ⋅ cos ( θ ) nous aurons : et Vβ = V ⋅ sin ( θ ) Iβ = I ⋅ sin ( θ )
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63 Les modules respectif seront : Vs = V et Is = I , sachant que V = aurons pour les valeurs efficaces de la tension et du courant : V I Veff = s et Ieff = s 2 2
2 Veff et I =
2 Ieff nous (2-3)
Si nous exprimons maintenant la puissance P = 3 ⋅ Veff ⋅ Ieff ⋅ cos ( ϕ ) . La puissance vaudra : P =
3 2
⋅ Vs ⋅ Is ⋅ cos ( ϕ )
(2-4)
Conclusion : 2 Avec k = les amplitudes des tensions et des courants sont conservée mais ce coefficient n’est 3 pas conservatif pour la puissance.
2.1.2. Utilisation de k =
2 3
.
Dans ce cas la relation (2-2) donne : ⎡ xα ⎤ ⎡cos ( θ ) ⎤ 3 X = ⋅ ⋅ ⎢x ⎥ ⎢ sin θ ⎥ 2 ⎣ β⎦ ⎣ ( )⎦ Les amplitudes des grandeurs électriques sont multipliés par
3
.
2 Comme précédemment, en régime triphasé sinusoïdal nous aurons : Vα Vβ
= =
3 2 3 2
⋅ V ⋅ cos ( θ )
Iα
=
et
⋅ V ⋅ sin ( θ )
Nous
Iβ
=
3 2
⋅ I ⋅ cos ( θ ) soit ici Vs
3
⋅ I ⋅ sin ( θ ) 2 valeurs efficaces
=
3 2
V et Is
aurons donc pour les des courants V I Veff = s Ieff = s 3 3 Si nous exprimons la puissance P = 3 ⋅ Veff ⋅ Ieff ⋅ cos ( ϕ ) nous aurons : P
= Vs ⋅ Is ⋅ cos ( ϕ )
= et
3 2
I
des
tensions :
(2-5)
Conclusion : Avec k
=
2
les amplitudes des tensions et des courants sont multipliées par un facteur
3 par contre ce coefficient est conservatif conser vatif pour la puissance.
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3 2
64
2.2.
Passage du triphasé vers le repère d-q.
Ici nous utiliserons la relation (1-14)
⎡ ⎛ 2π ⎞ cos ⎛ θ + 2π ⎞ ⎤ x cos ( θ ) cos ⎜ θ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎡ a ⎤ ⎢ ⎡xd ⎤ 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ x ⎥ = k ⎢ ⎢ b ⎥ ⎣ q ⎦ ⎢ − sin ( θ ) − sin ⎛ θ − 2π ⎞ − sin ⎛ θ + 2π ⎞ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎣ c ⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎣
(2-6)
Pour une alimentation sinusoïdale les tensions sur les axes d et q seront données par la relation suivante : Avec une alimentation triphasée sinusoïdale et pour k
=
2 3
nous aurons :
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎛ θ − 2π ⎞ cos ⎛ θ + 2π ⎞ ⎤ ⎢ X ⋅ cos ( θ) ⎥ cos cos θ ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎡ x d ⎤ 3 ⎠ 3 ⎠ ⎥ ⎢ 2 2⋅π ⎥ ⎝ ⎝ ⎥ ⎢ X ⋅ cos ⎛ θ − ⎞⎟ ⎥ ⎢ x ⎥ = 3 ⎢⎢ ⎜ 3 ⎠ ⎥ ⎝ ⎛ θ − 2π ⎞ − sin ⎛ θ + 2π ⎞⎥ ⎢ ⎣ q ⎦ sin sin − θ − ( ) ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎢ X cos ⎛ 2 ⋅ π ⎞ ⎥ ⎣ ⎢ ⋅ ⎜θ+ ⎟⎥ 3 ⎠ ⎦ ⎝ ⎣ Soit :
⎡xd ⎤ ⎢ x ⎥ = X ⋅ ⎣ q⎦
(2-7)
3 ⎡1 ⎤
⎢ ⎥
2 ⎣0 ⎦
Si nous nous intéressons au module nous aurons : Xs
=
x d2 + x q2
Nous pourrons alors écrire : Xs =
3
⋅ X si les grandeurs auxquelles nous nous intéressons sont 2 la tension et le courant, les valeurs efficaces seront : Vs = 3 ⋅ Veff
Is = 3 ⋅ Ieff
Pour les 3 enroulements P = 3 ⋅ Veff ⋅ Ieff ⋅ cos ( ϕ ) P = Vs ⋅ Is ⋅ cos ( ϕ )
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3. PASSAGES D’UN REPERE DIPHASE VERS UN REPERE TRIPHASE. Ici nous allons nous intéresser au passage inverse de celui que nous venons de voir, cette transformation s’appui sur les transformée de Concordia et de Park vue au §1.
3.1.
Passage des coordonnées
vers un système triphasé.
A partir de (1-5) en inversant la matrice matrice C23 nous aurons :
⎡ xa ⎤ ⎢ x ⎥ = k ⋅ C −1 ⎡ x α ⎤ = k ⋅ C t ⎡ x α ⎤ = k ⋅ C ⎡ x α ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 23 ⎢ 23 ⎢ 32 ⎢ ⎢ b ⎥ x x x β β β ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ x c ⎥⎦ Sachant que les matrices de transformations de Concordia et de Park sont orthogonales, leurs inverses sont égales à leurs transposées C32
⎡ ⎤ ⎢ 1 0 ⎥ ⎡ xa ⎤ ⎢ ⎥ 3 ⎢ x ⎥ = k ⎢ −0, 5 ⎥⋅ ⎡ x α ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ b ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣ xβ ⎦ ⎢⎣ x c ⎥⎦ ⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣ −0,5 − 2 ⎥⎦ suuuuuuuuuuuuuuut
(2-8)
⎡ xα ⎤ ⎢x ⎥ = ⎣ β⎦
⎡cos ( θ )⎤ ⋅X⋅⎢ ⎥ 2 3 ⎣ sin ( θ ) ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ cos ( θ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎛ 2 ⋅ π ⎞ ⎥ calcul calculéé préc précéd édem emme ment nt on retro retrouv uvee évi évide demm mmen entt le le vect vecteu eurr ini initia tiall X ⋅ ⎢ cos cos ⎜ θ − ⎟⎥ 3 ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎛ 2 ⋅ π ⎞ ⎥ ⎢cos ⎜ θ + ⎟⎥ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 3.2. Passage du repère d-q vers un système triphasé.
Si nous prenons k
=
2
, nous pouvons vérifier qu’avec le vecteur
3
A partir de (1-13) nous pouvons écrire :
⎡ xa ⎤ ⎢ x ⎥ = k ⋅ P −1 ⋅ ⎡ x d ⎤ = k ⋅ P t ⋅ ⎡ x d ⎤ = k ⋅ P ⋅ ⎡ x d ⎤ ⎢x ⎥ ⎥ ⎥ 23 23 ⎢ 32 ⎢ ⎢ b ⎥ xq ⎦ x q ⎦ q⎦ ⎣ ⎣ ⎣ ⎢⎣ x c ⎥⎦
(2-9)
⎡ xa ⎤ ⎡ x d ⎤ ⎢ ⎥ Il vient : x b = k ⋅ P32 ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x q ⎦ ⎢⎣ x c ⎥⎦
(2-10)
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66 Cette matrice étant orthogonale le passage inverse est défini par sa transposée soit: P32
⎡ ⎢ cos ( θ ) ⎢ ⎡ xa ⎤ ⎢ x ⎥ = k ⋅ ⎢ cos ⎛ θ − 2π ⎞ ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ b ⎥ 3 ⎠ ⎝ ⎢ ⎢⎣ x c ⎥⎦ ⎢ ⎛ 2π ⎞ ⎢ cos ⎜ θ + ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎣
⎤ − sin ( θ ) ⎥⎥ 2π ⎞ ⎥ ⎡ x d ⎤ ⎛ − sin ⎜ θ − ⎟ ⎥⋅ ⎢ ⎥ ⎝ 3 ⎠ ⎥ ⎣ x q ⎦ 2π ⎞ ⎥ − sin ⎛ θ + ⎜ ⎟⎥ ⎝ 3 ⎠ ⎦
suuuuuuuuuuuuuuuuuu u uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu uu t
(2-11)
Exemple : Détermination dans le repère triphasé, d’un vecteur tension Vs Notons : Repère d-q
Repère a,b,c
⎧ tension tensionss : Vsd , Vsq ⎪⎪ ⎨courants : Id , Iq ⎪ flux : φd , φq ⎪⎩flux
⎧ tensions efficace : ⎪ ⎨courants efficace : ⎪flux : φd , φq ⎩
Ia , Ib , Ic
Considérons un vecteur tension conformément au diagramme vectoriel suivant :
q
Vs = Vq
Va ,V b , Vc
3 2
⋅V
Vs
δ
d
Nous aurons : Vq tg ( δ ) = Vd
Vd
Dans le repère triphasé les expressions des tensions seront les suivantes:
⎡ ⎤ ⎢ cos ( θ ) − sin ( θ ) ⎥⎥ ⎡ ⎡ va (t ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ 2 ⎢ 2π ⎞ 2π ⎞ ⎥ ⎢ ⎛ ⎛ ⎢ v b (t ⎥ = . ⎢cos ⎜ θ − ⎟ − sin ⎜ θ − ⎟ ⎥ . 3 ⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ vc (t ⎥⎦ ⎢ ⎛ 2π ⎞ 2π ⎞ ⎥ ⎣ ⎛ ⎢cos ⎜ θ + ⎟ − sin ⎜ θ + ⎟ ⎥ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎡ ⎤ ⎢ cos ( θ − δ ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ va (t ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ 2 ⋅ π ⎞ ⎥ ⎛ − δ ⎟⎥ ⎢ v b (t ) ⎥ = V ⋅ ⎢cos ⎜ θ − 3 ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ vc (t ⎥⎦ 2 ⋅ π ⎛ ⎞ ⎢cos θ + − δ ⎟⎥ ⎢⎣ ⎜⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
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⎤ ⋅ V ⋅ cos ( δ ) ⎥ 2 ⎥ ⎥ 3 ⋅ V ⋅ sin ( δ ) ⎥ 2 ⎦ 3
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4. PASSAGE DIPHASÉ TRIPHASÉ. Ces passages ont été définis dans le paragraphe 1-2.
4.1.
Passages
vers le repère d-q. R ( θ )
⎡ x d ⎤ ⎡ cos ( θ ) ⎢ x ⎥ = ⎢ − sin θ ( ) ⎣ q⎦ ⎣
sin ( θ ) ⎤ ⎡ x α ⎤
suuuu uu uuuuu uu uuuuu uu uuuuu uu uu u t
4.2.
⎥⎢
⎥
(2-12)
cos ( θ ) ⎦ ⎣ x β ⎦
Passages Passages d-q vers vers le repère
.
R t ( θ )
⎡ x α ⎤ ⎡cos ( θ ) − sin ( θ ) ⎤ ⎡ x d ⎤ ⎥ ⎢x ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢ sin cos θ θ ( ) ( ) β ⎢ ⎥⎦ ⎣ q ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ suuuuuuuuuuuuuuuuuu u uuuuu t
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(2-13)
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