= 47Tp.
22. La fuerza de flotación de un objeto flotante es B = -f fs p n dS, donde p es la presión del fluido. La presión p se relaciona con la densidad del fluido p(x, y, z) por medio de una ley de la hidrostática: V'p = p (x, y, z)g, donde g es la aceleración constante de la gravedad. Si el peso del objeto es W = mg, utilice el resultado del problema 21 para demostrar el principio de Arquímedes: B + W = O; véase la figura 3.144.
En los problemas del 17 al 21, considere que S es la frontera de una región cerrada y acotada D. 17. Si a es un vector constante, demuestre que f f s (a · n) dS
,
18. Si F =Pi+ Qj + Rk y P, Q y R tienen segundas vadas parciales continuas, demuestre que
2
D
S.
=O.
dV
,
n dS =
g -
D
V'f •
D
Procédase como en la deducción de la ecuación ~e continuidad (16) para demostrar que div E = 47Tp.
ff
2
n dS =
S
donde p(x, y, z) es la densidad de la carga, o carga por unidad de volumen. a)
fJ (!V' g) · fJ r(!Y' g + V' g) fJ (!V' gV'f) · fJ f (!Y' g - gV' f)
19.
de~i
(rot F · n) d S = O.
B
s
1
En los problemas 19 y 20, considere que f y g son funciones escalares con segundas derivadas parciales continuas. Utilice el teorema de la divergencia para establecer las identidades de Green.
\1
1
w
\ '
..........
\1
I
_
-------
,,,,/ I
Figura 3.144 ,Objeto flotante del problema 22
Cambio de variables en integrales múltiples , ,
3.17
1
'-------~
•
Introducción
En muchas ocasiones es conveniente, o incluso necesario, realizar una
f:
sustitución, o cambio de variable, en una integral definida f(x) dx para poder calcularla. Sif es continua en [a, b], x = g(11) tiene una derivada continua y dx = g' (u) du, entonces
f
b
f(x) dx =
f
d
a ·
f(g(u))g' (u) du,
(1)
e
donde e = g(a) y d = g(b). Hay tres cuestiones que se deben subrayar en (l); para cambiar la variable de una integral definida se reemplaza x por g(u) en donde aparezca el integrando, se cambia el intervalo de integradón [a, b] del eje x al intervalo correspondiente [e, d] del eje u, y se reemplaza dx por una función múltiplo (a saber, la derivada de g) de du. Si se escribe J(u) = dxldu, entonces (1) tiene la forma
f
b f(x)
dx
=
f"
a
Por ejemplo, utilizando x = 2 sen x-límites
,J, 2
f
o
260
~
~ dx
=
(2)
e, donde - 7T/2 :S (} :S 7T/2, se obtiene
O-límites ,J, /(2 sen 0)
f(x)
f( g(u)) J(u) du.
e
f
" /2
o
CAPÍTULO 3 Cálculo vectorial
J (0)
~ ~
2 cose (2 cose)
de=
4
f
" /2
o
cos 2e de= 1T.
B Integrales doble,s Aunque cambiar variables en una integral múltiple no es tan directo como el procedimiento (1), la idea básica ilustrada en (2) se mantiene. Para cambiar variables en una integral doble se necesitan dos ecuaciones como las siguientes y= g(u, v).
x = f(u, v) ,
(3) y
En analogía con (2), se espera que un cambio de variables en una integral doble tome la siguiente forma
ffF(x, y ) dA ffF(f(u, =
R
(4)
v), g(u, v)) J(u, v) dA',
S
donde Se~ la región ell el plano uv correspondiente a la región R del plano xy, y J(u, v) es una función que depende de las derivadas parciales de las ecuaciones (3). El símbolo dA' del ladc;i der~cho de (4) representa a du dv o a dv du. En la seccióµ 3.11, se argumenta brevemente cómo cambiar una integral doble f f RF(x, y) dA de coordenadas rectangulares a coordenadas polares. Recuérdese que en el ejemplo 2 de dicha sección las siguientes sustituciones X=
conducen a
2I~
f
O
1
5
·'
~ COS
2
+X +y
e,
y=
2 dy dx
=
/'sen
e 1
--2 r dr
5
O
e
+r
.
de.
1!
n/2
s
n/4
(5)
f"'/2J V8 7r/ 4
a) Región R del plano xy
1 1
rs....:. r
o ' (6)
Como se ve en la figura 3.145, la introducción de coordenadas polares cambia la región original de integración R del plano xy a la más conveniente región rectangular de integración Sen el plano re. Se observa también que, comparando (4) con (6) , se pueden plantear las siguientes igualdades: J(r, e) = r y dA' = dr de, . Las ecuaciones para cambio de variable (3) definen una transformación (o función) T del plano uv al plano xy. Se dice que un punto (x0 , y 0 ) del plano xy , determinado a partir de x0 = f(u 0 , v0 ) y Yo = g(u 0 , v0 ), es una imagen de (u 0 , v0 ).
f
b) Reg ión S tlel plano
re
Figura 3.145 Región¡). utilizada para calcular (6) '
Ejemplo 1 Imagen de una región
\/
Encuentre la imagen de'la región S mostrada en la fi gura 3.146a) bajo la transformación + v2, y = u2 - v2. .
x = u2
u2
+ v2
=4
Solución Se comienza encontrando las imágenes de los lados de Sindicadas por S 1, S2 Y S3. S 1: En esta cara v = O, de forma que x = u 2 , y = u2 . Eliminando entonces u se obtiene y = x. Imaginando ahora el movimiento a lo fargo de la frontera desde (1, O) hasta (2, O) (esto es, 1 ::::; u ::::; 2), las ecuaciones x = u2, y = u2 indican que x se encuentra en el intervalo de x "" 1 ax = 4 y que, simultáneamente, y se encuentra en el in~ervalo de y ·= 1 a y = 4. En otras palabras , en el plano xy la imagen de S 1 es · el segmento de línea y = x de (1, 1) a (4, 4 ). S2 : En esta frontera u2 (2, O) a.l
(vl,
+
v2
= 4 y, por lo tanto, x = 4. Al moverse ahora del punto
\/'t), la ecuación restante y
= u2
-
11
2
_indica que y se encuentra
en el intervalo ele y = 2 - 0 = 4 a y = (vl)2 - ('\Á)2 = 1. En este caso, Ja imagen de S2 es el segmento de la línea vertical x = 4 que comienza en (4, 4) y desciende hasta (4, 1). 2
S 3 : Corno u
2
-
11
2
a)
y
zj''. , (1 , l )
y= 1
(4, ·l)
2
= 1, se tiene que y = 1. Pero al recorrer esta frontera desde
c\!Í, '\Á), hasta ( l, 0) , la ecuación
u2 + v2 indica que X Se encuentra en e) interval~ de x = 4 ax = 1. La imagen ele S3 es el segmento de la línea horizontal y= 1 que comienza en (4, 1) y finaliza en (l ~ l). X =
La imagen de Ses la región R indicada en la figura 3.146b).
o
3.17 Cambio de variables en integrales múltiples
b)
Figura 3.146 La región R:·es la imagen de la región S en el ejemplo 1 1:
.i
261
Obsérvese en el ej emplo l que al recorrer la frontera de S en dirección contraria a la de las manecillas del reloj , la fro ntera de R se va recorriendo en el sentido de las manecillas del'reloj . Se dice que la transformación de la fro ntera de S ha inducido una orientación en la fro ntera de R. Aunque la demostraciór1 de la fó rmula para el cambio de variables en una integral múltiple rebas¡¡ el alcance de este li bro, se indican algunas de las consideraciones de fo ndo que se realizan al respecto de las ecuaciones (3) y de las'regiones R y S. Se considera que: • Las fun ciorn
ax au ay au
ax av ay av
ax ay au av
ax -ay av au
-- -
(7)
=-
no es cero en S. Se dice que una transformación Tes uno a uno si cada punto (x 0 , y0 ) en R es la imagen bajo T de un punto único (u 0, v0 ) en S. Dicho de otra fo rma, no existen dos puntos en's que tengan la misma imagen en R. Considerando las restricciones r 2'. O y O :::; fJ :::; 271', las ecuaciones (5) definen una transformación uno a' uno del pl ano rfJ al plano xy. · El determinante (7) se denomina Jacobiano de la transformación T y es la clave para el cambio de variables ~ n una integral múltiple. El Jacobiano de la transformación defi nida por las ecuaciones (3) se denota con e\ símbolo
a(x, y) a(u, v)' En fo rma similar al concepto de fun ción uno a uno, una transformación Hno a uno T tiene una transformación inversa r - 1 tal que (uo, Vo) es la imagen bajo r- 1 de (xo, Yo); véase la fi gura 3. 147 . Si es posible resolver (3) para u y ven función de x y y, entonces la · tra nsformac ión inversa se defi ne por medio de un par de ecuaciones
u= h(x, y), El Jacobi ano de la transformación inversa Figu ra 3.147 y su inversa
Transform ación T
a(u , v) a(x, y)
V=
' (8)
k(X, y).
r - 1 es au ax av ax
au ay av ay
(9)
y se relaciona con el Jacobiano de la transformación T por medio de
a(x, y) a(u, v) ----= 1 a(u, v) a(x, y) . .
( 10)
Ejemplo 2 Jacobiano El Jacobiano de la transformación X= /' cos e, y= /' sen fJ es
a(x, y) --a(r,
e)
262
ax ar ay ar
ax ae = leos e ay sen e ae
CAPÍTULO 3 Cálc ulo vecto rial
e¡
- r sen = r( cos 28 r cose
+
sen 2 fJ) = r.
A continuación, nos abocamos al punto central de esta argumentación: cómo cambiar variables en un a Integral múltiple. La idea expresada en (4) es vá lida; la fun c ión J(u, v) resulta ser ¡a(x, y)/a(u, v)I. Tomando en cuenta las considerac iones reali zadas anteriormente, se tiene el siguiente resultado :
Cambio de variables en una integral doble Si F es continua en R, entonces
JI F(x, y ) dA = JI F(f(u, v), g(u, v))
y)I
a(x, a(u, v) dA'.
,
R
S
(11)
l
La ºfó nnula (3) de la sección 3. 11 para cambiar una integral doble a coordenadas polares ·es sólo un c aso espec ial de ( 11 ), con
y)I
a(x, a( r, 8) =
lrl =
r,
l
ya que r 2 O. Se tiene entonces en (6) que J(r, 8) = la(x, y)/a(r, 8)1= 1: Puede realizarse un cambi o de variables en una integral múltiple para simplificar el integrando o bie n para simplifi car la región de 'integrac ión. E l cambio de va ri ables uti li zado se inspira usualme nte en la estructu ra del integrando F(x, y) o en las ecuaciones q ue defin en la región R. Como consecue ncia, la transformac ión se de fine e ntonces por ecuaciones de la fo rma dada en (8); esto es , se trabaja con la tra nsformac ión inversa . Los siguientes dos ejemplos ilustran estas ideas.
Ejemplo 3 Ca lc úl ese
Cambio de variables en una integral doble JJR sen(x + 2y) cos(x - 2y) dA sobre la reg ió n
R mos trada e n la fi gura
3. 148a).
Solución
La di ficultad para calcul ar esta integral do ble rad ica claramente e n e l integrando . La preseilcia de los términos x + 2y y x nos anima a definir e l cambio de vari ables u = x + 2y, v = x - 2y. Estas ecuaciones tranfo rman a [? en una región S del plano uv. Como en e l ejemplo 1, se transforman las caras de la región.
2y
S 1: y = O implica que u = x, v = x o v = u. Al pasar df'. (27T, 0) a (O, O), se observa que los puntos image n corres po ndientes de l pl ano uv caen en un segme nto de la línea v = u, desde (27T, 27T) hasta (0, O). S2 : x = O implica que u = 2y, v = --; 2y, o v = -'- u. Al pasar de (O, 0) a (O, 7r), los puntos imagen corres pondientes del pl ano uv caen e n un segmento de la línea v = - u, de (O, O) a (27T, - 27T). S3: x + 2y = 27T implica que 11 = 27T. Al pasar de (0, 7r) a (27T, 0), la ecuación v = x - 2y 1n uestra que v se encuentra entre v = -27T y v = 27T. Por lo tanto, la imagen de S3 es e l segmento de la línea vertica l u = 27T que comienza en (- 27T, - 27T) y sube l,rnsta (27T, 27r); véase la fig ura 3. l48b). Ahora, despejando x y y en fun ció n de u y v, se obti ene
x
a(x, y) Por lo tanto,
1
= 2 (u + v),
a( u, v)
ax au ay
ax av ay
au
av
y
,v= u
/ _
/
1/.
s
_.,__ _ , -
(O, 0)
••
= 2n:
-+ i -
11
~!~ (2n:, - 2n:) b) ~·:
Figura 3.148 La región S es la imagen de la región R del ejemplo 3
1
¡ (u - v) .
=
l
':
1
-
-
2 1 4
.2 1
- -
1 :·
4
4
3.17 Cambio de variables en integrales múltiples
i:
263
Por lo tanto, de ( 11) se -encuentra que
fJ
sen(x
+ 2y) cos(x
- 2y) d'4. =
fJ
R
sen
S
-- 41 J,( 27T
~t cos v 1--1-1dA'
f" sen u cos v dv du
o
- u
l l l
2
= -l
7T
sen u sen v] " du
4 o
- 11
2
= -l
7T sen 2 u du
2 o
2
= -1
7T
4 o
(1 - cos2u) du 2
1[ 'l ] 7T u - - sen 2u 4 2 o
= -
1T
2
o
y y=4x2
Ejemplo 4 Ca mbio de variables en una integra l doble Calcule f f R xy dA sobre la región R mostrada en la figura 3. l49a) .
Solución En este caso el integrando es relativamente simple, pero la integración sobre la región R sería tediosa al tener que expresar f f R xy dA como la suma de tres integrales (verifique esto). Las ecuaciones de las fronteras de R sugieren el siguiente cambio de variables U=
s
a(u, v)
(4, 1)
-t----+--+-----ii---t--+-
ti
a(x, y)
b)
Figura 3.149 La región 5 es la image n de la región R del ejemplo 4
au ax av ax -
au ay av ay
2y -
x3
y
3y 2' X
x2 X
y entonces, de (10),
a(x, y) . a(u, v)
1
x2
éi(u, V)
3y
a(x, y) Por lo tanto, 1
.= -
3
264
(12)
xy.
En este caso la imagen de R se obtiene directamente, puesto que las imágenes de las curvas que forman las cuatro fronteras son simplemente u = 1, u = 4, v = 1 y v = 5. En otras palabras, la imagen de la región Res la región rectangular S: 1 :::; u :::; 4, l :::; v:::; 5; véase la figura 3.149b). Ahora, en lugar de intentar resolver la ecuación (12) para x y y en función de u y v, se puede calcular el Jacobiano éi(x, y)léi(u, v) evaluando éi(u, v)léi(x, y) y aplicando (10). Se tiene
(4, 5)
(1, 1)
V=
X
a) (1 , 5)
y 2•
CAPÍTULO 3 Cálculo vectorial
f 4f 5~dvdu 1
1
.
3u
=
4 f 3 v2 Js 1
2u
1
1
=4
41
f
- du
'
du
]4= 4 In 4.
= 4 In u
1 U
o
I'
1111 Integrales triples Para cambi ar variables en una integral triple, sea y = g(u, v, w),
x = f(u, v, w),
z = h(u, v,
w) ,
una transformación µn o a uno T de una región E del espacio uvw a una región D del espacio xyz. Si Fes continu a en D, entonces ·
III. ,
. F(x,.y, z) dV
III
=
D
a(x, v, y, w) z) 1 dV F(f(u, v, w), g(u, v, w), h(u, v, w)) 1 a(u,
/
E
ax au ay au az au
a(x, y, z) a(u, V, w)
donde
ax av ay av az av
Se deja como ejercicio demostrar que si Tes la a rectangulares, defo1ida por
ax aw, ay aw az aw
t ra n sform~c i ón
.,,
y = p sen
(x, y) = e se bosquejan, y el campo vectoria l F se determina utiliza ndo (5),
Ejemplo 3
Potencial complejo
:¡',
y
El potencial de l semiplano x ~ O sati sface las condic iones de frontera (O, y) = O y
Solución Se observa e n el ej emplo 3 ele la secc ión 12,2 que la fun ción analítica z = sen w tra nsforma la franj a O :5 u :5 7r/2 del pl ano w en la reg ió11 R en cuestión. Por lo tanto, f( z) = sen - i z transforma R en la franj a, y la fi gura l 2.68b) muestra las condic iones de
frontera transferidas, El problema ele Dirichlet sim plifica do tie ne la solución U(u, v) = (2/7r)u, y por ende
se1ra
cos -a
= L
y2
0 .5
"
a)
U=O
U= I
,.
U=O
i'.
U= I
0.25 o,5 0,75 1 'I 1: 'b)
Figura 12.68 Im ág en e~ de condiciones de frontera del ejemplo 3
G' (z) y (d/dz) sen- 1z = 1/(1 - z2) 112 , e l campo ele fue rza viene dacio por 2 1T (! _ z2 )1/2
\
2
; = l. cos -( 1Tc/2 )
F = - - -- -
0.25
- - + ---+---1-+---+-- - LI 7í
Como la línea equipotencial U = e, O< e< 1, es la línea vertica l u = 1T/2c, se deduce que la línea equipotencia l
Como F =
2 1T (1 - z2)1(2'
,- - - - -
'O
Flujo permanente de un fluido El vector V(x, y) = P(x, y) + iQ(x, y) puede interpretarse también como el vector velocidad de un fluj o perm.a nente bidimensional de un fluid o en un punto (x, y) de un dominio D. La velocidad en tocios los puntos de l domini o
*S i F es un ca mpo eléctrico, la función potencial eléctrica se defi ne como
-e/) y F
=
-- \7
~43
12.6 Aplicaciones :11
es por lo tanto independiente del tiempo, y todo el movimiento se realiza en planos que son paralelos a un plano z. La interpretación fís,i ca de las condiciones div V = O y rot V = Ose explica en la sección 3.7. Recuérdese que si rot V = O en D; el flujo se .d enomina irrotacional. Si una rueda circular de paletas pequeñas se coloca en el fluido, la velocidad angular neta en la frontera de la rueda es O, por lo que la rueda no rota. Si div V = O en D, el flujo se denomina incompresible. En un dominio simplemente conexo D, un flujo incompresible tiene la propiedad especial de que la cantidad de fluido en el interior de cualquier contorno cerrado simple C es independiente del tiempo . La rapidez con la que el fluido entra al interior de Ces igual a la rapidez con la que lo abandona, y consecuentemente no pueden existir fuentes o hundimientos de fluido en puntos de D. Si div V = O y rot V = O, V tiene un potencial de velocidad complej,o G(z) = (x, y)
+ itf¡(x, y)
que satisface G'(z) = V. En este contexto, se pone especial importancia en las curvas de nivel tf¡(x, y) = c. Si z(t) = x(t) + iy(t) es la trayectoria de una partícula (tal como un corcho pequeño) puesta en el fluido, entonces dx dt = P(x, y) dy -
dt
(6) = Q(x,y) .
Por lo tanto, dy/dx = Q(x, y)IP(x, y) o -Q(x, y) dx + P(x, y) dy =O. Esta ecuación diferencial es exacta, ya que div V = O implica que a(-Q)lay = aPI ax. Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, atf¡/ax = -af!>/ay = -Q y atf¡/ay = .afax = P, y en vista que todas las soluciones de (6) satisfacen tf¡(x, y) = c. La función tf¡(x, y) se denomina entonces una función de corriente y las curvas de nivel tf¡(x, y) = e son líneas ele corriente para el flujo.
y
Ejemplo 4 Flujo uniforme V
V
X
, a)
El flujo uniforme del semi plano superior se define por V(x, y ) = A( 1, 0) , donde A es ' una constante positiva fija . Obsérvese que IVI = A , por lo que una partícula del fluido se mueve con rapidez constante. Un potencial complejo para el campo vectorial es G(z) = Az = Ax + iAy, por lo que las líneas de corriente son las líneas horizontales Ay = e; véase la figura I 2.69a). Obsérvese gue la frontera y = O ele la región es en sí misma una línea de corriente. O
Ejemplo 5 Flujo alrededor de una esquina La función analítica G(e) = z2 lleva 'al campo vectorial V(x, y) = G'(z) = (2x, -2y) en el primer cuadrante. Como z2 = x 2 - y2 + i(2xy), la función de corriente es·tf¡(x, y) = 2xy y las líneas de corriente son las.hipérbolas 2xy = c. Este flujo , denominado flujo alrededor ele una esquina, se ilustra en la figura l2.69b) ..Como en el ejemplo 4, las líneas de frontera x = Oy y = Odel primer cuadrante son en sí mismas líneas de corriente. O
b)
Figura 12.69 a) Flujo uniforme del ejemplo 4; b) flujo alrededor dé u11a esquina del ejemplo 5
Construcción de flujos especiales El proceso ele construir un flujo irrotacional e incompresible que perrnanezca dentro de una región ciada R se denomina determinación de líneas de corriente. Como las líneas de corriente se describen por medio de tf¡(x, y) = e, dos líneas de corrientes distintas no se intersecan . Por lo tanto, si la frontera es en sí misma una línea de corriente; una partícula que comienza dentro de R no puede abandonar R. Ésta es la esencia del siguiente teorema :
Determinación de líneas de corriente Supóngase que G(z) = (x, y) + itf¡(x, y) es analítica en una región R y tf¡(x, y) es constante en la frontera de R. Entonces V(x, y) = G'(z) define a un flujo irrotacional e incompresible en R. Asimismo, si se coloca una partícula dentro de R, su trayectoria z = z(t) permanece en R.
544
CAPÍTULO 12 Transformaciones cqnformes
Ejemplo 6 Flujo alrededor de un cilindro La fun ción analítica G(z) = z + l /z transforma la región R en el semi plano superior y
V
y
fuera del círculo lzl = 1 en el semiplano superior v 2: O. La fro ntera de R se tra nsforma en el eje u, por lo que v = tf¡(x, y) = y - yl (x2 + y2) es O en la fro ntera de R. La fig ura 12.70 muestra las líneas de corriente del fl uj o resultante. El campo de velocidades viene dado por G'(z) = 1 - llZ2, por lo que
Figura 12.70 Flujo alrededo r del cilindro del ej emplo 6 ¡i' Se deduce entonces que V = ( 1, 0) para valores grandes de r, por lo que el fluj o es aproximadamente uniforme a grandes distancias del círculo lzl = l. El fl ujo resultante en la región R se denomina fluj o al rededor de un cilindro. Puede añadirse la imagen espej o del fluj o p ~ra p~·ese nta r el fluj o alrededor de un cilindro completo. O
Si R es una región poligonal se puede utilizar la fó rmula de Schwarz-Christoffel para encontrar una tra nsformación conforme z = f(w) del semiplano superior R ' en R . La función inversa G(z) ¡ - ' (z) transforma la fro ntera de R en el eje u. Entonces, si G(z) =
=
Ejemplo 7
Líneas tje corrientes definidas paramétricamente analíticaf(w) = w + Ln w + 1 transforma el semiplano superior v 2: O en
La funciói1 el semi plano superior y 2: O sin la línea hori zontal y = 1T, x :::; O; véase el ejemplo 4 de la sección 12.4. Si G(z) = ¡- 1(z) =
z= esto es,
x = t
f( t
; 1 ~.
+ ic) = t + ic + Ln(t + ic) + 1, 1
+1+ -
2
loge (t2
+ c2), y
= e
+ Arg(t + ic).
Las líneas de corriente de la fig ura 12.71 fueron generadas con un programa de graficaO ción.
Figura 12.71 Una función de corriente tf¡(x, y ) es armónica pero, a diferencia de una solución para un problema de Dirichlet, no se necesita que tf¡(x, y ) esté acotada (véanse los ejemplos del 4 al 6) ni considera!' un conjunto fij o de constantes en la fro ntera. Por lo tanto, pueden existir muchas fun ciones de corriente diferentes para un ~ región dada que satisfagan el teorema 12.8. Esto se ilustra en e\ ejemplo fi nal.
Ejemplo 8 Líneas de corriente definidas paramétricamente La fun ción analíticaf(w) = w + e"' + 1 tra nsforma la fra nj a hori zontal O :::; v :::; 1f·en la región R m ostrada en la figura 12.71. Por lo tanto, G(z) = ¡- 1(z) =
Flujo del ejemplo 7
1'
•'
· transforma R de nuevo en la franj a y?de M-1 en las transformacines confo rmes del apéndice, transforma la línea de fro nterá y = Oen el eje u y la línea de frontera y = 1T, x :::; O, en la línea horizontal v = 1T . Entonces, tf¡(x, y) es constante en la fro ntera de R. ¡'
12.6 Aplicaciones
· 1,,
5.45
Las líneas de corriente son las imáge nes de las líneas horizontales v = e, O < e < 7r, bajo z = f(w) . Al igual ,que en el ejempl o 7 , una representación paramétrica de las líneas de corriente es
z=
Las líneas de corriente se muestran en la fig ura l2.72. A di fe rencia del fluj o del ejemplo 7, el fluido parece emerger de la franj a O :o; y :o; 7r, x :o; O. o '
Figura 12. 72 . Flujo del ejemplo 8
En los problemas del 1 al 4, verifique que div F = O y rot F = O para el c¡impo vectorial indicado F (x, y) examinando la función compleja correspondiente a g(z) = P(x, y) - iQ(x, y). E ncuentre un potencial complej o pat a el campo vectori al y bosqueje las líneas equipotenciales. l. F (x,y) = (cos
y = e + e' sen c.
x = t + 1 + e' cos e,
o
1
f(t + ic) = t + ic + e'+ic + 1
e0) i +(sen e0) j
8. Utilice la transformación conforme C-1 del apéndice para encontrar el potencial de la región en el exterior de los círculos lzl = 1 y lz - 3j = 1 si se mantiene el potencial en cero para lzl = 1 y uno para lz - 3j = 1. Utilice las propiedades de las transform aciones racionales lineales para explicar la razó n por la cual las líneas equipotenciales son, con una excepción, círcul os .
2. F (x, y)= -y i - x j X
3. F (x, y) = X
2
+ )'
2
i
)'
+ X
2
+ y2
En los probl emas del 9 al 14, un potencial de velocidades complejo G(z) se define sobre una región R.
•
J
2xy - y2 i + j , (x2 + y2)2 (x2 + y2)2
· 4. F (x, y)=
x2
5. El potencial en la cuña O :o; Arg z :o; 7r/4 satisface las condiciones de fro ntera (x, O) = O y (x, x) = 1 para x > O. Determine un potencial complejo, las líneas equipotenciales y el campo de fuerza correspondiente F . 6. Utilice la transformación confo rme f( z) = l/z para de- . terminar un potencial complejo, las líneas equipotenciales y el campo de fuerzas correspondiente F para el potencial que sati sfaga las condi ciones · de frontera mostradas en la figura 12.73.
a)
Encuentre la fun ción de corriente y verifique que la fro ntera de R sea una línea de corriente.
b)
Encuentre el campo vectorial de velocidades correspondiente V(x, y).
e)
Utilice una herramienta de grafi cación para bosquej ar las líneas de corriente del fluj o.
9. G(z) =
z4
y
Figura 12.74
10. G(z)
=o
=
Regi ón R del problema 9
z. 213 y
Figura 12.73
Condi ciones de fron't era del problema 6
7. El potencial del semicírculo lzl :o; 1, y 2". O, sati sface las condiciones de fro ntera (x, O) = O, - 1 < x < 1, y (e;º) = 1, O< 7r. Demuestre que
e<
(z-
(x, ·y) = -1 Arg· - -1) 7r
z+
R - -
-
-
- +----- X
2
1
y utilice las propiedades de las transformaciones racio-
nales lineales para explicar la razón por la cual las líneas equipotenciales son arcos de círculos.
546
Figura 12. 75
CAPÍTULO 12 Transformaciones cpnformes
Región R del problema 10
11. G(z) = sen
z
Encuentre una representación paramétrica para las líneas de corriente del flujo. '" e) Utilice una herramienta de graficación p,¡l.ra bosquejar , las líneas de corriente del flujo. b)
y
'. , 1
15. M-9 del apéndice 16. M-4 del apéndice; utilice a = 1 17. M-2 del apéndice; utilice a= 1
Figura 12.76
1C
1C
2
2
Región R del problema 11
12. G(z) = i sen - iz
,,,. ,,' ' 19. Un punto de estancamiento en un flujo es un punto para el que V = O. Encuentre todos los puntos"de estancamiento para los flujos de los ejemplos 5 y' 6.
18. M-5 del apéndice
" 1
20. Para dos números reales cualesquiera k y x1' la función G(z) = k Ln(z - xi) es analítica en el semiplano superior y por lo tanto es un potencial complejo !para un flujo. El número real x i se le denomina pozo ,cuando k < O y fuente para el flujo cuando k > O. a)
b)
Demuestre que las líneas de corriente &~n rayos que surgen de xi. ' Demuestre que V= (k!lz - xi l 2)(z - xi) y concluya que el flujo se dirige hacia x i precisamente cuando
k
~2.77 2
13. G(z) = z
Región R del problema 12
+ 1/z
2
y
1
21. Sif(z) es una transformación conforme desde un dominio D en el semiplano superior, se define un flujo con una fuente en un punto ~o de la frontera de D por el potencial complejo G(z) = k Ln(f(z) -.1(~0)), donde k >O. Determine las líneas de corrien~e para un flujo del primer cuadrante con una fuente en g0 = 1 yk = l.
22. a) Construya un flujo en la franja horizontal O < y < 1T con un hundimiento en el punto de fro~tera ~o = O. [Sugerenda: Véase problema 21.] b)
Figura 12.78
Región R del problema 13
14. G(z) = e' y
Figura 12.79
23. El potencial complejo G(z) = k Ln(z - 1) ,. k Ln(z + 1)' con k >O da lugar a un flujo en el semiplano superior con una fuente única en z = 1 y un pozo único en z = - 1. Demuestre que las líneas ,de corriente son ~a familia de círculos x 2 +'(y - c) 2 = 1 + c2 ; véase la ,figura 12.80.
Región R del problema 14
En los problemas del 15 al 18, se proporciona una transformación conforme z = f(w) del semiplano superior v 2: O en una región R del plano z y se construye el flujo en R con potencial complejo G(z) = Fi(z). a)
Utilice una herramienta de graficación l'para bosquejar las líneas de corriente del flujo,-
Verifique que la frontera de R sea una línea de corriente para el flujo.
-1
Figura 12.80
:.•
Líneas de corriente del problema 23
24. El flujo cuyo vector de velocidad es V ,,;, (a + ib)/z se denomina un vórtice en z = O, y la naturaleza geométrica de las líneas de corriente depende de la elección de a y b.
12.6 Aplicaciones
547
a)
b)
Demuestre que si z = x(t) una partícula, entonces
+ iy(t) es la trayectoria de
dx
ax - by
dt
x2
dy
bx +ay
dt
x 2 + y2
mientras que las curvas tienen el sentido horario si y sólo si, b < O; véase la figura 12.81.
+ y2
y
Cambie a coordenadas polares para establecer que drfdt = a/r y d8/dt = b!?, y concluya que r =ceªº''< para b *O. [Sugerencia: Véase (2) de la sección 9.1: del tomo I]
c) Concluya que. las espirales logarítmicas del inciso b) tienen sentido antihorario, si y sólo si, a< b,
Figura 12.81
Espiral logarítmica del probl'ema 24
1 Conteste los problemas del 1 al 10 sin consultar el texto. Llene el espacio blanco o conteste verdadero o falso .
1. Bajo la transformación complejaf(z) = z2 , la curva xy = 2 se transforma en la línea 2. La transformación complejaf(z) = -iz es una rotación de _ _ grados. 3. La imagen del semiplano superior y 2: O bajo la transformación complejaf(z) = z213 .es _ _ . 4. La función analíticaf(z) = cosh z es conforme excepto enz = _ _ .
¿Cuáles son las imágenes de los rayos e1wuentran en el primer cuadrante?
Z -
Z¡ Z2 -
12. y
Z3 Z2 -
V
A
.R'
R
-----+-----
Z3
= --- ---
z-
80 que se
En los problemas 12 y 13, utilice las transformaci01Jes conformes del apéndice para encontrar un transformación conforme desde la región indicada R del plano z hasta la región objetivo R' del plano w, y encuentre la imagen de la curva de frontera indicada.
5. Si w = f (z) es una función analítica que transforma un dominio D sobre el semiplano superior v > O, entonces la función u = Arg(f(z)) es armónica en D. _ _ 6. ¿Cuál es la imagen del círculo .l z - ll = 1 bajo la transformación compleja T(z) = (z - l)/(z - 2) un círculo o una línea? 7. La transformación racional lineal T(z)
e=
Z1
Figura 12.82
Regiones R y R' para el problema 12
transforma la tripleta z 1, z2 y z3 hacia _ _ . 8. Sif'(z) = z- 112(z + l) - 112 (z - l) - 112 , entoncesf(z) transforma el semiplario vertical y > O en el interior de un rectángulo. _ _ 9. SiF(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j esuncampovectorialde un dominio D con div F = Oy rot F = O, entonces la función complejag(z) = P(x,y) + iQ(x, y) es analítica en D. _ _ 10. Si G(z) = cp(x, y ) y V(x, y)
=
13. y
V
A
R
+ itfl(x, y) es analítica en una región R
iG'(z), entonces las líneas de corriente del
B
flujo correspondiente se describen por medio de cp(x, y) =c. 11. Encuentre la imagen del primer cuadrante bajo la transformación compleja w = Ln z = log, lzl + i Arg z.
548
Figura 12.83
CAPÍTULO 12 Transformaciones conformes
Regiones R y R' para el problema 13
u
En los problemas 14 y 15, utilice una transformación conforme adecuada para resolver el problema de Dirichlet indicado. 14.
e) Si se plantea que Im(f(t)) = O .para t < -1, lm(f(t)) = 7T para t > 1, y f (0) = /7ri!2, concluya que 1:
f(z)
y
= 7Ti -
! [Ln(z + 1) + ~n(z -
1)].
·' V
+~
- !11
u=O
u=l
Figura 12.84
Problema de Dirichlet del problema 14 Figura 12.86
Imagen del semi plano superio r¡del problema 17 [,
'
15.
y
u=l
1
2i
u=l
18. ,a) Encuentre la solución u(x , y) del J?roblema de Dirichlet en el semiplano superior JI 2'.: O que satisfaga la condición de frontera u(i; 0) = sen x. [Sugerencia: Véase el problema, 6 de los ejercieios 12.5.]
R
b)
Encuentre la solución u(x , y) dell problema de Dirichlet en el disco unitario lzl :s l que satisfaga la condición de frontera u(ei8) = sen e. L
Figura 12.85
Problema de Dirii:hlet del problema 15
16. Deduzca la transformación conforme C-4 del apéndi-
ce construyendo la transformación racional lineal que transforma 1, -1 , oo en i, - i, - l. 17. a) Aproxime Ja región R' de M-9 del. apéndice por ·:medio de la región poligonal mostrada en Ja figura 12.86. Plantee que f( - 1) = u 1,f(O) = 7Ti/2, y f(l) = U1
1'.
19. Explique por qué las lfoeas de corrient~ de la figura 12.72 también pueden 'interpretarse c~illo las , líneas equipotenciales del potencial que satisface
+ 7Ti.
b) Demuestre que cuando u 1 ~ oo,
J'(z)
=
Az(z
+
1r (z 1
lt 1 = -l A [ -12 z +l
l J. + --,
z -1
:!" !
:¡
CAPÍTULO 12 Ejercicios de repaso
, 549
'i'·
11
_ A P É N 01: ·1 C E
!
r
Transformaciones conformes · 1'
' '
• Transformaciones elementales E-1
y
V ,• ! 11
w =Z + Zo ---+---u
--+------.----t--- X
E-2
y
V
w =ei9z ----f-_._-X
AP~1
.
E-5 y
V
A w=e' z=Ln w
A'
B'
C'
E-6 y
V
w= sen z
x z =sen- 1 w
E-7 y
V
C'
B
u
w=ll
e B'
E-8 y
V
ni -- -E'-
D'
F'
C'
e w = log,lzl + i Arg z a> 1
D
a
E
X
b
In b u
In a
1
E-9 y
V
D w = cosh z
A
X
-1
D'
C' B'
A'
u
• Transformaciones en semiplanos H-1 y
V
B
w=i-1.=3 !+ l
e
X
-1
D
AP-2
D'A' B'
APÉNDICE Transformaciones conformes
u
.. H-2 y
V
I:· ai B
A
w =e" lla ·'
-1
A'
í
D
B'C DE'
F' u
H-3 y
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'
:.
w = ~ (z + t) A
X
e
-1
A' - a
B'
a
cu
,,,, ;,
.
1
H-4
· 1',
y
V
A
D
ciÍio =a ¡y = cos (~) B
e a X
e D'
B'
A'
-1
!I
,, · l:i
H-5 V
y
B
'
1:
¡;
w =(!.±.<)' 1-z
e
X
D
-1
A'
B'
e
u
D'
1
H-6 V
!.
:!''"
errlz + e-rrlz
w= e"lz_ - -e-rrlz A
E
X
-1
A'
!I
B' C D'
E'
1
•
Transformaciones en regiones circulares
C-1 V
z -a w=-az1 X
a = be+ 1 +~ (b 2 - l )(c 2 - I ) b +c
APÉNDICE Transformaciones conformes
1'
.1::
AP-3
C-2 y
V
---t-7t----11--+--r.-- x
C-3
z- a w=az - 1 --11---+- t - -+.-- r - u
y
V
E' w=ez
C-4 y
- 1
w=
1
i-z i+ z
----t-----1---+--~x
B
A
C
D
C-5 y
V
A . z 2 +2i z+I W=L z 2- 2i z+ l
A
e
B
D
C'
1
• Transformaciones diversas M-1
yl
V
~ ~=H"+ ~:~~~~B:'t-n-i---u ~ D E F
1
F'
"""D-:-,---,Eo:-:1' ni
1
M-2
y
V
-..,..----,i
A'
A
B
C w=
AP-4
B'
C' D %[(z2-1) 112 + cosh- 1 z]
APÉNDICE Transformaciones conformes
ai
D' u
M-3
y
V
{ -a
A'
a
e
B'
u
D'
-1
A
e
'B
w=
D
X
o/; [(z2-1) 112 + sen- 1(1/z)] 1: ¡,. 1:
M-4
y
V
e
ai
·-1
A
B
e
D
A'
B' D'
u
E'
w = a(z2- J)112
1
M-5,
X
E
y
·i':
V
A'
e
B'
ni
-1
A
B CD
X
E
u
E'
D'
.,,, ·" "
w= 2S+ Ln(fü) s=
M-6
.
y
,
V
ni
A'
-n
E'
F' u
e
D'
B'
·';,
"
-1
A
X
B CD E
F
w = i Ln(1+ i() + Ln(ltl)
1- 1(
1-(
'=(.c.l)1'2 z+ 1 M-7
y
V
A'
B CD E
B'
ni
e
-1
A
,,1,: !:·
X
E' F'
D' F w = z +Ln z +I
u
M-8 y B
y=n
V
A
~
E'
11
e F' G' H'
X
eZ+ j w=e'- 1
F
G
y=-n
H
e
B'A'I
u
D'
APÉNDICE Transformaciones conformes
·' "
.+
AP-5
M-9 y
V
G'
ni ni/2 f----'E'"""
D'
""'---+--+----'f'-----' X
A
B
C'
B'u
A' CDE F G w= ni-![Ln(z +!) + Ln(z-1)]
M-10 YA
V
v= a/(l - a)
D'
E'
F'
J X
B
_ _ _...¡.__ _ _ ¡¡
e
w =(l -i) z-i
A'
z-1
O
AP-6
APÉNDICE Transformaciones conformes
B'
C'
M-9 V
y
G'
F'
ni
E
ni/2 ,_ D_'-C'-
B' u
M-10 V
YA
v= a/(l - a)
D'
E
F'
A'
B'
C'
Respuestas a los p ob emas seleccionados de U ero i par
X
e
w = c1- o!.=!. z-1
u
O
Ejercicios 1.1, página 9 l. 6i + 12j ; i + 8j; 3i; v'65; 3
5 2
3. (12, O); (4, - S); (4, 5); V4I; 5. -9i + 6j ; - 3i + 9j ; - 3i -
V4I 5j ; 3 v'IO; \/34
7. -6i + 27j ; 0;-4i + 18j ; O; 2\/85
4 3.
41re0 L y/¿2 +
+ 5j
i ª 2
Ejercicios 1.2, página 15 l. -5.
13. (20, 52); (-2, O) 15. 2i
1 i(. ') ±' V2 1 + J
' qQ 45. b) aprox imadamente 31º 47. F = ~::-·
11. lOi - 12j ; 12i - l7j
9. (6, - 14); (2, 4)
1 2
41. a =-,- b - - c
'(l , 1, 5) .
17. 2i
+ 2j '
1 1 1
1
y
y
/ -
19. (1, 18)
-r--+-+-+-1-+-x
21. a), b), e), d), e), f)
23. (6, 15) 25. (
~, ~) ; .( - ~, - ~)
27. (O, - 1); (O, 1) 31. 35.
6
.
14
APÉNDICE Transformaciones conformes
.
\/58 1 + \/58 J
v. 3b -a
. AP-6
29. ( 5 12 ) 13, 13 33.
( -3,-~ )
37. -(a+ b)
/
/
/
/
/ -------4
(3 , 4,
~-
(6, - 2, O)
/
/
º'
X
7. El conjunto {(x, y, 5)1x, y son números reales} es un plano pe1~pen d i c ul a r al eje z, 5 un idad~· por arriba del planoxy. :'r.
9. El conjunto {(2, 3, z)lz es un n ú m~ro real'} es una línea perpendicul ar al plano xy en (2, 3, O).
11. (O, O, O), (2, O, 0), (2, 5, O), (0, 5, O), (0, O, 8), (2, O, 8), (2, 5, 8) , (0, 5, 8)
13. (-2, 5, O), (-2, O, 4), (O, 5, 4); (-2, 5; -2); (3, 5, 4) !'
15. la unión de los planos coordenados 17. el punto (- l , 2, -3) 19. la unión de los planos 21 .
00
z = -5 y z = 5 • :· '!•
23. 7; 5
27. isósceles
25. triángulo rectángulo
29. d(P 1, P 2 ) + d(P 11 P 3) = d(P2, P3)
31, 60-2
33. (4 ,L ~ )
1
35. P 1(-4, - 11 , 10)
37. (-3, -6, l )
:39. (2, 1, 1) ::
. l'i" 1
RESP-1
1
Respuestas a l·os p oblemas seleccionados de u ro i par 5 2
Ejercicios 1.1, página 9 l. 6i + 12j ; i + 8j ; 3i; v'65; 3 3. (12, O); (4, -5); (4, 5); \/4I;
\/4I
5. -9i + 6j; - 3¡ + 9j; - 3¡ - 5j; 3 VIO;
1 '
43 .
V34
+ 5j
y
11. lüi - 12j; 12i - 17j
qQ ' ,
1
i
?VL2 + ª2 ,
Ejercicios 1.2, página 15 l. -5 . 1 1 1 1
+ 2j
17. 2i
---t-+-+-/+---lf-----T_~J+-t-+-/t--)'
y
~l'--+--+-t--+---+--
/ /
\~·~);(-~. -~)
------4
/ ,t.._ __ (6, - 2, O)
X
21. a),b),c),d),e),f)
23. (6, 15)
/
/
/
25.
:
'(l, 1, 5)
'
19. (1 , 18)
v2
47Teo
13. (20, 52); (-2, O) 15. 2i
±' ;,_ (i -+; j)
45. :b) aproximadamente 31° 47. F =
7. -6i + 27j ; O; -4i + 18j; O; 2v'85
9. (6, -14); (2, 4)
1 2
41. a = -:-- b- - c
(3, 4, O)
X
7. El conjunto {(x, y, 5)1x, y son números i·eales} es un plano perpendicular al eje z, 5 unidades por arriba del plano xy. ' · ¡';
9. El conjunto {(2, 3, z)lz es un número real} es una línea perpendicular al plano xy en (2, 3, O), 11. (0, O, 0), (2, O, 0) , (2, 5, 0), (0, 5, 0) , (0, 0 ...~8), (2, O, 8), (2, 5, 8), (0, 5, 8)
.
13. (-2, 5, O), (-2, O, 4), (0, 5, 4); (-2, 5, -2); (3,, 5, 4) 27. (O, - 1); (O, 1)
6 . 14 .
29. ' \ 5
12)
ii'ii
\-3, _1;)
31. \/58 1 + \/58 J
33.
35.
37. -(a+ b)
q.
15. la unión de los planos coordenados 17. el punto (-1, 2, -3) 19. la unión de los planos z = -5 y z = 5 21.
V70
23. 7; 5
27. isósceles
25. triángulo,'rectángulo 1
29. d(P 1, P 2) + d(P 1; P 3) ·~ d(P2 , P 3) .
L~ )
31. 60 - 2
33. (4,
35. ? 1(-4, -11 , 10)
37. (-3, -6, 1)
39.
(2, i., l)
RESP-1 1\
,,IH,
,,
41. (2,4,12)
43. ' (-11, -41, -49) 45.
47. 6
49. (-~.t.-~)
vTI9
51. 4i~4j+4k
9. X= 1 + 2t, y= -2t, Z = -7t 11 .
53.
13.
X
! + ~ t, Z = t + i f
= 4 + lOt, Y =
x-1
y - 4
z+9
9
10
7
x+7 z-5 15. -11- =---=:¡-·y= 2
y-10 ' 9
X
z+2 12
17. X= 5 - - - = - -
Ejercicios 1.3, página 21 l. 25\/2 3. 12 9. 29
5. -16
11. 25
13.
7. 48
19. x=4+3t,y =6+ !t,z =-7- ~t;
<-L L2>
X - 4 -3-
15. a) y f), e) y á), b) y e) 17. (~'-t. 1)·
21. 1.-11 radianes o 63.43º
= 2y
- 12
2z
=
21. X= 5t, y= 9t, Z = 4t;
+ 14
-3
SX = gY = ¡Z
23. 1.89 radianes o 108.43° 25. cos a = 11\/14, cos f3 = 2/\/14, cos y = 3/ \/14; a = 74.5º, f3 = 57.69º, y = ,36.7º 27. cosa = !, cos f3 = O, cos y= -\/3/2; a = 60º, f3 = 90°, 'Y= 150° 29. 0.955 radianes o 54.74°; 0.616 radianes o 35.26º 31. a = 58.19º,
f3 = 42.45°, '}' =
35. -6\/IT 111 ll 39 . (-5'
41.
~)
37. 72Vf691109
'
<-.!f, ~. ~)
45. 1 000
49.
5
3:3 . ~
65:06º
( 72 96)
43.
ft-1~
25, 25
47. O; 150 N-m
aproximadamente 1.80 angstroms
Ejercicios 1.4, página 27 l. -5i - Sj + 3k 3. (-12, -2, 6) 5. -Si+ 5k
7. (-3, 2, 3)
9.
o
17. -i+j+k
21. i + 2j
23. -24k
25. 5i - Sj - k
27.
29.
V4I
31. -j
33.
25.
X
= 2 + t, y = -2,
Z
= 15
27. Ambas líneas pasan por el origen y tienen vectores de
dirección paralelos. 29. (O, 5, 15), (5, O,
Jf), (10, -5 , O)
31. (2, 3, -5)
33. Las líneas no se intersecan.
35. 40.37º
37. X = 4 - 6f, y = 1 + 3t, Z = 6 + 3t
39. 2x - 3y + 4z = 19
41. Sx - 3z = 51
43. 6x + 8y - 4z = 11
45. Sx-3y + z = 2
47. 3x-4y+z =O
49. l:.os puntos son colineales.
51. X + y -4z = 25
53. z = 12
55. - 3x + y + lOz = 18
57. 9x - ?y + Sz = 17
59. 6x-2y+z = 12
13. -3i -2j - Sk 19. 2k
11. 6i + 14j '. 4k
23. X = 6 + 2t, y = 4 - 3t, Z = -2 + 6t
o
o
35. 6
37. 12i - 9j + 18k
39. -4i + 3j - 6k
41. -2li+l6j+22k
43. -10
45. 14 unidades cuadradas
47.
! unidad cuadrada
61. ortogonales: a) y á), b) y e), á) y f), b) y e); paralelos: a) y[). e) y e). 65. X = 2 + t, y =
63. e) y d) 67. X =
! - ! t, y = ! - ~ t, Z = t
69. (-5, 5, 9)
71. (1, 2, -5)
49. ~ de ~nidades cuadrad.as 51 . 1ounidades cúbicas
73, X= 5 + t, y = 6 + 3t,
53. son coplahares
75. 3x-y-2z
55. 32; en el plano xy, 30º desde el eje x positivo en la di-
77.
rección del eje y negativo; 16 \!3i - 16j
! - t, Z = ,t
=
Z =
-12 + t
10 79.
z
57. A = i - k, B = j - k, C = 2k y
Ejercicios 1.5, página 34 1. (x, y, z) = (1, 2, 1) + t\2, 3, -3) 3. (x, y, z) =
(!, -!, 1) + t(-2, 3, -~)
y
5. (x, y, z) = (1, 1, -1) + t(S, O, O) 7. X= 2 + 4t, y = 3 - 4t,
RESP-2
Z =
5 + 3t
X
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SE~ECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
,, ·'
z
81.
i:
i':
X
Ejercicios 1.6, página 42 1. no es un espacio vectorial, el axioma vi) no se satisface f,
¡¡.
3. no es un espacio vectorial, el axioma x) no se satisface
41
+ 3\/6qi(x) +
21. p(x) = VI5 ,q 1(x)
5. espacio vectorial . 7. no es un espacio vectorial, el axioma ii) no .se satisface
9. espacio ,vectorial
1 3. ' 5 : q¡(x) = .r,;.q2 (x) = ,l/x,q2 (x) = .r.=(3x2
11. un subespacio
·
13. no es un subespacio
15. un subespacio
17. un subespacio
19. no es un subespacio
v2
v6
2v 10
-
9. verdadero
1Jverdadero
5. verdadero
11. 9i+2j+2k
13. Si
27. linealmente independiente
15. 14
17. -6i + J- 7k
19.
(·~.
29. fes discontinua en x = -1 y en x = -3
21. (5, 6, 3)
23. -36v'2
~5.
12,-8,y6
31.
27. 3v'I0/2
29. 2 unidaqes
31. (i - j - 3k)/v'IT
33. 2
+ 9Ij + ~k 35. 2§.i 9' 9
37. esfera; plano'.
2 \/Í7T 2/3' y;
· Ejercicios 1.7, página 48 58
l. u =
13
w1 -
U w2, donde
5
39.
\~~' 13)'w \1 3,'- ~~)
W¡ =
5
2 =
= (1, o, 11
5. a) B
.= =
11
7. a) B , = b) B 11
9. B =
11
==(o,
1, o), v3 =
(-1, o,
{\-Jo.Ju). \-Ju. -Jo)} {I \12' 1 . 1 ) ¡ 1 1 )} \12 , \ - \12' \12 . \
{I \12'1 ' \12'1 O) ' ¡\ - 3 \12' 1 1 4 ) 3 \12' 3 \12 ' \
11. B
=
{I \/6' 1 1 2) ¡ . 1 \/6' \/6 , \ - \/3' \
\-~· -5~' 5~)}
" {I \/30' 1 5 2 ) \/30' \/30 ,
13. B =
• j,
6
49. no es un espacio vectorial.
" 51. un subespacio; 1, x 1:= ;,
l. 2X4
3. 3 X 3
7. no es igual
9. no es igual
15.
G
11)(-6 - 1 ' 14
17. (-11 17 (
1 5\.13' -
45. 30VlN-m '
47. aproximadamente 153 libras
1 ) .
5\/3 , ,
19 -30
5. 3 X 4
21.
180; ( :
8 16
10
20
7
10
28)
-12
27) -1 '
2~) -1!} (~
,. 1:· "
¡
- 18) (19 31 ' 3
(:
23. (
- l~}C~
6) ( -32 -22 , -4
19.
\
\ ~·~·~)}
-2
: '"
z+5 = --
11. X= 2, y= 4 13. C23 = 9, C¡2 = 12
\~. -}.~)} 11
4
y- 3
=
Ejercicios 2.1, página 58
{(1, o). (o, 1)}
=
- 7
43. 14x- 5y-3z =O 1)
{\-~.-~).\-~·~)}
11 0
b) B
1), v2
X
7, 5)
41. Los vectores de dirección son ortogonales y el. punto de intersección es (3, -3, O). ·
-23 v 1 + 7v2 .- 223 v3, donde
3. u = v1
4
1)
Ejercicios de repaso del capítulo 1, página 49 : 1. verdadero 3. falso
23. b) a = '7u 1- 12u2 + 8u3 25. linealmente dependiente
1 ¡: v'3qh),donde
24) ( .3 8 ' -6
38) ( 7 75 ' 10
oº)( ' ~48
!' ~~)
~~} ( 1~)
25
-5
38) 25. (-14) 1 . 75
RESp-3
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
.1ª
27. (
Ejercicios 2.3, página 76
~328)
29. 4 X 5
~}B=(_~ -~)
37. A=G
+ aJ 2x 2 = bJ
clzJXJ
+ Cl.zzX2 = b2
MR = (
'45. b)
f3
O
'
cos
f3
+
2V3 - V6
+
3\/2
+
6
2V3 - 3V6
+
,
V6
11. 17
7. 10 2 13. ,\ - 3,\ ~ 4
17. 62
19.
23. -X+ 2y - Z
25. -104
8
= 1.4072 = 0.2948
2
7. Teorema 8.10
15. 80
17. -10'5
27. -9
29.
3.
J'
7. XJ = -t, Xz = t, X3 = 0 11. x J = O,.x2 = O, x3
=O
7 '
' 13
~
º)
8
13. -5
o
25. -15
13.
is
9.
'
15.
=:' 3
(
1 15
(
=!)
- 27 JO
17
- 9
2¡ '
4
9
27
J
(! ~)
~ ~ -~ ~
3Fe + 4CO
= 9, lz = 9,
-5
5.
J
2Na0H + H 2
~
-¡
l
27. ' 3Cu + 8NH0 3 ~ 3Cu(N0 3)2 + 4H 20 + 2NO 29.
11. 23.
31. 16
(=l 1 -l) 8
21. XJ = 0.3, Xz == - 0 .1 2,X3 = 4.1
38
o
(_¡ D
11. (
19. inconsistente
.
' 27. 48
5. Teorema 8.12 9. Teorema 8.8
2
17. x J = O,x2 = l ,x3 = l ,x4 = O
35
21. -85
3. Teorema 8.14
13. x J =-2,x2 =-2,x 3 =4 15. x J = l, x 2 =2-t,x3 = t
. IJ
o
1. Teorema 8.11
3. XJ = -:¡:, Xz = 3
9. inconsistente
~
15. -48
Ejercicios 2.6; página 97
5. XJ = 0,Xz = :4,X3 = - 1
25. Fe 30 4 + 4C
9. -7
5. 2
= 0.9659
Ejercicios 2.2, página 70 l. XJ = ( Xz = -7
23. 2Na + 2H 20
3. 1
Ejercicios 2.5, página 87
·
8
V2 +
=
11 . linealmente independiente
29. AJ = -'5, A2 = 7
cos a
8
Ys = Zs
/3) o ,
'-sen
- sen a
3\/2
e) x 5 =
'1. 9
O
O
9. 3
17. rango(A) = 2
~ c~s a se~ a)
MP = (
7. 2
5. 3
Ejercicios 2.4, página 82
co~ f3 sen
3. 1
13. linealmente independiente 15. 5
39. AB no es necesariamente igual a BA 41. CIJ JXJ
1. 2
(ok
17.
(-1 _l) J2
J2
2
33. Multiplique el segundo renglón de / 3 por e y súmelo al tercer renglón 35. EA = '
(a,,
ª 22
a JJ
ª" )
ªJ 2 Cl32
Cl3J
( ~'
C/.13
39. XJ ".'° 83, X2 = 35 41. XJ =
RESP-4
5 3 , X2
=
J
- 3,X3
J
= -3
~ ~ =~)1
25.
- 1 -1
ªJ 2 CCl22
21.
+ Cl32
ª" ) C123 Cll23 + Cl33
- 3
u 2
-3
23. (
ª 22
CCl2J + Cl3 J
J
19. Matriz singular
Cl33
ªJJ
37. EA=
G -!) 3
31 . Intercambie los renglones 1 y 2 en / 3
.27.
(-1-t 't)
(-2 3)
31. X= 5 3 4 3 35. Mediante el teorema 7.13, det AB = detA detB. Puesto que det ,A O y det B O, se puede deducir que det AB t= O. De acuerdo con el teorema 7 .19, AB es no singular. JO
*
29.
*
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
37. El resultado se deduce a partir de det (AA- ') = det l. 39. Multiplique AB = O por A- 1• 4 1. 43.
X¡
47.
X¡= 2,Xi
= 6,
X2
no
= -2
=
4,X3
=
16;
= -;6 49.
X¡
=
21,
X2
= 1,
X3
=
-11
X¡= 6,X2
1:
!!
=
X¡
-2,
X2
= -
¡,
7
53. El sistema tiene solamente una solución trivial.
23. Para A, A1 = 4, \
2
= 6,
55. El sistema tiene soluciones no triviales.
1
1:
'· Ej ercicios 2.9, página 111
i3
+ R 1E 3 + R 2E 3 - R 1E2 ---R3R¡ + R3R2 + R 1R 2
-R 2E 1
= - - - - --
3
1.
X¡
= -5,
5.
X=
9.
U
4,y
X2
6
= 5
3.
X¡
= Ü.l, X2 = -0.3
7.
X¡
= --4, X2 = 4, X3 = -5
= -7
= 4, V = ~, W = l
11. k= ~
5
·
(
~2111 - 1 (5 111 + (-1)"']
Ejercicios 2.8, página 107 l. K3,A=-1
7.
= 3; K 3, A = 1
7.
A1=6,,\~=l,K1=G)K2=C)
9. A1
2111 - 1 H 2111 + ' + ( - 1)111 J 2"' - ( - 1)111 J ; 111 H2"' - (-1) J H 2111 + 2( - 1Y"'J . 1·':'
G G
1023 683 341
= A2 ~ --4, K 1 = ( _~)
11. A1 = 3i, A2 = - 3i
· H10"' - (-2)"'J
83328 41680) ( 33344 16640
13. T 1 = 450.8 lb, T2 = 423 lb
5. K 2, A
m- 2)111 -
11 57.) ( 38 106
Ejercicios 2.7, página 101 3
-fü-2)111 - 5'.'~]) 6(5)"'J ,
H3(-1)1112111+ ¡. + (5)//IJ -fü-2)"' - 5"'J
· (
9.
- 3i), K 2 -(1 + 3i) K 1 -(1 5 5
H
2• - [ )
!:
1023) 682 342
~) ;
H 22111+1+( - 2)111J H 4111 - (- 2)://IJ H22111+1 - (-1)1112111+1] H4111 + (-1)"'2111 +/J ( H22111 +1 + (-2)111 - 3J H4111 - (-2)f J 1 '
º)
. ( 699392 ' 349184 698368 350208 o 699391 349184 1 11. (
7m4111 +1 + (1 - m)4 111 -3m4111 - .1
3m4m-I m4 111 -
1
')
+ ( 1 - m}4
111
;
22528 18432) ( -18432 -14336 ' 13.
G,~),m>
a)
4111
b)
A 111 = O,m>1
RESPU ESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
1
RESP-5
:ll!
e)
Ej ercicios 2.12, página 134
2(3)111 - 1 3111-1 3111 - 1 ) H9(2) 111 - 4(3)111 J H3(2)111 - 2(3)111 J H - 3(2) 111 - 2(3)111 ] ( H -9(2) 111 + 8(3)".' J H -3(2) 111 + 4(3)111 J H3(2)111 + 4(3)111 J 15.
(_1 r) 10
17. b-f
. l.
P=(~31
Ejercicios 2.10, página 118 l. b) A1 =-A, A2 = - 1, A3 = 16
'' 7. p = (
3. b) A1 = 18, A2 = A3 = -8 5. ortogonal 9. no ortogonal
1
---
Vfü
1
1
V2
V2
o 1
o
15.
17.
VIO
11. P=
1) l ,D = ~
o 1
1
\/IT
v'66
V6
l
4
2
\/IT
v'66
V6
1
7
1
\/IT
v'66
V6
17. p = '
1
1
1
19P
1 D=
V6 V3
23. Utilice (ABf = Br Ar. ·
Ejercicios 2.11, página 125 3. 14,
G)
5.
'
10, (
:) 0.5
21.
9. 4, 3, y 1
7. 7 y 2
11. aproximadamente 0.2087
13. e)
¡ (~ ~ ~) 1
2
3
o
O 1
o o
23.
1-
2 o
2 o
-1 -1 1 o -3 o o 1 o
(~
o o
o 2 o o
v's)
'
~l)
= e~
V2 V6 V3
G)
+ v5
1
1
2 0--
(°
l
D= G v5o
V2 V6 V3
l. 2,
1 O ,D = - 1 1 1
o
21. b) A1 = A2 = 2, A3 = 4
1
o
15. no diagonalizable
3
P=
D ~ 11) (° D o
o
19. a= -~, b == ~
e)
~)
1)n=(-i i ' o
o o 1 13. p = (
1
X
('O o1 1' ) ,D= ('O - o1
o
.1 \/2
V2
3
---
~)
e~)
1 -1
-¡
l3.
y
l)n=(-7 1 ' o
9. p = ( 1,
' ( Jro Jro)
ºs)
3. no diagonalizable 5 . p = (132
5
7. ortogonal
11),n=(o1
o o 1 o
i} J)
(-± ~) D=(º ~) vm) ( vm P= 1: P=
1
'
o
V2
\/35 '5
'
D=(3 o
\/35
d) 0.59 e) aproximadamente 9.44EIIL2
RESP-6
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚM ERO I MPAR
0
i o)
25. p
=
1
1
V2
V2
1
1
V2
o o
V2
·o
eD o
=
,D
o
~
p
(! -¡').D= e~ D 3 1 - 3 2 - 3
=
1
1
V2
V2
1.
.O
o
o
1
1
V2
V2
o 29. p
o
o
2
27.
1
=
1. (O
1l
5. (1
o 1 o l o o 1)
25. (1
35.
l O),
(0 O 1 1 O O 1), (O O O 1
l 1),
o o o o l 1), o o l o 1),
7. v
27
3. a) (48 32
64 40
120 75
l. a)
b)
11)
107 67
40) 25
61 47
50 35 -15
o
49 31 -5
41 )
20 18 26
8 23 14
23 25 23
21 23 26
22) 25 12
=
e)
X=·(15º~)
m~! ~). n. X0
(~ ~ ~) (~ 3.
15. falso 6 2 16
0.4) X = (90) 0.6 , o 60
G~} G~::)
7. i, -5
11. DAD_I_NEED_MONEY_TODAY
r
1
3. y = l.lx - 0.3
= ('
Ej ercicios de repaso del capítulo 2, página 151
21 -19
9. MATH_IS_IMPORTANT-
10 3
T = (0.8 0.2
~)
1.
13. a) B' = · '
' 1
1 O l O), (1 l l l 1 1 1)
10
7. STUDY_HARD
22 22 26
·1:
•, ;:,
-0.84T + 234, 116.4, 99.6
3. a) T
38 ' 36 26 20
15 15
(1
Ejercicios 2.16, página 150
39. A s= (21 22
15 10
24 ¡'
=
= l.
l. a) (35 ,
C'
o o l l O), o o l O O), l o l o o 1),
5. y== 1.357lx + 1.9286
Ejercicios 2.13, página 137
5. a)
'
(1 l
O O O ,O), (1
o
v's
15
o o 1 o 1),
Ejercicios 2.15, página 146 l. y = 0.4x + 0.6
= l.
A=(~. -~)
44 29 -15
(0 l
(O . 1 1 1 1 O O), (O O 1 O
(1
X= ( fs -~ )x· obtenemos X2/4 - Y2/4
19. palabra de código; (O OO0) 23. palabradecódigp;(l l 1 1) ·' 27. ( 1 O 1 O) ¡::
(0 , l 1 O O 1 1), (O l O 1 O l O) ,
(1 l
33. Hipérbola; utilizando
v's
l 0)
o o o o o 0),
(0
0)x·
obtenemos X /4 + Y /6
I'
1)
15. (O l O O ·l O 1)
o o 1)
(1
2
oo 1
¡::
29. 2 = 128; 24 = 16;
n
V2
11. (1
o 0)
.!i
7
(1
2
oo1
17. ( l l
6
o
7. (1
13. (0 O l O l l O)
o
-6
3. (O O O 1 ,1)
9. en:or de paridad
31. Elipse; utilizando
X= (-±
O)
2 1. (O O O 1)
o.
.D=G
Ejercicios 2.14, página 143
23. a)
9.
o
:).(!!) 11 . falso
17. verdadero 19. falso
(_~ '
1 )
-1
29. 240
RESPU ESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO I MPAR
5. falso
25.
··
x1 = -Lx2 = 7,x3 = t ''
3 1. solamente la solución trivial
,: RESP-7 1·:
·'
'
~
33. 12 + 10HN03 --7 2HI0 3 + 10N02 + 4H20 1
35 · X1 = -:¡:,
_ X2 -
1 X
4'
_ 3 -
9.
11.
z
i
3
37. x =X cos (} - Y sen(} , y = X sen (} + Y cos (} 39. X1 = 7,
X2
= 5, X3 = 23 X
(_ ~)
41. A1 =5, A2=- l , K1 = G}K2=
r(t)
= ti + tj + 2t 2k
13.
45. A1 = A2 = -3, A3 = 5,
X
r(t) =3 cos ti + 3 sen tj + 9 sen2 tk
1
V6 ,2
47.
V6
49. hipérbola
15. 2i - 32j
17. (1/t)i - (1/t2)j ; -(1/t2)i
1
19. (e 21 (2t
V6 51.
+ 1), 3t2, 8t -
+ (2/t3)j
! ); (4e 21 (t
+ 1), 6t, 8)
' 23.
21.
z
y
204 13 208 55 124 120 105 2 14 50 6 138 19 210) ( 185 12 188 50 11 2 108 96 194 45 6 126 18 189 53. HELP _IS_ON_THE_ WAY
-t--t-+--t-t- X
55. (l 1 'O O l ); e1rnr de paridad
X
Ejercicios 3.1, página 161 3.
l.
~'
" l"
I
~'
---,
25. X = 2
--. ....
27. r(t) X r"(t)
29. r(t) · [r ' (t) X r "'(t)]
31. 2r;(2t) - (1/t2) r í( llt)
33. ~ ¡
37. (6t 5.
7.
~' X
RESP-8
+ t, y =
+ 2t, Z =
~
+ 4t + 9j + 15k
+ l)i + (3t2 - 2)j + (t3 + l )k
39. (2t3 - 6t 41.
2
lYa2 +
+ 6)i + (7t - 4t312 - 3)j + (t2 - 2t)k 2 C 7T
45. a cos(sla)i
43. 6(e 3"
-:
+ a sen(s/a)j
47. Diferenciar r(t) · r (t) = c 2 .
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
1)
.
Ejercicios 3.2, página 165 l. La rapidez es Vs.
3. La rapidez es 2.
y
y v(O))
7. 4t/ v'1
+ 4t2, 2¡ V1+4t2
9. 2\1'6, 0 ,t > O
11. 2t/ v' 1
I" ,.
+· t2, 2¡ v'l.+t2
13. 0,5 a(O)
5. La rapidez es Vs.
7. La rapidez es
\/14.
z v(2)
17.
Vb c
K
25.
K
+
2
sen t
2 2
2
a c cos t
+ a2/J.
= - -- - - - - - - -. (a 2 sen2 t + b2 cos 2t + c2 ) 312
K
23.
- v'J~'- r, O .
15. 2 2
-----+--~-1--- X
!!
..,"'
,
,
= 2, p = !; K = 2/ vrn = 0.18, ¡\¡
p=
\/l2s /2 =
5.59; la curva es más ,aguda en (0, O). i
es cercana a cero.
Ejercicios 3.4, página 176 l.
y
y
1,
X
5.
X
9. (0, O, 0) y (25, 11 5, 0);
+ 2k, v(5) = lüi + 73j + 5k, a(5) = 2i + 30j + 2k 11. r (t) = ( - 16t2 + 240t)j + 240 \/3 ti y x(t) = 240\/3t, y(t) = - 16t2 + 240t; 900 ft; v(O) = - 2j - 5k , a (O) = 2i
aproximadamente 6 235 ft; 480 ft/s
7. cilindros elípticos
9 . elipsoides
11.
13. 72.11 ft/s 15. 97 .98 ft/s 17. Asuma que (xó, y0 ) son las coordenadas del centro del obj~tivo en t = O. Entonces r P = r, cuando t = xof(v0 cos 0) = yof(v0 sen O). Esto implica que tan O = yofx 0 . En otras palabras, apunta directamente al objetivo en t = O.
X
X
c =O
c> O
y2, azlay
13. az/ax = 2x -
21. 191.33 lb
15. az/ax = 20x 3y3 - 2xy6 23. y =
2
g
x2
2
2VoCOS (J
+ (tan O)x +
s0 es la ecuación de
2
25. r (t) = k1e ''i
f
'},t2
~k
+ (k3er2
l)k
-
27. Dado que F está dil'igido a lo largo de r, debemos hacer que F = cr para alguna constante c. Por tanto, r = r X (cr ) = c(r X r ) = O. Si r = O, entonces dL/dt = O. Esto irnplica que L es una constante.
2
2
3. T = (a + c
)-
112
,
+ cos tj + 2k)
(-a sen ti+ a cos tj + ck),
N ~ -cos ti - sen tj , B ~ (a 2
=
+ c2) - 112(c sen ti - ecos tj + ak), 2 2 K· = a!(a + c ) 5. 3 v'2x - 3 v'2y + 4z = 37r
vry /(3y2 + 1)
19. az/ax = -3x2(x3
2
Ejercicios 3.3, página 171 1. T = ( Vs/5)( - sen ti
- 6x 2y5 - 4 2x- 112/(3y2 + 1),
az1ay = '-- 24
j
t
20Y4 .
azlay = 15x 4y2
17. azlax
uria parábola.
= - 2xy
+ 30x4,
azJay = 2y(x 3
-
1 .
2
¡;'
!;1
y2)- 2 ,
y2) - 2
-
21 . az1ax = - 10 cos 5x sen 5x, ; azJay = 10 sen 5y cos 5y
23. Íx = e' '>'(3x 3y
f,
+ 1),.t;, =
x 4e"'Y
+ 2y)2 ,fy = - 7xl(x + 2y) 2 27. g = 8u/(4u 2 + 51i3), g,;= 15v2/(4u2 + 51;3) 29. wx = x - 11?y, w>' = 2Vx - (ylz)eY/z - eY(~( 25.
= 7yl(x
11
"
w z = (y2tz2)eJ'lz
3 1. F 11
=
2uw2
-
v3
-
vwt2 sen(ut2),
+ w cos(ut2), F , = 128x7 t\ -2uvwt sen(ut2) + 64x8t3 ;. ' 2
F ,, = - 3uv F, =
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
'RESP- 9
39. avax = ~x2 v2 e"v 41. az/au
16u
=
az)av
3
2
+ 2uve'"'2, az/ay = -4yuve""2
5.
7.
y
40y(2u - v),
-
+ 20y(2u - v) 2 '- 3u(u + \/) 112e-' sen e
= '- 96v
43. aw/at =
2
-3v(u 2 + v2) 112 e- ' cose,
aw1ae
3u(u 2 + v2) 112e - 1 cose
=
- 3v(u2 + v2) 112 e-' sen
e
9.
2 2 2 2 45. aR/au = s2t4 e" - 4r;t4uve-" + 8rs 2t3uv 2e" " , 2 aR/av = 2s 2t4 uve"2 +' 2rst4e-"2 + 8rs2t3u 2ve 112 v
aw
47.
y cosh rs
xu
ar =
(x2
aw ar
(x2 + y2) 1f 2(rs + tu) + u(x 2 + y2 )I/Z'
aw
au
49. dz/dt =
xs
y
sty cosh rs .
xt
ty cosh rs
13. (-4,-1,17)
+---+ + tu) u 2(x 2 + y2) 112 (4ut - 4vt- 3)/(u 2 + v2 )
(x 2
y2) 112(rs
15. -2x+2y+ z '."'9
17. 6x - 2y- 9z = 5
57. 5.31 cm2/s
51. dw/dtl, =~ = -2
19. 6x - 8y
Ejercicios 3.5, página 182 l. (2x - 3x 2y 2 )i + (-2x 3y + 4y3)j 3. (//z3)i
+ (2xy/z3)j - (3xy2/z4)k
5. 4i - 32~ 9. 13.
21. 2x '+ y 2;;.
·
98/vs
11. -3'\/2
21. - 12/VI?
19. -1
Vlz
=
(4
Vlx + Vly - z =
+ 57T)/4 2
27. (-2, O, 5), (-2, O, - 3)
11. lfc\/3- 2) 15.
+ z = 50
25. (l/Vl, '\/2, 3/ Vl), (-1/'\/2 , -'\/2 , -3/Vl)
7. 2\/3i - 8 j - 4\/3k
\/3x + y - 1/ 2 VIO
33. X = 1 + 2t, y ~ - 1 - 4t, Z = 1 + 2t 35. (x - k)/4 =(y- ~)16 = - (z - 3)
+ (V2/2) j , V572 25. -2i + 2j - 4k, 2'\/6 23. Vli
Ejercicios 3.7, página 191 l.
27. -8\/ñ76i - 8\/ñ]6j, -8\!7i]3
y
29. -~ i - 12j - ~ k,-\/8 3281 /24 31. :±:3 1VI7 3.
4.
4.
3.
4.
3.
33. u = 51 - 5J ; u = 51 ~ 5J ; u = - 51 - 5J 35. Duf = (9x 2 + 3y2 - 18xy2 - 6x 2y)!Vl0;
D 0 F = (-6x2
-
54y2
+ 54x + 6y - 72.xy)II.0
37. (2, 5), (;-2, 5) 39. -16i - ' 4j
41. x .= 3e- 4 ', y
=
4e- 2 '
3.
43. Una función ~osible esf(x, y) = x
3
-
h
3
+ xy + t!Y. 3
y
Ejercicios 3.6, página 186 l.
RESP-10
y
z
+ y2) 1f2(rs + tu) + u(x2 + y2)1 /2'
.
-=
11.
3.
RESPUESTAS A LOS P.ROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
5.
y
25. 18
t t t1 t t t X
1
~ ~ ~
~ ~ ~
+ (x
39. 7T/8
4 1. x=t:Y=2
49.
51.
O; 4y + 8z 11. (4y3 ·- 6xz )i + (2z - 3x )k; 6xy 13. (3e -z - Syz)i ·- xe-zj; e-z + 4z2 ~ 3ye-z 3
~-
1)/18
-
3, y=~
-
17 - '
i
55
X=
2f, y .= 147
x=
(3e 4 16(e
1 105
+ 1)/[ 4(e4 5
4
256
94 1
55. 21
57. --¡¡¡-
61. ab~1r/4 ; a~b7T/4 ; b/2; a/2
63'. ka /6
67. a\/3 13
65. 16Vlk/3
,,
1
Ejercicios 3.11, página 221 l. 277T/2 3. (47T - 3\/3)/6 7. (27T/3)(15 312
*
45. div F = 1 O. Si existiera un campo vectorial G tal que F = rot G, entonces necesaiiamente div F = div rot G = O. Ejercicios 3.8, página 200
11. 15.
x= x=
13/37T,
-
7 312 )
y=
1
5.
x = lf, Y:= 3VJ/2
(4 + 37r)/ 6, y=~ 17. 7Ta4fd4 21. 7Ta 4k/2 , . 1
1 5
3. 3; 6; 3 V5
5. -1; (7T - 2)/2; ~/8;
13. 1
17. 9 123 25. 2
64 19. - 3
21. - 38
27. 70
19 29. - g-
33. -4
35.
9. 30
15. 460
26
o
31. e
7T2/8
11. 1
7. 21
23.
V2
o
41.
x = ~ ,y= 2/ 7T
Ejercicio~
l.
5. 3
7. 330
11. = x 4y3 + 3x + y
9. 1096
i x4 + xy + ±.y4
13. no es un campo gradiente 15. = 17. 3
+ e-
23. 16
29·. 37T/8
31. 250
33. aprox. 1450 m 3
21. 8 + 2e
19. 63 25. 7T - 4
Ejercicios 3.10,' página 218 1. 24y - 20e>' 3. x 2 e3x'
3
3.
9. ~
27. = (Gm 1m2)/lrl
o
5. 757T 13.
-
2
x e'
5. - In 5
2
11.
25
15. 84
17. 96
,. :
27. 277T/2
29. 37T/2
33. 37T
Ejercicios 3.13, página 235 5. ( 7T/6)(11 312
3. l07T/3
-
c 1)
15. 3 ' 21. (3
-
1)
25. 12'\/14
31. 287T 3
39. 47Tkq
512
1)
'" ''
26
19: 9727T 312
-
1!
9. 2a2(7T - 2) 11. 8a~
7. 257T/6
37. -87Ta X
enmarcada,! ~Or C)
25. 7T
29. 18
y
7. 48·rr
k
23. 457T/2
13. 27Ta(c2 X
V7i/2 "
35.
19. 3a 7T/8
23. 9(17
9.
iI
i
11. ~
l. 3\/29
7. 2 - sen y
13.
27. (7T/4)(e - 1)
, Ejercicios 3.12, página 227
2
3. 14
1
25. 97T
15. (b X a) X (área de la región
3.9, página 208
1f
23. 4k
l. 3
37. En cada curva fa integral de línea tiene el valor 2 ~ 8 .
257T/3
9. ~
13/ 37T 13.
19. (ka/12)(15\/3 - 47T)
l. -125/3Vl; -250(\!'2- 4)/12; ~
7
1)]
-
·53. 4k/9
4
+ 2xye>' + x 3yzé + x3yé)i - y2e>'j + (- 3x2yzez - .xe')k; xye' + ye' - x3ze' 2i +(1 - 8y)j + 8zk
4
_j
X= O, y =
1)] ,
-
1)/ [25(e
-
-
47.
59. a\/I0/ 5
2
15. (xy2e>' 35.
x= y=
- y)j; 2z
2
29. 4 312
35. (2
43.
lll lll
23. c, 167T ,: 31. 30ln6 .!" 3:7_ ~sen 8
33. 157T/4
45.
7. (x - y)i
21. 314 27. 27T
19. 2 ln 2 - 1
17.
,· -
.2
712
+
o
1)/15
27. k\/3/ 12
33. 87T
35. 57T/2
41. (1, ~ , 2)
Ejercicios 3.14, página 241 45
l. -407T
3. 2
9. -37T/2
11. 7T
15: 112
5. 23
7. -3
13. - 1527T
17. Considere que la superficie e~ z = O; 8 l 7T/4. ''
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECClONADOS DE NÚMERO IMPAR
Ejercicios 3.15, página 252 1. 48
7. ~ e2
!e
-
(4 r
11.
61. (- 4, 4, 4 \12); (4 \12, 37r/4, 4 \12)
3. 36 '
LL
5.
7T -
2
9. 50
-(x/ 2)
J
·
F(x, y, z) dz dydx; O O · x+2y ( 2f 4 rz-2y F(x, y, z)dxdz dy; o 2y o ( 4 rz/2 rz- 2y L J J F(x, y, z) dxdydz;
L L o o
+ z2 = 100
73. z= 2
75. 97T(2 ·_ \12)
77. 27T/9
79. (O, O, ~ )
81.
f
3. l 2a57r/5
9. 47r(b - a)
7Tk.
5. 2567T
11. 128
7. 627T/5
13. n/2
Ejercicios 3.17, página 265 1. (O, O), (-2, 8), (16, 20), (14, 28)
F(x,y, z)dydz dx;
Ü
X
69. cf> = 7T/6, cf> = 57r/6
1.
r4¡ 4 r(z-x)/2 Ü
67. p = 8
Ejercicios 3.16, página 259
o
J J,
65 .
71. x 2 + y2
4
( V2, 7T/4, 7T/6)
63. (5 \12, 7T/2, 57r/4)
( 4 (' r(z- x)/2 . J J, J F(x, y, z)dydxdz o o o 8 4 13. ( dz dydx;
3. y (4, 2)
r2J
Jo x' Jo
rs(4(Vy
.L LL
ooo
dxdz dy;
4 2
f f f 8dy,dxdz
(6,-4)
y
5.
O O x3
7.
~ 2v
15.
y
9. - ~ i? X
z
17.
11.
19.
-P-x
' '' '' ' .. -¡_-_ ~
~
~
+
y
y
(0, 0) es la imagen de cada punto en la frontera u = O.
X
X
21. 16\!2
13. 16
23. 167T
25 .
x=
29.
f Jv;-=:;:> f
~, y =
Jf, z =
1
~
27.
x=
O,
y=
2,
z=
33. k/30
35. ( - 10/\!2, 10/\!2, 5)
37. (v'3/2,
39. (\12, -7T/4, -9)
41. (2\12, 27T/3, 2)
+ z2 =
25
45.
47. z= x2 +y2 5 1. (27r/3)(64 - 12
312
)
55. (O, O, 3a/8) 59. ( \!'313, ~, O);
RESP-12
!
!(! - In 2)
O
17. ~(b ~ a)(d - e) 21.
!
3 5
23.
5 d 27. 2(b - a) In ~
±{e - e - 1)
29. l57r/2
s-y(x +y+ 4)dz dydx
-v;-=:;:> 2y +2 31. 2 560k/3; V8079
2 1
19.
15.
25. 126
- 1
43 .
yk
,2 -
z2 = 1
9. fa lso
11 . falso
13. verdadero
15. verdadero 17. verdadero
49. x=5
19. \7 cf>
53. 6257T/2
21. v(l) = 6i + j para toda t
57. 87Tk/3
d, 7T/6, 0)
f, - 4)
Ejercicios de repaso del capítulo 3, página 267 · 1. verdadero 3. verdadero 5. falso 7. verdadero
23. i
=:
(x2 +x y2)3f2 i - (x 2 : y2)3f2 j
+ 2k, v(4)
= 6i + j
+ 8k, a(t)
+ 4j + (37r/4)k
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
= 2k
25.
z 11.
~ { - -1 sen n7T n1T , f. (x) = - -1 + -1 ,,t.¡ co~-, :X 4
7T 11 = 1
2
n
3(
y
+-
n
9 13. J(x) = 4
X
27. (6.x2 - 2y2
+ 3y
31. 41TX
- 12z = 47T - 6
·
15. f(x) =
X
y/2
1
35. 41k/1512 41.
51. (In 3)(17
49. 7T /2
11 . f(x) = -
55.
5
63.
o o
59. 37T '
57. 1257T
. 1T
13. J(x) = -
65. 1T 15. f(x)
,
Ejercicios 4.1, página 277 7.
V7i
17. f(x)
2
9.~ 11. 11111
19. f(x)
= Vp;
cos ;
11
=
x ll
'2
2i. J(x)
b) T = 1TL!2
21. a) T=l
d) T=7T
T = 27T
e)
e) T
=
27T
T
=
2p
f)
Ejercicios 4.z', página 282 1 1 00 1 - ( - 1)11 l. f(x) = - + sen nx 2 7T11=1 n 11 00 3 { ( 1) :__ 1 1' } 3. f(x) = - + cos n-TTx - - sen n7Tx 4 11 = 1 n27T 2 n7T
'
23. f(x)
2 1
L
'7T2 6
+
+( 7. f(x) = 7T
1
9 . f(x) = 7T
+
(-l)" +l7T n
n
2
) } - 1] sen nx
(-1)'' +1 2~ n sennx
1
1
00
1
00
+ - senx + 7T L 2
~ 1)11
· 11= 2 1 (
1
1 2
25. f(x ) = -
f(x )
2
= -
7T
2
f(x)
L
5. par
sennx
n
2
00
L 7T 11 =
+-
4
i
00
(-1)11 - l : cos nx 2 n
L(
117T sen 2 2 +- - - cos n7Tx · n 11 = 1 n 117T 1 - cos 00 2 - - - - senn7Tx 00
L
L
11 =
4
+-
1T
(- 1)11
00
L=
11
1
=
2 - +4 7T 7T
1 - ~n
2 cos 2nx
00
n L 2 1T 11 = 1 4n 8
,. 1:
1;
n
1
=-
+
f(i:)
¡:'
L
29. f(x ) =
1 ' 2 cos nx n
·
"L
2
+ 7Tn3 [ ( -1 )11
:·
J
L
7T
{
11 =1
( -
L
27. f(x ) = -
2( - 1)11 L --cos ,nx 00
2: - 11 = 1 1 + n
+
-1 )11 - cos n7Tx , =- +2 ,,,. 3 1T 11 = 1 n2, , ·1'.: 27T2 ' 00 (-1)'' +1 = +4 2 cos nx 3 11 " 1 n 2 00 1 - (-1)11 (1 + 7T) ' = sen nx 1T 11 =1 n lt7T cos - - 1 3 4 oo 2 '/7.7T I: = - + 2 - - - - cos - .':.x 4 11" 11 = 1 112 2 !,' 11 00 2 2 1 + (- 1) = - + cos nx 7T 7T 11 =2 1 - n2
L
5. f(x) = -
117T }1: sen - x ,. 5 · :· ' 11 ' 1) .' , 2 (cos nx :~ n sen nx
9. ni par ni impar 00 1 - (-1) 11
7T 11 =1
5 )/12
53. -41TC 61. 3
2
2
312
-
n7T
5
3. ni par ni impar
7. impar
+ 2/37T
47. 2
n7T . cos - x
n1T (-1)11 + 1 00
2 senh 1T [ 1 2 1T
1. impar
39. 6xy
43. 56'\/2 7T /3 312
2
, -n7Tx} cos'n'Ti-) "Sen , 2 2
Ejercicios 4.3, página 288
3
45. 12
1-
19. Fije el valor de x = 7T/2.
y/2
37. 87T
o
2
11:
1··
11 1) - 1
{( -
+
rr . ~dxdy+ rr~dxdy;i o
"L 11 =I
\/3
f f2x~dydx; 0
5
8xy)/Wo 29. 2; -21'\/2; 4
-
1
33.
00
+
2
00
L 11 =
i
1
sen2nx
117T 2 cos - - ( - 1)11 2 , n2
' ;'.,' cos nx
p
n7T sen · 4 00 2 2 - sen nx 7T 11 =1 n
L- -
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
.i·: ~ESP-13 '
3 31. f(x) = 4
00
4
+2
2: 7T 11 ='
n7T 'cos - - 1 2 n
2
4 sen -n7T 22 n 7T 2 5 2 00 3( - 1)11 33. f(x) = - + 2 2: 2 6 7T 11 =' . n 11
f(x)
'
=
35. f(x) = 37.
39.
41. 43. 45.
cos
n7T
1
2x
b)
- 2 (-1) 11 } sen -n7T x n7T 2 1 cos n7Tx
{
=1
{( - 1)'1 + 1 (-1)" - l} + senn7Tx n7T n37T 3 11 = 1
1. f(x) =
3. f(x) =
±+
9
00
5. f (x) = 7T
+
VWt
}
21. f(x) =
e - iwrr/ 2
e21111rx
.
00
15. f(x,) = 1 - e- 1 + 2 2:
1
17. Ali =
d
9. - [xe--'y'J dx
+ ne-'y = O;
f00e--'L,,,(x)Lli(x) o
RESP-14
dx =O, m-=/=- n
1-(-l)lie- 1
(2n - 1)27T 2 36
, n = 1, 2, 3,
1 ) y = cos ( -2n '--7Tlnx 2 11
19. p(x) = • ~ · - 1::5X ::5 1, ' V 1 - x2
r·~
o
x
l]cosn7Tx
cos n7Tx; 2 1i =I l+n7T 2 00 2n7T[l - (-l)lie- 1] f(x) = 2: · sen n7Tx 2 2 · li =I 1+n7T
lnS
- 1
f _!_ sen (m7T ln x) sen ( n7T ln x) ln5 , ln5 5
o
~( ~ 1)li sen n7Tx}
+
•
2
e)
2 7T11 =1 n7T ,
2
.
, (n7T) , y ' = sen (n7T - ln x ) , n = 1, 2, 3, ... 7. a) A11 = 11
X
7. 5.5, l, 00
sen2 a 11 -
dx
! P0(x ) + ~ Pi(x) -
f6 fi: Ph) + .. · f6 Ph) + .. "
1 2 {'1 - - [(-l) 11 -
L.J -e"'x li = -oo, 1i 1' 0 n
A = + -y
i
9. verdadero
y3 = cos 6.4373x, y4 = cos 9.5293x
1 -d [ xy ]
L
Ejercicios de repaso del capítulo 4, página 308 1. verdadero 3. coseno
2n7Ti
ln5
l1(a,x)
f(x) = lxl en (-1, 1)
1
b)
4
13. f(x)= - + - 2:
1-
l
)
1 2 (3a;),
00
= -2 -
i =
A1 = 0.7402, A2 = 11.7349, A3 = 41.4388, A4 = 90.8082 y 1 = cos 0.8603x, Y2 = cos 3.4256x,
H1 +
(
212(3 ) .fo(a,x) a, o a, 15. f(x) = ~ P0(x) + ! P 1(x) + Pi(x) -
9. f(x)
Ejercicios 4.5, 'página 300 l. y = cos a ,x; a definido por cota = a;
5.
2
5. falso
2: ' li =-oo, li *º ~
)
i=I 20'¡ + 1 112 40'¡
n7Ti
00
a¡li( 4á;)
7. f(x) = 20 2: (
eiwrrx/ 2
11 =-00, 11'1 ' 0
a¡l 1(2a;) (4af + 1)JM2a;) lo(a,x)
00
1 - (- l)li
2:
O';
5. f(x) = 4 ;~
Ejercicios 4.4, página 293 00
;~ 00
2:
1 ' l1(2a/o(a,x)
00
3. f(x) =
~, {~
7T + 4 cos nx - 7T sen nx} 3 , 11 = 1 n n 00 3 1 l f(x) = - - - 2: - sen 2n7Tx 2 7T11 =ln. 1o 00 1 - ( - 1)li x"(t) = - 2: . ) sen nt 7T 11 = 1 n( 1O - n2 . 7T2 00 1 x"(t) = - + 16 2: 2 ( 2 ) cosnt 18 11 = 1 n n - 48 10 00 1 - (- l)li{l 1 - sen nt - • r;r; sen x(t) = 2 7T n = 1 10 - n n v 10 2w0L4 00 (-1)" + 1 . n7T b) y(x) = - 2: sen - x El7T 5 li = 1 n5 L
sen(4m tan- 1x) sen (4n tan- 1x) dx =O,
+X 2
1
Ejercicios 4.6, página 307 l. 0'1 = 1.277, 0'2 = 2.339, 0'3 = 3.391, 0'4 = 4.441
00
2
1 -
-
mi=-n
4 2: 4
'f O
00
,_¿
f (x) =
11. a) Ali= 16n2, yli = sen(4n tan- 1 x), n = 1, 2, 3, ...
21. f(x) dx = O, m -=/=- n
11
T,,,(x)Tli(x) dx =O, m -=/=-, n
X
00
·
1 1(2a;)
= -4 2: J2(4 1=
1
a1
1
.) J0 (a,x)
a1
Ejercicios 5.1, página 313 1. Los casos posibles pueden resumirse en una forma u = c 1eclt+ Y), donde e 1 y c 2 son constantes. 3.
u = C1 ey + c,(x -y)
5. u = c 1(xy)<2
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
7. no separable 9. u= e- '(A 1é'"' coshax
+
B 1ek
2
au
9. a 2 -
u = e- 1(A 3X + 83) 11. u
ax
=. (c 1 cosh ax +
c 2 senh ax)(c 3 cosh aat .
aat)
+ c4 senh
+ c6 seri ax)(c 7 cos aat + c8 sen aat) (c<¡X + c 10)(c 11 t + c 12 ) (c 1 cosh ax + c2 senh ax)(c 3 cos ay + c4 sen ay) (es cos ax + c6 sen ax)(c 7 cosh ay + c 8 senh ay) (c<¡X + c 10)(c 11 y + c 12 )
13. u =
u= u =
15. Para A =
0'.
2
11.
2
iii) Para
0'.
C4Ser\
2
+ c2 senhax)(c 3 cos ~y
l. u(x,
t)
=
.
+
c 2 senh x)(c3y
+
1
+
c 2 )(c 3 'c oshy
+
23. parabólica
~
1
f
l
at
X
<
u(O, t) = O, au / = O, t ' ax x = l
O
u(x, O) = f(x), O < x < L a2 u
au
3. k - 2 = - , ax at
u(O, r) = 100, au / = -hu(L, r), t > 'o ax x = l u(x, O) = f(x), O
7. a
2
a2u -
-
a2u -----:¡, O < x < L, r > O
ax 2 a.u(O, t) = O, u(L, f) = O, t > O
11.7T
i~~x)cos '7 4dx) /
(
o
f
2:
nn ·
L
oo (
f(x)cos -
o
11 = 1
e- k(' 11 21'f'/L' )1 COS
X
n'TT' -
L
)'
xdx .: ,;·
L
1:·
X]
Ejercicios 5.4, página 325 L 2 00 1 - ( -1 )11 nna · nn l. u(x, t) = 3 cos - - t sen - x 3
2:
n
n
11=1
L
•
o < X < L, t > o
'
senL X
1
>o >
2
5. u(x, t) = e- " [zf!(x)dx
L
L, t
(
12
f(x)dx
+ -2
o<
i'
~ - k(1nr/l )1
L
Ejercicios 5.2, página 319 = -,
l). ,' '
+
nnx e - k(. 11 ,1'f'! L')1 cos -
X
25. hipei'bólica
ax
:.:·
<4
n
i 1~
+
c4 senhy)
21. hiperbólica
- .- 2
;
y .~ 2
O<
= f(y),
1:
2::
Lo
c4 )
19. parabólica
l. k
o< y <
4,
-cos2
00
'TT'
3. u(x, r) = -
17. elíptica
au
<
:
2
Los resultados para el caso A = -a2 son similares. Para A =O:
a2 u
o< X
/1.'TT'
= 1,
u= (c 1x
i=O
~. u(4,y)
~y)
u= (c 1 coshx
O,
ay
> 1,
u= (c 1 coshax
+
+ -2 =
= O, O < x < L.
1
Eje1·cicios 5.3, página 321
+ c4 senh ~y) 0'.
.
+ c2 senhax)(c 3 cosh ~y
u= (c 1 coshax
ii) Para
ax
(
=O. u(L. t) = senm. r > O
u(x, O) = f(x), -au at a2u a2u -2
L
< x < L, f.' >"0 .
.___.!: a / = O, u(x, 2) = O, O < x . ay y= O
Para O< a 2 < 1,
i)
=
. at
= · aul ax x = O
> O existen tres posibilidades:
a2 u -----:¡, 0 ar
au
2{3-
2 -
u(O. t)
u = Ces cos ax u =
~~ 'i=O= O, º.< xt
u(x, O) = x(L - x),
u= e- 1(A 2 e- kª'1 cos ax+ B2 e- kª'1 senax)
3. u(x, t) =
,.
L
l'
6\/3 (
----:¡;:¡-
na I• L t sen L x .- ~ cos L 5 'TT'
cos
Sn
57ra
7n~
l
t
hn
)
X sen - x + -cos - -rsen .- x - · · · L 72 L ' L l 5. u(x, t) = - sen at sen x
a
/1'TT'
8h 7. u(x, t) = 2 n
00
sen -
2:
n
11 = 1
9. u(x, t) = e- 131
2: A 00
{ 11
11 = 1
.d onde A 11
=
2
2
nna
cos q11 t
+ -/3
qll
~ f'T'ff(x) sen nx dx y q o
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIQNADOS DE NÚMERO IMPAR
,
' nn
cos - -tsen - x L .L
11
~ ' } sen nx, ·sen q;,t =· v{ii 2
-
{32
: RESP-15
15. u(x, t) = -
'
1
sen 2x sen 2at
2a
17. u(x, t)
A 11 cos -
'
uªt
n21T2 )
+ Bll sen
\~
L
I'
B11 = """"22 n1Ta
- 1)"] L -1 --( -
n
11 = 1
f(
3_a
Ejercicios 5.6, página 337 1. u(x, t)
f
=
200
+-
100
-
a
0
a
n1T
3. u(x, t) = u0
f (
, a
11 =
I
senh -
5. u(x, y)
1
=r
2 -x + 2
Cf(x)sen mr xdx ) senh n1T b ·o a
2
L=
1T
2
00
n1T
( b - y) sen -
11
1T
[
n2 senh n1T
+ +
11 =
11
·
+B
=
sen ny
11. u(x, y) = (u 0
oo ( :L A
11 =
senhn7T
)e-"Ysen nx
L CXJ
+
2
11 = l
1)11
( -
2
l17T
a
1
+B
11
n1T ) a
n1T a
Iªf(x) sen -xdx n1T a a
= -2
11
B11 =
n1T
senh -
a
b
(~fg(x)sen-:-xdx o
n1T -A cosh b) 11
RESP-16
a
- 3
:L
e-
)
31
sen nx
e- 111 sen nx 2
[
11 = 1
0
1
2
2
4
"= 1 n1T
+
e- •mx sen 117T)'
[ n 1T sen t - cos t]
L -2
senh-y sen - x,
u1
-
2
n(n - 3)
15. u(x, t) =
-
n
1
11
00
cosh - y
3
11 = 1
(-1)'' +1
CXJ
dondeA 11
00
:L. ( = n n
- - -- -
f(x) sen nxdx
11
(-1)" L -cos n1Tat sen n1Tx n
11 = 1
00
coshn7r)
)
L
+13. u(x, t) = 2
3
00
1T
(f
x
u 1) y + u 1 u 0( -1 )11
-
2
n1T ,
~ 1~
,
ª (x 6 2 a1T
1
B 11 = 2 0 0 - - -n1T
[-e - f3x + (e - /3 - l)x + 1)
_ senh , nli/ senh v h1k
+ 23
senh n7ry) sen n1Tx,
11
sen n1Tx,
1
Yhfkx]
[
2A
' [1 - (-1)"] [2 -
13. u(x, y) =
_
A
senh n1T
cosh n1Ty
k/3 2
7. lf;(x) - u0 l
[ 1 - ( -1 )"] 200 - - - -
donde A 11 =
11. u(x, y) =
senhn7rx cos n1Ty
9. u(x; t)
senh nx
00
L (A
+,]
[~ + kn 1T
= 1 n1T
2
11 2 21 "
11
= -.-
'
11
11 = 1
sen n1Tx
A 11 = 2 r[f(x) - lf;(x)]senn7rxdx o
1 - ( -1 )"]
n cosh nx X n cosh n1T '
1
2
1
"
l) e- k11 " 1 senn7rx
-
L A e- k
+ A
donde lf;(x)
x
L ---
7. u(x,y) = -
9. u(x, y) =
a
1 - ( - 1)"
00
f
2
11
11 =
1
a
+
2 2
00
a X
11
e- k
n
x(x - 1)
2k
5. u(x, t) = lf;(x)
a
n1T
1)'1 - 1
( -
11 = 1
[(-.1)11
X
00
L
1T
_!__ .·
n1T
a
3_
-
ªf(x)sen mr xdx )
senh - y sen - x
X
3. u(x, y) =
_1
11
senny
17. la temperatura máxima es u = 1
L
1 n1T senh - b
senh n( 1T - x)
senh n1T
Ejercicios 5.5, página 331 l. u(x, y) =
+
X
, L n1T g(x)sen-xdx
0
[
senh nx
LX,
ILf(x)sen -n1T xdx
= -2
00
2
senh ny sen nx
n senh n1T
1
11
n1T
sen
1 - ( - 1)"
00
L=
uix, y) = 1T
L
11=1
2
u 1(x, y) = 1T
n21T2 -at 2
oo (
=L
donde A 11
15. u= u 1 + u2 donde
+ sen x cos 2at
13. u(x, t) = t
- (-1)11 ,
n 1T
4
+
, sen
n1Tx
1
4 - 2( - 1)11 3
,n 1T
3
J ,,
2n1T e- 11 n41T4 + 1
"
1
senn1Tx
17. u(x,t) = (1 -x)sent 2
+
n
2
00
'~
[
2
n 7r e-
112 21 " -
2
2
n 1T cos n(n41T4 + l)
t-
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
sen
t] sen n1Tx
Ejercicios 5.7, página 342
Ejercicios de repaso del capítulo 5, página 346
sen a 11 , 2h e- kcr,.t cos a,,x, donde 2 11 = 1 (h + sen a 11 ) 00
L
1. u(x, t) =
a 11 son las raíces positivas consecutivas de cota
( l. u= c 1e'''
+ / ) y e,
5. u(x, t) =
2 ;
a/h
=
00
3. u(x, y)
L A 11 senh a 11y sen a,,x. donde
=
2h
+ cos 2a a ) 11
f ªf( x) sen a,,x dx y a 0
son las raíces positivas consecutivas de tan aa
'~A11e-k(211 - 1)'7r'1/4L' sen(2n2~
5. u(x,!) =
dondeA 11
z
rf(x)sen
=
4~
'
=
-
1)1Tx,
9. u(x, y ) =
-
1T
1
13. u(x, t) = e-(x + iJ_LA 11 [~ cos w + l t 11 = 1
+ sen ~t] sen nx
i'\_ ;
(2n (2n - 1) cosh - 2
1:
00
1
11 = 1
n
11 = 1
u(x,t) = e- sen x
L - - -.- - - - -
7. u(x,y) = -
!. senhnx senny n senh n1T ; i 1 - ( - 1)" ' : e- "xsen ,'!·Y
_L _L
1T
,1:
1
11. a)
( , n2~ l) 1TX dx
u0 )
1 - ( - 1)"
00
' 1T 11 = 1 100 00
- a/h
2
00
100
7. u(x,y) =
-
n
sen n1Tatsen n1Tx
X 11
(u 1
,!'
~ ('º' ~ -,'º'~)
1TQ11 =I
11 = 1
A" = sen h a b( a Ji 11
( ) ,
3. tflx =ur1:'+ - - - x l 1 + 1T
.,: '1 ' 1
Ejercicios 6.1, página 352 u0 1. u(1; 8) = -
2
'
u
'11 1 sen]n8
n
7T11 = 1
27T2
3 .. u(1; 8) = -
l - ( - 1)" :
00
+ -0 L
1 2 11 =1 n
L 00
4
-
3
11
1
cos n8 ·
00
L ,.-"(A
5. u(1; 8) = A 0 +
11 =
11
cos n8 + B sen n8), 11
1
f
2
donde A0 = - 1 7rf( 8) d8 ' 21T o
Ejercicios 5.8, página 346 00
~
l. u(x, y, t) =
'
~
.""-'
m= 1
donqe A 11111
00
~A
11 =
11111
e- k(m' +11 'l1 sen mx sen ny'
1
'
A11 =
uo [l - (-1)111 )[1 - ( - 1)"] mn1T 2 00
B11 2
m= l n= 1
donde A 11111
16
= ~ [(-1) 111
m n 1T
oo
1111T
oo
111 = 1 11 = 1
A 11111 =
=
v(m1T/ a) 2 4
ab senh (cw11111 ) X
a
+ ~
n1T x sen - y. b
+ (n7T/ b) 2
f bf ª'f(x, y) 0
0
m1T · n1T sen - x sen - ydxdy a
7. u(r, e) 00
- l][( - 1)" - l]
5. u(x, y, z) = _L _L A 11111 senh w11111 z sen -
donde úJ/1111
=
~
r7rf(8) sen nede o
00
L L A 11111 sen mx sen ny cos aVm2 + n t,
3. u(x, y, t) =
r 7rf (8) cos n8d8 , , o
4
=
~
b
7. Utili~e a = b = e = 1 conf(x, y) = u0 en el problema 5 y f(x, y) = -u0 en el problerna 6. Sume las dos solu~ ciones.
1
donde
(i) [(b)" r)"] -¡: - (b =
A0 In
A 0ln(~) = b
1:' (A 11 cos ne -t B11 ~en ne);
-f
1
-
2
21T o
7rf(8) d8
[( b)" - (~)"] A 11 1T1f 7rf(e)cos n8d~' 2
-;;
=
'
o
¡,
[(-;¡b)". - (~)"] B11 = 1T1f27rf(e)sen ne de¡ o
9. u(r, e) = A 0
(i2"
oo
L
+
I
n= 1
donde
A0
= -
1
+ a2") 11
"
·1.
(A,,cos n8 + B11 sen n8) ,
f f(8)d8 27r .
21T o
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
,:· RESP-17 ,¡:, ·'
f f(e) 'Tr f f(e)
(b2" + ª211) . - - - A 11 b"
1 2" ,
00
cos n()d()
= -
o
(b211 + a2") - - - B11 b" ,
= -
1
2"
sen ned6
'Trn
(r)-
L
11=0
'
9. u(r, t)
L
11. u(r, t)
=
= -
f senn- 2- ( _2r)" 11 =!
+ _2u_o 'Tr
2,
COS
l. u(r, t) =
3. u(r,
z)
2
= -
3.
11 = 1
e)
f erJ (a
2
( ) e2121 a 11e
0
0
11 =!
4u 0
5. ,u(r, ()) = A0
donde A0
donde A11
7. u(r, e)
0
(
LJ21 2a,,
Ejercicios 6.3, página 362 l. u(r,
v'l '
L 0
_: .
.
13.
u(r, z) ·
J
2
f"
11 = 1
o
1 ("
J f(())d()
2u
00
r4" + r- 4 n 1 - ( - 1)11 · sen 4n() n
= -'Tr 0 n= L:1 2411 + 2- 411 1
00
=
2e- "1 2, J0 (a 11 r)e-a;i 11 = 1 a,,J1(a11) ~ cosha11 z · J0 (a 11 r) 11 =1 a,, cosh 4a,,J1(2a11 )
= 50 .LJ
[3
=
7
100 2rP 1(cos()) -8r3P 3(cos())
~~ r5P
5(
+ ··]
cose)
Ejercicios 7.1, página 367 -
1. a) Sea
T =
u2 ep la integral erf (Vt).
7. y(t) = em erf(\17Tt) '
f( ())P 11 ( cos ()) sen() d()
r' sen n()
= 3_ ("¡(e) cos ne d() 'Tr Jo
+
=-
2n + 1 = -
RESP-18
t)
+ i(!_)P 1(cos ()) 2. 4 e , 15. u(r,(),) 7 (r)3 . 11 (r)s 16 ~ P3( cose) + 3.2 ~ P5( cose) + ··· .
r cos () e 00 b2" + 1 - ?" + 1 5. u(r,e) = L:A 11 211 + 1 ,+1 P11 (cose), 11 = 1 b ' r' b211·+ 1 - ª211+ 1 donde b211+1a11+1 A" 3. u(r, ())
11. u(r,
vJ0(2a 11 v}f(v2)dv
())=so[.!. P0(cos ())
3
+ L:A,,r''cos n~, 'Tr
=
. A11
L:A11 cos (a 11 Vgt)J (2a 11 Vx), =
n
n()
o
00
f Vi)
1 - ( - 1)"
00
L:
sen
00
11 r)f(r)dr ,
f
2
(r)" -
L:
u(r, e) = ' 'Tr11=I
2a?, . 1 donde A11 = ( 2 rJ0 (a 11 r }f(r)dr 2) 2 ( ) ª" + h lo ª" o , ~ 1 1(a11 ) _, 9. u(r, t) = 100 + 50 ,L.¡ )J0(a 11 r)e ª" 1 2( 11 = 1 a 11 11 2a11 11=1
e .
0
2u0 1 - (-1)" 'Tr n =I n e
00
b) u(x, t)'=
f erg(r)sen -n'Tr rdr
2
= -
7. u(r, t) = L:A,,J0(a 11 r)e- kª;1,
11.
e'
00
l. u(r,
1 ,
=
sen n'Trr
f eif(r)sen -n'Tr rdr,
~
= L:A,,J0(a 11 r)e-kª;
donde A11
1
e
e o
00
5. u(r, t)
2 2
I¡;jercicios de repaso del capítulo 6, página 363 · - -
L
=
( -
e
n'Tra
2 ~ sena11at --'- .LJ 2 ( ) J0 (a 11 r) ac n=1 a,,1 1 a 11 e 00 senh a 11 (4 - z) u0 J0(a 11 r) . n=1 a 11 senh4a,,J1(2a11 )
00
r 11 = 1
B11 = -
Ejercicios 6.2, página 358
11
1) L - - e -"" 'Trrn =l n
00 = -1 L ( A11 cos -n'Tra t + B11 sen -n'Tra t) sen -n'Tr r,
donde A11
n()
200
+-
100
tm
15. u(r, ()) = Uo
f"
12 4n + f(e)P 211 ( cose) sen ede - 1 2 e 11 o
donde A211
n'Tr sen2 " 2 1 i. u(r, e) = -1 + -2 cos 2ne · 2 7r 11 = 1 n e - _±_ 00 1 - ( - 1)" ?11 - b2" (::)" 13. u(r, e) sen ne 7r11 =1 n3, a211 -b211 r 00
L A21.?"P211( cos e),
' 7. u(r, e) =
9. Utilice la propiedad
b
a
O
O
f -f
f
O
b
=
+
O
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
f a
e
Ejercicios 7.2, página 372
Ejercicios 7.3, página 379
1. u ( x, t ) = A cos -
L
L
f
' l 3. f(x) = -
[± g(t - ~)2 ~(t - !__) - gt2 2
~)]
+ Asenw(t -
X
7. u(x, t) ".""a Fo~ (-1)"{(1 - 2nL +a L - x ) E x ~ (r _2nL +aL - x) n=O
x~ (t-
+
5
_ f(x) = _!__ '
~(t-
13. u(x, t) = u0
[
u 1) erfc (
-
l - { erfc(
2
2
a2
f f f
cos ax + asen ax da l + ª2
00
o
7T'
x) +
11.
f( X )
=
:i)
13.
o
i f
a sen ax da 4+a4
0
= 2k
X
0
00 asen ax ,2 2 da 7r o ,_-+a
2
(4 - a )cos ax ( ) da 4+a2 2
00
15.
·
1
f(t - T) 2 e - x /47 dT 2w o 7 312
17. u(x, t) = 60 + 40etfc (
1
~) ~(t 2 t - 2 1
19. u(x, t) = 100 [ - e - x+ erfc( Vi+
+
u0
2)
+ +X)]
+ erfc ( 2n , l~ 2 V kt
00
(
0
2 ~;)
1
asen ax da ) 4+a2 2
1
7rl+x
>
0
19. Sea x = 2 en (7). Utilice una identidad trigonométrica y reemplace a por x. En el inciso b) realice e¡f cambio de ' ' variable 2x = kt.
Ejercicios 7 .4, página 384
t)
2
=
l
~
f f
cos ax e -kci t d a l + ª 2 -oo 00
kt
· 5. u(x,
t)
t)
Ioo
2uo = -
7r
2 7r
= -
.
- - e- icrx da -oo l + ª2
7T'
3. u(x,
e - kct't
00
"
- l -
~(-l)"[erfc( 211 +~- x) n=O
f
2
erfc(12 ~)]
-
0
17. f(x) = - - -2 ,X
l. u(x,
23. u(x, t) = u0
7r
8 f(x) = 7r
f
cos ax da 2 2 k+a
00
'TT
=
:i)
00
.
f 3_ f f( ) _ 3_ f
,) !( X
15. f(x) -
X u(x, t)= - -
(1 - cosa) sen ax da a
00
7T'
11. u(x, t) = u 1 + (u 0
3asen 3a + cos 3a - · 1
2 00 (7rasen Ha+ cos Ha - l}¿os ax 9. f(x) = ·: · da 2 7r o a
x)}
9. u(x, t) = (t - x) senh(t - x)
'
a2
7. f(x) = 7r
+ x)
2nL +aL
[A(a)cos ax+ B(a)se1wx] da,
o
10
2nL +a L
da
, sen 3a - 3acos 3a Ba= ------( )
· a
_(r _
,,,
:
00
d onde A (a ) =
__!_
1
a
o
7T'
5. u(x, t) =
sena cos ax+ 3(1 - ,cos g) sen ax
00
7r
~) ~(t - ~)
3. u(x, t) = f(t -
f
1 l. f(x)= -
'TTX
sen -
l - e - ka' r
-oo
f
00
o
a
sen ax da '
l - cos a , : e - kª 1 sen ax d
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
7. u(x, t)
f
sen a , --e-kª 1cos ax da o a
= -2
00
'Tf'
' 9. a) u(x, t) =
Joo -oo(F(a)cos aat
l 7r 2
_¡
. da + G(a) sena at) e- iax
I
=-
11. u(x, y)
n
00
00
1
. r=
f
00 (
7r
0
sen ax da
senh 2a
¡.
00
_ _1_
ª
e-x 2/(I +4kt)
J
2n
-oo
4
e -a'/ cosh ay
-oo
cosha
. e-"'xda ·
l.
u!1'= +Lu2 1 =
3.
U11 = U2 1 =
S.
2 V7i
-oo
e- a'/4 cosh ay cosh a ·
B
A) sen ax da
cosh ay + ) 1 + a 2 senh an a
cos ax + asen ax - ka't e da 1 + a2
COS
7. b)
ax da
t1
V3 /16 , U22 =
U21 = U12 = U¡ 1 =
Joo
(
Ejercicios 8.1, página 402
00
1
sen a(n - x) +sen ax k, 1 e- " da a
[e -ax sen ay + 2e -ay sen ax) da
X
- - - [e-ax sen ay+ e-"'Ysen ax] da o 1 + a2 00
= --
6.25,
U12 =
3 V3 /16
12.50, U3 1 = U13 = 18.75, U32 25.00, U 33 = 56.25
= U23 =
37.50,
U22 =
U¡4 =
u;¡¡ =
U 34 =
U43 =
0.5427, .0.6402,
U24 = U33 =
0.6707, 0.4451, U44 = 0.945 1
U42 =
Ejercicios 8.2, página 408 Las tablas de esta sección proporcionan una selección de la cantidad total de aproximaciones.
Ejercicios 7.5, página 395 3. 1
l.
7.
Tiempo ,x
1
+ ;fi.
fi. 2
- fi.
2
2
-1
i - fi.
Fs;:::
-oo
13. u(x, y ) -
f
2 vn
·
2n
2 11. u(x, y) = senh a(2 .:_ y)
F(a)
VI + 4kt
21. u(x,y)=
00
cos ay da
a
.
l
=
' t)
~
sen a --e-ªYcos ax da
0
'Tf'
U(x
)
o
f
17. u(x, y) = -2
.
senli a( n - x)
1 + a 2 senh an
I
'Tf'
2 15. u(x,y) = n
19
(
0
13. u(x, y) = -100
.
ªª
00
2
7. u(x, t) -
2
+ ;fi. 2
1
-1
1
- fi. _.; fi.
-i
+ ¡fi.
fi. 2
2
- fi. - ¡fi. 2
i
-1
fi. - ¡fi. 2
2
2
-1
-i
-1
-i fi. - ¡fi. 2
-¡
- fi. - ;fi. 2
2
-1
~ fi. 2
2 n
RESP-20
¡ 00
0
X
= 1.00
X
= 1.25
X
= 1.50
X =
1.75
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.100
0.3728
0.6288
0.6800
0.5904
0.3840
0.2 176
0.0768
-1
-i
0.200
0.2248
0.3942
0.4708
0.4562
0.3699
0.25 17
0.1 239
- fi. - ;fi.
-i
2
- fi. 2
+ ;fi. 2
+ ;fi.
fi. 2
0.300
0.1530
0.2752
0.3448
0.3545
0.3 101
0.2262
0. 11 83
0.400
0.1115
0.2034
0.2607
0.2757
0.2488
0.1865
0.0996
0.500
0.0841
0.1545
0.2002
0.2144
0.1961
0.1487
0.0800
.2
i
-1
Ejercicios de repaso del capítulo 7, página 395
l. u(x, y) = -
= Ü.75
0.000
2
-1 2
X
2
2
+ ;fi.
2
0:50
fi. - ;fi.
2
fi.
X =
-i
-1
fi. - ;fi.
2
2
1
-1
2
2
-i
+ ;fi. -1 2
= 0.25
+ ¡fi. 2
0.600
0.0645
0. 11 89
0.1548
0.)668
0.1534
0. 11 69
0.0631
0.700
0.0499
0.092 1
0.1201
0.1297
0.11 96
0.0914
0.0494
0.800
0.0387
0.0715
0.0933
0.1009
0.0931
0.0712
0.03?5
0.900
0.0301
0.0555
0.0725
0.0785
0.0725
0.0554
0.0300
1.000
0.0234
0.0432
0.0564
0.0610
0.0564
0.0431
0.0233
senh ay ( cos ax da a 1 + a 2) cosh an
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS S~LECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
3.
5.
Tiempo
X=
0.2S
X
= o.so
X
= 0.7S
X
= 1.00
X
= 1.2S
X=
1.SO
X=
l.7S
Tiempo x = 0.2S x = O.SO
X
= 0.7S
X
= 1.00
X' =
1.2~
" !:
X
= 1.SO
X =
1.7S
0.000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
0.0000 ' 0.0000
0.0000
0.00
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
0.0000
0. 100
0.40 15
0.6577
0.7084
0."5837
0.3753
0.1 87 1
0.0684
0.10
0.3972
0.655 1
0.7043
0.5883
0.3723
0.200
0.2430
0.41 98
0.492 1
0.46 17
0.3622
0.2362
0.11 32
0.20
0.2409
0.4 17 1
0.490 1
0.4620
0,3636 . 0.2385 ' 0. 11 45
0.300
0.1643
0.2924
0.3604
0.3626
0.3097
0.2208
0.11 36
0.30
0. 163 1
0.2908
0.3592
0.3624
0.3 105
0.2220
0.400
0.11 87
0.2 150
0.2725
0.2843
0.2528
0. 187 1
0.0989
0.40
0.118 1
0.2 14 1
0.27 18
0.2840
0.2530
0. 1876 ' 0.0993
0.500
0.089 1
0. 1630
0.2097
o.~223
0.2020
0. 152 1
0.08 14
0.50
0.0888
0. 1625
0.2092
0.2226
0.2020
0.600
0.0683
0.1 256
0. 1628
0. 1746
0. 1598
0. 1214
0.0653
0.60
0.068 1
0.1253
0.1 625
0. 1744
0:1597
0. 1214
0.0654
0.700
0.0530
0.0976
0. 1270
0.1369
0. 1259
0.0959
0.0518
0.70
0.0528
0.0974
0. 1268
o. 1366
0.1257 1:· "0.0959
0.05 18
0.800
0.0413
0.0762
0.0993
0.'1073
0.0989
0.0755
0.0408
0.80
0.04 12
' 0.0760
0.099 1
0. 107 1
0.0987
0.0754
0.0408
0.900
0.0323
0.0596
0.0778
0.084 1
0.0776
0.0593
0.032 1
0.90
0.0322
0.0594
0.0776
0.0839
0,0774
,0.0592 ' 0.0320
1.000
0.0253
0.0466
0.0609
0.0659
0.0608
0.0465
0.0252
1.00
0.0252
0.0465
0.0608
0.0657
0.0607 . 0.0464
Los errare;
absol~tos son aproximadamente de 2.2 X 10- 2, 3.7 X 10-2, 1.3 X 10- 2•
0.0000
0.0000
0.1955
0.0653 0.1145
0. 1523 ' 0.08 16
,¡:
0.0251
Los errores absolutos son aproxi madamente de 1.8 X 10-2, 3.7 X 10-2, ·1.3 X 10-2 .
' i
7. a) .~ = 10.00
X
30.0000
30.0000
30.0000
29.9999
30.0000
29.9999
29.9970
29.9037
27.6450
29.9991
29 .9999
29.999 1
29.9805
29.65 17
25.6452
29.942 1
29.9963
29.9996
29.9963
29.942 1
29.2922
23.9347
28.8606
29.8782
29.9898
29.9986
29.9898
29.8782
28.8606
22.46 12
28 .383 1
29.7878
29.9782
29 .9964
29.9782
29.7878
28.383 1
2 1.1 829
Tiempo x = 2.00
x = 4.00
X =
0.00
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
2.00
27 .6450
29 .9037
29.9970
4.00
,25 .6452
29.65 17
29.9805
6.00
23.9347
29.2922
8.00
22.46 12
10.00
2 1.1 829
6.00
X =
8.00
= 12.00
X =
14.00
X
= 16.00
X
30.0000
=
18.00
30.0000
b) Tiempo :.. = S.00
X
0.00
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
2.00
29.5964
29.9973
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
29.9973
29.5964
4.00
29.2036
29.9893
29.9999
30.0000
30.0000
30.0000
29 .9999
29.9893
29.2036
6.00
28.8212
29.9762
29.9997
30.0000
30.0000
30.0000
29.9997
29.9762
28.82 13
8.00
28.4490
29.9585
29.9992
30.0000
30.0000
30.0000
29.9993
29.9585
28.4490
10.00
28.0864
29.9363
29.9986
30.0000
30.0000
30.0000
29.9986
29.9363
28.0864
= 10.00
X
= lS .00
X
= 20.00
X
= 2S.OO
X
= 30.00
X
= 3S.OO
X
= 40.00
X
= 4S.OO
, ..
e) Tiempo x
= 2.00
X =
4.00
X =
6.00
X =
8.00
X
= 10.00
X
= 12.00
X
= 14.00
X
= 16.00
X
= 18.00
0.00
18.0000
32.0000
42.0000
48.0000
50.0000
48.0000
42.0000
32.0000
18.0000
2.00
15.33 12
28.5348
38.3465
44.3067
46.300 1
44.3067
38.3465
28.5348
15.33 12
4.00
13.637 1
25.6867
34.94 16
40.6988
42.6453
40.6988
34.94 16
25.6867
13.637 1
6.00
12.30 12
23.2863
3 1.8624
37.2794
39. 1273
37.2794
3 1.8624
23.2863
12.30 12
8.00
11.1 659
2 1.1 877
29.0757
34.0984
35.8202
34.0984
29.0757
2 1. 1877
11.1659
10.00
10. 1665
19.3 143
26.5439
3 1.1 662
32.7549
3 1.1 662
26.5439
19.3 143
10. 1665
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
RESP-21
d) 50.00
60.00
90.00
Tiempo x = 10.00
X =
0.00
8.0000
16.0000
24.0000
32.0000
40.0000
32.0000
24 .0000
16.0000
8.0000
2.00
8.0000
16.0000
23.9999
31.9918
39.4932
31.9918
23.9999
16.0000
8.0000
4.00
8.0000
16.0000
23.9993
31.9686
39.0 175
3 1.9686
23 .9993
16.0,000
8.0000
20.00
X=
30.00
X=
40.00
X=
X=
X=
70.00
X
= ,80.00
X=
6.00
8.0000
15.9999
23.9978
3 1.9323
38.570 1
31.9323
23.9978
15.9999
8.0000
8.00
8.0000
15.9998
23 .9950
31.8844
38.1483
31.8844
23.9950
15.9998
8.0000
10.00
8.0000
15.9996
23 .9908'
31.8265
37.7498
31.8265
23.9908
15.9996
8.0000
9. a) Tiempo x
= 2.00
x
= 4.00
X=
6.00
X =
8.00
X
= 10.00
X
= 12.00
X
= 14.00
X
= ,16.00
X
= 18.00
0.00
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
2.00
27.6450
. 29.9037
29.9970
29.9999
30.0000
30.0000
29 .9990
29.9679
29.2150
4.00
25.6452
29.6517
29.9805
29.9991
30.0000
29.9997
29.9935
29.8839
28.5484
6.00
23.9347
29.2922
29.9421
29.9963
29.9997
. 29.9988
29.9807
29.7641
27.9782
8.00
22.4612
28.8606
29.8782
29.9899
29.999 1
29.9966
29.9594
29.6202
27.4870
10.0o'
2 1.1 829
28.383 1
29.7878
29.9783
29.9976
29.9927
29 .9293
29.46 10
27 .0610
b)
= 5.00
Tiempo
X
0.00
30.0000
X
= 10.00
30.0000
X
= 15.00
X
= 20.00
X
= 25.00
X
= 30.00
X
= 35.00
X
= 40.00
X
= 45.00
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
30.0000
2.00
29 .5964
29.9973
30.0000
30.0000
30.0000
29.999 1
29.8655
4.00
29.2,036
29.9893
29.9999
30.,0000
30.0000
30.0000
30.0000
29.9964
29.7345
6.00
28 .82 12
29.9762
29.9997
30.0000
30.0000
30.0000
29.9999
29.992 1
29.607 1
8.00
28.4490
29.9585
29.9992
30.0000
30.0000
30.0000
29.9997
29.9862
29.4830
10.00
28 .0864
29.9363
29.9986
30.0000
30.0000
30.0000
29 .9995
29.9788
29.3621
Tiempo x = 2.00
x = 4.00
X =
0.00
18.0000
32.0000
42.0000
48.0000
50.0000
48.0000
42.0000
32.0000
18.0000
2.00
15.3312
28.5350
38.3477
44.3 130
46.3327
44.4671
39.0872
3 1.5755
24.6930
4.00
13.638 1
25.69 13
34.9606
40.7728
42.9127
41.5716
37.4340
3 1.7086
25.6986
6.00
12.3088
23.3146
3 1.9546
37.5566
39.8880
39. 1565
36.9745
3 1.21 34
25 . 712~
8.00
11.1946
2 1.2785
29.32 17
34.7092
37.2 109
36.9834
34.5032
30.4279
25.4167
10.00
10.2377
19.5 150
27.0178
32. 1929
34.8 11 7
34.9710
33.0338
29 .5224
25.0019
e) 6.00
X=
8.00
X
= 10.00
X
= 12.00
X -;"'
14.00
X
= 16.00
X
= 18.00
d)
RESP-22
= 10.00
= 20.00
= 30.00
= 40.00
= 50.00
= 60.00
= 70.00
= 80.00
= 90 .00
Tiempo
X
0.00
8.0000
16.0000
24.0000
32.POOO
40.0000
32.0000
24.0000
2.00
8.0000
16.0000
23.9999
31.9918
39.4932
31.9918
24.0000
16.0102
8.6333
4.00
8.0000
16.0000
23 .9993
3 1.9686
39.0175
31.9687
24.0002
16.ü391
9.2272 9.7846
X
X
X
X
X
X
X
16.0000
X
8.0000
6.00
8.0000
15.9999
23.9978
31.9323
38.5701
31.9324
24.0005
16.0845
8.00
8.0000
15.9998
23.9950
31.8844
38.1483
3 1.8846
24.001 2
16.1 441
10.3084
10.00
8.0000
15.9996
23.9908
31.8265
37.7499
31.8269
24.0023
16.2160
10.8012
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
11. a) t/J(x) =
t x + 20
Ejercicios 8.3, página 412 l. a)
b) Tiempo
X =
4.00
x
:= O.SO
x = 0.75
Tiempo
50.0000
0.00
0.2500
0.1875
0.00
0.0032
0.5~73
38.297 1
0.20
0.149 1
0.2100
0. 149 1
0.20
0.0652
0.4638
0.4638 0.0652
35. 8160
0.40
0.0556
0.0938
0.0556
0.40
0.2065
0.3035
0.3035 0.2065
32.9644
0.60 - 0.050 1 --0.0682 --0.050 1
0.60
o.3208
º ¡¡1190
, 0. 11 90 0.3208
29.4296
30. 1207
0.80 --0.136 1 - 0.2072 -0. 1361
0.80
0.3094 --0:0 180 --0.0 180 0.3094
27.4554
28.8998
1.00 --0. 1802 - 0.259 1 --0. 1802
1.00
0.1 450: -0:01,68 --0.0768 0. 1450
24.6 176
26.6 175
28.38 17 28.16 19
8:00
X=
12.00
50.0000
50.0000
50.0000
10.00
32.7433
44.2679
45.4228
20.00
29.9946
36.2354
38.3 148
30.00
26.9487
32. 1409
34.0874
50.00
24. 11 78
27.4348
70.00
22.8995
25.4560
90.00
22.38 17
11 0.00
I!'
1::·
Tiempo x = 0.25
X =
O.Otl
X =
16.00
22.1 619
24.2620
26.2620
' 22.0687
24.111 2
26.11 12
28 .0687
150.00
22.029 1
24.0472
26.0472
28.029 1
170.00
22.0 124
24.0200
26.0200
28 .0 124
130.00 .
b)
190.00
22.0052
24.0085
26.0085
28.0052
210.0Q
22.0022
24.0036
26.0036
28 .0022
230.00
22.0009
24.00 15
26.00 15
28 .0009
250.00
22.0004
24.0007
26.0007
28 .0004
270.00
22.0002
24.0003
26.0003
28.0002
290.00
22.000 1
24.000 1
26.000 1
28.000 1
310.00
22.0000
24.000 1
26.000 1
28.0000
330.00
22 .0000
24.0000
26.0000
28.0000
350.00
22.0000
24.0000
26.0000
28.o'ooo
0.1875
X
= 0.4·
X
= Q.8
X
= 1.2
X
= 1.6
0.5273 0.0032
,, , ti'
e) 'o.7
'i = 0.8
0.00
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.5000
0.5000
0.5000
0.5000
0.12
0.0000
,0.0000
0.0082
0.1126
0.3411
0. 1589
0.3792
0.37 10
0.0462
0.24 '
0.007 1
0.0657
0.2447
0.3 159
0.1735
0.2463
-0.1266
t::..0.3056
--0.0625
Tiempo
X =
0.1
X =
0.2
X =
0.3
X =
0.4
X =
0.5
X =
0.6
X =
X =
0.9
1;
0.36
0.1 623
0.3197
0.2458
0.1657
0.0877
-0.2853
--0.2843
0.48
0. 1965
0.14 10
0. 1149
- 0.12 16
--0.3593
--0.238 1
0.60
- 0.2 194
-0.2069
--0.3875
-0.34 11
- 0. 190 1
0.72
-0.3003
~0. 6865
- 0.5097
--0.3230
-0. 1585
~
--0.2 104
- 0.2887
--0.1977
--0. 1715
0.0800
-0. 1662
- 0.0666
' 0.11 40
- 0.0446
0.0156
0.0893
' - 0.0874
0.0384
, .. 0.84
-0.2647
--0.1633
-0.3546
0.96
0.30 12
0.108 1
0.1 380
--0.32 14 '
-0.1763
- 0.0954
- 0. 1249
:::-o.0665
- 0.0386
--0.0487
--0.2974
--0.3407
--0. 12'50
' - 0. 1548
0.0092
,,
3. a) Tiempo
X=
0.2
X=
0.4
X=
0.6
X =
0.8
0.00
0.5878
0.95 11
0.95 11
0.5878
0.10
0.5599
0.9059
' 0.9059
0.5599
0.20
0.4788
0.7748
0.7748
0.4788
0. 30
0.3524
0.570 1
0.570 1
0.3524
0.40
0.1924
0.3 11 3
0.3 11 3
0. 1924
0.50
0.0 142
0.0230
0.0230 '
0.0 142
RESP-23
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR 'I '
"'
b)
b) Tiempo
X =
0.2
X=
0.4
X=
0.6
0.8
X =
0.00
0,5878
0.95 11
0.95 11
0.5878
0.05
0.5808
0.9397
0.9397
0.5808
0. 10
0.5599
0.9060
0.9060
0.5599
0. 15
0.5257
0.8507
0.8507
0.5257
0.20
0.4790
0.7750
0.7750
0.4790
'0.25
0.4209
0.6810
0.6810
0.4209
0.30
0.3527
0.5706
0.5706
0.3527
0.35
0.276 1
Q.4467
0.4467
0.2761
0.40
0.1929
0.3122
0.3 122
0.1929
0.45
0.1052
0. 170 1
0.1701
0.1052
0.50
0.0 149
q.024 1
0.0241
0.0 149
X =
0.00000
0.1 000
0.2000
0.3000
0.60 134
0.0984
0. 1688
1.20268
0.0226
--0.0 12 1
1.80401
--0.1 27 1
2.40535
20
X =
30
X =
40
X =
50
0.2000
0.1 000
0.1406
0.1688
0.0984
0.0085
- 0.0 12 1
0.0226
--0. 1347
--0. 1566
--0.1 347
--0.1 27 1
--0.0920
--0.2292
--0.257 1
--0.2292
--0.0920
3.00669
- 0.0932
--0. 1445
- 0.2018
- 0.1 445
-0.0932
3.60803
- 0.0284
--0.0205
0.0336
--0.0205
- 0.0284
4.20936
0. l064
0.1555
0.1 265
0.1555
0.1 064
4.8 1070
0. 1273
0.2060
0.2612,
0.2060
0.1 273
5 .4 1204
0.0625
0.1689
0.2038
0.1689
0.0625
6.0 1338
0.0436
0.0086
--0.0080
0.0086
0.0436
6.6 14 72
- 0.093 1
- 0.1364
- 0.1578
--0.1364
--0.093 1
7.2 1605
- 0.1 436
- 0.2173
--0.2240
--0.2 173
--0. 1436
7.8 1739
- O.d625
- 0. 1644
- 0.2247
- 0.1644
--0.0625
8.41873
- 0.0287
-0.01~2
- 0.0085 '
--O.O 192
- 0.0287
9.02007
0.0654
0. 1332
0. 1755
0.1332
0.0654
9.62 140
0.1540
0.2 189
0.2089
0.2 189
0. 1540
0.4000
0.6000
0. 8000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
0.2000
0.4000
0.6000
0.5500
0.2000
0.4000
0.5375
0.4250
0.2000
0.3844
0.4750
0.3469
0.1961
0.3609
0.4203
0.2922
+
3i
9. 11-lói 7
13. -2i 23
64.
19. 37 - 371 7
25. Tfü
+
9
'x = 0.60
X =
0.80
0.6000
0.8000
0.2000
0.4000
0.6000
0.5500
17. 8 - i
21. 20i
23 •
102 5
33. X= -~,y =
35. -
Vi 2
+ lli.¡· 5
+ y2)
31. V(x - 1) 2 +(y - 3) 2
Vi.
Vi
+-¡--
2
,
2
Vi .
- -¡
2
37. 11 - 6i
Ejercicios 9.2, página 424 1. 2(cos O + i sen 0) o 2(cos 27T 3. 3( cos
3 ;
+ i sen ; )
7. 2( cos
5 :
+
9.
3
3
Y2 (cos
+ i sen 27T)
Vi( cos
:
+ i sen : )
5
i sen : )
S7T 4
2'
5.
+
i sen
5 7T) 4
+ 2.296li
13. 5.5433
11.
0.5375
0.4250
0.4750
0.3469
19.
27.
RESP-24
+ l2i
15. -17 - J7l
29. -2y - 4 ·
2
25
0. 1961
0.3609
0.4203
0.2922
0. 1883
0.3346
0.3734 '
0.2512
+ i sen
7T 12
~ [ cos ( - : )
Wo
= 2,
29. Wo =
+
25
7T); 40.9808 12
i sen ( - : )
W1
Vi
2
= - [
+ \13 i,
Vi + 2 i, w,
+ 10.9808i
l ±~ ± i
23. ~ i
21. - 512
0.3844
11. - 5
11 .
27. xl(x 2
.
130 l
'
0.4000
0.2000
5. 7 - 13i
3.
17. 30\!2 (cos
0.2000
0.2000
0.80
15. 8r , 4
Ejercicios de repaso del capítulo 8, página 412 l. U1 1 = Ü. 8929, U21 = 3.5714, U3 1 = 13.3929 0.40
X =
. Vi - -Vi . 1 4
Nora: El tiempo está expresado en milisegu ndos. '
X =
0.60
0.2000
7. - 7 +Si X =
X =
Ejercicios 9.1, página 420 1. 3
X ,;, 10
0.40
e) Sí; la tabla del inciso b) es la tabla del inciso 'a ) desplazada hacia abajo.
5. Tiempo
0.20
X=
25. -i W2
= -1 -
\13 i
Vi
Vi
2
2.
- - - - - -, i
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SE~ECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
33.
V2
V2
± 2(1 + i), ± 2(1 - i)
35. 32( cos
2 1. dominio
y
23. la línea y = - x
25. la hipérp~la x 2
l~1T + i sen l~7T) 16\/'3 +16i
37. cos 2() = cos 2(}
-
sen2 (}, sen 2() = 2 sen(} cos (}
Ejercicios 9.3, página 428 l.
3. y
y2
= 1
Ejercicios 9.4, página 433
y --+--+-+-+-+--+--+--X
x =5
-
l.
i
3.
:v
....... v2
-+--li--+-+--+-t---1- X
u = [6 - 4
y =-3
s; o
ll
V=
5.
q! i•
-+-t-t--t-t--+--- u
u.
7. y
y
.," " "
5.
V
v ~ O
9. dominio
u=O
11. dominio
- - - 4 1 - - - - - - - !/
y
+ i(6y + 9) · y2 - 3x) + i(2xy - 3y + ~) 3xy2 - 4x) + i(3x 2y -:- y3 -: 4y)
7. f(z) = (6x - 5) 9. f( z) = (x --+--+---+--~--<--+-
X
11 . f( z) = (x3 13. f( z) =
y
/'
' ,, ,,""
1 1
'
X
2
x ) +y2
+
i(y - +y Y( X
2 1. -4i
,, X
(x+
2
17. 14 - 20i; -13 + 43i; 3 - 26i
15. no es dominio
'y
-
' ,, " ,,",," ,, .,," "
'I
2
29. 6z X
33. 4 1.
1 ,I
2
)
+ i; 3 - 9i; 1 + 86i
15. -4 13. dominio
2
27. 12z 14z - 4
-
8 - 13i (2z
+ i)2
x(t)
=
C¡e
+
2
16i
3 1. 6z(z
35. 3i 21
y y(t) =
.' 19. 6 - Si · 2
2 C2e ';
por el origen.
(6
...:_
+ 2i)z - 5
4i~ 2
: 37. 2i, -2i las líneas de corriente pasan ·
43. y = ex; las líneas de corriente pasan por el origen.
17. no es dominio
~,
4 5.
19. dominio
V
y
,... ...,
r\
1
/ ·
-H-i!-++-U
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO I MPAR
RESP- 25 .I''
Ejercicios 9.5, página 438 21. f'( z) = e\ cos y+ ie' sen y 23. f( z) =
+
X
25. f( z) = x
2
-
19.
+ C) y2 + i(2xy +
i(y
27. f( z) = log.(x2
+ 2n7T}
17. ( - ;
=3
15. a = 1, b
47T +. n7T
21 . 21m ± 2i
C)
+ y2) + i ( 2 tan - 1 ~ +
e)
Ejercicios 9.8, página 451 l. n7T
29.
+ ( -1)'' + 1ilog, (1 + v'2)
5. 2n7T ± i log, (2
7T
9. 4
+- v'3)
+ n7T
3. n7T 7T 7. ± - + 2n7T 3
11. (- 1)" log. 3
+ n7Ti
. Ejercicios de repaso del capítulo 9, página 452 1. O; 32 9. 0.6931
is
3. -
+
i (;
+ 21m)
31. el eje x y el círculo lzl = 1 Ejercicios 9.6, página 444
~ +~i
3.
e- {~+~ i)
11. - 0.3097
7. falso
+ 0.8577i 17. 58 - 4i
19. -8 + 8i 21.
+ 4.0752i 11 . - 0.9659 + 0.2588i
5. -e"'.
~
7T 15. 3 - - i 2
13. falso
l.
. 5.
7. - 1.8650
9. 0.2837 - 0.9589i
13. el'(cos x
~
\
i sen x)
15. e' '->"(cos 2xy + i sen 2.xy) 23.
23. 1.6094 + i( 7T + 2n7T) 25. 1.0397 +
i(3: +
'
2n7T)
27. 1.0397 + { ; + 2n7T) 7T 29. 2 . 1383 - 4i
31. 2.5649 + 2.7468i
7T 33. 3.4657 - 3 i
35. 1.3863 + { ; + 21m)
37. 3 + { - ; + 2n7T)
39.
e<2 - 811)1r
11 . 0.5876
3. 1.0911
RESP-26
+ 0.83 lüi
- 0.6481
+ l .3363i
33. 1, - 1
35. números imaginarios puros
9. -1
9. -
3 l3. 2 4
7T 4 5 .
21. 3 - :Jl
7T . 15. - + 21m - ilog.(2 ±
2
31 . la parábola v = u2
7. 7Ti
Ejercicios 9.7, página 449 ~.
29. Si
Ejercicios 10.1, página 458 l. -28 + 84i 3 . -48 +
47. no; no; sí
5. 0.7616i
27. 1.0(596 - 0.2127 i, 0.2127 + 1.0696i, - 1.0696 + 0.2127i, - 0.2127 - l.0696i
v'3)
-
2u
37. f'( z) = (- 2y - 5) + 2xi
41. e- 2""'(0.2740 + 0.5837i) 43. e2
. l. 10.0677
25. una elipse con focos (O, -2) y (0, 2)
27. 6v'2
15.
o
7 6
j i
fi + 12 i
5. (2
11. - e -1
17. ~ i 23. ~ - ~ ¡ 31. -11 + 38i;
i
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
+ 7T)i
19.
o
57Te5
25. ~
12 .
o
33. circulación = O, flujo neto = 47T
Ejercicios 11.2, página 488 00
35. circulación = O, flujo neto = O
l.
L(-1/ +1l,R
=
1
k=l 00
Ejercicio~
10.2, página 463 9. 27Ti 11. 27Ti
15. 27Ti; 47Ti; 19. -7T(l
o
13.
3.
o
23. -67Ti.
15.
o
5. 6 + ~i
o
7.
9.
13. 2.3S04i
oo
~
(2k
.+
1)!'
R=oo
(-1/ (z)2k (2k)! 2 'R
00
;=
11.
~ (-l/ 4k+ 2 ~ (2k + l)!z ,R - oo
13.
L(-1/(z-l)k,R=l
17. 7Ti
21. 11.4928 + 0.9667i
L
k= O
1 11. - - - - i 7T 7T
7 22. 9 . -16 - 3 1
z2k+ 1
oo
Ejercicios 10.3, página 469 3. 48 + 24i
(2z/, R = oo
k= O
7. l. 2i
(-1/
L - k.100
5.
21. -47Ti
!
k=l
17. -87Ti; -67Ti
+ i)
L(-l)k - 1k(2z/ - 1,R =
00
2:3. -0.90S6 + l.7699i
k=O
(z - 2i/ 21y+l'R =
00
Ejercicios 10.4, página 474 l. 87Ti 3. -27Ti
15.
L (3 -
k= O
5. - 7T(20 + 8i)
4
11. -27Te - 1i
9. -87T
.
13. 3 7Tl
15. - S7Ti; - S7Ti; 97Ti;
17. -7T(3 + i); 7T(3 + i)
19. 7Td + 12i)
21.
o
17.
19.
*
-1, 27Ti si n = -1 1 36 + 88· 15 . 15 17. o 3 1
19. -14.2144 + 22.9637i
21. 27Ti
23. - ~ 7Ti
27. 27T
25. ~ 7Ti
2
,R=2
1. 1
~ - 2~! (z-:)- 2~,(z ~~:Y + 2. \123! (z - 7T) + ·· ·, R 4
Ejercicios de repaso del capítulo 10, página 475 l. verdadero 3. verdadero 5. O 7. 7T(67T - i) 11 . O sin
k
3
23. -7Ti
9. verdadero
L
k= l
o
1/
(z -
00
7. -27T; 27T
VI3
29. 2n7Ti
~
(z - 3i)k
k=O
k!
.
21. e'3 ,¿,,¡
,
R
=
=
oo
oo
fs zs + ...
23.
z+
25.
lS 3 ,~¡ 1 3 7 2 2i + (2i)2 z + (2i)3 z + (2i)4 z . + .:·" R = 1
21.
2\/5
h3 +
00
29. Ejercicios 11.1, página 483 l. Si, -S, -Si, S, Si 5. converge
3. O, 2, O, 2, O
2 y lírri,,_.00 Im(z11 )
=
l;
=
k=O
7. converge
11 . lím11 _.oo Re(z11 )
L(-l)k(z + l/,R
13. La serie converge en 1/(1 + 2i).
9. diverge =
L (2 (-1/ f+ +
· k
00
k=O
i
-
(z - i), R -
1
~
V5
.
y
15. divergente
t
17. convergente, - · + ~ i 19. convergente, ~ 21. lz - 2il =
lf i
VS, R = VS
23. lz - 1 - il = 2, R = 2 25. lz -:- il = 1/ '\/TO, R = 1/ '\/TO 27. lz - 4 - 3il = 2S, R = 2S . 29. La serie converge en
z = -2 + i.
31. a) La distancia de z0 al corte de .ramificación es una unidad. e) La serie converge en el interior del círculo lz + 1 - il = \12. Aunque la serid converge en la
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
RESP-27
í-egión sombreada, no converge (ni representa) a Ln z en esta región.
Ejercicios 11.4, página 499 l. Definaf(O) = 2.
3. -2 + i es un cero de orden 2.
y
5. - i e i son ceros de orden 1; O es un cero de orden 2. 7. 2n7Ti, n = O, ± 1, ... , son ceros de orden l. 9. orden 5
11. orden 1
13. - 1 ± 2i son polos simples. 15. - 2 es un polo simple; - i es un polo de orden 4. 17. (2n + 1)7T/2, n =O,± 1, ... , son polos simples. 00
(-l)k
k=O
(2k + l)k!
2 __ ~ 35. , e ,.::.,;
33. 1.1 + 0.12i
V7T
19. O es un polo de orden 2.
z2k+I
Ejercicios 11.3, página 496 3
21. 2n7Ti, n =O, ± 1, ..., son polos simples . 23. no aislado Ejercicios 11.S, página SOS
5
1 z z z l. - - - + - - - + ··· z 2 ! 4! 6!
l. ~
1 l l 3. 1 - - -2 + - -4 - - -6 +··· l!·z 2! · z 3! · z
9. Res(f(z), 1) =
e
e(z - 1)
5. - - +e+ z- l . 7.
9.
- -
3z
- -
1
e(z - 1)2
Res(f(z), - 3) = 30
33
3
15. Res(f(z), (2n + 1)7T/2) = (-1)" + 1, n =O, ±1, ±2, .. ·
(z - 3)2
z- 3
3
3
3
4
1
- 12 +
+ ...
17. O; 27Ti/9; O 23. O
3 · 42
7T 31. - -
2
z
z
- -
22
23
- .. .
l.
-1
15. - - - l - (z - 1) - (z - 1) 2 z- 1 . 17.
3(z + 1)
3
l
2(z +l)
2
l
19 . .. . - +3z2 · 3z
7T
+-
3
o
21.
27. -4i
7T 3 29. 6i
i
Ejercicios 11.6, página Sll
2
2
19. 7Ti; 7Ti;
25. 27Ti cosh 1
z -4
3
- - - - - -
1
±
13. Res(f(z), O) = -3/7T4 , Res(f(z), 7T) = (7T2 - 6)/27T4
- -2 + - 3
z
fi ,
z
2
(z - 4 ) + ... 3 . 43 . z2
-
11. Res(f(z), - 1) = 6, Res(f(z), -2) = - 31,
2
13'. . .. - -
t ,Res(f(z), -2) =
Res(f(z), O) = -
+ ···
3!
l 1 l l. ... - 3(z - 4) 2 + 3(z - 4)
-
o
z
1
3(z - 3)
5.
7. Res(f(z), - 4i) = ~ , Res(f(z), 4i) = ~
- - - -4 - ·· ·
32
l
+
2!
3. -3
3
1
- -
3
···
2(z +l) 2
3
~
-
3
17.
4
. z2- - ... -z- - 2 3 ·2
9.
47T
o
5.
11. 7T
13.
3.
V3 7T 6 7T
19.
2
7T
7T
7.
V3 7T
15.
16
21. 7Te- I
V2
7T 4 37T
8
23. 7Te - '
7Te -V5.
25. 7Te -3
27.
2
V2 ( cos V2 + sen \12)
3 · 2
l 2 2 1. - + 2 + 3z + 4z + · · ·
z
1 23 . - - - 3 z- 2
3
Ejercicios de repaso del capítulo 11, página S12
+ 6(z -
2) - lü(z - 2)
2
+ ···
1. verdadero 3. falso 9.
2
25. - - 4 - 4z - 4z - · · ·
z
11. lz ·_ il =
7T
V5
k7T
2
2
2
00
27. . .. + (z - 1)3 + (z -- 1)2 + ~ + 1 + (z - 1)
13. 1 +
2:
k= l
RESP-28
5. verdadero
(V2/cos -
4 k!
k
z
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
7. verdadero
i
15. - -3 z 17' .. .
1
2!z 2
+
2
19.
+-
+-
i
.3!z
1
i
4!
5!
1 1 5!(z - i) 3 - 3!(z - i) 8
+ (z - z)
R' B'
26 2
z2
-
2
8
26
z
z
z
2 +3 +4
'-----+__,,___
-
32
z 33 - .. ·;
-
13. w
= (~) 1- z
1 12
utilizando H-5 y w
(z - 1)2
z- 1
4041T .
23
2i
23. -
--¡
V3
81
+ 1Te- 2 cos2)i 91T3 + 2 .
i B'=eiTr/4
27. -1Ti
25. (1T
71T
e,,,.¡'
31. 50
l
15. w
+ e- ,,,./z )l/2
= ( e,,,. /, _e _,,,.1,
33. 1T( 90 - 52 V3) 12 - 7V3
· .,: utilizando H-6 , ); 'w =
z112
V
A'
Ejercicios 12.1, página 518 1. la línea v = - u·
R'
3. la línea v = 2 d~sde
5. segmento abierto de línea 7. el rayo(:) = ~ (:) 0
B' 'I,
O hasta 7TÍ
1
C'
9. la línea u = 1
11. el cuarto cuadrante
17. w = sen(-iLn (-oo, -1].
13. la cuña 1T/4 :::; Arg w :::; 1Tl2 15. el círculo con centro
w= 4i y radio r =
1
1 Arg(z4 ) o u(r, (:)) 1T
19. la cuña O :::; Arg w:::; 37T/4
2 1. w = - i(z - i) = - iz - 1 23. w = 2(z - 1)
25 . w =
e3v2
29. w =
- z4 -z + i
Ejercicios 12.2, página 524 1. conforme en tod,os los puntos menos
5. conforme en todos los puntos fuera del intervalo [ - 1, 1] del eje x
7. La i'magen es la región mostrada en la figura 12. llb). Un segmento horizontal z(t) ~ t + ib, donde O< t < rr, se transfo1ma en la porción infe1ior o supe1ior de la elipse u2
v2
- -2+ - -2= cosh b
senh b
1
según sea b > Oo b < O.
9. La imagen de la región es la cuña O :::; Arg w :::; 7T/4. La imagen del segmento de línea [ - 1Tl2, 1Tl2] es la unión de 14
los segmentos de línea que unen a e;" con O y a O con l.
4 1T
= -
~: ~) =
(:)
! (1 _:;:- l ) tan- 1
2 1.'
u=! Arg(i
23 .
u= - [Arg(z2 - 1) - Arg(z2 + l)]
25 ..
u= - [Arg(e,,,., - 1) - Arg(e,,,., +
1
1T
10
.
1T
z = .± 1
3. conforme en todos los puntos menos z = 1Ti ± 2n1Ti
u
z - 7T/2) ; A'B' es el intervalo real
19. u = -
17. la franja -1 :::; u :::; O
27. w =;
= ~ 114 :
:+ ... ;
1
1T2
_.__Ll"'
A'
2
z
31 -
~ -
--------22 z :.. . 1 2
29 .
V
.
3 + 9z + 27z + .. ·; ... - z3
2 1.
11. w = cos( 1TZl2) utilizando H-4
- - - -z + ...
'
~
1)]
'
Ejercicios 12.3, página 531 l. T(O) = oo, T(l) = i, T(oo) = O; lwl =" 1 y la línea V=~; lwl ~ 1 , 1
3. T(O) = -1, T(l) = oo, T(oo) = 1; la línea círculo lw - 11 = 2; el serniplano u :::; O !:
5.
s- 1(w) =
7.
s- 1(w)
=
u=
O y el
w + 1 · ' (1 + i)z - 1 + . = --,, s- (T( z) ) = , +. -w /. w- l ," 2z l
-w - 1
-w -w
1
+2 w- 2 1 .: 3 = - - , s- (T(z)) = +1 w- 1 z
z+ 1 9. w = - 2 - -
z- 2
RESPU ESTAS A LOS PROB LEMAS SELECCIONA DOS DE NÚMERO IMPAR
11. w =
·Z -
2z •1
:
-
2· . l
i z- 1 13. w=- - -
2
·z (1
1
9. u = - Arg . 7T
+ i)z + 1 - i
-!
15. w == 3 - - - - - - - -
+ 5i)z
(- 3
- 3 - Si
1 2 17. u= - - loge lz + ¡. Las curvas de nivel son las imáloge2 z- 1
genes de los círculos lwl = 1; donde 1 < r < 2, bajo la tran sformación fracciona( lineal T(w) = (w + 2)/ (w - 1). Puesto que los círculos no pasan por el polo en w = 1, las imágenes son círculos.
11. u(O, O)=
((1 - i)z - (1 + i)) 1 -z
Arg(_(l
/i)~ ~ 1 -
J
t, u(-0.5, O)= 0.5693 , u(0.5, O) = 0.1516
13. Demuestre que u(O, O)= - 1 27T 15. u(r; B) = r sen 8
f"
u(e;' ) dt.
- 7T
+ r cos 8 o
u(x, y) = x
+y
y
19. Construya la transformación fracciona( lineal que envía a 1, i, -i hacia O, 1, - l.
, a2(ª1Z+ b,) + b2 Simplifique T2(T1(z)) =
c,z + d,
- (-a-,z-+_b_'_)__ C2
c,z +
d,
+ d2
Ejercicios 12.4, página 916
Ejercicios 12.6, página 546 l. g(z) = e- ;eº es analítica en cualqu ier punto y G(z) = e-iBoz es un potencial complejo. Las líneas equipotenciales son x cos 80 + y sen 80 · = c.
1. primer cuadrante
3.
V
ai-------------11 o 5. f'( z) = A(z tante A
+
7. f' (z) = A(z
+
l) - " 2z- 112 (z - l) -
112
para alguna cons-
l) - " 3z- " 3 para alguna constante A
, A 9. Demuestre que f (z) = 2 _ , y concluya que f( z) 12 1 = cosh- z. (z l) 11 . Desmuestre que f' (z) ~ A l z cuando w1 ~ oo y concluya quef(z) = Ln z.
3. g(z) = llz es analítica para z =/= O y G(z) = Ln z es analítica excepto en z = x :5 O. Las líneas equipotenciales son los círculos x 2 + y2 = e2c.
13. Demuestre quef'(z) ~ A(z + l) - " 2z(z - 1) - " 2 = A z/( z2 - 1) 112 cuando u 1 ~ O .
y
Ej ercicios 12.5, página 540 ·
1.. u=
!
Arg( z :
1 ) -
!
~ i)
ArgC
( z)
. -Arg(z--· l)] +-Arg 1 3. u= -5[7T -7T
_
z +l
7T
I_Arg(~) 7T z+2
5. u = ; { 1 +
y2
~x
2
[tan - '( x 2
+X loge [
(x - 1) + 2
X
+ y
2
1 (zz 1) 5
~
1
) -
y2]}
7T
RESP-30
4
4
7T
7T
+ - Arg (z2 7T
tan- '(~)]
cial complejo. Las líneas equipotenciales son los rayos
8 = : e YF =
2
7. u = - Arg - 2
4
7T
5. = - Arg z o
+ 1)
!C 2 :
y2' x 2
:
y2 ).
7. Las líneas equipotenciales son las imágenes de los rayos 8 = 80 bajo las transformaciones sucesivas ~ = w"2 y z = (~ + 1)/( -~ + l). La transformación~= w"2 trans-
'RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
forma el rayo 8 = 80 en el rayo 8 = 8of2 en el plano (, y z = (( + 1)/(-( + 1) transfotma este rayo en un arco de círculo que pasa por z = - 1 y por z = 1. 9. a)
1
l/J(x,' y) = 4xy(x - y2) o, en coordenadas polares, 4 l/1(1; 8) = r sen 48. Nótese que l/J = O en la frontera de R.
= 4z3 = 4(x3
-
3xy2,
y3 -
3x2y)
1'.'
+ 1 + icl + log. l.t --!'· 1 + icl] ' ' ~ [Arg(t + 1 + ic) + Arg(t - 1 + ic)],
b) x = -2 [log. lt
2
b) V
e)
Por tanto, lm(G(z)) = l/J(x, y) = O eQ la frontera de R. .~·
y =
11' -
para e> O
·:
e)
.
y
y
" ·'
11. a) ' l/J(x, y) = cos x senh y y l/J = O en la frontera de R. b) V = cos z
= (cos x cosh y,
1
17. a) f(t) = -
((t2 - 1) 112 + cosh -: 1 t)
11'
sen x senh y)
'1 =; '¡" 11'
((f - 1)"2
·,
+ Ln(t + (t2 -
1) 112)) y así Im(((t)) ~
e)
1, { O,
t < -1 ' t > y Re(f(t)) = O pa~·a - 1 < t < l. 1
Por tanto, lm(G(z)) = l/J(x, y) = O en la frontera , 1'
.,!'
de R.
(((t + ic) y = Im [ ! (((t + ic)
. b) x =Re[!
2xy
13. a) · l/J(x, y) = 2xy
(x2 + y2)2
o, en coordenadas po-
, lares, l/J(r, 8) = (? - l!?) sen 28. Nótese que l/J = O en la frontera de R.
2
2
-
1) 112
+
c~sh- 1 (t ,+ ic))]
-
1) 1! 2 +
c~sh- 1 (t + ic))]
para e> O e)
y
b) V = 22 - 2/23 e)
:::
o
1
1
19. z = O,en el ejemplo 5; z = l , z = -1 en el ejemplo 6
fa
21. Las líneas de corriente son las ramas de familia de hipérbolas x 2 + Bxy - y2 - l = O que se encuentran en
el primer cuadrante. Todos los miembros de la familia pasan por (1, 0).
1 15. a) f(t) = 1Ti -2 [log. lt
+ i Arg(t +
1)
O,
~m(f(t))
=
{ :~2,
.i
+ 11 +
log. lt - 11
+ i Arg(t - l)] y así t
< -1
-l
> l.
23. Sugerencia: Para z en el semiplano super~óI", k[Arg(z - 1) - Arg(z
+
l)]
1)
= k Arg ( -z.-~· -
Z::+ 1
.
Ejercicios de repaso del capítulo 12, págin~ 548 1. v = 4 3. la cuña O :5 Arg w ::::; 2n/3 5. verdadero
7. O, 1, oo
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
~. ,, ,,.
falsó
RESP-31
11. La imagen del primer cuadrante es la franj a O< v < 7T/2.
Los rayos 8 = 80 se transforman en las líneas horizontales v = 80 del plano w. i -
COS
7TZ
COS
7TZ
13. w= - - - -
i
+
17. a) Nótese que a
A'
a2
~
27T y a 3
~O
cuando
!
b) Sugerencia: Escribaf(t) = A[log. lt + 11 + log. lt - 11 + i Arg(t + 1) + i Arg(t - l)] + B. . 19. G(z) ~
\/
1 ~O,
U¡ ~OO.
r
1
(z) transforma a R en la franj a
o ::5 V ::5 7T,
y U(u, v)
= v/7T es la solución al problema de la frontera transferida. Por tanto,
(1!7T)tf¡(x, y), por lo que las lín eas equipotenciales
Ejercicios del apéndice 11, página AP-5 l. 24; 720; 4y':7f /3; -8v':7T /15
B' 5. f (x)
>
I
J
f- le-'dt > e- 1
o
15. u = 2 - 2yl(x 2
RESP-32
+ y2)
Cuando X ~
3. ' 0.297
Jf 1
1dt = - 1
o
o+,
llx ~+OO.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR
xe
para X> O.
Índice A
B
aceleración centrípeta, 163 componente normal de la, 168 componente tangencial de la, 168 vector, 162-163 aceleración centrípeta, 163 Adams-Bashforth-Moulton Aliasing, 390-391 amortiguamiento crítico · amplificacion en el plano z, 517 variable con el tiempo, 356 análisis compartimenta!, 147 análisis cualitativo analiticidad en un punto, 433 criterio para la, 434 analiticidad,·campos vectoriales y, 542-543 ángulo entre dos vectores, 18 ángulos directores, 18-19 anillo en el plano aomplejo, 427 anti derivada de una función compleja, 466-468 existencia' de una, 468 aproximación de cinco puntos para la ecuación de Laplace, 398 área de un paralelogramo, 26 área de un triángulo, 26 . área de una superficie, 228-230 área superficial, 228-230 argumento de un número complejo, 421 argumento principal de un número complejo, 421 axiomas de clausura para un espacio vectorial, 37
balanceo de ecuaciones químicas, 369 balance9, 59 barra torcida, 341 base de un espacio vectorial, 40 ·:" estándar, 40 base estándar para P", 40, 41 para R2 , 38 para R3 , 40 para R" , 40 , , base ortogonal para un espacio vectorial, 36, 4'5-46 base ortonormal . para R", 44-45 , para un espacio vectorial, 44 binormal, 168-169
1 •
e cabeceo,59 cadena alimenticia acuática, 151 cadena de longitud n, 138 cadenas binarias, 138 cambio de variables en una integral definida, 260 en una integral doble, 261-265 en una integral triple, 265 campo vectorial bidimensional, 188 campo vectorial conservativo, 206 campo vectorial solenoidal, 191 campos vectoriales, J 87-192 bidimensionales, 188 conservativos, 206 divergencia, 187-191 flujo ,. 189, 233-234 integrales, 233-234 ¡ li·
.'I'
1-1
irrotacionales, 191 rotacional, 189-191 rotacionales, 191 solenoidales, 191 velocidad, 545, 546 y analiticidad, 542-543 Cayley, Arthur, 35 de curvatura, 170 de masa, 213-214, 245 centroide, 213, 245 · ceros de orden n, 498 de una función, 498 del coseno y seno complejos, 447 del coseno y seno hiperbólicos complejos, 448 cicloide, 171 circulación, 200, 457 círculo de convergencia, 481-482 de curvatura, 170 en plano complejo, 157, 426 círculos grandes, 251 claro, 41 cociente de Rayleigh, 121 codificar un mensaje, 135-137, 139 en el código Hainming, 140 código corrector de errores, 138-143 código Hamming, 140, 143 código, 135, 139 coeficientes de Fourier, 279 coeficientes de las incógnitas en un sistema lineal, 61 coeficientes de transferencia, 148 coeficientes indeterminados cofactor, 78, 88 coleo, 59 comando MatrixPower, 126 combinación lineal, 8 componente de un vector sobre otro vector, 19-20 componente de un vector, 6, 8, 13 componente horizontal de vectores, 8 componente normal de la aceleración, 168 componente vertical de vectores, 8 condición de compatibilidad, 332 condición de Dirichlet, 317 condición de Neumann, 317 condición de Robin, 317 condiciones de extremo libre, 325, 341 condiciones de frontera homogéneas, 317 condiciones de frontera, 317 dependientes del tiempo, 334~337 homogéneas, 317 independientes del tiempo, 332-334 no homogéneas, 317 condiciones iniciales, 316 conjugado de un número complejo, 418-419
1-2
ÍNDICE
conjunto abierto, 426-427 co11junto completo de funciones, 276 conjunto conexo, 427 conjunto fundamental de soluciones conjunto norm~lizado de funciones, 275 conjunto ortogonal con respecto a una función de peso, 276 de funciones, 274-275 de vectores, 275 conjunto ortonormal de funciones, 274-275, 301 conjunto puente, 41-42 conmutador de dos matrices, 152 constantes de un sistema lineal, 61 continuidad de una función compleja, 431 contorno, 381, 453, 454 mellado, 510-511 contornos mellados, 510-511 convergencia absoluta de una serie compleja, 480 coavergencia criterio, 478 de una integral de Fourier, 376 de una integral impropia, 508-509 de una serie de F6urier, 280-281 de una serie de Fourier-Bessel, 304-305 de una serie de Fourier-Legendre, 306 coordenadas cartesianas, 11 , 12 ' coordenadas cilíndricas, 247-249, 354-360 laplaciano en, 357-358 coordenadas de un punto medio, 13 coordenadas de un vector relativas a una base, 8,40 coordenadas esféricas, 249-251 laplaciano, 360-361 coordenadas polares, 218-222, 349-353, 354-360 laplaciano en, 349-351 coordenadas rectangulares, 11, 12, 309-349 coordenadas z, ,12 Corte de rama, 444 coseno Fourier, 382 Fourier, 380-386 par, 381 seno Fourier, 382-383 cosenos directores, 18-19 Criptografía, 135-138 criterios de estabilidad cuerda pulsada, 323-324, 327 cuerda vibrando, 300, 324, 327, 409, 412 cuña cilíndrica, 248 cuña esférica, 251 curva 3D, 170 curva cerrada simple, 193 curva cerrada, 193, 223-225 curva espacial, 156 longitud, 160 curva paramétrica, 156 curva suave por tramos, 193
curvasuav~ 158, 193 curvas cerradas, 193, 196 de intersección, 157 definidas, por una función explícita, 195-196 dirección positiva, 193 paralelas, 251 paramétricas, 156, 194, 196 simple cerrada, 193 suave por tramos, 193 suaves, 158, 193 curvas de ni.ve!, 172 curvas ortogonales, 438 curvatura, 167-171 de un prob'tema', 294-295
D deflación, método de, 123-125 deformación de contornos, 461 de lectores, 39-40, 42 distribuciones de temperatura, 300 química derivada direccional, 178-184 cálculo, 179-181 definición, 179 para funciones de dos .variables, 202 para funciones de tres variables, 181, 203 valores máximos, 181-182 derivada segunda, 159 derivadas de funciones complejas de funciones hiperbólicas complejas, 448 de funciones hiperbólicas inversas complejas, 450-451 de funciones trigonom~tricas complejas, 445 -447 de funciones trigonométricas inversas complejas, 446 definición, 421 del logaritmo complejo, 441-442 derivadas de orden superior para una función vectorial, 159 reglas, 432 derivadas de funciones reales fórmulas, tabla de, 446. derivadas parciales combinadas, 173-174 derivadas parciales, 171-177 combinadas, 173-174 con respecto a x, 173 con respecto a y, 173 definición, 189 generalizaciones, 175 orden superior, 173-174 regla de la cadena, 17 4-184 segundo orden, 174 símbolos, 174 tercer orden, 174 descifrado de un mensaje, 135-137, 139 desigualdad de Cauchy, 474 desigualdad de Cauchy-Schwarz, 22 desigualdad ML, 457 desigualdad triangular, 420 determinación de líneas de corriente, 544-546
determinante(s) 1'. cofactores, 78, 87 1:· 1: de orden, 77 de una matriz 2 X 2, 77 de una matriz 3 X 3, 78 definición, 77 evaluación por reducción de renglones, 86 expansión por cofactores, 78-81 menor de, 78 propiedades, 78-89 ::: diagonabilidad , condición suficiente, 128 criterio, 128 diagramas de árbol, 175-176 diferenciación, reglas de, 160, 432 diferencial de un área superficial, 230 de una función de varias variables, 502, 503 operador, 178 relaciones de recurrencia, 302 "' difusividad térmica, 315 dígitos binarios (Bits), 138 dígitos binarios comprobadores de la paridad, 139 \; dimensión de un espacio vectorial, 40-42 · dirección negativa, 223 · dirección positiva de una curva, 193-223 disco abierto, 426 distancia de un punto a una línea, 22 divergencia de un campo vectorial, 187-191 definición, 190 dominio de una función de dos variables, 171 de una función, 428 en el plano complejo, 427 1: li dominio ,doblemente conexo, 460, 461 " dominio triplemente conexo, 462 1::
E ecosistema, estados de, 149-150 ecuación bidimensional de Laplace, 314 ecuación bidimensional de onda, 539-540 ecuación bidimensional del calor, 343-345 ecuación característica de una matriz, 103 ecuación cartesiana de un punto, 31 ecuación de calor bidimensional, 343-345 deducción de la ecuación unidimensional, 315 en coordenadas polares, 354 reemplazo por ecm¡ción diferericial, 403-405 · solución, 319-321 unidimensional, 314-315 y la serie discreta de Fourier, 389 y la transformada discreta de Fourier, 389-390 ;·,. ecuación de continuidad, 258-259 ecuación de difusión, 177, 318 ecuación de Laplace, 192, 398-403 ecuación de onda, 176, 314, 322 bidimensional, 343
ÍNDICE
1-3
deducción de la ecuación unidimensional, 369 solución, 322-327 sustitución por ecuación en diferencias, 409 unidimensional, 314, 316 ecuación de Van der Waal , 177 ecuación diferencial de Bessel paramétrica, 299-300 ecuación diferencial de Chebyschev, 308 ecuación diferencial de Laguerre, 301 ecuación diferencial de Legendre, 300 ecuación diferencial de Raleigh, 250 ecuación diferencial de segundó orden, 111 ecuación diferencial de Van der Poi, 264 ecuación diferencial hermitiana, 301 ordinaria, 41, 430 parcial,310 ' ecuación diferencial parcial (EDP) elíptica, 329 hiperbólica, 398-399 homogénea, 333-335 lineal, 310 no homogénea, 332, 335 parabólica, 403,'406 separable, 310-314 solución, 31 O ecuación diferencial parcial de Laplace, 176, 177, 192, 314, 315, 398-403 principio del máximo, 329 solución, 327-332 ecuación diferencial parcial de Poisson, 338 ecuación diferencial parcial elíptica, 329 ' ecuación diferencial parcial hiperbólica, 398, 409 ecuación diferencü1l parcial parabólica, 403, 406 ecuación diferencial ordinaria de Legendre, 300 ele Riccati homogénea, 430 lineal, 41 ecuación en diferencias re~mplazo para EDO de segundo orden reemplazo para la adecuación de onda, 409-411 reemplazo para la ecuación de Laplace, 398-399 reemplazo para la ecu'ación del calor, 403-405 ecuación paramétrica de Bessel, 299-300 ecuación telegráfica, 319 ecuación unidimensional de onda, 314, 316 deducción, 324 ecuación urridimensional del calor, 314-315 deducción, 315 ecuac,ión vectorial para un plano, 30-31 ecuación vectorial para una línea, 28-29 ecuaciones algebr;ücas lineales, 61-71 sistemas de, 61-71 ecuaciones algebraicas, 61-71 ecuaciones auxiliares ' ecuaciones comprobadoras de la paridad, 141 ecuaciones de Cauchy-Riemann, 434-439
1-4
ÍNDICE
ecuaciones de· Maxwell, 192 ecuaciones diferenciales de primer orden ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, 311, 336 no homogéneas solución particular, 287-288 ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden, 310-314 homogéneas, 31 O no homogéneas, 310 principio de superposición, 312 ' solución, 310 ecuaciones diferenciales separables parciales, 310-314, ecuaciones paramétricas de una línea, 29 ecuaciones químicas, balance de, 69 ecuaciones simétricas de una línea, 29-30 eje imaginaiici, 419 ej~ real, 419 ejes principales de una cónica, 131 elementos de la diagonal principal de una matriz, 52 eliminación de Gauss-Jordan, 66-68, 133 eliminación gaussiana, 64-66 enteros módulo, 138 módulo 27_,,D 1085, 138 error de truncamiento error( es) propagación, 406 suma de los cuadrados, 145 errores al cuadrado, suma, 145 escalamiento, 122-123 espacio 2D, 5, 11 espacio 3D, 11-16 espacio de solución, 41-42 espacio renglón, 72 espacio vectorial cero, 36 espacio vectorial complejo, 37 espacio vectorial de dimensión infinita, 41 espacio vectorial dimensional finito, 41 espacio vectorial real, 37, 42 espacio vectorial trivial, 37 espacio vectorial, 36-43 axiomas, 36-38 base, 40 cero, 36 complejo, ~7 de dimensión finita, 41 de dimensión infinita, 41 dimensión, 40-42 real, 37 subespacio de un, 38-39 espectro de frecuencia, 292-293 espiral circular, 156-157 · espiral elíptica, 157 estado de un sistema, 148 . evaluación de integrales reales por residuos, 506-511 existencia de transformadas de Fourier, 382 , existencia y unicidad de una solución, 96
expansión de cofactores para un determinante, 78-81 expansión de una función en términos de funciones ortogonales, 285-288 en tres series, 286 en una serie de cosenos, 284 en una serie de Fourier compleja, 291 -292 en una serie de Fourier, 280 en una serie de Fourier-Bessel, 304-305 en una serie de Fourier-Legendre, 305 en una serie de Laurent, 492-495 en una serie de senos, 284-285 medio in~ervalo, 286 · expansión ortogonal de una serie, 276, 339-343 expansiones de medio intervalo, 286 extensión peí-iódica, 281
F factorización LU de una matriz, 60 fenómeno de Gibbs, 285-286 fluido incompresible, 191 , 544 . flujo alrededor de un cilindro, 545 alrededor de una esquina, 544 de calor, 315 fluido permanente, 543-544 flujo a través de una superficie, 233-234 flujo de fluido permanente, 543-544 flujo fluido bidimensional, 429 flujo irrotacional, 191, 544 flujo neto, 458 flujo rotacional, 191 flujo uniforme, 544 flujo y la integral de Cawchy, 472 forma compleja de las series de Fourier, 290-293, forma de renglón escalonado, 64-65 forma en re!lglones escalonados reducidos de una matriz, 65 fórmula de DeMoivre, 423 fórmula de distancia, 12-13 fórmula integral de Cauchy, 470-474 para las derivadas, 472-474 fórmula integral de Poisson para un disco unitario, 539-540 para un semiespacio s'uperior, 537-539 formulación auto adjunta, 298-300 formulación cuadrática, 132-133 formulación exponencial, 290, 378 formulación ' general de una ecuación diferencial ordinaria, 61 formulación normal formulación polar de un número complejo, 421 , 440-441 franja de Mobius, 232 frecuencia angular fundamental, 277 , 292 frecuencia fundamental, 292, 325 frontera de un conjunto, 427 fronteras aisladas, 317 fuente, 191, 472 fuerza central, 166
fuerza externa, 287 , 318 fuerza impulsora periódica, 287-288 ¡1 1,, fuerza no conservativa, 208 función analítica criterio para, 434 definición de, 433 derivadas ele, 472 función armónica, 192, 436-438 teorema de transformación para la, 522-5.23 1: función biarmónica, 526 ¡·: función compleja analítica, 433 como flujo de un fluido, 429-430 como mapeos, 429, 515-519 como una transformación, 429 completa, 433 continua, 431 definición, 429 , 431, 433 , 527 derivada de, 431 diferenciable, 431 dominio de, 428 · exponencial, 439 hiperbólica inversa, 449-452 hiperbólica, 448 límite ele una, 430-431 logarítmica, 441-442 Polinómica, 431 racional, 431 rango de, 428 trigonométrica, 445-447 trigonométrica inversa, 450 función armónica, 192, 436-438 compleja, 428-434 de corriente, 544 de dos variables, 171 , 184 de potencia, 517 de tres o más variables , 172 dominio, 428 gradiente de, 178 impar, 283 intervalo de, 428 . !'' ::' ortogonal, 273-278 par, 283 periódica, 277 potencial, 206, 543 producto interior de, 273 función complementaria función completa, 4~3 función de Bessel modificada función ele corriente, 544 función ele error complementaria, 366 función de error, 366-367 función de escalón unitario función de peso ortogonalidad con respecto a la, 276 función de potencia real, 517 función de potencia, 517
ÍNDICE
1-5
'
..
función de valor real, periódica, 277 función exponencial definición, 439 periodo, 440 propiedades, 439 región fundamental, 440 función impar, 283 propiedades, 283 función par, 283 propiedades, 283 función principal logarítmica, 443 función racional, 431 función seno inversa, 449-450 función serpenteante funciones armónicas conjugadas, 437-439 funciones características ' funciones de Bessel, 354-360 ortogonalidad, 299 relaciones de recurrencia diferenciales para, 302 funciones hiperbólicas inversas, 449-452 derivadas de, 450-451 funciones hiperbólicas, 448 funciones ortogonales, 273-278 funciones trigonométricas inversas, 412, 449 derivadas de, 450-451 funciones vectoriales continuidad, 158 definición, 156 derivada, 158 diferenciación de ,componentes, 158-159 integi·ales de, 160-161 límite, 157-158 suaves, 158
G gradiente campo, 206 de una función, 178 definición, 179 funciones de tres variables, 184-185 interpretación geométrica, 184 gráficas de una función, 171 de un plano, 32-33 H Hamilton, William Rowan, 35 hipótesis lineal de control por donante, 147 hundir, 191
identidad de Lagrange, 28 identidades de Green, 260 identidades trigonométricas, 446-447 imagen,261,515-516 impedancia compleja, 441 impedancia, 161, 441
1-6
ÍNDICE
independencia de la trayectoria, 502-508 pruebas, 204-208 independencia de la trayectoria, 202-208, 464-469 definición, 465 prueba, 204-208 de vectores, 40, 42 integración por partes, 469 integral compleja, 454, 458, 506, 513 int~gral de contorno, 454-459 definición, 454 método de evaluación, 455-456 propiedades, 456 teorema de frontera, 457 teorema fundamental, 466-467 integral de Fourier, 375-380 condiciones para la convergencia, 376 forma compleja, 378-379 forma de coseno, 377-378 forma de seno, 377-378 integral de probabilidad, 366 integral de superficie, 228-236 integral definida, 260 integral doble definición, 210 en coordenadas polares, 218-222 evaluación, 211 -21 2 invérsión del orden de integración en, 212-513 propiedades, 210 integral indefinida, 160, 466 integral iterada, 211, 243-244 integral triple aplicaciones, 245-247 definición, 243 en coordenadas cilíndricas, 247-249 en coordenadas esféricas, 249-251 evaluación, 243-244 integrales de línea complejas, 454 integrales de línea, 193-202 como,trabajo, 198-200 complejas, 454 definición, 194 definidas, 193 en el espacio, 98, 197 en el plano complejo, 454 en el plano, 193-194, 223 evaluación, 194-196 independientes de la trayectoria, 203 sobre curvas cerradas simples, 223-225 teorema fundamental, 203-204 integrales, reales, evaluación de residuos, 506-511 intervalo, 171 inversa de una matriz definición, 89 encontrar con operaciones elementales entre renglones, 93-95 por el método adjunto, 90-93 propiedades, 90 uso para resolver un sistema, 95-96
inversa multiplicativa, 89 iteración de Gauss-Siedel, 69, 401-402
bandeada,400 cero, 56 comprobación de la paridad, 141 " cuadrada, 52 de transporte, 148-149 definición, 52-56 determinante, 77-89 ·diagonal, 57 diagonalizable ortogonalmente, 130 diagonalizable, 126-134 ecuación característica, 103 eleme,ntal, 71 elementos de la diagonal principal, 52 entradas o elementos, 52 equivalente a renglón, 64 escalar, 57 esparcida, 400 espín de Pauli, 152 estocástica, 108 identidad multiplicativa, 103 igualdad, 53 inversa, 89-99 inversa multiplicativa, 89 ley asociativa, 55 ley distributiva, 55-56 multiplicación, 54-55 múltiplo escalar de, 54 . múltiplos, 53-55 nilpotente, 112, 152 no singular, 126-128, 135, 145 operaciones elementales, 62 orden 109 orden n, 52, 109-11 O ortogonal, 98, 112-119 particionada, 60 ¡,, potencias, 108-112 i produato, 54 rango, 72-77 resta, 54 simétrica, 57, 112, 130-132 singular, 90 ! skew-simétrica, 89, suma, 53-54, 152 tamaño, 152 transpuesta, 56, 83 triangular, 56 triangular inferior, 57 triangular superior, 57 tridiagonal, 406 uso para encontrar una transformada inversa, 52~ valor característico dominante, 119-122 : valores característicos, 102-108, 119-126 vector columna, 52-53 : vector renglón, 52-53 vectores característicos, 102-108 matriz adjunta definición de, 90 uso para encontrar una inversa, 90-93 :: 1
J Jacobiano, 262
L laplaciano bidimensional, 314 laplaciano en coordenadas cilíndricas, 357-358 en coordenadas esféricas, 360-361' en coordenadas polares, 349-351 en coordenadas rectangulares, 191 latitud, 251 ley de Coulomb, 236 ley de Gauss, 259 límite de una función de una variable compleja, 430-431 línea ecuación vectorial, 28-29 ecuaciones paramétricas, 29 ecuaciones simétricas, 29-30 mínimos cuadrados, 144-146 línea de mejor ajuste, 145 línea nodal , 356 línea normal ~ una superficie, 186 línea tangente, 159 linealización líneas de corriente, 430, 544-546 ecuación vectorial, 28-29 ecuaciones paramétricas, 29 ecuaciones simétricas, 29-30 logaritmo de un número complejo corte de ramificación, 444 definición, 442 derivada, 441-44 2 propiedades, 443 ramificación, 443, 444 valor principal, 442-444 longitud, 251 , longitud de arco, como parámetro, 160-161
!! '
M malla puntos, 399 tamaño, 399 masa, 213 centro de, 213-214 de una superficie, 231 usando integrales triples, 245 matrices equivalentes por renglones, 64 matrices espín de Pauli, 152 matriz (matrices), 51-154 actualización LU, 60 adjunta, 90 anticonmut~r, 152 aumentada, 63-66
ÍNDICE
'
1-7 11
,'1"
matriz aumentada definición de, 63-70 en su forma de renglones escalonados reducidos, 65 en su forma de renglones escalonados, 64-65 operaciones básicas en renglones, 64 matriz bandeada, 400 matriz cero, 56 matriz comprobadora de la paridad, 141 matriz cuadrada, 52 matriz de' transferencia, 148 matriz diagonalizable ortogonalmente, 130 matriz elemental, 71 matriz escalar, 57 matriz esparcida, 400 matriz estocástica, 108 matriz identidad, 57 matriz invertible, 89 matriz nilpotente, 112, 152 matriz no singular, 90-91 , 110, 135 matriz ortogonal, 112-119 matriz particionada, 60 matriz simétrica, 57, 112, 130-132 ortogonalidad de los vectores característicos, 113-114 matriz singular, 90 matriz skew-simétrica,. 89 matriz tridiagonal, 406 Maxwell, James Clerk, 190 menor, 90 mensaje, 138 meridiano cero, 251 meridiano, 251 método de Crank-Nicholson, 406-407 método de deflación , 123-125 método de diferencias finitas, 410-411 implícito, 406 método de Liebman, 402 método de mínimos c~adrados, 144-146 método de potencia, 120-122 método de potencias inverso, 11 O,. 125 método explícito de diferencia finita, 404-405 · método implícito de diferencias finitas, 406 método(s) de eliminación para sistemas de ecuaciones alg'ebraicas, 64-68 estabilidad , 406 método de Crank-Nicholson, 406-407 método de Gauss-Seidel, 69 método de la deflaCión, 123-125 método de las potencias inversas , 110, 125 método de las potencias, 120-122 métodos de diferencias finitas, 410-411 mezclas , 417 mínimos cuadrados línea, 144-146 método, 144-146 Mises, Richard von , 120 modelos compartimentales discretos, 147-151 modo fundamental de vibración, 325 modos normales, 324-325 1-8
ÍNDICE
módulo aritmético dos, 138 mód~lio de un número complejo, 419 momento lineal, 166 momento polar de inercia, 217, 222 momentos de inercia, 214-215, 245 polares, 217, 222 movimiento sobre una curva, 162-167 muestreo de una función, 386 múltiplemente conectado do,minio, 461-463 región, 204 multiplicación escalar, 6, 36-37 multiplicación de matrices, 54-55 · por escalares, 6 múltiplo escalar matrices, 54 vectores, 5
N negativo de un vector, 5, 6 norma cuadrática, 302-304 de un vector (matriz) columna, 113 de un vector, 7 , de una función, 274, 275 de una partición, 193, 207 norma al cuadrado, 274, 302-303 normal principal, 168, 169 normalizar un vector, 36 núcleo de una transformada integral, 381 nudos de una onda permanente, 325 número(s) complejo(s) argumento principal, 421 argumento, 421 conjugado, 418-419 definición, 417 desigualdad triangular, 420 división, 418, 421-422 forma polar, 421, 440-441 igualdad, 417 imaginario puro, 417 interpretación geométrica, 419 interpretación vectorial, 419 ley conmutativa, 418 leyes asociativas, 418 leyes distributivas, 418 logaritmo, 441-442 módulo, 419 multiplicación, 418, 421-422 parte imaginaria, 417 parte real, 417 potencias complejas, 444, 481 potencias enteras, 422-423 raíces, 423-424 raíz 11-ésima principal , 424 resta, 418
suma, 418 unidad imaginaria, 417
o octantes, 12 ondas permanentes, 324-325, 356 ondas viajeras, 326 operaciones elementales de renglones, 64 notación, 65 operaciones elementales para la resolución de sistemas, 62 operaciones entre renglones, utilización para obtener una inversa, 93-95 operador diferencial, 178 operador Nabla, 188, 189, 190 orden de integración, 246-247 orientación de una curva, 456 de una superficie, 232-233 orientación ascendente, 232 orientación descendente, 232 ortogonal en un punto, 18,7
p palabra, 138 codificación', 140-141 palabra de código, 139 par de transformación, 381 , 388 par de transformadas discretas de Fourier, 388 par ordenado, 11 paralelos, 251 clasificación de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden, 302-303 lineal homogénea de segundo orden, 31 O lineal no homogénea de segundo orden, 310 lineales homogéneas, 312 dependiente del tiempo, 334-337 independiente del tiempo, 332-334 separable, 310-314 solución, 31 O parte analítica de una serie de Laurent, 490 parte principal de una serie ~e Laurent, 490, 497 película, 323-324, 356 perfil de Joukowski, 519 periodo fundamental, 277 , 292 peso efectivo, 166 plano complejo; 419 conjuntos en, 425-428 eje imaginario, 419 eje real, 419 plano normal, 30 plano osculador, 169 plano rectificador, 169 plano tangente a una superficie definición, 185 ecuación, 185-186 ecuación vectorial, 185
plano xz, 14 plano z, 419, 516 plano(s) ecuación cartesiana, 31 ecuación vectorial, 30-31 gráficas, 32-33 movimiento curvilíneo sobre un, 163-164 perpendicular a un vector, 31 vectornormal, 31-32, 158-159, 169 planos coordinados, 12 polinomios de Legendre, 360 Polinomios herrnitianos, 301 polo de orden n, 497, 499 definición, 497 residuo', 501 simple, 497 ¡:' polo simple, 497 potencia de una matriz, l 08-112 potencial complejo, 543 energía, 209 función, 206, 543 velocidad potencial compleja, 544 potencial complejo, 543 potencial de velocidades complejo, 544 potencias complejas, 444 ..·'." valor principal, 444 primer armónico, 292, 325 primer modo normal, 325 primera ley de Kepler para el movimiento planetario, , 166-167 primera onda estacionaria, 325 primeros momentos, 214 para el problema de Dirichlet en una placa rectan~ular, 329-330 : pai"a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ~ 312 principio del máximo, 329 problema de Dirichlet, 329, 399-401 para un disco circular, 349-351 funciones armónicas.y, 522-523 r= 11 solución mediante mapeo conforma! , 523-524 principio de superposición, 329-330 problema de Neumann para un disco circular, 352 para un rectángulo, 332 problema de Sturm-Liouville, 294-301 angular, 298-300 normal, 275-277 ortogonalidad de las soluciones, 295-297 propiedades, 295-297 ,, problema de valor de frontera en dos puntos, 294, 295 problema de valor de frontera singular, 298 · homogéneo, 334 métodos numéricos para EDP, 399-401 , 404, 405, 407 no homogéneo, 332-339 para una ecuación diferencial parcial, 309-349 0
1
1
"
1
ÍNDICE
I'
·1
1-,9
problema normal de Sturm-Liouville, 295-297 propiedades, 296 . ' problema periódico de valor de frontera, 298 problema singular de Sturm-Liouville, 298, 300 procesamiento de señal, 391-393 proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, 44-49, 117-119, 113 producto caja, 26 producto cruz, 23-28 definición, 23-25 propiedades, 23-24 producto interior , de dos funciones, 273 de dos vectores en el espacio-n, 36, 113 de dos vectores, 113 definición, 36 espaeio, 42, 43 producto interior estándar en R" , 36, 44 producto interior euclideano, 36 producto punto, 16-23, 36 como trabajo, 20 definición, 16 en términos de matrices, 113 formulación por componentes, 17 interpretación física, 20 propiedades, 17 propiedad de conservación de círculo, 527-528 proyección de un vector sobre otro, 20-21 proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio, 47 prueba de raíz, 481 . prueba de relación, 481 prueba para la divergencia del término n-ésirbo, 480 pulso rectangular, 390 punto de ramificación, 67, 489 punto frontera, 399 punto interior de un conjunto en el plano complejo, 426 punto medio de un s.egmento de línea, 12-13 punto singular aislado, 489 clasificación, 497 punto singular de una función compleja aislado, 489 definición, 489 esencial, 497 no aislado, 489 polo, 497-498 removible, 497 punto singular no aislado, 489 puntos críticos para sistemas lineales autónomos puntos de la retícula, 399 puntos interiores de malla, 399
R R, 37
R2, 6, 37 R3 , 11, 13, 37 radio de convergencia, 481, 482 radio de curvatura, 170 radio de giro, 215, 245
1-10
ÍN DI'cE
raíces características, 103 raíces de un número complejo, 423-424 raíces n-ésimas de la unidad, 395 de un número complejo diferente de cero, 423 raíces n-ésimas de z, de un complejo diferente de cero, 424 raíces reales ' raíz cuadrada del promedio de los cuadrados, 283 raíz n-ésima de un número complejo diferente de cero, 423 raíz n-ésima principal de un número complejo, 424 rania del logaritmo complejo, 443 ramificación pri.ncipal del logaritmo, 443 rango de una matriz definición, 72 por reducción de renglones, 72-73 rapidez, 162 rastreador, 147 rectángulo polar, 218-220, 248 redes eléctricas, 67-68 reducción de renglones, 70, 86 región abierta, 204 cerrada, 427 con orificios, 225-226 conexa,204 de integración, 210 en el plano complejo, 427 imagen, 261-262 múltiplemente conexa, 204 simplemente conexa, 204 tipo 1 (11), 211 región fundamental, 440 región tipo 1 (11), 211 regla de Cramer, 99-102 regla de la cadena para derivadas parciales, 159, 432 regla de la mano derecha, 12 regla de la suma, 160, 432 regla de las mallas, 67 regla de L' Hopital, 505 regla del cociente, 160, 432 ' regla del producto, 160, 432 regla del punto, 67 reglas de l
s secuencia convergente, 478-479 definición, 478 secuencia de sumas parciales, 281-282 segmento de línea, 29 segundos momentos, 214, 245 sentido antihorario, 223 sentido horario, 223 señales filtradas, 393 señales limitadas en la banda, 391, 393 separación constante, 31 l serie (infinita) absolutamente convergente, 480 convergenté, 479 Fourier, 278-293 Fourier-Bessel, 302-305 Fourier-Legendre, 305-307 geométrica, 479-480 Laurent, 489-496 · Maclaurin, 485, 487 potencia, 481-490, 494 pruebas para la convergencia, 478 Taylor, 483-488 serie de Fourier, 278-293 compleja, 290-293 condicione's para la convergencia, 280-281 coseno, 284-285 definición, 279 en dos variables, 343-346 expansión en, 280 generalizada, 276 seno, 284-285 serie de Fourier-Bessel, 302-305 serie de Fourier-Legendre, 305-307 serie de Maclaurin, 485, 487 serie doble coseno, 345 serie doble seno, 345 serie generalizada de Fourier, 276 serie geométrica, 478-480,. 487, 492, 494 serie seno en dos variables, 345 series complejas, 290 series cosenoidales, 284-285 en dos variables, 345 series de Laurent series de potencia centro, 481 círculo de convergencia, 481-482 diferenciación, 484 integración, 484 Mclaurin, 485, 487 radio de convergencia, 481, 482 representa una función continua, 484 Taylor, 483-488 series de Taylm', 483-488 series trigonométricas, 278-279 simetría radial, 354
simplemente conexo 1'. dominio, 460, 463, 465, 468-472, 503, " 523, 532, 543-544 región, 204 síndrome, 141-143 singularidad esencial, 497 singularidad removible, 497 sistema consistente de ecuaciones lineales, 61 sistema inconsistente de ecuaciones lineales, 61, 67 sistema mal condicionado, 102 !:' · sistema sobredetenninado, 70 sistema subdetenninado, 70 sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, 61- 71. : consistentes, 61 homogéneos, 61-63 inconsistentes, 61 mal condicionados, 102 métodos para resolver eliminación de Gauss-Jordan, 66-67, 133 eliminación gaussiana, 64-66 · inversa de una matriz, 89-99 regla de Cramer, 99-102 no homogéneos, 61-63 sobredeterminados, 70 subdeterminados, 70 sistemas homogéneos de ecuaciones algebrai~as, 61-63 •:,' soluciones no triviales, 68, 96 soluciones triviales, 68, 96 de ecuaciones algebraicas, 61-71 rango y, 74 sistemas no homogéneos de ecuaciones algebraicas, 61-63 sobretonos, 325 ¡,. 1:: sobretonos anarmónicos, 360 solución de D' Alembert, 326 solución de un sistema de ecuaciones algebraicias definición, 74 número de parámetros, 74-75 solución de un sistema lineal, 61-63 solución de una ecuación diferencial lineal definición, 310 particular, 310-312 solución de una ecuación diferencial ordinaria · de ecuaciones lineales, 294 de la ecuación paramétrica de Bessel, 294 de una ecuación de Cauchy-Euler, 294 solución no trivial, 68, 96 de la ecuación de Legendre, 294 solución permanente, 334 solución transitoria, 334 solución trivial , 68, 96 soluciones cerradas, 522 subespacio, 38-39 criterios, 39 submatriz, 60, 78, 80, 90 sucesión compleja, 478 1
1-11
ÍNDICE
·i.,
sucesión de Fibonacci, 111 suma de matrices, 53-54 de vectores, 5-7, 36 suma de Jos errores cuadráticos, 145 superficie suave, 228 superficie, orientable, 232-233 superficies de nivel, 172-173 sustitución, 63 sustituciones en integrales, 220, 261 Sylvester, James Josepb, 35
T tablas de mapeos conformes, 521-522, APP-9 de transformadas de Laplace, 366, APP-4 tangente unitaria, 161 , 167 temperatura en un cuadrado, 99 ,. 347 en un rectángulo, 316 en una barra, 339 temperatura permanente, 316, 327, 349, 351 , 361 , 522, 531 , 541 teorema de Cauchy, 460 teorema de Cauchy-Goursat, 459-464 para dominios múltipkmente conexos, 461-463 teorema de Cayley-Hamilton, 108 teorema de convolución para la transformada de Fourier, 385 teorem'a de fronteras para integrales complejas, 457 teorema de fronteras para integrales de contorno, 457 teorema de Gauss, 254 teorema de Green, 223-228 , 254 en espacio 3D, 235 teorema de la divergencia, 254-260 teorema de Laurent, 490-491 teorema de Liouville, 474 teorema de mapeo de Riemann, 532 teorema de Pitágoras, 7 teorema de Stokes, 237-242 teorema de Taylor, 485 teorema del muestreo, 391-392 teorema del residuo de Cauchy, 503-504 teorema del residuo, 503-504 teorema fundamental del álgebra, 474 para integrales de contorno, 466-467 teoremas de unicidad , 96 torgue, 23 trabajo como integral de línea, 198-200 como producto punto, 20 trabajo .reali zado por una fuerza constante, 20, 225 transformación, 261-262
1-12
ÍNDICE
transformación conforme, 519-526 problema d« Dirichlet, 522-524 transformación de Joukowski, 519 transformación de Schwartz-Christoffel, 532-537 transformación en el plano, 515 transformación fracciona! lineal , 526-532 transformación inversa, 262 transformación uno a uno, 262 transformaciones que preservan los ángulos, 519-521 transformaciones sucesivas, 517-518 transformada coseno de Fourier definición, 382-383 propiedades operacionales, 384 de una derivada parcial, 368-375 tablas, 366 transformada discreta de Fourier, 386-387 transformada integral transformada integral inversa ,coseno Fourier, 382 Fourier, 383 seno Fourier, 382 transformada rápida de Fourier, 388 cálculo con, 393-394 transformada seno de Fourier definición, j82 propiedades operacionales, 382-383 transformadas de Fourier, 380-386 existencia, 382 transpuesta de una matriz, 83 propiedades , 56 traslación y contracción, 517 y rotación, 516 traslación en el plano z, 516 trayectorias, 164 traza de un plano, 32 triple producto escalar, 25 triple producto vectorial, 26 triples a triples, 530 tripleta ordenada, 12
V valor absoluto de un número complejo, 419 valor caracterí~tico dominante, 119-125 vector característico, 120 valor principal de la función logaritmo y, 442-444 de una integral, 507 de una potencia compleja, 442-444 valor principal de Cauchy, 507 valores característicos, 103 val'ores característicos dobles, 351 aproximación , 119-126 de una matriz, 102-108 dobles , 351
dominantes, 119-125 reales, 112 variables dependientes, 171, 332-334 variables independientes, 171, 332-334 variables, separables, 310-312 variación de parámetros vecindad, 426 vector característico de una matriz complejo, 106-107 definición, 102 ortogonal, 113-114 vector característico normalizado, 123-124 vector cero, 5, 7 vector de dimensión n, 44 vector de dirección, 5, 28 vector de posición, 6, 13 vector igual, 6 vector normal a un plano, 30-32 vector renglón, 53 vector unitario, 7-8, 36 vector( es) aceleración vectorial, 162-163 ángulo entre, 18 ángulos directores, 18-19 binormal, 169 campos vectoriales, ,187-192 cero, 5, '7 componente horizontal, 8 componente vertical, 8 componentes de un vector, 6 conjunto conexo, 41-42 coplanares, 26 cosenos directores, 18-19 dirección, 5 ecuación vectorial para un plano, 30-31 ecuación vectorial para una línea, 28-29 en el espacio 2D, 5-11 en el espacio 3D, 11-16 en el espacio n-dimensional, 36 en un plano coordenado, 6, 12 función vectorial, 156 iguales, 6 libre, 5 longitud, 7 magnitud, 5, 7, 14 multiplicación por escalares, 6 múltiplo escalar, 5 negativo., 5, 6 norma, 7, 36, 43 normal a un plano, 31-32, 158-159, 169 operador diferencial ,. 178 ortogonales, 17-18, 36, 275
paralelos, 5, 24, 29 posición, 6, 13 :i = producto cruz, 23-28 !:: producto escalar, 5 producto interibr, 113 producto punto, 16-17, 36 propiedades, 7 proyección, 20-21 punto inicial, 5-8 punto terminal, 6, 7 1i"' regla de la mano derecha, 5 resta, 5-7 resultante, 166 suma de, 5-7, 36 tangente, 158-159, 169 triple producto escalar, 25 triple producto vectorial, 26 unitario, 7-8, 36 vector geométrico, 5 velocidad, 162-163 . vectores característicos por ortogonales, 113-1 ni vectores característicos, 103 vectores coplanares, 26 criterio para, 26 vectores geométricos, 5 vectores libres, 5 vecto1:es ortogonales , 17-18, 36 vectores paralelos, 5, 29 criterio, 24 vectores tangentes, 158-159 campo de, 166 potencial, complejo, 544 vector, 162- 163 vibraciones eléctricas vibraciones radiales, 354-356 vibraciones transversales, 316, 325, 343 , 354 viga empotrada, 326 viga simplemente apoyada, 326 viga vibrando, 326 vigas empotradas, 326 simplemente ªP?Yadas, 326 I'' volumen 1: bajo una superficie, 210 de un paralelepípedo, 26 de un triángulo, 26 utilizando integrales dobles, 211-212 utilizando integrales triples, 245 vórtice, 547 1
w wronskiano
ÍNDICE
·¡.,
I
" ''
1-13
El volumen de Matemáticas avanzadas para ingeniería 2 trata los temas relacionados con el cálculo vectorial, las funciones ortogonales, las series de Fourier y el análisis complejo.
Características sobresalientes de esta obra:' • Aborda las ecuaciones diferenciales p~rciales, lo que permite que este versátil texto pueda ser utilizado prácticamente en cua lquier curso de matemáticas avanzadas o cá lcu lo avanzado. • Supera a cua lqui er otro libro sobre el tema no só lo por la claridad con la que los autores exponen los conceptos, sin o por los recursos pedagógicos emp leados, en'tre los cuales se tie.nen: .,. .,. .,. .,.
'
Secc iones introductorias de cada capítu lo. Ejercicios por sección . Ejercicios de repaso gene ral.. Un a serie de proyectos de ingeniería y ciencia relacionados con los temas del texto aportados por importantes matemáticos. '
'
• Un método distinto para la resoluciór.i de prob lemas de valores en la frontera no homogéneos. • Problemas añad idos .. • Grupos de ejercicios que enfatizan la creación de conceptos y le dan continuid ad a los, desarrollos teóricos presentados en las secciones y fac ilitan la asignación de tareas.
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