Document créé le 29 octobre 2015
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Chapitre 2 Calculs algébriques 2.1 2.1
Les Les ense ensem mbles bles de de nom nombr bres es N, Z, Q, R, C
Exercice 2.1.1 (
Montrer que
)
√ √ 45 + 29 2 + 45 − 29 2 est un entier.
3
3
Exercice 2.1.2 ()
Soient m et n des entiers naturels.
√ n est irrationnnel. √ √ 2. Montrer que si m et n ne sont pas des carrés, alors m + n n’est pas rationnel. 1. Montrer que si n n’est pas un carré parfait, alors
Exercice 2.1.3 ()
√ ⇔ a = b = 0. √ √ √ 2. Montrer que : ∀ (a,b,c) ∈ Q , a 2 + b 3 + c 5 = 0 ⇔ a = b = c = 0. 1. Montrer que pour tous a, b dans Q, a + b 2 = 0 3
Exercice 2.1.4 ()
Montrer que
√ 5 + √ 2 est un irrationnel. 3
Exercice 2.1.5 (
) Montrer qu’il existe au moins un couple (a, b) d’irrationnels tel que ab soit rationnel (penser à Exercice 2.1.6 () 4
2
1
2
4
1
2
2
3
Montrer que pour tous réels positifs a, b : (a2 + a 3 b 3 ) 2 + (b2 + a 3 b 3 ) 2 = (a 3 + b 3 ) 2 Exercice 2.1.7 ( n
On suppose
) n
2
xk =
k=1
Exercice 2.1.8 ( n
On suppose
k=1
xk = n (les xk réels). Montrer que xk = 1 pour tout k .
k=1
) n
2
xk =
k=1
n 3
xk =
k =1
x4k (les xk réels). Montrer que xk
∈ {0, 1} pour tout k.
√ 2).
2.2 Sommes et produits
Chapitre 2 : Calculs
algébriques
Exercice 2.1.9 ()
Mettre sous forme cartésienne les nombres complexes : 2 + 5 i 2 5i 3 + 6i 1 + i 2 1 7i + , b = et c = + . a = 1 i 1 + i 3 4i 2 i 4 + 3i
−
2.2
−
−
−
−
Sommes et produits
Calculs de sommes Exercice 2.2.1 ()
Calculer la somme S n des n premiers entiers impairs. Exercice 2.2.2 ()
Calculer la somme S = 1 2 + 2 3 + 3 4 +
·
·
·
) Calculer la somme U = 1 1! + 2 2! +
··· + (n − 1) · n.
Exercice 2.2.3 (
·
·
· ·· + n · n!
Exercice 2.2.4 ()
Calculer la somme T = 1 n + 2 (n
· − 1) + ··· + (n − 1) · 2 + n · 1.
·
Exercice 2.2.5 ()
Calculer la somme V = 1 2 3 + 2 3 4 +
· ·
· ·
· ·· + n · (n + 1) · (n + 2)
Exercice 2.2.6 () n
Connaissant les expressions de
n
k et
k=1
n 2
k , trouver celles de
k=1
k=1
n 3
k et de
k4.
k=1
Exercice 2.2.7 () n
Calculer la somme
1
−
k=1
k
1 n + 1
−k
Calculs de produits Exercice 2.2.8 () n
Calculer le produit P n =
2
1 k(k+1)
.
k=1
Exercice 2.2.9 () n
Simplifier le produit P n =
k=1
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1 + k (k + 1) + i . 1 + k (k + 1) i
−
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2.3 Factorielles et coefficients binomiaux
2.3
Chapitre 2 : Calculs
algébriques
Factorielles et coefficients binomiaux
Coefficients binomiaux Exercice 2.3.1 ()
Montrer que pour tous entiers n, p tels que 2 p n
− − − − − n p
−2 :
2
n
=
p
+2
n 2 + 1 p
n p
On donnera deux démonstrations distinctes (sans utiliser la formule donnant les
2 . 2
n .) k
Exercice 2.3.2 ()
Montrer que pour tout entier n 1 1. 2.
− −··· − n
n
0
1
n
0
+
n
2
n
+
2
n
+
n n
+ ( 1)n
+
4
n
··· =
n
+
1
= 0.
n
+
3
5
+
n−1
··· = 2
.
Exercice 2.3.3 ()
Quel est le terme maximum dans le développement de (17 + 38)23 ?
Sommes de coefficients binomiaux Exercice 2.3.4 ()
Soit n un entier naturel. Calculer les sommes : A =
n
0
+2
n
2
+
p
· ·· + 2
n + 2 p
· ·· et B =
n
1
+2
n
3
+
p
·· · + 2
n
2 p + 1
+
··· .
Exercice 2.3.5 ()
Calculer A =
n
1
+2
n
2
+
· ··
n
n + n n
=
n , avec n 1 (trois méthodes différentes !) k
k
k=1
Exercice 2.3.6 () n
1 n Calculer B = , avec n 1. On donnera deux méthodes différentes ! k k + 1 k=0
Exercice 2.3.7 ()
Pour tout entier naturel n, calculer C =
n
+2
1
2
n
2
+
·· · + n
On donnera deux méthodes différentes !
2
n
n n
k2
=
k=1
n . k
Exercice 2.3.8 () p
Soient n et p dans N. Prouver que
k=n
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k n
=
p + 1 . On donnera trois méthodes différentes ! n + 1
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2.4 Sommes doubles, par paquets, interversions
Chapitre 2 : Calculs
algébriques
Exercice 2.3.9 ()
Soient n,p,q,r, s des entiers naturels, avec p r , q s, n r + s. r s r + s Montrer que = . En déduire la somme des carrés des coefficients du binôme.
p+q =n
p
q
Exercice 2.3.10 (
n
) p
Soient n, p deux entiers naturels, avec 0 p n. Montrer que
−
k=0
n k
n p
−
k k
= 2 p
n . p
Exercice 2.3.11 () n− p+q
Soit n, p, q trois entiers tels que 0 q p n. Montrer que
−
k=q
k q
n p
−
k n + 1 = . q p + 1
Exercice 2.3.12 () n
Montrer que pour tout entier naturel n,
2n
k=0
2.4
− k 2
k
n
= 22n.
Sommes doubles, par paquets, interversions
Exercice 2.4.1 ()
Calculer les sommes S n =
2n
2n
min(k, n) et T n =
k=0
max(k, n)
k=0
Exercice 2.4.2 () n
Calculer la somme S n =
n
22i− j
i=0 j =0
Exercice 2.4.3 (
)
n
Calculer S n =
k 2k en utilisant une interversion de sommes.
k=1
Exercice 2.4.4 ()
Calculer les sommes doubles S n =
min(i, j ), T n =
1i,j n
1i,j n
max(i, j ), et U n =
1i,j n
|i − j |.
Exercice 2.4.5 ()
Calculer la somme double U n =
1i,j n
|i − j|
Exercice 2.4.6 ()
Calculer les sommes doubles S n =
1i j n
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ij et T n =
i j 1i
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2.5 Systèmes linéaires
2.5
Chapitre 2 : Calculs
algébriques
Systèmes linéaires
Systèmes sans paramètre Exercice 2.5.1 ()
Résoudre le système (S)
Exercice 2.5.2 ()
Résoudre le système (S)
Exercice 2.5.3 ()
Résoudre le système (S)
2x + 2y 4x + 3y 8x + 5y 3x + 3y
− z + t = 4 − z + 2t = 6 − 3z + 4 t = 12 − 2z + 2 t = 6
2x + 7y + 3 z + t = 5 x + 3 y + 5 z 2t = 3 x + 5 y 9z + 8 t = 1 5x + 18 y + 4 z + 5 t = 12
−
−
2x + 5y 8z = 8 4x + 3y 9z = 9 2x + 3y 5z = 7 x + 8 y 7z = 12
− − − −
Exercice 2.5.4 () 3x + 6y + 5 z + 6 t + 4 u = 14
Résoudre le système (S)
Exercice 2.5.5 ()
Résoudre le système (S)
Exercice 2.5.6 ()
Résoudre le système (S)
Exercice 2.5.7 ()
Résoudre le système (S)
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5x + 9y + 7 z + 8 t + 6 u = 18 6x + 12 y + 13 z + 9t + 7 u = 32 4x + 6y + 6 z + 5 t + 4 u = 16 2x + 5y + 4 z + 5 t + 3 u = 11 x + 3 y + 2 z = 0
2x y + 3 z = 0 3x 5y + 4 z = 0 x + 17 y + 4 z = 0
− −
2x + y z + t = 1 3x 2y + 2 z 3t = 2 5x + y z + 2t = 1 2x y + z 3t = 4
− −
− −
−
−
−
x + y + z + t + u = 7
3x + 2y + z + t 3u = 2 y + 2 z + 2t + 6 u = 23 5x + 4y + 3 z + 3 t u = 12
−
−
−
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2.5 Systèmes linéaires
Exercice 2.5.8 ()
Résoudre le système (S)
Chapitre 2 : Calculs
algébriques
x + 3 y
− 2z + 5t − 7u = 3 x + 2 y − 9z + 4 t − 6u = −1 2x − y + 7 z − 3t + 5u = 2 x − y − 2t + 3u = 2
Systèmes avec paramètre Exercice 2.5.9 ()
x + y + mz = m
Résoudre le système linéaire (S)
x + my x + y
− z = 1
, où m est un paramètre réel ou complexe.
− z = 1
Exercice 2.5.10 ()
x + y + (1
Résoudre le système (S) linéaire
− m)z = m + 2 (1 + m)x − y + 2 z = 0 2x − my + 3 z = m + 2
(m un paramètre réel ou complexe.)
Exercice 2.5.11 ()
ax + by + z = 1
Résoudre le système linéaire (S)
x + aby + z = b
(a, b paramètres réels ou complexes)
x + by + az = 1
Exercice 2.5.12 (
)
Résoudre le système linéaire (S)
x + ay + a2 z + a3 t = a ax + a2 y + a3 z + t = a 2 a2 x + a3 y + z + at = a 3
(a un paramètre réel ou complexe.)
a3 x + y + az + a2 t = a 4
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