KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah Swt., atas berkat Rahmat dan RidhoNya jualah kami dapat menyusun modul modul kuliah ANALISIS STRUKTUR I ini Modul Kuliah ini disusun dengan t ujuan untuk mempermudah mahasiswa dalam mempelajari mata kuliah ini. Dalam modul ini disusun materi berdasarkan SAP dan GBPP untuk kegiatan perkuliahan selama satu semester. Adanya modul ini merupakan upaya dalam menyediakan bahan yang digunakan untuk pembaharuan media dan metode pembelajaran untuk menyempurnakan proses belajar mengajar pada paket mata kuliah Analisis Struktur di Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Unsri. Pada kesempatan ini kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang memberikan bantuan moril dan materil materil dalam menyelesaikan menyelesaikan modul diberikan
telah
ini. Semoga bantuan bantuan yang
dapat bermanfaat seiiring dengan dengan dimanfaatkannya dimanfaatkannya modul ini untuk kepentingan
Mahasiswa. Kami pun berpesan khusus kepada para mahasiswa yang menggunakan modul ini. Materi Analisis Struktur I dalam modul ini hanya hanya merupakan rangkuman rangkuman yang telah dicoba untuk disusun secara terstruktur berdasarkan kurikulum yang ada. Lebih jauh mengenai konsep dan latihan-latihan soal yang lebih lengkap dapat dirujuk dari buku-buku lain yang berhubungan khususnya yang kami tulis dalam daftar pustaka. Sekali lagi,
alah bisa karena biasa,
mungkin dapat menjadi pesan singkat
bagi para mahasiswa bahwa materi Analisis Struktur dapat difahami dengan baik dengan rajin mengerjakan latihan soal-soal. Terakhir, tak ada gading yang tak retak, modul kuliah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu kami sangat mengharapkan kritik, saran ataupun masukan lain demi kesempurnaan bahan kuliah ini nantinya.
Penulis
Analisis Struktur I
ii
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ............................................................... ...............................................................
ii
Daftar Isi ............................................................. ................................................................... ....... iii
BAB I PENDAHULUAN PENDAHULUAN
1.1. Pendahuluan........................................................... ...............................................................
1
1.2. Diagram Defleksi dan Kurva Elastik ................................................................. ...................
1
1.3. Persamaan Differensial Defleksi Balok ...............................................................................
2
BAB II METODE BALOK PADANAN (CONJUGATE BEAM ) ...........................................
4
BAB III METODE ENERGI
3.1. Kerja Luar ............................................................ ................................................................
8
3.1.1. Kerja Luar Akibat Gaya .............................................................. ...............................
8
3.1.2. Kerja Luar Luar Akibat Momen .......................................................... ............................... 10 3.2. Energi Regangan............................................................ ...................................................... 10 3.2.1. Energi Energi Regangan Regangan Akibat Gaya ............................................................. ..................... 10 3.2.2. Energi Regangan Akibat Momen............................................................................... 11 3.3. Prinsip Kerja Kerja dan Energi.......................................................... ............................................ 12
BAB IV METODE KERJA KERJA MAYA (METODE BEBAN SATUAN) SATUAN)
4.1. Prinsip Kerja Maya .................................................................. ............................................ 14 4.2. Kerja Maya pada Balok dan Frame ............................................................. ...................... 16 4.3. Prosedur Analisis ......................................................... ........................................................ 19
BAB V TEOREMA CASTIGLIANO
5.1.
Teorema Castigliano untuk Balok dan
Frame ....................................................................
24
5.2.
Prosedur Analisis................................................................... ............................................. 25
BAB VI STRUKTUR STATIS TAK TENTU
6.1.
Konsep Dasar Statis Tak Tentu .................................................................. ........................ 33 6.1.1. Pengertian Statis Tak Tentu .............................................................. ........................ 33 6.1.2. Keuntungan dan Kerugian Statis Tak Tentu........................................................... .. 33 6.1.3. Ketidaktentuan Ketidaktentuan Statis ............................................................. ................................... 34
6.2. Konsep Dasar Kinematis Kinematis Tak Tentu .............................................................. ........................ 34 6.2.1 Pengertian Kinematis Tak Tentu .................................................................. .............. 34 6.2.2 Ketidaktentuan Kinematis ................................................................ .......................... 34
Analisis Struktur I
iii
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ............................................................... ...............................................................
ii
Daftar Isi ............................................................. ................................................................... ....... iii
BAB I PENDAHULUAN PENDAHULUAN
1.1. Pendahuluan........................................................... ...............................................................
1
1.2. Diagram Defleksi dan Kurva Elastik ................................................................. ...................
1
1.3. Persamaan Differensial Defleksi Balok ...............................................................................
2
BAB II METODE BALOK PADANAN (CONJUGATE BEAM ) ...........................................
4
BAB III METODE ENERGI
3.1. Kerja Luar ............................................................ ................................................................
8
3.1.1. Kerja Luar Akibat Gaya .............................................................. ...............................
8
3.1.2. Kerja Luar Luar Akibat Momen .......................................................... ............................... 10 3.2. Energi Regangan............................................................ ...................................................... 10 3.2.1. Energi Energi Regangan Regangan Akibat Gaya ............................................................. ..................... 10 3.2.2. Energi Regangan Akibat Momen............................................................................... 11 3.3. Prinsip Kerja Kerja dan Energi.......................................................... ............................................ 12
BAB IV METODE KERJA KERJA MAYA (METODE BEBAN SATUAN) SATUAN)
4.1. Prinsip Kerja Maya .................................................................. ............................................ 14 4.2. Kerja Maya pada Balok dan Frame ............................................................. ...................... 16 4.3. Prosedur Analisis ......................................................... ........................................................ 19
BAB V TEOREMA CASTIGLIANO
5.1.
Teorema Castigliano untuk Balok dan
Frame ....................................................................
24
5.2.
Prosedur Analisis................................................................... ............................................. 25
BAB VI STRUKTUR STATIS TAK TENTU
6.1.
Konsep Dasar Statis Tak Tentu .................................................................. ........................ 33 6.1.1. Pengertian Statis Tak Tentu .............................................................. ........................ 33 6.1.2. Keuntungan dan Kerugian Statis Tak Tentu........................................................... .. 33 6.1.3. Ketidaktentuan Ketidaktentuan Statis ............................................................. ................................... 34
6.2. Konsep Dasar Kinematis Kinematis Tak Tentu .............................................................. ........................ 34 6.2.1 Pengertian Kinematis Tak Tentu .................................................................. .............. 34 6.2.2 Ketidaktentuan Kinematis ................................................................ .......................... 34
Analisis Struktur I
iii
6.3. Metode Analisis ................................................................. .................................................... 34 6.3.1. Konsep Dasar Dasar Metode Analisis Keseimbangan ........................................................ 34 6.3.2. Konsep Dasar Metode Kompatibilitas ............................................................... ....... 35 6.3.3. Hubungan Hubungan Gaya dan Perpindahan .......................................................... .................. 35
BAB VII ANALISIS STRUKTUR STATIS TAK TENTU DENGAN METODE GAYA
7.1.
Metode Gaya .................................................................. .................................................... 37
7.2.
Hukum Defleksi Timbal Balik ............................................................ .............................. 37
7.3.
Analisis Metode Metode Gaya pada Balok .................................................................. ................... 43
7.4.
Analisis Metode Gaya pada
Frame ....................................................................................
48
DAFTAR PUSTAKA .............................................................. ..................................................... 52
Analisis Struktur I
iv
BAB I PENDAHULUAN 1.1.
Pendahuluan
Perhitungan deformasi pada sistem struktur ditujukan untuk dua hal yaitu: 1.
Untuk kebutuhan kelayanan struktur ( serviceability)
2.
Pada benda statis dan deformable, sistem struktur paling banyak berbentuk statis tertentu, dimana untuk menganalisisnya menggunakan persamaan keseimbangan dan diagram benda bebas ( free body diagram). Disamping itu terdapat pula struktur statis tak tentu yang memiliki metodologi solusi yang
berbeda.
Metode yang digunakan untuk menghitung deformasi ada 2, yaitu : 1.
Metode Klasik Metode Klasik biasanya menggunakan dasar geometri atau energi ( metode energi), Metode perhitungan yang berdasarkan geometri adalah
-
metode luas momen ( momen area method )
-
metode Balok Padanan ( conjugate-beam method )
Metode perhitungan yang berdasarkan metoe energi adalah:
-
metode kerja maya
-
teorema castigliano.
Metode lainnya adalah metode integrasi 2.
Metode Matriks
1.2. Diagram Defleksi dan Kurva Elastik
Analisa struktur struktur adalah proses perhitungan untuk menentukan respon dari suatu struktur yang berupa berupa reaksi tumpuan, gaya dalam dan perpindahan (displacement) akibat pengaruh luar (aksi). Perpindahan pada struktur tersebut dapat berupa : - Defleksi / Translasi - Rotasi
: Jarak pergerakan titik pada struktur
: Sudut putar garis singgung pada kurva elastis (atau garis normalnya) di satu titik.
Perpindahan struktur dapat terjadi dikarenakan oleh beberapa sebab berupa pengaruh luar (aksi) diantaranya adalah : -
Beban luar
-
Pengaruh perubahan suhu
-
Kesalahan pabrikasi
-
Akibat penurunan (settlement )
Dalam suatu perencanaan, nilai perpindahan (defleksi) harus dibatasi untuk menghindari retak pada jenis material yang bersifat getas seperti beton atau plester. Lebih jauh, struktur tidak boleh mengalami getaran atau mengalami defleksi secara berlebihan. Yang jauh lebih penting, penting, nilai defleksi pada suatu titik pada struktur harus ditentukan dalam upaya menganalisis struktur STATIS TAK TENTU.
Pada struktur-struktur berikut yang akan dianalisis dengan asumsi bahwa material tersebut memiliki RESPON LINIER ELASTIK terhadap beban yang diterimanya. Analisis Struktur I
1
Artinya, pada kondisi tersebut, suatu struktur yang menerima beban dan berdefleksi akan kembali pada kondisi awalnya (tidak berdefleksi) jika tidak dibebani lagi.
Pada dasarnya defleksi yang terjadi pada strukur disebabkan oleh GAYA DALAM berupa gaya normal, gaya geser ataupun momen lentur .
Pada balok dan rangka kaku defleksi terbesar seringkali disebabkan oleh momen lentur dalam ( internal bending) sedangkan gaya aksial dalam menyebabkan defleksi pada rangka batang ( truss).
1.3.
Persamaan Differensial Defleksi Balok
Perhatikan gambar (1.1) yang menunjukkan balok dengan tumpuan sederhana yang mengalami defleksi akibat beban momen. Defleksi (perpindahan vertikal) v pada arah y bervariasi sepanjang bentang AB. Bentuk defleksi ini disebut KURVA ELASTIK. Pada kenyataannya, pada perpindahan tersebut terdapat rotasi pada balok. Rotasi (θ) pada setiap titik adalah SUDUT ANTARA ABSIS X DENGAN GARIS SINGGUNG TERHADAP KURVA ELASTIK
y,v
A
B
x
v θ
GAMBAR 1.1. Deformasi pada Balok dengan Tumpuan Sederhana P
o
D
∆θ
ρ
O
∆s
−y
∆u R
D
E
S
∆θ
E
∆x (b)
(a)
GAMBAR 1.2. Deformasi pada Balok (a) Kurva Elastik ; (b) Deformasi pada satu blok Balok
Dari geometri pada gambar 1.2. dapat dibentuk persamaan sebagai berikut : Dari gambar (a) : ∆s = ρ∆θ
(1.1)
Kurvaturnya didefinisikan : κ =1/ ρ = Lt
∆s →0
∆θ ∆s
=
d θ ds
(1.2)
Dari gambar (b) : ∆u = -y∆θ
(1.3)
Tanda negatif dikarenakan oleh perpanjangan terjadi pada y negatif. Bila kedua sisi dibagi dengan ∆s, maka: Analisis Struktur I
2
Lt
∆s →0
∆u ∆s
∆θ
= − y Lt
---------------
∆s
∆s →0
du ds
= − y
d θ ds
(1.4)
Karena du/ds adalah regangan aksial pada searah pada jarak y dari garis netral, maka:
du
= ε
ds
(1.5)
Dari persamaan (1.2) dan (1.5), diperoleh : 1
ρ Karena :
ε =
σ E
dan
σ = −
My I
ρ 1 ρ
=
ε
(1.6)
y
, dan disubstitusi ke atas , menjadi :
1
atau dari pers. (1.2) diperoleh:
= κ = −
=
d θ ds
M
(1.7)
EI , sehingga:
d θ =
M EI
dx
(1.8)
Analisa geometrik menghasilkan definisi lain mengenai kurvatur, yaitu: 1
ρ
=
d 2 v / dx 2
(1.9)
(1 + dv / dx )
3
Gunakan persamaan (1.7) sehingga:
M EI
=
d 2 v / dx 2
(1.10)
(1 + dv / dx )
3
Untuk asumsi defleksi yang kecil, dv/dx << 1. Sehingga penyebut pada sisi kanan sama dengan 1, sehingga : 2
d v dx Dari persamaan
Kurvatur (
1
ρ
1 ρ
=
M EI
2
=
dan persamaan
M
(1.11)
EI d 2 v dx
2
=
M EI
, dapat disimpulkan bahwa:
) adalah turunan kedua perpindahan terhadap ar ah lateralnya.
Analisis Struktur I
3
BAB.II METODE BALOK PADANAN (CONJUGATE BEAM ) Metoda ini adalah metoda yang sangat serbaguna. Diketahui bahwa hubungan antara momen lentur, gaya geser dan beban adalah:
d 2 M dx 2
=
dV dx
= − q( x)
(2.1)
Sedangkan dari pers (1.11) pada Bab I diketahui : 2
d v dx
2
=
d θ dx
=
M
(2.2)
EI
dimana: M
: Momen
V
: Geser/lintang
q(x)
: beban
v
: perpindahan/lendutan/displacement
θ
: slope/rotasi
EI
: kekakuan lentur
Perbandingan dari dua persamaan tersebut menunjukkan bahwa: Jika
M EI
adalah beban pada suatu balok maya (fiktif) atau disebut sebagai balok padanan ( conjugate beam),
maka gaya geser & momen yang dihasilkannya adalah identik dengan slope/rotasi dan defleksi dari balok yang sebenarnya. (Gambar 2.1) q(x)
B
A
B
A
M/EI
L
L
Gambar 2.1 (a) Balok sebenarnya
(b) Balok Conjugate
Dari metoda Conjugate Beam, kita dapat menyimpulkan: Teorema 1: Perpindahan/lendutan/displacement (v = Δ) pada suatu titik di balok yang sebenarnya adalah identik dengan nilai momen (M’) pada titik yang sama pada Conjugate beam . v = M’
(2.3)
Teorema 2: Slope/rotasi θ pada suatu titik di balok yang sebenarnya adalah identik dengan geser V’ pada titik yang sama pada Conjugate beam. θ = V’
(2.4)
Prosedur untuk menganalisis balok dengan Metode Conjugate Beam. 1.
Pada balok yang sebenarnya, akibat beban yang bekerja gambarkan diagram Momen (M).
Analisis Struktur I
4
2.
Gambarkan balok fiktif/maya atau disebut sebgai conjugate beam, dengan panjang yang sama dengan balok yang sebenarnya. Kondisi internal & eksternal kontinuitas serta tumpuan dibuat sama seperti balok sebenarnya sesuai dengan tabel 2.1. Sedangkan beban pada conjugate beam adalah diagram
M EI
, dengan nilai M adalah momen pada langkah 1. Arah beban ini adalah ke arah serat tertekan. (seperti gambar 2.1.b). 3.
Analisis conjugate beam, yaitu mencari Reaksi Perletakan , nilai Momen dan Geser, bila perlu gambarkan bidang momen & bidang gesernya.
4.
Gunakan teorema 1 & 2 , persamaan (2.3) untuk mendapatkan nilai defleksi dan persamaan (2.4) untuk mendapatkan nilai slope/rotasi.
Perjanjian tanda pada geser dan momen adalah: Momen positif pada conjugate beam diartikan sebagai perpindahan/defleksi ke bawah
(↓ ) pada balok yang
sebenarnya. sedangkan Gaya geser positif pada conjugate beam diartikan sebagai slope/rotasi yang bernilai positif (searah jarum jam) pada balok sebenarnya, Tabel 2.1 Hubungan antara balok sebenarnya dengan Conjugate Beam Tumpuan atau Penghubung pada Balok
Tumpuan atau Penghubung pada Conjugate
Sebenarnya
Beam
Tumpuan Rol (θ = ? , ∆=0)
Tumpuan Rol (V= ? , M=0)
Tumpuan Sendi (θ = ? , ∆=0)
Tumpuan Sendi (V= ? , M=0)
Tumpuan Jepit (θ = 0 , ∆=0)
Ujung Bebas (V= 0 , M=0)
Ujung Bebas (θ = ? , ∆=?)
Tumpuan Jepit (V= ? , M=?)
Tumpuan Rol/Sendi Dalam ( θ =?, ∆=0)
Penghubung Sendi (V= ? , M=0)
Penghubung sendi (θL=?,θR=?, ∆=?)
Tumpuan Rol/Sendi Dalam (θL=?,θR=?, ∆=?)
Analisis Struktur I
5
Contoh 1. Defleksi pada balok kantilever
Hitung defleksi vertikal dan rotasi pada titik B dari balok P
A
B L
Solusi: 1.
Gambarkan bidang momen akibat beban, selanjutnya gambarkan diagram
M EI
-nya.
-
- PL A
B
Bidang Momen M/EI
PL/EI A'
2.
B'
Gambarkan Conjugate Beam dengan
M EI
sebagai beban. Kondisi jepit pada ujung A ubah menjadi
bebas.kondisi bebas pada ujung B ubah menjadi jepit. Karena akibat beban pada serat bawah balok AB mengalami tekan sepanjang AB, maka beban
PL/EI
EI
pada conjugate beam bekerja kearah bawah.
B'
A'
L/3
3.
M
2L/3
Selesaikan conjugate beam. Hitung gaya geser pada titik B untuk mendapatkan nilai θ B . Hitung momen pada titik B untuk mendapatkan nilai
∆ B .
PL/EI B'
A'
MB' Q = PL2/2EI L/3
2L/3
VB'
Q = Resultan beban merata segitiga
1 PL
2
PL
= ( L ) = 2 EI 2 EI Gunakan persamaan keseimbangan Analisis Struktur I
6
∑ M
B
=0
sehingga
∆ B =
∑ Fy = 0
2 PL 2 L ' − + M B = 0 2 EI 3
PL2
M B =
PL
3 EI
↓)
3 EI
−
2
'
PL2
2 EI
2
+ V B ' = 0
V B = '
PL
2 EI
2
sehingga
θ B
=
PL
2 EI
(searah jarum jam)
Catatan: Momen positif diasumsikan sebagai defleksi pada balok sebenarnya dengan arah ke bawah. Gaya geser positif diartikan sebagai rotasi pada balok sebenarnya yang searah jarum jam.
Analisis Struktur I
7
Contoh 2. Defleksi dan Rotasi pada balok sederhana tumpuan sendi rol
Hitung defleksi vertikal pada titik c dan rotasi pada titik A dan B dari balok sederhana 2 tumpuan berikut: P ton
A
B
C EI Lm
V A = P/2
VB= P/2
Solusi: 1.
Gambarkan bidang momen akibat beban, selanjutnya gambarkan diagram
M EI
-nya.
M = PL/4
2.
M
Gambarkan Conjugate Beam dengan
EI
sebagai beban. Tumpuan Sendi Rol tidak berubah. Karena
akibat beban pada balok sebenarnya menyebabkan terjadi momen positif dimana serat tekan sepanjang
M
AB berada diatas , maka beban
pada conjugate beam bekerja kearah atas.
EI
Q = ½ (PL/4EI)L
A’
B’ ti
M = PL/4EI
V A’
VB’ Lm
3.
Selesaikan conjugate beam. Hitung beban total akibat beban merata segitiga (Q) dan hitung reaksi perletakan akibat beban Q yaitu : Q = Resultan beban merata segitiga
1 PL
2
PL
= ( L ) = 2 4 EI 8 EI Gunakan persamaan keseimbangan untuk mencari reaksi perletakan:
∑ M
B
PL L ' + + V A .L = 0 8 EI 2 2
=0
V A = −
PL2
'
16 EI
↓)
2
θ A
sehingga
∑ Fy = 0 Analisis Struktur I
PL
=
16 EI
2
+
PL
8 EI
2
−
PL
16 EI
+ V B ' = 0
V B = − '
PL2
16 EI
(↓ ) 8
2
θ B
sehingga
=
PL
16 EI
Q = ½ (PL/4EI)L
A’
M = PL/4EI 2
V A’ = (PL /16EI)
B’
VB’ = (PL2/16EI)
Lm
4.
Untuk menghitung Mc, tinjau conjugate beam pada arah kiri: 2
Q1= ½ (PL /8EI)
A’ M’c
V A’ = (PL2/16EI)
V’c L/2 m
∑ M
C
=0
L L + Q1 − V A' . + M 'C = 0 2 3
PL2 1 L PL2 L . − . + M 'C = 0 + EI EI 16 3 2 16 2 PL2 2 L . + M 'C = 0 − 16 EI 6 sehingga
∆ C =
∑ Fy = 0
PL3
48 EI
3
M ' C =
48 EI
(↓ ) + Q1 − V A' . + V 'C = 0
PL2 PL2 − . + V 'C = 0 + 16 EI 16 EI sehingga
PL
θ C
V C = 0 '
=0
Contoh 3 Defleksi dan Rotasi pada balok sederhana tumpuan sendi rol dengan bentuk beban merata
Selesaikan balok menganjur berikut ini dengan menghitung besarnya θB dan ∆C menggunakan metode Conjugate Beam(Balok Padanan)!
Analisis Struktur I
9
q kN/m' C 2EI
A
B
L/2 m
L/2 m
Solusi: 1. Menghitung bidang momen. q kN/m' C 2EI
A Q V A
B
VB
L/2 m
L/2 m
Q = q . ½ L = ½ qL
ΣMA = 0
ΣFy = 0
-VB . L + Q . ¼ L = 0 VB = ¼ Q ( ↑ ) VB = 1/8 qL ( ↑ )
VA + VB - Q = 0 VA + 1/8 qL – ½ qL = 0 VA = 3/8 qL ( ↑ ) q kN/m'
A Q
C 2EI
B
V A= 3/8 qL
VB= 1/8 qL
x1
x2 2
Mx1 = (3/8 qLx1-1/2 qx1 ) x1 = 0 ------- Mx1 = 0 2 x1 = L/4------ Mx1 = 1/16 qL 2 x1 = L/2 ------- Mx1 = 1/16 qL Mx2 = -(- 1/8 qL .x2) = 1/8 qLx2 x2 = 0 ------- Mx2 = 0 2 x2 = L/4------ Mx2 = 1/32 qL 2 x2 = L/2------ Mx2 = 1/16 ql Dari persamaan yang diperoleh, dapat digambarkan:
Mx1=(qL/8)x2 1/16 qL2 Mx1=(3qL/8)x1 - (q/2)x12
2.
Gambarkan conjugate beam, dimana beban pada conjugate beam adalah : q(x) =
M x EI
Karena pada struktur diperoleh 2 persamaan momen (Mx),maka; bebannya menjadi
q ( x1 ) =
M x1
=
3qLx1
−
qx1
2
2 EI 16 EI 4 EI M qLx2 q ( x2 ) = x 2 = 2 EI 16 EI
Sehingga conjugate beamnya menjadi: Analisis Struktur I
10
B’
A’
V A’
VB’
q(x2)= Mx2/2EI q(x1)= Mx1/2EI x1
x2
Berdasarkan tabel 2.1,maka tidak terdapat perubahan jenis tumpuan dari balok sebenarnya dengan conjugate beam,seperti terlihat pada gambar diatas.
Mencari θA
Untuk mencari θA sama saja dengan mencari gaya V’ A , sehingga dapat digunakan persamaan keseimbangan momen, ∑MB = 0 Tinjau balok A’B’: Perhatikan: Sistem koordinat x1, ke kanan dan jarak titik berat beban merata (q(x1)) dihitung dari titik B’ ke arah kiri sama dengan (L-x1). (Karena kita menggunakan titik B sbg acuan perhit momen, ∑MB = 0) Sistem koordinat x2, ke kiri dan jarak titik berat beban merata (q(x2)) dihitung dari titik B’ ke arah kiri sama dengan (x2)
∑ M
B '
=0 L / 2
− V ' A . L +
L / 2
∫ q( x ).( L − x ).dx + ∫ q( x ).( x ).dx 1
1
1
0
L / 2
2
2
=0
0
L / 2
2
3qLx1
qx1
qLx2
∫ ( 16 EI − 4 EI ).( L − x ).dx + ∫ (16 EI ).( x ).dx
V ' A L . =
1
1
2
0
L / 2
V ' A . L =
2
3qL x1
3qLx1
2
∫ ( 16 EI − 16 EI 2
. = V ' A L V ' A . L =
3qL2 x1 3qL4
3
−
32 EI
2
−
−
3qLx1
48 EI qL4
qLx1
4 EI 3
−
−
qLx1
12 EI qL4
3
+
qx1
4 EI 4
+
+
qx1
V ' A = ------- θ A =
3qL3 256 EI
= 0.0117
L / 2
) dx1 +
16 EI 0 qL4
+
qLx2
2
∫ ( 16 EI )dx
2
0
L / 2
128 EI 128 EI 96 EI 256 EI qL4 18 − 6 − 8 + 3 + 2 V ' A L . = ( ) EI 768 qL3 9qL3 3qL3 = = 0.0117 V ' A = EI 768 EI 256 EI
Mencari
2
0
0
2
+
qLx2
3
L / 2
48 EI 0
qL4
384 EI
3
qL
EI
(arah putaran sudut searah jarum j am)
C
Untuk mencari C sama saja dengan mencari momen M’ C. Tinjau potongan kiri balok A’C’ dan gunakan persamaan keseimbangan momen, ∑M = 0 Tinjau balok A’C’:
Analisis Struktur I
11
C’
A’
V A’= 3qL4/256EI VC’
q(x1)= Mx1/2EI x1
Perhatikan : sistem koordinat x1, ke kiri dan jarak titik berat beban merata (q(x1)) dihitung dari titik C’ ke arah kiri, sehingga jarak titik berat (q(x1)) terhadap titik C’ adalah : (L/2 – x 1)
∑ M
C '
=0
L − V ' A . + 2 3
−
3qL
.
L / 2
−
−
0
L / 2
L
∫
+
256 EI 2 3qL
512 EI
(
0
L / 2
4
−
∫
L q( x1 ).( − x1 ).dx1 +M C ' = 0 2 3qLx1 16 EI 2
3qL x1
512 EI 3qL4 512 EI
2
L ).( − x1 ).dx1 + M 'C = 0 4 EI 2
3qLx1
2
∫ ( 32 EI − 16 EI
+
−
qLx1
+(
+(
3qL2 x1
64 EI 3qL4
3
−
3qLx1
48 EI qL4
−
256 EI 128 EI
2
8 EI
0
2
3qL4
−
qx1
3
+
3
−
4 EI 4
qLx1
qx1
+
).dx1 + M 'C = 0
L / 2
) + M 'C = 0
24 EI 16 EI 0 qL4
−
qx1
192 EI
+
qL4 256 EI
) + M 'C = 0
qL4 − 9 + 18 − 12 − 8 + 6 ( ) + M 'C = 0 EI 1536 5qL4 − + M 'C = 0 1536 EI 4
4
M 'C =
5qL
1536 EI
-------
∆ C =
5qL
1536 EI
4
= 0.0033
qL
EI
(↓)
Tanda positif menunjukkan defleksi ke bawah..
Latihan 2.1
1.
Hitung besarnya defleksi dan rotasi pada titik B dan C akibat beban merata yang bekerja pada balok berikut! q kN/m’
A
2EI Lm
Analisis Struktur I
B
EI
C
Lm
12
2.
Hitung lendutan pada titik C dan rotasi pada titik B akibat beban yang bekerja pada balok menganjur berikut! P kN
A
B EI
EI Lm
3.
Lm
C
Lm
Hitung lendutan maksimum akibat beban yang bekerja pada balok sederhana berikut! q kN/m’
B 2EI Lm
Analisis Struktur I
Lm
13
BAB III. METODE ENERGI Dasar perhitungan Prinsip Energi adalah materi kuliah yang ada pada Mekanika Bahan, yaitu perhitungan mengenai tegangan regangan. Hubungan regangan-perpindahan ( displacement ) dan karakteristik sifatsifat bahan. Konsep ini sangat penting dalam perhitungan yang berhubungan dengan energi seperti kerja dan energi regangan. Hal ini kemudian dapat digunakan dalam perhitungan defleksi.
Pada metode yang bersifat semigrafik seperti metode sebelumnya, sangat efektif digunakan untuk menentukan defleksi dan rotasi pada balok dengan pembebanan yang agak sederhana. Sedangkan untuk yang agak rumit, dianjurkan untuk menggunakan metode yang berbasis energi.
Dasar dalam metode energi adalah Pr insip Kekekalan Energi yang menyatakan: Kerja yang dihasilkan oleh beban luar pada suatu struktur,U e, akan diubah menjadi kerja dalam atau energi regangan,U i, yang dapat terjadi bila struktur berdeformasi.
Prinsip Kekekalan Energi dapat ditunjukkan dengan p ersamaan : Ue = Ui
(3.1)
Untuk mengembangkan Metode Energi perlu dipelajari terlebih dahulu mengenai Kerja Luar dan Energi Regangan yang disebabkan Gaya dan Momen.
3.1 Kerja Luar 3.1.1.Kerja Luar Akibat Gaya
Bila ada gaya F menyebabkan perpindahan dx dengan ARAH yang SAMA dengan F, kerja yang timbul :
dU e = F .dx
(3.2)
Jika total perpindahan sebesar x, maka total kerja luar menjadi: x
= ∫ F .dx
U e
(3.3)
0
F P
F=Px/∆
A
L
x
∆ ∆
F (a)
(b)
Gambar 3.1. Kerja Luar Akibat Gaya Aksial
Analisis Struktur I
8
Perhatikan gambar 3.1. Akibat gaya F yang bekerja pada ujung batang, batang mengalami perpanjangan. Gaya F bekerja berangsur-angsur dari nol sampai dengan batas nilai F=P, sehingga menghasilkan perpanjangan batang sebesar ∆. Bila batang bersifat linier elastic, maka : F
P = x ∆
(3.4)
Substitusi ke pers.(3.3) ∆
P 2 P U e = ∫ x.dx = 1 x 2∆ ∆ 0
=
U e
1 2
P∆
∆
0
(3.5)
Persamaan tersebut sama dengan Luas segitiga yang diarsir pada gambar 3.1.b. Kesimpulan : Bila suatu gaya bekerja secara berangsur-angsur pada suatu batang,dengan nilai yang meningkat dari nol sampai dengan suatu nilai bernilai P, maka kerja yang dihasilkan adalah nilai rata-rata gaya tersebut (P/2) dikali dengan perpindahan ( ∆).
A
L
F C
F'+P B
P
D
∆ ∆'
P
G
E
A
∆
F' (a)
x
∆'
(b)
Gambar 3.2.Kerja Luar Akibat Beberapa Gaya AksiaL
Perhatikan gambar 3.2. Anggap gaya P sudah bekerja pada batang,kemudian dikerjakan gaya lain sebesar F’, sehingga terjadi pepindahan sebesar ∆’.Perhatikan gambar 3.2.b., kerja akibat P bila perpindahan tambahan yang terjadi sebesar ∆’ , maka pendekatan kerja yang terjadi adalah: Ue = (P + ½ F’) Δ’ Ue ≈ P∆’
(3.6)
Hal ini ditunjukkan pada gambar 3.2.b dengan luas persegi empat yang diarsir.
Analisis Struktur I
9
Kesimpulan:
Bila suatu gaya P bekerja pada suatu batang,yang diikuti oleh gaya F’, maka total kerja akibat kedua gaya ditunjukkan oleh gambar segitiga ACE pad gambar 3.2.b. Luas segitiga ABG menunjukkan kerja yang diakibatkan oleh P dan menyebabkan pepindahan sebesar ∆,luas segitiga BCD
menunjukkan kerja yang diakibatkan oleh F’ dan menyebabkan pepindahan sebesar
∆’.Selanjutnya luas pesegi BDEG menunjukkan tambahan kerja yang diakibatkan oleh P karena adanya perpindahan sebesar ∆’akibat F’. Bila dianggap tambahan gaya F’ nilainya kecil, sehingga bentuk trapesium BCDEG diidealisasikan sebagai segiempat BDEG saja, maka luas segitiga BCD dapat diabaikan, sehingga nilai kerja sebesar
½ F’Δ’ ≈ 0
3.1.2.Kerja Luar Akibat momen
Dengan cara sama, kerja akibat momen yang bekerja,didefinisikan: dU
= M .d θ
(3.7)
Dengan asumsi rotasi searah momen yang bekerja. Jika total rotasi adalah θ , maka total kerja luar menjadi: θ
U e
= ∫ M .d θ
(3.8)
0
dθ M
Gambar 3.3 Rotasi Akibat Momen Seperti pada kasus gaya yang bekerja, apabila momen bekerja secara berangsur-angsur pada suatu struktur yang mimiliki respon elastik linier dari nol sampai dengan nilai M,maka kerja luar yang dihasilkan: U e
=
1
M θ
2
(3.9)
Bila ada momen yang sudah bekerja pada struktur, kemudian ada beban lain yang bekerja yang menyebabkan rotasi sebesar θ’,kemudian M berotasi se besar θ’, maka kerja luar yang timbul adalah:
U e ' = M θ '
(3.10)
3.2 Energi Regangan 3.2.1.Energi Regangan Akibat Gaya
Bila beban luar bekerja pada suatu benda elastis, maka benda tesebut akan berdefomasi. Kerja diubah menjadi energi regangan elastis (Ui) yang tersimpan dalam benda tersebut.
Energi regangan
(komplemen) didefinisikan dalam berbagai akibat beban.
Analisis Struktur I
10
A
L
∆
N Gambar 3.4. Energi Regangan Dalam Akibat Gaya Aksial (ganti N dengan F) Kerja luar akibat beban aksial (F) disimpan dalam batang dalam bentuk energi regangan linier. Dari hukum Hooke diketahui: σ
= E .ε
σ
=
(3.11)
karena
ε
=
F
(3.12)
A
∆
(3.13)
L
Sehingga nilai defleksinya menjadi:
∆=
FL
(3.14)
EA
Bila kita subsitusikan ke persamaan (3.5): Maka U i
=
F 2 . L
(3.15)
2 EA
3.2.2.Energi Regangan Akibat Momen
Enegi regangan pada sistem struktur yang dibebani momen lentur dapat dihitung dengan persamaan 3.7. q(x)
B
M
M dθ
A dx X
dx L
(a)
(b)
Gambar 3.5 Energi Regangan Dalam Akibat Lentur
Bila dianggap balok dibebani beban seperti gambar 3.5, dimana beban P dan q bekerja secara berangsurangsur. Beban ini akan menimbuilkan momen dalam M, misalnya pada salah satu bagian/elemen balok dx yang berjarak x dari tumpuan kiri. maka rotasi dari elemen x dapat diambil dari persamaan (1.8), yaitu : Analisis Struktur I
11
=
d θ
M
dx
EI
Bila persamaan (3.9) diterapkan pada elemen dx, maka energi regangan yang tersimpan adalah:
1 1 M dU i = M .d θ = M .( dx ) EI 2 2 dU i
=
M
2
dx
(3.16)
2 EI
Sehingga energi regangan total yang bekerja pada keseluruhan sistem struktur L
U i
=∫
M
0
dimana bentuk M
2
dx
(3.17)
2 EI
= M ( x )
dan mungkin saja
I
= I ( x) E = E ( x)
3.3. Prinsip Kerja dan Energi
Kerja dan energi regangan telah dipelajari dan dirumuskan. Selanjutnya bagaimana Prinsip Kekekalan Energi dapat diaplikasikan untuk menentukan defleksi pada suatu titik pada struktur. Contoh 3.1 Prinsip Kerja dan Energi pada Balok kantilever
Tentukan perpindahan (defleksi) pada titik dimana bekerja gaya P pada struktur berikut!
P
A
B L
Solusi: 1. Hitung kerja luar akibat beban P yang bekerja Dari persamaan (3.5), diperoleh Kerja luar akibat beban P: U e
=
1
P∆
2
2. Hitung energi regangan pada balok Energi dalam pada balok harus dicari dari momen dalam akibat beban luar yang bekerja pada balok, langkah-langkahnya: - Hitung momen dalam akibat beban pada bentang AB P x Bentang:
Analisis Struktur I
0 ≤ x ≤ L
M x = −( P. x) 12
- Gunakan persamaan (3.17) untuk mendapatkan energi regangan L
U i
=∫ 0
M x
2
2 EI
L
∫
.dx =
0
( − Px)
2
.dx =
2 EI
1 6 EI
2
P x
3
L
0
2
=
3
P L
6 EI
3. Gunakan rumus kekekalanEnergi : U e
1 2
= U i
P∆ =
∆=
1 P 2 L3 6 EI
PL3
3 EI
(
)
Walaupun terlihat sederhana, ternyata aplikasi metode ini hanya terbatas pada soal-soal tertentu saja, dimana setiap perpindahan hanya dapat ditentukan dengan meletakkan gaya pada tempat tersebut. Atas dasar inilah metode ini pada akhirnya dapat dikembangkan pada metode aplikasi yang menggunakan energi sebagai dasarnya, diantaranya metode kerja maya dan castigliano.
Analisis Struktur I
13
BAB IV METODE KERJA MAYA (METODE BEBAN SATUAN) 4.1. Prinsip Kerja Maya
Prinsip Kerja Maya dikembangkan pertama kali oleh John Bernoulli pada tahun 1717 dan dikenal dengan sebutan METODE BEBAN SATUAN. Secara umum metode ini dapat digunakan untuk menentukan perpindahan maupun rotasi pada titik tertentu pada struktur apapun baik balok, frame maupun truss. Prinsip Kerja dan Energi pada suatu bahan yang bersifat deformable : Perhatikan gambar berikut :
C
1
2
3
NA
A
B P1
P2
P3
(a)
F
dL
M
∆1
A
N
F
dx ∆ C
∆2
∆3
NA B
P1
P2
P3
(b)
u
dl
M
δ1
A
N
dx δ C
u δ2
NA
δ3
B 1 (c)
M
N
dx
A
δ1+∆1
P1
NA
δc+∆C 1
δ3+∆3
δ2+∆2 P2
B
P3
Gambar 4.1. Kerja dan Energi Dalam pada Bahan Deformable
Perhatikan gambar (a) :
• Balok AB diberi beban P1, P 2 dan P3 pada titik 1,2 dan 3. Pada titik C akan dicari defleksi dengan menggunakan metode beban satuan . Perhatikan gambar (b)
• beban pada balok ( P 1, P2 dan P3 ) menyebabkan gaya dalam pada balok, misal :
Pada salah satu serat pada balok bagian atas garis netral (MN) mengalami gaya tekan F
dengan luas area potongan sebesar dA.
• Pada serat MN tersebut akibat gaya F, memendek sebesar dL.
Analisis Struktur I
14
• Pada balok secara keseluruhan akibat Beban (P 1,P2 dan P3) menyebabkan defleksi disepanjang balok, misal:
Δ1 pada titik 1
Δ2 pada titik 2
Δ3 pada titik 3
• Akibat beban yang bekerja timbul kerja luar dan dalam pada balok, yaitu Total kerja luar pada balok, perhatikan kembali persamaan 3.5. (4.1)
½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3
Total energi regangan dalam yang tersimpan : ½ (F.dL)
(4.2)
• Berdasarkan hukum kekekalan Energi : ½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3
=
½ (F.dL)
(4.3)
Perhatikan gambar (c) :
• Pada balok yang sama dipasang beban maya yang bernilai P’=1 satuan pada titi k C. • Akibat gaya 1 satuan tersebut pada serat yang sama (MN) mengalami gaya tekan u. • Pada serat MN tersebut akibat beban 1 satuan, memendek sebesar dl. • Pada balok secara keseluruhan akibat beban 1 satuan menyebabkan defleksi disepanjang balok,yaitu :
δc pada titik C
δ1 pada titik 1
δ2 pada titik 2
δ3 pada titik 3
• Akibat beban yang bekerja timbul energi/kerja luar dan dalam pada balok, yaitu Total kerja luar pada balok ½ (1) (δC)
(4.4)
½ (u.dl)
(4.5)
Total energi dalam yang tersimpan :
• Berdasarkan Hukum Kekekalan Energi : Energi dalam yang terjadi sama dengan Kerja luar yang bekerja, sehingga : ½ δ1 =
½ (u.dl)
(4.6)
Perhatikan gambar (d) :
• Bila beban P1, P2 dan P3 ditambahkan pada balok di gambar c, dimana beban 1 satuan sudah bekerja terlebih dahulu , maka akan terjadi defleksi pada balok sebesar:
δC + ΔC pada titik C
δ1 + Δ1 pada titik 1
δ2 + Δ2 pada titik 2
δ3 + Δ3 pada titik 3
• Dengan adanya tambahan beban P 1, P2 dan P3 , maka ada tambahan energi pada energi/kerja luar dan dalam pada balok,(ingat persamaan 3.6) yaitu Analisis Struktur I
15
Total tambahan kerja luar pada balok ½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3 + 1. ΔC
(4.7)
Total tambahan energi dalam yang tersimpan : ½ (F.dL) +
(4.8)
(u dL)
• Berdasarkan hukum kekekalan Energi dan dari persamaan (4.4) + (4.7) dan persamaan (4.5) + (4.8) : ½ (1) (δC) + ½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 +
½ P 3 Δ3 + (1) . ΔC =
½
(u.dl) + ½
(F.dL) +
(u dL)
(4.9)
• Berdasarkan persamaan (4.3) dan (4.6) tentang Hukum kekekalan energi, maka (1) . ΔC =
(u dL)
(4.10)
Persamaan (4.10) adalah rumus dasar dalam menentukan defleksi pada suatu struktur dengan menggunakan metode kerja maya atau dikenal dengan metode beban satuan . Persamaan (4.10) dapat dibuat umum menjadi : (1) . Δ =
(u dL)
(4.11)
dimana:
P’ =1 = Beban maya/beban satuan bekerja pada titik dan searah dengan defleksi yang ingin dicari ∆ u = gaya dalam maya pada elemen searah dengan dL
∆ = Perpindahan/defleksi akibat beban sebenarnya dL = deformasi dalam pada elemen akibat gaya sebenarnya
Dengan cara yang sama, untuk menentukan rotasi pada satu titik pada struktur, harus dipasang momen maya M’=1 pada titik yang ingin dicari rotasinya, Momen maya M’=1 menyebabkan gaya dalam maya u pada salah satu serat/elemen pada struktur dan beban sebenarnya pada struktur dapat menyebabkan elemen berdeformasi sebesar dL, sehingga persamaaannya menjadi: (1) .
=
(u dL)
(4.12)
M’ =1 = Momen maya/momen satuan bekerja pada titik dan searah dengan rotasi yang ingin dicari ( θ) uθ = gaya dalam maya pada elemen searah dengan dL
θ = rotasi akibat beban sebenarnya dL = deformasi dalam pada elemen akibat gaya sebenarnya
4.2. Metode Kerja Maya pada Struktur Balok dan Frame
Analisis Struktur I
16
q(x)
1 A A
∆ X
X L
(b)
(a)
Gambar 4.2. Menentukan Defleksi dengan Metode Kerja Maya (Beban Satuan) Prinsip Kerja maya dapat diaplikasikan pada balok dan rangka untuk menentukan defleksi yaitu dengan menggunakan beban maya (beban satuan) atau menentukan rotasi dengan menggunakan momen maya (momen satuan). Menentukan defleksi pada balok
-
Perhatikan gambar (4.2a) Pada titik A ingin dicari nilai defleksinya ( ∆).
-
Untuk mencari nilai ∆, pasang beban satuan P’=1 pada titik tersebut dengan arah seperti ∆ yang diinginkan (gambar (4.2.b).
-
Akibat P’=1 maka akan timbul momen dalam (m).
-
Defleksi ∆ disebabkan oleh beban sebenarnya pada balok, yang sekaligus menyebabkan momen dalam pada balok (M).
-
Akibat beban ini balok akan memberikan respon linier elastik , dimana suatu elemen dx akan bedeformasi atau berotasi sebesar (dari persamaan (1.8)), yaitu : d θ
-
=
M
dx
EI
Berdasarkan persamaan (4.11), dapat diturunkan rumusan : Kerja luar maya akibat beban satuan : Ue = 1. ∆ Berdasarkan subbab 3.22 dan memperhatikan gambar 3.5 q(x)
B
M
M dθ
A dx X
dx L
(a)
(b)
Kerja dalam maya akibat momen dalam m : Ui = m.dθ Substitusi dari persamaan 1.8, sehingga diperoleh: m.d θ
M = m. dx EI
Dengan prinsip Hukum Kekekalan Energi: Ue = Ui dan menjumlahkan semua pengaruh elemen dx dalam bentuk integrasi sepanjang bentang balok L, menjadi :
Analisis Struktur I
17
L
1.∆ =
mM
∫ EI dx
(4.13)
0
dimana : 1 = Beban maya/beban satuan bekerja pada titik dan searah dengan defleksi yang ingin dicari ∆
∆ = Perpindahan/defleksi akibat beban sebenarnya m = momen dalam maya akibat beban satuan (dalam fungsi x) M = Momen dalam akibat beban sebenarnya(dalam fungsi x) E
= Modulus elastisitas material balok atau rangka
I
= Momen inersia dari potongan penampang q(x)
A A
θ
X
1
X
L
(b)
(a)
Gambar 4.3. Menentukan Rotasi dengan Metode Kerja Maya ( Momen Satuan)
Menentukan rotasi pada balok
-
Dengan cara yang sama, untuk menentukan rotasi pada satu titik pada balok
-
Perhatikan gambar (4.3 a ) Pada titik A ingin dicari nilai rot asinya (θ).
-
Untuk mencari nilai θ, pasang momen satuan M’=1 pada titik tersebut dengan arah seperti θ yang diinginkan (gambar 4.3.b).
-
Akibat M’=1 maka akan timbul momen dalam ( m’).
-
Rotasi θ disebabkan oleh beban sebenarnya pada balok, yang sekaligus menyebabkan momen dalam pada balok (M).
-
Akibat beban ini balok akan memberikan respon linier elastik , dimana suatu elemen dx akan bedeformasi atau berotasi sebesar (dari persamaan (1.8), yaitu : d θ
-
=
M
dx
EI
Berdasarkan persamaan (4.12), dapat diturunkan rumusan : Kerja luar maya akibat momen satuan: Ue = 1.θ Kerja dalam maya akibat momen dalam m: Ui = m’.dθ Substitusi dari persamaan 1.8, sehingga diperoleh: . m'.d θ
M = m'. dx EI
Dengan prinsip Hukum Kekekalan Energi: Ue = Ui dan menjumlahkan semua pengaruh elemen dx dalam bentuk integrasi sepanjang bentang balok L,menjadi:
Analisis Struktur I
18
L
1.θ =
∫ 0
'
m M EI
dx
(4.14)
dimana : 1 = momen maya/momen satuan bekerja pada titik dan searah dengan rotasi yang ingin dicari θ
θ = Rotasi akibat beban sebenarnya m’ = momen dalam maya akibat momen satuan yang bekerja pada balok (dalam fungsi x) M = Momen dalam akibat beban sebenarnya (dalam fungsi x) E
= Modulus elastisitas material balok atau rangka
I
= Momen inersia dari potongan penampang
4.2. 1. Prosedur Analisis Metode Kerja Maya pada Balok dan Frame
Untuk menentukan defleksi ataupun rotasi pada balok maupun rangka kaku ( frame) dengan menggunakan Metode Kerja Maya (Metode Beban Satuan) adalah dengan mengikuti prosedur berikut ini. 1.
Menghitung Momen maya ( m atau m’) akibat beban satuan atau akibat momen satuan.
•
Buang semua beban sebenarnya dari balok atau fra me.
•
Letakkan Beban satuan pada balok atau frame dititik dan arah dimana perpindahan ingin dicari.
•
Jika rotasi yang ingin ditentukan, letakkan momen satuan pada titik tersebut.
•
Tentukan batas-batas wilayah untuk menghitung momen akibat Beban satuan atau momen satuan yang bekerja pada balok atau rangka kaku (frame) dengan menggunakan x sebagai fungsi dari Momen (m atau m’ ).
•
2.
Hitung m akibat beban satuan atau m’ akibat momen satuan untuk setiap wilayah x
Menghitung Momen akibat beban sebenarnya ( M)
•
Batas-batas wilayah untuk menghitung momen akibat Beban sebenarnya sama dengan wilayah untuk menghitung m atau m’.
•
3.
Hitung M akibat beban sebenarnya untuk setiap wilayah x
Gunakan persamaan metode Kerja Maya -
Hitung defleksi dengan menggunakan persamaan (4.13) atau rotasi dengan menggunakan persamaan (4.14)
-
Jika hasil integral dari persamaan tersebut positif,
∆
atau θ memiliki arah yang sama dengan
beban satuan atau dan momen satuan.
4.2. 2. Contoh Perhitungan pada Balok dan Frame Contoh 4.1. Balok Kantilever dengan beban M erata
Hitung defleksi pada titik B pada balok kantilever berikut! (Anggap nilai EI seragam sepanjang balok)
Analisis Struktur I
19
q kN/m'
A
B Lm
Solusi: 1.
Menghitung Momen maya (m) akibat beban.
•
Buang semua beban sebenarnya dari balok atau fra me.
•
Letakkan Beban satuan pada balok dititik B dengan arah ke bawah.
1
A
B x1
•
Tentukan batas-batas wilayah x Wilayah x : 0≤ x ≤ L
•
Hitung m akibat beban satuan untuk setiap wilayah x m = -(1. x) = –x
2.
Menghitung Momen akibat beban sebenarnya
q kN/m'
A Lm
•
Batas wilayah sama :
•
Hitung momen dalam M
x1
B
0≤ x ≤ L
M = -(qx. (½ x)) = – ½ qx
2
3. Hitung defleksi dengan menggunakan persamaan 5.13 L
∆ B = ∫ 0
=
q
L ( − x ).(− 1 qx 2 ) . m M 2 dx = ( )dx EI EI 0
∫
L
x
3
8 EI
=
0
qL3
8 EI
Analisis Struktur I
20
Nilai defleksi + sehingga arahnya searah dengan arah beban satuan (↓)
Contoh 4.2. Balok Kantilever dengan beban Terpusat
Hitung rotasi pada titik B pada balok kantilever berikut! (Anggap nilai EI seragam sepanjang balok)
P kN
A
B
C
L/2 m
L/2 m
Solusi: 1.
Menghitung Momen maya (m’) akibat momen satuan.
•
Buang semua beban sebenarnya dari balok atau fra me.
•
Letakkan Momen satuan pada balok dititik B dengan searah jarum jam.
1 A x1
•
C
B x2
Tentukan batas-batas wilayah x, dan Hitung m akibat momen satuan untuk setiap wilayah x Untuk wilayah 1 (x1): 0 ≤ x1 ≤ L/2 m m’1 = 0 Untuk wilayah 2 (x2): 0 ≤ x2 ≤ L/2 m m‘2 = 1
2.
Menghitung Momen akibat beban sebenarnya ( M)
P kN
A x1
•
C
B x2
Batas wilayah sama dan hitung momen dalam M Untuk wilayah 1 (x1): 0 ≤ x1 ≤ L/2 m M1 = - P.x1 Untuk wilayah 2 (x2): 0 ≤ x2 ≤ L/2 m M2 = - P.( ½ L + x2)
3. Hitung rotasi dengan menggunakan persamaan 4.14 L
θ B
=∫ 0
m ' . M dx = EI
Analisis Struktur I
L / 2
∫( 0
m'1 . M 1 EI
L / 2
)dx1 +
∫( 0
m' 2 . M 2 EI
)dx 2
21
L / 2
∫
=
(
0.( − P. x1 )
EI
0
=
−
=
PLx2
2 EI
−
−
L / 2
)dx1 +
∫
1.(− P.( L / 2 + x2 ) ( )dx
EI
0
L / 2
P
x 2 2 EI
3PL2
=
8 EI
2 0
−
3PL2 8 EI
Nilai rotasi (-) sehingga arahnya berlawanan dengan arah momen satuan
Latihan 4.1.
1.
Balok berikut terbuat dari material yang seragam EI, hitung rotasi pada titik C
2PkN B
A
C
D L/2 m
2.
L/2 m
Balok berikut terbuat dari material yang seragam EI, hitung rotasi pada titik A dan B. P kN
P kN
B
A
D
C L/4 m
3.
L/2 m
L/2 m
L/4 m
Rangka berikut terbuat dari material yang seragam EI, hitung defleksi horisontal pada titik B dan rotasi pada titik C
2PkN B q kN/m'
C Lm
Lm
A
4.3. Metode Kerja Maya pada Struktur Rangka Batang (Truss)
Persamaan (4.10) adalah rumus dasar dalam menentukan defleksi pada suatu struktur dengan menggunakan metode kerja maya atau dikenal dengan metode beban satuan. Rumus ini dapat juga diaplikasikan pada struktur rangka batang, yaitu: Analisis Struktur I
22
Δi =
ui (ΔL)
(4.15)
Dimana : Δi : Defleksi pada titik i ui
: Gaya dalam (aksial) pada bagian struktur (member/elemen) akibat berat satuan
pada titik i ΔL : Perubahan panjang pada elemen.
ΔL sebagai perubahan panjang pada elemen dapat diakibatkan oleh bermacam-macam sebab, diantaranya : -
Beban luar
-
Perubahan suhu
-
Kesalahan pabrikasi.
4.3.1. Pengaruh Beban Luar
Perhatikan gambar (4.4) yang menunjukkan rangka batang yang akan dicari nilai defleksinya pada titik i. Persamaan (4.15) dapat digunakan pada rangka batang tersebut P ton
B
∆L
A
∆L
∆L
D
∆L
∆L
C
∆D
(a) B
u
A
u
D
u
u
u
C
1
(b)
Gambar 4.4 Defleksi Rangka Batang Akibat Beban Luar
Perhatikan gambar (a) :
Analisis Struktur I
23
• Pada titik D akan ditentukan nilai defleksinya. Akibat beban luar semua batang (member) akan mengalami gaya dalam (aksial) sehingga semua batang mengalami perubahan panjang ΔL. Berdasarkan hukum HOOKE, perubahan panjang ΔL akibat gaya aksial (gaya dalam aksial) dapat dirumuskan menjadi :
∆ L =
F . L
(4.16)
E . A
dimana : ΔL : Perubahan panjang pada batang F
: Gaya dalam aksial (GAYA BATANG) akibat beban luar yang bekerja (ton, kg,
N, kN) L
: Panjang batang (m,cm,mm)
E
: Modulus Elastisitas (kg/mm )
A
: Luas penampang batang (m , cm ,mm )
2
2
2
2
• Sehingga akibat beban luar yang bekerja maka pada semua batang akan timbul gaya dalam berupa gaya aksial (GAYA BATANG), disebut F.
• GAYA BATANG pada semua batang (F) daoat dihitung dengan metode cremona, ritter ataupun keseimbangan titik.
Perhatikan gambar (b)
• Untuk mencari defleksi pada titik i, pasang beban satuan pada titik i tersebut dengan arah sembarang (vertikal atau horisontal).
• Akibat beban satuan pada titik I maka pada semua batang akan timbul gaya dalam berupa gaya aksial (GAYA BATANG), disebut u.
• GAYA BATANG pada semua batang (u) dapat dihitung dengan metode cremona, ritter ataupun keseimbangan titik.
Sehinga untuk mencari DEFLEKSI pada Rangka Batang akibat BEBAN LUAR dapat dicari dengan rumus :
∆i = ∑
F .u i . L E . A
(4.17)
Prosedur Analisis :
Analisis Struktur I
24
1. Tentukan struktur rangka batang apakah termasuk dalam struktur statis tertentu, dengan menggunakan rumus: n= 2s – 3 2. Beri nama batang-batang pada struktur tersebut (A untuk batang Atas, B untuk batang bawah, T untuk batang tegak dan D untuk batang diagonal) 3. Hitung panjang masing-masing batang (L). 4. Akibat beban luar yang bekerja, cari reaksi (R) pada tumpuan/perletakan 5. Hitung nilai seluruh gaya batang (F) dengan menggunakan metode analisis gaya batang Cremona, Ritter atau keseimbangan titik. 6. Buang seluruh beban luar yang, kemudian pasang beban 1 satuan pada tempat dan arah sama dengan nilai defleksi yang ingin ditentukan. Misal (seperti pada gambar 4.4) : V
Untuk mencari ΔC , maka pasang beban satuan pada titik hubung D arah vertikal (bisa ke atas maupun ke bawah). 7. Hitung nilai seluruh gaya batang (u) dengan menggunakan metode analisis gaya batang Cremona, Ritter atau keseimbangan titik. 8. Gunakan persamaan (4.17) untuk menghitung defleksi pada tiik yang diinginkan (misal titik D). Untuk mempermudah perhitungan gunakan tabel berikut : Batang
L
E.A
F
ui
F .u i . L
(satuan)
(satuan)
(satuan)
(satuan)
E . A
(satuan) A1
Panjang
Hasil kali E Gaya
batang
dan A
Batang
Gaya batang
Hasil
beban
akibat beban
perhitungan
akibat luar
satuan
F .u i . L E . A
B1
…
…
…
…
…
dst…
…
…
…
…
…
Jumlah dari
F .u i . L E . A
∆i = ∑
F .u i . L E . A
Contoh Perhitungan:
......
Analisis Struktur I
25
4.3.2. Pengaruh Perubahan Suhu
Pada beberapa kasus, batang-batang pada struktur rangka batang akan mengalami perubahan panjang akibat pengaruh perubahan suhu. Perubahan panjang ini dapat didefinisikan dengan rumus :
∆ L = α .∆T . L
(4.18)
dimana : ΔL
: Perubahan panjang pada batang (m, cm, mm)
α
: koefisien pemuaian panas pada batang
ΔT
: Perubahan suhu
L
: Panjang batang (m,cm,mm)
Sehinga untuk mencari DEFLEKSI pada Rangka Batang akibat PERUBAHAN SUHU dapat disubstitusi ke persamaan (3.11) menjadi :
∆ i = ∑ u i .α .∆T .. L
(4.19)
Prosedur Analisis :
1. Tentukan struktur rangka batang apakah termasuk dalam struktur statis tertentu, dengan menggunakan rumus : n = 2s – 3 2. Beri nama batang-batang pada struktur tersebut (A untuk batang Atas, B untuk batang bawah, T untuk batang tegak dan D untuk batang diagonal) 3. Hitung panjang masing-masing batang. 4. Pasang beban 1 satuan pada tempat dan arah sama dengan nilai defleksi yang ingin ditentukan. 5. Hitung nilai seluruh gaya batang (u) dengan menggunakan metode analisis gaya batang Cremona, Ritter atau keseimbangan titik. 6. Gunakan persamaan (4.19) untuk menghitung defleksi pada tiik yang diinginkan. Untuk mempermudah perhitungan gunakan tabel berikut :
Batang
A1
L
α
ΔT
ui
u i .α .∆T .. L
(satuan)
(satuan)
(satuan)
(satuan)
(satuan)
Panjang
Koef.
Perubahan
Gaya batang
Hasil perhitungan
batang
Pemuaian
suhu
akibat beban
u i .α .∆T .. L
panas Analisis Struktur I
satuan 26
B1
…
…
…
…
…
dst…
…
…
…
…
…
Jumlah dari u i .α .∆T .. L
∆ i = ∑ u i .α .∆T .. L
Contoh Perhitungan:
......
4.3.3. Pengaruh Kesalahan Pabrikasi
Selain akibat perubahan suhu, pada beberapa kasus walaupun tidak sering, kesalahan pabrikasi atas material yang digunakan untuk rangka batang dapat terjadi. Misalnya saja batang dapat saja menjadi lebih panjang atau lebih pendek dari yang seharusnya digunakan dalam membuat rangka batang yang sedikit melengkung. Pada kasus jembatan yang dibangun dengan bentuk rangka batang yang batang bawahnya dibuat melengkung, sehingga batang bawahnya dibuat cekung keatas. Ketidaktepatan dimensi panjang batang (lebih pendek atau lebih panjang) (L) dapat menyebabkan defleksi pada rangka batang.yang didefinisikan dengan rumus (4.15) :
Δi =
ui (ΔL)
(4.19)
Dimana : Δi : Defleksi pada titik i (m,cm,mm) ui
: Gaya dalam (aksial) pada bagian struktur (member) akibat berat satuan pada titik
ΔL : Perbedaan panjang pada batang dari ukuran yang disyaratkan.akibat kesalahan pabrikasi (m,cm,mm)
Prosedur Analisis :
1. Tentukan struktur rangka batang apakah termasuk dalam struktur statis tertentu, dengan menggunakan rumus: n= 2s – 3 2. Beri nama batang-batang pada struktur tersebut (A untuk batang Atas, B untuk batang bawah, T untuk batang tegak dan D untuk batang diagonal) 3. Hitung panjang masing-masing batang. 4. Pasang beban 1 satuan pada tempat dan arah sama dengan nilai defleksi yang ingin ditentukan. Analisis Struktur I
27
5. Hitung nilai seluruh gaya batang (u) dengan menggunakan metode analisis gaya batang Cremona, Ritter atau keseimbangan titik. 6. Gunakan persamaan (4.19) untuk menghitung defleksi pada titik yang diinginkan. Untuk mempermudah perhitungan gunakan tabel berikut : Batang
A1
ΔL
ui
u i .∆ L
(satuan)
(satuan)
(satuan)
Perubahan panjang kesalahan
krn
Gaya batang
Hasil perhitungan
akibat beban
u i .∆ L
satuan
pabrikasi B1
…
…
…
dst…
…
…
…
∆ i = ∑ u i .∆L
Contoh Perhitungan:
........
Analisis Struktur I
28
Analisis Struktur I
29
BAB V. TEOREMA CASTIGLIANO Pada tahun 1879 Alberto Castigliano, seorang Italia, mempublikasikan bukunya yang membahas mengenai metode untuk menentukan defleksi atau slope (rotasi) pada struktur, yang bisa berbentuk rangka batang (truss), balok ataupun rangka kaku (frame). Metode ini merujuk pada teorema Castigliano kedua (Metode Beban Minimal), yang hanya dapat diaplikasikan pada struktur yang memiliki temperatur konstan, tidak mengalami penurunan tumpuan dan memiliki respon linier elastis.
Teorema Castigliano Kedua menyebutkan: Perpindahan suatu titik pada struktur adalah sama dengan turunan pertama energi regangan dalam struktur terhadap beban yang bekerja pada titik tersebut dengan arah yang sama dengan perpindahan tersebut .
Dengan cara yang sama : Rotasi suatu titik pada struktur adalah sama dengan turunan pertama energi regangan dalam struktur terhadap momen yang bekerja pada titik tersebut dengan arah yang sama dengan rotasi tersebut.
Untuk menurunkan teorema Castigliano kedua, tinjau suatu badan struktur yang menerima gabungan n beban, yaitu P 1, P2, P3,…Pn. P1 A
P2
P3
1
2
3
∆1
∆2
∆3
B
(a) dP1 A
1 d∆1
2
3
d∆2
d∆3
B
(b)
Gambar 5.1. Teorema Castigliano Kedua
Persamaan ini membuktikan teorema Castigliano bahwa : Perpindahan
i
dalam arah gaya P i sama degan turunan pertama energi regangan terhadap gaya
Pi
Pada gambar (b) Akibat gaya P1, P2 dan P3 menyebabkan perpindahan Δ 1, Δ2, Δ3 pada masing-masing titik 1, 2 dan 3, sehingga menyebabkan kerja luar sebesar : U = ½ P1.Δ1 + ½ P2.Δ2 + ½ P3.Δ3
(5.1)
Bila ditambahkan gaya sebesar dP 1 yang menyebabkan tambahan defleksi sebesar dΔ 1 pada titik 1, dΔ2 pada titik 2, dΔ3 pada titik 3 (gambar b). Maka akan terjadi tambahan kerja luar sebesar dU, yaitu: Analisis Struktur I
23
dU = P1.dΔ1 + P2.dΔ2 + P3.dΔ3 + ½ dP1.dΔ1 ≈ P1.dΔ1 + P2.dΔ2 + P3.dΔ3
(5.2)
Berdasarkan prinsip energi pada persamaan (3.6), nilai : ½ dP1.dΔ ≈ 0
Sehingga total kerja luar pada balok bila diakibatkan oleh gaya-gaya P 1, P2, P3 dan tambahan gaya dP 1 yangbekerja secara simultan adalah: U + dU = ½(P1 + dP1).(Δ1 + dΔ1) + ½ P2.(Δ2 + dΔ2) + ½ P3.(Δ3 + dΔ3)
(5.3)
Substitusikan persamaan (5.1) ke persamaan (5.3) sehingga menjadi : dU = ½ Δ1.dP1 + ½ P1. dΔ1 + ½ dP1. dΔ1 + ½ P2.dΔ2 + ½ P3.dΔ3 ≈ ½ Δ1.dP1 + ½ P1. dΔ1 + ½ P2.dΔ2 + ½ P3.dΔ3
(5.4)
Berdasarkan prinsip energi pada persamaan (3.6), nilai : ½ dP1.dΔ ≈ 0
Selanjutnya substitusikan persamaan (5.2) ke persamaan (5.4), sehingga menjadi: dU = ½ Δ1.dP1 + ½ dU dU = Δ1.dP1
(5.5)
Sehingga bila diterapkan turunan parsial pada persamaan (5.5), menjadi :
∂U = ∆1 ∂P1
(5.6)
5.1. Teorema Castigliano untuk Balok dan F rame
Energi regangan lentur dalam pada balok dan frame diberikan pada persamaan (3.17)
U i =
M
2
∫ 2 EI dx
Substitusikan persamaan tersebut ke persamaan (5.6), sehingga:
∂ L M 2 ∆i = dx ∂Pi ∫0 2 EI Hilangkan subcript i-nya menjadi :
∂ L M 2 ∆= dx ∂P ∫0 2 EI
(5.7)
Bila turunannya diselesaikan,maka persamaannya menjadi :
∂ M dx ∆ = ∫ M ∂P EI L
Analisis Struktur I
(5.8)
24
dimana :
∆
= Perpindahan luar (defleksi ) pada titik yang disebabkan oleh beban sebenarnya pada balok atau frame.
P M
= Gaya yang bekerja pada arah perpindahan ∆ = Momen dalam pada balok atau frame akibat gaya sebenarnnya dan gaya P, dalam fungsi x
E
= Modulus Elastisitas material
I
= Momen inersia potongan penampang .
Jika rotasi atau slope pada suatu titik yang ingin ditentukan, maka tentukan turunan parsial dari momen dalam terhadap momen luar M’ yang bekerja pada titik tersebut.
∂ M dx
L
θ =
∫ M ∂ M ' EI
(5.9)
5.1.1. Prosedur Analisis Metode Castigliano pada Balok dan Frame
Untuk menentukan defleksi ataupun rotasi pada balok maupun rangka kaku ( frame) dengan menggunakan Teorema Castigliano adalah dengan mengikuti prosedur berikut i ni. 1.
2.
f
Pasang Beban fiktif (P ) pada balok -
Letakkan gaya fiktif P pada balok atau frame dititik dan arah dimana perpindahan ingin dicari.
-
Jika rotasi yang ingin ditentukan, letakkan momen fiktif pada titik tersebut. f
Hitung Momen Internal yang akibat Beban bekerja dan Beban Fiktif (P ) -
Tentukan batas-batas wilayah untuk menghitung momen akibat Beban bekerja dan Beban Fiktif f
f
(P ) atau Momen fiktif (M ) dengan menggunakan x sebagai fungsi dari Momen. -
Hitung nilai untuk setiap wilayah xn : M(xn) f
∂ Mx ∂P f -
f
Hitung turunan Mx terhadap Beban Piktif (P ) atau momen fiktif (M ). atau
∂ Mx ∂ M f
Setelah Mx dan turunannya
∂ Mx ∂P f
atau
∂ Mx ∂ M f
f
ditentukan, kembalikan nilai gaya fiktif P = 0
f
atau M =0
3.
Gunakan persamaan teorema Castigliano -
Hitung defleksi dengan menggunakan persamaan castigliano (pers 5.8) atau rotasi dengan menggunakan persamaan castigliano (pers 5.9)
-
Jika hasil integral dari persamaan tersebut positif,
∆
atau θ memiliki arah yang sama dengan
beban fiktif atau dan momen fiktif.
Analisis Struktur I
25
5.1.2. Contoh Perhitungan Metode Castigliano pada Balok dan Frame Contoh 5.1. Balok Kantilever dengan Beban Merata
Tentukan perpindahan (defleksi) pada titik B pada balok kantilever berikut! (Anggap nilai EI seragam sepanjang balok)
q kN/m'
A
B Lm
Solusi: 1.
f
Pasang Beban fiktif (P ) pada balok f
Untuk menentukan defleksi pada titik B, pasang beban fiktif (P ) dengan pemisalan arah ke ba wah.
Pf
q kN/m'
A
B Lm
2.
f
Hitung Momen Internal akibat Beban bekerja dan Beban Fiktif (P ) - Tentukan x dari sisi kanan balok.
Pf
q kN/m'
A
B x
- Hitung momen dalam M(x), f
Mx = -(P .x + qx. (½ x)) f
= -P x – ½ qx -
2 f
Hitung turunan Mx terhadap P
∂ Mx = − x ∂P f -
Setelah Mx dan turunannya Mx = - ½ qx
3.
∂ Mx ditentukan, kembalikan nilai gaya fiktif ∂P f
f
P = 0.
2
Hitung defleksi dengan menggunakan persamaan castigliano (pers 5.8) L dx ∂ Mx dx ∆ B = ∫ Mx f = ∫ (− 1 2 qx 2 )(− x ) EI ∂P EI 0 0 L
= 1
. 1 qx 2 EI 4
3
L 0
3
=
qL
8 EI
Analisis Struktur I
26
Nilai defleksi + sehingga arahnya searah dengan arah Gaya fiktif P (↓) f
Contoh 5.2. Balok Kantilever dengan beban Terpusat
Tentukan slope (rotasi) pada titik B pada balok kantilever berikut! (Anggap nilai EI seragam sepanjang balok)
P kN
A
B
C
L/2 m
L/2 m
Solusi: 1.
f
Pasang Momen fiktif (M ) pada balok f
Untuk menentukan rotasi pada titik B, pasang momen fiktif (M ) dengan pemisalan searah jarum jam.
P kN
Mf
A
B
C
L
2.
f
Hitung Momen Internal yang akibat Beban bekerja dan Momen Fiktif (M ) -
Tentukan batas-batas wilayah untuk menghitung momen akibat Beban bekerja dan Momen fiktif f
(M ) dengan menggunakan x sebagai fungsi dari Momen.
P kN
Mf
A
B
C
L
- Hitung nilai untuk setiap wilayah xn : M(xn) dan tentukan x dari sisi kiri balok.
P kN
Mf
A
C
B x1
x2
Untuk wilayah 1 (x1) : 0 ≤ x1 ≤ L/2 Mx1 = -P.x1 Untuk wilayah 2 (x2) : 0 ≤ x2 ≤ L/2 Mx2 = -P.( ½ L + x2 )+ M
-
f
Hitung turunan Mx terhadap M
∂ Mx1 =0 ∂ M f -
f
dan
∂ Mx 2 =1 ∂ M f
Setelah Mx dan turunannya
Analisis Struktur I
∂ Mx ∂ M f
ditentukan,kembalikan nilai momen fiktif
27
f
M = 0. Mx1 = -P.x1 dan
3.
Mx2 = -P.( ½ L + x2 )
Hitung rotasi dengan menggunakan persamaan castigliano (pers 5.9 )
∂ Mx dx = ∫ Mx = f EI M ∂ 0 L
θ B
L / 2
=
∫
( − Px1 )(0 )
0
=
−
PLx
2
−
2 EI
=
−
4 EI
+
EI
Px 2
∫ 0
. 0
2
−
dx L ( − P( + x 2 ))(1) 2 EI 2
L / 2
2
2 EI
2
PL
L / 2
dx1
L / 2 ∂ Mx1 dx1 ∂ Mx dx ∫0 ( Mx1 ) ∂ M f EI + ∫0 ( Mx2 ) ∂ M f 2 EI 2
L / 2
PL
8 EI
=
−
3PL2 8 EI f
Nilai rotasi negatif sehingga arah rotasi berlawanan dengan arah M fiktif (M ).
Contoh 5.3. Balok Tumpuan Sederhana
Tentukan perpindahan (defleksi) pada titik C pada balok tumpuan sederhana berikut! (Anggap nilai EI seragam sepanjang balok)
q kN/m'
PkN B
A L/2 m
L/2 m
Solusi: 1.
f
Pasang Beban fiktif (P ) pada balok f
Untuk menentukan defleksi pada titik C, pasang beban fiktif (P ) dengan pemisalan arah ke ba wah.
q kN/m'
PkN Pf B
A L/2 m
2.
L/2 m f
Hitung Momen Internal yang akibat Beban bekerja dan Beban Fiktif (P ) f
- Tentukan batas-batas wilayah untuk menghitung momen akibat Beban bekerja dan Beban Fiktif (P ) dengan menggunakan x sebagai fungsi dari Mo men.
Analisis Struktur I
28
q kN/m'
PkN Pf B
A
x2
x1 V A = ½ P + ½ P f + 3/8 qL
-
VB = ½ P + ½ P f + 1/8 qL
Hitung nilai untuk setiap wilayah xn : M(xn) dan tentukan x dari sisi kiri maupun kanan balok Untuk wilayah 1 (x1) : 0 ≤ x1 ≤ L/2 f
2
Mx1 = (½ P + ½ P + 3/8 qL ).x1- ½ q.x1
Untuk wilayah 2 (x2) : 0 ≤ x2 ≤ L/2 f
Mx2 = -(- (½ P + ½ P + 1/8 qL).x2)
-
f
Hitung turunan Mx terhadap P
∂ Mx1 x1 = 2 ∂P f -
∂ Mx 2 x2 = 2 ∂P f
dan
Setelah Mx dan turunannya
∂ Mx ditentukan, kembalikan nilai gaya fiktif ∂P f
Mx1 = ½ Px1 + 3/8 qLx1- ½ q.x1
f
P = 0.
2
Mx2 = ½ Px2 + 1/8 qLx2
3.
Hitung defleksi dengan menggunakan persamaan castigliano (pers 5.8)
∂ Mx dx ∆ C = ∫ Mx f = EI ∂ P 0 L
L / 2 ∂ Mx1 dx1 ∂ Mx2 dx2 ( ) ( ) + Mx Mx ∫0 1 ∂P f EI ∫0 2 ∂P f EI
L / 2
L / 2
∫
=
0
( 1 Px1 2
P
= 1
+
x 12 EI 1
=
(1
−
3
q
3
x1 dx1 1 qx 2 ) 1 2 2 EI q
+
∫ 0
( 1 Px2 2
L / 2
+ 48 Lx − 116 x EI EI 3 1
L / 2
4 1 0
+ 112
x dx + 18 qLx2 ) 2 2 2 EI
P EI
x2 + 1 3
q
Lx 48 EI
L / 2 3 2 0
q 4 1 q 4 q 4 P 3 1 L3 + 1 L − L ) + 1 L + L 96 EI 128 EI 256 EI 96 384 EI EI P
4
3
=
3 qLx 1 8
PL
48 EI
+
5qL
768 EI
Nilai defleksi + sehingga arahnya searah dengan arah Gaya fiktif P (↓) f
Contoh 5.4. Rangka dengan Beban Merata
Tentukan slope (rotasi) pada titik C pada rangka berikut! (Anggap nilai EI seragam sepanjang rangka)
Analisis Struktur I
29
q kN/m' B
C Lm
Lm
A
600
Solusi: 1.
f
Pasang Momen fiktif (M ) pada frame f
Untuk menentukan rotasi pada titik C, pasang momen fiktif (M ) dengan pemisalan searah jarum jam.
q kN/m' C
B
Mf
Lm
Lm
A 2.
600
f
Hitung Momen Internal akibat Beban bekerja dan Momen Fiktif (M ) -
Tentukan batas-batas wilayah untuk menghitung momen akibat Beban bekerja dan Momen fiktif f
(M ) dengan menggunakan x sebagai fungsi dari Momen.
q kN/m'
x2 Lm
C
B x1
Mf
Lm
A
600
- Hitung nilai untuk setiap wilayah xn : M(xn) dan tentukan x dari sisi kanan balok. Untuk wilayah 1 (x1): 0 ≤ x1 ≤ L m 2
f
Mx1 = -( ½ qx1 + M ) Untuk wilayah 2 (x2): 0 ≤ x2 ≤ L m f
Mx2 = -( qL (x2 cos60 + L/2) + M ) f
= -( qL (x2 /2 + L/2) + M )
-
f
Hitung turunan Mx terhadap M
∂ Mx1 = −1 ∂ M f -
dan
∂ Mx 2 = −1 ∂ M f
Setelah Mx dan turunannya
Analisis Struktur I
∂ Mx ∂ M f
ditentukan,kembalikan nilai momen fiktif
30
f
M = 0. 2
Mx1 = - ½ qx1
3.
2
dan
Mx2 = - ½ qLx2 - ½ qL
Hitung rotasi dengan menggunakan persamaan castigliano (pers 5.9 ) L L ∂ Mx1 dx1 ∂ Mx2 dx2 ∂ Mx dx = ∫ Mx = ∫ Mx1 + ∫ Mx2 f f f EI EI EI M M M ∂ ∂ ∂ 0 0 0 L
θ B L
=
∫ 0
dx1
(− 1 qx )(− 1) 2 EI 2 1
=
=
=
1
q 6 EI
+1
3 0
L3 + 1
dx
+ ∫ (− 1 2 qLx 2 − 1 2 qL2 )(− 1) 2 EI 0
L
q
x 6 EI 1
(1
L
q
q
L
Lx + 1 L x 2 4 EI 2 2 EI q
4 EI
2
L3 + 1
q 2 EI
2
0
L3 )
11qL3 12 EI f
Nilai rotasi positif sehingga arah rotasi searah dengan arah M fiktif (M ).
Latihan 5.1.
1.
Dengan menggunakan metode Castigliano, tentukan defleksi pada titik B dan rotasi pada titik A dimana nilai EI seragam sepanjang balok! PkN C
A
B L/2 m
2.
L/2 m
Dengan menggunakan metode Castigliano, tentukan defleksi dan rotasi pada titik C dimana nilai EI seragam sepanjang balok! 2PkN B
A
D Lm
3.
PkN
C
Lm
Lm
Dengan menggunakan metode Castigliano, tentukan rotasi pada titik A dimana nilai EI seragam sepanjang balok! B A M
4.
Lm
E Lm
C Lm
D Lm
M
Dengan menggunakan metode Castigliano, tentukan defleksi vertikal dan horisontal pada titik C dimana nilai EI seragam I seluruh struktur frame!
Analisis Struktur I
31
q kN/m' B
C Lm
Lm
A
Analisis Struktur I
32
5.
Dengan menggunakan metode Castigliano, tentukan defleksi
pada titik A dimana nilai EI
seragam di seluruh struktur frame! 4m 10 kNm
A
B
6m
C
5.2. Teorema Castigliano untuk Rangka Batang ( Truss)
Berdasarkan persamaan (5.6), berupa persamaan defleksi dengan metode Castigliano :
∂U = ∆1 ∂P1 Persamaan energi yang berlaku pada struktur akibat gaya aksial sesuai dengan persamaan (3.15) Maka U i
=
F 2 . L
2 EA
Substitusikan persamaan (3.15) tersebut ke persamaan (5.6), sehingga diperoleh:
∂ ∆i = ∂Pi
F 2 L 2 EA
2 F . L ∂F ∆i = 2 EA ∂Pi ∆i =
F . L ∂F EA ∂Pi
………….
(5.9)
5.2.1. Prosedur Analisis Metode Castigliano pada Rangka Batang (Truss)
Untuk menentukan defleksi pada rangka b atang (truss) dengan menggunakan Teorema Castigliano adalah dengan mengikuti prosedur berikut ini. 1.
Tentukan struktur rangka batang apakah termasuk dalam struktur statis tertentu, dengan menggunakan rumus: n= 2s – 3
2.
Beri nama batang-batang pada struktur tersebut (A untuk batang Atas, B untuk batang bawah, T untuk batang tegak dan D untuk batang diagonal).
3.
Hitung panjang masing-masing batang (L) dan tentukan pula nilai luas penampang masing-masing batang (A).
4.
f
Pasang Beban fiktif (P ) pada rangka batang tersebut. -
Letakkan gaya fiktif P pada rangka batang dititik simpul dan arah dimana perpindahan ingin dicari.
Analisis Struktur I
33
5.
f
Hitung Gaya Batang Total (F) akibat Beban bekerja dan Beban Fiktif (P ) dengan menggunkan metode cremona , ritter atau Keseimbangan Titik Kumpul (KTK).
6.
f
Hitung turunan gaya F terhadap Beban Piktif (P )
∂F ∂P f f
7. 8.
Setelah diturunkan, kembalikan nilai gaya fiktif P = 0 Gunakan persamaan teorema Castigliano -
Hitung defleksi dengan menggunakan persamaan castigliano (pers 5.9)
-
Jika hasil defleksi dari persamaan tersebut positif, berarti
∆
memiliki arah yang sama dengan
beban fiktif .
Contoh Perhitungan Metode Castigliano pada Rangka Batang ( Truss)
1.
Hitunglah nilai defleksi di titik D arah verttikal pada struktur rangka batang berikut!
Penyelesaian: 1.
Tentukan rangka batang berikut adalah struktur statis tertentu, lalu beri nama dan hitung panjang batangnya (L).
n = 2s-3 5=2x4–3 5 = 5 (oke!)
2.
f
Pasang Beban fiktif (P ) pada rangka batang tersebut, letakkan gaya fiktif P pada rangka batang dititik simpul D dan arah vertikal, lalu Hitung Gaya Batang Total (F) akibat Beban bekerja dan f
f
Beban Fiktif (P ), Hitung turunan gaya F terhadap Beban Piktif (P )
∂F ∂P f
, dan kembalikan gaya
f
betang sebenarnya dengan mengganti P =0.
Analisis Struktur I
34
P P f V A = V B = + 2 2
H A = 0
Untuk menghitug gaya batang gunakan metode Keseimbangan Titik Kumpul: Tinjau titik A
∑ Fy = 0 V A + A1 sin 45 = 0 (
P 2
+
P
f
2 (
) + A1 sin 45 = 0
P
A1 = − 2 1 A1 = −
P 2
+
P
f
2
)
2
2 2
−
P
f
2
2
Karena simetris, A2
= A1
∑ Fx = 0 B1 + A1 cos 45 = 0 f P P 2− B1 + − 2 2
B1 =
P 2
+
P
1 2 = 0 2
2
f
2
Karena simetris, B2
= B1
Tinjau titik D
∑ Fy = 0 T − P f = 0
T = P
f
Analisis Struktur I
35
Batang
Gaya Batang total (F)
dF
Gaya Batang
dP f
sebenarnya (F)
A1
A2
−
P
−
P
B1
2
2
2
2
P 2
B2
P 2
T
3.
−
P
−
P
2
+ +
P
P
−
1
2
−
1
f
2
P
2
f
f
2 f
2 f
Hitung defleksi pada titik D dengan rumus:
Batang
L
EA
∆ D = F
A2
B1
B2
T
L 2 L 2 L
EA
EA
−
P
−
P
L
EA
EA
2
2
P
2
−
P
2
2
1
P
2
2
1
0
dP 2
−
1
2
−
1
2
2
F
f
2
2
∂F L ∂P f EA PL
2 EA
PL 2 EA
P
1
PL
2
2
4 EA
P
1
PL
2
2
4 EA
0
1
0
PL 2 EA
Analisis Struktur I
∆ D =
PL 2 EA
+
2
2
P
dF
Total :
Sehingga nilai defleksi pada titik D:
2
2
1
Gaya Batang
EA
L
2
−
∂F L ∂P f EA
(F) A1
2
2
PL 2 EA
+
2
2
PL 2 EA
(arah defleksi ke bawah)
36
2.
Hitunglah nilai defleksi di titik B arah horisontal pada struktur rangka batang berikut!
Penyelesaian: 1.
Rangka batang sama dengan rangka batang di atas, sehingga L dan EA sama
2.
Pasang Beban fiktif (P ) pada rangka batang tersebut, letakkan gaya fiktif P pada rangka batang
f
dititik simpul B arah horisontal, lalu Hitung Gaya Batang Total (F) akibat Beban bekerja dan f
∂F ∂P f
f
Beban Fiktif (P ), Hitung turunan gaya F terhadap Beban Piktif (P )
, dan kembalikan gaya
f
betang sebenarnya dengan mengganti P =0.
P P f V A = − 2 2
(
H A = − P f (
)
P P f V B = + 2 2
)
(
)
Untuk menghitug gaya batang gunakan metode Keseimbangan Titik Kumpul: Tinjau titik A
∑ Fy = 0 V A + A1 sin 45 = 0
(
P
2
−
P
f
2 (
A1 = −
) + A1 sin 45 = 0 P 2 1
− P f ) =− 2
Analisis Struktur I
2
P
2
2+
P
f
2
2
37
∑ Fx = 0 − P f + B1 + A1 cos 45 = 0 f P 1 P − P + B1 + − 2+ 2 2 = 0 2 2 2 f
P
− P + B1 − f
B1 =
P
2
+
P
P
+
2
f
2
=0
f
2
Tinjau titik D
∑ Fy = 0 T = 0
∑ Fx = 0 − B1 + B2 = 0 B2 =
P 2
+
P
f
2
Tinjau titik C
∑ Fy = 0 V B + A2 sin 45 = 0 (
(
P
A2 = − 2 1
A2 = −
P
2
+ 2
P f 2 2
2−
Analisis Struktur I
P 2
+
P
f
2
) + A2 sin 45
=0
)
P
f
2
2
38
Batang
Gaya Batang total (F)
dF
Gaya Batang
dP f
sebenarnya (F)
A1
P
−
A2
2
−
B1
P 2
2+ 2−
Pf
P
2 B2
P
2 T
3.
f
P
2 2
+
P
+
P
2
2 2
A1
A2
B1
B2
T
L 2
L 2 L
EA
EA
f
2 f
2
EA
L
L
2
2
1
P
2
2
0
0
∆ B = F
dP f
−
EA
EA
P
2
2
2
2
2
2
2 P
(F)
2
P
2
2
1
dF
P
−
2
Gaya Batang
−
EA
2
−
Hitung defleksi pada titik B horisontal dengan rumus:
L
P
2
0
Batang
−
−
2 2
∂F L ∂P f EA ∂F L ∂P f EA
F
−
PL
2
EA
PL EA
2
P
1
PL
2
2
4 EA
P
1
PL
2
2
4 EA
0
0
0
Total :
PL 2 EA
Sehingga nilai defleksi pada titik B horisontal:
∆ B =
PL 2 EA
Dari hasil perhitungan diperoleh bahwa akibat beban vertical ke bawah, defleksi pada titik B arah horizontal terjadi sebesar
Analisis Struktur I
PL 2 EA
Dengan arah ke kanan.
39
Analisis Struktur I
40
BAB I STRUKTUR RANGKA BATANG (Truss) 1.1. Pendahuluan
Ada banyak jenis tipe struktur yang digunakan pada bangunan teknik sipil. Salah satunya adalah struktur rangka batang ( Truss). Struktur rangka batang terbentuk dari susunan elemen batang yang dihubungan dengan jenis penghubung sendi, yang biasanya terangkai dalam bentuk segitiga dan hanya mampu dibebani oleh beban aksial.
Elemen batang adalah elemen yang bentuknya paling sederhana karena sifat fisiknya yang relatif pendek, prismatis, langsing dan lurus. Disebut elemen batang karena sifatnya yang hanya mampu menahan beban aksial saja. C
C
(a) T
T
(b)
Gambar 1.1. Elemen batang
Pada gambar diatas (a) ditunjukkan bahwa akibat gaya aksial tekan, batang mengalami gaya batang yang nilainya senilai gaya tersebut, yaitu : BATANG TEKAN (Compression (C))
Sedangkan gambar (b) menunjukkan bahwa akibat gaya aksial tarik, batang mengalami gaya batang yang nilainya senilai gaya tersebut, yaitu : BATANG TARIK (Tension (T))
Apabila batang tersebut dirangkai dengan jumlah minimal 3 batang yang membentuk segitiga dan dengan titik hubung berupa sendi maka akan terbentuk “ STRUKTUR RANGKA BATANG (Truss)
Gambar 1.2. Struktur rangka batang sederhana Analisis Struktur II
1
1.2. Penggunaan Rangka Batang pada Struktur
Jenis struktur rangka batang ada banyak disekitar kita, yaitu paling banyak digunakan pada struktur atap dan jembatan. Menurut sejarah penggunaan rangka batang ini pertama kali digunakan oleh bangsa Romawi pada penggunaan rangka batang kayu pada struktur jembatan dan atap. Penggunaannya kemudian dipopulerkan oleh berbagai bangsa di dunia pada tahun 1700-an. Terutama untuk penggunaan pada struktur jembatan, yaitu dengan menggunakan material kayu dan baja.
Akhirnya seiring dengan berjalannya waktu dan meningkatnya berbagai kebutuhan, struktur rangka batang dengan material kayu ditinggalkan pada akhir abad ke-19, karena orang telah menemukan material yang lebih menguntungkan dalam segi penggunaanya.
Gambar 1.3. Elemen batang sebagai elemen kolom dan elemen balok kolom Sumber: Hibbeler, R.C.(2002)
Jembatan rangka baja lebih disukai karena lebih mungkin untuk penggunaan bentang panjang. Begitu pula penggunaan struktur rangka batang untuk atap. Orang lebih mungkin untuk memakainya pada struktur dengan bentang besar. Berdasarkan kebutuhan pun akhirnya muncul banyak konfigurasi bentuk rangka batang dengan pertimbangan kebutuhan akan efisiensi. (Gambar 1.6 dan 1.9)
Titik hubung pada rangka batang berupa sendi yang dalam kenyataannya biasanya dibuat dengan menggunakan las, paku keling dan baut. (gambar 1.4)
Analisis Struktur II
2
Gambar 1.4. Titik hubung pada struktur rangka batang baja Sumber: Hibbeler, R.C.(2002)
1.2.1. Rangka Batang Atap
Struktur Atap yang terbuat dari rangka batang ( Roof Truss) biasanya digunakan untuk bangunan industri yang memerlukan bentangan yang besar (Gambar 1.5).
Gambar 1.5. Struktur Rangka Atap Sumber: Hibbeler, R.C.(2002)
Ada banyak tipe rangka atap yang penggunaannya dipilih dengan berdasarkan atas panjang bentang (span), kemiringan dan jenis penutup atap. Beberapa yang umum digunakan ditunjukkan pada gambar 1.6.
Analisis Struktur II
3
Gambar 1.6. Jenis Rangka Batang untuk Atap Sumber: Hibbeler, R.C.(2002)
Analisis Struktur II
4
Tabel 1.1. Jenis Rangka Atap dan kegunaannya Jenis Atap
Penggunaan
Scissors
Bentang Pendek dan keleluasaan pada bagian atas
Howe dan Pratt
Bentang Moderat (18 -30 m)
Fan dan Fink
Bentang > 30 m
Cambered Fink
Bentang > 30 m
Warren
Atap datar (kemiringan landai)
sawtooth
Digunakan pada pabrik textil yang membutuhkan penerangan yang baik
bowstring
Digunakan untuk garasi dan hangar pesawat kecil
three-hinged arch
Bangunan tinggi dan bentang panjang
(mis: tempat
senam) Sumber: Hibbeler, R.C.(2002)
1.2.2. Rangka Batang Jembatan
Elemen struktural utama dari tipikal rangka jembatan ditunjukkan pada gambar 1.7 berikut.
Gambar 1.7. Struktur Rangka Jembatan Sumber: Hibbeler, R.C.(2002)
Beban pada plat lantai jembatan ( deck ) diteruskan ke balok anak ( stringers) yang kemudian diteruskan ke balok induk ( floor beam) lalu ke dua perletakan di kedua ujung
Analisis Struktur II
5
jembatan. Batang Atas (top chord ) dan bawah ( bottom chord ) rangka jembatan pada tiap sisinya dihubungkan oleh lateral bracing bagian atas dan bawah untuk menahan beban lateral yang diakibatkan oleh angin dan pergerakan kendaraan pada arah sidesway. Sebagai tambahan kestabilan ditambahkan portal dan sway bracing. Rangka
jembatan tersebut ditumpu oleh 2 perletakan sendi rol. Tumpuan rol pada salah satu ujungnya berfungsi terhadap ekspansi suhu .
(b)
(a)
Gambar 1.8. Tumpuan Sendi (a) dan Rol (b) pada Struktur Jembatan Sumber: Hibbeler, R.C.(2002)
Ada banyak tipe rangka jembatan yang penggunaannya dipilih dengan berdasarkan atas panjang bentang (span) . Seperti yang dijelaskan di tabel 1.2, beberapa tipe yang umum digunakan ditunjukkan pada gambar 1.9.
Tabel 1.2. Jenis Rangka Jembatan dan kegunaannya Jenis Atap Pratt, Howe dan Warren Parker
Penggunaan Bentang sampai dengan 61 m Bentang > 61 m, lebih hemat dalam pengguanan bahan
Baltimore
Bentang > 91 m
Subdivided-Warren
Bentang > 91 m
K-truss
Bentang > 91 m
Sumber: Hibbeler, R.C.(2002)
Analisis Struktur II
6
Gambar 1.9. Jenis Rangka Batang untuk Jembatan Sumber: Hibbeler, R.C.(2002)
Analisis Struktur II
7
BAB II ANALISIS PADA STRUKTUR RANGKA BATANG
2.1. Prinsip Umum pada Rangka Batang 2.1.1. Pembentukan Segitiga
Rangka batang adalah susunan elemen-elemen linier yang membentuk segitiga atau kombinasi segitiga sehingga membentuk rangka yang tidak dapat berubah bentuk apabila diberi beban luar tanpa adanya perubahan bentuk pada satu atau lebih batangnya. Setiap elemen dianggap tergabung pada titik hubung berupa sendi, dimana semua beban dan reaksi terjadi pada titik hubung tersebut,
Prinsip yang utama bahwa koinfigurasi segitiga tersebut harus berada pada kondisi stabil.
(a) Konfigurasi Tidak Stabil
(b) Konfigurasi Stabil
(c) Gaya Batang
Gambar 2.1. Susunan Batang yang Stabil dan Tidak Stabil Sumber: Schodek (1995)
Gambar
(a)
menunjukkan
struktur
yang
tidak
stabil,
garis
putus-putusnya
menunjukkan mekanisme runtuhnya ( collapse), bila dibebani. Bentuk tersebut dapat dengan mudah berubah bentuk atau runtuh bila dibebani tanpa adanya perubahan panjang pada setiap batangnya.
Gambar (b) menunjukkan struktur yang stabil, tidak dapat berubah bentuk atau runtuh
seperti gambar (a). Bentuk segitiga lebih stabil, karena deformasi yang diakibatkan beban luar bersifat minor dan diasosiasikan dengan perubahan panjang pada tiap batangmya. Selain itu ditunjukkan juga dengan tidak adanya perubahan sudut antara dua batang bila struktur tersebut dibebani. (Bandingkan dengan (a) yang perubahan sudutnya besar sekali).
Analisis Struktur II
8
Gambar (c) menunjukkan gaya batang yang terjadi pada struktur stabil akibat beban
luar yang bekerja. Gaya-gaya batang yang dapat terjadi adalah tarik dan tekan (pada gambar (c) gaya tekan semua). Tidak ada lentur pada struktur tersebut.
2.1.2. Konfigurasi
Karena susunan segitiga dari batang-batang adalah bentuk yang stabil, maka sembarang susunan segitiga juga akan membentuk struktur yang stabil dan kaku seperti pada gambar 2.2.
(a) Konfigurasi Stabil
C C
T T
C C
T
C
C C
T
T T
C
T
C
T
(a) Gaya tarik (T) dan Gaya Tekan (C) pada batang akibat beban yang bekerja pada simpul
Gambar 2.2. Struktur Rangka Batang dengan konfigurasi segitiga
Ide ini merupakan prinsip dasar penggunaan rangka batang pada gedung karena bentuk yang kaku yang lebih besar untuk sembarang geometri dapat dibuat dengan memperbesar segitiga tersebut.
Pengaruh beban luar pada struktur adalah berupa gaya tarik atau tekan murni pada setiap batangnya. Pola tarik dan tekan pada masing-masing batang dapat berubah tergantung bagaimana beban luar bekerja. Pada gambar 2.2.b, dimana rangka batang hanya menerima beban vertikal saja , maka pada seluruh batang atas mengalami gaya tekan dan seluruh batang bawah mengalami gaya tarik. Beban luar hanya bekerja pada titik hubung batang berupa beban terpusat. Bila beban bekerja pada batang, akan timbul tegangan lentur sehingga dapat mengakibatkan desain batang menjadi lebih rumit dan efisiensi keseluruhan batang menjadi berkurang.
Analisis Struktur II
9
2.1.3. Gaya Batang
Pada rangka batang yang sederhana, gaya-gaya dalam pada setiap batang (selanjutnya disebut GAYA BATANG) dapat ditentukan dengan teknik yang berguna dengan gambaran bagaimana rangka batang tersebut memikul beban.
Salah satu caranya adalah dengan:
Menggambarkan
bentuk deformasi yang mungkin terjadi pada struktur yang akan
terlihat apabila batang yang hendak diketahui sifat gayanya tidak ada. Dengan demikian sifat gaya berupa tarik atau tekan dari batang tersebut dapat diketahui dengan analisis mengenai pencegahan deformasi tersebut. (Perhatikan gambar 2.3) Rangka Batang A F
E
Rangka Batang B F
D
(a)
E
D
B
B C
A
C
A
B
B
F
D
E
(b) C
A B
C C
(c)
T
C C
0
T
C
0
0
F
(d)
0 C
C
0
C
T
0
T
E
D
T
0
C
T A
C C
B
Gambar 2.3. Metode Pendekatan untuk Menentukan Gaya Batang pada Rangka Batang sederhana
Analisis Struktur II
10
Gambar (a) : Susunan rangka batang dasar (Perhatikan perbedaan letak batang
diagonal rangka batang A dan B. Gambar (b) : Sifat gaya (tarik atau tekan) batang diagonal dapat ditentukan dengan
mula-mula membayangkan batang tersebut tidak ada dan melihat kecenderungan deformasi rangka batang tersebut. Jadi, diagonal yang terletak diantara B dan F pada rangka batang A mengalami tarik karena berfungsi mencegah menjauhnya titik B dan F Gambar (c) : Distribusi gaya batang pada rangka batang tersebut C = gaya tekan (Compression) T = gaya tarik (Tension) Gambar (d) : Analogi “kabel” atau ”pelengkung” dapat digunakan untuk menentukan
sifat tarik atau tekan gaya batang. Pada rangka batang A, batang FBD dibayangkan sebagai “kabel”, dan tentu saja mengalami tarik (T). Batangbatang lainnya berfungsi mempertahankan keseimbangan konfigurasi “kabel” dasar tersebut.
Tetapi untuk rangka batang yang lebih rumit tetap harus memerlukan analisis yang bersifat kuantitatif yang akan dijelaskan pada bagian ANALISIS RANGKA BATANG berikut ini..
2.2. Analisis Rangka Batang 2.2.1. Stabilitas
Syarat pertama yang harus dipenuhi pada analisis rangka batang adalah : Apakah rangka batang tersebut memiliki konfigurasi yang stabil atau tidak? Hal ini penting karena keruntuhan total dapat terjadi apabila struktur yang tidak stabil dibebani.
E
E
F
D
F
D
B C
A
C
A B
(a)
(b)
Gambar 2.4. Konfigurasi Batang Stabil dan Tidak Stabil
Analisis Struktur II
11
Secara umum setiap rangka batang yang merupakan susunan bentuk dasar segitiga merupakan struktur yang stabil (Gambar 2.4).
C
B
A
Gambar 2.5. Rangka Batang Stabil dengan Pola Batang Bukan Segitiga
Tetapi perlu diperhatikan ada juga rangka batang dengan pola batang yang tidak segitiga dihubungkan tetapi tetap merupakan struktur yang stabil (Gambar 2.5)
Perhatikan gambar 2.5! Kelompok segitiga diantara A dan C membentuk pola kaku, begitu juga diantara B dan C sehingga posisi relatif C ke titik A dan B dapat dipertahankan, yang berarti rangka batang tersebut stabil. Kumpulan segitiga diantara A dan C dapat dipandang sebagai “batang”, begitu pula diantara B dan C.
A
F
E
B
C
D
Gambar 2.6 Rangka Batang dengan Jumlah Batang Melebihi yang Diperlukan untuk Kestabilan Ada juga jenis rangka batang yang menggunakan batang melebihi minimum yang diperlukan
untuk
kesetabilan.
Jenis
rangka
ini
memiliki
kelebihan
batang
( REDUNDANT ) (Gambar 2.6). Salah satu batang diagonalnya dianggap sebagai redundant . Apabila salah satu dibuang maka struktur tetap akan stabil. Jenis ini
termasuk dalam kategori STRUKTUR STATIS TAK TENTU .
Untuk memudahkan kita dalam menentukan apakah strutur rangka batang tersebut stabil atau tidak kita bisa menggunakan rumusan : n = 2s – 3
Analisis Struktur II
(2.1)
12
dimana : n
: jumlah batang
s
: jumlah simpul
Dengan rumus diatas kita bisa menentukan jenis sifat struktur, yaitu: Bila n < 2s – 3
: Struktur Tidak Stabil
Bila n = 2s – 3
: Struktur Stabil (Struktur Statis Tertentu)
Bila n > 2s – 3
: Struktur Statis Tak Tentu (Memiliki Redundan)
Dalam hal pembagian struktur rangka batang berdasarkan sifat statisnya, dapat dibedakan menjadi 1. Struktur statis tertentu Ciri
:-
n = 2s – 3 R =3
( R = Reaksi Perletakan)
2. Struktur statis tak tentu a. Struktur statis tak tentu dalam Ciri
: -
n > 2s – 3 R =3
b. Struktur statis tak tentu luar Ciri
: -
n = 2s – 3 R >3
c. Struktur statis tak tentu luar dan dalam Ciri
: -
n > 2s – 3 R >3
Latihan 2.1:
Tentukan jenis struktur rangka batang pada gambar 1.6 dan 1.9, apakah statis tertentu atau statis tak tentu dalam, luar atau luar dan dalam ?
2.2.2. Perhitungan Gaya Batang
Penentuan gaya batang dapat dilakukan seperti pada bagian (2.1.3), tetapi pada struktur yang lebih rumit hal tersebut sulit dilakukan. Sehingga kita membutuhkan metode perhitungan analisis struktur.
Analisis Struktur II
13
Prinsip yang mendasari semua jenis perhitungan gaya batang dari suatu rangka batang adalah : Keseimbangan terjadi pada Setiap Bagian dari struktur atau Secara Keseluruhan dari Struktur
Apabila struktur rangka batang stabil dan termasuk dalam kategori statis tertentu, maka penentuan gaya batang dapat dilakukan dengan berbagai metode perhitungan dengan menggunakan persamaan dasar keseimbangan, yaitu :
Fx = 0 Fy = 0 Mi = 0
(2.2)
Adapun metode-metode perhitungan yang dapat digunakan antara lain, Metode Cremona, metode Ritter, Metode Keseimbangan Titik Kumpul.
Analisis Struktur II
14
2.3. Metode Cremona Metode cremona adalah metode perhitungan gaya batang pada struktur rangka batang
dengan cara grafis dengan yang berdasarkan keseimbangan gaya pada setiap titik kumpul. P ton
B
A1
Lm
A2 T B1
A
C
B2
D Lm
Lm
(a) Rangka Batang Statis Tertentu
P ton
V A
B A1
Lm
A2
0
A1
B2,B1
T
B1
A H A= 0
VC
C
B2
A2
D V A = P/2
VC= P/2 Lm
P
Lm (b) Gaya Batang
(b) Cremona
Gambar 2.7. Perhitungan Gaya Batang dengan Cremona
Adapun langkah-langkah perhitungannya adalah: 1. Cari reaksi perletakan pada gambar (a) 2. Tentukan skala (Cremona : Gaya Batang, misal 1 cm = 1P) 3. Tinjau struktur secara keseluruhan (gambar b), gambarkan seluruh garis gaya (Gaya Luar dan Reaksi Perletakan) sesuai dengan besar dan arahnya dengan mengikuti skala yang telah ditentukan. Mulai dari satu titik simpul untuk selanjutnya ke titik simpul yang lain searah dengan jarum jam sampai membentuk loop tertutup, dan buat tanda arahnya (tanda panah) (gambar c). 4. Setelah
tergambar
menggambarkan
seluruh
garis
gaya
garis
gaya,
batang
tinjau
pada
titik
setiap
titik
simpul
simpul
tersebut
untuk dengan
memperhatikan:
Analisis Struktur II
15
a. Titik simpul yang ditinjau memiliki maksimal 2 gaya batang atau reaksi yang belum diketahui. b. Gambarkan garis gaya batang/reaksi tersebut pada gambar cremona sesuai dengan tempatnya sehingga membentuk loop tertutup, tanpa membuat tanda arahnya, tapi cukup diberi nama saja (gambar c). c. Arah garis gaya pada simpul yang ditinjau tadi pindahkan ke gambar strukturnya pada posisis dekat dengan tittik simpul yang ditinjau (gambar b). d. Arah panah pada ujung batang dekat dengan titik simpul yang ditinjau bisa berupa arah menuju titik simpul atau meninggalkan titik simpul. Bila pada ujung tersebut menuju titik simpul maka pada ujung lainnya juga dibuat arah panah menuju titik simpul, demikian sebaliknya. (Sehingga pada satu batang terdapat 2 tanda panah yang berlawanan) (gambar b) e. Lanjutkan ke titik simpul yang lain dengan cara yang sama untuk menentukan gaya pada batang yang lain yang belum diketahui. f. Setelah selesai semua gaya batang diketahui, besarnya gaya batang masingmasing dapat ditentukan dengan menghitung besarnya gais gaya yang tergambar pada cremona dan mengalikannya dengan skala yang sudah ditentukan. g. Jenis gaya batang dapat ditentukan dari arah gaya pada rangka batang, yaitu :
BATANG TEKAN : apabila tanda panah menunjukkan arahnya menuju
titik simpul
BATANG
TARIK
:
apabila
tanda
panah
menunjukkan
arahnya
meninggalkan titik simpul
Latihan 2.2 :
Tentukan Gaya Batang berikut dengan menggunakan metode Cremona P ton
P ton
F
B P ton
P ton
A2
D
A3 T
Lm A1
D1
A
D2 B2
B1
A
P ton
D2
B
A1
C
E
T D1
Lm A4
A3
A2
B1
A4 B2
C
D Lm
Analisis Struktur II
Lm
Lm
Lm
16
2.4. Metode Ritter
Metode ritter adalah metode perhitungan gaya batang pada struktur rangka batang dengan cara analitis yang berdasarkan persamaan keseimbangan pada setiap titik kumpul dengan meninjau salah satu bagian potongan struktur. P ton
B
A1
Lm
A2 T B1
A
B2
C
D Lm
Lm (a)
P ton
B I A2
Lm T
A1
A
B2
H A= 0
B1
C
D I
V A = P/2
VC= P/2
Lm
Lm (b)
P ton
II
B
A1
Lm
A2
T
A
B2 B1
H A= 0
C
D II
V A = P/2 Lm
VC= P/2 Lm
(c)
Gambar 2.8. Perhitungan Gaya Batang dengan Ritter
Analisis Struktur II
17
Adapun langkah-langkah perhitungannya adalah: 1. Cari reaksi perletakan (b) 2. Potong beberapa batang dengan syarat hanya ada maksimal 2 gaya batang atau reaksi yang belum diketahui. 3. Buat batang sebagai batang tarik dengan memberi panah menuju garis potongan. 4. Perhitungan dilakukan dengan meninjau salah satu bagian potongan, tinjau kiri atapupun kanan potongan. 5. Bila meninjau kiri a. Semua gaya (reaksi dan gaya luar) dan gaya batang yang ada disebelah kanan diabaikan. b. Tinjau salah satu titik simpul (misal titik i) untuk menghitung persamaan ΣMi
=0
(2.3)
Titik i tersebut boleh berada di kiri atau kanan potongan, dengan pertimbangan memudahkan perhitungan nantinya. c. Semua gaya dan reaksi yang masuk dalam persamaan tersebut hanyalah yang ada di sebelah kiri potongan. d. Bila diperoleh gaya batang bernilai positif maka batang tersebut disebut BATANG TARIK.
e. Bila diperoleh gaya batang bernilai negatif maka batang tersebut disebut BATANG TEKAN .
6. Bila meninjau kanan a. Semua gaya(reaksi dan gaya luar) dan gaya batang yang ada disebelah kiri diabaikan. b. Tinjau salah satu titik simpul (misal titik i) untuk menghitung persamaan Mi = 0
Titik i tersebut boleh berada di kiri atau kanan potongan, dengan pertimbangan memudahkan perhitungan nantinya. c. Semua gaya dan reaksi yang masuk dalam persamaan tersebut hanyalah yang ada di sebeleh kanan potongan. d. Bila diperoleh gaya batang bernilai positif maka batang tersebut disebut BATANG TARIK. e. Bila diperoleh gaya batang bernilai negatif maka batang tersebut disebut BATANG TEKAN.
Analisis Struktur II
18
Latihan 2.3 :
Hitung Gaya Batang pada Rangka Batang di latihan 2.2 dengan menggunakan metode Ritter
2.5. Metode Keseimbangan Titik Kumpul
Metode Keseimbangan Titik adalah metode perhitungan gaya batang pada struktur rangka batang dengan cara analitis yang berdasarkan persamaan keseimbangan pada setiap titik kumpul. P ton
B
A1
Lm
A2 T B1
A
B2
C
D Lm
Lm (a)
P ton
B
A1 sin
A2
Lm
A1
T
A1
A
B2 B1
H A= 0
α
C
A
α
D
A1 cos
V A = P/2
VC= P/2 Lm
α
B1
V A = P/2
Lm (b)
(c)
P ton
B
A1
Lm
A2
T
A
T
C B1
H A= 0
B2
D II
V A = P/2 Lm
VC= P/2
B1
D
B2
Lm (d)
(e)
Gambar 2.9. Perhitungan Gaya Batang dengan Keseimbangan Titik
Adapun langkah-langkah perhitungannya adalah:
Analisis Struktur II
19
1. Cari reaksi perletakan 2. Tinjau salah satu titik simpul dengan syarat hanya ada maksimal 2 gaya batang atau reaksi yang belum diketahui pada titik simpul tersebut. 3. Buat batang sebagai batang tarik dengan memberi panah meninggalkan titik simpul yang ditinjau. 4. Apabila gaya, reaksi ataupun gaya batang tidak berada pada arah koordinat x dan y (atau koordinat lain yang saling tegak lurus), maka uraikan gaya, reaksi dan gaya batang tersebut ke arah koordinat yang kita tentukan tadi. 5. Untuk mencari gaya yang ingin diketahui, gunakan persamaan keseimbangan dengan arah koordinat yang kita tentukan tadi, misalnya menggunakan koordinat XY maka persamaannya : Σ
Fx = 0
Σ
Fy = 0
(2.4)
6. Bila diperoleh gaya batang bernilai positif maka batang tersebut disebut BATANG TARIK.
7. Bila diperoleh gaya batang bernilai negatif maka batang tersebut disebut BATANG TEKAN
Latihan 2.4 :
Hitung Gaya Batang pada Rangka Batang di latihan 2.2 dengan menggunakan metode Keseimbangan Titik !
Analisis Struktur II
20
BAB III DEFLEKSI 3.1. Diagram Defleksi dan Kurva Elastik
Analisis struktur adalah proses perhitungan untuk menentukan respon dari suatu struktur yang berupa reaksi tumpuan, gaya dalam dan perpindahan (displacement) akibat pengaruh luar (aksi). Perpindahan pada struktur tersebut dapat berupa : - Defleksi / Translasi : Jarak pergerakan titik pada struktur - Rotasi
: Sudut putar garis singgung pada kurva elastis (atau garis
normalnya) di satu titik.
Defleksi struktur dapat terjadi dikarenakan oleh beberapa sebab berupa pengaruh luar (aksi) diantaranya adalah : -
Beban luar
-
Pengaruh perubahan suhu
-
Kesalahan pabrikasi
-
Akibat penurunan ( settlement )
Dalam suatu perencanaan, nilai defleksi harus dibatasi untuk menghindari retak pada jenis material yang bersifat getas seperti beton atau plester. Lebih jauh, struktur tidak boleh mengalami getaran atau mengalami defleksi secara berlebihan. Yang jauh lebih penting, nilai defleksi pada suatu titik pada struktur harus ditentukan dalam upaya menganalisis struktur STATIS TAK TENTU .
Pada struktur-struktur berikut yang akan dianalisis dengan asumsi bahwa material tersebut memiliki RESPON LINIER ELASTIK terhadap beban yang diterimanya. Artinya, pada kondisi tersebut, suatu struktur yang menerima beban dan berdefleksi akan kembali pada kondisi awalnya (tidak berdefleksi) jika t idak dibebani lagi.
Pada dasarnya defleksi yang terjadi pada strukur disebabkan oleh GAYA DALAM berupa gaya normal, gaya geser ataupun momen lentur .
Analisis Struktur II
21
Pada balok dan rangka kaku defleksi terbesar seringkali disebabkan oleh momen lentur dalam (internal bending) sedangkan gaya aksial dalam menyebabkan defleksi pada rangka batang ( truss).
3.2. Prinsip Kerja Maya
Prinsip Kerja Maya dikembangkan oleh John Bernoulli pada tahun 1717 dan terkadang disebut juga sebagai Metode Beban Satuan.. Metode ini memberikan arti yang umum dalam menentukan perpindahan ( displacement ) dan kemiringan (slope) pada struktur, baik itu balok, frame maupun rangka batang.
Prinsip Kerja dan Energi pada suatu bahan yang bersifat deformable : Perhatikan gambar berikut :
Analisis Struktur II
22
1
C
2
3
NA
A
B P1
P2
P3
(a)
F
dL
M
dx ∆1
A
N
F
∆C
∆2
∆3
NA B
P1
P2
P3
(b)
u
dl
M
dx δ1
A
N δC
u δ2
NA
δ3
B 1 (c)
M
N
dx δ1+∆1
A
P1
NA
δc+∆C
1
δ3+∆3
δ2+∆2
P2
B
P3
Gambar 3.1 Kerja dan Energi pada Bahan Deformable
Perhatikan gambar (a) : •
Balok AB diberi beban P1, P 2 dan P3 pada titik 1,2 dan 3. Pada titik C akan dicari defleksi dengan menggunakan metode beban satuan.
Perhatikan gambar (b) •
beban pada balok ( P 1, P2 dan P3 ) menyebabkan gaya dalam pada balok, misal :
Pada salah satu serat pada balok bagian atas garis netral (MN) mengalami
gaya tekan F dengan luas area potongan sebesar dA. •
Pada serat MN tersebut akibat gaya F, memendek sebesar dL.
Analisis Struktur II
23
•
Pada balok secara keseluruhan akibat Beban (P 1,P2 dan P3) menyebabkan defleksi disepanjang balok, misal:
•
Δ1 pada titik 1
Δ2 pada titik 2
Δ3 pada titik 3
Akibat beban yang bekerja timbul energi/kerja luar dan dalam pada balok, yaitu Total energi/kerja luar pada balok ½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3
(3.1)
Total energi/kerja dalam yang tersimpan : ½ (F.dL) •
(3.2)
Berdasarkan hukum kekekalan Energi : ½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3
=
½ (F.dL)
(3.3)
Perhatikan gambar (c) : •
Pada balok yang sama dipasang beban 1 satuan pada titik C.
•
Akibat gaya 1 satuan tersebut pada serat yang sama (MN) mengalami gaya tekan u.
•
Pada serat MN tersebut akibat beban 1 satuan, memendek sebesar dl.
•
Pada balok secara keseluruhan akibat beban 1 satuan menyebabkan defleksi di sepanjang balok,yaitu :
•
δc pada titik C
δ1 pada titik 1
δ2 pada titik 2
δ3 pada titik 3
Akibat beban yang bekerja timbul energi/kerja luar dan dalam pada balok, yaitu Total energi/kerja luar pada balok ½ (1) (δC)
(3.4)
Total energi/kerja dalam yang tersimpan : ½ (u.dl)
•
(3.5)
Berdasarkan Hukum Kekekalan Energi : Energi dalam yang terjadi sama dengan Energi luar yang bekerja, sehingga : ½ δ1 =
Analisis Struktur II
½ (u.dl)
(3.6)
24
Perhatikan gambar (d) : •
Bila beban P1, P2 dan P3 ditambahkan pada balok di gambar b, dimana beban 1 satuan sudah bekerja terlebih dahulu , maka akan terjadi defleksi pada balok sebesar:
•
δC + ΔC pada titik C
δ1 + Δ1 pada titik 1
δ2 + Δ2 pada titik 2
δ3 + Δ3 pada titik 3
Dengan adanya tambahan beban P 1, P2 dan P3 , maka ada tambahan energi pada energi/kerja luar dan dalam pada balok, yaitu Total tambahan energi/kerja luar pada balok ½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 + ½ P3 Δ3 + 1. ΔC
(3.7)
Total tambahan energi/kerja dalam yang tersimpan : ½ (F.dL) +
•
(u dL)
(3.8)
Berdasarkan hukum kekekalan Energi dan dari persamaan (3.4) + (3.7) dan persamaan (3.5) + (3.8) : ½ (1) (δC) + ½ P1 Δ1 + ½ P2 Δ2 +
(F.dL) + •
½ P3 Δ3
+ (1) . ΔC =
(u dL)
½
(u.dl) + ½
(3.9)
Berdasarkan persamaan (3.3) dan (3.6) tentang Hukum kekekalan energi, maka : (1) . ΔC =
(u dL)
(3.10)
Persamaan (3.10) adalah rumus dasar dalam menentukan defleksi pada suatu struktur dengan menggunakan metode kerja maya atau dikenal dengam metode beban satuan. Δi =
ui (ΔL)
(3.11)
Dimana : Δi : Defleksi pada titik i ui
: Gaya dalam (aksial) pada bagian struktur (member/elemen) akibat berat satuan
pada titik i ΔL : Perubahan panjang pada elemen.
Analisis Struktur II
25
ΔL sebagai perubahan panjang pada elemen dapat diakibatkan oleh bermacam-macam sebab, diantaranya : -
Beban luar
-
Perubahan suhu
-
Kesalahan pabrikasi.
3.2.1. Pengaruh Beban Luar
Perhatikan gambar (3.2) yang menunjukkan rangka batang yang akan dicari nilai defleksinya pada titik i. Persamaan (3.11) dapat digunakan pada rangka batang tersebut P ton
B
∆L
A
∆L
∆L
D
∆L
∆L
C
∆D
(a) B
u
A
u
u
D
u
u
C
1
(b)
Gambar 3.2 Defleksi Rangka Batang Akibat Beban Luar
Perhatikan gambar (a) : •
Pada titik D akan ditentukan nilai defleksinya. Akibat beban luar semua batang (member) akan mengalami mengalami gaya dalam dalam (aksial) sehingga semua semua batang mengalami perubahan panjang ΔL. Berdasarkan hukum HOOKE, perubahan panjang ΔL akibat gaya aksial (gaya dalam aksial) dapat dirumuskan menjadi : ∆ L =
Analisis Struktur II
F . L E . A
(3.12)
26
dimana : ΔL : Perubahan panjang pada batang F
: Gaya Gaya dalam dalam aksial (GAYA BATANG) BATANG) akibat beban luar yang yang bekerja (ton, kg, kg,
N, kN)
•
L
: Panjang batang (m,cm,mm)
E
: Modulus Elastisitas (kg/mm )
A
: Luas penampang batang (m , cm ,mm )
2
2
2
2
Sehingga akibat beban luar yang bekerja maka pada semua batang akan timbul gaya dalam berupa gaya aksial (GAYA BATANG), disebut F.
•
GAYA BATANG pada semua batang (F) daoat dihitung dengan metode cremona, ritter ataupun keseimbangan titik.
Perhatikan gambar (b) •
Untuk mencari defleksi pada titik i, pasang beban satuan pada titik i tersebut dengan arah sembarang (vertikal atau horisontal).
•
Akibat beban satuan pada titik I maka pada semua batang akan timbul gaya dalam berupa gaya aksial (GAYA BATANG), disebut u.
•
GAYA BATANG pada semua batang (u) dapat dihitung dengan metode cremona, ritter ataupun keseimbangan titik.
Sehinga untuk mencari DEFLEKSI pada Rangka Batang akibat BEBAN LUAR dapat dicari dengan rumus : ∆i = ∑
F .u i . L E . A
(3.13)
Prosedur Analisis :
1. Tentukan struktur rangka batang apakah termasuk dalam struktur statis tertentu, dengan menggunakan menggunakan rumus pada persamaan persamaan (2.1) : n= 2s – 3 2. Beri nama batang-batang pada struktur tersebut (A untuk batang Atas, B untuk batang bawah, T untuk batang tegak dan D untuk batang diagonal) 3. Hitung panjang masing-masing batang (L). 4. Akibat beban luar yang bekerja, bekerja, cari reaksi (R) pada tumpuan/perletakan tumpuan/perletakan 5. Hitung nilai seluruh gaya batang (F) dengan menggunakan metode analisis gaya batang Cremona, Ritter atau keseimbangan titik. Analisis Struktur II
27
6. Buang seluruh beban luar yang, kemudian pasang beban 1 satuan pada tempat dan arah sama dengan nilai defleksi yang ingin ditentukan. Misal (seperti pada gambar 3.2) : V
Untuk mencari ΔC , maka pasang beban satuan pada titik hubung D arah vertikal (bisa ke atas maupun ke bawah). 7. Hitung nilai nilai seluruh gaya batang batang (u) dengan dengan menggunakan menggunakan metode analisis analisis gaya gaya batang Cremona, Ritter atau keseimbangan titik. 8. Gunakan persamaan (3.13) untuk menghitung defleksi pada tiik yang diinginkan (misal titik D). Untuk mempermudah perhitungan gunakan tabel berikut : Batang
L
E.A
F
ui
F .u i . L
(satuan)
(satuan)
(satuan)
(satuan)
E . A
(satuan) A1
Panjang
Hasil kali E Gaya
batang
dan A
Batang Gaya batang
akibat
beban
luar
Hasil
akibat beban
perhitungan
satuan
F .u i . L E . A
B1
…
…
…
…
…
dst…
…
…
…
…
…
Jumlah dari
F .u i . L
∆i = ∑
E . A
F .u i . L E . A
Latihan 3.1.
Hitung defleksi pada titik-titik yang ada pada rangka batang berikut ! P ton
P ton
F
B P ton
P ton
A2
D
A3 T
Lm A1
D1
A
D2 B2
B1
A
P ton
D2
B
A1
C
E
T D1
Lm A4
A3
A2
B1
A4 B2
C
D Lm
Lm
Lm
Lm
3.2.2. Pengaruh Perubahan Suhu
Pada beberapa kasus, batang-batang pada struktur rangka batang akan mengalami perubahan panjang akibat pengaruh perubahan suhu. Perubahan panjang ini dapat didefinisikan dengan rumus :
Analisis Struktur II
28
∆ L = α .∆T . L
(3.14)
dimana : ΔL
: Perubahan panjang panjang pada batang batang (m, cm, mm)
α
: koefisien pemuaian panas pada batang
ΔT
: Perubahan suhu
L
: Panjang batang (m,cm,mm)
Sehinga untuk mencari DEFLEKSI pada Rangka Batang akibat PERUBAHAN SUHU dapat disubstitusi ke persamaan (3.11) menjadi : ∆ i = ∑ u i .α .∆T .. L
(3.15)
Prosedur Analisis :
1. Tentukan struktur rangka batang apakah termasuk dalam struktur statis tertentu, dengan menggunakan menggunakan rumus pada persamaan persamaan (2.1) : n= 2s – 3 2. Beri nama batang-batang pada struktur tersebut (A untuk batang Atas, B untuk batang bawah, T untuk batang tegak dan D untuk batang diagonal) 3. Hitung panjang masing-masing batang. 4. Pasang beban 1 satuan pada tempat dan arah sama dengan nilai defleksi yang ingin ditentukan. 5. Hitung nilai nilai seluruh gaya batang batang (u) dengan dengan menggunakan menggunakan metode analisis analisis gaya gaya batang Cremona, Ritter atau keseimbangan titik. 6. Gunakan persamaan (3.15) untuk menghitung defleksi pada tiik yang diinginkan. Untuk mempermudah perhitungan gunakan tabel berikut :
Batang
A1
L
α
ΔT
ui
u i .α .∆T .. L
(satuan)
(satuan)
(satuan)
(satuan)
(satuan)
Panjang
Koef.
Perubahan
Gaya batang Hasil perhitungan
batang
Pemuaian
suhu
akibat beban
panas
u i .α .∆T .. L
satuan
B1
…
…
…
…
…
dst…
…
…
…
…
…
Jumlah dari u i .α .∆T .. L
Analisis Struktur II
∆ i = ∑ u i .α .∆T .. L
29
Latihan 3.2.
Pada rangka batang di latihan 3.1, anggap tidak ada beban luar, akibat perbedaan suhu ΔT dengan koefisien pemuaian suhu
α
yang mempengaruhi batang bawah, berapa
defleksi yang terjadi pada titik-titik hubung pada rangka batang tersebut!
3.2.3. Pengaruh Kesalahan Pabrikasi
Selain akibat perubahan suhu, pada beberapa kasus walaupun tidak sering, kesalahan pabrikasi atas material yang digunakan untuk rangka batang dapat terjadi. Misalnya saja batang dapat saja menjadi lebih panjang atau lebih pendek dari yang seharusnya digunakan dalam membuat rangka batang yang sedikit melengkung. Pada kasus jembatan yang dibangun dengan bentuk rangka batang yang batang bawahnya dibuat melengkung, sehingga batang bawahnya dibuat cekung keatas. Ketidaktepatan dimensi panjang batang (lebih pendek atau lebih panjang) (L) dapat menyebabkan defleksi pada rangka batang.yang didefinisikan dengan rumus (3.11) :
Δi =
ui (ΔL)
(3.16)
Dimana : Δi : Defleksi pada titik i (m,cm,mm) ui
: Gaya dalam (aksial) pada bagian struktur (member) akibat berat satuan pada titik
ΔL : Per bedaan panjang pada batang dari ukuran yang disyaratkan.akibat kesalahan pabrikasi (m,cm,mm)
Prosedur Analisis :
1. Tentukan struktur rangka batang apakah termasuk dalam struktur statis tertentu, dengan menggunakan rumus pada persamaan (2.1) : n= 2s – 3 2. Beri nama batang-batang pada struktur tersebut (A untuk batang Atas, B untuk batang bawah, T untuk batang tegak dan D untuk batang diagonal) 3. Hitung panjang masing-masing batang. 4. Pasang beban 1 satuan pada tempat dan arah sama dengan nilai defleksi yang ingin ditentukan. 5. Hitung nilai seluruh gaya batang (u) dengan menggunakan metode analisis gaya batang Cremona, Ritter atau keseimbangan titik. 6. Gunakan persamaan (3.16) untuk menghitung defleksi pada titik yang diinginkan. Untuk mempermudah perhitungan gunakan tabel berikut : Analisis Struktur II
30
