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Vigas estáticamente indeterminadas Una de las principales aplicaciones del cálculo de deflexiones es en la resolución de problemas estáticamente indeterminados indeterminados de vigas los que se pueden resolver se siguiendo, por ejemplo, los dos pasos siguientes: i.
planteamiento de las ecuaciones de equilibrio estático (esto permite identificar cuantas incógnitas se tienen).
ii.
utilizando valores conocidos de deflexiones o pendientes establecer las ecuaciones necesarias para despejar todas las incógnitas.
Ejemplo: Determinar el valor de las reacciones para la viga mostrada en la figura. Solución: I) Diagrama de cuerpo libre.
En este caso es posible plantear dos ecuaciones de equilibrio independientes, pero se tienen tres incógnitas
, y
Problema estáticamente indeterminado. II) Utilización de valor conocido de deflexión: Utilizando la condición que en:
Aplicando superposición, tal como se se muestra en las dos figuras siguientes, siguientes, se puede apreciar que para tener una deflexión igual a cero en L, se debe cumplir que, la deflexión en el extremo libre provocada por la carga uniformemente distribuida, y 1, debe ser igual a la deflexión provocada en el mismo punto por la reacción R b. Esto es:
2
Los valores de y 1 e y2 se pueden obtener desde tablas para vigas:
;
Haciendo la igualdad
=
,
de aquí se despeja R b, y se obtiene que:
Reemplazando este valor en las ecuaciones de equilibrio se obtiene el valor para la reacción R a y para el momento M a:
;
Vigas continuas Un caso particular de las vigas estáticamente indeterminadas lo constituyen las llamadas “Vigas continuas”, entendiendo que este nombre se aplica a toda aquella viga que posea más de dos apoyos. Para resolver este tipo de vigas se puede seguir el procedimiento descrito anteriormente, pero este se torna excesivamente laborioso en estas situaciones. Una alternativa de solución para una viga continua es el llamado “Teorema de Clapeyron”, que fue propuesto por P.E. Clapeyron (1799-1864) , teorema que también se conoce como “Teor ema de los tres momentos” y está basado en un hecho simple: “la pendiente de la curva elástica de una viga, en un apoyo común a dos tramos de la viga, es la misma (en valor absoluto) para ambos tramos”. En la afirmación anterior se puede apreciar en la figura siguiente donde claramente se aprecia que:
Para deducir el teorema de los tres momentos se considera la viga continua de la figura que está sometida a un sistema de cargas arbitrario, tal como se muestra. Para el desarrollo se analizaran los tramos consecutivos y
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Cortando la viga en A, en B y en C, para separar los tramos AB y BC se tendrá la siguiente situación:
Si sobre estas vigas se aplica el principio de superposición se obtendrá el siguiente resultado para cada una de ellas.
(Se ha supuesto que
y que ).
Construyendo los diagramas de momento para estas últimas vigas, se tendrá que las vigas simplemente apoyadas (que se asume están sometidas a un sistema cualesquiera de cargas), generarán un diagrama de momentos positivo (mostrado como A 1 y A2 en las figuras a continuación), mientras que para las vigas que están únicamente sometidas a los momentos, el diagrama quedará en la parte negativa y tendrá la forma que se muestra a continuación:
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De la condición básica del teorema, se puede plantear que:
(Pendiente igual en apoyo común). Recordando el método de momentos de áreas y considerando las desviaciones del punto A y del punto C, de la curva elástica, con respecto al punto B, (ver la figura inicial), se puede escribir la expresión anterior como:
= - (El signo menos aparece porque necesariamente, una de las dos desviaciones es negativa). Calculando las desviaciones en términos de los diagramas de momento construidas para cada tramo por separado:
+ + ) + + De forma análoga:
+ + ) + +
Remplazando estos resultados en la ecuación inicial y reordenándola
+ + = - Si se considera que
-
y se agrupan términos semejantes, se obtiene finalmente:
̅ ̅ Esta última expresión es la llamada ecuación general del teorema de los tres momentos, para apoyos a un mismo nivel. Si la viga tiene sus tramos d e igual sección transversal
y
la ecuación anterior queda:
̅ ̅
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Limitaciones de la ecuación del teorema de los tres momentos.
Vigas de sección uniforme y constante en todo el tramo.
Apoyos a un mismo nivel.
La siguiente expresión (para EI= cte) se puede elaborar para el caso más general de una viga con apoyos a distinto nivel.
̅ ̅ Donde las distancias
son los que se indican en la figura a continuación.
Para el empleo el Teo de los Tres Momentos en la solución de una viga continua, se puede esquematizar el siguiente esquema general 1º. Plantear las ecuaciones de equilibrio del problema. 2º. Visualizar entre que tramos se aplicara la ecuación del teorema (si una viga tiene N tramos entre apoyos, se podrá aplicar el teorema n-1 veces). 3º. Plantear la(s) ecuación(es) del teorema para los tramos seleccionados. 4º. Identificar los valores de momento conocidos y reemplazarlos (con su signo para flexión). 5º. Determinar para cada tramo, considerándolo como una viga simplemente apoyada, el valor de la expresión
.
6º. Resolver el sistema de ecuaciones resultante para conocer el valor de los momentos 7º. Efectuando cortes sucesivos en la viga se pueden determinar las reacciones redundantes. 8º. Utilizando las ecuaciones de equilibrio se determinan el resto de las reacciones. Un caso especial, para la aplicación del teorema de los tres momentos, la constituye el caso cuando uno o más apoyos son empotramientos. En este caso, para efectos de aplicación del teorema, el empotramiento se reemplaza por un tramo y apoyo ficticio y se sigue el procedimiento que se muestra en el siguiente ejemplo:
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Ejemplo: Determine el valor de todas las reacciones en la viga mostrada a continuación: 7
2
(EI = 5 * 10 [kg-cm ])
1.
I) II) 2.
D.C.L. y Ecs de equilibrio:
La viga tiene dos tramos entre apoyos, lo cual indicaría que el teorema solo se puede aplicar 2 – 1 = 1 vez. Sin embargo, al considerar un tramo ficticio en el empotramiento, mostrado también en la figura anterior, se tienen 3 tramos entre apoyos
se puede aplicar el teorema 2 veces.
3. Aplicando el teorema: I)
Tramos OA y AB.
̅ ̅ II)
Tramos AB y BC.
̅ ̅ 4.
Haciendo un corte en C y tomando la porción de la derecha de la viga se puede encontrar el valor del momento flector en la sección ubicada en el apoyo C
Es importante resaltar que en la aplicación de este teorema se debe tener siempre en cuenta el signo que le corresponde al momento, de acuerdo con el convenio de signos que se utiliza para el momento flector. En el caso particular del momento M c recién calculado, este momento es un momento negativo. También en este punto hay que recordar que el tramo OA es ficticio, motivo por el cual
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Así se logra establecer que no son conocidos los valores de 5.
Evaluación del término
.
.
En primer lugar hay que considerar que por ser parte de un tramo ficticio
̅
Los tramos AB y BC están sometidos al mismo valor de carga distribuida y de acuerdo con lo mostrado en la figura anterior:
( ̅ ) Por otra parte, para el tramo BC se tiene :
Utilizando estos datos y los valores de w, F y las longitudes longitudes correspondientes a cada tramo, al reemplazar se obtiene:
Remplazando el valor de y simplificando, se obtiene: 2 Así el sistema final es:
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6.
7.
Resolviendo el sistema se obtiene los valores para
Efectuando un corte en el apoyo B de la viga, tomando el tramo de la derecha y efectuando sumatoria de momentos igual a cero con respecto al punto B
Observación importante:
Al evaluar
en el punto 6 anterior se obtuvo . Considerando el signo negativo fue que
se dio el sentido del momento en la viga en corte utilizada en este punto. 8.
Finalmente utilizando las ecuaciones de equilibrio encontradas en 1 se obtiene: De la ecuación II)
[ ] De la ecuación I)
