Sistema: Masa-Resorte-Amortiguador en la suspensión de un auto
VIBRACIONES MECANICAS
Sistema: Masa-Resorte-Amo Masa-Resorte-Amortiguador rtiguador en la suspensión de un auto
LAS VIBRACIONES MECANICAS
Vibración mecánica: es el movimiento de vaivén de las moléculas de un cuerpo o sistema debido a que posee características ca racterísticas energéticas cinéticas y potenciales. En cualquiera que sea el caso, la excitación es el suministro de energía. Como ejemplos de excitación instantánea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgueó de las cuerdas de una guitarra el impulso y deformación inicial de un sistema masa resorte, etc. Como ejemplo de una excitación constante tenemos el intenso caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo de retenedores es una excitación constante para el sistema vibratorio de un automóvil, etc.
OBJETIVO
Clasificar las vibraciones en función de la presencia o ausencia de Amortiguamiento y de estímulos externos. Saber deducir la ecuación diferencial que rige el movimiento en Cada tipo de vibración. Analizar los distintos movimientos vibratorios desde el punto de Vista energético. Conocer los efectos resonantes, su trascendencia y aplicación en el ámbito de la ingeniería.
Identificar el amortiguamiento en un sistema de un grado de libertad, a su vez poder reconocer todas las variables que intervienen en este fenómeno y aplicar métodos numéricos para la resolución de ecuaciones para este tipo de problemas.
Descripción del problema
Vamos a ver varias formas de clasificar el estudio de las vibraciones mecánicas. Vibración libre: es cuando un sistema vibra debido a una excitación instantánea. Vibración forzada: es cuando un sistema vibra debida a una excitación constante. El problema que vamos a presentar es el caso de las vi braciones forzadas:
Notación: M: masa principal K: constante rigidez elástica C: constante de amortiguamiento viscoso F: Fuerza exterior
Fuerzas que actúan sobre la masa en dirección vertical Fuerza de inercia: mx Fuerza elástica: k( x x x est) Fuerza amortiguadora:
cx
Fuerza de gravedad: mg Fuerza exterior: F
Ecuación diferencial: mxcxkx F F Condiciones: m>0 c>0
k>0 Vibraciones libres F=0 • sin amortiguamiento mx´´ mx´´kx 0 mx´´cx´ cx´kx 0 • con amortiguamiento mx´´ Vibraciones forzadas F≠0 mx´´cx´ cx´kx F F • sin amortiguamiento mx´´ • con amortiguamiento mx´´ mx´´kx F F cos(wt) Donde: F= F 0 cos(wt)
Una gran aplicación de masa resorte lo encontramos en los autos, en los amortiguadores. A continuación presentaremos un ejercicio el cual el modelo, el prototipo, y el sistema es parecido a los amortiguadores de los autos.
PROBLEMA:
L a maqui maqui na tie ti ene un a mas masa m=200 K g y es soportada uni un i f orme or meme ment nte e por cuatr o re r esorte or tess, cada cada uno un o con un a ri r i gidez k=500 k= 500 N/m. y con amorti amor tiguador guador de c=90 Ns/m. Ns/m. De D eter ter mine mi ne la posi posi ción ción de l a maquina maqui na en t=π si inicialmente está en la posición de equilibrio y con un a ve vel ocidad i n i cial ci al de 1m/s, 1m/s, y si si des desde el ti empo t=0s t= 0s actúa actúa una un a fu f u er za per per tur tu r badora bador a de F =24N. t ϵ[0, ϵ[0, π]
U ti l i zando el mé todo de Range-Ku tta de Cuar Cu arto to Or den den determ determii n ar su solución
Mé todo od o M atl at l ab
Función [x,y,z]=rk42(f,g,x,y,z,h) k1y=h*f(x,y,z); k1z=h*g(x,y,z); k2y=h*f(x+h/2,y+k1y/2,z+k1z/2); k2z=h*g(x+h/2,y+k1y/2,z+k1z/2); k3y=h*f(x+h/2,y+k2y/2,z+k2z/2); k3z=h*g(x+h/2,y+k2y/2,z+k2z/2); k4y=h*f(x+h,y+k3y,z+k3z); k4z=h*g(x+h,y+k3y,z+k3z); y=y+1/6*(k1y+2*k2y+2*k3y+k4y); z=z+1/6*(k1z+2*k2z+2*k3z+k4z); x=x+h;
>> f=inli ne ('0* x+0*y+z'); x+0*y+z'); >> g=inli ne (' 0.12* 0.12* sin (sqrt(10)* (sqrt(10)* x)-(10* y)-1.8*z'); y)-1.8*z'); >> x=0; >> y=0; >> z=1; >> h=pi/2; >> m=2; >> [ x,y,z]= x,y,z]= r k42(f , g, x, y, y, z, z, h)
x= 1.5708
y= 2.6538
z= 12.4710 >> [x,y,z]=rk42(f, g, x, y, z, h) x= 3.1416
y= 79.3988
z= 87.4577
f=inline ('0*x+0*y+z' ('0*x+0*y+z'); ); g=inline ('0.12*sin(sqrt(10)*x)-(10*y)-1.8*z' ('0.12*sin(sqrt(10)*x)-(10*y)-1.8*z'); ); x=0; y=0; z=1; h=pi/2; m=20; for i=1:m [x,y,z]=rk42 (f, g, x, y, z, h); u(i)=x; v(i)=y; w (i)=z; end
Graphic en matlab
prk42 >> hold on; >> plot(u,v,'o');
Conclusiones:
También podemos observar que de la práctica a lo teórico hay ciertas variaciones pero podemos decir de acuerdo a nuestros datos que son extremadamente similares y por lo tanto podemos confiarnos un poco en nuestros cálculos para vibraciones libres amortiguadas.
Pudimos obtener mediante los métodos numéricos la ubicación de la masa e n cualquier punto, y tiene una cierta similitud a la r espuesta haya con la solución real, la grafica nos ayudo a tener una mejor idea de donde están ubicados ubicados dichos puntos puntos
Bibliografia:
ALONSO, M. FINN, E. (1995). Física. Addison Wesley Iberoamericana. Capítulo 10 BEER, F.; JOHNSTON, E.R. (2005). Mecánica v ectorial para ingenieros. Dinámica. Cap.19. Mc Graw Hill, 7ª Ed. CRAWFORD, J. (1977). Ondas, Berkeley Physics Course. Ed. Reverté Capítulos 1 y 3 LAFITA, F.; MATA, H. (1968). Introducción a la teoría de vibraciones mecánicas. Ed. Labor LEA, S.M.; BURKE, J.R. (1998). Física .La naturaleza de las cosas. Ingeniería mecánica dinámica R.C.Hibbeler
