VEINTIÚN EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES E n los problemas 1 a 1 0 , a plicando el Teorema Teorema de existencia y unicidad, señalar la región del plano solución única.
x y
en que las ecuaciones dadas admiten
“Teorema “T eorema de exi stencia y unicidad d e soluciones (Teorema (Teorema de Picard)” Sea Runa región rectangular en el plano xydefinida por a x b, c y d que contiene al p u n t o ( x0 , y0 ) e n s u i n te te ri ri or or . S i f ( x, y) y l a d er er i va va d a p a r ci ci al al f / y s on on c o n ti ti nu nu a s e n R, e nt nt on on c e s existe un interv alo Icon centro en 0x y una única función p r o bl e ma d e va l o r i n i c i a l :
2
dy dx
(y )x definida en Ique satisface el
f x( y, ) , y x(0 ) y0 .
2
y' x y Solución - J uan Beltrá n: El problema de valor inicial está dado por,
1.
y' x y (1) ( x 0 , y 0 ) La ED ED en (1 ) está está escrit escritaa en la la f o r m a y ' f ( x, y) , d e d o n d e s e d e d u c e q ue: 2
2
2
2
f ( x, y) x y : f e s c o n t i n u a x, y ¡ f y 2 : co nti n u a y ¡ ; y por lo tanto tanto,, de acuer acuerdo do con el Teorem Teoremaa de Picar Picard, d, para para cada cada punto punto ( x 0 , y 0 ) del del plano plano xy , existe una solución única que cumple l os requisitos del problema de valor inicial planteado por (1 (1 ).
2. y '
x
y Solución - Juan Beltrán Bel trán: El problema de valor inicial está dado por, x y ' (1) y ( x 0 , y 0 ) L a E D e n ( 1 ) e s t á e s c r i t a e n l a f o r m a y ' f ( x, y), de donde se deduce que: x f( x, y) : f e s c o n t i n u a s i y 0 y f x 2 : continua si y 0; y y p or or lo l o ta t a nt nt o , p ar a r a c ad a d a p un u n to t o ( x 0 , y 0 ) ub ub ic i c ad a d o e n a llg g un un o d e l os os se se m mii pl p l an an os os y 0 ó y 0 existe un intervalo, centrado en x 0 , tal q ue el problema plantea planteado do por por ( 1) tiene tiene soluci solución ón única.
3. y' y 3 3 y Solución - J uan Beltrá n: El problema de valor inicial está dado por,
y' y 3 3 y (1) ( x 0 , y 0 ) La ED en en ( 1 ) está está escr escrita ita en en la f o r m a y ' f ( x, y) , d e d o n d e s e d e d u c e q u e: f ( x, y) y 3 3 y : f e s c o n t i n u a e n ¡ f 1 1 2 : c o n t i n u a s i y 0; 3 y y p or or lo l o ta t a nt nt o, o , pa p a ra ra ca c a da da pu p u nt nt o ( x 0 , y 0 ) ub ub ic ic ad ad o e n a lg lg un un o d e l os os se s e m iplanos y 0 ó y 0 existe un intervalo, centrado en x 0 , tal que el problema plantea planteado do por por ( 1) tiene tiene soluci solución ón única.
4. y'
x y Solución - Juan Beltrán: El problema de valor inicial está dado por, y' x y (1) ( x 0 , y 0 ) L a E D e n ( 1 ) e s t á e s c r i t a e n l a f o r m a y ' f ( x, y) , de donde se deduce que: f ( x, y) f
x y : f e s conti nua si y x 1 : continua continua si y x; y 2 x y por lo tanto, para cada pu n t o ( x 0 , y 0 ) u b i c a d o e n el semip lano y x( p unto s bajo la recta y x) existe un intervalo, c entra d o e n x 0 , tal que el el problema problema plantead planteado o por ( 1 ) tiene solució solución n única. A la derecha se observa dicha reg ión.
5. y'
x y x Solución - J uan Be l t r á n: El problema de valor inicial está dado por, 2
y' x y x (1) ( x 0 , y 0 ) La ED ED en (1 ) está está escrit escritaa en la la form form a y ' f ( x, y ), ), de donde se deduce q ue : 2
f ( x, y) f
y
2
x 1
y x:
f es cont inua si y x
: continua continua si y
x 2;
2 x y p o r l o t aan n t o, o, p ar ar a c ad ad a p un un to to ( x 0 , y 0 ) u bi bi ccaa do do e n 2
2
2
l a r egión y x(puntos bajo la curva de y x) existe un inter valo, centrado en x 0 , tal que el problema problema plantead planteado o por ( 1 ) tiene solució solución n única. A la derecha se observa dicha reg ión.
2
6. y ' 1 y
2
Solución - Juan Beltrá n: El problema de valor inicial está dado por,
(1) y ' 1 y ( x 0 , y 0 ) L a E D e n ( 1 ) e s t á e s c r i t a e n l a f o r m a y ' f ( x, y) , de donde se deduce que: 2
f ( x, y) y' 1 y : f e s c o n t i n u a s i 1 y 2
2
0,
2
y 1 0 ( y 1) ( y 1) 0 1 y 1 f y : c o n t i n u a s i 1 y 1; 2 y 1 y p o r l o t aan n t o, o, p ar ar a c ad ad a p un un to to ( x 0 , y 0 ) u bi bi ccaa do do e n la regió n 1 y 1 ( p u n t o s e ntre ls recta s y 1 e y existe un intervalo, centrado en x 0 , tal que el problema problema plantead planteado o por ( 1 ) tiene solució solución n única. A la dere cha se observa dicha regió n .
7. y '
1)
y 1
x y Solución - J uan Beltrán: El problema de valor inicial está dado por, y 1 y ' (1) x y ( x 0 , y 0 ) La ED ED en (1 ) está está escrit escritaa en la la form form a y ' f ( x, y) , d e d o n d e s e d e d u c e q u e : y 1 : f e s c o n t i n u a s i x y, f( x, y) x y f x 1 : continua continua si x y; y ( x y ) 2 p o r l o t aan n t o, o, p ar ar a c ad ad a p un un to to ( x 0 , y 0 ) u bi bi ccaa do do e n el palno x y con excepción de los puntos sobre la recta y x, existe un intervalo, centrado en x 0 , tal que el problema planteado planteado por por ( 1 ) tiene solución solución única. única. y' s e n y c o s x Solución - Juan Bel t r á n: El problema de valor inicial está dado por, y' s e n y c o s x (1 ) ( x 0 , y 0 ) La ED en en ( 1 ) está está escr escrita ita en en la f o r m a y ' f ( x, y) , d e d o n d e s e d e d u c e que: f ( x, y) s e n y c o s x: f e s c o n t i n u a x, y ¡ f c o s y : c o n t i nu nu a s i y ¡ ; y p or or l o t an a n to to , p ar ar a c ad ad a p un un to to x( 0 ,y 0 ) u bi bi ca c a do do e nel palno x y , e xi xi st st e u nintervalo, centrado en x 0 , tal que el problema problema planteado planteado por ( 1 ) tiene solución solución única.
8.
9. y ' 1 c o t y Solución - Juan Belt r á n: El problema de valor inicial está dado por, y ' 1 c o t y (1) ( x 0 , y 0 ) La ED ED en (1 ) está está escrit escritaa en la la forma forma y ' f ( x, y) , d e d o n d e s e d e d u ce qu e: f ( x, y) 1 c o t y : f e s c o n t i n u a s i y k , k ¢ f c s c 2 y: c o n t i n u a s i y k , k ¢ ; y p o r lo lo ta ta n t o, o, pa pa r a ca ca d a pu pu n t o ( x 0, y 0) u b i ca ca d o e n el palno x xyy a excepción de los puntos en las rectas d e l a form formaa y k , , k ¢ , existe un intervalo, centrado en x 0 , tal que el problema planteado p o r ( 1 ) tiene tiene solució solución n ún i ca.
10. y' 3 3 x y 1 Solución - Juan Beltrá n: El problema de valor inicial está dado por,
y' y' 3 3 x y 1 (1) ( x 0 , y 0 ) L a E D e n ( 1 ) e s t á e s c r i ta ta e n l a f o r m a y ' f ( x, y) , d e d o n d e s e d e d u c e que: f ( x, y) y ' 3 3 x y 1 : f e s c o n t i n u a x, y ¡ f 1 : c on on ti ti nu n u a s i y 3 x; 2 3 y (3 x y ) p o r l o t a n t o , p a r a c a d a p u n t o ( x 0, y 0) u bicado e n el paln o x y a excepción de los puntos sobre la recta y 3 x, existe un intervalo, centrado en x 0 , tal que el problema planteado por ( 1 ) tiene tiene soluci solución ón ú n i ca .
E n los problemas 1 1 a 2 5 , verificar que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas: “Se demuestra que una función es la solución de una ED cuando al sustituir dicha función y sus derivadas en la ED, la convierten en una identidad”. y
s e n x
, x y' y c o s x x Solución - Juan Bel trán: x y' y c o s x ( 1 ) se n x (2), y x xc o s x s e n x (3) y ' 2 x Sust i tu tu y e n d o ( 2 ) y ( 3 ) e n ( 1 ), se obtien e : xc o s x s e n x s e n x c o s x xc o s x s e n x s e n x c o s x, x 2 x x x x xc o s x s e n x s e n x xc o s x c o s x c o s x c o s x c o s x x x La obtención obtención de la la identidad identidad anterior anterior demuestra demuestra que ( 2 ) es la solución solución de la ED ( 1 ) .
11.
12.
2x
y Ce
1
+
x
x
y' 2 y e
e ,
3 Solución - Juan Beltrán: y' 2 y e 2x
y C e
x
(1) 1
+
3
2x
x
( 2 ),
e
'y 2 C e +
1
x
(3 ) 3 S us u s ti t i tu t u ye ye nd n d o (2 ) y (3 ) e n ( 1 ) , s e o bt b t ie i e ne ne : 1 1 2C e 2x + e x 2 C e 2 x + e x ex 3 3
x
e
2C e 2 x +
1 3
e
x
2C e 2x
2 x + e 3
e x;
x
e e La obtención obtención de la identidad identidad anterior demuestr demuestraa que (2 ) es la solución solución general de la ED (1 ) . 2
2
13. y 2 C 1 x , (1 x ) y' x y 2 x 0 Solución - J u an Beltr á n: (1 x ) y' x y 2 x 0 2
(1)
( 2) , y 2 C 1 x Cx (3) y ' 2 1 x S us us t it it uy uy e n d o ( 2 ) y ( 3 ) en en ( 1 ) , se se ob ob t iene: 2
Cx
(1 x ) 2
1 x
2
x 2 C 1 x
C x(1 x ) C x 1 x 2
2
2
0
2
C x(1 x ) 2
2 x 0
1 x
2
2 x
Cx 1 x
2
2 x 0,
0 0;
1 x La obtención obtención de la la identidad identidad anterior anterior demuestra demuestra que ( 2 ) es la solución solución general general de l a E D ( 1 ) .
14. y x 1 x , y y' x 2 x 2
3
Solución - Juan Be l t r á n: 3
y y' x 2 x
(1)
2
(2),
y x 1 x
y' 1 x
2
x
1
x
2 x
2
1 x
2
1
x 2
x
1 2
2
1
2
x
( 3)
x
S u s t i t u y e n d o ( 2 ) y ( 3 ) e n ( 1 ) , se obtie n e :
x 1 x
2
1 2 x 2 2 1 x
x 2 x3
x 2 x
3
x 2 x 3,
La obtención obtención de la la identidad identidad anterior anterior demuestra demuestra que ( 2 ) es la solución solución general general de la ED ( 1 ) .
arcsen Cx
15. y e
, x y' yt a n l n y Solución - Juan Beltrán: x y' yt a n l n y ( 1 ) arcsen Cx
y
e
Ce
y '
y a r c s e n
ln
C x (2) ,
arcsen Cx 2
(3)
2
1 C x S us us t it i t uy uy e nd nd o ( 2 ) y ( 3 ) e n ( 1 ), se obtiene :
x
arcsen Cx
Ce
2
2
e
arcsen Cx
t an arcsen Cx
Cx
2
Cx
2
2
2
,
1 C x 1 C x 1 C x La obtención obtención de la la identidad identidad anterior anterior demuestra demuestra que ( 2 ) es la solución solución general general de la E D ( 1 ) .
16. y e
x
x
e
t
2
x
d t C e , y ' y e
x + x
2
0
Solución - Juan Be l t r á n:
y' y e y e
x
x + x
x
e
t
2
2
(1 )
d t Ce Ce
x
( 2 ),
0
y' e
x
x
e
t
2
x
dt e e
x
2
x
Ce e
x
0
x
e
t
2
t
2
dt C e
x
e
x + x2
(3)
0
Sustituyendo ( 2 ) y ( 3 ) en en (1 ) , se se ob ob t i en en e :
x e
x
e
t
2
0
dt Ce
x
x + x2 e
e x
x
0
e
C e x e x + x 2
dt
e
x + x2
e x + x
2
,
La obtención obtención de la la identidad identidad anterior anterior demuestra demuestra que ( 2 ) es la solución solución general general de la ED ( 1 ) . x
17. y x
s e n t
d t, x y' y xs e n x t Solución - Juan Bel t r á n: x y' y xs e n x ( 1 ) x se n t y x dt (2), t 0 x x sen t sen x s e n t 'y dt x dt s e n x ( 3 ) t x t 0 0 S us us t it i t uy uy e nd nd o ( 2 ) y ( 3 ) en en (1 ) , se o btiene: x x sen t se n t x s e n t s e n x s e n t s e n s e n x dt x x dt x x x dt x x x d t xs e n x, 0 t 0 t 0 t 0 t La obtenció obtención n de la identidad identidad anterior anterior demuestr demuestraa que ( 2 ) es la solución solución general general de la ED ( 1 ) . 0
18.
y x
e
x
d x C,
x
x y' y x e
x
Solución - J u a n Belt r án : x
x y' y x e
y x
(1)
(2), x x e x e y' d x C x x x x
e
d x C
e
x x
x
d x C e
(3 )
S us us ti ti tu tu ye ye n d o ( 2 ) y ( 3 ) e n ( 1 ), se obtiene:
x
e
x x
d x C e x
x
x
e
x
d x C x
x
xe
x
e
x
d x C x
x
x e x
e
x
x
d x C xe x e ,
x
x
xe xe La obtenc obtención ión de la la identida identidad d anterior anterior demu demuestra estra que que (2 ) es la solució solución n general general de de la ED (1 ).
x c o s t , x y y' 0 y se n t Solución - Juan Beltrá n: x y y' 0 ( 1 ) x c o s t
19.
y 1 x2
y s e n t 1 c o s t x (3) y ' 2 1 x S us u s ti ti tu t u ye ye nd nd o ( 2 ) y ( 3 ) e n ( 1 ) , s e o b t iene: 2
x
1 x
2
x 2
0
x x
( 2 ),
0
1 x La obten obtenció ción n de la la identid identidad ad anteri anterior or demu demuestr estraa que (2 ) es la la soluci solución ón gener general al de la la ED (1 ) .
t , y e x t e
t
20.. 20
(1 x y) y' y
2
0
Solución - Juan Beltrá n: (1 x y) y' y
t y e x t e
2
0
(1)
t
(2),
t
t
1 t ' e + te te t ' t 'e t
y' e t '
e t
t
e
1 + t t ' t
e
2t
1 t e
t
(3)
1 t 1 t S us us t it i t uy uy e nd nd o ( 2 ) y ( 3 ) en en ( 1 ) , s e ob ob ti ti een ne :
e 2 t e 2 t 2 t t 2 1 t e e 1 t e 0 1 t 1 t e 0 1 t 2 t 2 t e e 0 0 0 t
t
e
2 t
(1 t )
e 2t 0
La obtención obtención de la la identidad identidad anterior anterior demuestra demuestra que ( 2 ) es la solución solución general general d e l a E D ( 1 ) .
21.. 21
arctant , y e
x e
arctant
y x y' 0
Solución - Juan B eltrán: y x y' 0 ( 1 ) arctan t
x e y
arctant e
y '
1 2
(3)
a r ct a n t e
y
1
x
1 x
(2),
x Sustituyendo ( 2 ) y ( 3 ) e n ( 1 ) , s e o bt bt ie i e ne ne : 1 1 1 1 x 2 0 0 0 0 x x x x La obtenció obtención n de la identidad identidad anterior anterior demuestr demuestraa que ( 2 ) es la solución solución general general de la ED ( 1 ).
