VEINTIÚN EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES E n los problemas 1 a 1 0 , a plicando el Teorema Teorema de existencia y unicidad, señalar la región del plano solución única.
x y
en que las ecuaciones dadas admiten
“Teorema “T eorema de exi stencia y unicidad d e soluciones (Teorema (Teorema de Picard)” Sea Runa región rectangular en el plano xydefinida por a x b, c y d que contiene al p u n t o ( x0 , y0 ) e n s u i n te te ri ri or or . S i f ( x, y) y l a d er er i va va d a p a r ci ci al al f / y s on on c o n ti ti nu nu a s e n R, e nt nt on on c e s existe un interv alo Icon centro en 0x y una única función p r o bl e ma d e va l o r i n i c i a l :
2
dy dx
(y )x definida en Ique satisface el
f x( y, ) , y x(0 ) y0 .
2
y' x y Solución - J uan Beltrá n: El problema de valor inicial está dado por,
1.
y' x y (1) ( x 0 , y 0 ) La ED ED en (1 ) está está escrit escritaa en la la f o r m a y ' f ( x, y) , d e d o n d e s e d e d u c e q ue: 2
2
2
2
f ( x, y) x y : f e s c o n t i n u a x, y ¡ f y 2 : co nti n u a y ¡ ; y por lo tanto tanto,, de acuer acuerdo do con el Teorem Teoremaa de Picar Picard, d, para para cada cada punto punto ( x 0 , y 0 ) del del plano plano xy , existe una solución única que cumple l os requisitos del problema de valor inicial planteado por (1 (1 ).
2. y '
x
y Solución - Juan Beltrán Bel trán: El problema de valor inicial está dado por, x y ' (1) y ( x 0 , y 0 ) L a E D e n ( 1 ) e s t á e s c r i t a e n l a f o r m a y ' f ( x, y), de donde se deduce que: x f( x, y) : f e s c o n t i n u a s i y 0 y f x 2 : continua si y 0; y y p or or lo l o ta t a nt nt o , p ar a r a c ad a d a p un u n to t o ( x 0 , y 0 ) ub ub ic i c ad a d o e n a llg g un un o d e l os os se se m mii pl p l an an os os y 0 ó y 0 existe un intervalo, centrado en x 0 , tal q ue el problema plantea planteado do por por ( 1) tiene tiene soluci solución ón única.
3. y' y 3 3 y Solución - J uan Beltrá n: El problema de valor inicial está dado por,
y' y 3 3 y (1) ( x 0 , y 0 ) La ED en en ( 1 ) está está escr escrita ita en en la f o r m a y ' f ( x, y) , d e d o n d e s e d e d u c e q u e: f ( x, y) y 3 3 y : f e s c o n t i n u a e n ¡ f 1 1 2 : c o n t i n u a s i y 0; 3 y y p or or lo l o ta t a nt nt o, o , pa p a ra ra ca c a da da pu p u nt nt o ( x 0 , y 0 ) ub ub ic ic ad ad o e n a lg lg un un o d e l os os se s e m iplanos y 0 ó y 0 existe un intervalo, centrado en x 0 , tal que el problema plantea planteado do por por ( 1) tiene tiene soluci solución ón única.
4. y'
x y Solución - Juan Beltrán: El problema de valor inicial está dado por, y' x y (1) ( x 0 , y 0 ) L a E D e n ( 1 ) e s t á e s c r i t a e n l a f o r m a y ' f ( x, y) , de donde se deduce que: f ( x, y) f
x y : f e s conti nua si y x 1 : continua continua si y x; y 2 x y por lo tanto, para cada pu n t o ( x 0 , y 0 ) u b i c a d o e n el semip lano y x( p unto s bajo la recta y x) existe un intervalo, c entra d o e n x 0 , tal que el el problema problema plantead planteado o por ( 1 ) tiene solució solución n única. A la derecha se observa dicha reg ión.
5. y'
x y x Solución - J uan Be l t r á n: El problema de valor inicial está dado por, 2
y' x y x (1) ( x 0 , y 0 ) La ED ED en (1 ) está está escrit escritaa en la la form form a y ' f ( x, y ), ), de donde se deduce q ue : 2
f ( x, y) f
y
2
x 1
y x:
f es cont inua si y x
: continua continua si y
x 2;
2 x y p o r l o t aan n t o, o, p ar ar a c ad ad a p un un to to ( x 0 , y 0 ) u bi bi ccaa do do e n 2
2
2
l a r egión y x(puntos bajo la curva de y x) existe un inter valo, centrado en x 0 , tal que el problema problema plantead planteado o por ( 1 ) tiene solució solución n única. A la derecha se observa dicha reg ión.
2
6. y ' 1 y
2
Solución - Juan Beltrá n: El problema de valor inicial está dado por,
(1) y ' 1 y ( x 0 , y 0 ) L a E D e n ( 1 ) e s t á e s c r i t a e n l a f o r m a y ' f ( x, y) , de donde se deduce que: 2
f ( x, y) y' 1 y : f e s c o n t i n u a s i 1 y 2
2
0,
2
y 1 0 ( y 1) ( y 1) 0 1 y 1 f y : c o n t i n u a s i 1 y 1; 2 y 1 y p o r l o t aan n t o, o, p ar ar a c ad ad a p un un to to ( x 0 , y 0 ) u bi bi ccaa do do e n la regió n 1 y 1 ( p u n t o s e ntre ls recta s y 1 e y existe un intervalo, centrado en x 0 , tal que el problema problema plantead planteado o por ( 1 ) tiene solució solución n única. A la dere cha se observa dicha regió n .
7. y '
1)
y 1
x y Solución - J uan Beltrán: El problema de valor inicial está dado por, y 1 y ' (1) x y ( x 0 , y 0 ) La ED ED en (1 ) está está escrit escritaa en la la form form a y ' f ( x, y) , d e d o n d e s e d e d u c e q u e : y 1 : f e s c o n t i n u a s i x y, f( x, y) x y f x 1 : continua continua si x y; y ( x y ) 2 p o r l o t aan n t o, o, p ar ar a c ad ad a p un un to to ( x 0 , y 0 ) u bi bi ccaa do do e n el palno x y con excepción de los puntos sobre la recta y x, existe un intervalo, centrado en x 0 , tal que el problema planteado planteado por por ( 1 ) tiene solución solución única. única. y' s e n y c o s x Solución - Juan Bel t r á n: El problema de valor inicial está dado por, y' s e n y c o s x (1 ) ( x 0 , y 0 ) La ED en en ( 1 ) está está escr escrita ita en en la f o r m a y ' f ( x, y) , d e d o n d e s e d e d u c e que: f ( x, y) s e n y c o s x: f e s c o n t i n u a x, y ¡ f c o s y : c o n t i nu nu a s i y ¡ ; y p or or l o t an a n to to , p ar ar a c ad ad a p un un to to x( 0 ,y 0 ) u bi bi ca c a do do e nel palno x y , e xi xi st st e u nintervalo, centrado en x 0 , tal que el problema problema planteado planteado por ( 1 ) tiene solución solución única.
8.
9. y ' 1 c o t y Solución - Juan Belt r á n: El problema de valor inicial está dado por, y ' 1 c o t y (1) ( x 0 , y 0 ) La ED ED en (1 ) está está escrit escritaa en la la forma forma y ' f ( x, y) , d e d o n d e s e d e d u ce qu e: f ( x, y) 1 c o t y : f e s c o n t i n u a s i y k , k ¢ f c s c 2 y: c o n t i n u a s i y k , k ¢ ; y p o r lo lo ta ta n t o, o, pa pa r a ca ca d a pu pu n t o ( x 0, y 0) u b i ca ca d o e n el palno x xyy a excepción de los puntos en las rectas d e l a form formaa y k , , k ¢ , existe un intervalo, centrado en x 0 , tal que el problema planteado p o r ( 1 ) tiene tiene solució solución n ún i ca.
10. y' 3 3 x y 1 Solución - Juan Beltrá n: El problema de valor inicial está dado por,
y' y' 3 3 x y 1 (1) ( x 0 , y 0 ) L a E D e n ( 1 ) e s t á e s c r i ta ta e n l a f o r m a y ' f ( x, y) , d e d o n d e s e d e d u c e que: f ( x, y) y ' 3 3 x y 1 : f e s c o n t i n u a x, y ¡ f 1 : c on on ti ti nu n u a s i y 3 x; 2 3 y (3 x y ) p o r l o t a n t o , p a r a c a d a p u n t o ( x 0, y 0) u bicado e n el paln o x y a excepción de los puntos sobre la recta y 3 x, existe un intervalo, centrado en x 0 , tal que el problema planteado por ( 1 ) tiene tiene soluci solución ón ú n i ca .
E n los problemas 1 1 a 2 5 , verificar que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas: “Se demuestra que una función es la solución de una ED cuando al sustituir dicha función y sus derivadas en la ED, la convierten en una identidad”. y
s e n x
, x y' y c o s x x Solución - Juan Bel trán: x y' y c o s x ( 1 ) se n x (2), y x xc o s x s e n x (3) y ' 2 x Sust i tu tu y e n d o ( 2 ) y ( 3 ) e n ( 1 ), se obtien e : xc o s x s e n x s e n x c o s x xc o s x s e n x s e n x c o s x, x 2 x x x x xc o s x s e n x s e n x xc o s x c o s x c o s x c o s x c o s x x x La obtención obtención de la la identidad identidad anterior anterior demuestra demuestra que ( 2 ) es la solución solución de la ED ( 1 ) .
11.
