PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Estructural y geotecnia ICE3413 – HORMIGÓN ARMADO AVANZADO
Tarea N°5
1. La figura muestra una viga alta que se usa para distribuir la carga vertical de una columna en un edificio. El espesor de la viga y las columnas es de 35 cm, el hormigón y el acero A630-420H. Diseñe esta viga según los requerimientos del código ACI. Dibuje el modelo puntal tensor a escala y verifique que se cumple el diseño en los puntales, tensores y nodos. Coloque los resultados relevantes de la verificación del diseño de los elementos en una tabla (ancho puntal, fuerza, tensión última, tensión de resistencia, factor de utilización, etc). Dibuje un plano con la armadura longitudinal y transversal. Verifique la longitud de desarrollo de la armadura longitudinal inferior.
El modelo puntal-tensor a utilizar es el que se muestra a continuación. Se incluyen las principales dimensiones. La distancia de los nodos al borde de la viga se eligió de manera arbitraria (10 cm). Las líneas punteadas son puntales y la línea continua corresponde a un tensor.
Los cálculos a continuación se basan en el apéndice A del Código ACI318. a) Equilibrio de fuerzas
→ 1+2 = 50 = 170∗ 2− 50 ∗ 105 = 0 Con esto queda R1 = 19,12 ton y R2 = 30,88 ton. b) Comprobación requisito ACI ángulos
Requisito ACI:
≥ 25° 60 → 1 = 29,745° 25° !" 1 → tan1 = 105 2 → tan2 = 60 65 → 2 = 42,709° 25° !"
c) Equilibrio de nodos
Para encontrar las fuerzas en los tensores y puntales se hace equilibrio de fuerzas en todos los nodos: -
Nodo B
-
Nodo C
-
Nodo D
Resumen solicitaciones: Pab 50 ton Pbc 38,54 ton Pbd 45,53 ton Tcd 33,45 ton Pce 19,12 ton Pdf 30,88 ton
Resistencia efectiva de los puntales La resistencia a la compresión de los puntales está dada por * .
0,(5 ) $ -
# = $%& ∗'%#, en que $%& = ) =
Los puntales Pab, Pce y Pdf son prismáticos en zona no agrietada por lo que el factor * . Los puntales Pbc y Pcd son puntales botella con armadura para controlar el agrietamiento (ya que eventualmente diseñaremos una doble malla) por lo que * .
1
) = 0,75
Luego se obtienen las siguientes tensiones efectivas:
-./ = 0,2125 3 $%& = 0,(5 ∗ 1 ∗ 250 3 $%& = 0,(5 ∗ 0,75 ∗ 0,25 3 = 0,15975
Casos prismáticos Casos botella
d) Resistencia en nodos
La resistencia en los nodos queda definida por
= %& ∗ ', en que $%& = 0,(5) $
) depende del tipo de nodo: 1 para nodos de tipo CCC (caso nodo B) y 0,8 para nodos de tipo
CCT (casos nodo C y D). Luego,
3 $%& = 0,(5 ∗ 1 ∗ 0,25 3 = 0,2125 3 3 Nodo C, D $%& = 0,(5 ∗ 0,( ∗ 0,25 = 0,17 Nodo B
e) Verificación de resistencia y cálculo de los anchos de los puntales y tensores
La resistencia mínima está dada por:
8 ≥ 8 = 0,75 = $%& ∗ &#:&#; <>? @; ∗ ?%A :?B Se podría calcular el ancho de cada puntal y luego comprobar que los nodos tengan una resistencia dada por los anchos que supere las solicitaciones. Sin embargo, como se recomendó en clases, se adelantará este paso. Así, el ancho de cada puntal quedará restringido por la menor tensión efectiva de los nodos de los extremos y la tensión efectiva del mismo puntal.
$%& C D = 0,2125 3 $%& :?B 'D = 0,2125 E%@
F . En este caso son Pab iguales y no importa cuál utilizar. Los dos controlan de la misma manera el ancho del puntal.
0,75 ∗ 0,2125 %@F ∗ 5 %@ ∗ G?H ≥ 50 → G?H ≥ (,965 %@ I 9 %@ 3 $%& :?B DK = 0,159 3 . Así $%& C D = 0,2125 3 J$%& C % = 0,17
Pbc controla el puntal BC.
0,75∗0,15975 %@F ∗5 %@∗GH% ≥ (,54 → GH% ≥ 9,212I10 %@ Pbd
3 3 $%& C D = 0,2125 3 J$%& C L = 0,17 $%& :?B DL = 0,159075
Así controla fce del puntal BD.
0,75∗0,15975 %@F ∗5 %@ ∗ GHC ≥ 45,5 → GHC ≥ 10,((I11 %@ $%& C K = 0,17 3 $%& :?B KM = 0,2125 3
Pce En este caso, controla el nodo C. Si no hubiésemos hecho este control, cuando se comprobara la resistencia de los nodos resultaría un nodo con resistencia deficiente y se tendría que aumentar el ancho del puntal CE.
0,75∗0,17 %@F ∗5 %@∗G%& ≥ 19,12 → G%& ≥ 4,2(46I5 %@ $%& C L = 0,17 3 $%& :?B L = 0,2125 3
Pdf Nuevamente el nodo controla por sobre el puntal ya que tienen una tensión de resistencia efectiva menor.
0,75∗0,17 %@F ∗5 %@ GC$ ≥ 0,( → GC$ ≥ 6,902 I7 %@ T se tiene el nodo C y D con fce = 0,17 ton/cm2. Así:
0,75∗ 0,17∗ 5∗ G ≥ ,45 → G ≥ 7,49 I( %@ f)
Verificación de nodos
Como se dijo anteriormente, adelantamos este paso viendo cuál tensión de resistencia efectiva es la menor en cada caso. De igual manera se muestra la verificación:
g) Diseño de la armadura del Tensor
El código ACI determina que Con esto se obtiene que:
N O 8 = 8'# ∗$, en que fy es la tensión de fluencia.
'# ≥ ,45 = 10,619 %@F 0,75∗4,2 %@F El área de armadura longitudinal se cumple con 4822, dando Ats = 15,2 cm . Si se hubiese elegido 481( el área sería 10,178 cm , lo que no es suficiente en este caso. 2
2
h) Cálculo armadura transversal y horizontal distribuida
Para este caso se tratará el problema como una viga alta ya que según ACI se puede siempre y cuando y en este caso Ln = 140 cm y h = 80 cm, luego 140 cm < 320 cm.
P O 4A
La armadura queda limitada por:
'<,'
Así privilegiamos la simetría y facilidad de construcción. La armadura en dos capas permite el armado de los estribos.
Verificación:
'<, '
Longitud de desarrollo
En este caso la longitud de desarrollo debe comenzar desde el borde derecho de la zona nodal extendida. Basándose en las tablas del Profesor R. Jordán se calcula la longitud de desarrollo. Revisando las tablas a continuación, para un anclaje simple se necesitarían 143 cm, los cuales no caben dentro de las dimensiones de la viga, por lo que se debe considerar anclaje con gancho. En el último caso se necesitarían 44 cm con una longitud de doblado de 35 cm.
Tabla 1. Anclaje simple
Tabla 2. Longitud de gancho
Tabla 3. Anclaje en gancho
j)
Dibujo final de la viga
Corte A-A
k) Tabla resumen: Tipo puntal
Puntal AB Puntal B* Puntal B, Puntal *Puntal ,F Tensor *, odo B
!"
"#2$2!
Ancho puntal/tensor [cm] %
Botella
&'#!+
"#$!%&(!
$"
Botella
+!#!&
"#$!%&(!
Prismtico
$%#$2
Prismtico
&"#''
.
&&#+!
Prismtico
Solicitación [ton]
fce [ton/cm2]
"#$!'(&"$)
Factor de utilización [fn/fu] $#&&'(!
&!"
"#$$"$$+2%
$#++(&!%'%
$$
&'!
"#$$'2!%(+
$#&+())%$2
"#2$2!
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"#$"%2!($+
$#%++%!2%&
"#2$2!
(
2+!
"#$2)"+"'2
$#)'!%)$(%
'
2'"
"#$$%+)+2%
.
Área transversa l [cm2] &$!
fu [ton/cm2]
As
$!#2"!&"'+
$#%"%$')($
"#2$2!
odo *
"#$(
odo ,
"#$(
Se debe añadir a la tabla que para la verificación del corte se añade una doble malla de diámetro 8 con espaciamiento de 11 cm.
2. La figura muestra una cepa de un puente (las unidades están en centímetros) que está sometida a cargas verticales últimas. El ancho de la cepa es de 90 cm. Utilizando CAST dibuje un modelo puntal tensor de la mitad de la cepa y verifique las tensiones en los puntales y nodos. Considere hormigón H30 y acero A630-420H. Indique la cantidad de acero (en cm2) que necesita en cada uno de los tensores.
El diseño del modelo se basó en la propuesta que se muestra en la diapositiva 3 del capítulo 7 de clases. Esta es la siguiente:
Para modelar la mitad de la cepa se determinó arbitrariamente un largo de la columna de apoyo igual a 100 cm. Sobre la mitad de la cepa actúan 5 fuerzas de 70 toneladas. Se supuso que a primera se encuentra a 57,5 cm del borde y las demás a 115 cm de la anterior. La distancia entre el borde superior y los tensores horizontales se eligió de 40 cm arbitrariamente. El modelo dibujado en el software CAST quedó así:
Se trabajará con toda la cepa por autorización del Profesor. Las fuerzas en los puntales y tensores que arrojó el programa se muestra a continuación:
Como no se ven bien las fuerzas resultantes se muestran los resultados en la siguiente tabla de tres columnas0 Los valores negativos representan compresión y los positivos a tracción, por lo tanto, los valores negativos corresponden a puntales y los positivos a tensores. Esto se muestran en la imagen anterior donde la línea punteada son puntales, la línea continua tensores, las flechas fuerzas externas y las tres líneas fuera del contorno apoyos. Para conocer el número de elemento por favor ver la primera imagen donde se muestra la enumeración de los elementos. 1-lemento
-)
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-$2
2)&"
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-(
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-$&
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.$$++
-+(
.$%"'
Luego de obtener los esfuerzos, se indicó en el software cuáles puntales son botella y cuáles puntales son prismáticos, además de indicar los tensores. Para clasificar los nodos se determinó que ,si es que existe una mayor cantidad de tensores, el nodo será CTT, si es que existe una mayor cantidad de puntales que llegan al nodo será CCT. Para el caso de los dos nodos inferiores que sólo llegan puntales serán CCC. Se le indicó al programa la clasificación de los nodos y luego se realizó el análisis. En la tabla siguiente se muestra la clasificación de todos los elementos. El elemento E30 es el puntal que se creó para poder correr el programa y evitar tener un mecanismo. De igual forma tiene 0 KN de fuerza. 1 -lemento
Tipo -lemento
-$)
Tensor
-&2
Puntal 3otella con Armadura
-$
Puntal Prismtico
-$(
Tensor
-&&
Puntal 3otella con Armadura
-2
Puntal Prismtico
-$'
Tensor
-&+
Puntal 3otella con Armadura
-&
Puntal Prismtico
-
%$Tensor
-&!
Puntal 3otella con Armadura
-+
Puntal Prismtico
-2"
Tensor
-&)
Puntal 3otella con Armadura
-!
Puntal Prismtico
-2$
Tensor
-&(
Puntal 3otella con Armadura
-)
Puntal Prismtico
-22
Tensor
-&'
Puntal 3otella con Armadura
-(
Puntal Prismtico
-2&
Tensor
-&%
Puntal 3otella con Armadura
-'
Puntal Prismtico
-2+
Tensor
-+"
Puntal 3otella con Armadura
-%
Puntal Prismtico
-2!
Tensor
-+$
Puntal Prismtico
-$"
Puntal Prismtico
-2)
Puntal Prismtico
-+2
Puntal 3otella con Armadura
-$$
Tensor
-2(
Puntal Prismtico
-+&
Puntal 3otella con Armadura
-$2
Tensor
-2'
Puntal Prismtico
-++
Puntal 3otella con Armadura
-$&
Tensor
-2%
Puntal Prismtico
-+!
Puntal 3otella con Armadura
-$+
Tensor
-&"
Puntal inventado
-+)
Puntal 3otella con Armadura
-$!
Tensor
-&$
Puntal 3otella con Armadura -+(
Puntal 3otella con Armadura
En la tabla siguiente se muestra la clasificación de los distintos Nodos.
1odo
Tipo nodo
$2
***
2+
**T
$
**T
$&
*TT
2!
**T
2
***
$+
***
2)
**T
&
**T
$!
*TT
2(
***
+
***
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***
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***
!
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$(
*TT
2%
***
)
***
$'
***
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***
(
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'
***
2"
***
%
**T
2$
**T
$"
***
22
**T
$$
**T
2&
**T
El programa calcula la resistencia efectiva de los distintos elementos y puntales trabajando con el código ACI. Entonces le aplica los distintos coeficientes a cada caso. A continuación se muestra la resistencia efectiva según el elemento sea puntal botella o prismático. El programa entrega las instrucciones en inglés. Strut corresponde al elemento. Por ejemplo, para el caso de la resistencia efectiva de un puntal prismático se debe hacer:
$%& = 8 ∗ 0,(5 ∗ $%S ∗ )* = 0,75 ∗0,(5∗1∗25:? = 15,975 :? Se ve que el programa lo calcula correctamente.
Se obtienen también la resistencia efectiva de los distintos nodos:
El programa le asigna a cada elemento y nodo su resistencia efectiva para luego calcular el mínimo ancho que debe tener el puntal. Algo muy importante que se debe destacar es que el programa NO determina el ancho de los puntales revisando si en el puntal controla la resistencia del puntal o la resistencia de los nodos en los extremos. Por ejemplo en el puntal E27 del centro, éste tiene una resistencia efectiva de 15,94 Mpa pero el nodo superior tiene una resistencia de 12,75 Mpa (menor!), por lo que lo que debería controlar el ancho del puntal debiese ser el nodo. El programa propone un ancho de 3,4 cm, sin embargo, el ancho debiese ser 4,3 cm, ya que controla el nodo. Por lo tanto, se verificará en cada elemento cuál es la resistencia que controla para determinar un ancho adecuado. Ese último se puede hacer de manera más rápida verificando que las áreas de los nodos cumplan con la resistencia dado cierto ancho que llega desde el puntal. El programa muestra si el nodo resiste con los anchos dados. Por ejemplo:
En la imagen se puede ver que, para el nodo 9, el Stress Ratio está bajo 1, lo cual es el límite. La zona que tomó es la del tensor izquierdo. Si se calcula a mano el ancho que debe tener el tensor da 46,44 cm, el tensor tiene un ancho de 470 cm. Así se comprueba con todos los puntales, tensores y TU para calcular los anchos en caso de que el programa se nodos. Se utiliza la expresión V,WR/XYZ[ equivoque.
G=
El ancho de los tensores se muestra en la siguiente tabla (en el programa se aproximó al máximo entero). Tensor
-2"
Tensor
-$2
odo 4ue controla
(
odo 4ue controla
!.)
5esistencia nodo [6pa]
%#!) 5esistencia nodo [6pa]
Fuerza []
+%" Fuerza []
7 tensor [cm]
!#( 7 tensor [cm]
%#!) 2)2%#( &"#)
Tensor
-2$
Tensor
-$&
odo 4ue controla
!
odo 4ue controla
!.(
5esistencia nodo [6pa] Fuerza []
%#!) 5esistencia nodo [6pa] %)"#+ Fuerza []
7 tensor [cm]
%#!) +&'2#'
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Tensor
-22
Tensor
-$+
odo 4ue controla
(
odo 4ue controla
(
5esistencia nodo [6pa] Fuerza []
%#!) 5esistencia nodo [6pa] !&&#) Fuerza []
7 tensor [cm]
%#!) !&&"#+
)#2 7 tensor [cm]
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Tensor
-$$
Tensor
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odo 4ue controla
&
odo 4ue controla
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5esistencia nodo [6pa]
%#!) 5esistencia nodo [6pa]
Fuerza []
$$2( Fuerza []
7 tensor [cm]
$&#$ 7 tensor [cm]
$2#(! !+'2#( +(#'
Cuando se revisó nodo por nodo se encontró que los nodos superiores no resistían, por lo que se realizaron los siguientes cambios (Se muestra los nodos y elementos del lado izquierdo, pero los cambios son para los dos lados). odo deficiente $
-lemento a cam3iar -$
& ! (
Ancho anterior [cm] !"
Ancho final [cm] )"
Factor de aumento $#$%)
-2
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$#!%+
-+2
$'"
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$#!%+
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$#!%+
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$#$%)
-2(
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+&
$#22"
A continuación se expone un resumen de las fuerzas, resistencias y ancho de cada elemento. Notar que el Stress Ratio de todos se encuentra bajo 1. También se muestra la fuerza y resistencia de cada nodo. -lemento
Fuerza []
-$
.)')
Tensión efectiva [6pa] $2#(
-2
.)')
-&
Stress 5atio
Ancho [cm]
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)"
%#!&
"#!%'
'"
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"#!%'
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222
Resistencia y Fuerzas de los nodos: (notar que todos tienen Stress Ratio menor que 1) odo
$
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Fuerza
5esistencia
Stress 5atio
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En el caso de los tensores, se calcula el ancho sólo para conocer el tamaño del elemento, ya que la cantidad de fierro se determina según la resistencia del acero. La resistencia del tensor se asume como la menor resistencia de los nodos sobre los que se apoya el tensor. El área de acero requerido se calcula según la siguiente expresión:
\ '* = 0,75$ ] La enfierradura calculada para cada tensor se muestra a continuación.
8
Fuerza []
As [cm2]
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1 Tensor
n
n real
Se observa que para todos los elementos se cumplen los requerimientos de diseño, por lo que la viga se encuentra diseñada correctamente. El software pinta de colores según el Stress Ratio que tenga el puntal. Como estamos diseñando con los valores límites, el modelo queda casi entero rojo. Para evitar esto se puede aumentar el ancho de los puntales, siempre y cuando, queden dentro de los contornos de la estructura. El modelo final queda así:
3. La viga de la figura es de hormigón H30, acero A630-420H y tiene un espesor de 35 cm. Los estribos son rectangulares de diámetro φ10 y están espaciados a 25 cm, excepto el primer estribo que está a 10 cm de la cara de la columna. Asuma que el brazo efectivo para el momento es jd=45 cm y que existe suficiente armadura de longitudinal de modo que no habrá fluencia de est a armadura.
a) Usando el modelo del reticulado plástico, y considerando un ángulo de los puntales de 42°, determine la carga máxima P que resistencia de la viga (notar que este modelo desprecia la contribución del hormigón a la resistencia al corte).
Como el reticulado inicialmente es hiperestático, se supone que los estribos están en fluencia y así queda un reticulado estáticamente determinado. Así se puede solucionar el problema sin considerar la rigidez de los elementos. El ángulo debe estar entre 25 y 65° lo cual se cumple para 45°.
45 = 1,999I2 &#;H# ^° M#;H# = # ∗ _C = >8 25∗>42 Así son 2 estribos que toman la carga. El equilibrio en la sección queda así: (ver diagrama siguiente)
N = 2 ∗ 2 ∗ '& ∗ $ = 2∗ 2 ∗ ` ∗ 0,5F ∗ 4200 = 1,19 13,19 toneladas es la carga máxima que puede resistir la viga por corte.
b) Dibuje el modelo puntal tensor del reticulado plástico y determine las fuerzas de los elementos. (Este cálculo realícelo a mano y no utilizando CAST).
Si la viga mide 285 cm y los estribos están espaciados cada 25 cm, caben 12 estribos. Finalmente, el reticulado queda así:
La línea segmentada simbolizada puntales en compresión y la línea continua tensores (tracción). Las fuerzas de los distintos elementos se pueden calcular haciendo equilibrio en cada nodo. Como el patrón se repite se mostrarán tres tipos de elementos: puntales horizontales inferiores, puntales diagonales y tensores. Nodos inferiores:
'&$ K − 1 = K +K% ∗ %#8 K% = #&8
Ahora, como se conoce la fuerza del estribo, con las ecuaciones de arriba, se pueden calcular las distintas compresiones Cn-1 a partir de la compresión Cn. Se parte de la base que la compresión horizontal en el último puntal es 0. Nodos Superiores:
− 1 = +K% ∗ bcd 8 Así, si se conoce la fuerza Cinc, y la fuerza del Tensor Tn se puede conocer la tensión en Tn-1. Finalmente, es necesario hacer equilibrio en los nodos de los extremos mediante las fuerzas conocidas del problema. Algunos casos que se resolvieron a mano se muestran a continuación. Notar que en el nodo b se genera una fuerza horizontal de reacción frente al tensor b-d y al puntal ab. Esta fuerza es de 85,70 toneladas.
Finalmente la fuerza en los elementos es:
Puntales inclinados [ton]
Tensores [ton]
Puntales horizontales[ton]
a.3
)#(!'&$"&2
3.d
'+#2+2(!$'
a.c
()#%$(!2++
a.d
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d.f
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e.h
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9.:
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o.4
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o.r
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2!#)+"%&&$
4.s
$'#&$!("!'
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t.v
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&#))!2!$"%
u.<
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7.=
"
7.<
(#!+($2""+
Se puede notar que la fuerza en los puntales y en los tensores disminuye a medida que se alejan del empotramiento. Las cargas flexurales van disminuyendo a medida que se acerca al borde, es por esto que a los elementos de las zonas menos solicitadas (cercanas al borde) resultan con valores menores. Además, notar que el esfuerzo de corte es constante a lo largo de la viga, el reticulado muestra esto al obtenerse que la fuerza en las diagonales se mantiene constante ( a excepción de los extremos). c) Determine la tensión de compresión en los puntales de hormigón (en las zona B) y grafique la fuerza del acero longitudinal a lo largo de la viga.
Se utiliza a ecuación vista en clases en que:
e _C $ = _C ∗ HG ∗ #& % e = '< ∗ $ ∗ ∗ bcd # ∗tan Luego para cada puntal lo único que cambia es el ángulo. Jd = 45 cm, bw = 35 cm. Así los resultados son: Puntales a.3 a.d
*ompresión [ton/cm2] &%#!!(!("2 $(#2'($%($
c.f e.h 9.: i.l ;.n m.p o.r 4.t s.v u.< 7.<
$)#'+'&'&% $)#'+'&'&% $)#'+'&'&% $)#'+'&'&% $)#'+'&'&% $)#'+'&'&% $)#'+'&'&% $)#'+'&'&% $)#'+'&'&% $)#'+'&'&% $%#(&&'&&)
Se observa que el primer puntal tiene una inclinación mayor que los demás y por tanto, su compresión aumenta. A medida que el ángulo crece, la compresión decrece (caso puntal a-d). Cuando al ángulo se mantiene constante, también la compresión. Finalmente, en el extremo el ángulo vuelve a disminuir y por lo tanto, la compresión vuelve a aumentar.
Finalmente se procede a graficar la fuerza del acero longitudinal a lo largo de la viga. Para esto simplemente se hace uso de las fuerzas en los puntales y la reacción horizontal en b, valores calculados anteriormente. El resultado obtenido es el siguiente:
Fuerza Acero Longitudinal ] n o t [ l a n i d u t i g n o L o r e c A a z r e u F
%" '" (" )" !" +" &" 2" $" " "
!"
$""
$!"
2""
2!"
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Longitud Viga [cm]
Se observa una disminución de la fuerza a medida que se avanza hacia la derecha sobre la viga, tal como se determinó anteriormente. d) Repita el problema a) pero considere un ángulo de los puntales de 31°.
En este caso se hace la misma suposición de los estribos se encuentran en fluencia quedando así un problema estáticamente determinado. Se hace el corte diagonal y luego se realiza el equilibrio de fuerzas. Así:
45 = 2,999I &#;H# ^° M#;H# = # ∗ _C = >8 25∗>1 Así son 3 estribos que toman la carga.
N = 2 ∗ ∗ '& ∗ $ = 2∗ ∗ ` ∗ 0,5F ∗ 4200 = 19,79 La resistencia de la viga es mayor cuando los puntales tienen un ángulo de inclinación menor. Sin embargo, es importante restringir el ángulo a un mínimo de 25° para evitar la concentración de tensiones en zonas de compresión.
