UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA - FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO
DNC
Cátedra:
ESTRUCTURAS – NIVEL 2
Taller: VERTICAL III – DELALOYE - NICO – CLIVIO
GE 10
Guía de estudio 10: ELEMENTOS DE MADERA SOMETIDAS A FLEXION
Curso 2009 Elaboró: Ing. Graciela Renzi/Ing. Alejandro Nico
Revisión: 0
Fecha: Octubre de 2009
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1.- INTRODUCCION La madera, es un material orgánico de origen natural y por consiguiente heterogéneo y complejo, cuyas características, aun para una misma especie vegetal, difieren según sea el clima, el suelo, la orientación, etc. Si a esto se le suma la posible destrucción de la madera con el tiempo, se observa la necesidad de trabajar con grandes coeficientes de seguridad aplicados a la tensión máxima de rotura que cada especie posea. A modo de comparación, el acero, cuyo proceso de fabricación esta rígidamente controlado, es un material que se lo afecta con pequeños coeficientes de seguridad. Además de lo recién mencionado, se suma otro factor destacable o diferente frente a otros materiales cual es el comportamiento anisotrópico de la misma, es decir que presenta características diferentes en dos direcciones distintas. Efectivamente, la madera esta constituida por fibras alargadas en dirección longitudinal del tronco, lo que provoca una mayor resistencia en esta dirección respecto a un esfuerzo perpendicular a las fibras, lo que produce una rotura del material por desgarramiento de una fibra respecto a la contigua. A pesar de lo comentado en los párrafos anteriores y simplificando, se considerara a la madera como un material homogéneo y elástico con lo cual su dimensionado se realizara de forma similar al acero (salvando las distancias de sus diferentes resistencias).
2.- CLASIFICACION DE LAS MADERAS Existen en el mundo una cantidad importante de diferentes especies arbóreas que nos proveen distintos tipos de maderas. Y para cada una de ellas deberían conocerse sus propiedades resistentes para poder realizar el dimensionado. Para evitar esa gran cantidad de información, se prefiere agrupar a las maderas en tres grandes grupos y en cada caso se buscara asociar la madera disponible a una de estas topología. Esta clasificación esta hecha en base a la dureza de la madera ya que esta esta íntimamente ligada a su resistencia: “maderas mas duras serán mas resistentes”. A su vez estas dos propiedades propiedades también se relacionan con la densidad. Entonces de acuerdo a lo anterior, se establece la siguiente clasificación: •
1.- MADERAS DURAS: Pertenecen a este grupo las maderas pesadas, son de estructura compacta y homogénea de color oscuro, difíciles de trabaja. Su peso especifico va para Maderas duras de 750 - 950 kg/m3 y Maderas muy duras, superior a 950 kg/m3. Merecen destacarse en este grupo: quebracho colorado, lapacho, curunday, algarrobo, alga rrobo, incienso, etc.
•
•
2.- MADERAS SEMIDURAS: Pertenecen a este grupo: nogal, roble, cedro, palo blanco, etc. Densidad 550 - 750 Kg/m3 3.- MADERAS BLANDAS Y RESINOSAS: Representadas por pino blanco, pino tea, pino sauce, pino Paraná; sauce etc . Densidad hasta 550 Kg/m3
A partir de la clasificación anterior es posible unificar los parámetros resistentes y elásticos en los 3 tipos diferentes .
3.- TENSIONES ADMISIBLES Y MODULO DE ELASTICIDAD Como ya se comento, existen múltiples causas que influyen en la resistencia de las maderas que hace muy difícil fijar las tensiones admisibles y obligan a aceptar coeficientes de reducción y de seguridad muy elevados Los ensayos han demostrado que es bastante mayor la resistencia a la tracción que a la compresión. Lo mismo sucede respecto a la resistencia a la flexión. Sin embargo, en la práctica, se consideran valores de tensiones admisibles poco diferentes, debido a la influencia desfavorable de los nudos y dirección no longitudinal de las fibras a los esfuerzos de tracción En la tabla I se vuelcan los valores de las tensiones admisibles de calculo y el modulo de elasticidad para las 3 diferentes clasificaciones mencionadas en el punto 2
TABLA l TENSIONES ADMISIBLES DE MADERAS (Kg/cm2) Tipos de maderas
CORTE TRACCION COMPR. FLEXION MODULO // L ELASTICO
Maderas duras
20
90
150
150
150
150000
Maderas semiduras Maderas blandas Y resinosas
15
80
100
80
100
100000
10
60
80
60
80
75000
De la tabla anterior merecen hacerse los siguientes comentarios: Los valores de tensiones que figuran son valores admisibles, no de rotura, que estos afectados de unos coeficientes de seguridad o disminución. En general, y para la madera, la tensión admisible es de 1/6 a 1/10 de la tensión de rotura, valores mucho mayores que, por ejemplo, los del acero, debido a la “inseguridad” que significa el origen “natural” de las maderas y sus condicionantes (humedad, nudos, podredumbres, etc.) • Se observa que para el corte figuran dos valores admisibles posibles: paralelos y perpendiculares “a la fibra” . De acuerdo a la forma de actuar del esfuerzo de corte estará en una u otra forma, pero como se vera mas adelante siempre deberá tomarse el menor de los dos en el dimensionado ya que las tensiones de corte actuante también lo hacen en los dos sentidos. • En los otros tipos de esfuerzos no aparece distinguido este comportamiento anisotrópico de la madera. Esto es, porque en “condiciones normales” (el eje longitudinal de la viga es paralelo a la dirección de las fibras (dirección de crecimiento del árbol)) los esfuerzos de tracción y compresión puras o por flexión actúan en la dirección paralela a las fibras y no perpendicular. • A mayor dureza de la madera mayor resistencia y mayor modulo de elasticidad (menos elástica es) • Comparar los valores admisibles con los del acero dulce (tensión admisible a tracción y compresión 1400 Kg./cm2 y Modulo de elasticidad 2.100.000 Kg./cm2) •
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4.- ESCUADRIAS COMERCIALES Si bien es cierto que es posible obtener cualquier forma y tamaño (limitado, claro esta, a un máximo) comercialmente se conocen una serie de tamaños tipos de los cuales no conviene apartarse por el encarecimiento que significan los cortes a medida. Habitualmente las medidas vienen expresada en pulgadas y su conversión a centímetros resulta inmediata recordando que: 1 pulgada = 2.54 cm
En la tabla II figuran las dimensiones de las escuadrias comerciales expresadas en pulgadas y centímetros. Simultáneamente se acompañan los valores del momento de inercia y él modula de inercia según el eje de simetría x y el y. TABLA II PIEZAS RECTANGULARES DE MADERA 3 Jx=b.h /12 3 Jy= h.b /12
Designación Alfajías Listones Tablas " Tablones Tirantes " " " " " " " " " " " " Vigas " " " " " "
3 Wx= b.h/6 3 Wy= h. b/6
Dimensiones Pulgadas cm. b D B d 1 3 2,5 7,6 1 6 2,5 15,2 1 12 2,5 30,5 11/2 12 3,8 30,5 2 12 5,1 30,5 2 3 5,1 7,6 2 4 5,1 10,2 2 6 5,1 15,2 3 3 7,6 7,6 3 4 7,6 10,2 3 5 7,6 12,7 3 6 7,6 15,2 3 9 7,6 22,9 3 12 7,6 30,5 4 4 10,2 10,2 4 6 10,2 15,2 4 9 10,2 22,9 4 12 10,2 30,5 6 6 15,2 15,2 6 8 15,2 20,3 6 9 15,2 22,9 6 12 15,2 30,5 8 8 20,3 20,3 10 10 25,4 25,4 12 12 30,5 30,5
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h b
Sección cm2 19,3 38,6 77,2 115,9 156 38,7 52 77,5 57,7 77,5 96,5 115,5 174 231,8 104 155 233,6 311,1 231 308,6 348,1 463,6 412,1 645,2 930,2
Momentos de inercia Jx Jy cm4 cm4 93 10 732 20 5911 39 8985 139 12058 337 186 84 451 112 1493 168 278 278 672 373 1297 464 2224 556 7606 837 17969 1115 902 902 2985 1344 10208 2025 24117 2697 4448 4448 10600 5940 15211 6701 35939 8925 14152 14152 34686 34686 72113 72113
Módulos resistentes Wx Wy cm3 cm3 24 8 96 15 387 31 589 73 790 132 49 32 84 44 196 65 73 73 131 98 204 122 292 146 664 220 1178 293 176 176 392 263 891 397 1581 528 585 585 1045 782 1328 881 2356 1174 1394 1394 2731 2731 4728 4728
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Si el tamaño requerido supera los existentes en "la naturaleza" es posible "fabricar" formas y tamaños diversos a través de la técnica del clavado o encolado, creando las conocidas como vigas laminadas, que consisten en vigas conformadas por laminas de pequeño espesor pegadas una con otras obteniéndose tamaños tan altos y largos como se quiera. También se
pueden lograr uniones a través del abulanamiento o utilizando planchuelas de unión.
VIGAS LAMINADAS DE MADERA
Asimismo es posible obtener secciones con formas no "rectangulares" buscando alejar la sección del eje de simetría para mejorar el comportamiento de la sección frente a solicitaciones de flexión. Por ejemplo:
5.- CALCULO DE UN ELEMENTO DE MADERA SOMETIDO A FLEXION Dimensionar un elemento de madera sometido a flexión, consiste en encontrar él modulo resistente (W) necesario para soportar el Momento Flector solicitante. Siendo así, si se tiene una sección sometida a un Momento flector, el diagrama de tensiones correspondientes tendrá una variación lineal . En este gráfico se representa el eje neutro, donde no se producen tensiones, y desde allí se ve crecer las tensiones hacia los extremos, constituidos por las fibras más alejadas, donde se hacen máximas.
Cuando se estudio la flexión simple para un material homogéneo, elástico y hookiano (como puede considerarse a la madera, dejando de lado su condición Cátedra de Estructuras – Taller Vertical III - DNC
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anisotrópica) se vio que la ecuación fundamental establece que el Momento Flector máximo es igual al producto de σ (capacidad resistente del material) por W (Modulo resistente, valor que depende de la sección en relación con el trabajo de flexión) Entonces: Mf = σ
σ
máx. =
Donde
σ
xW
(1)
Mf / W
máx.
o
(2)
Es el valor de las tensiones máximas ubicadas en las fibras
más alejadas del eje neutro En la práctica cuando se realiza el cálculo de una estructura pueden darse dos situaciones igualmente frecuentes: El dimensionado y la verificación
5.1. DIMENSIONADO En este caso, conociendo las solicitaciones a que esta sometida la pieza, y habiendo decidido el material a utilizar ( σ adm), se deberá averiguar la cantidad necesaria de y como disponerla, para lograr la mayor eficiencia. Para ello deberemos hacer σ máx =σ adm. Entonces de (2) Wxnec = Mf /
adm
σ
Obtenido el valor de Wx, se deberá buscar en la tabla II la escuadría o sección que mejor satisfaga las necesidades o bien, dada una base "b" determinada, despejar el "h" de la formula de Modulo Resistente para una sección rectangular recordando que: Wx = b x h2 / 6 O sea que
hnec = √ Wx x 6 / b Puede darse el caso que el momento flector tan grande que el resultado anterior sobrepase las escuadrias comerciales. De ser así, puede recurrirse a las llamadas secciones compuestas, consistentes en la unión de dos o más secciones comerciales.
Optando por esto, se deberá asegurar la efectividad de la unión, ya que no es lo mismo el funcionamiento de una sección vinculada monolíticamente, con el de una en que las partes puedan deslizarse entre sí ante la acción de una fuerza.
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Estas uniones se realizan con pernos, pasantes o mediante el encolado (vigas laminadas). De acuerdo a la figura anterior, el modulo resistente de la sección vinculada será: Wx total = b x (h total) 2 / 6 Y en el caso de estar separadas ambas secciones será:
Wx = 2 x (b x ha2 / 6) El valor de Wx en este último caso será menor al anterior, lo que nos indica un mal aprovechamiento del material
5.2.- VERIFICACIÓN: Es el otro caso que se puede presentar. Aquí de antemano, se propone la sección, por ejemplo ya comprada, Por los cálculos también se conoce el momento flector solicitante. El proceso es inverso y deberemos verificar aquí que la tensión σ máx. de trabajo sea menor a la σ adm para le material utilizado, es decir:
tr = Mf / Wx < σ adm.
σ
5.3.- VERIFICACION DE LA FLECHA Y EL CORTE Una vez definida la escuadría de la pieza, es necesario verificar condicionantes que de no ser satisfechos pueden obligar al redimensionamiento. La primera verificación es la flecha, es decir la máxima distancia normal, desde la traza original del eje longitudinal de la pieza, al eje de la elástica – traza deformada por la aplicación de las fuerzas. Se debe tener en cuenta que por razones estéticas y constructivas, la flecha de trabajo – es decir la obtenida en la verificación- no debe ser mayor que una flecha admisible establecida por los reglamentos.La flecha se calcula con la formula vista en el TP N1 que relaciona a los cinco factores actuantes en la flexión. Ellos son: • • • • •
Las condiciones de apoyo representada por la constante K, la carga puntual P o uniforme q, la luz L de la pieza, la elasticidad del material (E) el momento de inercia (J).
Así se tiene que para cargas distribuidas F = k x q x l 4 / E x J
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Y para cargas puntuales F = k x P x l3 / E x J En general y para construcciones de madera, los reglamentos establecen los siguientes valores de flecha admisible: F adm = l/300 para construcciones definitivas F adm = l/250 para construcciones provisorias La otra verificación que es necesario realizar es el CORTE, en la que se deberá constatar que la tensión tangencial de trabajo sea menor que la admisible para el material que sé esta utilizando El esfuerzo de corte (Q) es la otra acción externa interviniente en la flexión. Este produce deslizamientos horizontales y verticales (normales y tangenciales a la sección de la pieza respectivamente), de igual valor, los que también deben ser contrarrestados por esfuerzos internos de corte τ (kg/cm2)
Los esfuerzos de corte se generan cuando las fuerzas actuantes, iguales y de sentido contrario, se sitúan en dos planos muy próximos entre sí. A esta acción se opone el material, generando reacciones de corte cuyo valor responde a la expresión que relaciona el esfuerzo de corte Q en forma directamente proporcional al esfuerzo rasante máximo, y en forma inversamente proporcional al producto de b, ancho de la sección por z, brazo de la cupla que se genera entre las dos fuerzas rasantes τ
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= Q/b x z
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Ahora, si tomamos una sección rectangular de madera y la consideramos homogénea, con tensiones σ + y σ -, con el brazo de la cupla interna, reemplazando los valores correspondientes en la expresión anterior tendremos que para esa sección:
= 3/2. (Q / b x h)
τmax
Expresión que dice que la tensión máxima de una viga de madera de sección rectangular es una vez y media mayor que la tensión media, cuyo valor es τmedio = Q / (b x h). Este valor, el máximo, deber ser menor que el valor considerado admisible, que para la madera según sea su tipo, puede ser tomado de la Tabla I. Como la tensión de corte actua simultaneamete en los dos sentidos (vertical y horizontal) para esta verificación debe tomarse la tensión tangencial mas desfavorable es decir con las fibras paralelas al eje longitudinal de la pieza, la tensión tangencial a verificar será la / / a las fibras. En general, el esfuerzo rasante en vigas de secciones rectangulares es menor que el admisible cuando esas secciones son dimensionadas a flexión, pero es fundamental conocer el valor cuando se acoplan mas de una sección (secciones compuestas) ya que es aquí donde es absorbido por los bulones o el sistema de unión.
6.- CALCULO A FLEXION COMPUESTA. Muchas veces es posible que una sección no se halle sometida solamente al efecto de un momento flector sino también y simultáneamente a una fuerza axil, ya sea de tracción o compresión. Se dice que la sección esta sometida a flexión compuesta (flexo compresión o flexo tracción, según el caso) El diagrama de tensiones resultantes será la suma de los diagramas de cada uno de los esfuerzos por separado:
En este caso, momento positivo y esfuerzo axil de tracción, la tensión máxima esta dada en el borde inferior y vale:
max = M / W + o - N / A
σ
El dimensionado a flexión compuesta es bastante complejo (hay que satisfacer simultáneamente un modulo resistente y un Área) y se prefiere la verificación, es decir proponer una dada escuadría y “verificar” que la tensión máxima de trabajo sea menor que la admisible. En la mayoría de los casos, el esfuerzo axil es muy pequeño y se puede “empezar” dimensionando la escuadría necesaria para soportar el esfuerzo de flexión simple y luego verificar a flexión compuesta.
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