Unidad IV conceptos básicos de diseño factorial.
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CENTLA
Materia: estadística inferencial II Carrera: ingeniería industrial Profesor(a): ing. Ind. María del rocío cruz torres Alumno: César Augusto García Sánchez Trabajo: investigación de la unidad 3 diseño bloques Semestre: 4 Grupo: A
Unidad IV conceptos básicos de diseño factorial.
INTRODUCCIÓN
El diseño de tratamientos es independiente del diseño experimental que indica la manera en que los tratamientos se aleatorizan a las diferentes u. e. y las formas de controlar la variabilidad natural de las mismas. Así, el diseño experimental puede ser diseños factoriales a 2factores, diseño factorial general etc. y para cada uno de estos diseños se puede tener arreglo factorial de los tratamientos, si estos se forman por la combinación de niveles de varios factores. A ambos tipos de diseños, el de tratamientos y el experimental, les corresponde un modelo matemático. La necesidad de estudiar conjuntamente varios factores obedece a la posibilidad de que el efecto de un factor cambie según los niveles de otros factores, esto es, que los factores interactúen, o exista interacción. También se utilizan los arreglos factoriales cuando se quiere optimizar la respuesta o variable dependiente, esto es, se quiere encontrar la combinación de niveles de los factores que producen un valor óptimo de la variable dependiente. (superficie de respuesta) Si se investiga un factor por separado, el resultado puede ser diferente al estudio conjunto y es mucho más difícil describir el comportamiento general del proceso o encontrar el óptimo.
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Conceptos Básicos En Diseños Factoriales
En este resumen se presenta la familia de diseños factoriales completas desde una perspectiva un tanto general: factoriales para cualquier número de factores y de niveles de prueba en cada uno de ellos, sin dejar cierto nivel de generalidad, se presentan los diseños factoriales para dos o para tres factores y el caso con cualquier cantidad de factores. Diseño Factorial: es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, es
decir, busca estudiar la relación entre los factores y la respuesta, y tiene la finalidad de conocer mejor como es esta relación y que permita tomar acciones y decisiones que mejoren el desempeño del proceso. Uno de los objetivos particulares más importantes que en general tiene un diseño factorial es determinar una combinación de niveles de los factores en la cual el desempeño del proceso sea mejor que en las condiciones de operación actuales, es decir, encontrar nuevas condiciones de operación que eliminen o disminuyan cierto problema de calidad en la variable de salida. Los factores pueden ser de tipo cualitativo (maquinas, tipo de material, operador, presencia o ausencia de una operación previa, etc.) o de tipo cuantitativo (temperatura, humedad, velocidad, presión, etc.). Para poder estudiar de manera en que influye cada factor sobre una variable de respuesta, es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada uno de ellos. Factor Cualitativo: Sus niveles toman valores discretos o de tipo nominal que no pueden
ser fracciones. Factor Cuantitativo: Sus niveles de prueba pueden tomar cualquier nivel de cierto
intervalo. La escala es continua. Cabe mencionar que en la materia solo usamos este tipo de factores. Experimento Factorial: Un diseño de experimentos factorial o arreglo factorial es el
conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formase considerando todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores.
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Efecto Principal Y Efecto De Interacción: El efecto de un factor se define como el cambio
observado en la variable de respuesta debido a un cambio del nivel de tal factor. En particular los efectos principales son los cambios en la media de la variable de respuesta debidos a la acción individual de cada factor. Unidad Experimental: Unidad a la cual se le aplica un solo tratamiento (que puede ser
una combinación de muchos factores) en una reproducción del experimento. En cada diseño de experimentos es importante definir cuidadosamente la unidad experimental, ya que esta puede ser una pieza o conjunto de piezas producidas, dependiendo del proceso que se estudia. Variable De Respuesta: Es la característica del producto cuyo valor interesa mejorar
mediante el diseño de experimento. Factores Controlables: Son variables de proceso que se pueden fijar en un punto o nivel
de operación. Algunos de estos son los que usualmente se controlan durante la operación normal del proceso, y se distinguen porque para cada uno de ellos existe la manera o el mecanismo para cambiar o manipular su nivel de operación.Alos factores controlables también se les llama variables de entrada, condiciones de proceso, variables de diseño,parámetros del proceso o simplemente factores. Factores No Controlables: Son variables que no se pueden controlar durante la operación
normal del proceso como la luz, temperatura que se investigan en el experimento para observar cómo afectan o influyen en la variable de respuesta.
Entrada
Proceso
Salida
Factores Controlables
Características de calidad o
Factores No Controlables
variables de respuesta
¿Cuáles características se van a medir?
¿Qué factores controlables deben incluirse en el experimento?
¿Qué niveles debe utilizar cada factor?
¿Cuál diseño es experimental es adecuado?
Unidad IV conceptos básicos de diseño factorial. Error Aleatorio: Es la variabilidad observada que no se puede explicar por los factores
estudiados; y resulta del pequeño efecto de los factores no estudiados y del error experimental. Aleatorizacion: Consiste en hacer corridas experimentales en orden aleatorio; este
principio aumenta la posibilidad de que la independencia del error se cumpla. Bloqueo: Es nulificar o tomar en cuenta
en forma adecuada todos los factores que
pueden afectar la respuesta observada. Diseño De Bloques Completos Al Azar: En este diseño se consideran tres fuentes de
variabilidad: el factor de tratamientos, el factor de bloques y el error aleatorio, es decir, se tienen tres posibles culpables de variabilidad presente en los datos. Diseño De Cuadrado Latino: Diseño en el que se controlan dos factores de bloque y uno
de tratamientos; los tres factores tienen la misma cantidad de niveles. Los tratamientos se representan por letras latinas y se distribuyen en forma adecuada en un cuadro. Diseño De Cuadrado Greco- Latino: Diseño en el que se controlan tres factores de
bloques y un factor de tratamientos; los cuatro factores utilizan la misma cantidad de niveles. Factores: Las variables independientes relacionadas con una variable de respuesta y se
denominan factores. Nivel: Es el grado de intensidad de un factor Tratamiento: Es una combinación especifica de niveles de los factores que intervienen en
un experimento. Resumen De Pasos Para El Diseño De Experimentos:
1. Seleccionar los datos. 2. Escoger los tratamientos (combinaciones factor-nivel). 3. Determinar el tamaño de la muestra para cada tratamiento. 4. Asignar los tratamientos a las unidades experimentales.
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Diseños factoriales con dos factores En primer lugar vamos a estudiar los diseños más simples, es decir aquellos en los que intervienen sólo dos factores. Supongamos que hay a niveles para el factor A y b niveles del factor B, cada réplica del experimento contiene todas las posibles combinaciones de tratamientos, es decir contiene los ab tratamientos posibles.
Modelo matemático. El modelo matemático asociado al diseño de dos factores-tratamiento con interacción y replicado es el siguiente: Para cada i = 1,...,I , j = 1,...,J , k = 1,...,K se tiene el siguiente modelo:
con
ijk
v.a. independientes con distribución N
.
Donde, Y ijk es el resultado del tratamiento i-ésimo, i = 1,2,...,I del factor T y del tratamiento j-ésimo, j = 1,2,...,ni del factor T , en la replicación t -ésima, t = 1,...,K.
es el efecto global que mide el nivel medio de todos los resultados, i es el efecto (positivo o negativo) sobre la respuesta debido a que se observa el nivel i del factor T . Se verifica que i = 1I i = 0, j es el efecto (positivo o negativo) sobre la respuesta debido a que se observa el nivel j del factor T . Se verifica que j = 1J i = 0, ij representa la interacción y es el efecto extra (positivo o negativo) sobre la respuesta debido a que se observan conjuntamente los niveles i y j de los factores T y T respectivamente. Mide la desviación de las medias de la hipótesis de aditividad de los efectos y viene definida por:
Se verifica que
I i = 1
ij
=
J j = 1
ij
= 0, para i = 1,...,I ; j = 1,...,J.
Unidad IV conceptos básicos de diseño factorial. es el error experimental o perturbación, son variables aleatorias . independientes idénticamente distribuidas (i.i.d.) con distribución N ijk
Por tanto, los parámetros de este modelo son Parámetros
Número 1 I-1
i
J - 1
j
ij
1
Total
IJ + 1
Siendo n = IJK el número de observaciones. El modelo matemático anterior de diseño de experimentos con dos factores tratamiento con interación se conoce como modelo completo de dos vías o modelo de análisis de la varianza de dos vías. Si, ocasionalmente, experimentos similares previos o hechos científicos contrastados garantizan con una razonable seguridad que ambos factores no interaccionan, el experimento se modeliza a través de:
(1) con
ijk
v.a. independientes con distribución N
.
El modelo (1) es un “submodelo” del modelo completo de dos vías y se denomina
modelo de efectos principales de dos vías o modelo aditivo de dos vías dado que el efecto sobre la respuesta del tratamiento ij se modeliza como la suma de los efectos individuales de cada factor. Es importante
Usar el modelo de efectos principales sólo cuando se tiene la certeza de que no existe interacción entre los factores.
Unidad IV conceptos básicos de diseño factorial. Si no se tiene un conocimiento razonable acerca de la interacción debe seleccionarse un modelo completo. El motivo es que la inferencia sobre los efectos principales cuando no se ha considerado interacción erróneamente puede ser confusa ya que se está incrementando artificialmente el error experimental. La estrategia a seguir es: 1. Si se sospecha que hay interacción, en primer lugar, se contrasta el efecto de la interacción en un modelo completo de dos vías. 2. Si no resulta significativa, se continúa con el análisis examinando los efectos principales en el mismo modelo. No es conveniente cambiar al modelo de efectos principales salvo que se esté muy seguro de la no existencia de interacción. 3. Si resulta significativo el efecto interacción, entonces los contrastes sobre los efectos individuales no son válidos. Si son significativos los contrastes sobre los efectos individuales, los resultados pueden darse por válidos. Pero si los contrastes son no significativos, los resultados no tienen porque ser correctos. Si el efecto interacción es significativo, generalmente es preferible pasar a un modelo de una vía donde los niveles son todas las combinaciones de niveles y examinar así sus posibles diferencias. Otra posibilidad es examinar las diferencias entre niveles de un factor manteniendo fijos los niveles del otro. En este caso las conclusiones son correctas para la situación concreta estudiada.
Estimación de los parámetros. Los parámetros del modelo se obtienen por mínimos cuadrados, técnica que se basa en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos.
(5.24)
Proporciona los siguientes estimadores:
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Donde ij. es la media de las observaciones de la casilla ij. El resto de los términos tiene la interpretación habitual. La predicción de la casilla ij es la media de los valores de la casilla, por tanto: (1) Los residuos, diferencia entre lo observado y la predicción,
Los residuos verifican la siguiente restricción (la suma de los residuos en cada casilla es cero)
por tanto, en cada casilla hay residuos independientes y el número de IJ . Al igual que en los modelos estudiados grados de libertad es: previamente se utiliza la varianza residual como estimador de la varianza. Este estimador viene dado por
(2)
Unidad IV conceptos básicos de diseño factorial. Descomposición de la variabilidad La suma de cuadrados global se puede descomponer de la forma:
esto es,
Escrito de otra forma:
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4.2 Diseño factoriales con tres factores. El modelo de diseño de experimentos con dos factores se puede generalizar a tres o más factores, aunque presenta el gran inconveniente de que para su aplicación es necesario un tamaño muestral muy grande. El modelo de diseño de experimentos completo con tres factores ( T , T y T ), interacción y replicación (K réplicas) tiene el siguiente modelo matemático:
En este modelo se tienen tres factores-tratamineto: el factor T (efecto ) con niveles i = 1,...,I, el factor T (efecto ) con niveles j = 1,...,J, y el factor T (efecto ) con niveles r = 1 ,...,R. Cada tratamiento se ha replicado K veces. Por tanto se tienen n = IJRK observaciones. El término ijk es la interacción de tercer orden que, en la mayoría de las situaciones, se suponen nulas. En este modelo se verifican las siguientes restricciones
El número de parámetros del modelo es
Parámetros
Número 1 I-1 J - 1 R-1
i j r
ij ir jr ijr
Total
1 IJR + 1
Los estimadores máximo-verosímiles de este modelo son los siguientes (se utiliza la notación habitual):
Unidad IV conceptos básicos de diseño factorial. De la media global de los efectos principales, de las interacciones de segundo orden
de las interacciones de tercer
orden.
La descomposición de la variabilidad se obtiene la siguiente tabla ANOVA (Tabla siguiente), a partir de la cual se pueden obtener contrastes como en la sección anterior.
CUADRO DEL AN LISIS DE LA VARIANZA — MODELO COMPLETO DE TRES VÍAS — Fuente de variación
Suma de cuadrados
Factor T Factor T Factor T Inter. Inter. Inter. Inter. Residual Global
I i=1
scT = J RK
2 J j = 1 j
scT = IJK
R r = 1
= RK
sc
= JK
sc
= IK
I i=1
J – 1 R–1
2 r
(I - 1)( J - 1)
2
J j = 1
ij
I i=1
R r = 1
2 ir
J j = 1
R r = 1
2 jr
I i=1
= K
I–1
2 i
scT = IRK
sc
sc
g.l.
2 ijr
J j = 1
(I - 1)(R - 1) ( J - 1)(R - 1) (I - 1)( J - 1)(R 1)
R r = 1
scR =
I i=1
J j = 1 2 K 1 eijrk
R r = 1
t=
scG =
I i=1
J j = 1 2 K 1 eijrk
R r = 1
t=
IJR(K - 1) IJRK – 1
Tabla 3 Cuadro del análisis de la varianza para un diseño completo de tres factores.
4.3 Diseño factorial general Los resultados del ANOVA para dos factores pueden ser extendidos a un caso general en donde a son los niveles del factor A, b son los niveles del factor B, c son los factores del nivel C, y así sucesivamente, los cuales pueden ser arreglados en un experimento factorial, en el cual el número de réplicas es n.
Unidad IV conceptos básicos de diseño factorial. Está diseñada para generar procesos de calidad. TAGUCHI desarrolló una aproximación al diseño de experimentos con el objetivo de reducir los costos emanados de la experimentación, esta aproximación es más práctica que teórica y se interesa más por la productividad y los costos de producción que en las reglas estadísticas. Los conceptos de estas técnicas están basados en las relaciones de costos y ahorros. Diseñar un sistema de manufactura para elaborar un producto requiere de conocimientos técnicos además de una gran experiencia en el área a la cual pertenece el producto. Los diseños factoriales son ampliamente utilizados en experimentos en los que intervienen varios factores para estudiar el efecto conjunto de estos sobre una respuesta. Existen varios casos especiales del diseño factorial general que resultan importantes porque se usan ampliamente en el trabajo de investigación, y porque constituyen la base para otros diseños de gran valor práctico. En los últimos años se ha observado un creciente interés por algunas de las ideas del profesor Genechi Taguchi acerca del diseño experimental y su aplicación al mejoramiento de la calidad. El diseño factorial fraccionario 2 k-p se usa en experimentos de escrutinio para identificar con rapidez y de manera eficiente el subconjunto de factores que son activos, y para obtener alguna información sobre la interacción. La propiedad de proyección de estos diseños hace posible en muchos casos examinar los factores activos con más detalle. La combinación secuencia de estos diseños a través del plegamiento es una forma muy eficaz de obtener información extra acerca de las interacciones, la cual puede identificarse en un experimento inicial como potencialmente importante.
4.4 MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS Diseño Factorial General 2k Los diseños factoriales son a ampliamente utilizados en experimentos en los que intervienen varios factores para estudiar el efecto conjunto de estos sobre una respuesta. Existen varios casos especiales del diseño factorial general que resultan importantes porque . se usan ampliamente en el trabajo de investigación, y porque constituyen la base para otros diseños de gran valor práctico. El más importante de estos casos especiales ocurre cuando se tienen k factores, cada uno con dos niveles. Estos niveles pueden ser cuantitativos como sería el caso de dos valores de temperatura presión o tiempo. También pueden ser cualitativos como sería el caso de dos máquinas, dos operadores, los niveles "superior" e "inferior" de un factor, o quizás, la ausencia o presencia de un factor.
Unidad IV conceptos básicos de diseño factorial. Una réplica completa de tal diseño requiere que se recopilen 2 x 2 x .... x 2 = 2 k observaciones y se conoce como diseño general 2k. El segundo caso especial es el de k factores con tres niveles cada uno, conocido como diseño factorial 3 k. Se supone que: a) los factores son fijos b) los diseños son completamente aleatorios c) se satisface la suposición usual de normalidad El diseño 2k es particularmente útil en las primeras fases del trabajo experimental, cuando es probable que haya muchos factores por investigar. Conlleva el menor número de corridas con las cuales pueden estudiarse k factores en un diseño factorial completo. Debido a que sólo hay dos niveles para cada factor, debe suponerse que la respuesta es aproximadamente lineal en el intervalo de los niveles elegidos de los factores. 2 DISEÑO 2
El primer diseño de la serie 2 k es aquel que tiene sólo dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Arbitrariamente, los niveles del factor pueden llamarse "inferior" y "superior".
3 DISEÑO 2
Suponga que se encuentran en estudio tres factores A, B y C, cada uno con dos niveles. Este diseño se conoce como diseño factorial, 2 3 y las ocho combinaciones de tratamientos pueden representarse gráficamente mediante un cubo. Existen en realidad tres notaciones distintas que se usan ampliamente para las corridas o ejecuciones en el diseño 2k: 1. La primera es la notación "+,-", llamada "geométrica". 2. La segunda consiste en el uso de letras minúsculas para identificar las combinaciones de tratamientos . 3. En la tercera se utilizan los dígitos 1 y 0 para denotar los niveles alto y bajo del factor , respectivamente.
Unidad IV conceptos básicos de diseño factorial. 1.3 Diseño Factorial General 3k Este diseño es una variación del diseño 2 k y son muy útiles como las que se emplean cuando todos los factores actúan a tres niveles. En los últimos años se ha observado un creciente interés por algunas de las ideas del profesor Genechi Taguchi acerca del diseño experimental y su aplicación al mejoramiento de la calidad. Este es un diseño que consta de k factores con tres niveles cada uno. Los factores y las interacciones se representan mediante letras mayúsculas. Los tres niveles de los factores pueden referirse como nivel inferior, intermedio y superior. Estos niveles se representan mediante los dígitos 0 (nivel inferior), 1 (intermedio) y 2 (superior). Cada combinación de tratamientos de un diseño 3 k se presenta mediante k dígitos, donde el primero incida el nivel de A, el segundo señale al nivel de B, ..... y el késimo dígito, el nivel del factor k. Por ejemplo, es un diseño 3 2 el 00 representa la combinación de tratamientos, en la que tanto el factor A como el B están en el nivel inferior, y el 01 representa la combinación de tratamientos que corresponde al factor A en el nivel inferior y a B en el nivel intermedio. En éste, el sistema de notación que se prefiere usar es el de + - en virtud de que facilita la interpretación geométrica del diseño y de que es directamente aplicable al modelado por regresión, la formación de bloques y la construcción de factoriales fraccionarios. La adición de un tercer nivel permite modelar con una relación cuadrática la relación entre la respuesta y cada factor. DISEÑO 32 El diseño más simple es el 3 2 que consta de dos factores con tres niveles cada uno. Como hay 32 = 9 combinaciones de tratamientos, existen 8 grados de libertad entre ellas, Los efectos principales A y B tienen dos grados de libertad cada uno, y la interacción AB tiene cuatro grados de libertad. Si hay n réplicas habrá un total
Unidad IV conceptos básicos de diseño factorial. de n32 - 1 grado de libertad, correspondiendo para el error 32 (n-1) grados de libertad.
DISEÑO 33 Si se supone que se están estudiando tres factores (A, B, C) y que cada factor tiene tres niveles acomodados en un experimento factorial. Este es un diseño 33. Las 27 combinaciones tienen 26 grados de libertad. FACTOR A Bajo Medio Alto
Bajo FACTOR B
0
Medio Alto
1 2
0
1
2
0
10
20
1
11
21
2
12
22
4.5. USO DE UN SOFTWARE ESTADÍSTICO El procedimiento (PROC) GLM del programa estadístico SAS ha sido la rutina mas comúnmente utilizada para analizar datos provenientes de diseños con parcelas divididas. Sin embargo, este procedimiento fue desarrollado para evaluar modelos de componentes fijos y no considera que en realidad este tipo de diseño se corresponde a un modelo mixto con factores fijos y aleatorios, por lo que se hace necesario evaluar rutinas que consideren los modelos mixtos. El PROC MIXED del SAS fue desarrollado explícitamente para evaluar datos provenientes de modelos mixtos, eliminándose los problemas que presenta el PROC GLM para este tipo de análisis. Se discuten las ventajas del PROC MIXED en comparación con PROC GLM, por medio de un ejemplo analizado con ambos procedimientos. Se concluye que el PROC MIXED proporciona los errores estándares adecuados a cada nivel de análisis, realizando las comparaciones de media en la forma correcta, por lo que se 15recomienda su utilización ampliamente en sustitución del PROC GLM para análisis de parcelas divididas.
Unidad IV conceptos básicos de diseño factorial. CONCLUSIÓN
Bibliografía utilizada * Lara Porras, A.M. (2000). “Diseño Estadístico de Experimentos, Análisis de la Varianza y Temas Relacionados: Tratamiento Informático mediante SPSS.” Proyecto Sur de Ediciones.
