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2.1 Interés: El costo del Dinero
La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el co ncepto de interés. deposita en una cuenta de ahorros ahorros genera Sabemos que el dinero que se deposita intereses y que, con el tiempo, el saldo será mayor que la suma de los depósitos. Pedir un préstamo para comprar un automóvil significa que tendremos que pagar esa cantidad después de un tiempo más otra por concepto de intereses. tasa de interés interés,, El costo del dinero se establece y se mide mediante una tasa un porcentaje porcentaje que se aplica y se suma periódicamente periódicamente a una cantidad cantidad de dinero por un periodo determinado. Cuando se pide dinero prestado, el interés que se paga es el cargo al prestatario por el uso de la propiedad propiedad del prestamista; se presta o se invierte dinero, el interés obtenido es la ganancia del prestamista por proveer un bien a otra persona. Se define el interés como el costo de tener dinero disponible para su uso.
2.1.1 El valor del dinero en el Tiempo
¿Le conviene comprar algo en este momento o ahorrar el dinero y comprarlo después? He aquí un ejemplo sencillo sencillo de cómo su comportamient comportamiento o de compra compra puede puede tener distintos resultados. Imagine que tiene $100 y desea comprar un refrigerador de $100 para su dormitorio. dormitorio. Si lo compra ahora, terminará sin dinero. Pero si invierte invierte su dinero con un interés anual del 6%, en un año podrá comprar el refrigerador y le s obrarán $6. Desde luego, necesita preguntarse si la ganancia financiera de $6 compensa el inconveniente inconveniente de no tener el refrigerador durante un año.
Si el precio del refrigerador aumenta a una tasa anual del 8% a causa de la inflación, no tendrá tendrá suficiente suficiente dinero (le harán falta $2) para para compra comprarr el refrig refrigerad erador or dentro dentro de un año. En tal caso, caso, probab probablem lement entee le c on on ve ve ng ng a c om om pr pr ar ar el refrigerador ahora.
Este ejemplo ilustra que debemos debemos relaciona relacionarr la capa capaci cida dad d de gene genera rar r concepto de tiempo. tiempo. ganancias y el poder adquisitivo con el concepto Podemos definir el principio del valor del dinero en el tiempo de la siguiente manera: el valor económico de una suma depende d e cuándo se reciba. Ya que el dinero dinero tiene tiene tanto tanto capa capaci cida dadd de gene genera rarr gan gananci ancias as como poder adquisitivo con el paso d el tiempo
Si la tasa de inflación es sólo del 4%, entonces le sobrarán $2 si compra el refrigerador dentro de un año. La tasa a la cual usted gana intereses debe ser más alta que la tasa de inflac inflación ión para que que la comp compra ra a futu futuro ro teng tengaa sentido.
2.2 Elementos de transacción que implican interés • La cantidad inicial de dinero que se invierte invierte o se solicita en préstamo en una transacción se llama capital. • La tasa de interés
Ejemplo de una transacción de intereses
Supongamos que usted solicita al banco un préstamo para educación de $30,000, con una tasa de interés interés anual del 9%. Además, usted paga una comisión de $300 por la tramitación de la solicitud.
• Un periodo llamado periodo de capitalización determina la frecuencia con la que se calcula el interés. • Un periodo especificado determina la duración de la transacción y, por ende, establece un cierto número de periodos de capitalización
El banco ofrece dos planes de pago, uno con pagos iguales realizados al final de cada año por los próximos cinco años (plan de cuotas), y otro en el que se realiza un pago único después del periodo de cinco años del préstamo (plan diferido). Estos planes de pago se resumen en la tabla. Fin de año
Cantidad prestada
Pagos
Plan 1 • Un plan plan de ingr ingres esos os o egre egreso soss nos da un patrón específico de flujo de efectivo en un periodo determinado • Una resultado de los efectos efectos Una cant cantid idad ad futu futura ra de dine dinero ro (F) es el resultado acumul acumulativ ativos os de la tasa tasa de interés interés a lo largo largo de vario varioss period periodos os de capitalización.
Año 0
$ 30,000.00
Plan 2
$300.00
$300.00
Año 1
$7,712.77
0
Año 2
$7,712.77
0
Año 3
$7,712.77
0
Año 4
$7,712.77
0
Año 5
$7,712.77
$46,158.72
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el capital, P (por la sigla en inglés de principal, que significa capital), es $30,000 y
Diagramas de Flujo de Efectivo.
El plan 2
En el plan 1
tiene la mayoría de los elementos del plan 1, excepto que, en vez de cinco pagos iguales,
la tasa de interés, i, es del 9%.
El periodo de capitalización, n, es un año y la duración de la transacción es de cinco años, lo que significa que hay cinco periodos de capitalización (N = 5). Si bien un año es un periodo común de capitalización, a menudo éste se calcula también con base en otros intervalos, por ejemplo, mensual, trimestral o semestralmente. Por esta razón, utilizamos el término periodo en vez de año cuando definimos la lista anterior de variables.
Los problemas relacionados con el valor del dinero en el tiempo ti enen la ventaja de poder representarse de forma gráfica con un diagramade flujo de efectivo. Los diagramas de flujo representan el tiempo mediante una línea horizontal marcada con el número de los periodos de capitalización especificados. Las flechas representan los flujos de efectivo en puntos relevantes en el tiempo. Las flechas hacia arriba representan flujos positivos (ingresos) y las flechas hacia abajo representan flujos negativos (egresos). Nota: las flechas representan flujos netos de efectivo; se suman dos o ingresos o egresos registrados al mismo tiempo y se muestran como una sola flecha.
tenemos un periodo de gracia seguido de un solo pago futuro, F, de $46,158.72.
Los ingresos y egresos planeados a lo largo de la duración de esta transacción producen un patrón de flujo de efectivo de cinco pagos iguales, A, de $7,712.77 cada uno, que deben pagarse a fin de año duran te los años 1 al 5.
Realizar gráfica
Los flujos de efectivo son las cantidades de dinero estimadas para los proyectos futuros, u observadas para los sucesos que ya tuvieron lugar en los proyectos.
Todos los flujos de efectivo ocurren durante periodos específicos, como 1 mes,cada 6 meses, o 1 año.
El p eriodo más comú n es un añ o. Por ejemp lo, u n pago de $ 10 ,0 00 h ec ho u na v ez e n d ic ie mb re d e c ad a añ o d ur an te 5 años es una serie de 5 flujos de salida de efectivo. Y la recepción estimada de $500 cada mes durante 2 años es una serie de 24 flujos de entrada de efectivo.
Los flujos de entrada de efectivo son las recepciones, ganancias, ingresos y ahorros generados por los proyectos y actividades de negocios. Un signo positivo o más indica un flujo de entrada de efectivo.
Los flujo s de salida de efectivo son los costos, desembolsos, gastos e impuestos ocasionados por los proyectos y actividades de negocios. Un signo negativo o menos indica un flujo de salida.
La ingeniería económica basa sus cálculos en el tiempo, monto y dirección de los flujos de efectivo.
Flujo Neto de Efectivo = flujos de entradas de efectivo - flujos de salidas de efectivo FNE = I - E
El diagrama de flujo de efectivo constituye una herramienta muy importante en un análisis económico, en particular cuando la serie del flujode efectivoes compleja. Se trata de una representación gráfica de los flujos de efectivo trazados sobre una escala de tiempo. El diagrama incluye los datos conocidos, los datos estimados y la información que se necesita. Es decir, una vez completado el diagrama de flujo de efectivo, otra persona debe ser capaz de abordar el problemaa partirde él. Año 1
0
Año 5
1
2 3 Escala de tiempo
4
5
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La dirección de las flechas en el diagrama es importante para diferenciar las entradas de las salidas.
Una flecha dirigida hacia arriba indica un flujo de efectivo positivo; a la inversa, si apunta hacia abajo, denota un flujo negativo. Usaremos una flecha en negritas para indicar que se trata de un flujodesconocido y que debe calcularse. Por ejemplo, para calcular un valor futuro F en el año 5, se dibujauna flechagruesa con negritas y la leyenda F = ? e n e l año 5. Enla parte superior del diagrama se indica la tasade interés. Se ilustra un flujo de entrada de efectivo al final del año 1, flujosde salidaigualesal final delosaños 2 y 3,una tasa de interés de 4% anual,y el valorfuturo desconocido, F, al cabo de5 años. Laflecha para elvalor desconocido por lo general se dibuja en dirección opuesta a las otras flechas de lo s f lu jos ; si n e mb argo , so n l os cá lcul os d e i ng eni erí a económica los quedeterminaránel signo real del valor F.
Antes de dibujar undiagramade flujo de efectivo y colocar unsigno enél, es necesario determinar la perspectiva o punto de vista para que pueda usarse un signo + o uno - y así efectuar corr ectamente el análisis económico.
Suponga queuna persona obtiene un préstamode $8,500de un banco para comprar en efectivo un automóvil usado de $8,000 la próxima semana, y utiliza el resto para pagar un trabajo de pintura dos semanas después de hoy.
Al dibujar un diagrama de flujo de efectivo pueden adoptarse diferentes perspectivas:
i = 4% anual
F=?
0
1
2
3
4
lasde quienrecibeel dinero el banquero, el vendedor de coches eldueñodeltaller depintura.
5
Ejercicios
Cada año, Exxon-Mobil gasta cantidades de dinero importantes en sist ema s mec ánic os de segur ida d en sus o per ac iones alrededor del mundo.
Carla Ramos, ingeniera industrial para las operaciones que se llevan a cabo en México y AméricaCentral, programa gastos de un millón de dólares ahora y en c ada uno de lo s si gui en te s cuatro años, exclusivamente para el mejoramiento de válvulas industriales de alivio de presión.
Elabore el diagrama de flujo de efectivo para determinar el va lor e qu iva le nte d e d ic ho s g as to s a l f in al d el a ño 4 c on u n costo del capital estimado para fondos destinados a la seguridad de 12% anual.
Una ingeniera eléctrica quiere depositar una cantidad P ahora de modo que pueda retirar una cantidad anual igual de A1 = $2 000 por año durante los primeros 5 años, comenzando en el año 1 después de realizado el depósito, y con un retiro anual diferente de A2 = $3 000 anuales durante los siguientes tres años.
¿Cómo sería el diagrama de flujo de efectivo si i = 8.5% anual?
2.1.3Metodos para calcular Intereses
Una compañía arrendadora gastó $2 500 en un compresor de aire nuevo hacesiete años.
Losingresos anualespor renta delcompresorhan sido de $750.
Los $100 gastados en mantenimiento el primer año se incrementaroncada año $25.
La emp resa p lanea vender en $150 el compresor al final del próximo año.
Elabore el diagrama de flujo de efectivodesde el puntode vista de lacompañía e indique dónde se ubica elvalor presente.
El dinero se puede prestar y liquidar de muchas formas, y también, puede generar intereses de muchas maneras distintas. Sin embargo, normalmente, al final de cada periodo de capitalización, el interés generado sobre el capital se calcula de acuerdo con una tasa de interés determinada. Los dos esquemas para calcular este interés generado producen un:
INTERES SIMPLE
INTERES COMPUESTO
El análisis de ingeniería económica utiliza el esquema de interés compuesto solamente, yaquees elde mayor uso enel mundo real.
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Interés Simple
El primer esquema considera el interés generado sólo sobre el capital inicial durante cada periodo de capitalización. El interés generado durante cada periodo de capitalización no genera intereses adicionales en los periodos restantes, aunque usted no lo retire. Para un depósito de P dólares con una tasa de interés simple de i por N periodos, el interés total obtenido “I” sería: I
Interés compuesto
El interés generado en cada periodo se calcula con base en la cantidad total al final del periodo anterior. Esta cantidad total incluye el capital original más el interés acumulado que se ha dejado en la cuenta.
En este caso, usted está incrementando la cantidad del depósito mediante la cantidad del interés ganado. En general, si usted depositara (invirtiera) P dólares a una tasa de interés i, tendría P + iP = P(1 + i) dólares al final de un periodo de capitalización. Si la cantidad entera (capital e interés) se reinvirtiera a la misma tasa i por otro periodo, usted tendría, al final del segundo periodo.
P(1 + i) + i[P (1 + i)] = P(1 + i) (1 + i) = P(1 + i)2.
A continuación, vemos que el saldo después del tercer periodo es
P(1+ i)2 + i[P (1 + i) 2] = P(1 + i) 3
La cantidad total disponible al final de N periodos, F, seria: F = P + I = P(l + iN).
Est e proceso de generación de intereses se repite y, después de N periodos, el valor acumulado total (saldo) F se habrá incrementado a
F = P(1 + i) N
EJEMPLO 2.1 Interés simple contra interés compuesto
Suponga que usted deposita $1,000 en una cuenta de ahorros que paga intereses a una tasa del 8% anual. Suponga que no retira el interés generado al final de cada periodo (año), sino que deja que se acumule,
a) ¿Cuánto tendría al final del tercer año con un interés simple?
b)¿Cuánto tendría al final del tercer año con un interés compuesto?
2.2 Equivalencia Económica
El comentario de que el dinero tiene un valor en el tiempo nos lleva a una pregunta importante: Si recibir $100 hoy no es lo mismo que recibir $100 en el futuro,
¿cómo medimos y comparamos flujos de efectivo diversos? ¿Cómo sabemos, por ejemplo, si es preferible tener $20,000 hoy y $50,000 dentro de 10 años, que tener $8,000 cada año durante los siguientes 10 años?
Análisis del problema Gráfica de FNE
EJEMPLO 2.2 Equivalencia
2.2.1 Definición y Cálculos Simples
El factor central al decidir entre diferentes flujos de efectivo tiene que ver con comparar su valor económico. Esto sería muy fácil si, en la comparación, no necesitáramos considerar el valor del dinero en el tiempo. Podríamos simplemente sumar los pagos individuales en un flujo de efectivo. La equivalencia económica se refiere al hecho de que cualquier flujo de efectivo, ya sea un solo pago o una serie de pagos, puede convertirse en un flujo de efectivo equivalente en cualquier momento. Lo que es importante recordar sobre el valor presente de los flujos de efectivo futuros es que la suma actual es equivalente en valor a los flujos de efectivo futuros. Es equivalente porque si usted tuviera el valor presente hoy, podría transformarlo en los futuros flujos de efectivo simplemente invirtiéndolo a la tasa de interés vigente, también conocida como tasade descuento.
SUMA ACTUAL DEL VALOR PRESENTE DE FLUJOS DE EFECTIVOS FUTUROS
Suponga que le ofrecen la alternativa de recibir $2,007 al término decinco añoso $1,500 hoy.No hay dudade que la suma de $2,007 será pagada en su totalidad (es decir, no hay riesgo). Suponiendo que no necesitará el dinero en los p róximos cinco años, usted depositaría los $1,500 en unacuenta quepague un interési%. ¿Qué valor de i haría que usted fuera indiferente a su elección entre $1,500hoy y la promesa de$2,007 después de cincoaños
VALOR AL DE LOS FLUJOS DE EFECTIVO FUTUROS, INVIRTIENDO i%
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2.2.2 Los cálculos de equivalencia requieren
una base de tiempo común para su comparación
2.3 Fórmulas de interés para flujos de efectivo únicos
Cuando se elige un punto en el tiempo en el que se comparan los valores de flujos de efectivo alternativos, normalmente utilizamos el tiempo presente, lo que nos da lo que llamamos el valor presente de los flujos de efectivo, o un punto en el futuro lo que resulta en su valor futuro. La elección del punto en el tiempo a menudo depende d e las circunstancias que rodean una decisión en particular, aunque también puede hacerse a conveniencia. Por ejemplo, si se conoce el valor presente para las primeras dos de tres opciones, calcular el valor presente de la tercera nos permitirá comparar las tres. Para una mayor comprensión, considere el sig. ejemplo. Considere el conjunto de flujos de efectivo dado en la figura. Calcule la cantidad total a n = 3 a un interés anual del 10%.
Factor de cantidad compuesta
F = P(1 + i) N .
$200 $120
$100
$80
0
1
2
3
4
Las fórmulas de interés como la que se desarrolló en la ecuación N F = P(l + i) , nos permiten sustituir los valores conocidos de una situación específica en la ecuación y despejar la incógnita. Antes de que se desarrollara la calculadora manual, resolver estas ecuaciones era muy tedioso.
Po r ejemplo, imagine que necesita resolver a mano una ecuación con un valor muy grande de N, como F = $20,000(1 + 0.12)15. Las fórmulas más complejas requerían aún más cálculos. Para simplificar el proceso, se desarrollaron tablas de factores de interés compuesto. Estas tablas nos permiten encontrar el factor apropiado para una tasa de interés dada y el número de periodos de capitalización.
El proceso para determinarF a menudo se conoce como procesode
capitalización.
Notación con factores
Para especificar cómo usar las tablas de interés, también podemos expresar ese factor en una notación funcional como (F/P, i, N), que se lee como "Encontrar F, dados P, i y N". Este factor se conoce como el factor de cantidad compuesta para pagos únicos. Cuando incorporamos el factor de la tabla a la fórmula, ésta se expresa de la siguientemanera:
F = P(1 + i) N = P(F/P, i, N).
Así, en el ejemplo anterior, donde temamos F = $20,000(1.12)15, ahora podemos escribir F = $20000(F/P, 12%, 15). El factorde la tabla nosindica utilizar la tabla del 12%de interés y encontrarel factoren la columna F/P para N = 15.
EJEMPLO 2.4 Cantidades únicas: Determine F, dados P, i y N
2.3.2 Factor del valor presente
Si tuviera $1,000 ahora y los invirtiera al 7% de interés compuesto anual, ¿cuánto valdrían en 8 años (figura 2.8)?
ANÁLISIS DEL PROBLEMA Información: Gráfico: Determine: F.
factor de cantidad compuesta. Al igual que el concepto de equivalencia, este factor es uno
5
Tablas de interés
A causa de su origen en los cálculos de interés compuesto, el factor (1 +i) N se conoce como
de los fundamentos del análisis de ingeniería económica. Dado este factor, se pueden obtener todas las demás fórmulas de interés importantes.
$150 $100
Dada una suma presente P invertida por N periodos de capitalización a una tasa de interési, ¿qué suma se habrá acumulado al término de los N periodos? Probablemente notó de inmediato que esta descripción encaja en el caso que encontramos al principio cuando describíamos los intereses compuestos. Para despejar F (la cantidad futura), utilizamos la ecuación
Encontrar el valor presente de una cantidad futura es simplemente lo contrario a calcular el interés compuesto, y se conoce como el proceso de descuento. En la ecuación anterior, podemos ver que si necesitamos encontrar una suma presente P, dada la cantidad futura F, simplemente despejamos
P = F
= F �
= F P/F, i, N
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2.3.3 Soluciones para tiempo y tasas de interés
EJEMPLO 2.5 Cantidades únicas: Determine P, dados F, i y N
Un bono cupón cero, o simplemente bono cero, es una conocida variante sobre el tema de los bonos para algunos inversionistas. ¿Cuál debe ser el precio para un bono cupón cero de ocho años con un valor nominal de $1,000 si los bonos cero similares están redituando un interés anual del 6%? Dados: F = $1,000, i = 6 % anual y N=8 años Determine: P.
A estas alturas, debe quedar claro que los procesos de capitalización y descuento son recíprocos y que hemos estado tratando con una ecuación en dos formas: Forma del valor futuro:
F =
P (1 + i) N
y Forma del valor presente:
P = F (1 + i) -N
Existen cuatro variables en estas ecuaciones: P, F, N e i. Si usted conoce los valores de tres de ellas, puede encontrar el valor de la cuarta. Es más, siempre le hemos dado la tasa de interés (i) y el número de años (N), además de P o F. No obstante, en muchas situaciones, necesitará despejar i o N , como se muestra a continuación.
EJEMPLO 2.7 Cantidades únicas: Determine N, dados P, F e i
EJEMPLO 2.6 Solución para i Suponga que compra una acción en $10 y la vende en $20; su ganancia es, por lo tanto, $10, Si eso ocurre dentro de un año, su tasa de interés de retorno es un impresionante 100% ($10/$10 = 1). Si pasan cinco años, ¿cuál sería la tasa de interés de retorno de su inversión?
Usted acaba de comprar 100 acciones de General Electric a $30 cada una. Venderá las acciones cuando su valor de mercado se duplique. Si espera que el precio de las acciones se incremente en un 12% anual, ¿cuánto tiempo piensa esperar antes de vender las acciones?
EJEMPLO 2.8 Opción de prepago (pagos anticipados) de colegiaturas
Serie de pagos desiguales
EJEMPLO 2.8 Opción de prepago (pagos anticipados)de colegiaturas La o pc ió n de pre pag o de col eg iat ura s (OPC) que ofrecen muchas universidades representa ahorros al poder evitar futuros incrementos a la s co le gi atu ra s. Al i nsc ri bi rse al pl an, ust ed p aga to da s l as colegiaturas que restan hasta el momento de graduarse y las cuotas requeridas de acuerdo con las tarifas vigentes en el momento de la i nscr ip ci ón al pl an. La s co le gi atu ra s y cu ot as (a e xce pci ón de l alojamiento y la alimentación) para el año académico 2006-2007 asciendena $31,665 en la Universidadde Harvard. La colegiatura total para un estudiante de nuevo ingreso hasta el momento de su graduación, de acuerdo con las tarifas vigentes, es de $126,660. La colegiatura, las cuotas, el alojamiento y la alimentación normalmente se incrementan cada año, pero es difícil predecir en cuánto, ya quelos costos dependen de las tendencias económicas futuras y las prioridades institucionales. La siguiente tabla indica la colegiatura y las cuotas requeridas desde 2002:
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2.5 Series de pagos iguales Año académico Colegiatura y cuotas 2002-03 2003-04 2004-05 2005-06 2006-07
Prepago requerido
$25,650 $27,208 $28,712 $30,122 $31,665
$102,600 $108,832 $114,848 $120,488 $126,660
A menudo nos encontramos con transacciones en las que existe una serie uniforme de pagos. Los pagos de renta, los pagos de intereses sobre bonos y los pagos a plazos comerciales se basan en series de pagos uniformes. Nuestra preocupación es encontrar el valor presente equivalente (P) o el valor futuro (F) de una serie así.
Suponga que usted se inscribió en la opción de prepago de colegiaturas para el año académico 2003-2004. En 2007, al mirar hacia atrás cuatro años hasta el momento de la inscripción y conociendo ahora con exactitud el monto real de las colegiaturas, ¿piensa usted que su decisión de pagar por adelantado estuvo justificada en un sentido económico, "cuando el dinero ahorrado o invertido se podía incrementar" a una tasa de interés del 6%?
Factor de la cantidad compuesta (para series de pagos iguales): Determinar F, dados A, i y N
Suponga que nos interesa la cantidad futura F de un fondo al cual contribuimos con A pesos cada periodo y sobre el cual ganamos un interés a una tasa i por periodo. Las contribuciones se realizan al término de cada uno de losperiodos N.
Analizando el diagrama, vemos que si se invierte una cantidad A al final de cada periodo durante N periodos, la cantidad de F al termino de los N periodos, será la suma de todas las cantidades compuestas de cada depósito.
�
�
⋯ � +A
0
1
2
3
4
N-1 N
�
�
���
A
Manejo de los desplazamientos de tiempo en una serie uniforme
Suponga que hace una contribución anual de $3,000 a una cuenta de ahorros durante 8 años. Si la cuenta genera el 5% de interés anual, ¿cuánto podrá retirar al termino de 10 años? Análisis:
A=$3,000
N=8 años
i=5% F=?
0
1
2
3
i = 5% 4 5
6
7
8
F=? Resolver con:
En el anterior el primer depósito de la serie de depósitos se hizo al final del primer periodo y los siguientes depósitos restantes se hicieron al final de cada periodo siguiente. Ahora suponga que todos los depósitos se hicieron al principio de cada periodo. ¿Cómo calcularía el saldo al final del quinto periodo?
Fórmula Excel, con pago, no VA. Tablas de factores
$3,000
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Factor del fondo de amortización (para series de pagos iguales): Determinar A, dados F, i y N
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Factor de recuperación de capital (factor de anualidad): Determine A, dados P, i y N
Plan de ahorro para la universidad: Determine A, dados F, N e i
Usted desea crear un plan de ahorro para los estudios universitarios de su hija. Ahora tiene 10 años de edad e ingresará a la universidad a los 18.
Usted supone que cuando empiece la universidad, necesitará por lo menos $100,000 en el banco. ¿Cuánto necesita ahorrar cada año para así tener los fondos necesarios si la tasa de interés actual es del 7%? Suponga que se realizan depósitos cada fin de año.
Análisis: F =$100, 000
i=7%
N= 8 años
Podemos determinar la cantidad de un pago periódico, A, si conocemos P, i y N. Para relacionar P con A, recuerde la relación entre P y F en la ecuación: F = P(l + i) N . Al sustituir F en la ecuación por P(1 + i ) N , obtenernos:
A=?
La parte entre corchetes se llama factor de recuperación de capital para series de pagos iguales, o simplemente, factor de recuperación de capital, y se designa como (A/P, i, N). En finanzas este factor A/P se conoce como el factor de anualidad. El factor de anualidad indica una serie de pagos de una cantidad fija o constante durante un número especificado de periodos.
Pago de un préstamo para educación: Determine A, dados P, i y N
Usted solicitó un préstamo de $21,061.82 para financiar sus gastos de educación del último año en la universidad. El préstamo se pagará en cinco años, conlleva un interés del 6% anual y debe liquidarse en pagos anuales iguales durantelos siguientes cinco años.
Pagos diferidos de un préstamo
Suponga que usted pidió el dinero a principios de su último año y que el primer plazo de pago se cumplirá un año después. Calcule la cantidad de los pagos anuales
Suponga, en el ejemplo anterior, que usted desea negociar con el banco para que se le difiera el primer pago del préstamo hasta el final del año 2.
(Pero todavía desea realizar 5 pagos iguales al 6% de interés.)
S i e l ba nc o q uie re ge ne rar la misma ga na nc ia q ue e n e l ejemplo,
¿cuál debe ser el nuevo pago anual?
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Factor del valor presente: Determine P, dados A, i y N
¿Cuánto tendría que invertir ahora para retirar A dólares al término de cada uno de siguientes N periodos? Ahora nos enfrentamos justo a la situación opuesta a la del fa de recuperación de capital para pagos iguales: conocemos A, pero debemos determinar P. Con el factor de recuperación de capital dado en la ecuación anterior, despejamos P para obtener
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Series uniformes: Determine P, dados A, i yN Recientemente, una pareja de los suburbios de Chicago ganó en la lotería multiestatal conocida como Powerball. El premio se había acumulado durante varias semanas, por lo que era muy cuantioso. Los compradores de boletos podían elegir entre una suma total de $104 millones o un total de $198 millones a pagar en 25 años (o $7.92 millones por año) si ganaban el premio mayor. La pareja ganadora eligió la suma total. Desde un punto de vista estrictamente económico, ¿la pareja eligió la opción más lucrativa?
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Dados: i= 8% anual, A = $7.92 millones y N = 25 años. Determine: P.
Comience a ahorrar dinero tan pronto como le sea posible: Serie compuesta que requiere los factores (F/P, i, N) y (F/A, i, N)
C on si de re l os d os s ig ui en te s pla nes de a horro que usted podríacomenzar a la edad de21 años: Opción 1: Ahorrar $2,000 al año po r 1 0 a ño s. Al t ér mi no d e 1 0 años, no ahorrar más, sino invertir la cantidad acumulada hasta a lcanza r la edad de 65 a ño s. ( Su po ng a q ue e l p ri me r depósito se efectúa cuandousted tenga22.) Opción 2: No ha cer nada los pr im er os 1 0 a ño s. A p ar ti r d e en to nc es , em pez ar a a ho rra r $2,000 cada añohastallegar a los 65 años. (Suponga queel primer depósito se realiza al cumplir 32 años.) Si usted pudiera invertir su d in er o a l 8 % e n e l h or iz on te d e pl ane ac ió n, ¿ cu ál pl an d aría como resultado más dinero a ho rr ad o p ar a c ua nd o u st ed tenga65?
Manejo de series con gradiente
Valor presente de perpetuidades
Manejo de series con gradiente lineal En ocasiones, los flujos de efectivo varían linealmente; es decir, aumentan o disminuyen en una cantidad establecida, G, la cantidad de gradiente. Este tipo de series se conoce como series gradientes estrictas, como se indica en la figura.
Una perpetuidad es una serie de flujos de efectivo que continúa por siempre. Para ilustrar, considere un flujo perpetuo de $1,000 por año. Si la tasa de interés es del 10% anual, ¿cuánto vale esta perpetuidad hoy?
La respuesta es $10,000. Para ver por qué, considere cuánto dinero tendría que depositar en una cuenta bancaria que ofrece un interés del 10% anual para poder retirar $1,000 cada año por siempre. Desde luego, si usted deposita $10,000, entonces al terminar el primer año tendría $11,000 en la cuenta. Usted retira $1,000, dejando $10,000 para el siguiente año. Como es evidente, si la tasa de interés se mantiene al 10% anual, no se acabará el capital, por lo que podría continuar retirando $1,000 cada año por siempre.
Factor de valor presente: Gradiente lineal: Determine P, dados G, N e i
¿Cuánto tendría usted que depositar ahora para retirar las cantidades gradientes especificadas en la figura? Para encontrar una expresión para la cantidad presente P, aplicamos el factor del valor presente para pagos únicos a cada uno de los términos de la serie, de donde obtenemos
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Series con gradiente lineal comoseries compuestas Un pr ob le ma c omú n relacionado con las series con gradiente lineal incluye un pago inicial durante el periodo 1 que se incrementa en un factor G durante algunos periodos de capitalización.
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Creación de un esquema escalonado para la liquidación de un préstamo con series con gradiente lineal
Usted solicitó un préstamo de $10,000 en un banco local, acordando que pagará el préstamo de acuerdo con un plan de pagos escalonados. Si su primer pago se fija en $1,500, ¿cómo sería el pago restante a una tasa de préstamo del 10% por cinco años?
Dados: P = $10,000, A, = $1,500, N = 5 años e i = 10%. Determine: G.
Ejemplo
Una persona que compró un automóvil espera que los costos de mantenimiento sean de $150 al final del primer año y que en los años siguientes aumenten a razón de $50. si la tasa de interés es de 8% y se capitaliza cada año. ¿cuál será el valor presente de esta serie de pagos durante un periodo de 6años. 0 P=?
1
2
3
4
5
6
150 200 250 300 350 400
Gradiente Aritmético F/A-G
Ejemplo 2
Una comercializadora personales:
vende
computadoras
se r ea liz a un primer pago de $9 00 un mes despué s de la fecha de adquisición, además de nueve pagos mensuales. Cada uno de los pagos disminuye $50 en comparación con el mesanterior. Si el interés que cobra es del 1% mensual, ¿cuál es el precio que se pagaría síse compraráahora?
Ejemplo
Gradientes geométricos
Una persona deposita $100 en un banco al final del primer mes y los depósitos sucesivos se incrementaron en $50 cada uno. Si el banco paga a sus ahorradores un interés de 2% mensual, ¿Cuánto habrá acumulado esta persona en el banco en el momento de hacer el sexto depósito?
Determina la formula para obtener el valor futuro equivalente de un gradiente aritmético conocido, como:
Algunas veces los flujos de caja cambian en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago, en vez de aumentos constantes de dinero.
Este tipo de flujo de caja, es llamado serie de flujos de tipo gradiente geométrico o series en escalera. A los porcentajes constantes es a lo que se le conoce como gradiente geométrico, esto se muestra en la siguiente figura, donde A representa la cantidad de dinero en el año 1 y g representa al incremento porcentual.
��
����������
0
1
2
3
4
n-1
n
A A(1+j) A(1+j)2
A(1+j)3
A(1+j)n-2
A(1+j)n-1
��
