Unidad i Conjuntos y Sus Aplicaciones

UNIDAD I CONJUNTOS Y SUS APLICACIONES Link de acceso a plataforma: http://suayed.politicas.unam.mx/mo http://suayed.politi cas.unam.mx/moodle/login/ind odle/login/index.php ex.php Usuario: 415022!2 "ontrase#a: anar$uia%% &ar click en '(is cursos) "lick en (atem*ticas

BIBLIOGRAFÍA PARA REVISIÓN

https://+ooks.google.com.mx/+ooks, id-l$$o0+1"printsec-frontco3erd$-matem "1ticas6discretashl-es "1ticas6 discretashl-essa-7redir8esc-y93sa-7redir8esc-y93-onepage$f-f onepage$f-false alse ;<(  ;<( = https://+ooks.google.com.mx/+ooks,id-p$u>ee
1.1 Nociones introductorias La &eor'a (e con)n&o! !e ori*in+ con lo! &raa)o! (e Geor* Fer(inan( L(-i* Pili%% /an&or 0/an&or %ara lo! ami*o!1, 2 3e am%lia(a %or Geor*e Boole. El en3o4e (e /an&or !e re3iri+ a %rolema! rela&i5o! a con)n&o! in3ini&o!, mien&ra! 4e a Boole !e (een la! a%or&acione! en c6n&o a o%eracione! al*eraica! con con)n&o!. En %rimer l*ar examinaremo! 74é e! n con)n&o8 Varia! 3en&e! coinci(en en 4é la (e3inici+n e! &an !im%le 4e %e(e (ar!e in&i&i5amen&e9 /on)n&o e! una colección definida (e o)e&o!, %er!ona!, animale! o i(ea!.

:e e!&e mo(o &enemo! ;el con)n&o (e e(i3icio! 4e 3orman na ni(a( ai&acional<, ;el con)n&o (e cancione! (e ne!&ro ar&i!&a 3a5ori&o<, ;el con)n&o (e %ar&i(o! %ol'&ico! en la ac&ali(a(<, ;el con)n&o re!l&a(o! (el /en!o Nacional (e Polaci+n<, ;el con)n&o (e %ro5ee(ore!<, 2 a!' !ce!i5amen&e. /a(a miemro (e n con)n&o e! llaman(o elemento. A(em6! (e lo an&erior exi!&en la! !i*ien&e! re*la! %ara ennciar a n con)n&o9 a1 La colecci+n (e elemen&o! e!&6 ien (e3ini(a, no %e(e aer con3!i+n acerca (e !i n o)e&o e! %ar&e o no (e n con)n&o. Por e)em%lo, !i alamo! (el ;/on)n&o (e 3ncionario! (el IFE< 2 no! %re*n&amo! 7La Lic. Mar&'ne= e! 3ncionaria (el IFE8 La re!%e!&a !+lo %e(e !er !' o no, o ien %er&enece al con)n&o (e 3ncionario! o ien no %er&enece. 1 Lo! elemen&o! no !e re%i&en. :e e!&e mo(o, !i no! %re*n&an c6le! !on lo! elemen&o! (el con)n&o (e le&ra! (e la %alara ;Ga(ala)ara<, la re!%e!&a !er69 G,,a,(,l,),r. Pe! an4e la le&ra ;a< a%arece > 5ece!, !+lo %o(emo! inclirla na 5e= como elemen&o (el con)n&o. c1 Lo! elemen&o! %e(en a%arecer en cal4ier or(en. Por e)em%lo, lo! !i*ien&e con)n&o! !on el mi!mo9 ?E(a(, %e!o, e!&a&ra@ ?Pe!o, e(a(, e!&a&ra@

Notación:

Lo! !'molo! 4e !e &ili=an %ara re%re!en&ar (e 3orma e!cri&a a lo! con)n&o! e! lo 4e llamamo! no&aci+n. Lo! con)n&o! *eneralmen&e !e re%re!en&an con le&ra! ma2!cla!. Por e)em%lo, la le&ra  %e(e re%re!en&ar al con)n&o (e )*a(ore! (e la Selecci+n Nacional (e F&ol, la le&ra C %e(e re%re!en&ar al con)n&o (e ma(re! !ol&era! en el %a'!, 2 a!' !ce!i5amen&e. Siem%re 4e !e ala (e n con)n&o e! nece!ario aclarar c6le! !on !! elemen&o!, %or ello 3ren&e al con)n&o, en&re lla5e! o %arén&e!i!, !e re(ac&an lo! elemen&o! 0en le&ra! min!cla!1 o ! (e!cri%ci+n. E)em%lo!9 VD ?a, e, i, o, @ !e lee9 El con)n&o V con&iene lo! elemen&o! a, e, i, o, . PD?a=l, amarillo, ro)o@ !e lee9 El con)n&o P con&iene lo! elemen&o! a=l, amarillo 2 ro)o.

Especificación de conjuntos

La no&aci+n en la 4e !e enmera ca(a no (e lo! elemen&o! (el con)n&o !e llama ;%or ex&en!i+n<9 VD ?a, e, i, o, @ PD?a=l, amarillo, ro)o@

Sin emar*o 74é %a!ar'a !i &5iera! n con)n&o con 5aria! (ecena! (e elemen&o!8 !er'a m2 (i3'cil e!criir ca(a no (e lo! elemen&o!, en e!e ca!o %o(emo! &ili=ar la no&aci+n ;%or com%ren!i+n<, (e!criien(o na carac&er'!&ica 4e en*loe a &o(o! lo! elemen&o!. Por e)em%lo9 VD ?la! 5ocale!@ !e lee9 V e! el con)n&o (e la! 5ocale!, %or lo &an&o !aemo! 4e !! elemen&o! !on a, e, i, o, . PD ?lo! colore! %rimario!@ An a!', al &raa)ar con con)n&o! &en(remo! &amién na no&aci+n ma&em6&ica9 !amo! el !'molo ;; 0!e lee9 ;&al 4e< 1, %ara in(icar c6le! !on lo! elemen&o! (el con)n&o. Por e)em%lo9 D?x  x e! n )*a(or en la !elecci+n nacional (e 3&ol@ !e lee9 El con)n&o  e!&6 3orma(o %or lo! elemen&o! x &al 4e x e! )*a(or en la !elecci+n nacional (e 3&ol. GD ? x  x   2 x H > @ !e lee9 El con)n&o G e!&6 3orma(o %or lo! elemen&o! x, &al 4e x e! ma2or 4e no 2 menor 4e > con e!&o %o(emo! !aer 4e lo! elemen&o! (e G !on ", J, , >. La 3amo!a le&ra x !e !a en ma&em6&ica! m2 3recen&emen&e, a!' 4e no &e a!!&e! can(o la 5ea!, in(ica ;cal4ier co!a<, cal4ier co!a 4e le*o e! (e3ini(a !e*n el con&ex&o en el 4e la e!&é! !an(o. 0amién !e %e(e &ili=ar la le&ra ;2<, la ;=<, o al*na o&ra en l*ar (e la ;x<1

Elementos y número de elementos de un conjunto

/omo 2a mencionamo!, elemen&o! !on lo! miemro! (e n con)n&o (e&ermina(o. El nmero (e elemen&o! 4e con&iene n con)n&o e! llama(o cardinalidad. Para in(icar la car(inali(a( (e n con)n&o &ili=amo! el !'molo n0A1, Por e)em%lo el con)n&o (e la! le&ra! 5ocale! &iene car(inali(a( >, 2a 4e !on > !! elemen&o!, !e re%re!en&a a!'9 Sea V D ?a, e, i, o, @ n0V1D > !e lee9 la car(inali(a( (e V e! i*al a > Lo! con)n&o! (e lo! 4e conocemo! ! car(inali(a( !on llama(o! 3ini&o!. Pero &amién a2 al*no! con)n&o! (e lo! 4e nnca !aremo! el nmero &o&al (e elemen&o!, %or4e no e! %o!ile li!&ar &o(o! !! elemen&o!, o %or4e !e encen&ran en n 3l)o con&ino %en!emo! %or e)em%lo en el ;con)n&o (e e!&rella!<, el ;con)n&o (e nmero!<. P D ?la! e!&rella!@ P e! n con)n&o in3ini&o

Relación de pertenencia

E! la relaci+n 4e exi!&e en&re lo! elemen&o! 2 el con)n&o, !e re%re!en&a con el !'molo !e lee9 ;%er&enece a< 0&amién !e %e(e (ecir ;e! elemen&o (e<1 .

4e

Por el con&rario, can(o n elemen&o no e! miemro (e n con)n&o !e cr=a el !'molo lee ;no %er&enece a< o ;no e! elemen&o (e<.

, 2 !e

Conjuntos especiales

Conjunto universal: E! con)n&o 4e incl2e &o(o! lo! elemen&o!, en el con&ex&o (e na

!i&aci+n %ar&iclar, 2 !e re%re!en&a con el !'molo

o con el !'molo ; <.

Por e)em%lo, %o(emo! alar (e9 lo! almno! (e %ol'&ica!, lo! almno! (e 3ilo!o3'a, lo! (e me(icina, 2 lo! almno! (e o&ra! 3acl&a(e!, en e!&e ca!o %o(r'amo! (e3inir 4e ne!&ro con)n&o ni5er!al !on lo! almno! (e la NAM. O&ro e)em%lo9 %o(emo! alar (e ;el !ec&or &ri!mo<, ;el !ec&or a*ro%ecario<, ;el !ec&or in(!&rial< 2 ;o&ro! !ec&ore!<, en&once! %o(emo! (e3inir ne!&ro con)n&o ni5er!al como ;lo! !ec&ore! %ro(c&i5o! (el %a'!<  /omo ar6! no&a(o el con)n&o ni5er!al e! (e3ini(o a %ar&ir (el &ema 4e e!&emo! &ra&an(o, %or lo 4e no a2 n !olo con)n&o ni5er!al, !ino 4e no!o&ro! lo (e3inimo! !e*n el %rolema al 4e 5a2amo! a a%licarlo. Por e)em%lo !i alamo! (e ONG, ne!&ro con)n&o ni5er!al %e(e !er ;o(a! la! ONG Mexicana!<, o ien ;o(a! la! ONG in&ernacionale!< o ;o(a! la! ONG en a%o2o a la (e3en!a (e lo! (ereco! (e lo! nio!<, e&c. M6! e)em%lo!9 :el con)n&o (e lo! nmero! en&ero! %o!i&i5o! 2 (el con)n&o (e lo! nmero! en&ero! ne*a&i5o!, en e!&e ca!o el con)n&o ni5er!al e! el con)n&o (e lo! nmero! en&ero!. O&ro e)em%lo9 Sea  D ? #, , ", J, , >, , Q, , $@ ED ?#, >, Q@ FD ?, $@ GD ?, ", J, , >, , Q, @ Conjunto vacío: E!&o &e 5a a re!l&ar ex&rao, %ero !', ma&em6&icamen&e alan(o a2

con)n&o! 5ac'o!, m6! a(elan&e 5er6! ! &ili(a(, %or lo %ron&o e! im%or&an&e (e3inir 4e n con)n&o 5ac'o e! a4el 4e no con&iene elemen&o! 2 !e re%re!en&a con el !'molo %or la! lla5e! 5ac'a!9 ? @. E)em%lo! (e con)n&o! 5ac'o!9  D ? x  x e! n Marciani&o a=l con  narice! al 4e le *!&a el !!i@ A D?x  x x@ C D ?x  x e! n almno (e la NAM !in é&ica %ro3e!ional@

, o ien

1.2 Relaciones entre conjuntos

1.2 Relaciones entre conjuntos La! relacione! 4e 5amo! a e!&(iar !on &re!9 i*al(a(, incl!i+n 2 coor(inaili(a(. Iualdad y desiualdad

:o! con)n&o! !on i*ale! !i 2 !+lo !i con&ienen exac&amen&e lo! mi!mo! elemen&o!. Por e)em%lo AD ?xx  2 xH>@ Se lee9 A con&iene lo! elemen&o! x &al 4e x e! ma2or a no 2 menor a > 0%or en(e, lo! elemen&o! (e A !on ", J, 1 BD ?",J,@ Se lee9 B con&iene lo! elemen&o! ", J,  En&once! ADB Se lee9 El con)n&o A e! i*al al con)n&o B /an(o !e 4iere in(icar 4e (o! con)n&o! !on (i3eren&e! !im%lemen&e !e cr=a el !'molo D, %or e)em%lo9 AD ?xx 2x >@ Se lee9 A con&iene lo! elemen&o! x &al 4e x e! ma2or o i*al a no 2 menor o i*al a > BD ?",J,@ Se lee9 B con&iene lo! elemen&o! ", J,  Por lo &an&o A

B Se lee9 El con)n&o A e! (i3eren&e (el con)n&o B

Inclusión y su!conjuntos

E!&a relaci+n ocrre can(o n con)n&o con&iene a o&ro. /an(o &o(o! lo! elemen&o! (el con)n&o B e!&6n con&eni(o! en el con)n&o A, !e (ice 4e B e! !con)n&o (e A o 4e B e!&6 incli(o en A. Se &ili=a el !'molo %ara re%re!en&ar e!&a relaci+n en&re con)n&o! 0!e lee9 ;e! !con)n&o (e< o ;e!&6 incli(o en< 1 Por e)em%lo, !ea9  D ?a, e, i, o, @ AD ?a, e, i, o, @ BD?a, o@ /D?i, @ Se o!er5a 4e B A 0!e lee9 ; el con)n&o B e! !con)n&o (el con)n&o A<1 2/ A 0!e lee9 ; el con)n&o / e! !con)n&o (el con)n&o A<1 /an(o !e 4iere in(icar 4e n con)n&o no e!&6 incli(o o no e! !con)n&o (e o&ro !im%lemen&e !e cr=a el !'molo , %or e)em%lo9 /

B 0!e lee9 el con)n&o / no e! !con)n&o (el con)n&o B1

O&ro e)em%lo9 :a(o! lo! con)n&o!, V D ?a, e, i, o, @ S D ?e, o@ /D ?n,m@ En&once! S V 0Se lee9 S e! !con)n&o (e V1 2/

V 0Se lee9 / no e! !con)n&o (e V1

Exi!&en ca!o! e!%eciale! (e !con)n&o!9 1 La relaci+n (e i*al(a( en&re (o! con)n&o! im%lica na relaci+n (e incl!i+n. Por ello %o(emo! (ecir 4e !i (o! con)n&o! A 2 B !on i*ale!, en&once! A B2B A 0 !e lee9 A e! !con)n&o (e B 2 B e! !con)n&o A1 "1 o(o con)n&o e! !con)n&o (e !' mi!mo. A e!&e ca!o %ar&iclar (e incl!i+n !e le (enomina incl!i+n im%ro%ia 2 !e !imoli=a a!'9 A

. E)em%lo9 %ara n con)n&o A, %o(emo! (ecir 4e

A 0!e lee9 A e! !con)n&o im%ro%io (e A1

J1 El con)n&o 5ac'o e! !iem%re !con)n&o im%ro%io (e cal4ier o&ro con)n&o9 Número de su!conjuntos de un conjunto:

El nmero (e !con)n&o! (e n con)n&o, en *eneral, e! i*al a (e elemen&o! (el con)n&o. Por e)em%lo

, (on(e n e! el nmero

Sea RD ?, ", J@ R &iene J elemen&o!, %or lo 4e %ara !aer c6n&o! !con)n&o! &iene R !im%lemen&e reali=amo! la o%eraci+n , el re!l&a(o e! , %or lo &an&o R &iene  !con)n&o! 2 !on9 ?@, ?"@, ?J@, ?,"@, ?,J@, ?",J@, ?,",J@, ? @

Coordina!ilidad o e"uivalencia

An&e! (e ex%licar e!&a relaci+n e! con5enien&e 4e aclaremo! el conce%&o (e corre!%on(encia. :a(o! (o! con)n&o! T e C, !e llama corre!%on(encia a la 3orma en como !e relacionan lo! elemen&o! (e T con lo! elemen&o! (e C. /an(o a ca(a elemen&o (e T, !e le a!i*na n nico elemen&o (e C, !e &iene na corre!%on(encia n'5oca. E!&a corre!%on(encia e! (e T a C %or4e *aran&i=a 4e a ca(a elemen&o (e T le corre!%on(e no en C, %ero no al re5é!, 2 %o(r'a aer elemen&o! en C 4e no !e relacionen con elemen&o! (e T.

/an(o a ca(a elemen&o (e T, !e le a!i*na n nico elemen&o (e C, 2 a(em6! !e *aran&i=a 4e a ca(a elemen&o (e C le corre!%on(e n nico elemen&o (e T, !e &iene na corre!%on(encia in'5oca.

/an(o exi!&e na corre!%on(encia in'5oca en&re (o! con)n&o! !e (ice 4e e!&o! !on coordinables o equivalentes. El !'molo 4e re%re!en&a la relaci+n (e coor(inaili(a( o e4i5alencia e!9 Por e)em%lo, !i el con)n&o M &iene na corre!%on(encia in'5oca con el con)n&o N, %o(emo! (ecir 4e M N 0Se lee9 M e! coor(inale con N1 Si (o! con)n&o! coor(inale! !on 3ini&o!, en&once! &amién tendrán la misma cardinalidad  0%or4e !i a ca(a elemen&o (e A corre!%on(e no (e B 2 5ice5er!a, en&once! A 2 B &ienen el mi!mo nmero (e elemen&o!1.

Comparación de conjuntos:

La! relacione! (e i*al(a(, incl!i+n 2 coor(inaili(a( no! %ermi&en com%arar con)n&o!. A(em6!, exi!&en o&ra! (o! al&erna&i5a! (e com%araci+n en&re con)n&o!9 a1 /an&o el con)n&o A no &iene nin*n elemen&o comn con el con)n&o B, !e (ice 4e A 2 B

!on conjuntos ajenos o disjuntos. 1 /an(o no (e lo con)n&o! con&iene al meno! n elemen&o (i3eren&e con el o&ro con)n&o 2 no exi!&e en&re ello! al*na relaci+n (e incl!i+n, (ecimo! 4e !on c onjuntos no comparables . Por e)em%lo lo! con)n&o! FD ?, ", J@ 2 ED ?, ", @, (ecimo! 4e !on con)n&o! no comparables.

1.# $iaramas de %enn&Euler Lo! ma&em6&ico! Uon Venn 2 Eler, a%or&aron na re%re!en&aci+n *r63ica (e lo! con)n&o! 2 !! o%eracione!. E!&o! (ia*rama! con!i!&en en n  rect'nulo 4e in(ica el con)n&o ni5er!al, 2 (en&ro (e él círculos 4e re%re!en&an a lo! con)n&o!.

/an(o en lo! (ia*rama! !e re%re!en&an o%eracione! con con)n&o!, el re!l&a(o (ee colorear!e, !omrear!e o ;acrar!e< 0cr=ar!e con ra2a! (ia*onale! &ene!1, como 5er6! a con&inaci+n en el &ema O%eracione! con con)n&o!.

(peraciones con conjuntos Complementación

Se llama con)n&o com%lemen&o (e A, al con)n&o con lo! elemen&o! 4e %er&enecen al con)n&o ni5er!al %ero no %er&enecen a A. 2 !e &ili=a el !'molo  ) o ien c%ara re%re!en&arlo. Por e)em%lo, Sean lo! con)n&o!9  D ?a, e, i, o@ AD?a, o@ Ac D ?x  x , x A@ 0Se lee9 A com%lemen&o i*al a x &al 4e x %er&enece al con)n&o ni5er!al 2 x no %er&enece al con)n&o A1 E! (ecir A/ D?e, i@ 0Se lee9 A com%lemen&o con&iene lo! elemen&o e, i1 El (ia*rama (e VennEler (e la o%eraci+n com%lemen&o e! la !i*ien&e9

El 6rea colorea(a in(ica el re!l&a(o (e A c

/a!o! e!%eciale! (e la com%lemen&aci+n9 a1 El com%lemen&o (el con)n&o 5ac'o e! el con)n&o ni5er!al9

c

1 El com%lemen&o (el con)n&o ni5er!al e! el con)n&o 5ac'o9

c

 D  D

*nión

La ni+n (e lo! con)n&o! A 2 B, e! el con)n&o 3orma(o %or lo! elemen&o! 4e %er&enecen A o %er&enecen a B o %er&enecen a amo!, !e re%re!en&a con el !'molo , (e la !i*ien&e 3orma9 A B D ?x  x Aox B @ 0Se lee9 el con)n&o A ni+n B e! a4el con)n&o (e la! x, &al 4e x %er&enece a A, o x %er&enece a B, o a amo!1 E)em%lo, !ean lo! con)n&o!9 AD ?, ", J@ BD?J, Q,$@ A B D ?, ", J, Q, $@ El (ia*rama (e VennEler (e la o%eraci+n ni+n e! la !i*ien&e9 El 6rea colorea(a in(ica el re!l&a(o (e A

B

Exi!&en ca!o! e!%eciale! en la ni+n (e con)n&o!9 a1 ni+n (e con)n&o! i*ale! La ni+n (e con)n&o! i*ale! re!l&a en cale!4iera (e e!&o! con)n&o! 02a 4e lo! elemen&o! (e n con)n&o no (een re%e&ir!e1. A!' &enemo!9 AD ? ro)o, a=l, naran)a@ BD ?naran)a, a=l, ro)o@ A 2 B !on con)n&o! i*ale! %or lo &an&o A B D ?a=l, ro)o, naran)a@ 1 ni+n (e n !con)n&o 2 n con)n&o

La ni+n (e n con)n&o con n !con)n&o e! i*al al mi!mo con)n&o. Veamo!9 A D ?a, , c, (, e@ BD ?a, e@ A B D A D ?a, , c, (, e@ c1 ni+n (e con)n&o! a)eno! En e!&e ca!o la ni+n e!&ar6 3orma(a %or &o(o! lo! elemen&o! (e amo! con)n&o!. Sean9 A D ?nio!, )+5ene!, a(l&o!@ B D ?a5e!, %ece!@ La ni+n (e A 2 B e!9 A B D ?nio!, )+5ene!, a(l&o!, a5e!, %ece!@

Intersección

La in&er!ecci+n (e (o! con)n&o! A 2 B e! el con)n&o 3orma(o %or lo! elemen&o! 4e %er&enecen a A 2 %er&enecen a B !iml&6neamen&e. 0amién %e(e llamar!e %ro(c&o l+*ico (e (o! con)n&o!1. Se &ili=a el !'molo 2 !e re%re!en&a (e la !i*ien&e 3orma9 A BD?xx A2x B @ 0Se lee9 El con)n&o A in&er!ecci+n B e!&6 3orma(o %or lo! elemen&o! x, &al 4e x %er&enece a A 2 a B !iml&6neamen&e.1 E)em%lo, !ean lo! con)n&o!9 AD ?, ", J@ BD?J, Q,$@ A B D ?J@ El (ia*rama (e VennEler (e la o%eraci+n ni+n e! la !i*ien&e9

El 6rea colorea(a in(ica el re!l&a(o (e A

B

/a!o! e!%eciale! en la in&er!ecci+n (e con)n&o!9 a1 La in&er!ecci+n (e con)n&o! i*ale! e! i*al a n !olo con)n&o. A!' &enemo!9 AD ?man=ana, %era, 5a@ BD ?man=ana, 5a, %era@

A 2 B !on con)n&o! i*ale! %or lo &an&o A

B D ?man=ana, %era, 5a@

1 La in&er!ecci+n (e n con)n&o 2 ! !con)n&o e! i*al al !con)n&o. Veamo!9 A D ?a, , c, (, e@ BD ?a, e@ A B D B D ?a, e@ c1 La in&er!ecci+n (e con)n&o! a)eno! e! i*al al con)n&o 5ac'o 0%or4e no exi!&en elemen&o! comne! en&re e!&o! con)n&o!1. E)em%lo, !ean9 A D ?nio!, )+5ene!, a(l&o!@ B D ?a5e!, %ece!@ En&once! A

BD

+ropiedades de las operaciones con conjuntos

En el !i*ien&e ca(ro encon&rar6! la! %ro%ie(a(e! m6! im%or&an&e! 4e %ermi&en la! o%eracione! en&re con)n&o!9 conm&a&i5a, a!ocia&i5a, (i!&ri&i5a, (e com%lemen&aci+n, (e i(em%o&encia, (e i(en&i(a( 2 :e Mor*an. E!&a! %ro%ie(a(e! carac&eri=an a lo 4e !e conoce como 6l*era (e con)n&o!. Pro%ie(a(

F+rmla

/onm&a&i5a

A

BDB

A

A

BDB

A

A 0A

0B B1

/1 D /

A 0A

0B B1

/1 D /

A!ocia&i5a

Ex%licaci+n

/omen&ario

La ni+n 2 la in&er!ecci+n (e con)n&o! !on conm&a&i5a! %or4e el re!l&a(o e! el mi!mo cal4iera 4e !ea el or(en (e lo! con)n&o!

E!&e conce%&o %e(e !er m6! com%ren!ile !i lo com%ara! con la !ma ari&mé&ica, recer(a e! lo mi!mo !mar "W  4e  W "

La ni+n 2 la in&er!ecci+n !on a!ocia&i5a! %or4e no im%or&a el or(en en el 4e !e a!ocien la! %are)a! (e con)n&o!, !iem%re 2 can(o no !e camie el or(en (e lo! con)n&o!, el re!l&a(o !er6 el mi!mo.

I*al 4e en la %ro%ie(a( an&erior, la %ro%ie(a( a!ocia&i5a &amién e! o!er5ale en la !ma ari&mé&ica9 e! lo mi!mo 0"WJ1 W 4e " W 0JW1

:i!&ri&i5a

A 0A

A 0A

0B B1

0B B1

/1 D 0A /1

/1 D 0A /1

La ni+n e! (i!&ri&i5a %or4e !i &iene! 4e nir n con)n&o con la in&er!ecci+n (e n %ar (e con)n&o! %e(e! reali=ar %rimero la! nione! 2 le*o in&er!ec&arla!.

La %ro%ie(a( (i!&ri&i5a a!' como en lo! con)n&o! &amién !e o!er5a en ari&mé&ica, 2a 4e !i recer(a!9 a0Wc1 Da Wac

La in&er!ecci+n e! (i!&ri&i5a %or4e !i &iene! 4e in&er!ec&ar n con)n&o con la ni+n (e n %ar (e con)n&o! %e(e! reali=ar %rimero la! in&er!eccione! 2 le*o nirla!.

O&ra! %ro%ie(a(e! Pro%ie(a(

F+rmla

Ex%licaci+n

A

Ac D

La ni+n (e n con)n&o con ! com%lemen&o e! i*al al con)n&o ni5er!al.

A

Ac D

La in&er!ecci+n (e n con)n&o con ! com%lemen&o e! i*al al con)n&o 5ac'o.

:e com%lemen&aci+n

0Ac1c D A

El com%lemen&o (el com%lemen&o (e n con)n&o e! i*al al con)n&o.

:e i(em%o&encia A

ADA

A

ADA

:e i(en&i(a(

La ni+n (e (o! con)n&o! i*ale! e! i*al al mi!mo con)n&o. La in&er!ecci+n (e (o! con)n&o! i*ale! e! i*al al mi!mo con)n&o.

A

DA

La ni+n (e n con)n&o con el con)n&o 5ac'o e! i*al al mi!mo con)n&o.

A

D

La ni+n (e n con)n&o con el con)n&o ni5er!al e! i*al al con)n&o ni5er!al,

A

A

D

La in&er!ecci+n (e n con)n&o con el con)n&o 5ac'o e! i*al al con)n&o 5ac'o.

DA

La in&er!ecci+n (e n con)n&o con el con)n&o ni5er!al e! i*al al %rimer con)n&o.

:e Mor*an 0A

0A

B1c D Ac

B1c D Ac

Bc

El com%lemen&o (e la ni+n (e (o! con)n&o! e! i*al a la in&er!ecci+n (e lo! com%lemen&o! (e lo! mi!mo! con)n&o!.

Bc

El com%lemen&o (e la in&er!ecci+n (e (o! con)n&o! e! i*al a la ni+n (e lo! com%lemen&o! (e lo! mi!mo! con)n&o!.