1 Unidad # IV El campo Magnético 4.1 Introducción 4.2 Interaccion magnética. 4.3 Definición de: Campo magnético y flujo magnético 4.4 Ley de Gauss para el campo magnético 4.5 Fuerza magnética entre conductores. 4.6 Ley de Biot-Savart 4.7 Ley de Ampere 4.8 Potencial Magnético 4.9 Corriente de Desplazamiento (término de Maxwell) Introducción.. 4.1 Introducción En los temas anteriores hemos limitado nuestro estudio a campos eléctricos estáticos
caracterizados por los vectores E o D ; ahora centraremos nuestra atención en campos
magnéticos estáticos los cuales son caracterizados por los vectores H o B . Existen semejanzas y diferencias entre campos eléctricos y magnéticos y de la misma
forma en que E y D están relacionados por la expresión D E para el espacio material
lineal, H y B lo están por la expresión B H . En esta unidad se presentara la analogía para probar que la mayoría de las ecuaciones deducidas para los campos eléctricos pueden usarse sin mayor dificultad, a fin de obtener ecuaciones correspondientes para los campos magnéticos. En 1820 Oersted estableció una relación definida entre los campos eléctricos y magnéticos; dado que las cargas a velocidad constante producen un campo magnético estático o magnetostático, en esta unidad consideraremos dichos campos en el vació o espacio libre debido a corrientes directas. El estudio de la magnetostática es de gran importancia ya que el desarrollo de los motores, transformadores, vehículos de alta velocidad levitados magnéticamente, así como otros aparatos o dispositivos están basados en los fenómenos magnéticos. Así como la ley de Coulomb y Gauss rigen los campos electrostáticos; la ley de Biot – Savart y Ampere lo hacen en los campos magnetostáticos. 4.3 Densidad de Flujo magnético
La densidad de flujo magnético B es similar a la densidad de flujo eléctrico D , esto es: si
D 0 E en el vació o espacio libre, también B 0 H se relaciona con la intensidad
del campo magnético H 0 es una constante y se le conoce como la permeabilidad del vació o espacio libre, se le -7
mide en henrys/metro (H/m) y tiene un valor de 4π x 10 H/m. El flujo magnético que pasa a trabes de una superficie (s) lo da la expresión: donde el (ψ) representa el flujo magnético y se mide en webers (wb) y B d s
S
2
la densidad de flujo magnético en (wb/m ) o Teslas (T)
2
La línea de flujo magnético es la trayectoria a la cual B es tangencial en todos los puntos de un campo magnético, dicha línea también es aquella a lo largo de la cual se orientaría la aguja de una brújula en la presencia de un campo magnético. Una característica de las líneas de flujo es que son cerradas y no tienen un principio y un fin; no se cruzan entre si cualquiera que sea la geometría del circuito. En los campos electrostáticos el flujo que pasa a través de una superficie cerrada, es igual a la carga encerrada, esto es:
D d s Q
y en consecuencia, es posible tener una carga eléctrica aislada, como se muestra en la figura:
En ella se muestra que el flujo que sale de la superficie cerrada debido a la carga eléctrica aislada debe ser igual a la carga encerrada, lo cual muestra también que las líneas de flujo eléctrico no son necesariamente cerradas. A diferencia de lo anterior, las líneas de flujo magnético siempre se cierran sobre si mismas como se muestra en la siguiente figura, esto se debe al hecho de que no es posible tener polos magnéticos aislados (o cargas magnéticas). Por lo cual el flujo total que pasa a través de una superficie cerrada en un campo magnético debe ser cero, esto es: B d s 0 llamada ley de conservación del flujo magnético o ley de Gauss
S
para campos magnetostaticos.
Aunque el campo magnetostático no es conservativo, el flujo magnético se conserva: Si
B
d s 0
S
B d s
S
( B)dv 0
V
B 0
Ecuación de Maxwell
3 Tanto la ley de Gauss para campos magnéticos o la anterior ecuación, muestran que los campos magnetostaticos no tienen fuentes ni sumideros; la ecuación de Maxwell indica que las líneas de los campos magnéticos son siempre continuas. 4.5 fuerza magnetica entre conductores 4.6 Biot- Savart (ley) Esta ley establece que la intensidad del campo Magnético (dH) producido en un punto P, multiplicada por el elemento diferencial de corriente Idl, es proporcional al producto Idl y al seno del ángulo (α), comprendido entre el elemento y al línea que une a P con el elemento, y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia R entre P y el elemento como se muestra en la figura:
De lo anterior: dH
Idlsen( ) R
dH
dH
2
kIdlsen( ) R 2
Idlsen ( ) o en forma vectorial: 4 R 2
dH
donde k = 1/4π en el S,I
I dl x a R
4 R
2
I dl x R
4 R
3
Las unidades para el H son A/M y la dirección de dH se determina por la regla de la mano derecha. De la misma forma en que pueden tenerse diferentes configuraciones de carga, también se pueden tener diferentes distribuciones de corriente como: corriente lineal, superficial y volumétrica como se muestra en la figura:
4
Se define K como la densidad de corriente superficial (en amperes/metro) y J como la 2 densidad de corriente volumétrica (en A/m ), los elementos de la fuente se relacionan por:
I dl K ds J dv por lo cual la ley de Biot-Savart en función de las fuentes de corriente distribuida sera:
H
I dl x ar 4 R
L
2
K ds x ar
4 R
S
2
J dv x ar 4 R
V
2
4.7 Ley de Ampere La ley de ampere de los circuitos establece, que la integral de línea de la componente
tangencial de H en torno a una trayectoria cerrada, es igual a la corriente neta (Ienc.)
encerrada por la trayectoria. En otras palabras, la circulación d e H es igual a Ienc. es decir:
H d l I enc
Esta ley es similar a la ley de gauss y se aplica con facilidad para determinar ( H ) cuando la distribución de corriente es simétrica. Aunque la ley siempre es valida para distribuciones de corriente simétrica o no simétrica, la ecuación tiene preferencia cuando existe la simetría.
Si
H d l I enc
H d l
L
( x H ) d s I enc
S
J d s
S
Lo anterior es posible por el teorema de stokes y dado que las integrales de la igualdad se refieren a la misma superficie, lo anterior se debe cumplir por lo cual los integrandos deben ser iguales, esto es:
x
H
J
Esta es la ley de Ampere en su forma diferencial y se debe observar que:
x H J 0 lo cual implica que los campos magnetostaticos no son conservativos.
5
Inducción Electromagnética Introducción En adelante se examinaran situaciones en las que los campos eléctricos y magnéticos sean dinámicos, esto es que tenga variación con el tiempo. Es conveniente mencionar que en los campos electromagnéticos estáticos tanto los campos eléctricos y magnéticos son independientes unos de otros, mientras que en los campos electromagnéticos dinámicos, ambos campos son interdependientes lo que significa que un campo eléctrico con variación en el tiempo implica necesariamente un campo magnético correspondiente con variación en el tiempo. Estos campos electromagnéticos dinámicos los representamos como
E ( x, y, z , t ) y H (x , y , z ,t ) , es claro que: Cargas estacionarias producen campos electrostáticos Corrientes estacionarias (corriente directa) producen campos magnetostáticos Corrientes con variación en el tiempo producen campos u ondas electromagnéticas en el tiempo. En esta unidad se introducirán dos conceptos importantes como son: La fuerza electromotriz y la corriente de desplazamiento, todo ello basado en los experimentos de Faraday.
Ley de Faraday Después del descubrimiento experimental, de que una corriente estacionaria producía un campo magnético, parecía tentativo investigar si el magnetismo producía electricidad y no fue sino hasta 11 años después de que Faraday & Joseph Henry descubrieron que un campo magnético variable en el tiempo producía una corriente eléctrica. Según Faraday un campo magnético estático no produce flujo de corriente, pero un campo con variación en el tiempo produce un voltaje inducido (llamado fuerza electromotriz o simplemente fem) en un circuito cerrado, que da lugar a un flujo de corriente. Faraday observo que la fem inducida, Vfem (en volts), en cualquier circuito cerrado es igual a la rapidez o razón de cambio en el tiempo, del eslabonamiento de flujo magnético que ocurre en el circuito. A esto se le conoce como la ley de Faraday y se le puede expresar como: V fem
d dt
N
d dt
Donde: N = numero de vueltas que hay en el circuito Ψ = flujo que cruza cada vuelta
6
El signo menos indica que el voltaje inducido actúa en forma tal que es opuesto al flujo que lo produce, donde a esto se le conoce como la ley de Lenz, esto pone de manifiesto de que la dirección del flujo de corriente en el circuito es tal que el campo magnético inducido que produce la corriente inducida se opone al campo magnético original. FEM Estacionaria y FEM Cinética La ley de Faraday vincula los campos eléctricos y magnéticos, de tal forma que para un circuito de una sola vuelta (N = 1) dicha ley queda como:
V fem
d dt
* V fem E d l
y en términos E y B se escribe de la forma
d B d s dt
En donde Ψ se le ha reemplazado por B d s y S es el área de la superficie
s
del circuito acotada por la trayectoria cerrada L. La ecuación anterior muestra que en situaciones con variación en el tiempo, hay presencia de campos eléctricos y de campos magnéticos y existe una
interrelación entre estos, también hay que notar dl y ds de la ecuación están de acuerdo con la regla de la mano derecha, a la vez que con el teorema de stokes, lo anterior se puede mostrar el la siguiente figura:
La variación del flujo con el tiempo que muestra la ley de faraday, puede producirse de tres maneras como son:
1 Al tener una espira estacionaria en un campo B variable en el tiempo.
2 Al tener un área de espira variable en el tiempo en un campo estático B .
3 Al tener un área de espira variable en el tiempo en un campo B también variable en el tiempo.
