2 f c1
0
f (GHz)
3.0 Sólo Modo TEM
Ejemplo No. 3.
Una guía de placas paralelas en la que d = 1 cm está fabricada con vidrio r 1.45 entre placas. Si la frecuencia de operación es de 32 GHz, ¿Qué modos se propagarán? SOLUCIÓN f c1
f c 2
f c3
3c 2d r
3 3 108 2(0.01)(1.45)
0
31.03 GHz
f c1
f c 2
10.34
20.69
2d
c 2d r
3 108 2(0.01)(1.45)
f c1 10.34 109 Hz = 10.34 GHz
Vidrio: r 1.45
d
v0
f c 4
2c 2d r 4c
2d r
2(0.01)(1.45)
4 3 108 2(0.01)(1.45)
20.69 GHz
41.38 GHz
f c 4
f c 3
31.03
2 3 108
41.38 f (GHz)
32.0 Frecuencia de operación
Se transmiten: TEM, TE1, TM1, TE2, TM2, TE3, TM3 Ejemplo No. 4.
Considere la guía de ondas descrita en el ejemplo 12.1 Sadiku. Calcule la constante de fase, la velocidad de fase y la impedancia de onda de los modos TE10 y TM 11 a la frecuencia de operación de 15 GHz.
3 SOLUCIÓN:
b=1.0 cm
v0
1
0
v0
1 4 0 0
2 15 109 1.5 108
c 1.5 108 m/s 2
200 rad/m
a=2.5 cm
0 4 0
120
Z TE
f Z TM 1 c f f c, mn
2
m n 2 a b
f c , mn
v0
1.5 108
mn
2
2 v0
2
2
2
2
m n 6 2 2 75 10 1600m 10000n 0.025 0.01
f 2 f cmn 2
v0
2
f f 1 cmn 0 1 cmn f f
2
TE10: f c ,10 75 106 1600(1)2 10000(0)2 3 109 Hz = 3 GHz 2
2
f 3 10 0 1 c10 200 1 615.62 rad/m 15 f v0 1.5 108 v p ,10 153.1 106 m/s 2 2 f 3 1 1 c10 15 f Z TE ,10
60
3 15
2
192.4
1
TM11: f c,11 75 106 1600(1)2 10000(1)2 8.078 109 Hz = 8.078 GHz
2
60
f 1 c f
2
4
2
2
f 8.078 11 0 1 c11 200 1 529.42 rad/m f 15 v0 1.5 108 v p ,11 178.0 106 m/s 2 2 f 8.078 1 1 c11 15 f 2
8.078 Z TM ,11 60 1 158.8 15 Z
2
1.8 1.6
TE10
1.4 1.2
TEM
1 0.8 0.6
8.08 GHz
TM11
0.4 0.2 0
0
3.0 GHz
3
6
9
12
15
18
21
f (GHz)
24
Ejemplo No. 5. Una onda TM, que se propaga en una guía de ondas rellena de un dieléctrico con permitividad r desconocida (r = 1), tiene una componente de campo magnético que se define
como
H y ( x, y, z , t ) 6 cos(25 x) sen(100 y ) sen(15 109 t 109 z ) mA/m
Si las dimensiones de la guía son a 2b 4 cm, determine: (a) el número de modo; (b) la permitividad relativa del material en la guía; (c) la velocidad de fase; (d) la expresión para E x. SOLUCIÓN .(a) De la ecuación correspondiente de la página 28 del folleto
5
H y E 0
j 2
m
m n z a cos x sen y e 2 a b n
(Forma fasor)
m a b
m
m n j z j 2 H y E 0 cos x sen y e e 2 2 a b m n a b H y F ( x, y)e
a
j z
e
j
(Forma fasor)
2
j t z 2 H y ( x, y, z , t ) Re F ( x, y )e (Forma temporal) m n H y ( x, y, z , t ) F ( x, y) cos t z H 0 cos x sen y sen t z 2 a b
H y ( x, y, z , t ) 5 cos(25 x) sen(100 y) sen(15 109 t 109 z )
(1)
(2)
Comparando (1) con (2) m x cos(25 x) a n sen y sen(100 y ) b
m
cos
a n b
El modo es TM12
.(b) De la
x 25 x
m 25a 25(0.04) 1
y 100 y
n 100b 100(0.02) 2
ecuación (40) de folleto (válida para TE y TM) con 2 j 2 2
k a 2 k b 2 2 2 0 2
2
m n 2 2 r 0 r 0 0 a b m 2 n 2 c2 2 r 2 2 0 r 0 a b 1
m 2 n 2 2 a b
Comparando (1) con (2) 15 109 rad/s
= 109 rad/m
f = 7.5 GHz
6 2 (3 108 ) 2 1
2 2 2 ( 109 ) r 9 (15 109 ) 2 0.04 0.02
.(c) v p
15 109 109 2
137.6 106 m/s
m n .(d) f c 2 a b v0
f c
2
2
1 108
r 9
v0
v p 137.6 106 m/s
c r
3 108 3
1 108 m/s
2
1 2 9 5.154 10 Hz 0.04 0.02
2
f Z TM 1 c f
2
2
f c 5.154 GHz
0 9 0
120 3
40
2
f 5.154 Z TM 1 c 40 1 91.29 f 7 . 5
Como Z TM
E x
E x Z TM H y
H y
( E x ) max Z TM ( H y )max 91.29 6 103 0.548 V/m
Amplitud
E x ( x, y, z , t ) 0.55 cos(25 x) sen(100 y ) sen(15 109 t 109 z ) V/m Ejemplo No. 6.
Para una guía de onda rectangular hueca con dimensiones a = 3 cm y b = 2 cm, determine las frecuencias de corte en todos los modos, hasta 20 GHz. ¿Dentro de qué intervalo de frecuencias soportará la guía la propagación de un solo modo dominante? SOLUCIÓN Hueca: = 0 f cmn
v0 2
v0 = c = 3108 m/s
= 0 2
2
3 10 m n 2 a b
Elaborando una tabla en Excel
8
2
m n 0.03 0.02
2
7
Permitividad relativa=
Permeabilidad relativa=
1
a= 0.03
1
b= 0.02
velocidad, v0= 3.000E+08 MODO
FRECUENCIA DE CORTE (GHz)
m
n
f
0
1
7.50
0
2
15.00
0
3
22.50
1
0
5.00
Dominante TE
1
1
9.01
DominanteTM
1
2
15.81
1
3
23.05
2
0
10.00
2
1
12.50
2
2
18.03
2
3
24.62
3
0
15.00
3
1
16.77
3
2
21.21
4
0
20.00
Ordenando por valor de frecuencia de corte Permitividad relativa=
1
Permeabilidad relativa=
a= 0.03
b= 0.02
velocidad, v0 = 3.000E+08 MODO
FRECUENCIA DE CORTE (GHz) Valor de f, relativa al dominante TE 10
M
N
f
1
0
5.00
Dominante TE
1.0
0
1
7.50
TE
1.5
1
1
9.01
Dominante TM, TE
1.8
2
0
10.00
TE
2.0
2
1
12.50
TE, TM
2.5
0
2
15.00
TE
3.0
3
0
15.00
TE
3.0
1
2
15.81
TE, TM
3.16
3
1
16.77
TE, TM
3.35
2
2
18.03
TE, TM
3.61
4
0
20.00
4.0
1
8 Colocando sobre una recta numérica TE11 TE10
0
TE01
TE02 TE12 TE30 TE31
TE21
TE20
10
5
TE22
15 TM21
TM11
20
TM12 TM31
f mn(GHz)
TM22
Para transmitir solo en el modo TE10 se debe operar la guía en el intervalo de 5 a 7.5 GHz. Observe que el valor del modo dominante en TM es el TM11. A continuación se muestra un método gráfico presentado en libro de Kraus. Las medidas de la cuadrícula son de acuerdo a la proporciones a y b de la guía pero invertidas. Cada par ordenado (m, n) representa la frecuencia de corte del modo mn respectivo. Las frecuencias se calculan relativas al valor más bajo o dominante, en este caso 5 GHz. La frecuencia de trabajo es entonces 4 veces la del modo dominante y es representada por el arco de circunferencia de radio 4 (Medido con la escala horizontal). Los modos que se pueden transmitir son los que quedan encerrados por el arco de circunferencia de la frecuencia de trabajo. De la gráfica resulta obvio que al incrementar la frecuencia de trabajo mas modos se pueden transmitir y al disminuir la frecuencia de trabajo, el número de modos que se pueden transmitir disminuye. 2
n
4
3 3
TE02
2
1
TE12 TM12
TE11 TE01
TM11
TE22 TM22
TE32
TE21 TM21
TE31
TE41
TM31
TM41
TE30
TE40
TM32
TE42 TM42
f TE10
0 0
1
TE20
2
3
4
5
m
9
Para transmitir solo TE10 f debe variar, en la gráfica de 1 a 1.5, esto es, 5 GHz < f < 7.5 GHz. Ejemplo No. 7.
Se tiene que utilizar una guía de onda rectangular hueca para transmitir señales a una frecuencia de portadora de 6 GHz. Seleccione sus dimensiones de manera que la frecuencia de corte del modo TE dominante sea menor que la portadora en un 25% y que el siguiente modo sea por lo menos un 25% mas alto que la portadora. f 6 GHz
SOLUCIÓN:
Hueca: = 0
f c10 0.75 f 0.75(6) 4.5 GHz =
v0
a
2a
v0 2 f c10
= 0
3 108 2 4.5 109
v0 = c = 3108 m/s
0.033 m
a 3.33 cm
v0
f c 01 1.25 f 1.25(6) 7.5 GHz =
b
2b
v0 2 f c 01
3 108 2 7.5 109
0.020 m
b 2.0 cm
Ejemplo No. 8.
Una guía de ondas rectangular hueca tiene como dimensiones a = 6 cm y b = 4 cm. (a) ¿En qué rango de frecuencias operará la guía en un solo modo? (b) ¿En qué rango de frecuencias la guía soportará ambos modos, TE10 y TE01? SOLUCIÓN Hueca: = 0 Modo dominante Como
a
f c 01
v0
2
2b
3 cm
8 v0 = c = 310 m/s
= 0
f c10
v0 2a
3 108 2 0.06
2.5 109 Hz
, b > 3 cm, el siguiente modo de orden superior es el TE01.
3 108 2 0.04
3.75 109 Hz
Para funcionamiento en monomodo:
2.5 GHz < f < 3.75 GHz
10
Buscando la siguiente frecuencia de corte f cmn 2
2
2
2
2
2
v0 2
2
m n a b
2
3 108 0 2 9 f c 02 7.5 10 Hz 2 0.06 0.04 3 108 1 1 9 f c11 4.51 10 Hz 2 0.06 0.04 3 108 2 0 9 f c 20 5.0 10 Hz 2 0.06 0.04
3.75 GHz < f < 4.51 GHz
Para funcionamiento en dos modos:
Un modo TE11 TE20
TE02
3.75 4.5 5.0
7.5
TE10
0
2.5
TE01
f (GHz)
Dos modos
Ejemplo No. 9.
Una guía de ondas rellena con aire tiene una sección transversal tiene sección transversal que tiene 50 mm de ancho por 40 mm de alto. Encuentre: (a) los modos (ambos TE y TM) para los que esta guía transmitirá con = 37.5 mm, y (b) la velocidad de fase relativa v p/c en la guía para todos los modos que pasaron si = 0.6c. SOLUCIÓN Aire en la guía: = 0 f c
= 0
v0 = c = 3108 m/s
c 3 108 f 8 109 Hz = 8 GHz 0.0375
11 Frecuencia de corte para modo dominante f c10 2
v0 2a
3 108 2 0.05
3 109 Hz = 3 GHz
2
m n 8 2 2 f cmn 1.5 10 400m 625n 2 a b v0
f c 01 1.5 108 400(0) 2 625(1) 2 3.75 GHz
TE
f c 02 1.5 108 400(0) 2 625(2) 2 7.5 GHz
TE
f c 03 1.5 108 400(0) 2 625(3) 2 11.25 GHz
NO
f c10 1.5 108 400(1)2 625(0) 2 3.0 GHz
TE
f c11 1.5 108 400(1)2 625(1) 2 4.8 GHz
TE, TM
f c12 1.5 108 400(1)2 625(2) 2 8.1 GHz
NO
f c 20 1.5 108 400(2) 2 625(0) 2 6.0 GHz
TE
f c 21 1.5 108 400(2) 2 625(1) 2 7.1 GHz
TE, TM
f c 22 1.5 108 400(2) 2 625(2) 2 9.6 GHz
NO
f c 30 1.5 108 400(3)2 625(0) 2 9.0 GHz
NO
Se transmiten 8 modos TE01, TE02, TE10, TE11, TM11, TE20, TE21, TM21. Sugerencia: Compruebe con el método gráfico del Ejemplo No. 2.
Ejemplo No. 10.
Use el método gráfico presentado en el Ejemplo No. 6 para resolver el Ejemplo
12.1 de Sadiku. v0
c r r
3 108 (4)(1)
1.5 108 m/s
Frecuencia de corte para modo dominante f c10 Frecuencia de operación: f 15.1 GHz. Relativa
v0 2a
15.1 3
1.5 10
8
2 0.025
5.03
3 109 Hz = 3 GHz
12 1
n
3
Se transmiten 15 modos: 2.5
2
1
TE02
TE01
TE12
TE22
TE32
TE42
TE52
TM12
TM22
TM32
TM42
TM52
TE11
TE21
TE31
TE41
TE51
TM11
TM21
TM41
TM51
TE10
TE20
TE40
TE50
0 0
1
2
TM31
TE30
3
4
5
Los modos TE12 y TM12 quedan afuera
6
Cálculo de las frecuencias de corte con ayuda de la gráfica: TE10: 1 3 3 GHz TE20: 2 3 6 GHz TE30: 3 3 9 GHz TE40: 4 3 12 GHz TE50: 5 3 15 GHz TE01: 2.5 3 7.5 GHz TE11, TM11: 12 2.52 3 8.1 GHz TE21, TM21: 22 2.52 3 9.6 GHz TE31, TM31: 32 2.52 3 11.7 GHz
11 modos TE, 4 modos TM
m
13 TE41, TM41: 42 2.52 3 14.2 GHz TE02: (2 2.5) 3 15 GHz Comprobación de modos TE12, TM12: 12 (2 2.5)2 3 15.3 GHz > f = 15.1 GHz (No se transmiten estos modos) Ejemplo No. 11.
Una guía de onda rectangular llena de aire se va a construir para que opere con un solo modo a 15 GHz. Especifique las dimensiones de la guía, a y b, tales que la frecuencia de diseño sea un 10% mayor que la frecuencia de corte para el modo TE10, mientras que sea un 10% menor que la frecuencia de corte para el modo de orden superior siguiente. SOLUCIÓN v0 c 3 108 m/s f c10 b
c 2a
c 1.1 f c10 1.1 15 109 2a
a
1.1 3 108 2 15 109
0.011 m
a 1.1 cm a f c 20
c2 2a
2 f c10
Modo siguiente: Si b < a/2 el modo siguiente es el 20 No depende de b.
Modo siguiente: Si a/2 < b < a el modo siguiente es 01. f c 01
c 2b
c 0.9 f c10 0.9 15 109 2b
b
0.9 3 108 2 15 10
9
9 10 3 m
b 0.9 cm
Las dimensiones deben ser 1.1 cm 0.9 cm Ejemplo No. 12.
El diámetro interno de una guía circular es de 6 cm. Determine cuál es el rango teórico de frecuencias en el que se puede transmitir sólo con el modo dominante. También calcule el valor de la impedancia de onda de este modo, evaluada en la frecuencia central del rango encontrado. Considere que dentro de la guía hay aire. SOLUCIÓN:
14 a
d 2
6 2
3 cm
Modo dominante es el TE11 en una guía circular. 1.841v0 v0 3 108 TE11 f c,11 0.293 0.293 2.93 109 Hz = 2.93 GHz, 2 a a 0.03 3.054 v0 v 3 108 TE21 f c ,21 0.486 0 0.486 4.86 109 = 4.86 GHz 2 a a 0.03
Para el modo TM, que es el siguiente modo TM01. 2.405 v0 v 3 108 0.383 0 0.383 3.83 109 Hz = 3.83 GHz, 2 a a 0.03 3.832 v0 v0 3 108 TM11 f c,11 0.610 0.610 6.01 109 Hz = 6.01 GHz, 2 a a 0.03
TM01 f c,01
Un modo TE21 TE11
0
TM01
3.83 4.86
2.93
TM11
6.01
f (GHz)
Dos modos
Para transmitir sólo con el modo dominante la frecuencia debe variar en el intervalo: 2.93 < f < 3.83 GHz. El valor medio de la frecuencia es f
2.93 3.83
Z TE
2
3.38 GHz
f c f
1
2
120
2.93 3.38
1
2
756
